A5 EletroAp OndasPlanas1

ELETROMAGNETISMO APLICADO

• O espectro eletromagnético. Ondas Planas.

(1) ∇ D⋅ = ρ (Gauss’ Law)

(2) ∇ B⋅ = 0 (Gauss’ Law for magnetism)

(3) t ∂ ∂ − = × ∇ E B (Faraday’s Law) (4) t ∂ ∂ + = × ∇ H J D (Ampère-Maxwell Law)

• ESPECTRO ELETROMAGNÉTICO • Dividido em faixas de frequência

• Frequências aproximadas em Hertz (ciclos/segundo) − Raios Gama: 1022 (Hz) − Infravermelho: 1013 − Raios X: 1018 − Microondas: 1010 − Ultravioleta: 1016 − FM-AM: 108 - 106 − Luz visível: 5×1014 − Ondas longas: 104 - 1

• ESPECTRO ELETROMAGNÉTICO: ALGUMAS APLICAÇÕES

 Frequência aumenta nessa direção 

• FAIXA VISÍVEL DO ESPECTRO ELETROMAGNÉTICO

COR: Definida pela frequência da radiação

Espectro visível  de ν ≈ 750 THz (violeta) até ν ≈ 430 THz (vermelho)  Ordem de grandeza: ν ≈ 5×1014 ciclos/segundo

 λ ≈ 0.5 µm (1 µm = 1×10−6 m = 1 milésimo de milímetro) ν (THz)* Eph (eV)*** 750 675 630 590 525 510 460 430 400 445 475 510 570 590 650 700 3.1 2.8 2.6 2.4 2.2 2.1 1.9 1.8 λ (nm)**

violeta anil azul verde amarelo laranja vermelho

* Frequência em Terahertz (THz); 1 THz = 1×1012 ciclos/segundo. ** Comprimento de onda em nanometros (nm); 1 nm = 1×10−9 metros. *** Energia do fóton em electron Volts (eV); 1 eV = 1.60×10−19 Joules.

• ESPECTRO DE EMISSÃO SOLAR

5780 K Blackbody Spectrum

Total area: 1366 W/m2

7% 44% 48% → 1%

UV: GRANDE PARTE É ABSORVIDA

• PENETRAÇÃO DO UV NA ATMOSFERA RELATIVA À ALTITUDE

O UV pode ser subdividido de várias formas. O padrão ISO-DIS-21348 descreve as seguintes faixas (OBS: Existem outras além das descritas, entre 100 e 10 nm):

o Ultravioleta A, UVA: 400 – 315 nm (Ondas longas) o Ultravioleta B, UVB: 315 – 280 nm (Ondas médias) o Ultravioleta C, UVC: 280 – 100 nm (Ondas curtas)

• ONDAS ELETROMAGNÉTICAS SÃO DESCRITAS POR

VETORES QUE SE PROPAGAM NO ESPAÇO 3D.

o E = Vetor campo elétrico [E] = Volt/metro

o H = Vetor campo magnético [H] = Ampere/metro o ββββ (ou k) = Vetor de propagação [k] = metro−1

OUTROS VETORES RELACIONADOS

 D =εE: Vetor deslocamento elétrico; [D] = A⋅s/m2 = C/m2 (Coulomb/m2).

ε = permissividade elétrica do meio; [ε] = F/m.

 B = µH : Vetor indução magnética; [B] = V⋅s/m2 = Wb/m2 = T (Tesla).

µ = permeabilidade magnética do meio; [µ] = H/m.

Tesla = Unidade de [B] no SI; 1 T = 104 G (Gauss); cgs.

Valores para o vácuo:

0

µ

0

• CONCEITO DE FRENTE DE ONDA

FRENTE DE ONDA = Conjunto de pontos com a mesma fase No exemplo = Conjunto de pontos que formam as cristas da onda

Frentes de Onda são superfícies equifase, perpendiculares aos “raios de luz”.

“RAIO DE LUZ”: Definido pela direção de de propagação (dado pelo vetor k; ou βββ). β Superfícies equifase

• DESCRIÇÃO DE ONDAS ESFÉRICAS

As funções cos(βr ±ωt) e exp j(βr ±ωt) têm

valores constantes em uma esfera de raio r

(r = r ) num tempo t.

É fácil demonstrar que as funções:

) cos( ) , ( 0 r t r u t r u = β ±ω e ) ( exp ) , ( 0 j r t r u t r u = β ±ω ,

são soluções da Eq. de Onda e portanto

representam ondas esféricas que se propagam com c = ω β e cuja amplitude varia segundo 1 r.

• FRENTES DE ONDA PLANAS

No espaço 3-D, a equação z = constante representa um plano (infinito). A equação z −ct = constante representa um plano que se propaga com

velocidade c na direção + z

A equação u = u₀ cos(βz −ωt) (ou u = u₀ cos(ωt − βz)), representa uma

onda harmônica, cujas frentes de onda são planos infinitos que se propagam na direção +z com vel. c = ω β .

FRENTES DE ONDA PLANAS

• DESCRIÇÃO DE ONDAS PLANAS

 O produto escalar β⋅ r = β_xx + β_y y + β_zz = constante é a equação de um

plano perpendicular ao vetor ββββ.

 u = u0 exp j(ωt −β⋅r +φ)

β β ˆ

=

β

Ondas harmônicas planas que se propagam na direção βˆ

• PROPAGAÇÃO DE ONDAS PLANAS EM MEIOS SEM

PERDA

No que segue, vamos considerar um meio dielétrico sem perdas,

homogêneo, isotrópico e livre de fontes (ex. espaço livre, vidro, etc.).



J

=

ρ

=

σ

= 0

∇ E (3) (Lei de Gauss da eletricidade)

0 = ⋅

∇ H (4) (Lei de Gauss do magnetismo)

• EQUAÇÃO DE ONDA Tomando o ∇× (1) e usando (2): ₂ 2 ) ( ) ( t t _∂ ∂ − = ∂ × ∇ ∂ − = × ∇ × ∇ E µ H µε E

Usando (3) e a identidade vetorial: _∇×(∇×E_{) ≡ ∇(∇⋅}E_{) −∇}2E

Chegamos à ₂ 0 2 2 = ∂ ∂ − ∇ t E E µε . (Analogamente ₂ 0 2 2 = ∂ ∂ − ∇ t H H µε )

Equação de Onda: Descreve uma onda que se propaga com velocidade µε 1 = c No espaço livre: µ = µ₀ = 4π × 10−7 H/m, ε =ε₀ = 8.854 × 10−12 F/m  c₀ =1 µ₀ε₀ ≈ 3×108 m/s

Portanto, a velocidade da luz pode ser obtida a partir das Eqs. de Maxwell

2 1 c

• OPERADOR LAPLACIANO

Em sua forma mais geral, a equação de onda no espaço 3D é escrita utilizando o operador Laplaciano (∇2). Equação de onda 3D: 0 1 ) , ( ₂ 2 2 2 = ∂ ∂ − ∇ t c t E r

E , com r = (x, y,z) o vetor posição.

Em coordenadas cartesianas: ₂ 2 2 2 2 2 2 ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∇ z y x

OBS.: O ∇2 pode ser aplicado a uma função escalar u( tr, ), ou vetorial,

z E y E x E t) _x ˆ _y ˆ _z ˆ , (r = + +

E . Nesse caso, aplica-se nas componentes:

z E y E x E_x ˆ 2 _y ˆ 2 _z ˆ 2 2 _{= ∇ + ∇ +∇} ∇ E 2 2 2 2 2 2 2 _{( , , , )} z E y E x E t z y x E_x x x x ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∇

Considere, por exemplo, o caso especial de uma onda plana movendo-se na direção ± z, i.e., β = ±βzˆ

Se a onda se propaga na direção ± z, o campo E está no plano xy:  Componente

z

E = 0

Além disso, as componentes E_x e E_y tem o mesmo valor em qualquer ponto do

plano xy: ₂ 0 2 2 2 2 2 2 2 = ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ y E x E y E x E_{x x} y y . Portanto, y z E x z E_x y ˆ ˆ ₂ 2 2 2 2 ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∇ E

E ainda, no caso de E_y = 0, i.e., se o campo E oscila na direção x (i.e., onda

linearmente polarizada na direção x): E(z,t) = E_x(z,t)xˆ,

a equação de onda se reduz a uma única eq. escalar: 1 ₂ 0

2 2 2 2 = ∂ ∂ − ∂ ∂ t E c z E_{x x}

• ONDAS PLANAS: Simplificando as Equações de Maxwell

Vamos considerar uma onda cujo campo elétrico é dado por: ) cos( ) , (r = E₀ ω −β⋅r +φ E t t 0

E : Vetor amplitude; determina o estado de polarização da onda, i.e., o módulo do campo elétrico e sua direção de oscilação.

β β ˆ

=

β : vetor de onda, com β = = ω = ω µε

c

β o número de onda e βˆ o vetor unitário na direção de propagação.

Escrevendo na forma complexa:

) exp( ) exp( ) exp( ) , (r t E₀ jφ jβ r jωt E = − ⋅ = E_s(r)exp( jωt),

com E_s(r) = E₀ exp( jφ)exp(− jβ⋅r) uma quantidade complexa (fasor) que independe do tempo.

Vamos agora calcular a derivada temporal: ) exp( j t s ω E E =  E jωE jωt jωE t = s = ∂ ∂ ) exp( i.e.: jω t → ∂ ∂ De maneira geral: n n n j t → ( ω) ∂ ∂

Em seguida, calculamos a derivada espacial:

) exp( j t s ω E E =  exp( j t) x x s _ω ∂ ∂ = ∂ ∂E E ) exp( ) exp( 0 β r E E_s = jφ − j ⋅ = E₀ exp( jφ)exp[− j(β_xx + β_y y +β _zz)]  s x z y x x s _{j j j x y z j} x E E E β β β β φ β − + + = − − = ∂ ∂ )] ( exp[ ) exp( 0 i.e.: j _x x → − β ∂ ∂ De maneira geral: n x n n j x → (− β ) ∂ ∂

De maneira análoga: y j y → − β ∂ ∂ , j _z z → − β ∂ ∂ Operador nabla: z z y y x x ˆ ˆ ∂ ˆ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∇ → ∇ = − j

(

)

Simplificando as Equações de Maxwell; Ondas planas, J ₌ ρ = σ = 0. Lei de Faraday: E µ H jβ E µ( jω)H t → − × = − ∂ ∂ − = × ∇  β×E = ωµH (1) L. Ampère-Maxwell: H ε E jβ H ε( jω)E t → − × = ∂ ∂ = × ∇  β×H = −ωεE (2)

Lei de Gauss da eletricidade: ∇⋅E = 0→ − jβ⋅E =0  β⋅ E = 0 (3) Lei de Gauss do magnetismo: ∇⋅H = 0 → − jβ⋅H = 0  β⋅ H =0 (4)

(1)  H ⊥ β e H ⊥ E

(2) E ⊥ β e E ⊥ H

(3) β ⊥E

(4) β ⊥ H _ββββ

GEOMETRIA DOS VETORES

β

ˆ

ˆ

ˆ

_{× H}

₌

E

Relações entre E e H: Escrevendo β = ββˆ, com β = β =ω c =ω µε e βˆ =1 De (1): β×E =ωµH E E E H = × = × = ×  β ε µ β ωµ µε ω β ωµ β _{ˆ ˆ} 1 _ˆ  H = β ×E η ˆ 1

(OBS.: Relação entre os módulos: E =ηH , com E = E e H = H ). De (2): β×H = −εωE H H H E = − × = − × = − ×  β ε µ β ωε µε ω β ωε β _{ˆ ˆ ˆ E H} × − =  η βˆ

As mesmas relações valem para os fasores: H_s = β ×E_s

η ˆ

1