Análise de influência baseada na curvatura normal conforme para o modelo de regressão Dirichlet

Texto

(1)´ ˆ ANALISE DE INFLUENCIA BASEADA NA CURVATURA NORMAL ˜ DIRICHLET CONFORME PARA UM MODELO DE REGRESSAO. ´ LUZ MILENA ZEA FERNANDEZ. Orientador: Prof. Dr. Klaus Leite Pinto Vasconcellos ´ Area de concentraça˜ o: Estat´ıstica Matemática. Dissertaça˜ o submetida como requerimento parcial para obtença˜ o do grau de Mestre em Estat´ıstica pela Universidade Federal de Pernambuco. Recife/PE Dezembro de 2005.

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(4) Aos meus pais, eles são a razão da minha vida e a for¸ca que me impulsiona a continuar cada dia.. i.

(5) ii. Agradecimentos A Deus por ter-me dado a vida, a capacidade para alcançar esta meta e sempre estar ao meu lado nesta caminhada que a` s vezes parecia muito dif´ıcil. Aos meus pais e aos meus irmãos pelo amor, pela dedicaça˜ o e por estar sempre torcendo em minha casa para que tudo desse certo. Ao meu orientador Klaus Leite Pinto Vasconcellos, pela atença˜ o, dedicaça˜ o, boa orientaça˜ o no decorrer deste trabalho e por ter acreditado em mim. A Nicolás pelo amor, atença˜ o, compressão, por toda ajuda, pelos nossos longos papos e por estar do meu lado sempre que precisei. Ao professor Francisco Cribari Neto, pelos conhecimentos transmitidos, dedicaça˜ o e eficiência que o caracterizam. Aos professores do departamento de estat´ıstica da UFPE que colaboraram para meu crescimento profissional. Aos meus grandes amigos que considero como meus irmãos Dany, Renata, Carlos e Tiago por todo o carinho, força, ajuda, amizade, companhia e atença˜ o que me brindaram em minha estadia aqui no Brasil. A todos os demais colegas do mestrado pela convivência e pelos momentos de descontraça˜ o que vivemos juntos. ˆ A todos meus colegas de Colombia que moram aqui no Brasil, pelas nossas reu˜ ˜ e os momentos de diversão, especialmente a minha nioes, as longas conversaçoes amiga Laura. ` Valéria Bittencourt, pela atença˜ o que me deu desde minha chegada ao Brasil, pelo A carinho e por ser muito competente em seu trabalho. ˜ Aos participantes da banca examinadora, pelas sugestoes. Ao CNPq, pelo apoio financiero..

(6) Se tens conhecimento, deixa que os demais acendam suas velas nele. –Thomas Fuller. iii.

(7) iv. Resumo Neste trabalho apresentamos um estudo de influência local no modelo de regressão Dirichlet proposto em Silva (2004) usando a curvatura normal conforme proposta por Poon & Poon (1999). Perturbamos o modelo segundo quatro esquemas de perturbaça˜ o diferentes, a saber: a log-verossimilhança de forma multiplicativa, as variáveis explicativas de forma aditiva e multiplicativa e, finalmente, as variáveis resposta de forma ´ aditiva. No desenvolvimento deste ultimo esquema nos encontramos frente a um pro˜ blema de maximizaça˜ o sujeito a restriçoes, resolvemos o problema e encontramos a soluça˜ o. A partir da´ı conseguimos enunciar e provar um Teorema que nos dá uma ˜ satisfazem um conjunto forma de realizar análise de influência quando as perturbaçoes ˜ lineares; além disso, estendemos o conceito de contribuiça˜ o agregada para de restriçoes modelos multivariados. Apresentamos também um exemplo de análise de influência para dados reais usando o modelo de regressão Dirichlet. Neste exemplo, verificamos que uma observaça˜ o se destaca como influente nos quatro esquemas de perturbaça˜ o e ˜ e´ maior para maiores valores das variáveis explicatique a influência das observaçoes vas..

(8) v. Abstract This work presents a local influence study for the Dirichlet regression model proposed in Silva (2004), by using the conformal normal curvature proposed in Poon & Poon (1999). Four different perturbation schemes are considered: the log-likelihood terms in the multiplicative form, the explanatory variables in additive and multiplicative forms and, finally, the response variables in additive form. In order to perform the last perturbation scheme, we solve a maximization problem with restrictions. We then obtain a theorem that gives us a form of performing influence analysis under linear constraints in the perturbation scheme. We also propose an influence analysis for multivariate data. An example with real data is presented for which we detect an observation as particularly influent and for which the influence of the observation is larger for larger values of the explanatory variables..

(9) Sumário. 1. Introdu¸ca˜ o 1.1. 1.2. 1.3 2. Introduça˜ o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1. 1.1.1. Organizaça˜ o da dissertaça˜ o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3. 1.1.2. Suporte computacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3. Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3. 1.2.1. Estimadores de máxima verossimilhança . . . . . . . . . . . . . .. 4. Otimizaça˜ o não-linear em inferência estat´ıstica . . . . . . . . . . . . . . .. 5. O modelo de regressão Dirichlet. 6. 2.1. Modelo beta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 7. Definiça˜ o e estimaça˜ o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 7. Modelo Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 11. Definiça˜ o e estimaça˜ o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 12. 2.1.1 2.2. 2.2.1 3. 1. Curvatura normal conforme e influência local. 18. 3.1. Influência local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 20. 3.2. Curvatura normal conforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 21. vi.

(10) ´ SUMARIO 3.3. 3.4 4. 5. vii. Avaliaça˜ o da influência local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 22. 3.3.1. Influência de autovetor individual . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 23. 3.3.2. Contribuiça˜ o agregada de vetores de perturbaça˜ o básicos . . . .. 23. Esquemas de perturbaça˜ o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 25. Aplica¸coes ˜. 38. 4.1. Introduça˜ o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 38. 4.2. Composiça˜ o de sedimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 40. 4.2.1. Esquema de perturbaça˜ o I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 40. 4.2.2. Esquema de perturbaça˜ o II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 46. 4.2.3. Esquema de perturbaça˜ o III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 52. 4.2.4. Esquema de perturbaça˜ o IV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 58. Conclusoes ˜. 64. Apêndice. 65. A Derivadas. 66. A.1 Esquema de perturbaça˜ o I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 67. A.2 Esquema de perturbaça˜ o II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 68. A.3 Esquema de perturbaça˜ o III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 73. A.4 Esquema de perturbaça˜ o IV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 80. B Dados. 83. C Programa. 85.

(11) ´ SUMARIO. viii. Refêrencias. 91.

(12) Cap´ıtulo 1 Introdu¸ca˜ o 1.1 Introdu¸ca˜ o Os modelos de regressão dão aos pesquisadores ferramentas poderosas que per˜ entre variáveis, e fazer prediçoes ˜ de eventos do pasmitem estudar e modelar relaçoes sado, do presente ou do futuro usando a informaça˜ o do passado ou presente. Por isto, são largamente utilizados em muitas a´ reas do conhecimento. Durante muitos anos, os modelos normais lineares simples e multivariados foram utilizados para descrever ˆ ´ ˆ a maioria dos fenomenos aleatorios, mesmo quando o fenomeno sob estudo apresentava uma resposta para a qual não fosse razoável a suposiça˜ o de normalidade ou que estivesse restrita ao intervalo (0,1). O modelo de regressão Dirichlet, recentemente proposto em Silva (2004), oferece grande utilidade quando as variáveis resposta são ˜ proporçoes, pois, diferentemente do modelo de regressão linear, permite assimetrias, ˜ o que e´ muito comum quando se trabalha com proporçoes. Existe uma grande quan´ tidade de trabalhos teoricos que envolvem a distribuiça˜ o Dirichlet, porém, são poucos ˜ práticas. Esta falha pode ser devida ao os trabalhos que têm sido feitos em aplicaçoes fato de que esta distribuiça˜ o não e´ familiar para muitos cientistas. ´ ´ Um topico importante na análise de diagnostico em regressão e´ a detecça˜ o de ob˜ influentes, ou seja, de pontos que podem exercer forte influência nas estiservaçoes mativas dos parâmetros do modelo. Uma das idéias mais inovadoras foi apresentada 1.

(13) ´ ˜ CAPITULO 1. INTRODUC ¸ AO. 2. ˜ verificar a existência de pontos que sob modificaçoes ˜ mopor Cook (1986), que propoe ˜ desproporcionais nos resultados, ao invés da avaliaça˜ o pela destas causam variaçoes retirada individual ou conjunta de pontos. Este método se denomina influência local e teve uma grande receptividade entre os usuários e pesquisadores da a´ rea de regressão, motivando muitos artigos onde se aplica a metodologia em modelos particulares ou ˜ extensoes ˜ da técnica, como será visto no Cap´ıtulo 3. Apesar do método de se propoe Cook, baseado na curvatura normal, ser de grande utilidade, o método tem alguns inconvenientes; por exemplo, a curvatura normal pode tomar qualquer valor e não e´ invariante sob uma mudança uniforme de escala. Recentemente, Poon & Poon (1999) propuseram uma medida chamada “curvatura normal conforme”, e, sobre esta medida definiram a contribuiça˜ o agregada para cada vetor de perturbaça˜ o básico, fornecendo um ponto de partida objetivo para julgar a grandeza da curvatura. Nesta dissertaça˜ o apresentamos a análise de influência local utilizando a curvatura normal conforme para o modelo de regressão Dirichlet. Estudamos quatro esquemas de perturbaça˜ o, onde perturbamos a log-verossimilhança multiplicativamente, as ´ variáveis explicativas de forma aditiva e multiplicativa e por ultimo perturbamos as ´ variáveis resposta de forma aditiva. No desenvolvimento deste ultimo esquema de ˜ perturbaça˜ o nos encontramos com um problema de maximizaça˜ o com restriçoes, resolvemos o problema e encontramos sua soluça˜ o anal´ıtica. Neste sentido enunciamos um Teorema e apresentamos a demonstraça˜ o. A partir deste Teorema, temos como primeiro resultado desta dissertaça˜ o uma proposta geral para análise de influência ˜ lineares hoquando o espaço de perturbaça˜ o e´ sujeito a um conjunto de restriçoes mogêneas. O segundo resultado que apresentamos e´ uma proposta de análise de in˜ para modelos multivariados. Por ultimo, ´ fluência de observaçoes analisamos um conjunto de dados reais com o modelo de regressão Dirichlet, para o qual encontramos uma observaça˜ o que se destaca das outras em todos os esquemas de perturbaça˜ o, além ˜ correspondentes a valores maiores das variáveis de verificarmos que as observaçoes explicativas são as mais influentes..

(14) ´ ˜ CAPITULO 1. INTRODUC ¸ AO. 1.1.1. 3. Organiza¸ca˜ o da disserta¸ca˜ o. A estrutura do restante desta dissertaça˜ o está organizada da seguinte forma. No ˜ beta e Dirichlet, assim como algumas Cap´ıtulo 2 estão apresentadas as distribuiçoes ˜ propriedades destas distribuiçoes. No Cap´ıtulo 3 está apresentada a construça˜ o da curvatura normal conforme, a contribuiça˜ o agregada individual dos vetores de per´ turbaça˜ o básicos, o Teorema que enunciamos e demonstramos, e, por ultimo a nossa proposta de análise de influência para modelos multivariados. No Cap´ıtulo 4 apresentamos a análise de influência aplicada ao modelo de regressão Dirichlet para um con˜ desta dissertaça˜ o são junto de dados reais tomado de Aitchison (2003). As conclusoes apresentadas no Cap´ıtulo 5. Finalmente, no Apêndice A estão apresentados os cálculos das derivadas necessárias para fazer a análise de influência segundo cada esquema de perturbaça˜ o, no Apêndice B está apresentado o conjunto de dados reais estudado e o Apêndice C apresenta o programa utilizado para fazer a análise de influência no modelo de regressão Dirichlet.. 1.1.2. Suporte computacional. As ferramentas computacionais utilizadas no desenvolvimento desta dissertaça˜ o foram a linguagem de programaça˜ o matricial Ox em sua versão 3.40 e o programa R em sua versão 2.0.1. Ox está disponivel gratuitamente para uso acadêmico no site http://www.nuff.ox.ac.uk/Users/Doornik e possui uma abrangente biblioteca de fun˜ estat´ısticas e matemáticas. Os gráficos apresentados nesta dissertaça˜ o foram feitos çoes utilizando a ferramenta computacional R.. 1.2 Preliminares Uns dos principais problemas da Inferência Estat´ıstica e´ a estimaça˜ o de parâmetros, pois, na Inferência Paramétrica, para inferir sobre o comportamento de uma populaça˜ o a partir do conhecimento de uma amostra, e´ necessario encontrar estimadores dos ´ parâmetros. Mais especificamente, dado um vetor aleatorio (Y1 , · · · , Y N ), com dis-.

(15) ´ ˜ CAPITULO 1. INTRODUC ¸ AO. 4. tribuiça˜ o conjunta conhecida e caracterizada por uma funça˜ o de probabilidade ou y ; θ ), dependente de um vetor de parâmetros desconhecide densidade conjunta f (∼ ∼ θ, ∼ θ ∈ Θ ⊂ R p , a tarefa de fazer inferência inclui estimar o valor deste vetor dos ∼ de parâmetros. Para este fim, na literatura estat´ıstica existem diversos métodos que podem ser usados, uns dos métodos mais aplicados sendo a estimaça˜ o por máxima verossimilhança. Os estimadores de máxima verossimilhança podem ser calculados através da soluça˜ o de um problema de otimizaça˜ o; em alguns casos este problema ˜ porém, pode ser transformado em um problema de soluça˜ o de um sistema de equaçoes, e´ muito comum que os estimadores de máxima verossimilhança não possuam forma fechada. Assim, as estimativas devem ser obtidas a partir da maximizaça˜ o numérica da funça˜ o de verossimilhança ou da funça˜ o de log-verossimilhança.. 1.2.1. Estimadores de máxima verossimilhan¸ca. O método de máxima verossimilhança objetiva escolher os valores dos parâmetros que dão a chance mais provável de que novamente ocorram os fatos que ocorreram. A y = (y1 , . . . , y N ), e´ definida θ , baseada na observaça˜ o ∼ funça˜ o de verossimilhança para ∼ como y ) = f ( y , θ ), θ ∈ Θ, θ ) ≡ L(∼ θ;∼ L(∼ ∼ ∼ ∼ y fixo. Dada a funça˜ o L( θ ), o estimador de θ para ∼ sendo interpretada como funça˜ o de ∼ ∼ b θ e´ o valor que maximiza a funça˜ o de verossimilhança L(∼ θ ). máxima verossimilhança ∼ Formalmente, o estimador de máxima verossimilhança e´ definido como a variável ´ aleatoria b θ = argmax L(∼ θ ). ∼ θ ∈Θ ∼. Geralmente o processo de maximizaça˜ o e´ melhor conduzido trabalhando-se com o θ ) = log( L(∼ θ )). logaritmo natural da funça˜ o de verossimilhança, denotado por l (∼ θ ) e l (∼ θ ) em Θ são ´ Como a funça˜ o logaritmo e´ monotona crescente, maximizar L(∼ θ) ˜ são independentes segue-se que l (∼ processos equivalentes. Quando as observaçoes. θ ), onde f i representa a densidade individual θ ) = ∑iN=1 log f i (yi ; ∼ e´ aditiva, ou seja, l (∼ da observaça˜ o i..

(16) ´ ˜ CAPITULO 1. INTRODUC ¸ AO. 5. 1.3 Otimiza¸ca˜ o não-linear em inferência estat´ıstica Para encontrar as estimativas de máxima verossimilhança em modelos estat´ısticos e´ preciso fazer maximizaça˜ o de uma funça˜ o espec´ıfica. Quando o estimador de máxima verossimilhança não possui forma fechada, as estimativas devem ser obtidas a partir da maximizaça˜ o numérica da funça˜ o de verossimilhança ou da funça˜ o de log´ verossimilhança. Para este proposito, algoritmos iterativos podem ser empregados. A literatura divide as técnicas de maximizaça˜ o em classes, sendo as mais utilizadas a classe de métodos gradiente e a classe de algoritmos quasi-Newton. Na primeira classe se faz uso da matriz hessiana e os métodos mais conhecidos são steepest ascent, NewtonRaphson e escore de Fischer. A segunda classe elimina a necessidade do cálculo de segundas derivadas, pois usa uma aproximaça˜ o da matriz hessiana constru´ıda de forma iterativa. Entre os algoritmos que pertencem a esta classe tem-se o algoritmo DFP (Davidon, Fletcher e Powell) e o algoritmo BFGS (Broyden, Fletcher, Goldfarb e Shanno). No decorrer deste trabalho usa-se a técnica de maximizaça˜ o BFGS..

(17) Cap´ıtulo 2 O modelo de regressão Dirichlet Os modelos de regressão dão aos pesquisadores ferramentas poderosas que per˜ entre variáveis, e fazer prediçoes ˜ de eventos do pasmitem estudar e modelar relaçoes sado, do presente ou do futuro usando a informaça˜ o do passado ou presente. Por isto, ´ são largamente utilizados em muitas a´ reas do conhecimento, tais como: saude, biologia, agronomia, computaça˜ o, administraça˜ o, engenharias, sociologia, etc. Durante muitos anos, os modelos normais lineares foram utilizados para descrever a maioria ˆ ´ ˆ dos fenomenos aleatorios, mesmo quando o fenomeno sob estudo apresentava uma resposta para a qual não fosse razoável a suposiça˜ o de normalidade ou que estivesse restrita ao intervalo (0,1). No primeiro caso tentava-se algum tipo de transformaça˜ o no sentido de alcançar a normalidade procurada, e, no segundo, uma possibilidade era transformar a variável resposta para que assumisse valores na reta real e então modelar a média da resposta transformada com um preditor linear baseado em um conjunto de variáveis explicativas. Porém, sob esta modelagem os parâmetros do modelo nem sempre podem ser facilmente interpretados em termos da resposta original; além ˜ tipicamente apresentam assimetria. Assim, inferências baseadas disso, as proporçoes na suposiça˜ o de normalidade podem estar erradas. Uma proposta muito interessante e inovadora no assunto foi apresentada por Nelder e Wedderburn (1972), que propuseram os modelos lineares generalizados ˜ para a distribuiça˜ o da (MLGs). A idéia básica consiste em abrir o leque de opçoes variável resposta, permitindo que a mesma pertença a` fam´ılia exponencial de dis6.

(18) ´ ˜ DIRICHLET CAPITULO 2. O MODELO DE REGRESSAO. 7. ˜ tribuiçoes, bem como dar maior flexibilidade para a relaça˜ o funcional entre a média da variável resposta e o preditor linear. Uma outra posibilidade são os modelos aditivos generalizados, veja Hastie & Tibshirani (1990).. 2.1 Modelo beta ´ A distribuiça˜ o beta e´ uma das mais usadas para modelar experimentos aleatorios que produzem resultados no intervalo (0, 1) devido a` grande flexibilidade de ajuste de seus parâmetros. Ferrari & Cribari-Neto (2004) usam uma parametrizaça˜ o definida ˜ pela média e por um parâmetro de dispersão para a modelagem de taxas e proporçoes. Achcar & Netto (2003) estudam a prevalência da tuberculose usando métodos bayesianos onde a distribuiça˜ o beta e´ tomada como distribuiçao a priori. Bury (1999) lista um ˜ da distribuiça˜ o beta em engenharia. Janardan & Padmanabhan conjunto de aplicaçoes ´ (1986) modelam variáveis hidrologicas usando a distribuiça˜ o beta. Mc-Nally (1990) utiliza a distribuiça˜ o beta no estudo de algumas variáveis que afetam a reprodutibilidade de vacas. Graham & Hollands (1990) e Milyutin & Yaromenko (1991) usam a distribuiça˜ o beta para estudar ´ındices relacionados a` transmissão de radiaça˜ o solar. Wiley, Herschokoru & Padiau (1989) desenvolvem um modelo beta para estimar a probabilidade de transmissão de HIV durante o contato sexual entre um indiv´ıduo infectado e um indiv´ıduo sadio. A seguir, consideram-se algumas propriedades da distribuiça˜ o beta, como sua funça˜ o de densidade e seus primeiros momentos.. 2.1.1. Defini¸ca˜ o e estima¸ca˜ o. ´ Seja Y uma variável aleatoria cont´ınua. Diz-se que Y tem distribuiça˜ o beta com parâmetros α1 , α2 > 0, denotado por Y∼ β(α1 , α2 ), se sua funça˜ o de densidade e´ da seguinte forma. f (y; α1 , α2 ) =. Γ ( α 1 + α 2 ) α1 −1 y (1 − y)α2 −1 I(0,1) (y), Γ ( α1 ) Γ ( α2 ). (2.1).

(19) ´ ˜ DIRICHLET CAPITULO 2. O MODELO DE REGRESSAO onde Γ(.) e´ a funça˜ o gama, definida como Γ(t) =. R∞ 0. 8. yt−1 e−y dy e I A (.) representa a. funça˜ o indicadora, que para um conjunto A ⊂ R corresponde a  1 se x ∈ A, I A (x) = 0 se x ∈ / A. ˜ não-negativas; além disso, Note inicialmente que f (y) ≥ 0, pois e´ o produto de funçoes R∞ −∞ f (y ) dy = 1. De fato, Z ∞ −∞. f (y)dy =. Z 1 Γ ( α 1 + α 2 ) α1 −1 y (1 − y)α2 −1 dy,. Γ ( α1 ) Γ ( α2 ) Z Γ ( α 1 + α 2 ) 1 α1 −1 = y (1 − y)α2 −1 dy. Γ ( α1 ) Γ ( α2 ) 0 0. (2.2). Usando a funça˜ o Beta definida por B( a, b) =. 1. Z c. c a + b −1. 0. y a−1 (c − y)b−1 dy,. ∀c > 0. (2.3). e a seguinte propriedade desta funça˜ o: B( a, b) =. Γ( a)Γ(b) , Γ( a + b). (2.4). tem-se que para c = 1, a = α1 e b = α2 , Z 1 0. yα1 −1 (1 − y)α2 −1 dy =. portanto, temos na equaça˜ o (2.2) que. R∞ −∞. Γ ( α1 ) Γ ( α2 ) , Γ ( α1 + α2 ). f (y)dy = 1. Logo, a funça˜ o f (.) e´ efetiva-. mente uma funça˜ o de densidade. O momento de ordem n em torno de zero da distribuiça˜ o β(α1 , α2 ) e´ obtido como.

(20) ´ ˜ DIRICHLET CAPITULO 2. O MODELO DE REGRESSAO. 9. segue: n. E (Y ) =. =. Z 1 0. Z 1 0. yn f (y)dy, yn. Γ ( α 1 + α 2 ) α1 −1 y (1 − y)α2 −1 dy, Γ ( α1 ) Γ ( α2 ). Γ ( α1 + α2 ) = Γ ( α1 ) Γ ( α2 ). Z 1 0. yn+α1 −1 (1 − y)α2 −1 dy,. =. Γ ( α1 + α2 ) B ( n + α1 , α2 ), Γ ( α1 ) Γ ( α2 ). =. Γ ( α1 + α2 ) Γ ( n + α1 ) Γ ( α2 ) , Γ ( α1 ) Γ ( α2 ) Γ ( n + α1 + α2 ). =. Γ ( α1 + α2 ) Γ ( n + α1 ) . Γ ( α1 ) Γ ( n + α1 + α2 ). Esta expressão pode ser simplificada usando a propriedade da funça˜ o gama que afirma que Γ(z + 1) = zΓ(z), ∀z > 0. Assim, E (Yn ) =. α1 (α1 + 1)(α1 + 2) · · · (α1 + n − 1) . (α1 + α2 )(α1 + α2 + 1)(α1 + α2 + 2) · · · (α1 + α2 + n − 1). Da´ı, pode-se encontrar que a média e a variância da variável Y com distribuiça˜ o β(α1 , α2 ) são respectivamente E (Y) =. α1 , α1 + α2. V (Y) =. α1 α2 2 ( α1 + α2 ) ( α1 + α2. + 1). .. Os parâmetros α1 e α2 são parâmetros de ajuste, pois através dos diferentes valo˜ no intervalo (0, 1). res dados para α1 e α2 podem ser obtidas diferentes distribuiçoes Quando α1 = α2 = 1/2 a distribuiça˜ o beta e´ conhecida como “distribuiça˜ o arco ´ seno”, a qual e´ de grande utilidade no estudo de passeios aleatorios. No caso em que ˜ “arco seno generalizadas”. As denα1 + α2 = 1 com α1 6= 1/2 tem-se as distribuiçoes sidades simétricas em torno de 1/2 correspondem a α1 = α2 e quando α1 = α2 = 1 tem-se a conhecida distribuiça˜ o uniforme no intervalo (0, 1). Assim, a distribuiça˜ o beta ˜ e´ na realidade uma fam´ılia de distribuiçoes, isto pode ser observado na Figura 2.1..

(21) ´ ˜ DIRICHLET CAPITULO 2. O MODELO DE REGRESSAO. 10. 4. 5. Figura 2.1.1: Gráfico da densidade beta para diferentes valores de α1 e α2 .. 3. (1,7). (20,20). (7,1). (0.5,0.5) (5, 2). 2. f(y). (2, 5). 0. 1. (1, 1). 0.0. 0.2. 0.4. 0.6. 0.8. 1.0. y. Note-se que a` medida que os parâmetros α1 e α2 aumentam, a variabilidade da densidade diminui; este fato e´ confirmado pela expressão da variância. Para encontrar os estimadores de máxima verossimilhança dos parâmetros α1 e α2 e´ necessário encontrar a funça˜ o de verossimilhança e a seguir encontrar os valores dos parâmetros que maximizam esta funça˜ o. Para isto se procede da seguinte maneira. ´ Sejam Y1 , · · · , Y N , variáveis aleatorias independentes, onde Yi ∼ β(α1 , α2 ), para i = 1, · · · , N, e sejam y1 , · · · , y N os valores observados destas variáveis. Então a funça˜ o de verossimilhança e´ dada pela seguinte expressão N. L ( α1 , α2 ) =. ∏ i =1. N. f ( y i ; α1 , α2 ) =. Γ ( α1 + α2 ). α −1. ∏ Γ ( α1 ) Γ ( α2 ) y i 1 i =1. ( 1 − y i ) α2 −1 ..

(22) ´ ˜ DIRICHLET CAPITULO 2. O MODELO DE REGRESSAO. 11. Logo a funça˜ o de log-verossimilhança e´ da forma ½. N. `(α1 , α2 ) = log( L(α1 , α2 )) =. ∑ log. i =1 N. =. ∑. ½. µ log. Γ ( α1 + α2 ) Γ ( α1 ) Γ ( α2 ). µ. ¶. i =1. = N log. Γ ( α1 + α2 ) Γ ( α1 ) Γ ( α2 ). Γ ( α 1 + α 2 ) α1 −1 yi ( 1 − y i ) α2 −1 Γ ( α1 ) Γ ( α2 ). ¾. ¶. ¾. + (α1 − 1) log yi + (α2 − 1) log(1 − yi ) N. N. i =1. i =1. + (α1 − 1) ∑ log yi + (α2 − 1) ∑ log(1 − yi ).. Dessa forma, µ. `(α1 , α2 ) = N log. Γ ( α1 + α2 ) Γ ( α1 ) Γ ( α2 ). ¶. + ( α 1 − 1 ) g 1 + ( α 2 − 1 ) g2. onde g1 = ∑iN=1 log yi e g2 = ∑iN=1 log(1 − yi ). Os estimadores de máxima verossimilhança αb1 , αb2 são obtidos pela soluça˜ o do sistema não linear. N (ψ(α1 ) − ψ(α1 + α2 )) = g1 , N (ψ(α2 ) − ψ(α1 + α2 )) = g2 ,. onde ψ(.) e´ a funça˜ o digamma, ou seja, ψ(z) =. d log Γ(z) dz. para z > 0.. 2.2 Modelo Dirichlet A distribuiça˜ o Dirichlet e´ uma generalizaça˜ o multivariada da distribuiça˜ o beta que ˜ oferece muita flexibilidade e facilidade de uso. Em contraste com outras distribuiçoes, ´ a distribuiça˜ o Dirichlet permite multiplas assimetrias e simetrias; de fato, pode ser viesada a` direita, viesada a` esquerda ou simétrica. Existe uma grande quantidade de ´ trabalhos teoricos que envolvem a distribuiça˜ o Dirichlet, porém, são poucos os traba˜ práticas. Esta falha pode ser devida ao fato de lhos que têm sido feitos em aplicaçoes que esta distribuiça˜ o não e´ familiar para muitos cientistas. Entretanto, Bouguila, Ziou.

(23) ´ ˜ DIRICHLET CAPITULO 2. O MODELO DE REGRESSAO. 12. ˜ & Vaillancourt (2004) propoem um modelo para estimar os parâmetros de misturas ˜ tais como estimaça˜ o de hisde Dirichlet e testam o método para diferentes aplicaçoes togramas, descriça˜ o sucinta de dados de imagem via retença˜ o eficiente de informaça˜ o e deteça˜ o de pele humana em conjuntos de dados de multimidia. Bouguila & Ziou (2004) apresentam um modelo misto robusto de probabilidade baseado em uma generalizaça˜ o da distribuiça˜ o Dirichlet, neste caso, a proposta para estudar os parâmetros de um modelo Dirichlet misto e´ baseada em métodos de máxima verossimilhança e Fisher escore e os resultados experimentais envolvem modelamento da cor da pele hu˜ a` deteça˜ o da pele em imagens. Esta distribuiça˜ o e´ também de grande mana e aplicaçoes utilidade na estat´ıstica bayesiana. Merwe & Pretorius (2003) apresentam um estudo de estimaça˜ o bayesiana na reproduça˜ o de animais usando um processo de Dirichlet a ´ priori para os efeitos aleatorios correlacionados. Boys, Henderson & Wilkinson (2000) apresentam uma soluça˜ o bayesiana ao problema da detecça˜ o de segmentos homogêneos de DNA usando como informaça˜ o a priori a distribuiça˜ o Dirichlet. Mazzuchi & Soyer (1993) apresentam uma proposta completa baseada em uma versão bayesiana do modelo de crescimento-confiabilidade de Barlow-Scheuer para analisar a confiabilidade de produtos durante o desenvolvimento da fase, a distribuiça˜ o Dirichlet sendo usada como distribuiça˜ o a priori para uma transformaça˜ o das probabilidades de fracasso.. 2.2.1. Defini¸ca˜ o e estima¸ca˜ o. Defini¸ca˜ o 1. Sejam Y1 , · · · , Y p variáveis aleatórias.. Diz-se que o vetor aleatório. (Y1 , · · · , Y p−1 ), com Y1 + · · · + Y p = 1, tem distribui¸ca˜ o Dirichlet com parâmetros α1 > 0, · · · , α p > 0, se sua fun¸ca˜ o de densidade e´ da forma. f ( y 1 , . . . , y p −1 ; α 1 , . . . , α p ) =.  p Γ(∑ α)   p j =1 j ∏ p −1 y j α j −1 ( 1 − ∑ p −1 y j ) α p − 1 j =1 j =1 Γ(α ) ∏. y ∈ S, se ∼.  0. y∈ / S, se ∼. j =1. j. y = (y1 , . . . , y p−1 ) e S e´ a região dada por onde ∼ ( S=. ( y 1 , . . . , y p −1 ) ∈ R p −1 ; y j > 0 e. p −1. ∑ yj < 1. j =1. ) .. (2.5).

(24) ´ ˜ DIRICHLET CAPITULO 2. O MODELO DE REGRESSAO. 13. ˜ positivas em S Note inicialmente que f (y1 , . . . , y p−1 ) ≥ 0, pois e´ o produto de funçoes p −1. e (1 − ∑ j=1 y j ) > 0. Além disso, Z. Z. ···. f (y1 , . . . , y p−1 ; α1 , . . . , α p )dy1 . . . dy p−1 = 1.. R p −1. ˜ mostra-se para o caso em que p = 3; a prova para o Por simplicidade nas operaçoes caso geral e´ uma simples generalizaça˜ o. Então, se quer provar que. Z ∞ Z ∞ −∞ −∞. f (y1 , y2 ; α1 , α2 , α3 )dy1 dy2 = 1,. Tem-se que. Z ∞ Z ∞ −∞ −∞. f (y1 , y2 ; α1 , α2 , α3 )dy1 dy2 =. 1 Z 1− y2 2. Γ(∑3j=1 α j ) Z ∏3j=1 Γ(α j ). 0. ∏ y j α j −1. 0. j =1. 2. (1 − ∑ y j )α3 −1 dy1 dy2 j =1. Γ ( α1 + α2 + α3 ) = Γ ( α1 ) Γ ( α2 ) Γ ( α3 ) Γ ( α1 + α2 + α3 ) = Γ ( α1 ) Γ ( α2 ) Γ ( α3 ). Z 1 Z 1− y2 0. 0. y1α1 −1 y2α2 −1 (1 − y1 − y2 )α3 −1 dy1 dy2. Z 1 · Z 1− y2 0. 0. ¸ y1α1 −1 (1 − y1. − y2 ). α3 −1. dy1 y2α2 −1 dy2 .. (2.6). Lembrando a definiça˜ o da funça˜ o beta B( a, b) em (2.3) e considerando a = α1 , b = α3 e c = 1 − y2 , tem-se que Z 1− y2 0. y1α1 −1 (1 − y1 − y2 )α3 −1 dy1 = B(α1 , α3 )(1 − y2 )(α1 +α3 −1) .. Substituindo este resultado, (2.6) pode ser escrita como Γ ( α1 + α2 + α3 ) B ( α1 , α3 ) Γ ( α1 ) Γ ( α2 ) Γ ( α3 ). Z 1 0. y2α2 −1 (1 − y2 )(α1 +α3 −1) dy2. e recorrendo novamente a` funça˜ o beta B( a, b) com a = α2 , b = α1 + α3 e c = 1 tem-se que. Z 1 0. y2α2 −1 (1 − y2 )(α1 +α3 −1) dy2 = B(α2 , α1 + α3 )..

(25) ´ ˜ DIRICHLET CAPITULO 2. O MODELO DE REGRESSAO. 14. Portanto, Z ∞ Z ∞ −∞ −∞. Γ ( α1 + α2 + α3 ) B ( α1 , α3 ) B ( α2 , α1 + α3 ). Γ ( α1 ) Γ ( α2 ) Γ ( α3 ). f (y1 , y2 ; α1 , α2 , α3 )dy1 dy2 =. Aplicando a propriedade da funça˜ o beta em (2.4) Z ∞ Z ∞ −∞ −∞. f (y1 , y2 ; α1 , α2 , α3 )dy1 dy2 =. =. Γ ( α1 + α2 + α3 ) Γ ( α1 ) Γ ( α3 ) Γ ( α2 ) Γ ( α1 + α3 ) , Γ ( α1 ) Γ ( α2 ) Γ ( α3 ) Γ ( α1 + α3 ) Γ ( α1 + α2 + α3 ) Γ ( α1 + α2 + α3 ) Γ ( α1 ) Γ ( α2 ) Γ ( α3 ) = 1. Γ ( α1 ) Γ ( α2 ) Γ ( α3 ) Γ ( α1 + α2 + α3 ). ¤ X Portanto, pode-se concluir que a funça˜ o dada em (2.5) e´ efetivamente uma funça˜ o de densidade. A seguir serão apresentadas algumas propriedades da Distribuiça˜ o Dirichlet, como as médias, as variâncias e covariâncias. Começando pelo momento de ordem n em torno de zero na distribuiça˜ o Dirichlet, tem-se que E(Ynj ) =. Γ ( α1 + · · · + α p ) Γ ( α j + 1) , com j = 1, · · · , p. Γ ( α1 + · · · + α p + n ) Γ ( α j ). Da´ı, o valor esperado de Y j , com j = 1, · · · , p e´ E (Y j ) =. αj , p ∑ t =1 α t. a variância de Y j , com j = 1, · · · , p, corresponde a V (Y j ) = E (Y j 2 ) − E (Y j )2. =. α j ( α j + 1) p. p. (∑t=1 αt )(∑t=1 αt + 1). −. α2j p. ( ∑ t =1 α t ) 2. p. =. α j ( ∑t6= j αt ) p. p. ( ∑ t =1 α t ) 2 ( ∑ t =1 α t + 1 ). e a covariância entre Y j e Y j∗ , com j 6= j∗, j, j∗ = 1, · · · , p e´ Cov(Y j , Y j∗ ) = −. α j α j∗ p p 2 ( ∑ t =1 α t ) ( ∑ t =1 α t. + 1). .. (2.7).

(26) ´ ˜ DIRICHLET CAPITULO 2. O MODELO DE REGRESSAO. 15. ´ Sejam (Yi1 , . . . , Yip ), i = 1, · · · , N, N vetores aleatorios independentes com distribuiça˜ o Dirichlet e parâmetros αi1 , . . . , αip , com funça˜ o de densidade dada por (2.5). ´ Então, a log-densidade para cada vetor aleatorio e´ dada pela seguinte expressão Ã ! p. ì (αi1 , . . . , αip ) = log Γ. p. ∑ αij. j =1. p. − ∑ log Γ(αij ) + ∑ (αij − 1) log yij ; j =1. i = 1, . . . , N.. j =1. (2.8) Assim, a funça˜ o de log-verossimilhança e´ dada por N. αp) = α1 , · · · , ∼ `(∼. ∑ ì (αi1, . . . , αip ),. i =1. α1 = (α11 , . . . , α N1 )> , . . . , ∼ α p = (α1p , . . . , α N p )> , ou seja, onde ∼ ( Ã ! p. N. α1 , . . . , ∼ αp) = `(∼. ∑. i =1. log Γ. p. ∑ αij. j =1. p. − ∑ log Γ(αij ) + ∑ (αij − 1) log yij j =1. ) .. (2.9). j =1. ´ Para obter uma estrutura de regressão que permita modelar variáveis aleatorias regidas pela distribuiça˜ o Dirichlet, considera-se αij = g(ηij ), onde ηij = xi1 β 1j +. · · · + xik β kj ; xi1 , . . . , xik são k covariáveis, β 1j , . . . , β kj são os parâmetros da regressão j = 1, · · · , p e g(.) e´ uma funça˜ o de ligaça˜ o conhecida que assume valores reais em ˆ (0, ∞), estritamente monotonica e duas vezes diferenciável; neste trabalho considerase g(ηij ) = eηij . Ou seja, a média µij de cada Yij pode ser escrita como µij =. g(ηij ) . g(ηi1 ) + · · · + g(ηip ). A parametrizaça˜ o do modelo de regressão Dirichlet apresentada aqui corresponde ao modelo 2 proposto em Silva (2004), onde também e´ estudada outra parametrizaça˜ o em que se modela a média das variáveis resposta; este modelo e´ chamado naquele trabalho modelo 1. Nesta dissertaça˜ o não consideramos o modelo 1 dado que pela construça˜ o daquele modelo se usa a média da variável Y1 para modelar a média da variável Y2 e assim por diante, criando uma hierarquia entre as componentes. Nas Figuras 2.2.1 e 2.2.2 estão apresentados os gráficos das densidades Dirichlet quando p e´ três, para diferentes valores dos parametros α1 , α2 e α3 . Note-se que a` medida que os parâmetros aumentam, a variabilidade da densidade diminui; este fato pode ser verificado pela expressão da variância..

(27) ´ ˜ DIRICHLET CAPITULO 2. O MODELO DE REGRESSAO. 16. Figura 2.2.1: Gráficos das densidades Dirichlet quando p = 3 para diferentes valores de α1 , α2 e α3 .. (0.5, 0.5, 10). (1, 1, 1). y2. y2. f(y1,y2). f(y1,y2). y1. y1. (0.4, 0.4, 0.4). (0.7, 1, 1). y1. y2. y2. f(y1,y2). f(y1,y2). y1.

(28) ´ ˜ DIRICHLET CAPITULO 2. O MODELO DE REGRESSAO. 17. Figura 2.2.2: Gráficos das densidades Dirichlet quando p = 3 para diferentes valores de α1 , α2 e α3 .. (0.5, 0.5, 10). (1, 1, 1). y2. y2. f(y1,y2). f(y1,y2). y1. y1. (0.4, 0.4, 0.4). (0.7, 1, 1). y1. y2. y2. f(y1,y2). f(y1,y2). y1.

(29) Cap´ıtulo 3 Curvatura normal conforme e influência local ´ ´ Um topico importante na análise de diagnostico em regressão e´ a detecça˜ o de ob˜ influentes, ou seja, de pontos que podem exercer forte influência nas estiservaçoes mativas dos coeficientes da regressão. Durante a década de 70 surgiram várias pro˜ nas estimativas dos coeficientes postas relacionadas com a influência das observaçoes do modelo normal linear. A eliminaça˜ o de pontos talvez seja a técnica mais conhecida para avaliar o impacto de uma observaça˜ o particular nas estimativas da regressão. Um problema que pode ocorrer com a retirada individual de pontos e´ o que se denomina em inglês masking effect, ou seja, deixar de detectar pontos conjuntamente discrepantes. ˜ avaUma das idéias mais inovadoras foi apresentada por Cook (1986), que propoe ˜ sob pequenas perturbaçoes ˜ nos dados ou no liar a influência conjunta das observaçoes ˜ modestas causam modelo, isto e´ , verificar a existência de pontos que sob modificaçoes ˜ desproporcionais nos resultados, ao invés da avaliaça˜ o pela retirada indivariaçoes vidual ou conjunta de pontos. Este método se denomina influência local e teve uma grande receptividade entre os usuários e pesquisadores da a´ rea de regressão, motivando muitos artigos onde se aplica a metodologia em modelos particulares ou se ˜ extensoes ˜ da técnica. Por exemplo, Galea, Paula & Bolfarine (1997), Liu (2000) propoe e Galea, Paula & Uribe-Opazo (2003) apresentam estudos de influência local em modelos el´ıpticos lineares e novamente Liu (2002) apresenta um estudo da influência lo18.

(30) ´ ˆ CAPITULO 3. CURVATURA NORMAL CONFORME E INFLUENCIA LOCAL. 19. cal destes modelos no caso multivariado, enquanto Kwan & Fung (1998) aplicam a ˆ metodologia em análise fatorial, Gu & Fung (1998) em análise de correlaça˜ o canonica, ´ Paula (1996) em modelos proprios de dispersão, Ortega, Bolfarine & Paula (2003) em modelos log-gama generalizados com dados censurados, Jansen, Molenberghs, Aerts, Thijs & Steen (2003) em um estudo psiquiátrico de dados binários e Shi & Wang (1999) em regressão ridge. Na classe de erros normais, Lawrence (1988) investiga a aplicaça˜ o de influência local em modelos lineares com parâmetros na transformaça˜ o da resposta, Beckman, Nachtsheim & Cook (1987) apresentam estudos de influência em modelos de análise de variância com efeito misto, Tsai & Wu (1992) investigam influência local em modelos auto-regressivos de primeira ordem e modelos heteroscedásticos e Paula ˜ nos parâmetros na (1993) aplica influência local em modelos lineares com restriçoes forma de desigualdades lineares. Para maiores detalhes veja Paula (2004), Cook & Weisberg (1982) e Wei (1998). Mais especificamente, o conceito de influência local está baseado na curvatura da superf´ıcie de log-verossimilhança. Apesar do método de Cook, baseado na curvatura normal, ser de grande utilidade, apresenta alguns inconvenientes; por exemplo, a curvatura normal pode tomar qualquer valor e não e´ invariante sob uma mudança uniforme de escala. Assim, não foi ao princ´ıpio proposto um critério objetivo para avaliar a grandeza da curvatura normal. Com o decorrer do tempo, diferentes autores tentaram dar uma soluça˜ o a este problema; por exemplo, Fung & Kwan (1997) apresentam uma discussão do uso da influência local baseada na curvatura normal calculada a partir da perturbaça˜ o de outras quantidades além da verossimilhança deslocada, tais como estimadores de parâmetros ou estat´ısticas de teste. Eles encontraram que a influência local baseada na curvatura normal não e´ suficientemente bem fun´ damentada para gerar resultados uteis quando a primeira derivada com respeito aos parâmetros de perturbaça˜ o não e´ nula. Schall & Dunne (1992) mostraram que existe uma relaça˜ o ´ıntima entre os conceitos de colinearidade de parâmetros e influência local ´ em diagnostico de regressão, e introduziram uma modificaça˜ o da curvatura normal de Cook, a saber, a curvatura escalonada. Poon & Poon (1999) constru´ıram uma medida que e´ uma funça˜ o injetiva da curvatura normal assumindo valores no intervalo [0, 1], chamada curvatura normal conforme, e, sobre esta medida constru´ıram a contribuiça˜ o agregada para cada vetor de perturbaça˜ o básico, fornecendo um ponto de partida.

(31) ´ ˆ CAPITULO 3. CURVATURA NORMAL CONFORME E INFLUENCIA LOCAL. 20. objetivo para julgar a grandeza da curvatura.. 3.1 Influência local θ ) a log-verossimilhança para um modelo postulado, onde ∼ θ ∈ R p e´ um Seja `(∼ θ|∼ w ) a log-verossimilhança corresponvetor de parâmetros desconhecidos. Seja `(∼. w dado, onde ∼ w ∈ Ω, Ω ⊂ Rr representando o dente ao modelo perturbado para um ∼ ˜ relevantes ( r não necessariamente representa o tamanho da conjunto de perturbaçoes b w0 tal que `(∼ θ|∼ w0 ) = `(∼ θ ) para todo ∼ θ . Sejam ∼ θ e amostra). E´ assumido que existe ∼ c θw os estimadores de máxima verossimilhança de ∼ θ sob `(∼ θ|∼ w0 ) e `(∼ θ|∼ w ) respectiva∼ w poderia ser estudada mente. Cook (1986) sugeriu que a influência da perturbaça˜ o ∼ usando a funça˜ o de verossimilhança deslocada ³ ´ b c w ) = 2 `(∼ θ ) − `(∼ θw ) . LD (∼ (3.1) w podem ser representados por uma superf´ıcie Os valores de LD como uma funça˜ o de ∼ w , LD (∼ w )); LD (∼ w ) tem um valor m´ınimo de 0 em ∼ w =∼ w0 . O comportade pontos (∼ ˜ planas, isto e´ , considerando seus valores mento de (3.1) e´ investigado tomando seçoes d passando por ∼ w0 , ou seja, ao longo de uma reta em Ω na direça˜ o de um vetor unitário ∼ w ( a) = ∼ w0 + a∼ d , a ∈ R. O resultado e´ uma curva plana ( a, LD (∼ w ( a))) cujo ao longo de ∼ comportamento como uma funça˜ o de a e em torno de a = 0 e´ estudado. A curvatura d no ponto ∼ w =∼ w0 e´ estudada por Cook (1986) como uma medida normal na direça˜ o ∼ de influência e e´ dada por d > F¨ ∼ d) C d = −2( ∼ (3.2) onde. ¯ c θw ) ¯¯ ∂2 `(∼ F¨ = ¯ w ∂∼ w> ¯ ∂∼. k · k denotando a norma euclideana. e. d k = 1, k∼. w =∼ w0 ∼ em Rr .. Sejam as matrizes ∆ e L¨ definidas como ¯ θ|∼ w ) ¯¯ ∂2 `(∼ , ∆= ¯ θ ∂∼ w> ¯ ∂∼ b θ =∼ θ, ∼ w =∼ w0 ∼. ¯ θ|∼ w ) ¯¯ ∂2 `(∼ L¨ = ; ¯ θ ∂∼ θ> ¯ = b , = ∂∼ θ ∼ θ ∼ w ∼ w0 ∼.

(32) ´ ˆ CAPITULO 3. CURVATURA NORMAL CONFORME E INFLUENCIA LOCAL. 21. então, segundo Cook (1986), a equaça˜ o (3.2) pode ser escrita como ¯ ¯ ¯ d >∆> ( L¨ )−1 ∆ ∼ d )¯ C d = −2( ∼ . ¯ b θ =∼ θ, ∼ w =∼ w0 ∼. Cook (1986) sugeriu que a direça˜ o dmax da curvatura máxima C max contém valiosa ´ informaça˜ o sobre diagnostico. A curvatura máxima e´ igual ao maior autovalor λmax de −∆> ( L¨ )−1 ∆ e dmax e´ o autovetor associado. Se o valor absoluto do i-ésimo elemento de dmax e´ o maior, então, deve prestar-se atença˜ o ao elemento perturbado por wi , a iw . Embora esta proposta seja muito util, ´ e´ sima componente do vetor ∼ apresenta alguns inconvenientes como os mencionados anteriormente. A seguir introduz-se a curvatura normal conforme proposta por Poon & Poon (1999), como uma poss´ıvel soluça˜ o para estes inconvenientes.. 3.2 Curvatura normal conforme d no ponto ∼ w =∼ w0 e´ definida por Poon A curvatura normal conforme Bd na direça˜ o ∼ ∼. & Poon (1999) como ¯ ¯ >¨ > > ¨ −1 ¯ ¯ d d d d F ( ∆ ( L ) ∆ ) ¯ ¯ ∼ ∼ ∼ ∼ Bd = − q = −q ¯ ¯ ∼ ¯ ¯ tr( F¨ 2 ) w = w0 tr{(∆> ( L¨ )−1 ∆)2 } θ = bθ , w = w0. (3.3). ∼ ∼ ∼ ∼. ∼ ∼. ¨ ∆, L¨ são definidas como na seça˜ o (3.1) e k d k=1. onde as matrizes F, ∼ Note-se da equaça˜ o (3.3) que o cálculo de Bd não requer mais esforço que o de C d . ∼. ∼. Além disso, a curvatura normal conforme desfruta de muitas propriedades, que são resumidas em poucos teoremas e estão apresentadas em Poon & Poon (1999). Duas destas propriedades são apresentadas a seguir. ˜ Seja Ω o conjunto de todas as perturbaçoes. Uma reparametrizaça˜ o e´ uma funça˜ o suave φ : Ω −→ Λ, Λ com a mesma dimensão de Ω, tal que a matriz jacobiana de ˜ como “modificaçoes ˜ do φ e´ não singular em todo Ω. Considera-se reparametrizaçoes esquema de perturbaça˜ o”. Além disso, diz-se que uma matriz M de dimensão r × r ´ e´ uma matriz conforme se existe um numero inteiro positivo a tal que MM> = aIr ,.

(33) ´ ˆ CAPITULO 3. CURVATURA NORMAL CONFORME E INFLUENCIA LOCAL. 22. onde Ir representa a matriz identidade de dimensão r × r. Uma reparametrizaça˜ o e´ w0 se a matriz jacobiana em ∼ w0 e´ uma matriz conforme; além disso, se conforme em ∼ w0 no gráfico de LD sobre uma reparametrizaça˜ o de Ω e´ conforme em um ponto cr´ıtico ∼ w0 e´ invariante sob a Ω, então a curvatura normal conforme em qualquer direça˜ o em ∼ w) = M ∼ w +c, tal reparametrizaça˜ o. Um exemplo de reparametrizaça˜ o conforme e´ φ(∼ que M e´ uma matriz conforme. d , Bd safisfaz a condiça˜ o 0 ≤ | Bd | ≤ 1, onde | · | representa Para qualquer direça˜ o ∼ ∼. ∼. a funça˜ o valor absoluto. Ou seja, Bd e´ uma medida normalizada e, assim, torna-se ∼ mais fácil interpretar seu valor. Ainda, se {λl , . . . , λr } são os autovalores da matriz F¨ e 1, . . . , ∼ e r }, tem-se que B e i e´ igual ao com correspondentes autovetores normalizados {∼ ∼ autovalor normalizado b λi , que corresponde a λ b . λi = p r i ∑n=1 λ2n Da´ı, ∑ri=1 B2e i = 1, e, assim, se a curvatura normal conforme e´ igual para todos os ∼. autovetores, então o valor comum e´. √1 . r. Com estas propriedades da curvatura nor-. mal conforme, a avaliaça˜ o da influência local pode ser feita de forma mais objetiva e sistemática.. 3.3 Avalia¸ca˜ o da influência local d são usadas para Como foi visto na seça˜ o (3.1), a curvatura normal C d e a direça˜ o ∼ ∼. avaliar a influência local. Mais especificamente, Cook (1986) sugeriu inspecionar o autovetor emax com máxima curvatura normal C max sem considerar seu tamanho, lem¨ Como a curvatura brando que C max e´ igual ao maior autovalor λmax da matriz − F. normal e a curvatura normal conforme diferem so´ por um fator positivo, as duas ´ curvaturas são medidas de diagnostico equivalentes e o autovetor emax dá também a máxima curvatura normal conforme. Entretanto, a curvatura normal conforme e´ preferida porque suas propriedades de invariância e natureza normalizada facilitam sua interpretaça˜ o. Todavia, a discussão na seça˜ o anterior sugere que um valor de referência para julgar o efeito de B e i e Bd em diferentes n´ıveis pode ser determinado ∼. ∼.

(34) ´ ˆ CAPITULO 3. CURVATURA NORMAL CONFORME E INFLUENCIA LOCAL. 23. usando o conceito geométrico de curvatura. Assim, a seguinte definiça˜ o e´ estabelee e´ q-influente se | B e | ≥ cida: um autovetor ∼ ∼. √q. r. .. 3.3.1 Influência de autovetor individual E1 , . . . , ∼ Er } a base canonica ˆ Um autovetor influente pode ser examinado. Seja ξ = {∼ Et de t-ésimo vetor de perturbaça˜ o básico do espaço de perturbade Rr . Chama-se ∼ ça˜ o. Para analisar a contribuiça˜ o de vetores de perturbaça˜ o básicos a` influência de um e , pode-se encontrar os vetores de perturbaça˜ o básicos que estão autovetor influente ∼ e. ´ proximos a∼ Sejam b λ1 , . . . , b λ r os autovalores normalizados de F¨ com correspondentes autovetores e 1, . . . , ∼ e r . Como ξ e´ uma base de Rr tem-se para cada i = 1, . . . , r normalizados ∼ r. e i= ∼. Et ; ∑ ait ∼. t =1. e i k = 1, então, ∑rt=1 a2it = 1. além disso, como k ∼ Da´ı, para cada i fixo, se a contribuiça˜ o de todos os ait e´ uniforme, então, | ait | =. √1 . r. Isto pode ser usado na construça˜ o de um ponto de referência para julgar a grandeza. e i e´ proxima Et se | ait | e´ proximo ´ ´ a` reta gerada por ∼ Além do mais, a reta gerada por ∼ de 1. Este método pode ser usado para estudar emax ou qualquer autovetor influente individual .. 3.3.2 Contribui¸ca˜ o agregada de vetores de perturba¸ca˜ o básicos De modo geral, pode-se analisar a contribuiça˜ o de vetores de perturbaça˜ o básicos para todos os autovetores influentes. Para isto, Poon & Poon (1999) definem a contribuiça˜ o agregada dos vetores de perturbaça˜ o básicos para todos os autovetores q˜ influentes e propoem um ponto de referência para avaliar a influência. A seguir, apresenta-se a metodologia usada por Poon & Poon (1999)..

(35) ´ ˆ CAPITULO 3. CURVATURA NORMAL CONFORME E INFLUENCIA LOCAL. 24. Define-se µi = |b λi | e posteriormente ordena-se estes valores da seguinte forma q µmax = µ1 ≥ · · · ≥ µν ≥ √ > µν+1 · · · ≥ µr ≥ 0. r Da seça˜ o anterior tem-se que r. e i= ∼. Et = ai1∼ E1 + · · · + air∼ Er = ( ai1 , . . . , air ), ∑ ait∼. t =1. logo, ait denota a t-ésima coordenada do autovetor normalizado correspondente a e r são autovetores normalizados, então, para cada i = e 1, . . . , ∼ µi . Além disso, como ∼ e i k = 1, da´ı ∑rt=1 a2it = 1. 1, . . . , r, k ∼ A contribuiça˜ o agregada do t-ésimo vetor de perturbaça˜ o básico para todos os autovetores q-influentes e´ definida como s. ν. ∑ µi a2it .. m[q]t =. i =1. Como r. ∑ ( m [ q ] t )2 =. t =1. r. ∑. t =1. Ã. !. ν. ∑ µi a2it. ν. =. ∑ µi. i =1. i =1. Ã. r. !. ∑ a2it. ν. =. t =1. ∑ µ i · (1) =. i =1. ν. ∑ µi ,. i =1. então, se a contribuiça˜ o de todos os vetores de perturbaça˜ o básicos e´ a mesma, cada uma e´ igual a. v Ã ! u ν u1 m[q] = t µi . r i∑ =1. ¨ Consequentemente, para determinar a significância da contribuiça˜ o individual dos vetores de perturbaça˜ o básicos usa-se m[q]. Há dois casos extremos a considerar ao usar esta metodologia. O primeiro e´ permitir q suficientemente grande tal que se considere a contribuiça˜ o individual dos vetores de perturbaça˜ o básicos somente para emax . Neste caso, q √ m[q]t = µ1 a21t = µ1 | a1t |, e. r m[q] =. 1 √ 1 µ1 = √ µ1 , r r.

(36) ´ ˆ CAPITULO 3. CURVATURA NORMAL CONFORME E INFLUENCIA LOCAL logo, este método e´ equivalente a comparar | a1t | com. √1 r. 25. como foi sugerido na seça˜ o. (3.3.1). O outro caso extremo e´ permitir q = 0, assim, todos os autovalores são inclu´ıdos na análise. Neste caso m[0]t e´ chamada a contribuiça˜ o total, que se denota por mt e corresponde a. s mt =. r. ∑ µi a2it .. i =1. ˜ básicas e´ a mesma, então cada uma e´ igual Se a contribuiça˜ o de todas as perturbaçoes a. s m = m [0] =. v u r |λ | 1 r u ∑ i =1 i . µ = t q i ∑ r i =1 r 2 r ∑ i =1 λ i. A contribuiça˜ o total mt e a curvatura normal conforme BEt do vetor de perturbaça˜ o ∼. Et estão altamente relacionadas. Como todos os autovalores são não-negativos, básico ∼ BEt e´ igual ao quadrado da contribuiça˜ o total do t-ésimo vetor de perturbaça˜ o básico. ∼ Ou seja, como a matriz − F¨ e´ semi-definida positiva e todos os autovalores são não negativos, então m2t = BEt , para todo t. ∼. ¨. tr ( F ) Se a contribuiça˜ o total de todos os BEt e´ a mesma, então cada uma e´ igual a b = √ ¨ 2 .. ∼. r. tr ( F ). Portanto, tem-se que m = BEt . Assim b pode ser utilizado como valor cr´ıtico para as ∼. curvaturas dos vetores de perturbaça˜ o básicos. Segundo a prática comum, se a contribuiça˜ o agregada e´ maior que duas vezes a média, então a observaça˜ o correspondente e´ considerada influente. Utiliza-se 2b e √ √ 2m[q] como valores cr´ıticos para B Et e m[q]t , respectivamente. Usa-se 2 ao invés ∼. de 2 nos valores cr´ıticos para m[q]t devido a` relaça˜ o quadrática entre mt e B Et . ∼. 3.4 Esquemas de perturba¸ca˜ o Existem diferentes formas de se fazer a avaliaça˜ o da influência de pequenas pertur˜ num modelo. Pode-se, por exemplo, perturbar a funça˜ o de log-verossimilhanbaçoes ça, ou as variáveis explicativas de maneira coletiva ou individualmente, ou pode-se ˜ podem ser também perturbar as variáveis resposta. Além disso, essas perturbaçoes feitas de maneira aditiva ou de maneira multiplicativa..

(37) ´ ˆ CAPITULO 3. CURVATURA NORMAL CONFORME E INFLUENCIA LOCAL. 26. Neste trabalho os esquemas de perturbaça˜ o que se consideram são os seguintes: • Esquema de perturba¸ca˜ o I Perturbaça˜ o da funça˜ o de log-verossimilhança de forma multiplicativa. • Esquema de perturba¸ca˜ o II perturbaça˜ o nas variáveis explicativas de forma multiplicativa. • Esquema de perturba¸ca˜ o III perturbaça˜ o nas variáveis explicativas de forma aditiva. • Esquema de perturba¸ca˜ o IV perturbaça˜ o nas variáveis resposta de forma aditiva. Considere-se o modelo de regressão Dirichlet definido na seça˜ o (2.2.1). α1 , . . . , ∼ α p ) = ∑iN=1 ì (αi1 , . . . , αip ) a funça˜ o de log-verossimilhança corresponSeja `(∼ ˜ dente a uma amostra de N observaçoes, i = 1, . . . , N, seja X a matriz de dimensão N × k cuja i-ésima linha representa os valores das k variáveis explicativas para a i-ésima observaça˜ o, seja Y a matriz de dimensão N × p cuja i-ésima linha representa os valores das p variáveis resposta para a i-ésima observaça˜ o e seja B a matriz de dimensão k × p correspondente aos parâmetros desconhecidos da regressão. A seguir apresenta-se a forma como cada esquema foi trabalhado. Esquema de perturba¸ca˜ o I Neste caso a dimensão do espaço de perturbaça˜ o Ω e´ igual ao tamanho da amostra, w, ∼ w ∈ Ω, seja `(B| ∼ w ) a log-verossimilhança correspondente ao ou seja, r = N. Dado ∼ modelo perturbado, então, N. w) = `(B| ∼. ∑ wi ì (αi1, . . . , αip ),. i =1. w. onde wi e´ o i-ésimo elemento do vetor ∼ Esquema de perturba¸ca˜ o II Como no esquema anterior, a dimensão de Ω, o espaço de perturbaça˜ o, coincide com w dado, onde o tamanho da amostra, ou seja, r = N. No modelo perturbado, para um ∼ w ∈ Ω, a matriz X e´ substitu´ıda pela matriz X w , que corresponde a ∼ ∼.

(38) ´ ˆ CAPITULO 3. CURVATURA NORMAL CONFORME E INFLUENCIA LOCAL .  w1 x11. Xw. ∼. 27. w1 x12. ···.  w x  2 21 w2 x22 · · · = . ..  .. .  w N x N1 w N x N2 · · ·. w1 x1k w2 x2k .. ..    .  . w N x Nk. Esquema de perturba¸ca˜ o III Diferentemente dos dois esquemas de perturbaça˜ o anteriores, neste esquema a di´ mensão do espaço de perturbaça˜ o varia de acordo com o numero de variáveis perturbadas. Mais especificamente, no caso em que se perturbam as k covariáveis, a dimensão de Ω será Nk, ou seja, r = Nk. Assim, a dimensão do espaço de perturbaça˜ o ´ vai coincidir com o tamanho da amostra quando se perturba uma unica variável explicativa; neste caso, ter-se-á r = N. w dado, ∼ w ∈ Ω, a matriz X e´ substitu´ıda pela matriz No modelo perturbado, para um ∼ w = vec(W ), W e´ a matriz de perturbaçoes ˜ de dimensão N × k, X w = X + W S, onde ∼ ∼. e S e´ uma matriz diagonal S = diag{s1 , . . . , sk } tal que cada sm converte a perturbaça˜ o wim no tamanho e unidade apropriados para que wim sm seja compat´ıvel com o (i, m)e´ simo elemento de X, ou seja, com xim . Tem-se que .  x11 + w11 s1. Xw. ∼. x12 + w12 s2. ···.   x +w s x22 + w22 s2 · · · 21 1  21 = . .. ..  .  x N1 + w N1 s1 x N2 + w N2 s2 · · ·. x1k + w1k sk x2k + w2k sk .. ..    .  . x Nk + w Nk sk. Fazendo alguns dos sm iguais a 0, somente algumas das variáveis explicativas são perturbadas. ˜ IV Esquema de perturbaçao Este método de perturbaça˜ o e´ diferente dos anteriores, pois ao perturbar as variáveis ˜ resposta de forma aditiva, os vetores perturbados devem continuar a ser proporçoes, ˜ ¨ encia estaremos frente assim, e´ necessário considerar algumas restriçoes, e em consequˆ ˜ a um problema de maximizaça˜ o com restriçoes. Neste caso, a máxima curvatura já não > − será mais o maior autovalor da matriz −∆ ( L¨ ) 1 ∆. Ao contrário, como veremos mais.

(39) ´ ˆ CAPITULO 3. CURVATURA NORMAL CONFORME E INFLUENCIA LOCAL. 28. ˜ impostas estará associada ao maior adiante, a máxima curvatura sujeita a` s restriçoes autovalor de uma nova matriz e a` direça˜ o normalizada associada a este autovalor. ˜ Cabe ressaltar que tanto o desenvolvimento da soluça˜ o da maximizaça˜ o com restriçoes como a definiça˜ o de observaça˜ o influente e contribuiça˜ o agregada neste novo esquema ´ de perturbaça˜ o foram propostos por nos. Para este esquema de perturbaça˜ o, a dimensão de Ω, o espaço de perturbaça˜ o, e´ r = N p. A seguir explicamos em detalhe qual e´ o procedimento desenvolvido neste caso. w dado, ∼ w ∈ Ω, a matriz Y e´ substitu´ıda pela matriz No modelo perturbado, para um ∼ Y w , que corresponde a ∼. .  y11 + w11. y12 + w12. ···.   y +w y22 + w22 · · · 21  21 Yw =  . .. ∼ ..  .  y N1 + w N1 y N2 + w N2 · · ·. y1p + w1p y2p + w2p .. ..    ,  . yN p + wN p. ˜ sujeita a` s restriçoes p. p. p. ∑ w1j = 0, ∑ w2j = 0, . . . , ∑ w Nj = 0. j =1. j =1. j =1. e a direça˜ o que dá a máxima curvatura deve ser buscada entre os vetores de norma um. Seja W ≡ (wij ), ou seja, W e´ uma matriz de dimensão N × p onde o (i, j)-ésimo z = vec(W ) podemos escrever nosso problema elemento corresponde a wij . Fazendo ∼ da seguinte maneira: maximizar a forma quadrática z > (∆> L¨ −1 ∆) ∼ z −∼ ˜ sujeita a` s restriçoes p. ∑ z1j = 0,. j =1. p. ∑ z2j = 0, . . . ,. j =1. p. ∑ z Nj = 0,. j =1. z k = 1. k∼. (3.4).

(40) ´ ˆ CAPITULO 3. CURVATURA NORMAL CONFORME E INFLUENCIA LOCAL. 29. Logo, podemos escrever nosso problema da seguinte forma: z ) =∼ z >A ∼ z sujeito a` s restri¸co˜ es gn (∼ z ) = 0, n = 1, . . . , N; maximizar f (∼. z) = 0 h(∼. p. z ) = ∑ j=1 znj , n = 1, . . . , N e h(∼ z ) =∼ z>∼ z −1. onde A = −(∆> L¨ −1 ∆), gn (∼ Para encontrar a soluça˜ o do problema anterior vamos utilizar o método dos multiplicadores de Lagrange. Assim, precisamos encontrar a soluça˜ o do sistema z ) = 0, n = 1, . . . , N gn ( ∼ z) = 0 h(∼ N. z) = ∇ f (∼. ∑ δn ∇ gn (∼z ) + φ∇h(∼z ). n =1. onde ∇ f representa o gradiente da funça˜ o f e δ1 , . . . , δN , φ são conhecidos como os multiplicadores de Lagrange. Se definimos a matriz C de dimensão N × N p como   1 0···0 1 0···0 ··· 1 0···0   0 1 · · · 0 0 1 · · · 0 · · · 0 1 · · · 0   C=  . . . .. .. ..     0 0···1 0 0···1 ··· 0 0···1 ou seja,. ³. (3.5). N×N p. ´. C = IN IN · · · tem-se satisfeito que. ,. IN. . N×N p. ,.  z) g1 ( ∼.   g (z) 2   z =  .∼  . C∼  ..    z) g N (∼ z e´ válido que ∇ gn (∼ z ) e´ igual a` n-ésima linha da matriz Portanto, para qualquer ∼ En o n-ésimo vetor da base canonica ˆ C, n = 1, . . . , N. Seja ∼ de R N . Então a n-ésima linha da matriz C e´ precisamente o vetor escrito de forma particionada como ³ ´ E E E · · · ∼n ∼n ∼n ,.

(41) ´ ˆ CAPITULO 3. CURVATURA NORMAL CONFORME E INFLUENCIA LOCAL logo,. ³ z ) = En En · · · ∇ gn ( ∼ ∼ ∼ z) = Por outro lado, como A e´ simétrica, então ∇ f (∼. 30. ´ E ∼n . z >A e ∇ h(∼ z) = 2∼ z > . Logo, o 2∼. sistema acima pode ser escrito da seguinte forma z =0 C∼ z >∼ z =1 ∼ z >A = 2∼. (3.6) (3.7). N. ∑ δn. ³ En ∼ En · · · ∼. n =1. ´ z> E n ∼ + 2φ∼. (3.8). Escrevendo δn = 2φn , temos que (3.8) fica como segue N. z>. ∼ A=. ∑ φn. n =1. ³. ´. z >. En ∼ En · · · ∼ En + φ∼ ∼. (3.9). Mas ´ ³ ´ N N N = E E E E φ φ · · · φ ∑ ∑ ∑ n=1 n ∼n n=1 n ∼n n=1 n ∼n ∼n n =1 ³ ´ = (φ1 , . . . , φN ), (φ1 , . . . , φN ), . . . , (φ1 , . . . , φN ) = (Φ, Φ, . . . , Φ), N. ∑ φn. ³. En ∼ En · · · ∼. onde Φ = (φ1 , . . . , φN ). Então a equaça˜ o (3.9) fica da seguinte forma z > A = (Φ, Φ, . . . , Φ) + φ∼ z >. ∼. (3.10). Multiplicando a` direita por C> a equaça˜ o (3.10) e usando a equaça˜ o (3.6) obtemos z > AC> = (Φ, Φ, . . . , Φ)C> . ∼. (3.11). Por outro lado e´ facil ver que CC> = pIN , enquanto C> C e´ uma matriz composta por p × p blocos iguais a IN .. . IN IN · · ·  . .. > . C C= .  . IN IN · · ·.  IN ..  .   IN. .. (3.12). N p× N p. Multiplicando a` direita por C na equaça˜ o (3.11) obtemos que   IN IN · · · IN  . .. ..  > >  .. z AC C = ( Φ, Φ, . . . , Φ ) . . .    = p(Φ, Φ, . . . , Φ). ∼ IN IN · · · IN. (3.13).

(42) ´ ˆ CAPITULO 3. CURVATURA NORMAL CONFORME E INFLUENCIA LOCAL. 31. z e usando (3.6), (3.7) e (3.13) Multiplicando (3.10) a` direita por ∼ 1 > > z AC C ∼ z +φ = φ. z ) =∼ z >A ∼ z = (Φ, Φ, . . . , Φ) ∼ z +φ = ∼ f (∼ p. (3.14). Substituindo (3.13) em (3.10) obtemos 1 > > > z z AC C + φ ∼ z >. A = ∼ ∼ p ´ Tomando transposta nesta ultima equaça˜ o 1 z = C> CA ∼ z +φ ∼ z . A∼ p ´ Podemos escrever esta ultima equaça˜ o como z = φ∼ z = f (∼ z )∼ z, QA ∼. onde. 1 Q = IN p − C> C p. (3.15). z ) e´ um autovalor φ de QA, e que ∼ z e´ um autovetor Assim, podemos concluir que f (∼ correspondente. ¯ > © ª z ∈ RN p ¯ ∼ z ∼ z = 1, C ∼ z = 0 e´ fechado e limitado em R N p , logo, Dado que S = ∼ z ) =∼ z >A ∼ z alcança um máximo ∼ z 0 neste concompacto, então a funça˜ o cont´ınua f (∼ ˜ junto, veja Apostol (1977), Teorema 4-20. Tal ponto maximizador satifaz as equaçoes (3.6)-(3.8) para alguns valores φ1 , . . . , φN , φ, veja Lima (1981). Dado que o posto de QA e´ no máximo kp, temos não mais do que kp autovalores de QA diferentes de zero. Seja τ o maior autovalor de QA, suponha τ 6= 0. Queremos z 0 ) = τ. Pelo argumento anterior, vimos que f (∼ z 0 ) será um autovalor provar que f (∼ z 0 ) ≤ τ. Falta provar agora que existe ∼ v ∈ S tal que f (∼ v ) = τ, assim, de QA, logo f (∼ z 0 maximizador global de f em S teremos que f (∼ z 0 ) ≥ f (∼ v ) = τ e ficará por ser ∼ provado o resultado. v que satisfaz h(∼ v ) =∼ v >∼ v −1 = 0 e tal que QA ∼ v = τ∼ v . Queremos Seja então ∼ v = 0 e além disso que f (∼ v ) = τ. QA∼ v = τ∼ v pode escrever-se como provar que C∼ 1 v = C> CA ∼ v +τ∼ v . A∼ p Multiplicando (3.16) a` esquerda por C e usando que CC> = pIN obtemos que v= CA ∼. 1 v +τC ∼ v = CA ∼ v +τC ∼ v, pIN CA ∼ p. (3.16).