AnaliseVerao NA7

(1)

An´

alise na Reta

Departamento de Economia, Universidade de Bras´ılia

Nota de Aula 7 – Fun¸c˜

oes Cont´ınuas

Prof. Jos´

e Guilherme de Lara Resende

1 Introdu¸

c˜

ao

Essa nota de aula é baseada em Lima (2008), cap´ıtulo 7. Lima (2013), cap´ıtulo VII, discute esse tópico de maneira mais aprofundada. Outras referências são: Apostol (1991), cap´ıtulo 3 (Continuous Functions); Rudin (1976), cap´ıtulo 4 (Continuity); Ávila (1993), cap´ıtulo 4 (Fun¸cões, Limite e Continuidade), Figueiredo (2013), cap´ıtulo 2 (Fun¸cões Reais).

2 Primeiras Defini¸

c˜

oes e Propriedades

Defini¸c˜ao: Caracteriza¸c˜ao de Continuidade usando ε e δ. A fun¸c˜_{ao f : X → R, X ⊂ R,} ´

e cont´ınua no ponto a ∈ X se para qualquer ε > 0, existe δ > 0 tal que para todo x ∈ X com |x − a| < δ, ent˜ao |f (x) − f (a)| < ε.

A continuidade como definida acima ´_{e uma propriedade local: f : X → R ser cont´ınua em um} ponto a não implica que ela será cont´ınua em outro ponto do seu dom´ınio. No caso em que f é cont´ınua em todo ponto do seu dom´ınio, dizemos apenas que f é cont´ınua. Logo, toda restri¸cão de uma fun¸cão cont´ınua é cont´ınua.

Observe que a defini¸c˜ao acima de continuidade pode ser reescrita em termos de bolas abertas: f : X → R, X ⊂ R, ´e cont´ınua no ponto a ∈ X se para toda bola aberta B(f (a), ε) de centro f (a) existir uma bola aberta B(a, δ) de centro a tal que f (B(a, δ) ∩ X) ⊂ B(f (a), ε).

A fun¸cão f é descont´ınua em a se não for cont´ınua neste ponto. Ou seja, se existir um ε > 0 tal que para todo δ > 0, exista xδ ∈ X com |xδ − a| < δ e |f (xδ) − f (a)| ≥ ε. Tomando

uma sequência δn = 1/n, vemos que uma fun¸cão é descont´ınua no ponto a se, e somente se,

existir ε > 0 tal que para todo n ∈ N exista xn ∈ X com |xn− a| < 1/n e |f (xn) − f (a)| ≥ ε.

Portanto, a sequência (xn) converge a a, mas a sequência (f (xn)) não converge para f (a) (ver

a demonstra¸c˜ao da proposi¸c˜ao a seguir).

Se a é um ponto isolado do dom´ınio de f , então f é cont´ınua em a por defini¸cão (existe δ > 0 tal que X ∩ B(a, δ) = {a}, logo temos |f (x) − f (a)| = |f (a) − f (a)| = 0, para todo x ∈ X que dista de a por δ). Em particular, toda fun¸cão definida num conjunto discreto é cont´ınua. Se a ∈ X ´

e um ponto de acumula¸cão de X, então f é cont´ınua em a se, e somente se, limx→af (x) = f (a)

(somente faz sentido em falar de continuidade de uma fun¸cão em um ponto caso esse ponto perten¸ca ao dom´ınio da fun¸cão, o que não é necessário no caso de limites de fun¸cões, como vimos no cap´ıtulo anterior).

Denotamos o conjunto de todas fun¸c˜oes reais cont´ınuas em X por C(X). Se X = [a, b], escrevemos C[a, b].

Teorema 1. Sejam f, g : X → R cont´ınuas no ponto a ∈ X, com f (a) < g(a). Ent˜ao existe δ > 0 tal que para todo x ∈ X, com |x − a| < δ, temos que f (x) < g(x).

(2)

Corol´_{ario 1. Sejam f : X → R cont´ınua no ponto a ∈ X. Se f (a) 6= 0, ent˜ao existe δ > 0 tal} que para todo x ∈ X, com |x − a| < δ, f (x) tem o mesmo sinal de f (a).

Corol´_{ario 2. Dadas f, g : X → R cont´ınuas, considere os conjuntos Y = {x ∈ X : f (x) <} g(x)} e Z = {x ∈ X : f (x) ≤ g(x)}. Existem A ⊂ R aberto e F ⊂ R fechado tais que Y = X ∩ A e Z = X ∩ F . Em particular, se X é aberto então Y é aberto e se X é fechado, Z ´

e fechado (note que pela defini¸cão abaixo, temos que Y é aberto em X e Z é fechado em X). Teorema 2: Caracteriza¸cão de Continuidade usando Sequências. A fun¸c˜_{ao f : X → R,} X ⊂ R, é cont´ınua no ponto a ∈ X se, e somente se, para toda sequência (xn) com valores em

X tal que lim xn= a, temos que lim f (xn) = f (a).

Prova: (⇒) Seja f cont´ınua em a e considere uma sequˆencia (xn) qualquer que converge para

a. Como f ´e cont´ınua em a, para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que para x ∈ X, |x − a| < δ, ent˜ao |f (x) − f (a)| < ε. Dado δ > 0, existe n0 ∈ N tal que para todo n ≥ n0, |xn− a| < δ.

Pela continuidade de f , temos que |f (xn) − f (a)| < ε, para todo n ≥ n0.

(⇐) Por contradi¸cão, suponha que f é descont´ınua em a. Então existe ε > 0 tal que para todo δ > 0, existe x ∈ X com |x − a| < δ e |f (x) − f (a)| ≥ ε. Para δ = 1/n, existe xn ∈ X com

|xn − a| < 1/n e |f (xn) − f (a)| ≥ ε. Logo, constru´ımos sequˆencia (xn) tal que xn → a e a

sequência (f (xn)) não converge a f (a), um absurdo. Portanto, f é cont´ınua em a.

Corol´_{ario 1. Se f, g : X → R são cont´ınuas (no ponto a ∈ X), então as seguintes fun¸cões são} também cont´ınuas (em a):

• A soma f + g : X → Y , definida por (f + g)(x) = f (x) + g(x);

• A multiplica¸c˜_{ao f × g, onde f × g : X → R ´e definida por (f × g)(x) = f (x)g(x).} • A divis˜_{ao f /g, onde f /g : X → R ´e definida por (f /g)(x) = f (x)/g(x), assumindo que}

g(x) 6= 0, para todo x ∈ X (basta que seja para todo x em uma vizinhan¸ca de a, no caso de continuidade apenas no ponto a e, neste caso, f /g n˜ao estar´a definida nos pontos em que g(x) = 0.).

A caracteriza¸cão mais geral de fun¸cões cont´ınuas é por abertos (ou por fechados). Ela é válida até mesmo para espa¸cos topológicos para os quais não exista uma métrica definida (algo que é necessário para as duas defini¸cões vistas acima, por ε e δ e por sequências).

Defini¸c˜_{ao: Aberto e Fechado em um Subconjunto de R. Fixe um conjunto X ⊂ R.} Dizemos que o conjunto A ⊂ X ´e aberto em X se, e somente se, existe um conjunto aberto B ⊂ R tal que A = X ∩ B. Dizemos que o conjunto F ⊂ X ´e fechado em X se, e somente se, existe um conjunto fechado G ⊂ R tal que F = X ∩ G.

Proposi¸cão 1: Caracteriza¸c˜_{ao de Continuidade usando Abertos. Sejam f : X → R,} X subconjunto de R. A fun¸cão f é cont´ınua se, e somente se, a imagem inversa f−1(A) de todo conjunto aberto A for um aberto em X (isto é, f−1(A) é aberto em X para todo A aberto). Proposi¸cão 2: Caracteriza¸c˜_{ao de Continuidade usando Fechados. Seja f : X → R,} X subconjunto de R. A fun¸cão f é cont´ınua se, e somente se, a imagem inversa f−1(F ) de todo conjunto F fechado for um fechado em X (isto é, f−1(F ) é fechado em X para todo F fechado).

(3)

Exemplo 1:

• Fun¸c˜ao identidade f : X → X, onde f (x) = x, ∀x ∈ X;

• Toda fun¸cão f : X → Y para a qual exista K > 0 tal que para todo x, y ∈ X, temos que |f (x) − f (y)| < K|x − y| (esse tipo de fun¸cão é chamada Lipschitziana);

• Todo polinˆ_{omio p : R → R ´e uma fun¸c˜ao cont´ınua;}

• f : R → R, definida por f(x) = sin(1/x) se x 6= 0 e f(0) = 0 ´e descont´ınua em 0 e cont´ınua em todos os outros pontos da reta real;

• g : R → R, definida por g(x) = x sin(1/x) se x 6= 0 e g(0) = 0 ´e cont´ınua em todos os pontos da reta real;

• ψ : R → R, definida por ψ(x) = 0 se x ∈ Q e ψ(x) = 1 se x ∈ R \ Q, é descont´ınua em todo ponto da reta real (porém ψ|_Q e ψ|_R\Q são cont´ınuas);

• φ : R → R, definida por φ(x) = xψ(x), onde ψ ´e como no item anterior, ´e cont´ınua apenas no ponto 0.

3 Fun¸

c˜

oes Cont´ınuas em Conjuntos Conexos

Lembre-se que o conjunto X ⊂ R é conexo se a única cisão poss´ıvel dele for a cisão trivial. Ou seja, para todos A, B tais que X = A ∪ B e ¯A ∩ B = A ∩ ¯B = ∅, então ou A = ∅ ou B = ∅. Proposi¸c˜_{ao. Sejam f : X → Y , X, Y ⊂ R, e C ⊂ X um conjunto conexo qualquer. Se f é} cont´ınua, então f (C) é conexo (ou seja, a imagem de qualquer conjunto conexo por uma fun¸cão cont´ınua é conexa).

Prova: Sejam f : X → Y uma fun¸cão cont´ınua e C ⊂ X um conjunto conexo quaisquer. Por absurdo, suponha que f (C) não é conexo. Logo existem conjuntos A, B ⊂ Y não-vazios que formam uma cisão de f (C), ou seja, f (C) = A ∪ B e ¯A ∩ B = A ∩ ¯B = ∅.

Vamos mostrar que se isso ocorre, é poss´ıvel obter uma cisão não-trivial de C, o que seria um absurdo. Considere os conjuntos G, H ∈ X definidos por G = C ∩ f−1(A) e H = C ∩ f−1(B). Observe que:

(i) G e H não são vazios. Por hipótese, A e B são não-vazios, com f (C) = A ∪ B. Logo existem ¯y ∈ A ⊂ f (C) e ˆy ∈ B ⊂ f (C). Pela defini¸cão de f (C), f (C) = {f (x) | x ∈ C}, existem ¯x, ˆx ∈ C tais que ¯y = f (¯x) ∈ A e ˆy = f (ˆx) ∈ B, ou seja, ¯x ∈ f−1(A) e ˆ

x = f−1(B). Como ¯x, ˆx ∈ C, então ¯x ∈ C ∩ f−1(A) = G e ˆx ∈ C ∩ f−1(B). Logo G e H não são vazios.

(4)

(ii) C = G ∪ H. Observe que: G ∪ H = (C ∩ f−1(A)) ∪ (C ∩ f−1(B)) = C ∩ (f−1(A) ∪ f−1(B)) = C ∩ (f−1(A ∪ B)) = C ∩ f−1(f (C)) = C ,

onde na terceira igualdade usamos o fato de que f−1(A) ∪ f−1(B) = f−1(A ∪ B) e na ´

ultima igualdade o fato de que f−1(f (C)) ⊃ C.

(iii) ¯G ∩ H = ∅ (similar para G ∩ ¯H = ∅). Como A ⊂ ¯A e G ⊂ f−1(A), então G ⊂ f−1( ¯A) (pois se Z ⊂ W , então f−1(Z) ⊂ f−1(W )). Pela Proposi¸cão 2 (caracteriza¸cão de continuidade por fechados), temos que f−1( ¯A) é fechado em X. De f−1( ¯A) fechado em X e G ⊂ f−1( ¯A), obtemos que ¯G ⊂ f−1( ¯A) (pois o fecho de um conjunto Z é o menor conjunto fechado que contém Z). Finalmente,

¯

A ∩ B = ∅ ⇒ f−1( ¯A ∩ B) = f−1(∅) = ∅ ⇒ f−1( ¯A) ∩ f−1(B) = ∅

onde a última implica¸cão segue de que f−1( ¯A∩B) = f−1( ¯A)∩f−1(B). Como ¯G ⊂ f−1( ¯A) e H ⊂ f−1(B), então f−1( ¯A) ∩ f−1(B) = ∅ implica que ¯G ∩ H = ∅.

Logo, (i), (ii) e (iii) mostram que G, H são uma cisão não-trivial de C, um absurdo, já que C ´

e conexo. A contradi¸cão é consequência de supor que f (C) não é conexo. Portanto podemos concluir que f (C) ´_{e conexo.}

Como o teorema a seguir é um resultado importante, vamos prová-lo diretamente. Observe a similaridade entre a demonstra¸cão feita abaixo para o Teorema do Valor Intermediário (TVI) e a demonstra¸cão da proposi¸cão acima. Essa similaridade não é coincidência, ela ocorre pelo fato de que o TVI é consequência direta do resultado de que a imagem de todo conjunto conexo por uma fun¸cão cont´ınua é conexa. Logo, a demonstra¸cão do TVI abaixo é desnecessária e somente foi feita pela importância deste resultado. Mais ainda, a equivalência na reta real entre conjuntos conexos e intervalos permite reescrever a proposi¸cão acima como o corolário abaixo.

Teorema 4: Teorema do Valor Intermedi´_{ario (TVI). Seja f : [a, b] → R cont´ınua. Se} f (a) < d < f (b), ent˜ao existe c ∈ (a, b) tal que f (c) = d.

Prova: Considere os conjuntos A, B ⊂ [a, b] definidos abaixo:

A = {x ∈ [a, b] | f (x) ≤ d} = f−1((−∞, d]) B = {x ∈ [a, b] | f (x) ≥ d} = f−1([d, ∞))

A Proposi¸cão 2 acima garante que A e B são fechados em [a, b]. Observe que A 6= ∅, pois a ∈ A e B 6= ∅, pois b ∈ B. Além disso, A ∪ B = [a, b]. Como [a, b] é conexo, devemos ter que A ∩ B 6= ∅, ou seja, existe c ∈ A ∩ B. Mas isto significa que f (c) = d. Note que como f (a) < d < f (b), ent˜_{ao c ∈ (a, b).}

(5)

Não necessariamente a imagem do intervalo por f cont´ınua será um intervalo da mesma forma que o intervalo original (exceto no caso de intervalos compactos, ver o Teorema 7 abaixo). Por exemplo, seja f : R → R, dada por f (x) = sin(x). Então sin((0, 7)) = [−1, 1], sin((0, π/2)) = (0, 1), sin((0, π)) = (0, 1]. O Teorema do Valor Intermediário tem uma série de aplica¸cões e consequências importantes, como os exemplos a seguir mostram.

Exemplo 2. Todo polinˆ_{omio p : R → R de grau ´ımpar possui alguma raiz real.}

Exemplo 3. Existˆencia de √n_{a. Para n fixo, defina f : [0, ∞) → [0, ∞) por f (x) = x}n_.

Essa fun¸cão é crescente e cont´ınua, com f [0, ∞) = [0, ∞). Logo, f é uma bije¸cão cont´ınua e, portanto, para todo a ≥ 0, existe um único número real b ≥ 0 tal que a = bn_{, ou seja, b =} √n_a.

Se n for ´ımpar, o mesmo argumento ´e v´alido tamb´_{em para f com dom´ınio R.}

Exemplo 4 (Teorema do Ponto Fixo de Brouwer para R). Seja f : [a, b] → R cont´ınua com f (a) ≤ a e b ≤ f (b). Ent˜ao f tem (pelo menos) um ponto fixo, ou seja, existe x ∈ [a, b] tal que f (x) = x.

O exemplo a seguir mostra que se f : X → Y , X, Y ⊂ R é uma bije¸cão cont´ınua, não necessariamente sua inversa será cont´ınua. Se f tiver inversa cont´ınua, dizemos que f é um homeomorfismo entre os espa¸cos conjuntos X e Y e dizemos que estes espa¸cos são homeomorfos. Exemplo 5. Sejam X = [−1, 0] ∪ (1, 2] e Y = [0, 4]. A fun¸cão f : X → Y definida por f (x) = x2 é bijetiva e cont´ınua. A inversa f−1 : Y → X de g, dada por f−1(y) = −√y se y ∈ [0, 1] e f−1(y) = +√y se y ∈ (1, 4] é descont´ınua em y = 1 (limy→1−f−1(y) = −1 e

limy→1+f−1(y) = 1).

Teorema 5. Seja I ⊂ R um intervalo. Toda fun¸cão cont´ınua injetiva f : I → R é monótona e sua inversa g : J → I, definida no intervalo J = f (I), é cont´ınua.

Logo, o Teorema 5 diz que toda fun¸c˜_{ao cont´ınua f : I → R em que I ⊂ R ´e um intervalo, ´e} um homeomorfismo entre I e f (I).

Corol´_{ario. Para todo n ∈ N, a fun¸c˜ao g : [0, ∞) → [0, ∞) definida por g(x) =} √n_{x ´}_{e cont´ınua}

(no caso em que n ´_{e ´ımpar, f : R → R, f (x) = x}n _´_{e uma bije¸c˜}_{ao cont´ınua e sua inversa}

f−1 _{: R → R, dada por f}−1(x) = √n_{x ´}_{e cont´ınua).}

Corolário. Todo conjunto homeomorfo a um conjunto conexo é também conexo.

O corolário acima permite dizer que a propriedade topológica de conexidade de um conjunto é preservada por homeomorfismos.

(6)

4 Fun¸

c˜

oes Cont´ınuas em Conjuntos Compactos

Vamos investigar sob que condi¸cões uma fun¸c˜_{ao f : X → Y , X, Y ⊂ R, apresenta máximo} e m´ınimo globais. Isto é, quando podemos garantir a existência de ¯x ∈ X e ˆx ∈ X tais que f (¯x) ≥ f (x), para todo x ∈ X (máximo) e f (ˆx) ≤ f (x), para todo x ∈ X (m´ınimo). Vamos primeiro definir de modo mais preciso esses conceitos, de modo que seja válida também para fun¸c˜_{oes cujos dom´ınios podem ser subconjuntos de R}n.

Defini¸c˜ao: M´_{aximo e M´ınimo. Sejam f : X → R e a ∈ X. Dizemos que a ´e um:}

• M´aximo local de f se existir δ > 0 tal que f (x) ≤ f (a) para todo x ∈ X, |x − a| < δ (x ∈ B(a, δ) ∩ X).

• M´aximo local estrito de f se existir δ > 0 tal que f (x) < f (a) para todo x ∈ X, 0 < |x − a| < δ (x ∈ B(a, δ) ∩ X \ {a}).

• M´ınimo local de f se existir δ > 0 tal que f (a) ≤ f (x) para todo x ∈ X, |x − a| < δ (x ∈ B(a, δ) ∩ X).

• M´ınimo local estrito de f se existir δ > 0 tal que f (a) < f (x) para todo x ∈ X, 0 < |x − a| < δ (x ∈ B(a, δ) ∩ X \ {a}).

• Máximo global (ou absoluto) de f se f (x) ≤ f (a) para todo x ∈ X. Dizemos que a é um máximo global estrito de f se f (x) < f (a), para todo x ∈ X \ {a}.

• M´ınimo global (ou absoluto) de f se f (a) ≥ f (x) para todo x ∈ X. Dizemos que a ´e um m´ınimo global estrito de f se f (a) < f (x), para todo x ∈ X \ {a}.

O Exemplo 6 abaixo mostra que mesmo para fun¸cões cont´ınuas, definidas em intervalos limi-tados, pontos de máximo ou de m´ınimo locais podem não existir.

Exemplo 6. f : (0, 1) → R, dada por f (x) = x, n˜ao possui nem m´aximo nem m´ınimo globais. g : R → R, dada por g(x) = 1/(1 + x2_{) possui m´}_{aximo x = 0, com g(0) = 1, mas n˜}_{ao possui}

m´ınimo.

O Teorema de Weierstrass garante que se f é uma fun¸cão cont´ınua definida sobre os reais e cujo dom´ınio é um conjunto compacto, a imagem desse conjunto também será um compacto sobre a reta real. Isso implica que existem pontos de máximo e de m´ınimo globais.

Teorema 6 (Weierstrass). Seja f : X → R cont´ınua no conjunto compacto X ⊂ R. Ent˜ao existem x0, x1 ∈ X tais que f (x0) ≤ f (x) ≤ f (x1), para todo x ∈ X. Portanto, x0 ´e um ponto

de m´ınimo global de f e x1 ´e um ponto de m´aximo global de f .

O Teorema 6 é consequência do Teorema 7 a seguir: f cont´ınua e X compacto implicam f (X) ⊂ R compacto, isto é, limitado e fechado. Como f (X) é limitado, então existem o ´ınfimo e o supremo de f (X), denotados por i = inf f (X) e s = sup f (X). Como f (X) é fechado, i, s ∈ f (X), ou seja, existem x0, x1 ∈ X tais que f (x0) = inf f (X) e f (x1) = sup f (X).

(7)

Corol´_{ario. Se X ⊂ R é compacto, então toda fun¸cão cont´ınua f : X → R é limitada.} Exemplo 7. f : (0, 1] → R, definida por f (x) = 1/x, é cont´ınua porém não é limitada.

Teorema 8. Se X ⊂ R é compacto, então toda bije¸cão cont´ınua f : X → Y ⊂ R tem inversa cont´ınua g : Y → X.

Exemplo 8. O conjunto Y = {0, 1, 1/2, . . . , 1/n, . . . } é compacto e a bije¸c˜_{ao f : N → Y ,} definida por f (1) = 0 e f (n) = 1/(n − 1), para todo n ≥ 2, n ∈ N, é cont´ınua, mas sua inversa f−1 _{: Y → N é descont´ınua em 0. Logo não vale uma versão do Teorema 8 para bije¸cões} cont´ınuas cujo contradom´ınio seja compacto.

Corolário. Todo conjunto homeomorfo a um conjunto compacto é também compacto.

Assim como a propriedade de conexidade, o corolário acima permite dizer que a propriedade topológica de compacidade de um conjunto é preservada por homeomorfismos.

5 Continuidade Uniforme

O conceito de continuidade ´_{e um conceito local: se f : X → R é cont´ınua, então dado ε > 0,} podemos encontrar para todo ponto x ∈ X um número δ > 0 tal que para todo y ∈ X com |x − y| < δ, então |f (x) − f (y)| < ε. O número δ depende não apenas do valor escolhido para ε, mas também do ponto x analisado. Nem sempre será poss´ıvel, dado um ε > 0, encontrar um δ > 0 que sirva para todos os pontos do dom´ınio de f : X → R cont´ınua.

Exemplo 9. Considere f : R \ {0} → R, definida por f (x) = x/|x| (observe que f não está definida no ponto 0). Então f é cont´ınua, mas para ε = 1, para todo δ > 0 que escolhermos, existem pontos x, y ∈ R \ {0}, tais que |x − y| < δ e |f (y) − f (x)| ≥ ε. Por exemplo, x = δ/3 e y = −δ/3.

Exemplo 10. Considere f : R++ → R, definida por f(x) = 1/x. Ent˜ao f ´e cont´ınua, mas

para qualquer 0 < ε < 1, temos que para qualquer δ > 0, existem n´umeros x = 1/n e y = 1/2n, onde n > 1/δ, tais que |y − x| < δ e |f (y) − f (x)| = n > ε.

Defini¸c˜_{ao: Continuidade Uniforme. Dizemos que f : X → R ´e uniformemente cont´ınua} em X se para todo ε > 0, existe δ > 0 tal que |f (x) − f (y)| < ε para todo x, y ∈ X com |x − y| < δ.

Continuidade uniforme é uma propriedade global. Na defini¸cão de continuidade uniforme, não fixamos um ponto a e definimos que f é uniformemente cont´ınua em a. O conceito vale para todo o dom´ınio e os pontos x e y são arbitrários na defini¸cão, desempenhando papel simétrico. Segue-se da defini¸cão de continuidade uniforme que toda fun¸cão continuamente uniforme é cont´ınua. Porém, o inverso não vale em geral (Exemplos 9 e 10 acima).

Exemplo 11 (Fun¸cão de Lipschitz). Vimos no Exemplo 1 acima que f : X → Y é uma fun¸cão Lipschitziana se existir K > 0 tal que para todo x, y ∈ X, |f (x) − f (y)| < K|x − y|). Toda fun¸cão Lipschitziana é uniformemente cont´ınua (dado ε > 0, tome δ = ε/K). O polinômio de primeiro grau f : R → R, definido por f (x) = ax + b, é uma fun¸cão Lipschitziana com constante K = |a|. Se uma fun¸cão não for uniformemente cont´ınua, ela não será Lipschitziana. Logo as fun¸cões dos Exemplos 9 e 10 não são de Lipschitz. Porém se redefinirmos o dom´ınio de f (x) = 1/x para [a, ∞), com a > 0, essa fun¸cão se torna de Lipschitz com constante K = 1/a2_.

(8)

Teorema 9: Caracteriza¸cão de Continuidade Uniforme por Sequências. A fun¸cão f : X → R é uniformemente cont´ınua se, e somente se, para todo par de sequências (xn) e

(yn) em X com lim(yn− xn) = 0, temos que lim[f (yn) − f (xn)] = 0.

Exemplo 12. A fun¸c˜_{ao f : R → R, definida por f (x) = x}2 não é uniformemente cont´ınua. Para ver isso, usamos o Teorema 9: considere xn = n e yn = n + 1/n. Então lim(yn− xn) =

lim(1/n) = 0 mas lim[f (yn) − f (xn)] = lim[2 + 1/n2] = 2. Observe que lim(xn− yn) = 0

n˜ao implica necessariamente que lim xn = lim yn (para notar isso, considere qualquer sequˆencia

divergente (zn): lim(zn− zn) = 0 mas lim zn n˜ao existe).

Teorema 10. Seja X ⊂ R compacto. Toda fun¸c˜ao f : X → R cont´ınua ´e uniformemente cont´ınua.

Exemplo 13. A fun¸c˜_{ao f : [0, ∞) → R, definida por f (x) =} √x não é Lipschitziana. Já f definida no intervalo [1, ∞) é Lipschitziana com constante K = 1/2. Já f definida em [0, 1] é uniformemente cont´ınua, pelo Teorema 10. Portanto, f : [0, ∞) → R, definida por f (x) = √x ´

e uniformemente cont´ınua. Isso mostra que nem toda fun¸c˜ao uniformemente cont´ınua ´e de Lipschitz.

Teorema 11. Toda fun¸c˜_{ao f : X → R uniformemente cont´ınua em um conjunto limitado X} ´

e uma fun¸c˜ao limitada.

Usando o Teorema 11, vemos facilmente que f (x) n˜ao ´e uniformemente cont´ınua em (0, 1], pois f (0, 1] = [1, ∞).

Teorema 12. Se f : X → R é uniformemente cont´ınua então, para cada a ∈ X0 (mesmo que não perten¸ca a X), existe lim

x→af (x).

Exemplo 14. O Teorema 12 implica que 1/x em R++, x/|x| e sin(1/x) em R \ {0} n˜ao s˜ao

uniformemente cont´ınuas.

Referˆ

encias

Apostol, T. (1991). Calculus, vol. i: One-variable calculus, with an introduction to linear algebra (2nd edition). Wiley.

´

Avila, G. (1993). Introdu¸cão à análise matemática. Editora Edgard Blücher Ltda. Figueiredo, D. G. (2013). Análise i (2a edi¸cão). Editora LTC.

Lima, E. L. (2008). Análise real, vol. 1: Fun¸cões de uma variável. Cole¸cão Matemática Universitária, Instituto de Matemática Pura e Aplicada (IMPA).

Lima, E. L. (2013). Curso de an´alise vol. 1. Projeto Euclides, Instituto de Matem´atica Pura e Aplicada (IMPA).

Rudin, W. (1976). Principles of mathematical analysis (3rd edition). McGraw-Hill International Editions.