MAE5730 - T´ecnicas Computacionais II - segundo semestre de 2015 Exerc´ıcios de Cadeia de Markov
1) Para cada uma das matrizes de transi¸c˜ao a seguir, classifique os es- tados e verifique se existe a distribui¸c˜ao limite. Obtenha tamb´em as distri- bui¸c˜oes marginais de 1 etapa, considerando distribui¸c˜ao inicial uniforme em S.
a) Espa¸co de estadosS ={−1,0,1} e matriz de transi¸c˜ao
0.8 0.2 0 0.35 0.3 0.35
0 0.4 0.6
.
b) Considere um Passeio Aleat´orio com espa¸co de estadosS={1,2,3,4,5}
e a matriz de transi¸c˜ao
0.2 0.8 0 0 0
0.2 0.2 0.6 0 0 0 0.4 0.2 0.4 0 0 0 0.6 0.2 0.2
0 0 0 0.8 0.2
.
c)S ={0,1}e matriz de transi¸c˜ao 0.5 0.5
0 1
! .
2) Para a CM especificada em (1.b), Fixe um valor para o estado inicial e simule uma amostra de tamanho 1000 desta cadeia. Calcule as frequˆencias relativas do n´umero de visitas aos cinco estados. A partir desses valores tente adivinhar a distribui¸c˜ao estacion´aria. Confirme sua suspeita usando a equa¸c˜ao de equil´ıbrio. [Fa¸ca algumas r´eplicas (n˜ao muitas) da sua si- mula¸c˜ao da cadeia para verificar se h´a altera¸c˜oes significativas nos valores das frequencias relativas. ]
3) Para a vers˜ao do Amostrador de Gibbs de dimens˜ao d= 2 e espa¸co de estadosS enumer´avel, obtenha a matriz de transi¸c˜ao da cadeia e mostre que a distribui¸c˜ao conjunta ´e a estacion´aria.
1
4) Considere r bolas distribuidas em duas urnas, onde x bolas est˜ao na urna 1 er−xna urna 2. Seleciona-se ao acaso uma bola em umas das urnas e troca-se a bola de urna. Repete-se o procedimento de forma independente indefinidamente. Esse processo ´e conhecido como modelo de Ehrenfest. Seja Xn o n´umero de bolas na primeira urna depois de n mudan¸cas. Note que {Xn : n = 1,2, . . .} forma uma Cadeia de Markov com espa¸co de estados S={0,1,2, . . . , r} e probabilidades de transi¸c˜ao
P(x, y) = x
d , se y=x+ 1 ; P(x, y) = 1−x
d , sey=x−1 eP(x, y) = 0 se|x−y|>1.
Para r= 3 determine:
a) As probabilidades P robx(T0 =n), em queT0 ´e o tempo at´e alcan¸car o estado 0, para todo x∈S e 1≤n≤3.
b) As matrizes de transi¸c˜ao P, P2 e P3 .
c) Considerando uma distribui¸c˜ao inicial uniforme em S, determine as marginaisπ(j) para j= 1,2,3.
5) Mostre que o algoritmo M-H com proposta sim´etrica forma uma Ca- deia de Markov revers´ıvel.
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