mat121 - c´alculo ii - f´ısica
2o sem 2011 - profa. daniela m. vieira QUINTA LISTA DE EXERC´ICIOS - GABARITO
Um Curso de C´alculo, Vol II. H. Guidorizzi. 7a. Edic¸˜ao.
23.1
(3)
c) Df ={(x, y)∈R2|y≥x2 e y≤2x} y
x y=x2
y= 2x
d) Df =
(x, y)∈R2
x2 1
√2
2 +y2 >1
.
y
Df
1
f) Df ={(x, y)∈R2 |−|x| ≤y≤ |x|}. y
x y=x y=−x
h) Df ={(x, y)∈R2 | y6=x+ 2kπ, k ∈Z ouy6=−x+ (2k+ 1)π, k∈Z}. y
x y =x Df
y=x+ 2π
y=x−2π y =−x+π
y=−x−π y=−x+ 3π
y=−x−3π
2
23.2
(1) a)
(a) Curva de N´ıvel (b) Gr´afico
c)
(a) Curva de N´ıvel (b) Gr´afico
e)
(a) Curva de N´ıvel (b) Gr´afico
h)
(a) Curva de N´ıvel (b) Gr´afico
4
i)
(a) Curva de N´ıvel (b) Gr´afico
j)
(a) Curva de N´ıvel (b) Gr´afico
l)
(a) Curva de N´ıvel (b) Gr´afico
m)
(a) Curva de N´ıvel (b) Gr´afico
6
n)
(a) Curva de N´ıvel (b) Gr´afico
q)
(a) Curva de N´ıvel (b) Gr´afico
(2)
a) Im(f) =R. b) Im(f) =R. c)Im(f) = R. h) Im(f) = R+. i) Im(f) = [0,1]. j)Im(f) =
−1 2,1
2
.
(a) Curva de N´ıvel a) (b) Curva de N´ıvel b) (c) Curva de N´ıvel c)
(d) Curva de N´ıvel h) (e) Curva de N´ıvel i) (f) Curva de N´ıvel j)
8
(3)
(a) Curva de N´ıvel (b) Gr´afico
(14)Sim, se o ponto n˜ao pertence ao dom´ınio, assim olhe para as curvas de n´ıvel da fun¸c˜ao f(x, y) = x
px2+y2. Mas se o ponto pertence ao dom´ınio, a resposta ´e N ˜AO, e para verificar isto, suponha, por absurdo, que interceptem, ent˜ao contrariaremos o fato de f ser fun¸c˜ao.
23.3
(1)
a) Df ={(x, y, z)∈R3 |x2+y2+z2 ≤1}.
Figura 1: O dom´ınio ´e a superf´ıcie e a parte interior
b) Df ={(x, y, z)∈R3 | z ≤1}.
Figura 2: O dom´ınio ´e o gr´afico e a regi˜ao abaixo do gr´afico.
10
c) Df ={(x, y, z)∈R3 | x+y+z ≤1}.
Figura 3: O dom´ınio ´e o gr´afico e a regi˜ao abaixo do gr´afico.
e) Df =R3\ {(0,0,0}.
y z
x
(2)
(a) Curva de N´ıvel a) (b) Curva de N´ıvel c) (c) Curva de N´ıvel d)
24.1
(1)
a) 0 b) N˜ao existe c) 0 d) N˜ao existe e) N˜ao existe f) N˜ao existe g) N˜ao existe h) N˜ao existe (3) Falsa. Analise o limite da fun¸c˜ao f(x, y) = x2
x2+y2 no (0,0).
(5) N˜ao existe (7) 1
(8) 0
24.2
(1)
a) R2 b)
(x, y)∈R2
x2 3 +y2
2 ≤1
c) {(x, y)∈R2|y < x} e) R2\ {(0,0)} f) R2 g) R2
(2) E cont´ınua em (0,´ 0).
12
(3) Use a continuidade da fun¸c˜ao f tomando ε= f(x0, y0)
2 .
C´alculo, Vol II. J. Stewart. 4a. Edic¸˜ao.
14.1
30
a) VI b) V c) I d) IV e) II f)III Dica: Veja para quais pontosf(x, y) = 0.
45 46
51 B e III 52 C e II 53 F e V 54 A e VI 55 D e IV 56 E e I Dica: Veja para quais pontosf(x, y) = 0 e as imagensf(x,0) e f(0, y).
61 f parece ter m´aximo de 15 e nenhum m´ınimo. E 5 parece ser m´aximo local.
62 f parece ter m´aximo global de 0,2 e m´ınimo global de −0,2.
65
Figura 4: c= 1: verde; c= 2: azul; c= 4:vermelho; c= 6 amarelo.
14
14.2
19 N˜ao existe.
20 N˜ao existe.
31 {(x, y)∈R2| |y| ≤x}. 32 {(x, y)∈R2| x2+y2 ≤1}. 34 {(x, y, z)∈R3| x+y+z ≥0}. 35 R2\ {(0,0)}
37 0.
38 0.
