Equações diferenciais com derivadas parciais

(1)

Equações diferenciais com derivadas

parciais

Alexander Plakhov e Lu´ıs Descalc¸o

Universidade de Aveiro

(2)

Equações e separação das variáveis

• Equações da física-matemática

(3)

Definições e classificação

A equação diferencial parcial (EDP) é uma equação que envolve uma função incógnita de duas (ou mais) vari´aveis, algumas

derivadas parciais desta função e variáveis independentes. A função incógnita vai ser sempre denotada por u(x, y) (ou

u(x, t)).

(4)

Definições e classificação

A equação diferencial parcial (EDP) é uma equação que envolve uma função incógnita de duas (ou mais) vari´aveis, algumas

derivadas parciais desta função e variáveis independentes. A função incógnita vai ser sempre denotada por u(x, y) (ou

u(x, t)).

A ordem da EDP é ordem da derivada de maior ordem que aparece na equação.

(5)

Forma genérica

A forma genérica da EDP de 1a ordem: F(x, y, u(x, y), ∂u

∂x(x, y),

∂u

∂y (x, y)) = 0; ou, em notação mais compacta: F(x, y, u, ux, uy) = 0.

(6)

Forma genérica

∂x(x, y),

∂u

A equação genérica de 2a ordem:

F(x, y, u, ux, uy, uxx, uxy, uyy) = 0,

(7)

Forma genérica

∂x(x, y),

∂u

A equação genérica de 2a ordem:

F(x, y, u, ux, uy, uxx, uxy, uyy) = 0,

etc.

Observaç ão. Lembramos que uma equação diferencial ordinária (EDO)

envolve uma função de uma variável u(x) e as suas derivadas:

F(x, u(x), u′_{(x), . . .). Geralmente as EDP’s são mais complicadas do que}

EDO’s.

(8)

Exemplos das EDP’s 1. u_x = 0. 2. u_x + uy = sin(x + y). 3. u2_x + u2_y = 1. 4. u_xx + uyy = 0 (equação de Laplace). 5. u_x = u_yy (equação do calor).

(9)

Exemplos das EDP’s 1. u_x = 0. 2. u_x + uy = sin(x + y). 3. u2_x + u2_y = 1. 4. u_xx + uyy = 0 (equação de Laplace). 5. u_x = u_yy (equação do calor).

6. u_y + uux + uxxx = 0 (equação de Korteweg - de Vries).

Quest˜ao: Qual é a ordem de cada uma destas equações?

(10)

Resolver EDP’s

• Sistemas da forma ∇F (x, y) = (P (x, y), Q(x, y)). Por exemplo,

(11)

∇F (x, y) = (2xy2, 2x2y + 1).

Obtemos F (x, y) = x2y2 + φ(y) usando a primeira equação,

(12)

∇F (x, y) = (2xy2, 2x2y + 1).

Obtemos F (x, y) = x2y2 + φ(y) usando a primeira equação, e usando a segunda, 2x2y + φ(y) = 2x2y + 1, donde

(13)

∇F (x, y) = (2xy2, 2x2y + 1).

Obtemos F (x, y) = x2y2 + φ(y) usando a primeira equação, e usando a segunda, 2x2y + φ(y) = 2x2y + 1, donde

F(x, y) = x2y2 + y.

• Primitivação direta. Por exemplo, uxxy = 1 resolve-se

primitivando e obtemos a solução

u(x, y) = yx₂2 + a(x) + xb(y) + c(y)

onde a, b e c são funções arbitrárias de uma variável.

(14)

• Procurar soluções em formas dadas. Por exemplo, para a

equação u_xx + 2uxy + uyy = 0, verificar que u(x, y) = erx+sy é

(15)

• Procurar soluções em formas dadas. Por exemplo, para a

equação u_xx + 2uxy + uyy = 0, verificar que u(x, y) = erx+sy é

solução se r2 + 2rs + s2 = 0.

Basta derivar u na forma dada e substituir na equação.

(16)

Operadores

Já vimos o exemplo do operador ∇ quando definimos o

gradiente e rotacional de um campo. Em geral, um operador é uma aplicação (entre duas famílias de funções) que a uma função faz corresponder outra função.

(17)

Operadores

Exemplos de operadores:

1. Lu = u_x + u_y (divergente). 2. Lu = u2_x + u2_y.

3. Lu = u_xx − x2u_yy.

(18)

Operadores

Definic¸˜ao Um operador diz-se linear se L(u + v) = Lu + Lv e L(λu) = λ · Lu, quaisquer que sejam funções u e v e o número real λ.

(19)

Operadores

Definic¸˜ao Um operador diz-se linear se L(u + v) = Lu + Lv e L(λu) = λ · Lu, quaisquer que sejam funções u e v e o número real λ.

Quest˜ao: Quais dos operadores no exemplo são lineares?

(20)

Propriedades das EDP lineares.

1. Soma de duas soluções de uma equação linear homogénea

também é solução:

(21)

Se Lu₁ = 0 e Lu₂ = 0 então L(u₁+u₂) = 0.

2. Se u é solução de uma equação linear homogénea, então λu

também é:

Se Lu = 0, então L(λu) = 0.

(22)

Se Lu₁ = 0 e Lu₂ = 0 então L(u₁+u₂) = 0.

2. Se u é solução de uma equação linear homogénea, então λu

também é:

Se Lu = 0, então L(λu) = 0.

3. Se u₁ é solução de uma EDP linear não

homogénea, Lu₁ = f , e u₂ é solução da equação homogénea correspondente, Lu₂ = 0, então a soma é solução da equação não homogénea: L(u₁ + u₂) = f .

(23)

Equação linear de primeira ordem

Equação linear homogênea de primeira ordem com coeficientes constantes

au_x + buy = 0

(24)

au_x + buy = 0 M´etodo geom´etrico. Temos

(25)

au_x + buy = 0 ⇔ (ux, uy) · (a, b) = 0 ⇔ D(a,b)u = 0.

Assim u é constante na direção de (a, b) e por isso depende apenas de bx − ay.

(26)

au_x + buy = 0 ⇔ (ux, uy) · (a, b) = 0 ⇔ D(a,b)u = 0.

Assim u é constante na direção de (a, b) e por isso depende apenas de bx − ay.

A solução é

u(x, y) = f (bx − ay)

(27)

au_x + buy = 0

(28)

au_x + buy = 0

M´etodo das coordenadas. Fazendo

(29)

au_x + buy = 0

s = ax + by e t = bx − ay

Obtemos

ux = aus + but e uy = bus − aut

(30)

au_x + buy = 0

s = ax + by e t = bx − ay

Obtemos

ux = aus + but e uy = bus − aut

Substituindo na equação obtemos

(31)

Equação linear de segunda ordem

EDP’s lineares homogéneas de 2a ordem com coeficientes constantes.: Au_xx + 2Buxy + Cuyy + Dux + Euy + F u = 0. Discriminante: ∆ = A B B C = AC − B 2

(32)

Equação linear de segunda ordem

EDP’s lineares homogéneas de 2a ordem com coeficientes constantes.: Au_xx + 2Buxy + Cuyy + Dux + Euy + F u = 0. Discriminante: ∆ = A B B C = AC − B 2

Teorema Por uma transformação linear das variáveis

independentes u(x, y) = ˜u(αx + βy, γx + δy), a equação acima pode ser reduzida a uma das três formas:

(i) u˜_xx + ˜u_yy + E = 0 (equação elíptica), se ∆ > 0; (ii) u˜_xx + E = 0 (equação parabólica), se ∆ = 0;

(33)

Equações da Física Matemática

As equações mais simples de cada um dos três tipos:

• _u_tt _{= a}2_u

xx (equação de corda)

• _u_t _{= a}2_u_xx _{(equação de calor)}

• _u_xx _{+ u}_yy _{= 0 (equação de Laplace)}

(34)

Equação da onda para uma corda infinita (1)

Vamos considerar a equação de corda, também conhecida como equação da onda, numa corda infinita (fisicamente uma corda muito longa)

(35)

u_tt − a2u_xx = 0.

• Podemos fatorizar o operador ficando ∂ ∂t − a ∂ ∂x ∂ ∂t + a ∂ ∂x u = 0

(36)

u_tt − a2u_xx = 0.

• Podemos fatorizar o operador ficando ∂ ∂t − a ∂ ∂x ∂ ∂t + a ∂ ∂x u = 0

obtemos assim duas equações de primeira ordem v_t − avx = 0 e ut + aux = v

(37)

A equação v_t − av_x = 0 tem solução geral

v(x, t) = h(x + at) com h função arbirária de uma variável

(38)

v(x, t) = h(x + at) com h função arbirária de uma variável Resta então resolver a equação completa

(39)

v(x, t) = h(x + at) com h função arbirária de uma variável Resta então resolver a equação completa

ut + aux = h(x + at)

A homogênea associada,

u_t + aux = 0,

tem solução

u(x, t) = g(x − at) onde g é uma função de uma variável.

(40)

Se f é uma função tal que f′

(x) = h(s)_2a então u(x, t) = f (x + at)

(41)

Se f é uma função tal que f′

(x) = h(s)_2a então u(x, t) = f (x + at)

é solução particular da equação completa u_t + au_x = h(x + at). Como esta equação é linear, todas as funções da forma

u(x, t) = f (x + at) + g(x − at)

são soluções (sol. particular da completa + geral da homogênea)

(42)

• Para obter a solução geral da equação u_tt − a2u_xx = 0,

(43)

podemos efetuar a mudanc¸a de vari´aveis ξ = x + at, η = x − at.

(44)

podemos efetuar a mudanc¸a de vari´aveis ξ = x + at, η = x − at. Temos ∂u ∂x = ∂u ∂ξ + ∂u ∂η e ∂u ∂t = a ∂u ∂ξ − a ∂u ∂η .

(45)

Substituindo na equação fatorizada ∂ ∂t − a ∂ ∂x ∂ ∂t + a ∂ ∂x u = 0

(46)

Substituindo na equação fatorizada ∂ ∂t − a ∂ ∂x ∂ ∂t + a ∂ ∂x u = 0 obtemos uηξ = 0 ⇔ uη = h(η) ⇔ u = f (η) + g(ξ)

(47)

Substituindo na equação fatorizada ∂ ∂t − a ∂ ∂x ∂ ∂t + a ∂ ∂x u = 0 obtemos uηξ = 0 ⇔ uη = h(η) ⇔ u = f (η) + g(ξ) donde

u(x, t) = f (x + at) + g(x − at) com f e g funções artbitrárias.

(48)

Equação da onda para uma corda finita

Vamos considerar a equação de corda para ilustrar o método da separação das variáveis (ou método de Fourier).

(49)

Consideremos uma corda de comprimento L > 0 cuja dinâmica é descrita por uma função u, sendo u(x, t) é a deslocação

transversal do ponto x ∈ [0, L] da corda no instante t.

(50)

Consideremos uma corda de comprimento L > 0 cuja dinâmica é descrita por uma função u, sendo u(x, t) é a deslocação

transversal do ponto x ∈ [0, L] da corda no instante t.

A corda é presa nas extremidades x = 0 e x = L, ou seja, u(0, t) = 0 e u(L, t) = 0 (condic¸˜oes laterais).

(51)

A corda

0 _L

x

x u(x, t) y

A configuração da corda no instante t

(52)

O problema

Vamos considerar o seguinte problema:

(a) utt = a2uxx, x ∈ [0, L], t ≥ 0

(b) u(0, t) = 0 = u(L, t), t ≥ 0

(53)

O problema

Vamos considerar o seguinte problema:

(a) utt = a2uxx, x ∈ [0, L], t ≥ 0

(b) u(0, t) = 0 = u(L, t), t ≥ 0

(c) u(x, 0) = ϕ(x), ut(x, 0) = ψ(x), x ∈ [0, L].

A função ϕ descreve a configuração inicial da corda e ψ descreve a velocidade inicial (transversal) dos pontos da corda.

(54)

Séries de Fourier

Se a função f satisfaz as condições de Dirichlet no intervalo ] − L, L[ (tem um número finito de descontinuidades e de extremos), então para os pontos de continuidade da função verifica-se f(x) = a0 2 + ∞ X m=1 a_m cos πmx L + ∞ X m=1 b_m sin πmx L com a_m = 1 L Z L −L cos πmx L f(x) dx (m = 0, 1, 2, . . .) e b_m = 1 L Z L −L sin πmx L f(x) dx (m = 1, 2, . . .)

(55)

Séries de Fourier

Se a_m = 0, m = 0, 1, 2, . . . então f é par e temos

f(x) = ∞ X m=1 bm sin πmx L com b_m = 2 L Z L 0 sin πmx L f(x) dx (m = 1, 2, . . .)

(56)

O método de separação das variáveis

Vamos então agora aplicar o método da separação das variáveis para resolver o nosso problema com a equação da corda.

Procuramos uma solução na forma u(x, t) = X(x) · T (t)

(portanto separando as variáveis), com o uso das alíneas (a) e (b), e ignorando por agora a alínea (c).

(57)

Vamos então agora aplicar o método da separação das variáveis para resolver o nosso problema com a equação da corda.

Procuramos uma solução na forma u(x, t) = X(x) · T (t)

(portanto separando as variáveis), com o uso das alíneas (a) e (b), e ignorando por agora a alínea (c).

(a) utt = a2uxx, x ∈ [0, L], t ≥ 0

(b) u(0, t) = 0 = u(L, t), t ≥ 0

(58)

O método de separação das variáveis (a) ⇒ X(x) · T′′ (t) = a2 X′′(x) · T (t), donde T ′′ (t) a2T(t) = X′′ (x) X(x) ∀x ∈ [0, L], ∀t ≥ 0.

(59)

O método de separação das variáveis (a) ⇒ X(x) · T′′ (t) = a2 X′′(x) · T (t), donde T ′′ (t) a2T(t) = X′′ (x) X(x) ∀x ∈ [0, L], ∀t ≥ 0.

A parte esquerda desta equação depende apenas de t, e a parte direita, de x, logo ambas as partes são iguais a uma constante. Deste modo, (i) X ′′ (x) X(x) = λ, (ii) T′′ (t) a2T (t) = λ.

(60)

Notemos que,

(b) ⇒ X(0) · T (t) = 0 = X(L) · T (t) ∀t ≥ 0, logo

X(0) = 0 e X(L) = 0,

(61)

Notemos que,

(b) ⇒ X(0) · T (t) = 0 = X(L) · T (t) ∀t ≥ 0, logo

X(0) = 0 e X(L) = 0,

pois caso contrário a função T seria identicamente nula. Vamos primeiro considerar a equação (i):

X′′(x) = λX(x).

Consideremos três casos: (a) λ > 0, (b) λ = 0 e (c) λ < 0. Provemos que os casos (a) e (b) são impossíveis.

(62)

Caso (a)

λ > 0. Seja λ = k2 com k 6= 0. Neste caso a solução geral desta equação (linear homogénea de coeficientes constantes) é

X(x) = α₁ekx + α₂e−kx

. Temos

(63)

Caso (a)

λ > 0. Seja λ = k2 com k 6= 0. Neste caso a solução geral desta equação (linear homogénea de coeficientes constantes) é

X(x) = α₁ekx + α₂e−kx

. Temos

X(0) = 0 ⇒ α₂ = −α₁ ( logo α₁ 6= 0).

Por outro lado

X(L) = 0 ⇒ α₁ekL − α₁e−kL = 0 ⇒ ekL = e−kL

o que é impossível, pois k 6= 0 e L 6= 0.

(64)

Caso (b)

λ = 0. A solução geral da equação X′′

(65)

Caso (b)

λ = 0. A solução geral da equação X′′

= 0 é X(x) = α₁x + α₂. Temos

X(0) = 0 ⇒ α₂ = 0 (logo α₁ 6= 0) e X(L) = 0 ⇒ α₁L = 0 o que também é impossível pois α₁ 6= 0 e L 6= 0.

(66)

Caso (c)

Deste modo, ficamos com o caso (c): λ < 0. Seja λ = −k2 com k 6= 0. A solução geral da equação X′′

= −k2X é X(x) = α₁ cos kx + α₂ sin kx.

(67)

Caso (c)

= −k2X é X(x) = α₁ cos kx + α₂ sin kx. Temos X(0) = 0 ⇒ α₁ = 0 (logo α₂ 6= 0). X(L) = 0 ⇒ sin kL = 0, logo k = πm L , m ∈ Z.

(68)

Caso (c)

= −k2X é X(x) = α₁ cos kx + α₂ sin kx. Temos X(0) = 0 ⇒ α₁ = 0 (logo α₂ 6= 0). X(L) = 0 ⇒ sin kL = 0, logo k = πm L , m ∈ Z. Deste modo, X(x) = α₂ sin πmx L , com m inteiro.

(69)

Equação (ii)

Consideremos agora a equação (ii) (com λ = −k2, k = πm_L ):

T′′(t) = −π

2_m2_a2

L2 T (t).

(70)

Equação (ii)

Consideremos agora a equação (ii) (com λ = −k2, k = πm_L ):

T′′(t) = −π 2_m2_a2 L2 T (t). A sua solução é: T (t) = β₁ cos πmat L + β2 sin πmat L .

(71)

Equação (ii)

Temos então, fazendo α₂β₁ = γ₁ e α₂β₂ = γ₂: u(x, t) = X(x)·T (t) = sin πmx L γ₁ cos πmat L + γ2 sin πmat L , onde m = 1, 2, 3, . . . (se m = 0, a solução é trivial; as soluções

com m = −1, −2, −3, . . . são idênticas às que se obtêm com m positivo).

(72)

Solução na forma de série

Esta solução genérica satisfaz as alíneas (a) e (b); para satisfazer a alínea (c), vamos procurar a solução na forma da série (soma infinita destas soluções):

(∗) u(x, t) = ∞ X m=1 sin πmx L a_m cos πmat L + bm sin πmat L .

(73)

Esta solução genérica satisfaz as alíneas (a) e (b); para satisfazer a alínea (c), vamos procurar a solução na forma da série (soma infinita destas soluções):

(∗) u(x, t) = ∞ X m=1 sin πmx L a_m cos πmat L + bm sin πmat L . A derivada u_t é u_t(x, t) = ∞ X m=1 sin πmx L −am πma L sin πmat L + bm πma L cos πmat L .

(74)

Solução na forma de série Fazendo t = 0 obtemos u(x, 0) = ∞ X m=1 a_m sin πmx L , ut(x, 0) = ∞ X m=1 b_m πma L sin πmx L .

(75)

Solução na forma de série Fazendo t = 0 obtemos u(x, 0) = ∞ X m=1 a_m sin πmx L , ut(x, 0) = ∞ X m=1 b_m πma L sin πmx L . Usando a alínea (c), obtemos as séries de Fourier

∞ X m=1 a_m sin πmx L = ϕ(x), ∞ X m=1 b_m πma L sin πmx L = ψ(x), com as funções ϕ e ψ conhecidas.

(76)

Os coeficientes destas séries são dados por: (∗∗) am = 2 L Z L 0 sin πmx L ϕ(x) dx, (∗ ∗ ∗) bm πma L = 2 L Z L 0 sin πmx L ψ(x) dx.

A fórmula (*), com os coeficientes dados por (**) e (**), dá-nos a solução para o nosso problema.

(77)

Exercício 1

Resolva o problema

utt = uxx, x ∈ [0, π], t ≥ 0

u(0, t) = 0 = u(π, t), t ≥ 0

u(x, 0) = 0, ut(x, 0) = sin x, x ∈ [0, π].

(78)

Exercício 1

Do exposto resulta que a solução do problema é da forma u(x, t) =

∞

X

m=1

sin(mx) (am cos(mt) + bm sin(mt)) ,

onde os coeficientes a_m e b_m são determinados por: am = 2 π Z π 0 sin(mx).0 dx e b_m = 2 mπ Z π 0 sin(mx) sin x dx.

(79)

Exercício 1

Do exposto resulta que a solução do problema é da forma u(x, t) =

∞

X

m=1

sin(mx) (am cos(mt) + bm sin(mt)) ,

onde os coeficientes a_m e b_m são determinados por: am = 2 π Z π 0 sin(mx).0 dx e b_m = 2 mπ Z π 0 sin(mx) sin x dx.

Daqui resulta de imediato que a_m = 0, para todo o m ≥ 1.

(80)

Exercício 1

Por outro lado (integrando por partes), Z π

0

sin(mx) sin x dx = − sin(mx) cos xπ₀ +

Z π 0 m cos(mx) cos x dx = m Z π 0 cos(mx) cos x dx = m cos(mx) sin xπ₀ + m Z π 0 sin(mx) sin x dx,

(81)

Exercício 1

Por outro lado (integrando por partes), Z π

0

sin(mx) sin x dx = − sin(mx) cos xπ₀ +

Z π 0 m cos(mx) cos x dx = m Z π 0 cos(mx) cos x dx = m cos(mx) sin xπ₀ + m Z π 0 sin(mx) sin x dx, ou seja, (1 − m2) Z π 0 sin(mx) sin x dx = 0. Se m > 1, Z π 0 sin(mx) sin x dx = 0 =⇒ bm = 0

(82)

Exercício 1 Se m = 1, Z π 0 sin x sin x dx = Z π 0 sin2(x) dx = Z π 0 1 − cos(2x) 2 dx = π 2 , logo, b₁ = _π2 π₂ = 1.

(83)

Exercício 1 Se m = 1, Z π 0 sin x sin x dx = Z π 0 sin2(x) dx = Z π 0 1 − cos(2x) 2 dx = π 2 , logo, b₁ = _π2 π₂ = 1.

Assim, a solução do problema dado é

u(x, t) = sin x sin t.

(84)

Equação de calor

Estudaremos a distribuição de temperatura numa barra de comprimento L.

Os pontos da barra são marcados por x ∈ [0, L]. Nas extremidades da barra a temperatura é nula:

u(0, t) = 0, u(L, t) = 0 (t ≥ 0). A distrubuição inicial de temperatura é

u(x, 0) = ϕ(x). É preciso encontrar a função u(x, t)

(85)

O problema:

ut = a2uxx, x ∈ [0, L], t ≥ 0

u(0, t) = 0 = u(L, t), t ≥ 0 (condições laterais) u(x, 0) = ϕ(x), x ∈ [0, L] (condição inicial). O coeficiente a > 0 depende das propriedades físicas da barra.

(86)

O problema:

ut = a2uxx, x ∈ [0, L], t ≥ 0

u(0, t) = 0 = u(L, t), t ≥ 0 (condições laterais) u(x, 0) = ϕ(x), x ∈ [0, L] (condição inicial). O coeficiente a > 0 depende das propriedades físicas da barra.

Diferenças entre este problema e o anterior: (i) na 1a alínea temos u_t em vez de u_tt e

(ii) na 3a alínea temos apenas uma condição inicial, em vez de duas.

(87)

Aplicação do método de separação das variáveis.

Procuramos uma solução na forma u(x, t) = X(x) · T (t). Temos X(x) · T ′ (t) = a2 X′′ (x) · T (t), logo T′ (t) a2T(t) = X′′ (x) X(x) ∀x ∈ [0, L], ∀t ≥ 0.

Daqui conclui-se que ambas as partes da equação são iguais a uma constante λ, logo

X′′ = λX, T′ = λa2T.

(88)

Procuramos uma solução na forma u(x, t) = X(x) · T (t). Temos X(x) · T ′ (t) = a2 X′′ (x) · T (t), logo T′ (t) a2T(t) = X′′ (x) X(x) ∀x ∈ [0, L], ∀t ≥ 0.

Daqui conclui-se que ambas as partes da equação são iguais a uma constante λ, logo

X′′ = λX, T′ = λa2T.

Repetindo o que foi dito anteriormente, conclui-se que λ = −k2, k = πm

L , X(x) = α sin

πmx

(89)

Além disso, T(t) = β exp(−π2m_L₂2a2 t), logo a solução genérica é

u(x, t) = X(x)·T (t) = αβ sin πmx L e

−π2 m2 a2

L2 t, m = 1, 2, 3, . . . .

(90)

Além disso, T(t) = β exp(−π2m_L₂2a2 t), logo a solução genérica é

u(x, t) = X(x)·T (t) = αβ sin πmx L e

−π2 m2 a2

L2 t, m = 1, 2, 3, . . . .

Procuramos a solução do problema na forma da série u(x, t) = ∞ X m=1 c_m sin πmx L e −π2 m2 a2 L2 t

(91)

Aplicação do método de separação das variáveis. Substituindo t = 0, temos ∞ X m=1 c_m sin πmx L = ϕ(x), os coeficientes c_m desta série de Fourier são

c_m = 2 L Z L 0 sin πmx L ϕ(x) dx.

(92)

Exercício 2

Resolva o problema de calor ut = 4uxx

u(0, t) = u(2π, t) = 0, t ≥ 0

(93)

Equação de Laplace:

u_xx + uyy = 0.

(O operador ∆u = u_xx + u_yy chama-se operador de Laplace.)

(94)

Equação de Laplace:

u_xx + uyy = 0.

(O operador ∆u = u_xx + u_yy chama-se operador de Laplace.) Vamos estudar o problema

uxx + uyy = 0, (x, y) ∈ D

u⌋C = ϕ (x, y) ∈ C,

onde D _{⊂ R}2 é uma região, C é uma fronteira de D e ϕ é uma função definida em C. A segunda alínea também pode ser escrita como

(95)

Interpretações físicas

1. Posição de equilíbrio de uma membrana elástica com a fronteira fixa (de acordo com a função ϕ).

2. Distribuição de equilíbrio de temperatura numa lâmina, com a temperatura fixa (mantida a igual a ϕ).

3. Potencial de um campo eléctrico dentro da região D gerado por uma distribuição de carga eléctrica ao longo do

perímetro C.

(96)

Restringimo-nos ao problema no círculo D = B_R(0, 0). Nas coordenadas polares, a função incógnita tem forma

˜

u(r, θ) = u(r cos θ, r sin θ). O operador de Laplace fica com a forma

∆u = ˜u_rr + 1

r u˜r + 1

r2 u˜θθ

O método de separação das variáveis leva-nos às seguintes soluções elementares:

˜

u(r, θ) = rk cos kθ; rk sin kθ, r−k

cos kθ, r−k

sin kθ, k = 1, 2, 3, . . . .

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Fronteira

Se a condição de fronteira é dada por uma série de Fourier ϕ(r cos θ, r sin θ) = a₀ + ∞ X k=1 a_k cos kθ + ∞ X k=1 b_k sin kθ,

então a solução do problema é a série composta das soluções elementares: ˜ u(r, θ) = a0 + ∞ X k=1 a_k r R k cos kθ + ∞ X k=1 b_k r R k sin kθ.

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Exercício 3

Resolva o problema

∆u = 0 se x2 + y2 ≤ 1 u(x, y) = x2 − y2 se x2 + y2 = 1.

Sugest˜ao A condição de fronteira ϕ(x, y) = x2 − y2 é definida na circunferência x = cos θ, y = sin θ e pode ser escrita como ϕ(cos θ, sin θ) = cos2 θ − sin2 θ = cos 2θ.