MODELOS NUMÉRICOS EM GEOCIÊNCIAS

MODELOS NUMÉRICOS EM GEOCIÊNCIAS

José Ricardo Sturaro

1

_{, José Silvio Govone}

2

1_{DGA/IGCE/UNESP/ Rio Claro, SP, Brasil, sturaro@rc.unesp.br} 2_{DEMAC/IGCE/UNESP/ Rio Claro, SP, Brasil, jsgovone@rc.unesp.br}

Resumo: A aplicação de métodos ou modelos numéricos em Geociências tem aumentado consideravelmente nas ultimas décadas. Isto se deve ao fato prático do avanço extraordinário da informática que possibilitou o processamento de grande quantidade de informações, comumente encontrada como resultados dos fenômenos em Geociências. Considerando que estes resultados não se adequam aos modelos determinísticos, recorreu-se aos fundamentos das variáveis aleatórias, cujo processamento intenso, possibilita obter um dos alvos mais importantes da Geociências, que são as estimativas em locais não amostrados. Dentro deste contexto, destacam-se os métodos estatísticos e geoestatísticos ou, ainda, modelos numéricos determinísticos, porém conduzidos pelos procedimentos estocásticos.

Palavras-Chave: Geoestatística, Variograma, Krigagem 1. INTRODUÇÃO

Os modelos matemáticos básicos aplicados em Geociências são os modelos determinísticos e os probabilísticos.

Os modelos determinísticos são os que apresentam resultados exatos, como por exemplo, a área de um círculo, o volume de uma esfera ou ainda aproximações físicas como a velocidade de queda de um objeto no vácuo e outros.

Os modelos probabilísticos estão relacionados com as variáveis aleatórias. Estas variáveis podem assumir um valor entre muitos valores possíveis, isto é somente um valor fixo

é insuficiente para descrever um dado probabilístico. Por exemplo:

- um lançamento de um dado produz valores aleatórios dentro de um conjunto [ 1, 2, 3, 4, 5, 6]

O conjunto de resultados e suas probabilidades associadas são denominados como lei de probabilidade ou distribuição de probabilidade de uma variável aleatória. Apesar da nossa ignorância dos mecanismos que influenciaram no valor da variável, é possível prever a um valor médio em locais não amostrados, baseado nos dados já coletados, de acordo com os recursos das funções aleatórias.

Solos e rochas, dos quais resultam as propriedades geocientificas constituem-se de materiais de elevada heterogeneidade e conforme a escala de mapeamento a ser adotada, a hipótese de uma classificação homogênea pode se revelar totalmente inadequada. Este importante aspecto torna-se mais evidente quando se deseja quantificar as propriedades dos solos ou das rochas, sem considerar a variabilidade natural destas propriedades. Nestes casos, é usual a atribuição de valores numéricos para zonas consideradas homogêneas, os quais, porém, não apresentam qualquer significado prático. A variabilidade é considerada por somente um único valor, cuja determinação seguramente envolve julgamentos pessoais ou, ainda, é ignorada, quando a média aritmética ou outro valor médio, obtidos do conjunto de amostras, são empregados como parâmetros no modelamento dos projetos.

Por outro lado a aplicação da estatística clássica está, por razões formais, limitada, nas avaliações de variabilidade, pela dispersão dos valores em torno de um valor médio ou de tendência central. A variabilidade espacial das

Titulo do Trab Autor 1, Autor 2, Autor 3, etc.

propriedades físicas, resultantes de uma formação complexa como solos e rochas, requer um novo conjunto de

ferramentas para sua análise.

A importância da variabilidade espacial pode ser ressaltada, por exemplo, quando se classificam solos segundo algumas propriedades geotécnicas, isto é dois solos distintos podem possuir a mesma distribuição de freqüência, com médias e variâncias estatisticamente iguais, porém a variação espacial das propriedades em análises, dentro de cada tipo de solo, pode ser completamente diferente.

As propriedades em geociências, dado às suas características, enquadram-se no universo de variáveis, cujos valores são respostas a processos naturais, como geológicos, pedológicos e outros. Desta forma, a metodologia da geoestatística, fundamentada nos modelos probabilísticos, constitui uma abordagem apropriada para quantificar a aparente aleatoriedade das variáveis geociencientíficas, efetuando estimativas e avaliando-se incertezas.

Na análise Geoestatística, a variabilidade espacial é avaliada e modelada, para em seguida se empregar técnicas apropriadas de estimativas, cujos resultados serão imagens representativas da distribuição no espaço, das propriedades que estão sendo analisadas.

É necessário ter-se um modelo do comportamento do fenômeno natural do qual resultou as variáveis em estudo, entretanto o conhecimento em detalhes do comportamento de fenômenos naturais, é de difícil alcance. Basta imaginar a gênese complexa do teor de argila, como produto da ação do intemperismo sobre as rochas, originando os solos ou então a formação de uma pluma de contaminação por efluentes tóxicos. Caso houvesse um perfeito conhecimento dos processos físicos e/ou químicos que geraram os valores das variáveis, poder-se-ia, então, usar modelos determinísticos com um número pequeno de amostras, para se fazer estimativa. Acontece, porém, que para a análise das variáveis, oriundas de fenômenos naturais, é necessário admitir alguma incerteza nos resultados das

variáveis associadas a esses fenômenos nos diversos pontos de amostragem.

Tal complexidade de processos que originam os dados, faz parecer que os mesmos possuem um comportamento aleatório, quando, de fato, eles apenas refletem o desconhecimento que se tem de todos os processos e de suas interações no fenômeno natural. Dentro deste contexto, os modelos probabilísticos surgem como uma alternativa consistente para modelar este comportamento, por meio do uso de funções aleatórias.

Para contornar esta situação, pode-se trabalhar com determinadas funções aleatórias, definidas em condições de estacionariedade espacial, que fornecem subsídios para estimar os parâmetros básicos da distribuição de probabilidade em locais não amostrados.

2. FUNÇÃO VARIOGRAMA

Dentre as funções que são utilizadas em geoestatística, destaca-se o semivariograma derivado do momento de inércia calculado para uma variável Z(x) em diversos intervalos de distância para uma direção h, cujo gráfico da Figura 1 demonstra a dedução do semivariograma [8].

Figura 1: Diagrama de dispersão de uma variável Z(x) para uma determinada distância h.

O momento de inércia, definido neste contexto como semivariograma, constitui-se na metade da média das diferenças quadráticas entre as coordenadas de cada par de pontos do diagrama de dispersão espacial de Z(x), ou seja:

-1

2

Variograma

_







+

=

=

           

_x

Z

_x

_h

Z

i

n

(1)

O valor ½ da equação representa a distância perpendicular dos pontos em relação à linha de 45º (graus) do diagrama de dispersão. Esta divisão por dois resulta na denominação de semivariograma, porém, muitos autores chamam simplesmente de variograma

De forma geral, o semivariograma é a função de incremento com a distância h em uma determinada direção visto que, quanto mais afastados forem os pontos de amostragem, mais seus valores em média deverão ser diferentes. Esta característica reflete bem a noção de zona de influência de uma amostra [9].

Figura 2 – Esquema padrão de um modelo variográfico perfeito

Desta forma, quando se calcula o momento de inércia para vários intervalos de distância, elabora-se um gráfico para uma determinada direção, denominado de semivariograma experimental da variável Z(x). Estes semivariogramas são normalmente feitos para várias direções, notadamente aquelas que possuem maior e menor continuidade da variável, constatadas em trabalhos preliminares de campo e mapas de isovalores das propriedades que estão em análise.

suposições básicas são requeridas:

- as diferenças entre pares de valores de amostras são determinadas pela orientação espacial relativa dessas amostras;

- ao assumir as condições de estacionariedade os valores da área de interesse não apresentam tendência que possa afetar os resultados e assim a preocupação será apenas com a variância das diferenças entre valores das amostras. Nota-se neste caso que uma função do tipo esférica é representativa da seqüência probabilística proposta, isto é, quando a probabilidade do evento anterior ocorrer é de 3/4.

3. ESTIMATIVA LINEAR: KRIGAGEM

A krigagem constitui-se num método de estimativa linear e local, efetuado dentro de vizinhanças estacionárias, que procura minimizar, sem viés, o erro de estimativa, levando em consideração as características espaciais de autocorrelação de variáveis regionalizadas. Nessas variáveis deve existir certa continuidade espacial, o que permite que os dados obtidos por amostragem de alguns pontos possam ser usados para parametrizar a estimação de pontos onde o valor da variável seja desconhecido. Ao ser constatado, inclusive, que a variável não possui continuidade espacial na área estudada, não tem sentido efetuar estimativas e/ou interpolações usando a krigagem.

Obedecida, porem essa condição a krigagem pode ser aplicada para:

1) previsão do valor pontual de uma variável regionalizada em um determinado local dentro do campo geométrico; é um procedimento de interpolação exato que leva em consideração todos os valores observados, o qual pode ser a base para cartografia automática por computador quando se dispõe de valores de uma variável regionalizada dispostos por uma determinada área;

2) cálculo médio de uma variável regionalizada para um volume maior que o suporte geométrico da amostragem.

Titulo do Trab Autor 1, Autor 2, Autor 3, etc.

( )

1 * n

_Z

i i i

x

Z

=

=

λ

(2)

onde são os pesos associados às informações Z(xi) e Z* refere-se à estimativa de um ponto, de uma área ou de um volume.

Existe uma infinidade de pesos que podem ser atribuídos aos valores de Z(xi), entretanto há interesse somente por uma combinação que forneça o melhor estimador não enviesado. As condições básicas para que esta situação seja atingida são: o valor estimado deve ser não enviesado e a variância da estimativa ser minimizada

O não viés requer que o erro de estimativa seja em média igual à zero:

( )

{

_Z

_x

-

_Z

*

}

₌

0

E

o ₍₃₎

Para isso é necessário estabelecer a condição

,

1

i



λ

=

visto que,

{ }

Z

*

=

m



i

=

E

{

Z

( )

x

o

}

E

₍₄₎

onde

E

{ }

z

* é a variância mínima de estimativa

A equação geral da variância de estimativa, que usa um conjunto de amostra

s

_i pode ser assim expressa:

(

)

(

)

1 1 1 , -, 2 2 n i n i n j j s i s j i V i s i E = = = = λ γ λλ γ σ ) , ( _ V V γ + (5) onde :

λ

_isão os pesos para cada amostra

s

_i

γ

é a função semivariograma médio

V corresponde ao domínio a ser estimado, podendo ser um bloco, área ou ponto v é um elemento do conjunto de amostras com suporte v.

O significado de cada termo da equação geral de variância de estimativa é o seguinte:

( )

v,

V

γ

_{: representa o semivariograma médio entre os}

elementos do conjunto de amostras estimadoras com suporte

v e o domínio v a ser estimado; este termo considerada a posição das amostras em relação á unidade a ser avaliada.

( )

v,

v

γ

_{: constitui-se no valor médio do semivariograma}

entre todas as amostras estimadoras de suporte v, situadas na vizinhança de estimativa; este termo considera a influência relativa das posições das amostras.

( )

V ,

V

γ

_{: representa o valor médio do semivariograma}

entre todos os possíveis pontos dentro da unidade V; desta forma são consideradas as feições geométricas da unidade a ser estimada.

Para minimizar esta equação, sujeita a condições de não enviezamento



λ

_i

= 1

, em relação aos ponderadores

i

λ

, faz-se o uso da técnica Lagrangiana, com o desenvolvimento das n derivadas parciais e igualando-as a zero; matematicamente, tem-se:

0

2

=

i E

δλ

δα

para i = 1, 2, 3...n (6) Este procedimento gera um sistema linear de n+1 equações, conhecido como sistema de equações de krigagem. A solução deste sistema gera os ponderadores ótimos assim como, a variância da estimativa.

REFERÊNCIAS

[1] CLARK, I. Pratical geostatistics. London: Applied Science Publishers , 1979. 129p

[2] DAVIS, J.C. Statistics and data analysis in geology. New York: John Wiley , 1986. 646p.

[3] DEUTSCH, C.V. Geostatistical Reservoir Modeling. Oxford University Press. New York, 2002. 376 p.

Ed. Oxford Univ. Press, New York, 1992.

[5] GOOVAERTS, P. Geostatistics for Natural Resources Evaluation. Oxford Univ. Press. New York, 512 p. 1997. [6] GOOVAERTS, P. Geostatistics in soil science: state-of-the-art and perspectives. Geoderma 89, 1-47, 1999. [7] ISAAKS, E.H.; SRIVASTAVA, R.M. Applied geostatistics. New York: Oxford University Press, 1989. 561p.

[8] JOURNEL, A.G.; HUIJBREGTS, J.C.H. Mining geostatistics. London: Academic Press, 1989. 600p. [9] MATHERON, G. Traité de Géostatistique appliquée. Memóires du Bureau de Recherches Géologiques et Miniéres, 1962. tome I, 333p. tome II, 172p.

[10] OLEA, R.A. Systematic sampling of spatial function. Kansas: Kansas Geological Survey, 1984. 57p. (Series on Spatial Analysis, 7).

[11] RENDU, J.M. An introduction to geostatistical methods of mineral evaluation. Johannesburg: Institute of Mining and Metallurgy, 1978. 83p