2019-03-RESUMO-ALGLIN

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Sistemas de Equa¸c˜

oes Lineares

´ Algebra Linear MCTB001 UFABC Setembro, 2019 ´

Algebra Linear MCTB001 (UFABC) Sistemas de Equa¸c˜oes Lineares Setembro, 2019 1 / 1

Sistemas de Equa¸c˜

oes Lineares e

Matrizes

Terceira Aula

´

Matrizes

Defini¸c˜ao

Uma matriz A = (aij) m × n ´e uma tabela de escalares aij, dispostos em

m-linhas e n-colunas do seguinte modo

A =           a11 a12 · · · a1j · · · a1n a21 a22 · · · a2j · · · a2n .. . ... ... a_{i 1} a_{i 2} · · ·a_ij · · · a_in .. . ... ... a_m1 a_m2 · · · amj · · ·amn          

a21→ n´umero localizado na 2a linha e 1a coluna

a_ij → número localizado na i -ésima linha e j -ésima coluna

amn → número localizado na m-ésima linha e n-ésima coluna

Nota¸c˜ao

O conjunto das matrizes reais m × n ser´a denotado por

Mm×n(R)

Observa¸c˜ao

Se m = n, isto é, o número de linhas é igual ao número de colunas, diremos que A é uma matriz real quadrada. Nesse caso

Mn(R)

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Linhas e Colunas de uma Matriz

1 _{As m n-nuplas horizontais} (a11, a12, · · · , a1n) (a21, a22, · · · , a2n) .. . (am1, am2, · · · , amn) s˜ao as linhas da matriz A. 2 _{As n m-uplas verticais}      a11 a21 .. . am1      ,      a12 a22 .. . am2      , · · · ,      a1n a2n .. . amn      s˜ao as colunas da matriz A. ´

Exemplo

Seja A = 1 −3 4 0 5 −2

A ´e uma matriz 2 × 3, ou seja, A ∈ M2×3(R)

Suas linhas s˜ao (1, −3, 4) e (0, 5, −2) Suas colunas s˜ao 1 0 , −3 5 e 4 −2 ´

Matrizes Escalonadas

A ´e uma matriz escalonada se:

1 _{Toda linha nula ocorre abaixo de todas as linhas n˜}_ao-nulas. N˜ao pode acontecer A =   −5 3 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2  

2 O primeiro elemento n˜ao-nulo de uma linha (chamado elemento

principal) está a direita do primeiro elemento não-nulo da linha precedente. Não pode acontecer A =  1 3 2 5 0 0 7 4 

Exemplos

As seguintes matrizes s˜ao escalonadas: 1 A =     2 3 2 0 4 5 −6 0 0 1 1 −3 2 0 0 0 0 0 0 6 2 0 0 0 0 0 0 0     2 B =   1 2 3 0 0 1 0 0 0   3 C =   0 1 3 0 0 4 0 0 0 1 0 −3 0 0 0 0 1 2  

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Matriz em forma canˆ

onica reduzida por linha

Forma Canˆonica

Seja A uma matriz escalonada. A est´a na forma canˆonica reduzida por linha se

(◦) Cada elemento principal n˜ao-nulo ´e 1.

(◦) Cada elemento principal é o único elemento não-nulo em sua coluna.

Exemplos

(◦) As matrizes A e B não estão na forma canônica de linha. (◦) A matriz C está na forma canônica de linha.

´

Opera¸c˜

oes Elementares com Linhas de uma Matriz

1 _{Permuta da i -´}_{esima linha com a j -´}_{esima linha:}

L_i ↔ L_j.

2 _{Multiplicar a i -´}_{esima linha por um escalar β 6= 0:}

L_i → βL_i.

3 Substituir a i -ésima linha pela i -ésima linha mais β vezes a j -ésima linha:

Li → Li+ βLj.

´

Observa¸c˜

ao

Quando usamos a 3a opera¸cão seguida da 2a opera¸cão, na prática estariamos usando uma única opera¸cão, ou seja,

Substituir a i -ésima linha por α vezes a j -ésima linha mais β vezes a i -ésima linha:

L_i → αL_j+ βL_i

Equivalˆ

encia por Linha

Sejam A e B duas matrizes reais m × n: A ´e equivalente por linha a B, escrevemos

A ∼ B,

se B pode ser obtida de A por uma sequˆencia finita de opera¸c˜oes elementares.

(4)

Algoritmos de Redu¸c˜

ao

Algoritmo 1: Redu¸cão à forma escalonada (elimina¸cão Gaussiana)

Seja A = (aij) uma matriz:

1 Determine a 1a coluna com um elemento n˜ao-nulo. Seja a coluna j₁. 2 Permute as linhas de maneira que apare¸ca um elemento n˜ao-nulo na

primeira linha da coluna j₁, isto ´e, de modo que a_1j₁ 6= 0. 3 _{Usar a}_1j

1 como pivˆo para obter zeros abaixo dele.

4 Repita os passos acima com a submatriz formada por todas as linhas

exceto a primeira.

5 Continue o processo at´e que A esteja na forma escalonada.

´

Exemplo

Usando o Algoritmo 1 temos que

A =   1 2 −3 0 2 4 −2 2 3 6 −4 3  ∼   1 2 −3 0 0 0 4 2 0 0 0 2  = B

Para obter a equivalˆencia acima :

1 _{Usamos a}₁₁_{= 1 como pivˆ}_{o e as opera¸c˜}_oes

L₂→ L₂+ (−2)L₁ e L₃→ L₃+ (−3)L₁ para obter zeros abaixo de a11

2 Na matriz obtida acima, usamos a₂₃= 4 como pivˆo e a opera¸c˜ao L3→ (4)L3+ (−5)L2

para obter zeros abaixo de a₂₃

´

Algoritmos de Redu¸c˜

ao

Algtmo 2: Redu¸cão à forma canônica (elimina¸cão de Gauss-Jordan)

Seja A = (a_ij) uma matriz emforma escalonada:

1 _{Multiplique a ´}_{ultima linha n˜}_{ao-nula por um n´}_{umero de modo que o} elemento principal n˜ao-nulo seja 1.

2 Use este elemento como pivˆo para obter zeros acima do pivˆo . 3 Repita os passos acima com as linhas “anteriores”.

4 _{Multiplique a 1}a _{linha por um n´}_{umero de modo que o elemento} n˜ao-nulo seja 1.

Exemplo

Usando o Algoritmo 2 na matriz B do exemplo anterior temos

B =   1 2 −3 0 0 0 4 2 0 0 0 2  ∼   1 2 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1  = C

Para obter a equivalˆencia acima: 1 _{Fazemos a opera¸}_c˜_ao: _L3→ (1

2)L3

2 _{Na matriz obtida acima, usamos a34}_{= 1 como pivˆ}_{o e a opera¸}_c˜_ao

L2→ L2+ (−2)L3 para obter zeros acima de a34

3 _{Na matriz obtida acima fazemos a opera¸}_c˜_ao: _L₂_{→ (}1

4)L2

4 _{Finalmente, fazemos a opera¸}_c˜_ao: _L1→ L1_{+ (3)L2.}

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Sistemas de Equa¸c˜

oes Lineares e Matrizes

Consideremos o seguinte sistema linear

(S )                        a11x1 +a12x2 + · · · + a1jxj + · · · + a1nxn = b1 a21x1 +a22x2 + · · · + a2jxj + · · · + a2nxn = b2 .. . ... ... ai 1x1 +ai 2x2 + · · · + ainxi+ · · · + ainxn = bi .. . ... ... am1x1 +am2x2 + · · · + amjxj + · · · + amnxn = bm ´

Matriz dos coeficientes

A matriz A =           a11 a12 · · · a1j · · · a1n a₂₁ a₂₂ · · · a_2j · · · a_2n .. . ... ... ... a_{i 1} a_{i 2} · · · a_ij · · · a_in .. . ... ... ... am1 am2 · · · amj · · · amn          

´e chamada matriz dos coeficientes do sistema (S ).

´

Matriz aumentada ou ampliada

A matriz M =           a₁₁ a₁₂ · · · a_1j · · · a_1n | b₁ a₂₁ a₂₂ · · · a_2j · · · a_2n | b₂ .. . | ... ai 1 ai 2 · · · aij · · · ain | bi .. . | ... am1 am2 · · · amj · · · amn | bm           ´

e chamada matriz aumentada ou ampliada do sistema (S ).

Exemplo 1

1 _{Considere o sistema}    x + 2y − 4z = −4 5x + 11y − 21z = −22 3x − 2y + 3z = 11

A matriz ampliada do sistema e a matriz dos coeficientes s˜ao:

M =   1 2 −4 | −4 5 11 −21 | −22 3 −2 3 | 11   e A =   1 2 −4 5 11 −21 3 −2 3   respectivamente.

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Exemplo 2

1 Considere o sistema

x + 4y − 3z + 2t = 5

z − 4t = 2

A matriz ampliada do sistema e a matriz dos coeficientes s˜ao: M = 1 4 −3 2 | 5 0 0 1 −4 | 2 e A = 1 4 −3 2 0 0 1 −4 respectivamente. ´

Exerc´ıcios

1 Use os dois algoritmos de elimina¸c˜ao para mostrar que

  2 3 4 5 6 0 0 3 2 5 0 0 0 0 4  ∼   2 3 4 5 6 0 0 3 2 5 0 0 0 0 4  ∼    1 3₂ 0 7₆ 0 0 0 1 2₃ 0 0 0 0 0 1    2 Considere o sistema    x + 3y + 13z = 9 y + 5z = 2 − 2y − 10z = −8

(a) Determine a matriz A dos coeficientes e a matriz ampliada M do sistema.

(b) Reduza a matriz M a sua forma canˆonica.

(c) Qual o sistema associado a matriz obtida no item anterior? Este sistema tem solu¸c˜ao ? Em caso afirmativo, encontre a mesma.

´

Exerc´ıcios

1 Mostre que o sistema

   x₁ + x₂ − 2x₃ + 3x₄ = 4 2x₁ + 3x₂ + 3x₃ − x₄ = 3 5x₁ + 7x₂ + 4x₃ + x₄ = 5