Relatório Científico Parcial. Programa PNPD/CAPES - modalidade A. Novas equações de estado e hidrodinâmica da matéria de quarks

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Relat´

orio Cient´ıfico Parcial

Programa PNPD/CAPES - modalidade A

Novas equa¸

c˜

oes de estado

e hidrodinˆ

amica da mat´

eria de quarks

Per´ıodo: agosto de 2015 a julho de 2016

Instituto de F´ısica - Universidade de S˜ao Paulo

Bolsista: David Augaitis Foga¸ca

Supervisor: Prof. Dr. Fernando Silveira Navarra

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Nome do bolsista: David Augaitis Foga¸ca

Institui¸c˜ao: Instituto de F´ısica - Universidade de S˜ao Paulo, Departa-mento de F´ısica Experimental

N´ıvel: P´os-Doutorado, Programa PNPD/CAPES - modalidade A Supervisor: Prof. Dr. Fernando Silveira Navarra

´

Area: F´ısica

T´ıtulo do projeto de pesquisa: Novas equa¸cões de estado e hidrodinâmica da matéria de quarks

Vigência da Bolsa: 01 de novembro de 2015 a 31 de outubro de 2016 Relatório: 3 Per´ıodo deste relatório: agosto/2015 a julho/2016

Data da entrega: 09 de agosto de 2016 S˜ao Paulo, 09 de agosto de 2016.

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1 Resumo do plano inicial

1.1 Ondas n˜

ao-lineares em fluidos viscosos

Conforme mencionamos no plano de pesquisa, as perturba¸cões não-lineares fortemente localizadas podem existir e se propagar através de um fluido. Duas famosas são os solitons de KdV (em uma dimensão) e o sóliton de Kadomtsev-Petviashvili (KP) (em três dimensões). A equa¸cão de KP é a generaliza¸cão tridimensional da equa¸cão de KdV. Em trabalhos recentes nós obtivemos (em temperatura nula) a equa¸cão de KdV no plasma de quarks e gluons fortemente acoplado (sQGP) [1] e a equa¸cão de KP em QCD [2]. Ambas equa¸cões surgem da combina¸cão das versões relativ´ısticas da equa¸cão de Euler e da continuidade mediante inclusão de termos não-lineares via RPM [3]. A próxima etapa é verificar se tais equa¸cões de onda não-lineares também existem em altas temperaturas.

Já estudamos efeitos de viscosidade na hidrodinâmica relativ´ıstica através do uso da equa¸cão de Navier-Stokes que resultou numa equa¸cão de Burgers para perturba¸cões na densidade de energia [4]. Estas perturba¸cões descrevem tubos de fluxo cil´ındricos que se expandem no QGP. Para considerar termos não-lineares e obter a equa¸cão de Burgers, utilizamos o RPM. Com o uso deste método eliminamos o problema de causalidade da equa¸cão de Navier-Stokes. Porém, uma descri¸cão mais consistente deve ser feita através da teoria de Müller-Israel-Stewart (MIS) [5]. Pretendemos aplicar o RPM na teoria de MIS. Assim será poss´ıvel estudar sob quais condi¸cões ocorre ou não a viola¸cão da causalidade na hidrodinâmica relativ´ıstica e determinar que equa¸cões de onda não-lineares com viscosidade são causais. As equa¸cões de onda encontradas serão aplicadas, por exemplo, no estudo da evolu¸cão de tubos de fluxo no QGP. Também fizemos estudo de propaga¸cão de ondas lineares e não-lineares na hidrodinâmica não-relativ´ıstica viscosa para o gás

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de hadrons (HG) e também para o QGP. Conclu´ımos o HG dissipa fortemente a propaga¸cão de ondas, enquanto que para o QGP as ondas “sobrevivem mais”, possibilitando a forma¸cão de ondas de choque [6]. Queremos estender esse trabalho para a hidrodinâmica relativ´ıstica causal viscosa para encontrar mais assinaturas que diferenciem o HG do QGP.

1.2 Campo magn´

etico

Também apresentamos a proposta de recalcular nossa equa¸cão de estado (EOS), derivada em [7], incluindo a a¸cão do campo magnético. A inclusão do campo magnético na QCD é feita através do acoplamento m´ınimo com os campos dos quarks e com a adi¸cão do termo eletromagnético na Lagran-giana da QCD [8]. Essa nova EOS, além de ser um trabalho inédito iso-ladamente, também possibilita estudar os efeitos do campo magnético no cálculo de estrutura estelar de estrelas compactas de quarks. A estrutura estelar (cálulo de raio e massa) é obtida através das solu¸cões das equa¸cões de Tolman-Oppenheimer-Volkoff (TOV). Tal trabalho em astrof´ısica seria uma perfei¸coamento do que fizemos em [9].

1.3 Temperatura finita

A generaliza¸cão natural é estender nossa EOS em [7] para o caso do QGP quente, ou seja, recalculando-a em temperatura finita. Como em [7], faremos a separa¸cão do campo dos gluons em “hard” e “soft” e reescreveremos a componente “soft” em termos dos condensados de gluons, que, como já foi mostrado em cálculos de QCD na rede, sobrevive até temperaturas da ordem de 2Tc (onde Tc é a temperatura cr´ıtica). Um dos objetivos é reproduzir os

resultados de QCD na rede e estendê-los para densidades altas, o que não é poss´ıvel fazer na rede, obtendo assim uma aproxima¸cão anal´ıtica (e válida para altas densidades) para os cálculos numéricos feitos em [10].

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1.4 Invariˆ

ancia de gauge

A EOS que deduzimos em [7] foi a partir da Lagrangiana da QCD. Entre-tanto, fizemos aproxima¸cões que resultaram numa teoria efetiva de quarks e gluons am altas densidades. Se por um lado a equa¸cão obtida é anal´ıtica e nos dá um ótimo “insight” sobre a f´ısica envolvida, por outro, tivemos que sacrificar a invariância de gauge. Pretendemos rederivar nossa EOS num formalismo invariante de gauge, com o uso do tensor de energia-momento da QCD, invariante de gauge e simétrico [11], não desprezando as derivadas espa¸co-temporais da componente do campo dos gluons. Uma vez obtida a nova EOS, pretendemos investigar suas implica¸cões no cálculo de estrutura estelar.

1.5 Equa¸

c˜

oes de estado em cosmologia

No universo primordial houve um “crossover” do QGP para a fase hadrônica. Nós pretendemos investigar como estas mudan¸cas na equa¸cão de estado do QGP alteram a evolu¸cão do Universo neste per´ıodo de transi¸cão e quais as suas conseqüências observacionais. Alguns trabalhos sobre este tema já foram publicados [12], mas ainda há muito o que se fazer, como por exemplo, considerar potencial qu´ımico baixo, o que ainda não foi feito.

Um primeiro passo nesta dire¸cão é resolver as equa¸cões de Friedmann usando novas equa¸cõess de estado, como já feito em [13, 14, 15] e determinar quais as altera¸cões na evolu¸cão temporal de grandezas como densidade de energia, temperatura, pressão e velocidade do som. A seguir pretendemos investigar quais as altera¸cões em processos como a emissão de ondas gravita-cionais. Estes estudos em cosmologia serão executados junto com o aluno de doutorado Samuel Mendes Sanches Júnior, do qual estou sendo co-orientador informal.

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1.6 Flutua¸

c˜

oes na densidade de energia:

inomogenei-dades cosmol´

ogicas na QCD

Através das equa¸cões de conserva¸cão de energia e momento na relatividade geral pretendendemos estudar as flutua¸cões na densidade de energia no Uni-verso primordial quando a transi¸cão de fase para a QCD ocorre [14, 15, 16]. Esse estudo é baseado no fato de que os efeitos de transi¸cão para esta fase afetam a dependência no tempo das grandezas termodinâmicas e geram flu-tua¸cões da densidade de energia do Universo primordial.

Se a transi¸cão para a fase de QCD for de primeira ordem, com a veloci-dade do som se anulando na temperatura cr´ıtica de transi¸cão, tais flutua¸cões possuem altas amplitudes em suas oscila¸cões. Entretanto, se a transi¸cão for do tipo “crossover” espera-se que as flutua¸cões sejam amortecidas e que também a velocidade do som nunca será nula, ela simplesmente diminuirá a um valor finito na região de temperatura onde ocorre o crossover. Nos trabalhos [14, 15, 16] o formalismo para o estudo de flutua¸cões é desenvol-vido e a equa¸cão de estado utilizada é baseada no modelo de sacola do MIT com contribui¸cões eletrofracas. Pretendemos estudar tal formalismo e refazer os trabalhos [14, 15, 16] utilizando novas equa¸cões de estado, tornando este trabalho uma extensão do estudo descrito no item anterior.

1.7 Cavita¸

c˜

ao no plasma de quarks e gluons

Após o estudo de dissipa¸cão e causalidade a partir da teoria MIS, estudamos outro efeito da viscosidade que é a cavita¸cão no plasma de quarks e gluons. A cavita¸cão acontece quando a pressão longitudinal no referencial próprio do fluido se torna negativa devido efeitos de viscosidade [17]. Nós aplicamos as equa¸cões de estado mais modernas e a que desenvolvemos [18] no estudo de cavita¸cão no plasma de quarks e gluons.

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Essencialmente estudamos e sofisticamos o trabalho desenvolvido em [17], não apenas com a utiliza¸cão de equa¸cões de estado mais atuais, mas usando potencial qu´ımico finito e estendendo o estudo para o plasma de quarks e gluons não-conforme em teorias holográficas [19]. Um efeito interessante que conclu´ımos é que o aumento do potencial qu´ımico faz com que a cavita¸cão ocorra mais cedo com rela¸cão a situa¸cões de potencial qu´ımico nulo. Além disso estudamos as parametriza¸cões modernas de viscosidade e escalas de tempo de relaxa¸cão que garantem a estabilidade dos fluidos viscosos rela-tiv´ısticos.

1.8 Estudo de colapso de bolhas de hadrons no plasma

de quarks e gluons

Aplicaremos as equa¸cões de estado modernas estudadas nos nossos trabalhos [18, 20] referente ao item 1.5 - “Equa¸cões de estado em Cosmologia” e ao trabalho [21] referente ao item 1.7 - “Cavita¸cão no plasma de quarks e gluons” no estudo de tempo de colapso das bolhas de hadrons que surgem no plasma de quarks e gluons (QGP). Para tanto, utilizaremos a versão relativ´ıstica da equa¸cão de Rayleigh-Plesset [22], que é a equa¸cão que rege a dinâmica de bolhas em fluidos. Nesta equa¸cão utilizaremos duas equa¸cões de estado: uma para a fase de l´ıquido (QGP) e outra para a fase de gás (gás de hadrons). Este estudo compreende o estudo de outras equa¸cões de estado para a fase hadrônica e também estudos anal´ıticos e numéricos mais detalhados, uma vez que a versão relativ´ıstica da equa¸cão de Rayleigh-Plesset é uma equa¸cão ´ıntegro-diferencial.

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2 Resumo das atividades desenvolvidas

durante o per´ıodo deste relat´

orio

2.1 Estudo de bolhas de hadrons no plasma de quarks

e gluons

Nosso estudo referente ao item 1.7 - “Cavita¸cão no plasma de quarks e glu-ons” resultou no trabalho publicado [21] conforme apresentamos no relatório anterior. Quando a cavita¸cão ocorre, bolhas de outra fase podem surgir no meio e o estudo de tempo de colapso destas bolhas pode fornecer alguma informa¸cão sobre a poss´ıvel transi¸cão de fase. Estudamos as duas situa¸cões: bolhas de hadrons que surgem no plasma de quarks e gluons (QGP) e também bolhas de QGP que surgem no gás de hadrons (HG), após a cavita¸cão.

Executamos o item 1.8 - “Estudo de colapso de bolhas de Hadrons no Plasma de Quarks e Gluons” do plano de trabalho. O tempo de colapso de bolhas foi obtido através da solu¸cão da versão relativ´ıstica da equa¸cão de Rayleigh-Plesset (RRP), que é a equa¸cão que rege a dinâmica de bolhas em fluidos. Em nosso caso foi necessário deduzir a versão da RRP para temperatura finita, uma vez que a RRP obtida em [22] era apenas para temperatura nula. Para tanto, usamos o princ´ıpio variacional que leva à RRP, mas agora com a inclusão da temperatura. Obtida a RRP, nós utilizamos equa¸cões de estado modernas para as duas fases: uma variante do modelo de sacola do MIT para o QGP frio e o modelo não-linear de Walecka para o HG frio. Para o caso de temperatura finita, consideramos uma parametriza¸cão da QCD na rede recente e o modelo Walecka para o HG quente.

Estudamos também os limites não-relativ´ısticos da RRP em temperatura nula e finita, resolvendo as equa¸cões encontradas tanto numerica quanto ana-liticamente. Uma das conclusões mais importantes deste trabalho foi no caso

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de temperatura nula: o tempo de expansão da bolha de QGP não é pe-queno, sugerindo que a dura¸cão da transi¸cão de fase quark-hadron deve ser considerada nas simula¸cões de colisões em energias intermediárias.

Esse trabalho foi extenso e exigiu nossa aten¸cão em boa parte do segundo semestre do ano passado, sendo submetido em janeiro deste ano e aceito para publica¸cão no mês de maio, após revisões sugeridas pelo referee e melhorias no estudo numérico. Todo o estudo deste tópico foi executado em conjunto com o aluno de doutorado Samuel Mendes Sanches Júnior e o pós-doutor Ricardo Fariello, ambos do IFUSP, e está publicado em [23].

2.2 Equa¸

c˜

ao de estado com campo magn´

etico e aplica¸

c˜

ao

em astrof´ısica

De acordo com nossas propostas de trabalho resumidas nos itens 1.2 -“Campo magnético” e 1.3 - “Temperatura finita”, deduzimos uma expressão anal´ıtica da equa¸cão de estado do QGP frio sob um campo magnético forte. Além disso fizemos os cálculos considerando temperatura finita e incluindo a intera¸cão com o campo magnético a partir da Lagrangiana da QCD.

As expressões obtidas foram calculadas no limite de temperatura nula para aplica¸cão em astrof´ısica. Além disso, realizamos um estudo preciso da determina¸cão dos parâmetros tais como acoplamentos, massas, condensados de gluons, intensidade do campo magnético e n´ıveis de Landau, satisfazendo as condi¸cões de estabilidade da equa¸cão de estado. As condi¸cões de estabi-lidade incluem a conserva¸cão do número bariônico, a neutralidade de carga, o decaimento beta e que a energia por bárion no QGP seja suficientemente pequena para que ele não decaia num meio hadrônico. Uma descri¸cão de-talhada das condi¸cões de estabilidade encontra-se em [9]. Com a equa¸cão de estado satisfazendo as condi¸cões de estabilidade, podemos aplicá-la em cálculos de estrutura estelar [9]. Obtivemos massas estelares da ordem de

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1.8 a 3.3 massas solares com raios de 10 Km a 17 Km nas situa¸c˜oes de campo magn´etico nulo e finito com intensidades de 5 × 1016

Ga 1018

G. Este trabalho foi executado com o aluno de doutorado Samuel Mendes Sanches Júnior e o aluno de mestrado Theo F. Motta, também sob orienta¸cão do Prof. Dr. Fernando Silveira Navarra. Este trabalho é a publica¸cão [24].

2.3 Estudo de causalidade em fluidos viscosos

Durante a elabora¸cão do artigo [25] tivemos que estudar em detalhes as propriedades de causalidade e estabilidade de teorias que descrevem hidro-dinâmica relativ´ıstica dissipativa. Como conseqüência desenvolvemos junta-mente com o Prof. Dr. Jorge Noronha, o aluno de doutorado Hugo Marrochio do Perimeter Institute for Theoretical Physics e o Prof. Dr. Gabriel S. Deni-col da UFF, uma análise das condi¸cões necessárias para que uma teoria em hidrodinâmica relativ´ıstica dissipativa seja estável e causal, incluindo outras teorias alternativas à MIS.

Estudamos causalidade e estabilidade de teorias em hidrodinâmica dis-sipativa cujas escalas de tempo de relaxa¸cão (parâmetro de transporte) são constru´ıdas a partir de expansão em gradientes da velocidade do fluido. A diferen¸ca é que a MIS é causal e estável para perturba¸cões lineares em todos os comprimentos de ondas e velocidades do fluido, enquanto que outras teo-rias baseadas nestas expansões em gradientes de velocidade são instáveis em regimes de baixas velocidades do fluido, como por exemplo, a teoria proposta em [26].

Desenvolvemos também uma forma covariante de escrever as rela¸cões de dispersão para as equa¸cões de ondas lineares no fluido, com o objetivo de estudar estabilidade e causalidade. Provamos que em geral uma teoria dissi-pativa constru´ıda a partir de expansão em gradientes de velocidade sempre

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contém modos não-causais e instáveis, isto é, modos divergentes em regiões onde o fluido está praticamente em repouso.

Vamos escrever este trabalho junto com o estudante Hugo Marrochio, abrangendo o que desenvolvemos em [25] e que ser´a contextualizado em um novo trabalho publicado recentemente em [27].

2.4 Trabalhos apresentados em eventos

Foram apresentados dois trabalhos do qual sou co-autor. Ambos foram apre-sentados na forma de seminário pelo aluno de doutorado Samuel Mendes Sanches Júnior. O primeiro trabalho foi “Cavita¸cão no plasma de quarks e gluons” na XXVI Reunião de Trabalho sobre Intera¸cões Hadrônicas - RE-TINHA XXVI (ocorrida no CBPF - Rio de Janeiro, em 2015), que relata aspectos do trabalho publicado em [21]. O outro trabalho foi “Evolu¸cão de bolhas e a transi¸cão de fase quark-hadron”, apresentado na XXVII Reunião de Trabalho sobre Intera¸cões Hadrônicas - RETINHA XXVII (ocorrida no IFUSP em maio deste ano), baseado na publica¸cão [23].

3 Publica¸

c˜

oes no per´ıodo

Artigo publicado em revista:

1) “Bubble dynamics and the quark-hadron phase transition in nuclear collisions”, D. A. Foga¸ca, S. M. Sanches, R. Fariello and F. S. Navarra, Phys. Rev. C 93, 055204 (2016) [arXiv:1601.04596 [hep-ph]].

Artigo submetido para publica¸c˜ao:

1) “Compact stars with strongly coupled quark matter in a strong mag-netic field”, D. A. Foga¸ca, S. M. Sanches Jr., T. F. Motta, F. S. Navarra, [arXiv:1608.00602 [hep-ph]] e submetido ao Physical Review C.

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1) “Stability and causality for relativistic dissipative hydrodynamics with relaxation”, H. Marrochio and D. A. Foga¸ca.

4 Solicita¸

c˜

ao da renova¸

c˜

ao para o pr´

oximo

per´ıodo

Os resultados obtidos nesse per´ıodo nos motivam a continuar a desenvolver as linhas de pesquisas propostas no plano de trabalho inicial e tamb´em a estudar novos itens adicionados ao nosso plano, descritos em “Plano de trabalho e cronograma para as etapas seguintes”.

Com os resultados já obtidos e os estudos em execu¸cão, solicitamos a renova¸cão da bolsa de pós-doutoramento do programa PNPD/CAPES - mo-dalidade A para dar continuidade aos nossos trabalhos já em andamento e para executar o projeto apresentado na próxima se¸cão.

Pretendemos dar continuidade à execu¸cão do plano inicial e também exe-cutar os projetos mencionados na próxima se¸cão.

5 Plano de trabalho e cronograma para as

etapas seguintes

Nosso plano inicial de trabalho permanece em execu¸cão, agora com a adi¸cão dos tópicos:

5.1 Equa¸

c˜

oes de estado em cosmologia com

hidro-dinˆ

amica viscosa

Pretendemos refazer o estudo do item 1.5 - “Equa¸cões de estado em Cos-mologia”, mas agora considerando a hidrodinâmica relativ´ıstica dissipativa, ou seja, queremos resolver as equa¸cões de Friedmann a fim de estudarmos

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quais os efeitos dissipativos na evolu¸cão temporal da densidade de energia e temperatura, por exemplo. Essencialmente consiste em refazer nosso estudo [18, 20], porém com a inclusão de viscosidade e escalas de relaxa¸cão.

Este estudo também será executado junto com o aluno de doutorado Samuel Mendes Sanches Júnior.

5.2 Estudo de ondas n˜

ao-lineares no plasma de quarks

e gluons sob influˆ

encia de campo magn´

etico

in-tenso

Utilizando nossa equa¸cão de estado para o QGP sob influência do campo magnético e a recente aplica¸cão dela em astrof´ısica feita no trabalho [24], va-mos estudar ondas não-lineares em fluidos viscosos no contexto da magneto-hidrodinâmica [28]. Estudaremos os efeitos que o campo magnético produz na estabilidade e causalidade de ondas lineares e não-lineares que regem per-turba¸cões de densidade bariônica no QGP. A originalidade neste trabalho está no fato de termos a intera¸cão dos quarks com o campo magnético não apenas nas equa¸cões básicas da magneto-hidrodinâmica, mas também efeitos do campo magnético proveniente da equa¸cão de estado. Este trabalho está em execu¸cão e as equa¸cões que já deduzimos são apresentadas resumidamente a seguir.

5.1.1− Equa¸cão de onda na lineariza¸cão da magneto-hidrodinâmica. Considerando que o QGP para um dado campo magnético uniforme é definido por uma densidade bariônica de referência ρ0 e com velocidade do

som cs, podemos definir para cada sabor de quark f as seguintes grandezas

adimensionais para a densidade bariˆonica (ρB) e velocidade(~v):

ˆ

ρ_f = ρB f(x, y, z, t) ρ0

e ~vˆ_f =~vf(x, y, z, t) cs

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A partir da condi¸cão de equil´ıbrio as perturba¸cões na densidade e velocidade são: ˆ ρ_f = ρB f(x, y, z, t) ρ0 = 1 + δρ_{B f}(x, y, z, t) ˆ ~v_f = ~vf(x, y, z, t) cs = δ~v_f(x, y, z, t)

Partindo das equa¸cões da magneto-hidrodinâmica e considerando apenas ter-mos de ordem δ, encontrater-mos a seguinte equa¸cão de onda:

~ ∇2_δρ_{B f} − 1 cs2 ∂2 ∂t2δρB f = − 1 cs2 " 1 M_f _ρ0 ζ+4 3η !# ∂ ∂t∇~ 2 δρ_{B f} + 3 Qf csM_f ! ~ ∇ ·_δ~v_f × ~_B ₍₁₎ onde ζ e η são os coeficientes de viscosidade, M_f é uma escala de massa bariônica para o quark f e Q_f a respectiva carga elétrica do quark f. O campo magnético é ~B = B ˆz, um campo uniforme de magnitude B na dire¸cão z.

5.1.2− Equa¸cão de onda não-linear na magneto-hidrodinâmica.

Dadas as mesmas condi¸cões do item anterior, apenas com as expansões em ordem mais alta de perturba¸cão:

ˆ ρ_f = ρB f(x, y, z, t) ρ0 = 1 + δρ_{B f}(x, y, z, t) + O(δ2 ) + . . . ˆ ~v_f = ~vf(x, y, z, t) cs = δ~v_f(x, y, z, t) + O(δ2 ) + . . .

podemos aplicar o tratamento via formalismo RPM [3] que nos permite tra-tar tais perturba¸c˜oes at´e ordem δ2

apropriadamente, e encontrar a seguinte equa¸c˜ao de onda: ∂ ∂x ( ∂ ∂tδρB f + cs ∂ ∂xδρB f + 3cs 2 ! δρ_{B f} ∂ ∂xδρB f + cs 4 mG2 ! ∂3 ∂x3δρB f − " 4 mG 2 cs 3 27 gh2ρ02 # ζ+4 3η ! ∂2 ∂x2δρB f ) + cs 2 ! ∂2 ∂y2δρB f + cs 2 ! ∂2 ∂z2δρB f =

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= 16 Qf 2 B2 mG 4 cs 3 81 gh4ρ02 ! δρ_{B f} (2)

onde gh é a constante de acoplamento da QCD e mG é a massa dinâmica do

glúon, ambos provenientes da equa¸cão de estado. Os outros parâmetros são os mesmos já mencionados acima.

O objetivo deste estudo é resolver analiticamente (se poss´ıvel) e nume-ricamente as equa¸cões tridimensionais de onda (1) e (2), ambas para a per-turba¸cão ρ_{B f}(x, y, z, t), para entendermos o comportamento dos efeitos não-lineares, dissipativos e dispersivos (dados pelo termo de terceira derivada es-pacial) sob influência do campo magnético, uma vez que além da dependência expl´ıcita, temos ρ0 = ρ0(B) e cs= cs(B). Além disso, deduziremos a equa¸cão

(2) em coordenadas cil´ındricas, uma vez que o campo magn´etico define uma dire¸c˜ao privilegiada e o problema passa a ter simetria cil´ındrica.

No caso de campo magnético nulo, a equa¸cão (1) se reduz à equa¸cão de onda com dissipa¸cão já estudada por nós em [6]. Já a equa¸cão (2) sem efeitos do campo magnético é a generaliza¸cão tridimensional da equa¸cão de KdV-Burgers, chamada de equa¸cão de Kadomtsev-Petviashvili-Burgers (KP-Burgers) e já estudada por nós em [2, 29], tanto em coordenadas cartesianas quanto cil´ındricas.

5.3 Ondas gravitacionais e a transi¸

c˜

ao de fase

quark-hadron

A observa¸cão recente de ondas gravitacionais renovou o interesse nestas ondas e vai incentivar novos projetos experimentais nesta área. Assim parece opor-tuno revisitar os cálculos de gera¸cão de ondas gravitacionais e em particular os cálculos relativos a gera¸cão de ondas na transi¸cão de fase quark-hadron. Pretendemos estudar e atualizar os cálculos feitos nas Refs. [30] e [31], in-cluindo os efeitos da viscosidade e considerando novas equa¸cões de estado para o QGP.

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Referˆ

encias

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T. Boeckel and J. Schaffner-Bielich, Phys. Rev. D 85, 103506 (2012) e referˆencias contidas.

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