n. 10 PRODUTO VETORIAL ou PRODUTO EXTERNO

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n. 10 – PRODUTO VETORIAL ou PRODUTO EXTERNO

sugestão: Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=GIAKtb6mHDg . acesso em: 17 mar. 2021.

Prof. Manoel Wallace Alves Ramos

 O produto vetorial é uma operação binária sobre vetores em um espaço vetorial.

 Seu resultado difere do produto escalar por ser também um vetor, ao invés de um escalar.

 Seu principal uso baseia-se no fato que o resultado de um produto vetorial é sempre ortogonal a ambos os vetores originais.

Aplicações:

 na fórmula do operador vetorial rotacional.

 para descrever a Força de Lorentz experimentada por uma carga elétrica movendo-se em um campo magnético. As definições de torque e momento angular também envolvem produto vetorial.

 para calcular a normal de um triângulo ou outro polígono, o que é importante no ramo da computação gráfica.

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 para o desenvolvimento de jogos eletrônicos, para permitir efeitos que simulam iluminação, dentre outros.

Dados dois vetores 𝒖⃗⃗ e 𝒗⃗⃗ no espaço, podemos definir um

terceiro vetor, chamado de produto vetorial de 𝒖⃗⃗ por 𝒗⃗⃗

como sendo o vetor ortogonal a esses dois vetores:

 O produto vetorial de 𝑢⃗ por 𝑣 é denotado por 𝑢⃗ ⨯ 𝑣 ou 𝑢⃗ ∧ 𝑣  Se 𝑢⃗ ⫽ 𝑣 , então, por definição o produto vetorial (ou produto

externo) de 𝑢⃗ por 𝑣 , é o vetor nulo.

Notação: 𝑢⃗ ⨯ 𝑣 = 0⃗ ou 𝑢⃗ ∧ 𝑣 ⃗⃗⃗ = 0⃗

 Ao contrário do produto escalar, que resulta num escalar, e pode ser definido em vetores do espaço e em vetores do plano, o

produto vetorial só pode ser definido em vetores do espaço,

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O sentido de 𝑢⃗ ⨯ 𝑣 pode ser dado pela regra da mão direita. A regra da mão direita pode ser melhor observada nas figuras que seguem, onde o polegar indica o sentido do vetor oriundo do produto vetorial:

Assim, nas figuras que seguem tem-se:

𝑢⃗ ⨯ 𝑣 = 𝑤⃗⃗ e 𝑣 ⨯ 𝑢⃗ = − 𝑤⃗⃗

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i. 𝑢⃗ ⨯ (𝑣 + 𝑤⃗⃗ ) = 𝑢⃗ ⨯ 𝑣 + 𝑢⃗ ⨯ 𝑤⃗⃗ Ou ( 𝑢⃗ + 𝑣 ) ⨯ 𝑤⃗⃗ = 𝑢⃗ ⨯ 𝑤⃗⃗ + 𝑣 ⨯ 𝑤⃗⃗

ii. ( 𝛼 𝑢⃗ ) ⨯ 𝑣 = 𝛼 ( 𝑢⃗ ⨯ 𝑣 ) = 𝑢⃗ ⨯ (𝛼 · 𝑣 ) iii. 𝑢⃗ ⨯ 𝑣 = − 𝑣 ⨯ 𝑢⃗

Interpretação geométrica do produto vetorial

A área do paralelogramo que tem 𝑢⃗ e 𝑣 como lados é a norma do produto vetorial destes vetores, isto é

𝑆 = |𝑢⃗ ⨯ 𝑣 |

Fórmula canônica

Dados dois vetores:

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o produto vetorial 𝑢⃗ ⨯ 𝑣 pode ser escrito na forma de um determinante: 𝑢⃗ ⨯ 𝑣 = || 𝑖 𝑗 𝑘⃗ 𝑥₁ 𝑦₁ 𝑧₁ 𝑥₂ 𝑦₂ 𝑧₂ || = |𝑦_𝑦1 𝑧1 2 𝑧2| . 𝑖 − | 𝑥₁ 𝑧₁ 𝑥₂ 𝑧₂| . 𝑗 + | 𝑥₁ 𝑦₁ 𝑥₂ 𝑦₂| . 𝑘⃗

Obs.: Para usar 𝑗 positivo na fórmula é preciso fazer: |_𝑧𝑧1 𝑥1

2 𝑥2|

Vetor unitário e ortogonal

 Para achar um vetor que seja ortogonal aos vetores 𝑢⃗ e 𝑣 , calculamos o produto externo, pois pela definição: o produto externo resulta em um vetor ortogonal a outros dois vetores.  Logo, se é ortogonal, é produto externo, mas para calcular

um vetor unitário e ortogonal, temos que achar o vetor

unitário 𝑛⃗ , pelo cálculo do versor:

Vetor unitário e ortogonal: 𝒏⃗⃗ = 𝒖⃗⃗ ⨯ 𝒗⃗⃗

|𝒖⃗⃗ ⨯ 𝒗⃗⃗ | 1º  𝑢⃗ ⨯ 𝑣 = |𝑦_𝑦1 𝑧1 2 𝑧2| . 𝑖 – | 𝑥₁ 𝑧₁ 𝑥₂ 𝑧₂| . 𝑗 + | 𝑥₁ 𝑦₁ 𝑥₂ 𝑦₂| . 𝑘⃗

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2º  |𝑢⃗ ⨯ 𝑣 | = √𝒙𝟐 _{+ 𝒚}𝟐 _{+ 𝒛}𝟐

Exercícios:

1. Sendo 𝑢⃗ = 2 𝑖 - 𝑗 + 𝑘⃗ e 𝑣 = 𝑖 + 𝑗 - 2 𝑘⃗ , calcule o produto externo entre 𝑢⃗ e 𝑣 . R: (𝑢⃗ ⨯ 𝑣 ⃗⃗⃗ ) = (1, 5, 3) 2. Conhecidos 𝑢⃗ = 2𝑖 + 3 𝑗 + 𝑘 e 𝑣 = 𝑖 − 𝑗 + 2𝑘 calcule:

a. 𝑢⃗ 𝑥 𝑣 R: 7i – 3 j – 5 k

b. 𝑣 𝑥 𝑢⃗ R: - 7i + 3 j + 5 k

c. | 𝑢⃗ 𝑥 𝑣 | R: √83

3. Sejam os vetores 𝑢⃗ = (3, 1, −1) e 𝑣 = (𝑎, 0, 2), calcule o valor de a para que a área do paralelogramo determinado por 𝑢⃗ e 𝑣 seja igual a 2√6. 𝑅: 𝑎 = −4 ou 𝑎 = −2

4. Calcule a área do quadrilátero dado por A= (1, 4 , 0) , B = (5, 0, 0) , C = (0, -2, 0) e D= ( -4, 2, 0). R: 28 u. a.

5. Do exercício anterior em que 𝑢⃗ = 2 𝑖 - 𝑗 + 𝑘⃗ e 𝑣 = 𝑖 + 𝑗 - 2 𝑘⃗ , encontre um vetor unitário 𝑛⃗ , ortogonal aos vetores 𝑢⃗ e 𝑣 . R: 𝑛⃗ = (1, 5, 3) √35 = ( 1 √35 , 5 √35 , 3 √35 )

6. Determine o vetor unitário 𝑛⃗ , ortogonal aos vetores 𝑢⃗ = (2, 3, −1) e 𝑣 = (1, 1, 2). R: 𝑛⃗ = ( 7 5√3 , − 1 √3 , − 1 5√3 )

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Resoluções:

1. Sendo 𝑢⃗ = 2 𝑖 - 𝑗 + 𝑘⃗ e 𝑣 = 𝑖 + 𝑗 - 2 𝑘⃗ , calcule o produto externo entre 𝑢⃗ e 𝑣 . R: (𝑢⃗ ⨯ 𝑣 ⃗⃗⃗ ) = (1, 5, 3) 𝑢⃗ = (2, - 1, 1) e 𝑣 =(1, 1, -2) 𝑢⃗ ⨯ 𝑣 = | 𝑖 𝑗 𝑘⃗ 2 −1 1 1 1 −2 | = |−1 1 1 −2| 𝑖 − | 2 1 1 −2| 𝑗 + | 2 −1 1 1 | 𝑘⃗ 𝑢⃗ ⨯ 𝑣 = (2 – 1) . 𝑖 – (-4 -1) . 𝑗 + (2 + 1) . 𝑘⃗ 𝑢⃗ ⨯ 𝑣 = 𝑖 + 5 𝑗 + 3 𝑘⃗ Logo, (𝑢⃗ ⨯ 𝑣 ⃗⃗⃗ ) = (1, 5, 3) 2. Conhecidos 𝑢⃗ = 2𝑖 + 3 𝑗 + 𝑘 e 𝑣 = 𝑖 − 𝑗 + 2𝑘 calcule: a. 𝑢⃗ 𝑥 𝑣 R: 7i – 3 j – 5 k x y z (x,y,z) = (2,-1,1) (x,y,z) = (0,0,0) (x,y,z) = (1,1,-2) segmento (2,-1,1)--(0,0,0) segmento (1,1,-2)--(0,0,0) (x,y,z) = (1,5,3) segmento (1,5,3)--(0,0,0) x y z (x,y,z) = (2,-1,1) (x,y,z) = (0,0,0) (x,y,z) = (1,1,-2) segmento (2,-1,1)--(0,0,0) segmento (1,1,-2)--(0,0,0) (x,y,z) = (1,5,3) segmento (1,5,3)--(0,0,0)

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b. 𝑣 𝑥 𝑢⃗ R: - 7i + 3 j + 5 k c. |𝑢⃗ x 𝑣 | 𝑢⃗ ⨯ 𝑣 = | 𝑖 𝑗 𝑘⃗ 2 3 1 1 −1 2 | = | 3 1 −1 2| 𝑖 − | 2 1 1 2| 𝑗 + | 2 3 1 −1| 𝑘⃗ = (6 + 1)𝑖 − (4 − 1)𝑗 + (−2 − 3)𝑘⃗ = 7𝑖 − 3𝑗 − 5𝑘⃗ = (7, −3, −5) |𝑢⃗ x 𝑣 | = √72 _{+ (−3)}2 _{+ (−5)}2 |𝑢⃗ x 𝑣 | = √49 + 9 + 25 R: √83

3. Sejam os vetores 𝑢⃗ = (3, 1, −1) e 𝑣 = (𝑎, 0, 2), calcule o valor de a para que a área do paralelogramo determinado por 𝑢⃗ e 𝑣 seja igual a 2√6. 𝐴 = |𝑢⃗ x 𝑣 | e |𝑢⃗ x 𝑣 | = 2√6 𝑢⃗ ⨯ 𝑣 = | 𝑖 𝑗 𝑘⃗ 3 1 −1 𝑎 0 2 | = | 1 −1 0 2 | 𝑖 − | 3 −1 𝑎 2 | 𝑗 + | 3 1 𝑎 0| 𝑘⃗ 𝑢⃗ ⨯ 𝑣 = (2) . 𝑖 – (6 + a) . 𝑗 + (- a) . 𝑘⃗ 𝑢⃗ ⨯ 𝑣 = 2 𝑖 – (6 + a) 𝑗 - a 𝑘⃗ = (2, -6 - a, - a) Á𝑟𝑒𝑎: |𝑢⃗ ⨯ 𝑣 | = √𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2

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|𝑢⃗ ⨯ 𝑣 | = √22 _{+ (−6 − 𝑎)}2 _{+ (−𝑎)}2 2√6 = √22 _{+ (−6 − 𝑎)}2 _{+ (−𝑎)}2 (2√6)2 = (√22 + (−𝑎 − 6)2 + (−𝑎)2 )2 24 = 4 + 𝑎2 + 12𝑎 + 36 + 𝑎2 2𝑎2 + 12𝑎 + 16 = 0 𝑎2 + 6 𝑎 + 8 = 0 𝑅: 𝑎 = −4 ou 𝑎 = −2

4. Calcule a área do quadrilátero dado por A= (1, 4 , 0) , B = (5, 0, 0) , C = (0, -2, 0) e D= ( -4, 2, 0).

Primeiro temos que verificar se os lados são paralelos:

𝑣 = 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐷 − 𝐴 = (−4, 2, 0) − (1, 4, 0) = (−5, −2, 0) 𝑚⃗⃗ = 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐶 − 𝐵 = (0, −2, 0) − (5, 0, 0) = (−5, −2, 0)

𝑢⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐵 − 𝐴 = (5, 0, 0) − (1, 4, 0) = (4, −4, 0) 𝑛⃗ = 𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐶 − 𝐷 = (0, − 2, 0) − (−4, 2, 0) = (4, −4, 0)

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𝑢⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐵 − 𝐴 = (5, 0, 0) − (1, 4, 0) = (4, −4, 0) 𝑣 = 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐷 − 𝐴 = (−4, 2, 0) − (1, 4, 0) = (−5, −2, 0) 𝑢⃗ = (4, −4, 0) e 𝑣 = (−5, −2, 0) 𝑢⃗ ⨯ 𝑣 = | 𝑖 𝑗 𝑘⃗ 4 −4 0 −5 −2 0 | = |−4 0 −2 0| 𝑖 − | 4 0 −5 0| 𝑗 + | 4 −4 −5 −2| 𝑘⃗ 𝑢⃗ ⨯ 𝑣 = (0) . 𝑖 – (0) . 𝑗 + (- 8 - 20) . 𝑘⃗ 𝑢⃗ ⨯ 𝑣 = 0 𝑖 – 0 𝑗 - 28 𝑘⃗ = (0, 0, - 28) Á𝑟𝑒𝑎: |𝑢⃗ ⨯ 𝑣 | = √𝑥2 _{+ 𝑦}2 _{+ 𝑧}2 |𝑢⃗ ⨯ 𝑣 | = √02 _{+ 0}2 _{+ (−28)}2 |𝑢⃗ ⨯ 𝑣 | = √ 282 _{= 28} R: 28 u. a.

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5. Do exercício anterior em que 𝑢⃗ = 2 𝑖 - 𝑗 + 𝑘⃗ e 𝑣 = 𝑖 + 𝑗 - 2 𝑘⃗ , encontre um vetor unitário 𝑛⃗ , ortogonal aos vetores 𝑢⃗ e 𝑣 .

R: 𝑛⃗ = (1, 5, 3) √35 = ( 1 √35 , 5 √35 , 3 √35 ) 𝑢⃗ = (2, - 1, 1) e 𝑣 =(1, 1, -2)

Para achar o vetor unitário e ortogonal: 𝑛⃗ = 𝑢⃗⃗ ⨯ 𝑣⃗

|𝑢⃗⃗ ⨯ 𝑣⃗ | Do exercício anterior: 𝑢⃗ ⨯ 𝑣 = (1, 5, 3) |𝑢⃗ ⨯ 𝑣 | = √12 _{+ 5}2 _{+ 3}2 _{= √35} Logo, 𝑛⃗ = (1,5,3) √35 = ( 1 √35 , 5 √35 , 3 √35 )

6. Determine o vetor unitário 𝑛⃗ , ortogonal aos vetores 𝑢⃗ = (2, 3, −1) e 𝑣 = (1, 1, 2).

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Para achar o vetor unitário e ortogonal: 𝑛⃗ = 𝑢⃗ ⨯ 𝑣 |𝑢⃗ ⨯ 𝑣 | 𝑢⃗ = (2, 3, -1) e 𝑣 =(1, 1, 2) 𝑢⃗ ⨯ 𝑣 = | 𝑖 𝑗 𝑘⃗ 2 3 −1 1 1 2 | = | 3 −1 1 2 | 𝑖 − | 2 −1 1 2 | 𝑗 + | 2 3 1 1| 𝑘⃗ 𝑢⃗ ⨯ 𝑣 = (6 +1) . 𝑖 – (4 +1) . 𝑗 + (2 -3) . 𝑘⃗ 𝑢⃗ ⨯ 𝑣 = 7𝑖 − 5𝑗 − 1𝑘⃗ Logo, (𝑢⃗ ⨯ 𝑣 ⃗⃗⃗ ) = (7, −5, −1) E, |𝑢⃗ ⨯ 𝑣 | = √72 + (−5)2 + (−1)2 = √75 = √52 . 3 = 5√3 Assim, 𝑛⃗ = 𝑢⃗⃗ ⨯ 𝑣⃗ |𝑢⃗⃗ ⨯ 𝑣⃗ | 𝑛⃗ = (7, −5, −1) 5√3 R: 𝑛⃗ = ( 7 5√3 , − 1 √3 , − 1 5√3 ) Referências Bibliográficas

BOULOS, P. e CAMARGO, I. de. Geometria analítica: um tratamento vetorial. São Paulo: McGraw-Hill, 1987.

NUNES, Luiz Fernando. Notas de aula: Matemática 1. Professor do Departamento de Matemática da Universidade Tecnológica Federal do Paraná – UTFPR.

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STEINBRUCH, A. e WINTERLE, P. Geometria analítica. São Paulo: Pearson-Makron Books, 2010. VALLADARES, R. J. C. Geometria analítica do plano e do espaço. Rio de Janeiro: LTC, 1990.