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Sumário
Prof. Dr. Luis Rodolfo
1 INTRODUÇÃO . . . . 3
2 DESENVOLVIMENTO . . . . 4
2.1 A era do Renascimento e a Física . . . 5
2.1.1 Método Científico e a análise de dados . . . 6
2.2 Fundamentos Matemáticos elementares . . . 7
2.2.1 Noções de Lógica . . . 7
2.2.1.1 Conjunção "e"∧, "ou"∨ . . . 7
2.2.1.2 Condicional e bi-condicional . . . 8
2.3 Noções básicas de Conjuntos . . . . 8
2.3.1 Conjuntos numéricos . . . 9
2.4 Sequências Reais . . . 10
2.4.1 Alguns tipos de sequência . . . 10
2.4.2 Indução em sequncias numéricas . . . 11
2.4.3 Recursão em sequências numéricas . . . 11
2.5 Elementos básicos de Análise Combinatória . . . 12
2.5.1 Princípio Fundamental da Contagem . . . 12
2.5.2 Arranjo Simples . . . 12
2.5.3 Combinações Simples . . . 13
3 CONCLUSÃO . . . . 14
1 Introdução
O material trará uma discussão em torno de duas esferas; a primeira delas sob o caráter historiográfico e filosófico a respeito da construção do conhecimento da Física. A segunda parte levantará uma discussão de fundamentos da Matemática Elementar. Será abordado de uma forma sucinta dado a vastidão do assunto.
Na seção 2.1 será abordado aspectos históricos relacionados com o desenvolvimento e evolução do conhecimento a respeito da Física; esta mudança de perspectiva é forte-mente marcada, dentre outras, por Copérnico, Galileu e Newton. Será abordado também aspectos fundamentais a respeito do Método Científico e da Análise de dados.
Na seção 2.2 será discutido os fundamentos básicos de Matemática elementar assim como noções de Lógica, proposições e conectivos lógicos.
Na seção 2.3 será explorado Noções Básica da Teoria dos Conjuntos e Conjuntos Numéricos.
Na seção 2.4 será abordado Sequências Reais, alguns tipos de sequências como por exemplo: Progressões Aritméticas e Geométricas, O Princípio da Indução e o Princípio Recursivo.
Na seção 2.5 será levantado uma discussão geral a respeito da Análise Combina-tória, Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos Simples e Combinações Simples.
Os exemplos e situações numéricas, inseridas entre os textos, foram criadas pelo próprio autor deste documento.
4
2 Desenvolvimento
Existe um senso mundial, justo ou não, estabelecendo que a Física tenha surgido na Grécia antiga por Tales de Mileto através da criação conceitual do "Archés"[1]; uma espécie de causa primordial de onde tudo surge e tudo ao final se converte - para Tales o grande "Arché"do universo seria a água.
A Física primeiramente foi reconhecida como Filosofia Natural - Filosofia pois questionava as causas e motivos, natural pois centrava-se a compreender a natureza e suas transformações [1], [2].
Muitos outros pensadores e filósofos gregos vieram estabelecer suas contribuições para o desenvolvimento da Física; como por exemplo os pré-socráticos, dentre eles os principais: Heráclito de Éfeso e Parmênides de Eléia [1].
Heráclito também conhecido como o filósofo do fogo ou do movimento, defendia a tese de que tudo é movimento e nada pode permanecer como está; a ele é atribuída a me-táfora do banhar no rio, onde uma pessoa jamais pode se banhar duas vezes em um mesmo rio dada as mutações naturais da água e do sujeito que se banha. Em oposto Parmênides defendia que o movimento era apenas uma ilusão dos sentidos tudo estava estático, algo que é jamais poderia deixar de ser e algo que não é jamais pode ser; seu pensamento apesar de aparentar um absurdo diante das percepções é de extrema profundidade e de importância manifesta até mesmo nos dias atuais onde para a compreensão das estruturas do universo, como por exemplo a existência de uma teoria para tudo conforme defende as Teorias M e Super Cordas [1].
A dicotomia existente entre os preceitos de Heráclito e Parmênides é também encontrado nos ancestrais da cultura oriental e manifestas pelo conceito de Yin e Yang mais tarde conhecido como o equilíbrio que aparenta existir entre as leis do universo ou das estruturas subatômicas da Energia e da Matéria1. Um outro grande pensador e
estudante da filosofia natural foi Aristóteles; ressaltam que este foi um pensador de gênio universal que percorria assuntos desde Anatomia, Poesia, Botãnica, Astronomia, Política etc. Aristóteles sintetizou o conceito de lugar natural; tudo no universo deveria ter seu lugar natural, ou seja, de lá sugiam e de lá tenderiam a voltar. Com esta noção conseguia explicar a queda de uma pedra; para Aristóteles uma pedra é considerada um corpo grave o qual deverá retornar seu lugar de origem que é a terra [1].
1 Hoje em dia esses assuntos também são explorados por grandes charlatões por intermédio de pseudo
2.1
A era do Renascimento e a Física
A Filosofia como guia ao entendimento à Física foi e é indispensável, no entanto com o refinamento do pensamento e da compreensão humana diante aos fatos fez de que o ato de simplesmente filosofar fosse incompleto em sua totalidade para o entendimento da natureza e o aprimoramento da Física como uma Ciência [3]. A Matemática conhecida desde tempos remotos passou a ter um papel indispensável para o entendimento da Física já que expressar as previsões ou teorias estabelecidas por meio de números poderia tornar tangível determinados assuntos até então abstratos. A era do Renascimento ou muitas vezes também intitulada como o Iluminismo trouxe muito mais do que rebeliões no campó das ciências políticas; foi a época que os pensadores iniciaram um regime controlado de experiências para então comprovar ou refutar teorias. Grandes ícones desse período foram dentre outros o padre polonês Copérnico, o Físico Florença Galileu Galilei e o inglês Isaac Newton [1]. Existe um consenso que o método científico foi criado e desenvolvimento a partir das séries de experiências propostas e realizadas por Galileu Galilei [10]; uma das mais célebres foi a fundamentação do conceito de inércia 2 onde algumas fontes dizem
que Galileu soltou esferas bem polidas de metal de uma prança íngrime e também bem polida; a síntese do Florença foi que se as superfíces fossem sempre polidas a esfera de metal jamais iria parar e tenderia a permanecer em seu estado de movimento constante. Uma outra grande citação de experimento que alguns acreditam ter sido uma anedota contada pelo própio Galileu Galilei [11] se refere em subir na torre de Pisa e soltar dois objetos de pesos diferentes como por exemplo uma pedra e uma pena; diante a base da torre quando os objetos estiverem caído será constatado que ambos chegariam no mesmo instante desde que sejam desconsiderados os efeitos de resistência do ar3.
Galileu Galilei foi um dos pioneiros a utilizar uma luneta como instrumento para coletar dados e realizar experimentações científicas dos astros. Sabe-se que o mesmo foi descobridor de Luas em Júpiter e defendeu arduamente a tese de que a terra que girava em torno do sol e não ao contrário como estabelecia a Cosmologia Aristotélica tão defendida pelos cãnones da igreja católica naquele tempo4
Um pouco mais tarde o ingls Isaac Newton [10] realizou uma grande quebra de paradígma por meio a escrita e publicação de uma série de livros denominadas de "Prin-cípia"5; um série de tratados a respeito da Mecânica dos corpos, a respeito do Fenômeno
2 O conceito de Inercia até os tempos atuais ainda perdura como um dos grande desafios para o
entendi-mento, uma vez que não se sabe sua verdadeira e causa fundamental. Um grande Físico contemporâneo que estou a inércia foi Ernst Mach.
3 Uma excelente visualização e comprovação científica desta experiência pode ser visualizada em
https://www.youtube.com/watch?v=E43-CfukEgs
4 Mesmo Galileu sendo julgado pela santa inquisição e ter sido perseguido por todo o resto de sua
vida, sua descoberta significou um grande marco à humanidade. Galileu Galielei foi absolvido pela igreja católica em 31 de outubro de 1992, pelo o papa João Paulo II, conforme pode-se ver em https://www.terra.com.br
Capítulo 2. Desenvolvimento 6
da Luz e da Gravitação Universal.
Retrata-se que Isaac Newton fez um estudo minucioso das obras de grandes pen-sadores como os estudos astronõmicos do movimento dos astros de Copérnico, os mapas estrelares levantados por décadas por Tycho Brae, os ensaios sobre mecânica de Galileu Galilei; a partir da análise dos resultados levantados por estes Newton formulou teorias e construiu bases sedimentares para o que hoje chamamos de Cálculo Diferencial e Integral [10].
2.1.1
Método Científico e a análise de dados
Conceitua-se que uma teoria só é de fato correta, dentro de seus limites de validade, a partir de uma extensa verificação empírica realizada preferencialmente por um maior número de cientistas e em lugares diferentes [1], [3]. Como exemplo no início da década de 1900 do século XX questionaram Albert Einstein sobre sua possível impolgação para com os resultados experimentais que corroboraram a teoria da Relatividade Restrita como correta. Einstein Respondeu que não importava quantas experincias eram a favor da comprovação da teoria da Relativade, pois, bastava uma única experiência que dissesse ao contrário para levar em descredibilidade as proposições [1]. Um breve resumo porém didático a respeito pode sugerir que uma teoria Física surge a partir de uma ideia, aí surge a necessidade dela ser uma Filosofia Natural, uma vez que é imprescindível argumentação lógica e dialética entre conceitos e imagens observadas [4]. Em segundo estágio surgem o levantamento de hipóteses como boas teorias capazes de descrever o fenômeno investigado. No entanto somente será considerada uma boa teoria, aquele modelo ou teoria que se sujeitar a diversos testes realizados nas mais pluras circunstâncias - tendo sempre cuidado de evitar erros sistemáticos que podem envolver ou não os equipamentos ou observadores.
Devemos levantar para fins de problematização que não existe um fluxo único para a construção de uma teoria científica. Uma teoria pode ser criada a partir de observações da natureza ou então ser proposto situações imaginativas onde futuramente vão ser tes-tadas e colocadas a título de teorias [1], [3]. Exemplos que vieram a partir de ideias para depois serem descobertas em laboratórios foi a Anti-Partícula, descoberta por meio de pre-posições lógico matemáticas por Paul Dirac e o Bóson de Higgs proposto primeiramente como um modelo matemático e só comprovado em experincias décadas mais tarde6.
Como desfecho deve-se entender que nenhuma teoria é por si só satisfatória ou visa explicar completamente tudo; isso se deve ao processo de medição ser sempre limitado que leva em conta erros e aproximações inestinguíveis. Isso significa que todo modelo é um recorte de entendimento de uma dada situação.
https://www.wdl.org/pt/item/17842/
2.2
Fundamentos Matemáticos elementares
Tendo acompanhado a discussão sobre o desenvolvimento científico que visou es-truturar a Física como uma ciência moderna, na seção anterior, levantaremos aspectos básicos sobre a noção de Lógica, noções de conjuntos e conjuntos numéricos , Princípio de Indução, sequências reais e Análise Combinatória.
2.2.1
Noções de Lógica
Apesar da lógica ser uma parte da Filosofia que investiga as formas de pensamento levando em conta aspectos dedutivos, indutivos, hipotéticos entre outros visando carac-terizar algo como verdadeiro ou não; a lógica é a substância primordial que consolida o pensamento racional. Por conta disso é um elemento extensamente estudado em Mate-mática [?]. Uma maneira de estudar lógica é a partir do entendimento das proposições. Como definição a proposição é uma afirmação que deve carregar valor lógico positivo ou negativo [9], exemplo de proposição afirmativa: Meu coração bate enquanto eu escrevo -uma vez que se quem escreve está vivo seu coração também bate. Exemplo de proposição negativa: Eu nasci no planeta Marte - considerando que o sujeito que fala essa afirma-ção não seja um extraterrestre e sim paulista, a afirmaafirma-ção é falsa. Uma proposiafirma-ção pode ser simples ou composta. Uma proposição composta representa a composição de duas ou mais proposições simples a partir do uso de conectivos tais como, conjuções, disjunções, condicional, bi-condicional entre outros elementos [7], [9].
2.2.1.1 Conjunção "e"∧, "ou"∨
Nos casos de proposições compostas formadas por conjunções aditivas, "ou", o valor lógico resultante somente será verdadeiro se ambas as proposições iniciais tiver valor lógico verdadeiro [9], caso contrário ela será falsa, Tabela. 2.1. No que se refere a conjunção "ou", ela implica valor lógico verdadeiro na composição final se ao menos uma das proposições individuais tiver valor lógico verdadeiro [9], conforme sintetizado na tabela verdade Tabela. 2.2.
Tabela 2.1 – Tabela verdade da conjunção p ∧ q
p ∧ q p q V V V F V F F F V F F F
Capítulo 2. Desenvolvimento 8
Tabela 2.2 – Tabela verdade da conjunção p ∨ q
p ∨ q p q V V V V V F V F V F F F 2.2.1.2 Condicional e bi-condicional
Quando uma proposição composta é estabelecida pelo uso de condicionais estabe-lecemos uma relação de condição entre as proposições [9]; isto é, por exemplo: Se penso então existo. Em termos de tabela verdade pode ser conferido na Tabela. 2.3. Um com-posição criada por um bi-condiconal refere-se exclusividade entre os valores lógicos indi-viduais das proposições estabelecidas pelo condicional [9]; isto é, por exemplo: Penso se e e somente se existo. Em termos de tabela verdade pode ser conferido na Tabela. 2.4.
Tabela 2.3 – Tabela verdade do condicional p → q
p → q p q V V V F V F V F V V F F
Tabela 2.4 – Tabela verdade do bi-condicional p ↔ q
p ↔ q p q V V V F V F F F V V F F
Toda proposição independente de seu valor lógico pode ser negada [9]. Uma nega-ção de uma dada proposinega-ção é realizada a partir do símbolo lógico ¬ antes da proposinega-ção ao qual se deseja negar, exemplo ao negar a proposição p, expressamos em termos de linguagem lógica ¬𝑝.
2.3
Noções básicas de Conjuntos
Conjunto é o nome dado a qualquer aglomerado, por exemplo: uma sala de aula com quarenta cadeira pode ser considerado um conjunto de elementos, uma flor um con-junto de organização celular etc. A noção Matemática de concon-juntos faz uso de elementos simbólicos que estabelecem relações de semântica entre os conjuntos [7], [9]. Por exemplo,
entre dois conjuntos númericos A e B podem existir as seguintes relações:A ∈ B ( A per-tence a B ), A ⊂ B ( A está contido em B ), A ⊃ B ( A contém B ), A ∪ B ( A união com B ), A ∩ B ( A intersecção com B). Para facilitar o entendimento propõe-s um exemplo: Considere dois conjuntos A = {1, 2} e B ={3, 4}.
A relação de pertinência ∈ reflete o significado de um elemento que pertence ao conjunto [9]; por exemplo: 2∈A por por outro lado, 7 /∈A.
Em relação aos sinais de inclusão ⊂ e ⊃, consideremos como exemplo os conjuntos: E = {3, 4},F = {1, 2, 3, 4}. A partir destes conjuntos pode-se afirmar que E⊂F, ou seja diz-se que o conjunto E está contido no conjunto F; ou também pode-se dizer que F⊃E , o conjunto F contém o conjunto E.
Em relação a noção de união e intersecção de conjuntos [9], para exemplificar pode-se usar os mesmos conjuntos enunciados, E e F. Diz-pode-se que A∪B = {1, 2, 3, 4}, ou pode-seja a união representa a junção de todos os elementos de A com os elementos de B. Agora ao se tratar do significado de intersecção temos que A∩B = {3, 4}, ou seja, o cálculo de intersecção seleciona os elementos que pertencem simultâneamente a A e B7.
2.3.1
Conjuntos numéricos
A noção de conjunto numérico foi construída junto com a própria história e desen-volvimento da Matemática uma vez que estabelece o conceito de número [7]. Os números foram amplamente estudados e venerados pelos pitagóricos; há quem diga que Pitágoras foi o primeiro homem a estabelecer uma união entre mente e matéria a partir do enten-dimento dos números [1]. A noção de número acompanha uma necessidade natural do ser humano [3]; os números naturais foram os primeiros a serem desenvolvidos uma vez que serviam para contar animais e pessoas; suspeita-se que os números inteiros foram desenvolvidos a partir do momento que se começou o desenvolvimento do comércio uma vez que a necessidade de quantidades negativas ( dívidas ) pertencia ao dia a dia dos co-merciantes etc [5], [7]. Os números racionais vieram a partir da necessidade de estabelecer um entendimento das quantidades que não podiam ser somente números inteiros e sim números inteiros com ou sem frações de inteiros. Os números Irracionais como o nome sugere vieram a partir de uma noção de incompletude, por exemplo quando se questiona qual a hipotenusa de um triângulo retângulo com catetos igual a 1, sabe-se que pelo te-orema de Pitágoras que a Hipotenusa é igual a √2; o número em questão não pode ser representado em um instrumento de medida com exatidão, ou seja não pode ser inteira-mente medido - mas a maior dicotomia é que consegue-se construir um triangulo retângulo com catetos igual a 1 e por consequência de hipotenusa igual a √2, mesmo que sejamos
7 Existem inúmeras outras relações matemáticas que são utilizada na teoria dos conjuntos, inclusive
diversas propriedades e teoremas; no entanto a discussão minuciosa destas foge ao escopo geral deste material de caráter introdutório.
Capítulo 2. Desenvolvimento 10
incapazes de mensurar o valor real da hipotenusa. O conjunto dos números Reais é um conjunto que visa englobar todos os outros em um só, dentro dos Reais estão contidos os Naturais, Inteiros, Racionais e Irracionais, R⊃Q⊃Z⊃N. Os números Irracionais são um sub-conjunto dos Reais [7], [9]. Um outro conjunto amplamente conhecido que tem caráter de ser mais geral que os números Reais, uma vez que contém os Reais são o conjunto dos números Complexos8. Os números complexos dão sentido as raízes quadradas de números negativos a partir da criação de uma unidade imaginária 𝑖, onde 𝑖2 = −1 e de uma nova
representação numérica a partir de um plano denominado de Argand-Gauss [9].
2.4
Sequências Reais
Uma sequência é toda disposição de números ou objetos que podem ser classificados a partir de uma posição e apresentam uma lógica de disposição [8].
Uma sequência de números números Reais podem ser dispostos de forma ordenada ou não; quando estão dispostos ordenadamente eles podem apresentar uma certa lógica que justifica cada termo estar onde está, a esta lógica é conhecida como razão de uma sequncia numérica [9]. Pode-se explorar um exemplo usando os números naturais. Cada número natural iniciado pelo número 1 pode ser construído a partir de somas de números 1, por exemplo: 54 = 1 + 53.(1). Se por ventura desejarmos saber como representar um número par via noção de sequncia númerica pode-se usar o fato de que um número par é sempre divisível por 2, ou seja, um número par sempre terá uma estrutura do tipo 𝑃 = 2𝑁 , onde 𝑁 representa um número natural qualquer e 𝑃 um dado número par correspondente.
2.4.1
Alguns tipos de sequência
Dentre as sequências conhecidas as mais simples são conhecidas como séries arit-méticas e séries geométricas. As séries aritarit-méticas são construídas a partir da soma de razões, enquanto a série geométrica é construída a partir da multiplicação de razões [9]. A seguir será exemplificado:
Séries Aritméticas São séries onde o termo geral pode ser determinado a partir da relação: 𝐴𝑛 = 𝐴1 + (𝑛 − 1)𝑟 , onde 𝐴𝑛 significa o termo n-ésimo geral, 𝐴1 o termo
inicial, 𝑛 o número de termos e 𝑟 a razão que pode ser determinada a partir da subtração de dois números consecutivos pertencentes a série, um número menos seu antecessor [9].
8 Dizer que os números Complexos são os mais gerais é um equívoco pedagógico de muitos
li-vros uma vez que existem uma classe de conjuntos numéricos mais gerais que o próprio con-junto Complexo, como os concon-juntos de Cantor que podem ser melhor compreendidos a partir de http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci𝑎𝑟𝑡𝑡𝑒𝑥𝑡𝑝𝑖𝑑 = 𝑆0103 − 863𝑋1992000200008
Séries Geométricas São séries onde o termo geral é determinado a partir da multiplicação de uma razão por um dado termo pertencente a série, podendo ser deter-minado a partir da seguinte relação de termo geral: 𝐴𝑛 = 𝐴1𝑞𝑛−1 onde onde 𝐴𝑛 significa
o termo n-ésimo geral , 𝐴1 o termo inicial, 𝑛 o número de termos e 𝑞 a razão que pode ser
determinada a partir da divisão de dois números consecutivos pertencentes a série, um número dividido pelo antecessor [9].
2.4.2
Indução em sequncias numéricas
Muitas vezes as séries númericas que estamos trabalhando não possui alguma lógica simples que as enquadre facilmente em uma progressão aritmética ou geométrica; nestes casos deve-se analisar termo a termo e induzir uma reposta capaz de criar uma lei geral capaz de predizer o termo geral 𝐴𝑛 [9]. Vamos a um exemplo: Considere a seguinte série
numérica 1, 3, 6, 10, 15, 21, ... Pode-se averiguar que a série não representa uma progressão aritmética usual e nem uma progressão geométrica. No entanto ao averiguar os termos é possível interpretar que: 𝐴2− 𝐴1 = 3 − 1 = 2, 𝐴3− 𝐴2 = 6 − 3 = 3, 𝐴4− 𝐴3 = 10 − 6 = 4,
𝐴5 − 𝐴4 = 15 − 10 = 5; ou seja, utilizando o princípio da indução concluímos que
𝐴𝑛− 𝐴𝑛−1 = 𝑛.
2.4.3
Recursão em sequências numéricas
Na subseção 2.4.2 discutiu-se a possibilidade de conhecer determinadas regras ge-rais a partir do princípio da indução. No entanto uma questão que pode ter deixado o leitor curioso é: - Qual a lei que permite conhecer o termo geral 𝐴𝑛? A fim de responder
essa questão organizaremos a seguinte tabela.
Tabela 2.5 – Análise recursiva entre os termos da série
A𝑛− 𝐴𝑛−1
A5− 𝐴4 = 5
A4− 𝐴3 = 4
A3− 𝐴2 = 3
A2− 𝐴1 = 2
Pode-se realizar uma inspeção recursiva [9], ou seja, relacionar os termos com seus anteriores sucessivamente até que alguma relação sintetizada esteja claro para ser concluída, vejamos:
A5 = 5 + 𝐴4; 𝐴4 = 4 + 𝐴3; 𝐴3 = 3 + 𝐴2; 𝐴2 = 2 + 𝐴1.
Se substituirmos a expressão de 𝐴2em 𝐴3 tem-se que: 𝐴3 = 3+2+𝐴1; substituindo
essa agora em 𝐴4 temos: 𝐴4 = 4 + 3 + 2 + 𝐴1. Se realizarmos a análise recursivamente
compondo todos os elementos da série, e agora usando o princípio da indução concluiremos que : 𝐴𝑛= 𝑛 + (𝑛 − 1) + ... + 3 + 2 + 𝐴1. Tendo em vista que 𝐴1 = 1 encontramos como
Capítulo 2. Desenvolvimento 12
resposta para 𝐴𝑛 como sendo a soma de todos os números naturais de 1 até 𝑛 9, ou seja:
𝐴𝑛= 𝑛(𝑛+1)2
2.5
Elementos básicos de Análise Combinatória
A Análise Combinatória é o ramo da Matemática que lida com técnicas de con-tagem, arranjo, permutações de elementos numéricos ou não [9]. A Análise Combinatória é um assunto atual de estudo e desenvolvimento dentro da comunidade Matemática, por isso suas aplicações extrapolam generalidades muito mais avançadas das quais esse tra-balho almeja alcançar. No entando em seus aspectos básicos iremos discutir a respeito do princípio fundamental da contagem.
2.5.1
Princípio Fundamental da Contagem
Imagine que tenhamos dois lugares para ir em um final de semana. Evidentemente as escolhas e possibilidades podem ser facilmente computadas pela simples inspeção de raciocínio; ir em um ou ir no outro, ou talvez ir em nenhum. Por outro lado imaginemos que temos escolher na montagem de um prato apenas 3 variedades dentro de um cardápio de 10 opções. Fica claro que a quantidade de tipos diferentes de pratos que se pode montar não será facilmente computada assim como no exemplo do final de semana. A fim de discutir essa classe de problemas se desenvolveu o princípio fundamental da contagem. O princípio fundamental da contagem [9] visa analisar as possibilidades separadamente e depois combinálas pela multiplicação direta dos fatores. Na situação de se montar um prato com 3 variedades diferentes dentro de 10 opções, o princípio multiplicativo responde que na primeira opção tem-se 10 opções, na segunda escolha tem-se 9 opções e na terceira tem-se 8 opções. Ou seja, o número total de possibilidades será: 10x9x8 = 720 pratos distintos.
2.5.2
Arranjo Simples
Vamos supor um clássico e simples exemplo. Considere que temos 5 crianças e as queremos organizar segundo uma fila indiana. De quantas maneiras pode-se construir filas diferentes? Sabe-se que pelo princípio fundamental da contagem que o número de possibilidades será: 5x4x3x2x1= 120 possibilidades. Sob essa perspectiva é fundamental utilizar uma propriedade da matemática denominada de fatorial de um número. O cálculo do fatorial de um número simplifica a escrita extensiva do processo multiplicativo, ou seja ao invé de escrever 5𝑥4𝑥3𝑥2𝑥1 , pode-se simplesmente utilizar o cálculo do fatorial [9]
9 A soma de números naturais foi percebida por Gauss ainda enquanto criança [9] . Ele questionado por
um professor sobre qual seria a soma dos números de 1 a 100 percebeu que a soma do primeiro termo com o último era sempre constante dessa forma conclui que: 𝑆𝑛= 𝑛(𝑛−1)2
de um número 5!, uma vez que corresponde por definição possuem valores numéricos equivalentes; no presente exemplo é 120.
O significado primordial de arranjo [9] se refere a contabilizar possibilidade segundo uma dada organização, por exemplo. Considere os seguintes números: 1,3,4,5. Quantos algarismos distintos pode-se formar utilizando 3 algarismos? Pode-se resolver de duas maneiras, a primeira delas já conhecida, usando o princípio fundamental da contagem; ou seja, 4x3x2=24 possibilidades distintas. Porém pode-se usar o cálculo de arranjos que é definido por: 𝐴𝑛,𝑝 = (𝑛−𝑝)!𝑛! . Desta forma identificando os elementos, calcula-se o arranjo
𝐴5,3 = (5−3)!5! . que apresenta o mesmo valor numérico de 24 possibilidades.
2.5.3
Combinações Simples
Durante o processo de contagem pode-se deparar com situações onde os elementos podem apresentar repetição de acordo com a ordem em que estão dispostos, por exemplo, ao formar grupos entre algumas pessoas dentre as quais estão Maria e João; o par formado por (Maria, João) é o mesmo que o par formado por (João, Maria). Dentro deste contexto o cálculo das contagens pode ser facilmente realizado pelo conhecimento das Combinações [9].
Por exemplo, deseja-se realizar agrupamentos entre as letras X,W,Y,Z tomados dois a dois. Quantas possibilidades distintas existirá? O Cálculo das combinações nos diz que: 𝐶𝑛,𝑝 = 𝑝!(𝑛−𝑝)!𝑛! ; portanto a partir da identificação dos elementos, 𝑛 = 4 e 𝑝 = 2;
14
3 Conclusão
Discutiu-se aspectos históricos sobre as origens e evolução do conhecimento cien-tífico no campo da Física, percorrendo uma discussão desde a alvorada dos gregos até os experimentos de Galileu.
Explorou e problematizou-se o papel imprescindível do método científico como garantia de que a Física e toda outra ciência possa ser uma segura ferramenta que visa predição e interpretação de dados.
Na segunda parte do trabalho foi explorado de maneira breve e resumida assuntos relacionados a noções gerais de Lógica, teoria dos conjuntos, conjuntos numéricos, sequên-cias numéricas, indução, recursão e por fim algumas noções sobre Análise Combinatória.
Os assuntos abordados são de extrema importância a quem se deseja atuar em um cenário educacional de Ensino Médio nas matérias de Matemática e Física.
Em suma apesar da rapidez com que foi enunciado cada um dos temas deste trabalho acredita-se que ele pode fornecer elementos fundamentais, uma espécie de um guia de consulta rápida para estudantes ou até mesmo professores que desejam relembrar determinados assuntos sem buscar muitos detalhes.
O resumo maior de toda essa discussão foi de que um docente que deseja-se aventu-rar sob o viés das escolas de nível Médio tem consigo uma obrigação sagrada de esmiuçar cuidadosamente diversas sub-áreas da Matemática e se desejar um bom profissional de docência de Física também desvencilhar assuntos de Filosofia.
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