Algoritmo computacional para análise de estabilidade transsitória usando o segundo método de liapunov

PRQGRAMA DE PÓs»GRÀnUAçÃo EM ENGENHAR1À%ELÉTRIcA

ALGQRITMQ COMPUTACIONAL PARA ANÁLISE na

ESTABILIDADE TRANSITÓRIA USANDO O

SEQUNDO MÉTODO DE LIAPUNOV

TESE SUBMETIDA Ã UNIVERSÍDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM ENGENHARIA

GETULIO BRUM MARQUES

FLo31ANÓPoLIs, 12 DE MARÇO DE 1981

ALGORITMO COMPUTACIONAL PARA ANÃLIsEf'E _.;¢?¿¿%

ESTABILIDADE TRANSITÓRIA USANDO O

šgüII_`I"““~mz

' _ .

SEGUNDO MÉTODO DE LIAPUNOV ,

_ GETULIO BRUM MARQUES ~

ESTA DISSERTAÇAO ~ FOI JULGADA PARA.A OBTENÇÃO DO TÍTULO DE MES

TRE EM ENGENHARIA

E DA EM SUA

. ESPECIALIDADE ENGENHARIA ELÉTRICA E APROVA

u FORMA FINAL PELO CURSO DE Pós-GRADUAÇÃO.

Prof. Luiz G ,zaga

fie

Souza Fonseca, D.Sc.

»~ ORIENTADOR ' f f' _V '_ Í /1

ga

\ fi DTQAL 7 '_________ ____ -. . . .‹

Prof;,ÊÊÊ5§fo mber o ruciapašlia, Dr.Ing,

oordenador Curso_de Põs~Graduacão

em Engenharia Eletrica A

BANCA EXAMINADORA: '

.

Á

Prof. _{Luiz Gonzaãí/ãe} za Fonseca, D.Sc.

_Prof. Alcir Monticelk , D.Sc,, L.D.

Prof. Luiz J. _ ' anco Machado, Dr.Ing.

?

g

'ë

É

Í) A (__. J _ _ 'UÂã@C> JÊ*”\_ . -

Prof./Í on ojJose l es Simoes Costa, Ph.D.

-‹~ 4» -. - ...:.-.¿,... ,. ..,,...-._...,..› --.. _. .-....z¬,¡...z..

W .. ^ -~z.;:¶r_f.~

à Gisele, Sandra Antenor e Teres

nha: minha filha

esnosa e nais.

r

i

Em especial ao Prof. Luis Gonzaga de Souza Fonseca nela orientação, dedicação e incentivo dados ao longo do traba

lho. '

Aos Professores Carlos Raul Borenstein e Raiamani Do

raiswami por suas colaborações e incentivos _dados.

Aos Engenheiros Cornélio Celso de Brasil Camargo e Luiz

Gastão Castro Souza pelo apoio e _{facilidades concedidas pa}

ra que este trabalho fosse concluído»

R E S U M O

Este trabalho tem como objetivo a _{apresentação de}

um algoritmo computacional para a análise de estabilidade tran sitõria de sistemas de _{potência com n~mãquinas. São usados dg}

mínios de estabilidade obtidos atravës do segundo método de _Lia

punov, com auxílio de método do politopo. Neste método ê deter

minada uma região de validade para a função energia, usada como

função de Liapunov, e determinada a superfície de nível contida nesta região e que tem interseção não vazia com a sua fronteira Para eficiência computacional são usadas as _pro

priedades das parcelas da energia potencial, técnicas de espaš

sidade, certos valores de energia calculados em pontos da frog

teira da região de validade e ê proposto um procedimento para a

ordenação de casos a serem analisados.

_

um

Sao apresentados fluxogramas das _{subrotinas desen}

volvidas e _{diversos exemplos para ilustração do algoritmo pra}

posto.

I

À B S T R A\C T

The main objective of this work is an _{algorithm presen}

tation for _{transient stability analisys of n-machines- power}

systems. _{Stability domains are_obtained through the Liapu}

nov's second method, using the politopo's method. In this

metod a region of Validity for energy function, used as _Lia punov's function, is determined and obtained the level's sur

face contained in this region and that intercept the region

boundary.

For computational efficiency are used energy potential properties, sparsity techniques, certain values of energy calculated in points of Validity region's boundary and is

proposed a procedure to order the cases to be analised.

Fluxograms of subroutines are developed and several ilustrative examples are included.

S U M Ã R I O

CAPÍTULO I - INTRODUÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . H . . . . . . . .. 001

CAPÍTULO II ~ _{ESTABILIDADE EM SISTEMAS DE POTÊNCIA .... 004}

2.1 - 2.z - z.: «- 2.4 -‹ 2.5 _à 2.6 2;; «- 2.a - 2.9 - 2.10 ~ Introdução ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 004

Modelo Matemático do Sistema de Potência .. . . . . .. 004

Conceito de Estabilidade ... . . . . . ... . . . . . . . .. 010

Estabilidade em Sistema de Potência . . . . . . ... 012

Determinaçao do Domínio de Estabilidade ... .N 016 " _{Método do Ponto de Sela' . . . . . . . .} . . . . . . . . . ... . .. 018

Método Aproximado de Prabhakara . . . . .. 020

Método do Politopo . . . . . . . . . . . . . I . . . ... 023

Algoritmo para Obtenção de Dominio de Estabilidade028 Conclusões . . . . . . . . H , . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 030

CAPÍTULO III ~ ALGORITMO COMPUTACIONAL PARA ANÁLISE DA 3.1 - 3.2 ~ 3.3 ~ 3.4 ~ 3.5 ~ 3.6 - 3.7 - 3.8 - 3.9 - 3.10 ~ ESTABILIDADE EM SISTEMAS DE POTÊNCIA ,... 031

Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 031

Análise da Estabilidade em Sistemas de Potência . 031 Situação Antes do Defeito . . . . 1 . . . . . . . . . . . . . . . . _. 034 Situaçao Durante O Defeito . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 040

Situação Põs*Defeito.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 043

Verificação da Estabilidade Transitõria . . . . . .. 044

A Uso do Jacobiano Constante no Problema de Tangen- cia . « . . . . . . “ . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . .. 048

Limites Inferiores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . _. 053 Regra de Parada . . . . . . . , . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 057

3.11 ~ _{Processamento de Várias Contingência}

. . . . . ... . . . , .. 064

3.ll.l - _{Otimização do Uso da}

Integracão Numérica 065

3.ll.2 ~ _{Otimização do Uso do Domínio de}

Estabili dade .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .... . . . . .. 068 3.1l.3 ~ _{Sistema Controlador ...} .. . . . . .. 073 3.12 ~ _{Conclusões ... ..} . . . . ... . . . . ... 079 cAPITULo Iv ~ _{ÊxEMPLos\. . . . . .} , . . . . . . . . . . . . . . . . .. 080 ~ 4.1 - Introducao ... . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . .. 080 4.2 ~ _{Exemplo l .. . .. ... . .} . . . . . ... . . . . . . ... .. 080 4.3 - Exemplo 2 ... . .. . . . . ... . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. 088 4.4 - Exemplo 3 ... . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . .. 091 4.5 ~ Conclusões ... . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . .. l00

CAPÍTULO v ~ _{coNcLUsõEs E RECQMENDAÇÕES . . . . .}

. . . . . . . .. 101 ~ ... 5.1 ~ Conclusoes e Recomendaçoes . . . . . . . . . . . . . . . . .. 101 BIBLIOGRAFIA . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . .. 105 ANEXO A ... . ... . , . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 108 f

C A P I T U L o I

INTRODUÇÃO

O constante aumento do consumo de energia elëtri oa implica no aumento do porte dos sistemas de potência que _de vem atender os _{consumidores com.continuidade} e qualidade de seg

viço. _{Para isto devem operar com segurança, mesmo em presença}

de perturbações como* perda de carga, perda de geração ou perda

de equipamentos como linhas e transformadores.

n

'

Desse modo, se _{um sistema está operando em um de} terminado ponto, ê importante saber, havendo alguma alteração

nas condiçëes de operação,

A «

se existe um novo ponto de operaçao,

. P1 É 9'

- se o novo ponto de operaçao e estavel,

~ e, se o novo ponto de operação ë alcançävel a partir do

estado do sistema no instante que cessa a perturbação. Esta ültima questão decorre do fato das equações que descrevem o sistema serem, mesmo na sua representação mais simples, não lineares. Neste caso, conforme o "distanciamento"

do estado quando cessa a perturbação, o novo equilíbrio pode não ser alcançâvel,

ou

Esta questao tem sido analisada com auxilio de _mš

:-4 um N

bilidade do sistema ë _{decidida, para uma certa contingência com}

um determinado tempo de duração, através da análise da solução

das equações diferenciais.

A _{principal vantagem deste procedimento reside no}

fato de ser possível representar~se o sistema com grau de _deta lhe variävel. No entanto cada situação diferente deve ser ana lisada por vez, _{exige anâlise das curvas solução e apresenta um}

consumo de _{tempo em computador crescente com} a complexidade do

modelo. '

Na busca de métodos mais eficientes e que .pudes

sem concluir automaticamente pela estabilidade ou não, tem~se feito uso dos métodos diretos de análise de _{estabilidade, prin}

cipalmente do segundo mêtodo de Liapunov.

H

A procura de funções de Liapunov tem sido intensa e värias funçëes são hoje disponiveis. Entre estas, a função tipo energia tem recebido atenção, principalmente pelo fato de ser possivel a obtenção de dominios de estabilidade com seu au

xílio. Estes dominios são especificados pelo ponto de equilâ

brio instável do _{sistema com menor energia potencial[2,3,l3al¶.}

Apesar de ser um procedimento possivel nã algumas dificuldades presentes nesta abordagem, tendo em vista a dificuldade de se

obter um método geral eficiente que indique o ponto instável -

mencionado. Náo hâ também uma regra conhecida que determine o nümero total de pontos de equilibrio do sistema, não se sabendo

ea

entao, se todos os pontos instáveis foram encontrados para que,

Para contornar estes problemas, em [4,6] foi pro posto um algoritmo que também se baseia na função energia e que

utiliza uma região onde a energia tem um comportamento radial mente crescente. Neste procedimento, se certas condições são

satisfeitas, um domínio de estabilidade É encontrado conforme sugerido pelo algoritmo.

Partindo da necessidade de se ter procedimentos rápidos para análise da _{estabilidade transitõria, neste trabâ}

lho faz»se uso das propriedades das relações matemáticas e da interpretação fisica de alguns termos envolvidos nas equações, para a proposição de _{um algoritmo computacional para sistemas} de grande porte, com o objetivo de analisar a _{estabilidade tran}

sitôria de sistemas de potência.

Assim, no capitulo II, ê apresentado o modelo _ma temätico do sistema considerado, a conceituaçao de equilibrio e

estabilidade, mëtodos de análise da estabilidade e obtenção de

dominios de estabilidade. No capítulo III ê discutida a anâli se da estabilidade em sistemas de potência e proposto um _proce

dimento computacional para isto. Diversos exemplos ilustrati - _{_.}

vos são dados no capitulo IV de modo a ilustrar o _{algoritmo pra}

posto. Alguns comentários finais e _{recomendações são incluidos}

CAPITULO

II

ESTABILIDADE EM SISTEMAS DE POTÊNCIA

2.1 ~ _lntrodugšo

Q

Neste capitulo serão apresentados o modelo matemá tico do sistema de potência, conceitos de estabilidade e domí

nios de _{estabilidade utilizando»se o segundo método d e} L' _iapunov.

Tambem serão _{discutidos alguns procedimentos para obtenção de}

domínios de estabilidade baseados no uso da função energia como função de Liapunov.

2-2 ~ _{1Yš9r<iârlu9r-.;!1ê1fi=emãfiCase}

S1-sitemac<1@,P0if›š;1sizâ

J

Neste trabalhoyserã usado o _{modelo clássico nara}

a representacão da máquina, com as seguintes hioõteses:

- _{A máquina sincrona ë reoresentada por uma fonte de ten}

~

sao constante em série com sua reatância transitória de eixo _di reto;

A potência mecânica ë considerada constante durante _o

de, no período de _{estudo considerado, não se faz sentir em vir}

tude de sua constante de _{tempo grande em relação ao período de}

tempo considerado;

» _{As máquinas síncronas são consideradas como}

de rotor _li

so e a constante de inércia ë assumida como constante;

M _{As potências de amortecimento são proporcionais}

ãs velo cidades de escorregamento, e as constantes de amortecimento das

máquinas são _{supostas constantes;}

I

- _{As cargas conectadas ao sistema são representadas}

por admitâncias constantes;

~ _{Os capacitores e reatores ligados ao sistema, são}

tam bém representados por admitâncias constantes,

Devido ãs duas últimas considerações o sistema _po

de ser reduzido ãs suas barras internas de geração, através de

uma redução de Kron por exemplo. Desta maneira o _{sistema pode}

ser descrito pelas equações de oscilação de suas máquinas, a _se

gun: ‹í [1,2,3] )z 2 d õi Ú ôi _w ` ' Mi

É?

+ 'Í' Pmi - _Ú i = l, ..., n onde: t = tempo (segundos),

õí = ângulo em graus eletricos entre o eixo do rotor da

íwêsima mäquina e um eixo girando a uma velocidade

di = coeficiente de amortecimento da _{i~êsima máquina}

(p.u) . (seg)

Pmi = potência mecânica de entrada para a i~êsíma máquina

P~u\ '

Pei = potência elétrica entregue pela i-êsima máquina

(p.u) , dada por:

2 n '

Pei = Giiai +

jíl [EiEj} Bíjâen (õi « ôj) + Gijcos<ôi~ôj)

jfi

*

2.2) M.

Mi, fl_w É/Hi , Hi = constante de inércia em

fiëš- (

Onde:

Ei w tensão na barra interna da i-êsima máquina em p.u.

Gii 2 carga equivalente na i»ësima barra de geração em p.u

Bij = susceptância de transferência entre a barra inter

na da i-êsima e da j«êsima máquina em p.u.

Gij

=Condutân¢iade

transferência entre a barra interna

da i-êsima e da j~êsima máquina em p.u.

az

No algoritmo de obtençao dos dominios de estabili dade são desprezadas ascondutânciaede tranferências do sistema reduzido, obtendo~se então:

I

_ 2 “

Pei ~ GiiEi + _jíi [Ei Ej] Bij sen ( öi ôj ) (2.3)

jfii

Define~se, por conveniência,

Fij = [Ei Bj] _Bíj = coeficiente de sincronização,

_ 2 _{_} . . ~ .

Tomand 2...n, onde: dói ₌ â = W i = l 2 n ãt 1

if

] 'not av W1

o como variáveis de estado _{ôi e Âi,} i = _l,

= _{velocidade da i-ësima máquina relativa ao}

sistema de referência od - (2.l) na forma

mW

ã o i 1 , p G SE GSCIEEVEZI ãS âqllâçõês T1 0 Mi wi = - di wi Para o caso e J¢1 (2.4)

m que não se tem amortecimento uni

d2 ~ z .

w

forme gl # *~ # --dm `

, Ml M2 .

MH sao necessarias (2n-l) vari do. _{Usa-se fixar um d}

Gn, tendoase então:

ai = ëi « õn 1 = _{1, 2, ...,} (n»1›

aveis de _esta os ângulos como referência, no caso

"

Com isto, as equa õe d

w

= « Mšl _R

_w

~ Mšlwtf _{(P,F,a) (2.5)} à = Tw onde W = /í__t°'_'°'__'\ gaonng I'-4 (X:

nf

___íi\ Qccneg 5 H nz- i-" ç s o sistema ficam ([4,5,6]) Í F" _{F12...F1n F23"'Fn-1,n}}

O P M n-l ~l ~ Ê1 1 T = _{In_l} 5 , p z z L 1 _, , Msz âiag _;[Mi} 1 = _1,2,...n mqçxiz diagonal `R ₌

[rij] i¡j w l,2,...n. sendo rij =

lr f(P,Ff6) H: I! Ê-fiønooøb 1 (PlfFIa) z K n~l(Pn-1' F'a) onde:

fi (Pi, F, W) = -Pi + Z Fijsen(@i-u§)+Fin sen _(Gi)

mento, isto ê, di~ dn

-_

= _- ou â. = 0 _,i = 1 Mi Mn 1 No nwl 3=l

tro de ângulos ( [71 ) 60, onde

n Z i 5 = 1=1 M1 6 O n Z _M i..-_: _1- 1 se i # j 1 se 1 = 3

caso de amortecimento uniforme ou sem amorteci

Mostra-se em ( I7 _I, |6 _I) que neste caso deve»

se usar 2n-2 _{variáveis de estado e que pode~se definir 'variš}

veis Qi como sendo

ei = Si - 60 1 = _1,...,n '“`“

tendo-se em vista que:

n n n E _{Mi 91} = Z _{Mi di} “ E _{Mi 60} = O í*l~ i=l i=l e que, T1 Z _{Mi O i} = O i=l

Considere-se a matriz não singular _({7,8])

.¬

, u 1 T

G ~ _{Inml +}

ä;~ b b MS , onde

In_1 ê a matriz identidade de ordem n~l;

b = [1 1 1 . . . 1 ]T ';

Ms ê a matriz diagonal _[Mi] .

Pode-se observar que ( [7,8] )

e que a e 69 podem ser relacionados, considerando~se _que n o m - l . ai _ + "M-_' E p lzly -nao] “ _{1 1} fpela›expressäo:- a e _Q

_{e, @=z[9l ,,_@n_l]T}

Considerando-se agora _{di=0, pode~se mostrar, to ._} *Q

mando~se G “B , que

â= ~ sM“1 _{f‹P, F,9} > ‹2.õ›

ãzs

ë` _{0 sistema de equações diferenciais}

de primeira ordem que descreve a evolução do estado do sistema em relação ao _movi

mento do centro de ângulo. A

'

Observe«se então que, no caso de amortecimento _/

não uniforme far«se«ä uso da expressão (2.4) para a descrição matemática do sistema de potência e, no caso de amortecimento u niforme ou amortecimento nulp, da expressão (2.6).

2-3 * _{CQE9eiÊ9;Õe E$tãÊilʧãdÊ}

Seja o _{sistema definido pela equação ([ 6] ):}

9 €Rn z tz toi O z f 3 Rn X Rm Wa" Rm e uzR9~e.Rm

Assumindo que o valor da entrada u tem m corres

POIIÔGHÊES COI'1S`ÊL8.I'1t€S, _{POÕEÍYIOS ESCYGVGIÍ3}

Ê e f(y) _(2.7)

-

Define~se movimento não perturbado como sendo o conjunto: 1* =={(y(t),t) _z

Rml

ly <+z)= _y<t;‹§ /\Í \.f \ C7 -_» xz u ff É-À4' Ú '_r~"

Onde . Y(t) t y(t;(§(0),0)) ê a solução da

equação (2.7) definida _{pela condição inicial §(O) no instante t = O.}

Dizese que um movimento ê _{estável quando ele se}

que _{um dado movimento não perturbado. Ou seja, para um dado mg} vimento que começa em (y(0), O) na vizinhança _{de (§(0), 0)}

‹ V z> 01 ‹. B õ‹z›> o)

(vt

zm

‹H‹y'(,o›,‹>› - <§‹o›,o›n<õ

z

-~› _{Hcyct;<yr‹.o›, on,fz1 » ‹y‹‹z,‹iz‹o›,o››,1z›}

›:<z›

Conforme [6 1 o comportamento de uma variável

x(t; x(0), 0) dada por _{x(t; x(O),O)} = _{y(t; y(0),O)} - _y(t;§(O),O)

e que descreve a evolução do _{movimento perturbado em relação ao}

movimento não perturbado, tomado como referência, determina ou

fz ~

nao a estabilidade do movimento nao perturbado.

rência soluções de

fšy) = 0

que _{caracterizam movimentos paralelos ao eixo dos tempos.}

. \ z

Através de uma mudança de variáveis da solução, podeese fazer com que um destes movimentos coincida com o eixo

doa tempos, _{desta maneira tornando possivel que a análise se}

ja feita estudando~se a _{estabilidade da origem no espaço de eg}

tados Rm ( [ 6, 9 ] ).

2 z 4 ~ §êta2il_i§àâ§f=fl em _{§3ë§ftemê-.§§;2etên9ia}

A

obtenção dos movimentos de referência ê feita como indicado no item anterior tomando-se, no caso da equação

(2.5),

W

w ₀

d ë 0, com isto, temos:

w = O

f(P, F, al = 0

Estes movimentos de referência paralelos ao eixo

2 «l

dos tempos, correspondem, no R n ,a pontos fixos _{chamados pon}

tos de equilíbrio. No caso acima eles são da forma

LO, ae] T , 0eRnA , de e Rnpl

Uma _{condição necessária para ter-se equilíbrio se}

gundo _[6,lO] ê que

n

2 _P1 = O ifll

'

Existem situações Í6,lQ] em que isto não ocorre.

Cita~se, para exemplo, _{os casos em que} a _{situação de depois do}

defeito difere da situação de antes do defeito pela perda de

uma parcela de carga ou de geração. Nestes casos a velocidade

de referência deve ser mudada.

Nos casos, onde _{dk #} O,

k=1, ..., n deve-se definir, para a _situação de depois do defei

to a _{nova velocidade [61} h - 2 _Pk W _kal W; = wi - -h i = 1, ..., n e (2.8> X _dk « k=l Il I E Pk

Pizpi

-zzi.*z=.n¿... _‹z.9› E dk k=l I ~

Novos pontos de equilíbrio sao obtidos, fazendo

I

'

n

I

f(P', _{F, 0')} = _{O , de modo que se tenha É Pi} = _O

Para casos em que _dk = _{O, k=l, n, tQma»ge} n .. É pk wi

:wi

_. n

zm

1<=1i

n . É _Pk PH Ê: P __ M ` (2 ll) % i i n ' ' É 1 Pak kz onde: E _PiU =: ₀ 1

De maneira análoga ao caso anterior, obtemwse os

pontos de equilíbrio.

Em [7 1 e [6 Imostra-se, usando segundo método de Liapunov, que se existe de e L , onde L = {d| |di|5-%- _,

lui ¬- ‹`1jl@s-‹-`g-~ _, 1, _j = _{1, 2,} (n-1›}, _‹2.12›

~ '

T - . ‹ . . . -

entao YO,de) e um ponto de _{equlllbrlo asslntotlcamente estavel} do sistema.

Visando a análise da estabilidade de um ponto de

equilíbrio de (2.5) colocado na origem, uma mudança de _variá

veis da forma:

i

:ly

_{2; ooø[}

ë feita.

É mostrado em [ 6 Í que se de pertence a LO(i§ "' _{H t -}

»›

terior de L), entao o _{equilibrio (0,} He] e _{assintoticamente}

estável.

Sabendo~se que o ponto de equilibrio ê estável, a questão que segue diz respeito a magnitude das perturbações pag

sageiras que o sistema suporta. Neste sentido, define-se e uti liza~se a noção de dominios de estabilidade.

2-5 ~ _{EstermieeãšeiëgiãeminiøidG Estabiliëeâe}

4.

Domínio de estabilidade exato de um ponto de _equi

líbrio estável ê o conjunto de todas as condições iniciais tais

que as trajetörias que passam por elas permanecem numa _vizi nhança do ponto de equilíbrio. Dominio de _{estabilidade assintã}

tica de um ponto de equilíbrio estável ê um conjunto como o aci ma com" a particularidade de que o equilibrio ê alcançado quan do o tempo tende a infinito. Define-se como dominio de estabi

lidade, qualquer subconjunto, aberto e conexo, do domínio exato

de estabilidade que contêm o equilibrio em seu interior _[6,9].

O segundo mëtodo de Liapunov fornece em geral meios para a _de

terminaçao de domínio de estabilidade, desde que se disponha de

uma função de Liapunov.

Na literatura encontramwse diversas funções de

Liapunov para o estudo de estabilidade de sistemas de potência

e, dentre elas, a função energia do sistema. Uma função candi data a função<MëLiapunov deve ser definida em sinal, isto ê,com superfícies de nível fechadas (Í9}), na vizinhança do ponto de

equilíbrio na origem.

O sistema de _{equações diferenciais representativo} do sistema com o ponto de _{equilíbrio transladado para a origem} ê dado por

«1 _ »1 t

“

W

= ~

_M

_{R w} e _{M T f(P, F,} z + ae) _{(z_13>}

É = T

W

A

função energia total do sistema ([2 a 6,8,ll,l2]) ê dada por

n ne2 nel

v =

_E

1 2

M

wz + E 2 _Ff. [-¢os(z _+a e)+¢osa e _-z

1 1 ₁₁ ij ij ij lj

i=l i=l j=i+l

n~l

e nn

em f e e

i

-5 ‹ - Z '” . z › " 0 S .

ç ser @lJ} + Fin L cos(Zl+dl )+cosfll Zi enfll ₁

` i=1 _(2.14› onde: z z = z. » z. a É = u e - fl.e in 1 J~' in i 3 V eu ¢ e-

Mostra-se que esta funçao e _{uma funçao} de Liapg nov para a estabilidade do equilíbrio colocado na origem.

A função V ê a soma da energia cinêtica” _EC =

n

=

š

Z M w.2 _{e a energia potencial E} = _{V-E . Da observa}

2 i 1 _p c

~

i=l

energia cinêtica não apresenta restrições quanto a seu uso como

funçãorkaLiapunov,pois ê _{definida positiva para qualquer w E Rn.}

No entanto o _{mesmo não acontece com a parcela da energia poteg}

cial, tendo em vista os termos em co-seno em (2.l4).

A função _{energia potencial possui uma região limi} tada onde ela apresenta as caracteristicas de função de Liapu nov e _{apresenta superfícies de niveis fechadas que contem paper}

nas o _{equilibrio*.na origem em seu interior, até um dado valor}

de _{energia em que as superfícies de níveis deixam de ser fecha}

das. Sabe~se_que a _{ültima superfície de nivel fechada que con}

têm o _{equilíbrio passa por um ponto de equilibrio instável (pon}

to de sela). A energia total do sistema calculada em pontos da

forma fÓ¬de¶Tê igual a energia potencial _{do ponto. Desta foä}

ma, determinar a maior superficie de nivel fechada que contenha

sô um ponto de equilibrio em seu interior se resume em encon trar o ponto de equilíbrio instável de menor energia potencial. Este ponto definirá o domínio de estabilidade como sendo uma

ou

regiao definida pelo nivel de energia que êxnnlimite de energia que o sistema pode adquirir de forma que a sua trajetória pôs-

defeito tenda ao equilibrio com o tempo.

1

na

A grande dificuldade na aplicaçao deste mêtodo es _... ¢~‹

tã na obtençao do ponto de equilibrio instável que defina a _su

perficie de nível desejada. Não existe um método geral que _le

ve ã determinação deste ponto, fato que desestimula a utiliza

ção dos procedimentos que utilizam pontos de equilíbrio instâ

veis como referência para obtenção de domínios de estabilidade.

2.6 ~ _{¬¬ez Método do Ponto de Sel}

«i i»im_.ii.iif -Ê

'

Como visto acima, _{fazendo~se uso da função eneš}

gia Eotal do sistema como _{funçãomheLiapunov, a determinação do}

dominio de estabilidade ë _{dada pelo ponto de equilíbrio instš}

vel de _{menor energia potencial (ponto de sela).}

A obtençäomkaponto de sela (Í 2,3,l3 a 161) ê uma tarefa muito dificil e de _{resultados nem sempre satisfatõrios.}

.-

A nao existência de _{um procedimento geral que leve diretamente}

ã _{determinação do ponto de equilíbrio instável de interesse(pon}

to de sela), apesar de _{algumas tentativas que não levaram a re}

sultados favoráveis, faz com _{que seja necessário encontrar tg}

dos os pontos de _{equilibrio instáveis, para então se definir}

qual o de _{menor energia potencial.}

Outra dificuldade está no nfimero de pontos de _Ê

quilibrio instáveis que possa ter um sistema. Não existe um

um

procedimento que defina este nümero. Conforme discussao em [14 1, o nümero mãximo de soluções de equilíbrio do sistema

vu ,` ¡ ' '

v. n

(2.5) numa regiao definida por - w _{5dií¶zi=l,_,, n-1, e 2 ~2 ,}

onde n ê o número de máquinas do sistema.

Y .

Deste numero, obtemese a _{seguinte distribuição:} «no máximo Znél «l pontos de equilibrio instáveis;

ø n“'l v' .

-no maximo 2 - 2 pontos _{de maximo;}

As _{soluções que interessam para a obtenção do do}

mínio de estabilidade são os pontos de _{equilíbrio instäveis que}

'- -v n"'l

sao no maximo 2 ~l pontos. _{A obtenção destes pontos envolve}

a _{solução-do-sistema de equaçöes (2.5) tomando-se}

(X:sG

Ú w O

Desta forma a solução do sistema de equações rg duz~se a _{um problema de fluxo de carga com o sistema de equa}

ções obtido de (2.ll)com à = m = _{O, e que conduz a}

i m 1 .. .-..'“

U):

_ _{__} _ €__ G Pi W fi son (Zi Zj F _{di dj )}

31

1 j¢i

Para a soluçãockasistema de equações algêbricas näo~lineares são _{encontrados diversos mêtodos na literatura, en}

tre os quais destacam~se os métodos de Fletcher-Powell e o de

Newton-Raphson. O uso do método de Newton-Raphson tem seu uso justificado e recomendado em Í 13 1.

Para condições iniciais na origem a solução deve

convergir para o ponto de equilibrio estável. _{A questão que de}

ve ser respondida a seguir diz respeito a como definir condi

ções iniciais de modo a obter os pontos de equilíbrio instáveis.

Este problema tem sido enfrentado usando«se um _{procedimento em}

pirico com bom fundamento físico mas ainda sem demonstração _ma

temática. A dificuldade maior está no fato de não se conseguir

condição inicial se obtenha o ponto de _{sela contido nesta re}

gião. Este fato pode levar a casos _{onde,dadas condições ini}

ciais diferentes obtenha~se o _{mesmo ponto de equilíbrio instš}

vel; casos _{onde para} a _{condição inicial dada não se obtêm con}

vergëncia, e a _{situação mais grave de não se obter pontos de} equilíbrio por não se dar condições iniciais em suas regiões de

convergência.

Estas considerações introduzem um grau de _in

certeza muito grande relativamente ao _{ponto apresentado como} ponto de equilibrio instável de menor energia, pois pode ser

que um dos _{pontos não obtidos tenha menor energia que o mesmou}

Além dissofio fato de não se possuir a informação do número exa

to de _{ponto de equilibrio instäveis deixa sempre a possibilida}

de de _{que um desses pontos não tenha sido encontrado.}

2 ~ 7 ~ lYlêt_0d0iš+42£2¿<;imsd9__de' gP5abhskârs

Em [13] foi apresentado um trabalho em que a _de

terminação de domínios de estabilidade ë feita utilizando~se o conceito de ponto de equilibrio instável de menor energia. sem que sejam obtidos todos os pontos de _{equilíbrio' instáveis.}

Para tanto foi mostrado que a função energia _va ria muito pouco nas proximidades dos pontos de _{equilibrio. Devi}

eu

do a _{isso,uma condiçao inicial que esteja prõxima do ponto de}

equilibrio terâ um valor de _{energia com muito pequena diferença}

em relaçao ã energia do mesmo. _{Desta forma,as energias calcula} das nas condições iniciais podem substituir as energias dos _pon

tos de _{equilíbrio instáveis, consequentemente dispensando a og}

tenção dos mesmos. O dominio de _{estabilidade ficaria definido}

pelo menor valor de _{energia encontrado nas condições iniciais} dadas.

As condições iniciais a serem usadas foram obti-

das a partir de _{uma analogia com um caso de máquina contra bar} ra infinita, onde o ponto de _{equilíbrio instável conforme a fi}

-z.

gura ê dado por Õi = H - 2 öe(equilíbrio transladado o/a ori

. gem) *U «z » zw šíiií-«---> I/ / pm ~ a a - ¡ ô * > de W/2 di U

Fig. l ~ Curva Potência Ângulo

1

pe

O conjunto de pontos onde sao calculados os valg res de energia ê determinado pelas combinações _{dos valores Õi} =

= W ~ 2 Õie das n mãquinas _{do sistema, sendo o nümero de com}

binações geradas 2n"l~l.

O resultado assim obtido seria de confiança se

houvesse a certeza de que as _{condições iniciais usadas estives}

sem sempre suficientemente prõximas dos pontos de equilíbrio instáveis, fato este que nao ê comprovado matematicamente e que introduz uma margem de incerteza no resultado.

Em [17 ] ê apresentado um trabalho que elimina

um problema que o _{método aproximado de Prabhakara havia apresen} tado com respeito ä escolha da máquina de referência. Foi _esta

belecido um algoritmo que detecta resultados falsos obtidos a

partir de uma mãquina de _{referência inadequada para o caso em}

análise. Uma nova mãquina de referência ê escolhida e o _proces

samento continua até que o _{resultado obtido passe no testev de} resultados falsos.

B

Em [18 ] ë abordado o problema do grande nümero de Condições iniciais (2nml?l) a serem testadas. É então sugg rido _{um procedimento que_calcula o valor da energia em apenas}

2n pontos, baseado na hipótese de perda de sincronismo de uma

~

mãquina em relação ao _{sistema. Estes pontos sao:}

a) n tentativas onde

Ô=T¡`--2f5e

_{k k} 6 X _ 9í = Õie i=l,..,n 1 # k para k = l,n~l bl n tentativas onde

9k=--TT-Zwske

e Gi = ôie 1 = 1,..,n i # k para k = l,n¬l

c) uma tentativa

ei = H ~ 2 öie 1 m 1,...,n~1

uma tentativa

ei $"'1T'_2 i ==l]uno]n_1:

Nas tentativas a) e b) admite~se que uma _máquina

perde o sincronismo e que o ponto de _{equilíbrio instável obtido}

ë devido a _{essa mäquina. Para o caso 0) assume-se que a mäqui} na que gera o ponto de _{equilíbrio instável ë a máquina de refg}

rência. l

'

~

Em um grande número de _{situaçoes este procedimen}

to foi _{testado com bons resultados, mas esta também não ê uma}

regra que tenha validade assegurada sempre. Encontramfse situa _{-_}

N

ções em que outros tipos de combinações que nao as _{sugeridas ge}

ram o valor de energia que indica o dominio de estabilidade.

2-8 ' _{Mëf9fiQ§d9lPelit9B9}

Para contornar estes problemas foi encontrado em

[4,5,6 e 12] uma região onde a função energia total ê uma _fun

~ ~

çao de Liapunov. Feito isto a _{determinaçao do dominio de esta}

bilidade resumetse em encontrar a maior superficie de _{nível tan}

gente e inteiramente contida na região de validade, de forma a

dar um resultado confiável. A região de validade, por constru

devido a isto, a _superfície de _{nível que definirá o dominio de} estabilidade serã sempre interior ã _{superficie que passa pelo}

ponto de sela de _{menor energia potencial. Este fato faz com}

que o valor dado pela região de _{validade seja conservativo em}

relaçäo ec dado pelo ponto de sela, portanto a _{favor da seguran}

ça, sem 0 perigo de _{apresentar um valor maior que o dominio zde}

estabilidade relativo ao ponto de _{sela com menor energia poten} cial.

I

Mostra~se que a função energia (2.l4) ê vâli da como função de _{Liapunov para estabilidade assintótica da ori}

...Q

gem do sistema, na região

G = { _{by, Z1} t

Í

Z e _L2} , onde

L2 = {Zi(~¶ “ Êaka) 5 Zk 5 (W “ Êake) 8

<~1f -› _{2‹‹1k*“*} - cf pe›

é

_{zkp s} cf-

zwke

- ‹×pe››}

k, _p = 1.,....,n-1,1< ,+ p

O conjunto _L2 contêm o conjunto L (2¿UJ se _arnpóte

se"

de

_{sI,ë‹fimenmda. Além disso prova-se ([4, 61) que em L2,}

_m

função de energia potencial, Ep, dada por

'n

__ _ 1 2

Ep-V

-Ê-- Ê _{Mi Wi}

ë uma funçao radialmente _{crescente. portantø em}

G não _{existe nenhum outro ponto de equilíbrio assintóticamente}

estävel de. _{Assim a superfície de nível com}

interseção não va

Zia com a _{fronteira de L2, ÔLZ,} '

e Cgntída _em

L2 ë uma superfície de nivel fechada.

Obtida uma função de Liapunov, V, e determinada a

região G Onde ela ë _{válida como função} de Liapunov, em Í4,6 1 o

problema de encontrar um domínio de _{estabilidade assintótica pa}

ra a oriéem pode ser resolvido atravës do problema de otimiza

çao,

min E (PJ F, Z)

Z P

s.a Z E _ÂL2

onde 6L2 ë a fronteira do conjunto _L2 que ê formada por faces

que são subconjuntos contidos em hiperplanos de dimensão máxima

no espaço de dimensão n»l, ou em intersecções de hiperplanos deste espaço vetorial.

Estes subconjuntos e hiperplanos são facilmente identificâveis tomando-se as relações que definem _L2, considâ

~

rando-se os extremos dos _{intervalos estabelecidos. A soluçao}

deste problema fornece um Z* _{que especifica a tangência entre} uma superficie de nível da função de energia potencial e a frog teira de _L2, de tal modo que o conjunto de _{nivel corresponden} te está contido em _L2 e tem intersecção com L2. O domínio de

~

estabilidade assintõtica para a origem ê dado, entao, por D = {[w,z]t _{|v ([w,zfjt)} < _{v <[o,z*]t) = Ep (F, P,z*)}}

O problema de otimização pode ser colocado como

min { min Ep (Z)}

k z

' Sza Z E _{Wkfi L2}

onde Wk ê um hiperplano que contêm _{a k-êsima face de dimensão}

máxima. As faces _{Wkñ L2} do politopo _L2 são do tipo

\ zm n = _, _ U e : Zk Zk (É W 2 _uk ) O ==z

-z

~»‹iyf-2‹‹×e,-‹1e››=ø

Zkp k p k p

definidas, então, duas faces uma para + W - _{2 ake e uma para}

* W - 2 “ke . O mesmo vale para Í W - 2 ₍ ake - Q pe)

A procura do ponto de tangência em uma dada face

pode ser feita tomando-se uma das variáveis (Zk) ou a diferença

de duas, _{(Zk ~} Zp), constante durante a busca na face, correâ

pondente. Assim a parcela da função objetivo que depende de

(Zk) ou (Zk - Zp) ê constante e ë chamada de limite inferior da

energia potencial na face correspondente.

Pode-se decompor o problema da otimização ([4,6]) em subproblemaszygdois tipos, conforme se tenha um ou _{outro ti}

po de face, (Zk) ou (Zk - Zp) constantes. Encontrar a solg

ção do problema de otimização consiste em encontrar o _{mínimo en}

tre os mínimos dos subproblemas. Para faces do tipo _Zk constan

' E Z min p ( ) Z s.a. Zk - (Í W ~ 2 _{ake) =} O _, z e _L2

Com o uso do multiplicador de Lagrange fica:

min {Ep‹z) + _À[zk » _{(É w} - _{2 @ke›]}}

s.a Z E _L2

Q

Para faces do tipo _{(Zk ~ Zp)} constante, tem~se:

z min E (Z) Z P s.a e e _{_} zk - zp « [i H - 2 ( uk ~ Up ) _] ~ 0 z e _L2

Com 0 uso do multiplicador de Lagrange fica:

__ __ + __

e_

6

min {Ep (z) + À _[zk zp (_ W 2( _ak ap _›]}

1

s.a Z 8 _L2

A solução iterativa dos problemas de otimização por Newton«Raphson serã dado por:

onde A E _{representa o valor do gradiente do Lagrangiano calou}

“l _

vn ,

lado no ponto Z do passo i I e J (Zl) e^a _{inversa do Jaco}

z

biano calculado em Zi.

Devido ãs restrições do problema de _{otimização,Zk} ou _{(äk ~} Zp) _{constantes, existe uma parcela no valor da energia}

que permanece constante durante a procura do ponto de tangência

na face em questão. _{Esta parcela} ê chamada de limite inferior,

e ë _{usada na escolha das faces a serem analizadas, conforme o} algoritmo descrito a seguir ( [4,5,l2,l9]):

2.9 - _{êlgoritmowpara obtenção de Qominios de Esta} bilidade

l. Cálculo dos limites inferiores

on

2. Ordenaçao _{dos limites inferiores em ordem crescente}

3. O primeiro valor _{da lista define a face a ser analizada} 4. Toma-se como condições iniciais _{os valores de ângulos}

na origem, É = 0 .

5. Calculavse a inversa do Jacobiano e o gradiente do _Lan

gragiano em Z . 6. Resolve-se para É '

A À = J"l[A _E]

Aê'

7. Testa«se a convergência do algoritmo. Se nao convergiu

e não excedeu o número máximo de iterações, atualiza-

se Í e À e retorna-se ao passo 5. Caso tenha exce az

não houve convergência, então toma~se o _{próximo valor} da lista e entra~se _{no passo 4.}

Se _{houve convergência, testawse se o ponto de tangêg} cia pertence _{ao L2} . Se não pertence,toma~se o prõxà

mo valor da lista e retorna~se ao passo 4.

Se pertence, calcula»se o _{valor da energia potencial} no ponto de tangência.

Compara-se este valor com o valor do prõximo elemento

da lista ordenada. Se for maior, substitui~se o valor

do _{limite inferior em análise pelo valor da energia e}

voltawse ao passo 2.

A

Se 0 valor de epergia for menor que o do limite infe

rior, então este valor define o domínio de estabilida«

de.

1

z

2.10 ~ _Conclusões

Neste capítulo foi apresentado o modelo _matemáti

co do sistema de _{potência na forma de um sistema de equações di}

ferenciais representativas do comportamento das máquinas do sis

tema. Foram feitas as _{hipóteses clássicas do estudo de estabi}

lidade e foi usado o sistema reduzido ãs suas barras internas

de geração.

'

Foi vista que a verificação de estabiliaaae de um dado movimento ã feito observando-se o seu _{comportamento em re}

lação a _{um movimento nãorperturbado} de referência. Este _movi mento em sistemas de _{potência são fixados pelo ponto de equilš}

brio estável com ângulos em menor determinação.

Observou-se que para seguir o movimento de _refe

rêncie um movimento qualquer devia partir de uma certa região em sua vizinhança, definindo«se então o conceito de dominio de

estahilidade a partir do conjunto de _{condições iniciais que de}

finem movimentos que se aproximam, com o tempo, do movimento de

referência.

Foi mostrado então que o dominio de estabilidade pode ser dado por uma superfície de nivel fechada que contêm em

seu interior o ponto de equilíbrio estável e definida pelo pon

to de equilibrio instável de menor energia. A dificuldade para

a obtenção deste filtimo ponto levou ã um processo alternativo proposto em [6 _1, que foi descrito na parte final deste capítu

C A P Í T U _{L O III}

ALGORITMQ coMPUrACIoNAL PARA ANÁLISE DA EsTABrLIDADE Em SISTEMAS DE POTENCIA

3.i_+”Introdu§äo

Neste capítulo discutem-se inicialmente os _proce dimentos para análise da _{estabilidade transitória em sistemas} de _{potência descritos matematicamente, conforme mostrado no ca}

pítulo anterior, São comentados as _{principais etapas desta anš}

lise, bem como os _{cãlculos bâsicos necessários. E proposto em}

seguida um algoritmo computacional para implementação do algg ritmo conceitual apresentado no capitulo anterior e baseado no

método do politopo. Para eficiência do algoritmo proposto faz- se uso da estrutura e _{interpretação fisica das parcelas que for}

c-‹

mam as _{expressoes matemâticas envolvidas.}

3.2 W _{gnãlisgpdëfiãstabilidade'em'§istemas¬§e}

Potência

Y

É importante para a operação e planejamento de um

sistema elétrico de potência saber se um dado ponto de operação normal do sistema ë capaz de _{suportar sübitas perturbações prg}

vocadas por algum defeito. Saber se o sistema evoluirá para um

novo ponto de equilibrio estável ou não, ê o objetivo da anãli

Para grandes sistemas, ou seja, sistemas com nwmä quinas existem, basicamente, dois tipos de procedimentos: os mê

todos diretos e os métodos indiretos. Os _{métodos indiretos,hi§}

toricamente consagrados pelo seu uso, baseiam-se em métodos nu

mëricos para a solução das equações diferenciais representati

vas do sistema de potência. A análise ë feita observando-se o comportamento dos ângulos internos das máquinas ao longo _{do tem} po. Se as _{diferenças angulares entre duas máquinas aumentarem}

com o tempo, diz-se que existe perda de sincronismo e o sistema

0 é instável.

Podem ser citados como inconveniéncias do método, a necessidade de análise cuidadosa das curvas obtidas, a impos sibilidade de se definir com exatidão o tempo de integração _ne cessário para a obtenção

de da intervenção humana litando um processamento

de uma resposta confiável, a necessida para a definição da análise impossibi I nn:

automático, e o relativamente grande tempo de processamento necessário para a análise que aumenta muito com o número de barras e com uso de modelos mais reais de

máquinas.

O segundo procedimento existente, métodos dire

tos, faz uso do segundo método de Liapunov. Este método forne

ce, em geral, condições suficientes para a estabilidade de um

ponto de equilíbrio. Embora o segundo método não oriente a prg

cura das funções de Liapunov, encontrada uma função de Liapunov

,__ .

á ~

que satisfaça as condiçoes do metodo, pode-se tirar conclusoes sobre a estabilidade do equilibrio e sobre domínio de estabili

* .-.

dade. Conforme visto no capitulo anterior, usando a funçao

_Ê

ritmo conceitual que possibilite a determinação de dominios dez "`

__* U Fã-U

estabilidade de um ponto de _{equilíbrio estável do sistema que}

pertença ao politopo L ([6]).

Como inconveniente do mëtodo pode ser citado que

o domínio obtido ê conservativo em relação ao dominio exato, is

to pela restrição do politopo. O uso do dominio de estabilida

de para a análise de estabilidade em sistemas de potência ê fei

ta da seguinte maneira :

-1

2. 3.

Determinação do ponto de equilibrio do sistema antes

da falta.

Simulação da falta nos parâmetros do sistema.

Integração numêrica do sistema passo a passo, durante

a falta. A cada passo ë calculado o valor da energia

do sistema que ê testado com o valor do _{dominio. Quan}

do o valor for igual está encerrado o processamento e

o valor do tempo definirá o tempo critico de abertura.

Do exposto acima ficam caracterizadas tres situa

ções para o sistema, quais sejam:

l

2.

Situação de antes do defeito, onde ê definido o ponto

de operação normal do sistema que servirã de condição inicial para a simulação do defeito.

Situação durante o defeito, onde ê feita a simulação

do comportamento do sistema, usando integração numêri

3. Situação pôsedefeito, onde _{se define o ponto de opera}

ção que se espera o _{sistema vã alcançar, e para o qual}

se obtem o domínio de estabilidade do _{sistema para} a

anãlise a ser feita.

Outras análises podem ser feitas mas são oonsti tuídas essencialmente dos passos acima.

Pelo exposto fica claro que o uso de domínios de

estabilidade em sistemas de potência não prescinde do uso de ig

tegração numêrica, embora a determinação do dominio de estabili dade seja independente do uso de _{integração. Deve ser observa}

do,nno entanto, que o tempo de integração ê bem menor, pois a

mesma sô ë _{feita no periodo durante a falta. Diferentemente do}

algoritmo de uso do dominio mostrado acima, onde chega-se ã

_de

terminação do tempo crítico de abertura, a análise pode ser _fei ta partindovse de um tempo de abertura conhecido onde a _preocu

paçäo ê saber se o _{sistema permanece estável para uma dada con} tingência que durou um certo tempo. Este tempo de integração,

então, ê da ordem do tempo de abertura de um disjuntor, muito

menor que o tempo total de integração necessário no método de

integração mumërica. Este ültimo tipo de análise foi considera

do neste trabalho e _{um algoritmo computacional para isto,} serã proposto adiante.

3 . 3 ¬' S'w1'a<s;ã;<>; anlf='es;;‹f1l<›' _9;ei1efifë9

O objetivo desta etapa ê descrever o sistema em

tuação de antes do defeito. Para análise de _{estabilidade tran}

sitõria de um sistema as _{informações importantes são as que in}

dicam os _{comportamentos de ângulo de suas máquinas geradoras.} Para a _{obtenção destes valores deve ser resolvido um problema}

de _{fluxo de carga, obtendo-se os ângulos internos das máquinas.}

Esta informação pode ser _{fornecida como dado des} de _{que obtido num processamento anterior, dispensando o preces}

samento do fluxo de carga. Para atender os objetivos de _efi

ciência desejados, o fluxo de carga deve ser de râpida solução.

Para tanto, o problema foi colocado na seguinte forma:

‹‹

Resolver A P = ~ BA9 _(3.l)

onde:

AP vetor de desvio de potência

1

fl

B matriz de reatancias do sistema -

AQ vetor de acréscimos de ângulos a ser determinado,

dados

ÀP

e B.

Foi considerado que existe um desacoplamento _en tre potência ativa - _{ângulo e potência reativa} - _{mõdulo de ten}

são. Desta maneira assumindo-se conhecidos os valores de _mõdu

na

lo de tensoes das barras, ou entrando com os mesmos em forma

de dados ou então assumindo valor de l p.u. para os mesmos, o

problema pode ser colocado na forma proposta acima.

Í-<'

condições iniciais na origem. _{Visando eficiência}

foram usadas técnicas de _{esparsidade na solução do problema. O}

método utilizado no cálculo da inversa da matriz B foi o da bi- fatorização _{[20 ],} o qual ë descrito abaixo:

No processo de bi-fatorização o inverso de uma _ma

triz ê _{obtido implicitamente como o produto de}

E

matrizes fato res. Então, Azi _; R(l) _{R(2)_._R(n-l)R(n)L(n)L(n»l)'_nL(2)L(l)} (3_2) n (i) (i) ~

onde:L e R sao _{matrizes fatores muito esparsas,obtidas} no passo i, diferenciando-se da matriz unidade apenas na consti

tuição da coluna

_i

e linha _{i, respectivamente.}

No caso da matriz A ser simêtrica os termos de

R(i) e L(i) guardam a seguinte relação:

va u

rši) = 3 ig) para i = k _{# j}

_ Este fato, somado ao da matriz fator Ri ter

a dia gonal unitãria, possibilita o armazenamento da _{matriz reduzida,}

que ê a _{inversa implícita na.forma de}

₅

_{matrizes colunas (Ll}

L2 _{... Ln), em cima da matriz dos coeficientes}

A.

Para a determinação das _{matrizes fatores são defi}

nidas as _{matrizes intermediárias:}

A‹o› _{= A}

Am

_ _{L‹1›A‹o›}

Rm

A<fl› ₃ L1ú› A‹â~1› R‹ú›

n»-.z-.-_._-.|--›-z....-._..-‹-_.¢›»-›-ú-ú-._u-

Afln) _m L(n) A(n~1) _{R(n) 3}

I

onde,

A(i) ê a matriz resultante no passo i, sendo que A(n) _ê

igual a matriz unidade. As matrizes fatores são obtidas, eg

tão, da seguinte maneira:

I - _matriz A(j) n u 1 a, = 1 ; a§3) = 0 _; a§3) = O Jj lj jk ‹j»1› ‹â-1) ‹j› o‹â-1) a 6 a a = a __ 11': 'k ik ik " Tí'-1.5 (1 . . 33 -

onde j ë o índice de pivotamento e i,k = (j+l),...n. - _matriz L(j) _ _ z (3) (J-1) 1 , 0 , onde Z =l/ a'_ .Q : Q I . v ~1tQ 0 _{(j) R} ‹j›= _a (5-1) cj-1) j,j ij ij _jj (j) . _ £j+l,j 1 - (J+l),...,n *l u 0 U o n * ‹â› ° .Y ln/j L `. . /a ›

- _matriz R(j› 1-. _onde '-_ _{‹j› <j-1) <j~1›} ø r :tz Ú' a f a' 1 O Qlrñfliyl _r' . Illiilr. jk. l :n:1+l 3,11 t l l °. _{k E (j+l), ..., n} Q. 1

Ô¬uso da _{matriz inversa obtida implicitamente co}

mo mostrado aoima,ë feito pelo produto das Zn matrizes fatores conforme equação (3.2) pelo vetor o qual a matriz vai operar.

A

na

No caso em questao onde a matriz B ê definida

como

'_

B = _{[bi I , onde i,j = l, ... n-1}

3

bi == _{susceptência entre barras i e} J" _COII1 sinal negativo 3

bii = somatõrio das susceotâncias comuns a barra i

onde os _{bi são valores constantes, a inversa da matriz B}

3

ê obtida uma ünica vez e usada, portanto, constante no processo iterativo do método de Newton~Raphson.

Nos casos em que X >>> R e sen 9 = 9, onde

X - reatãncia entre linhas R s resistência entre linhas

nho de tempo computacional e a formulacão do problema torna-se;

- _{resolver P = B 6 para 6}

O uso _{da esparsidade, desejável em vista das ma}

trizes B dos sistemas de _{potência serem bastante esparsas, faz}

com que as informações do sistema sejam armazenadas em vetores

de uma forma em que somente os valores não nulos são guardados. Paralelo ao vetor dos valores não nulos hã necessidade de forma

ção de vetores de _{informação que possam dar condições de rápido}

acesso aos valores desejados. Os vetores usados foram:

¢

Y Linha Apont Inic

I v . , ¬ , . 1, _ 2 2 3 Dna ITI ~ ‹ f *

Y ~ _{vetor dos elementos não nulos da matriz.}

I

Linha ~ _{indica a linha que pertence o elemento de Y}

«-1

Apont « _{indica a posiçao em Y do prõximo elemento da coluna a} qualpertence o elemento de Y

Inic « _{indica a posição em Y do primeiro elemento da coluna}

i, onde i = l, ... n.

m - _{nümero de elementos não nulos da matriz} n « nümero de colunas da matriz.

Os _{elementos não nulos são armazenados em pilha,}

de forma que através dos _{vetores descritos acima possam ser}

_É

cassados coluna por coluna. Devido o _{processamento exigir aceâ}

so sequencial a _{têcnica usada} ë apropriada.

Resolvido o problema de _{fluxo de carga, obtido os}

ângulos internos e armazenada a estrutura do sistema em forma

de vetores, o objetivo de descrição do _{sistema terä sido alcan .-} çado.

3.4 ~ _{Situação Duranteipereitg}

~

O objetivo desta etapa ê descrever a _evolução do

sistema durante a falta, ou seja, o comportamento dos geradores desde a aplioação atë a eliminação da falta. O procedimento a

ser usado ë o de integração passo a passo das _equações das _má

quinas. O mëtodo escolhido ê o de Euler modificado por ser de

räpido processamento e _{normalmente dar bons resultados.}

Para o uso do método são necessárias as seguintes informaçoes: potências mecânicas e ângulos internos das _mãqui nas e matriz de admitância reduzida ãs barras internas. Os dois

primeiros dados são conhecidos da situação de antes do defeito, sendo que as potências mecânicas permanecerão constantes por _hi põtese e os ângulos internos servirão como condições iniciais para integração numërica, junto com as velocidades _wi tornadas

nulas.

ção de Kron aproveitando as técnicas de esparsidade na obtep ção da inversa da _{matriz admitânoia. Com} as hipõteses de reprg sentação de _{carga por impedância constante e os geradores por}

fontes de tensão constantes atrãs de _{reatäncia transitória, pg}

demos representar o sistema por:

'f' H _, . I { 9 1 299 Ygr Í vg

0~,"

Y Y

nv

› r rg rr I r ' Í- _. I z

onde os subscritos significam:

g - nõs das barras internas, com injeção de potência

r M nõs das outras barras, sem injeção de potência

Da equação acima, temos:

I E (Y - Y Y -1 Y ) . V , de onde se obtem a ma

9 gg gr rf rg 9 “

triz reduzida

_ z ~l

Yred " Ygg Ygr Yrr Yrg (3'3)

A obtenção da matriz Yrr'l da mesma forma que a

matriz B_l no pnúflema deifluxo de‹xuga é obtida implicitamente na

forma do produto de 2n matrizes fatores. A matriz Yrrul deve

ser _{multiplicada pela matriz Yrg conforme equação(3.3),} no _pro

cesso de obtenção da matriz reduzida. Esta multiplicação de _ma

trizes pode ser decomposta em operaçõesomm>as‹k>flm«>dc‹xuga¿m

l. decomponha a _{matriz Yrg em matrizes colunas, ou seja}

Yrg = Í Bl B2 ... _{Bn 1 ,} onde

B. coluna _{i de Y}

1 _rg

. -1

2. operando Yrr com cada um _{dos vetores Bi, obtemos a}

matriz resultante

' ~ - _~

-l

__ 1 _{__} 1 1 1

M Yrr . Yrg _ _[Yrr Bl _{Yrr B2} ...

Yrr sn]

A seguir basta efetuar os _{cálculos matriciais res}

tantas,

Yred ä ( Ygg ~ YgrM)'

As equações diferenciais dos geradores a serem _in tegradas numericamente, conforme modelo matemático (2.5\

O ..- '“1 “ _"1 ` 2 _"f W = -Ê~ _(Pm - _Pe W _{D w )} 1 _M1 1 1 1 ' 1~ \' ~

O modelo pode considerar amortecimento ou nao, a

diferença entre os dois casos para a _{análise está na;xucela<k1e_}

rmmgiacúnétrxzda fiumãodeLiapunov e no número de variáveis do sis

tema.

A trajetória dos ângulos internos dos geradores durante a falta, tem, em geral, um comportamento de forma:

1

~ _{crescente parabõlico,} ~ _{decrescente parabõlico, e}

~ _estãvel

(ou combinação destes)

Estes tipos de comportamento justificam o uso de

um mëtodo de integração pouco sofistuxmo com um pass: de _integra

ção pode ser maior que o _{normalmente usado nos métodos de anãlš}

se _{que usam integração numérica passo} a passo. Estas considera

ções minimizam o tempo de processamento que será gasto com a _in

tegração numêrica.

A integração deve ser realizada atê o _{tempo esta} belecido de duração da falta, tempo de abertura de um disjun tor. Ao final da integração teremos os valores de ângulos de

mäquinas no instante da eliminação da falta. Saber se _{esses ân} gulos evoluem para uma nova posição de equilíbrio (ponto de _É

quilibrio põsedefeito) ë o objetivo da análise de estabilidade.

Se estes ângulos pertencerem ao domínio de estabilidade do _pon to de equilíbrio estävel põs~defeito o sistema será estável.

3 - 5 -' âffitixâgšs; .P;¿Í>§1~.-`‹f1;e'fle<i1=_<z

Nesta etapa deve ser descrito a situação do siste ma pös«defeito. Ê obtido o ponto de equilíbrio estável do _sis

tema para a nova configuração e, também, determínaese o seu _do