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UFPE – MA535 (introdu¸c˜ao `a matem´atica ii) – 2011.1 prof. fernando j. o. souza

LISTA DE EXERC´ICIOS COMPLEMENTAR 3 v. 1.0

Orienta¸c˜ao: Estes exerc´ıcios complementam (e n˜ao substituem) aqueles do livro-texto e aqueles eventualmente recomendados no portal web da disci-plina. Dar solu¸c˜oes leg´ıveis e completas, explicando todos os passos e deta-lhes, e indicando as propriedades, f´ormulas e resultados utilizados. Mostrar todos os c´alculos e racioc´ınios: S´o as respostas n˜ao servem ! Desenhos po-dem ser inspiradores, mas n˜ao contribuem para a nota de cada exame. Obs. Recordar:

• Dados os vetores −→v = (vx, vy, vz) e − →w = (w

x, wy, wz) noR 3

, define-se o produto vetorial−→v × −→w := (vywz−vzwy, vzwx−vxwz, vxwy−vywx). Tal vetor ´e ortogonal a −→v e −→w. Se um destes dois ´e m´ultiplo do outro (ou seja, se {−→v, −→w} ´e L.D.), ent˜ao seu produto vetorial ´e nulo; sen˜ao, a norma de−→v × −→w ´e igual `a ´area de um paralelogramo com lados n˜ao-paralelos que representam (com a devida orienta¸c˜ao) −→v e −→w. Como opera¸c˜ao, o produto vetorial n˜ao ´e associativo nem comutativo, mas ´e bilinear e anticomutativo: −→w × −→v =− −→v × −→w;

• Em particular, se −→v e −→w s˜ao os dois vetores diretores numa equa¸c˜ao vetorial de um plano no espa¸co, ent˜ao seu produto vetorial ´e um vetor normal `aquele plano. Isto ´e uma alternativa pr´atica `a solu¸c˜ao (para −

n) do sistema de equa¸c˜oes −→v · −n = 0 =−→w· −n;

• Dados os vetores −→u = (ux, uy, uz), − →v = (v

x, vy, vz) e − →w = (w

x, wy, wz) no R3

, seuproduto misto´e o determinante de huxvx uyvy uzvz wxwy wz

i

, aqui deno-tado det [−→u,→−v,−→w]. Seu nome se deve a ele ser igual a −→u · −→v × −→w

. Ele ´e n˜ao-nulo se e somente se os trˆes vetores s˜ao L.I. (isto ´e, geram todos os vetores do espa¸co). Neste caso, seu m´odulo ´e igual ao volume de um paralelep´ıpedo cujos lados n˜ao-paralelos representam−→u,−→v e−→w.

Dados para as quest˜oes 1 a 5. Considerem-se os seguintes pontos do es-pa¸co, dados por suas coordenadas cartesianas: O(0,0,0),P(2,−1,2),

(2)

1. Seja Π o plano que cont´em ambos o ponto P e a reta ←→QR (isto ´e, a reta que passa por Qe R).

1.a. Dar equa¸c˜oes param´etricas (isto ´e, dar x(s, t), y(s, t) e z(s, t)) para o plano Π;

1.b. Encontrar uma fun¸c˜aof :R2 −→Rcujo gr´aficoz =f(x, y) ´e o plano Π.

2. Dar equa¸c˜oes param´etricas (isto ´e, dar x(t), y(t) e z(t)) para a reta que ´e a interse¸c˜ao dos planos Π1 e Π2, onde Π1 passa por P com vetor normal −→

OP, e Π2 passa por P com vetor normal −→

RS.

3. Considerem-se as retasr1 e r2 parametrizadas, respectivamente, por: (x(t), y(t), z(t)) =P + t−→OP e (x(s), y(s), z(s)) =Q+ s−→OT (onde t, s ∈R). Mostrar que elas s˜ao reversas, exibindo planos paralelos Π3 e Π4 tais que Π1 cont´em r1, e Π2 cont´em r2.

4. Mostrar que as retas←P T→e ←RS→s˜ao reversas, exibindo planos paralelos Π5 e Π6 tais que Π5 cont´em

←→

P T, e Π6 cont´em ←→

RS.

Obs. Esta quest˜ao pode ser resolvida facilmente (talvez mais rapidamente do que a anterior) se se considerarem os planos Π5 e Π6 primeiro.

5.

5.a. Dar uma equa¸c˜ao geral do primeiro grau para o plano que corta o plano

y = 0 segundo a retaz =x, e que corta o plano x= 0 segundo a reta z=y; 5.b. Dar uma equa¸c˜ao geral do primeiro grau para o plano que corta o plano

x= 0 segundo a reta z =y, e que corta o plano x= 4 segundo a reta ←RS→.

6. Encontrar equa¸c˜oes param´etricas para o plano que cont´em o ponto

A(4,4,4) e admite vetores diretores de coordenadas (1,2,3) e (3,2,1).

7. Determinar todas as triplas de coeficientes reais (x, y, z) (se ´e que existe alguma) que exprimem o vetor de coordenadas (5,6,8) como uma C.L. (com-bina¸c˜ao linear) dos vetores de coordenadas (1,2,3), (5,2,1) e (3,2,2).

(3)

9. Sejam ABCDEF GH o paralelep´ıpedo e IJ o segmento de reta como na figura abaixo. Sabe-se que os segmentos de reta IJ e AB s˜ao paralelos e congruentes, e que −→EA=−→IE+−→IH. Escrever cada um dos vetores −−→BC, −−→CD

e −→AJ como combina¸c˜ao linear dos vetores −→IE, −→IH e −IJ→.

I

J

G

F

H

E

A

B

C

D

(figura pela profa. Jalila R. Santos)

10. Considerem-se os vetores −→v = (1,0,−2) e −→w = (10,3,0) no espa¸co. Calcular as coordenadas de vetores −→p e−→q tais que: →−p ´e paralelo a−→v; −→q ´e ortogonal a −→v ; e−→w =−→p +−→q.

11. Calcular as coordenadas do p´e da reta perpendicular ao plano Π : 3x+ 2y−z= 6 pelo ponto B(1,1,−1).

12. Considerem-se a retarque passa pelos pontos de coordenadas (1,2,−1) e (0,0,−1), e a reta sque passa por (1,2,−1) e (2,4,3). Calcular o cosseno do ˆangulo entre elas.

13. Calcular o ˆangulo entre as retas r e s definidas, respectivamente, pelas equa¸c˜oes abaixo:

r : (x, y, z) = (1,2,3) +µ(0,−1,1), onde µ´e um parˆametro real; e

(4)

14. Calcular o ˆangulo entre uma aresta e uma diagonal de um cubo (adja-centes entre si).

Obs. Uma diagonal do cubo n˜ao ´e uma “diagonal da face” do cubo, mas sim um segmento que liga dois v´ertices n˜ao compartilhados por face alguma. Portanto, ela n˜ao est´a contida em face alguma. Al´em disto, ela tem compri-mento m´aximo dentre os segcompri-mentos que ligam dois pontos quaisquer do cubo.

15. Considerem-se os pontos A(0,5,1), B(−2,7,1), C(1,4,2) e D(1,3,4). Calcular o cosseno do ˆangulo entre os vetores −→AB e −→AC.

16. Encontrar uma equa¸c˜ao geral para o plano que cont´em os pontos A, B

e C da Quest˜ao 15.

17. Considerem-se os planos Π1 e Π2 que admitem as seguintes equa¸c˜oes gerais, respectivamente: Π1 : 3x+ 2y+z = 6 e Π2 : 3x−2y−7z =−6. Por que Π1 e Π2 s˜ao transversais ?

18. Considerem-se o plano Π de equa¸c˜ao geral x+y−2z = 0 e a reta r de equa¸c˜ao vetorial (x, y, z) = (2,−1,0) +µ(1,1,1), µ ∈ R. Mostrar que r ´e paralela a Π.

19. Mostrar que a reta s definida abaixo ´e paralela ao plano Π definido abaixo:

s: (x, y, z) = (1,2,3) +λ(2,1,−2), onde λ ´e um parˆametro real; e

Π : (x, y, z) = (0,0,0) +α(1,0,−1) +β(−1,1,1), ondeα e β s˜ao parˆametros reais.

20. Mostrar que as retas r1 er2 definidas abaixo s˜ao reversas:

r1 : (x, y, z) = (1,2,3) +λ(1,1,2), onde λ ´e um parˆametro real; e

r2 : (x, y, z) = (5,4,3) +µ(1,0,1), onde µ´e um parˆametro real.

21 (Estudo dirigido sobre algumas equa¸c˜oes de retas e planos).

21.a. Lema: Provar que um vetor n˜ao-nulo no espa¸co ´e paralelo a algum eixo coordenado se e somente se exatamente duas de suas coordenadas s˜ao nulas;

(5)

21.c. Lema: Seja Π : Ax +By + Cz +D = 0 um plano no espa¸co. Demonstrar que Π n˜ao ´e transversal a algum plano coordenado1

se e somente se exatamente dois de seus coeficientes A, B eC s˜ao nulos;

21.d. Lema: Seja Π : Ax+By+Cz+D= 0 no espa¸co. Demonstrar que Π n˜ao ´e transversal a algum eixo coordenado2

se e somente se ao menos um de seus coeficientes A, B eC ´e nulo;

21.e. (Equa¸c˜oes sim´etricas de uma reta no espa¸co). Seja r uma reta no espa¸co. Demonstrar que r nem ´e paralela a algum dos planos coordenados nem est´a contida em algum deles se e somente se r pode ser determinada por um sistema de equa¸c˜oes da forma abaixo, onde (x, y, z) representa todo e qualquer ponto de r, e os demais coeficientes est˜ao fixados:

x−x0

a =

y−y0

b =

z−z0

c

Dica: Escrever equa¸c˜oes param´etricas para r, e isolar o parˆametro em cada uma das trˆes equa¸c˜oes. Usar isto para interpretar as equa¸c˜oes sim´etricas geometricamente.

21.f. (Equa¸c˜oes reduzidas de uma reta no espa¸co). Seja s uma reta no espa¸co. Demonstrar que s nem ´e paralela ao plano coordenado Oyz nem est´a contida nele se e somente se s pode ser determinada por um sistema de equa¸c˜oes da forma abaixo, onde (x, y, z) representa todo e qualquer ponto de

s, e os demais coeficientes est˜ao fixados:

y =mx+n; z=m′x+n

Obs. A nomenclatura equa¸c˜oes planaresde uma reta no espa¸co ´e, `as vezes, utilizada para a apresenta¸c˜ao de uma reta atrav´es das equa¸c˜oes gerais carte-sianas de dois planos transversais cuja interse¸c˜ao ´e aquela reta. As equa¸c˜oes reduzidas de uma reta, uma vez convertidas para o formato de equa¸c˜oes ge-rais cartesianas, constituem um caso especial das equa¸c˜oes planares.

21.g. Dar exemplos num´ericos dos dois itens anteriores, e converter as equa-¸c˜oes obtidas para equaequa-¸c˜oes vetoriais e param´etricas das retas em quest˜ao;

(6)

21.h. (Equa¸c˜ao segment´aria de um plano). Seja Π um plano no espa¸co. Demonstrar que as trˆes afirma¸c˜oes abaixo s˜ao equivalentes:

21.h.1. Π nem ´e paralelo a algum eixo coordenado nem ´e incidente `a origem;

21.h.2. Π intercepta os trˆes eixos coordenados Ox, Oy e Oz respectiva-mente nos pontos de coordenadas (a,0,0), (0, b,0) e (0,0, c) todos distintos da origem;

21.h.3. Π ´e determinado por uma equa¸c˜ao geral no formato abaixo, onde

a, b e c n˜ao s˜ao nulos:

x a +

y b +

z c = 1

21.i. Dar exemplos num´ericos do item anterior, e converter as equa¸c˜oes ob-tidas para equa¸c˜oes vetoriais e param´etricas dos planos em quest˜ao.

22. Encontrar uma equa¸c˜ao geral para o plano que passa pelo ponto

P0(1,2,3) e que ´e perpendicular `a reta definida pelas seguintes equa¸c˜oes sim´etricas (cf. Quest˜ao 21.a):

x−1 5 =

y−48 −3 =

z+ 12 2

*23. Encontrar equa¸c˜oes param´etricas para a interse¸c˜ao dos planos Π1 e Π2 no espa¸co definidos, respectivamente, pelas equa¸c˜oes gerais abaixo:

Π1 : x−2y+ 2z−3 = 0; e Π2 : 2x+y−z−11 = 0.

*24. Encontrar equa¸c˜oes param´etricas para a interse¸c˜ao dos trˆes planos Π3, Π4 e Π5 no espa¸co definidos, respectivamente, pelas equa¸c˜oes gerais abaixo: Π3 : x−2y+ 3z−12 = 0; Π4 : 2x−4y+ 6z = 0; e Π5 : x−z−6 = 0.

*25. Encontrar equa¸c˜oes param´etricas para a interse¸c˜ao dos trˆes planos Π6, Π7 e Π8 no espa¸co definidos, respectivamente, pelas equa¸c˜oes gerais abaixo: Π6 : x−z−2 = 0; Π7 : 2x−2y+ 3z−6 = 0; e Π8 : x−4y+ 9z−6 = 0.

(7)

*26.     

3x+ 2y +z = 4 3x+ 1y +3z = 2 6x−1y +pz =q

    

2x+ 4y +3z = 4 6x−2y −z = 2 4x+ 7y +pz =q

26.a. Quais s˜ao todos os pares de n´umeros reais (p, q) para os quais o pri-meiro sistema de equa¸c˜oes lineares acima ´e poss´ıvel determinado ?

26.b. Quais s˜ao todos os pares de n´umeros reais (p, q) para os quais o pri-meiro sistema ´e poss´ıvel indeterminado ? Quantos graus de liberdade tem o sistema neste caso ?

26.c. Responder `as mesma quest˜oes para o segundo sistema.

27. Usando o m´etodo de escalonamento, resolver o sistema de equa¸c˜oes abai-xo, descrevendo o conjunto-solu¸c˜ao parametricamente e a sua geometria:

3x + 0y − 9z = −3 −2x + 0y + 6z = 2

28. Resolver o sistema de equa¸c˜oes abaixo, descrevendo o conjunto-solu¸c˜ao parametricamente, e especificando o objeto geom´etrico por ele descrito:

x + 4y + 3z = 1

2x + 5y + 4z = 4

29. Usando o m´etodo de escalonamento, resolver o sistema de equa¸c˜oes abaixo, descrevendo o conjunto-solu¸c˜ao e sua geometria:

  

x + 4y + 3z = 1

2x + 5y + 4z = 4

x − 3y − 2z = 5

30. Usando o m´etodo de escalonamento, resolver o sistema de equa¸c˜oes abaixo, descrevendo o conjunto-solu¸c˜ao alg´ebrica e geometricamente:

  

x + 4y + 3z = 1

2x + 5y + 4z = 4

x + y + z = 3

31. Dar um motivo geom´etrico para o sistema de equa¸c˜oes abaixo ser insol´ u-vel, descrevendo a posi¸c˜ao relativa dos planos determinados pelas equa¸c˜oes:

  

x − 2y + 3z = 4

(8)

32. Dar um motivo geom´etrico para o sistema de equa¸c˜oes abaixo ser insol´ u-vel, descrevendo a posi¸c˜ao relativa dos planos determinados pelas equa¸c˜oes:

  

x + 2y − 3z = 4

2x + 3y + 4z = 5 4x + 7y − 2z = 12

33. Determinar uma lista de rela¸c˜oes alg´ebricas entrea,b,cednecess´aria e suficiente para que o sistema abaixo seja poss´ıvel (isto ´e, sol´uvel):

      

x + 2y − 3z = a

x − y + z = b

2x − y + z = c

x + 2y + 2z = d

*34. Considerem-se os seguintes vetores do R5

: −→v1 = (1,−1,1,−1,1); −

v

2 = (−2,0,−4,−1,−3); →−v3 = (0,2,2,3,1). 34.a. Determinar se o vetor nulo −→0 do R5

´e combina¸c˜ao linear (C.L.) dos vetores −→v1, −→v2 e −→v3 ou n˜ao. Em caso afirmativo, obter o conjunto de todas as triplas de coeficientes reais (x1, x2, x3) que expressam o vetor nulo como C.L. daqueles vetores.

34.b: Repetir o Item 34.a, trocando−→0 pelo vetor −→w = (−2,4,0,5,−1).

*35: Considerem-se as seguintes matrizes:

B =

21 3 1 4 2 15 1 4 16 8

,A =21 3 1 4 2

, X=hxy z i

, 04 = 0

0 0 0

e02 = [0 0]

Resolver (paraX)os dois sistemas lineares homogˆeneosBX =04 eAX =02.

*36. Mostrar que a reta s definida abaixo ´e paralela ao plano Π definido abaixo, e calcular a distˆancia entre s e Π:

s: (x, y, z) = (1,2,3) +λ(2,1,−2), onde λ ´e um parˆametro real; e Π : (x, y, z) = (0,0,0) +α(1,0,−1) +β(−1,1,1), onde α, β ∈R.

*37. Considerem-se os pontos M(5,0,−3), N(6,3,−1), P (6,−1,−2) e

Q(5,4,−3). Seja Π o plano que cont´em M,N e P.

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37.b. Calcular a distˆancia entre o ponto Q e a reta ←−→MP.

*38. Considerem-se os pontosM(5,−3,2),N(13,−3,−4),P (5,−2,2),

Q(−3,−3,3) eR(−3,−2,3) no espa¸co. Seja Π o plano que cont´em os pontos

M, N eP.

38.a. Calcular a distˆancia entre o ponto Qe o plano Π; 38.b. Calcular a distˆancia entre o pontoQ e a reta ←−→MN; 38.c. Calcular a distˆancia entre as retas ←→QR e ←−→MN.

*39. Mostrar que as retas r1 e r2 definidas abaixo s˜ao reversas, e calcular a distˆancia entre elas:

r1 : (x, y, z) = (1,2,3)+λ(1,1,2),r2 : (x, y, z) = (5,4,3)+µ(1,0,1),λ, µ∈R.

40. Considerem-se os seguintes pontos do espa¸co: M(−1,0,1), P(1,3,2),

R(0,1,2) e S(3,1,2). Calcular:

40.a. O volume do paralelep´ıpedo com lados n˜ao-paralelos representantes de −−→

MP, −−→MR e −−→MS;

40.b. Calcular a ´area do paralelogramo com lados n˜ao-paralelos represen-tantes de −−→OM e −→OP.

41. Calcular a distˆancia entre o pontoM(−1,0,1) e a retar parametrizada por (x(t), y(t), z(t)) =P + t−→OP, t ∈R, onde P = (2,−1,2).

42. Considerem-se as retas r : (x(k), y(k), z(k)) = (1,−1,4) +k(−1,2,3),

q : (x(l), y(l), z(l)) = (l, l, l) (k, l ∈R), e o plano Π parametrizado por

Π : (x(s, t), y(s, t), z(s, t)) = (0,1,2) +s(−1,2,3) +t(1,1,1) (s, t∈R).

42.a. Calcular a distˆancia entre r e Π; 42.b. Calcular a distˆancia entre r e q;

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*43. Considerem-se o ponto P(1,1,18), o plano Π : 4x−y−3z = 1, e o feixe F das retas contidas em Π e paralelas ao vetor (1,1,1).

43.a. Dar equa¸c˜oes param´etricas para uma retapcontida em Π e concorrente a cada reta do feixe F;

43.b. Calcular a distˆancia entre P e Π, e dar as coordenadas de um ponto

H deπ que realiza tal distˆancia;

43.c. Identificar as retas de F (se existir alguma) que distam 3 do pontoP. Para tanto, especificar, para cada uma destas retas, o ponto de p (cf. Item 43.a) pertencente a ela;

43.d. Repetir o Item 43.c para distˆancia (entreP e cada reta) igual a 26; 43.e. Repetir o Item 43.c para distˆancia (entre P e cada reta) igual `a dis-tˆancia entre P e Π (cf. Item 43.b).

44. Considerem-se os pontosM(−1,0,1),N(1,3,2),P (0,1,2) e

R(−7,−10,−1).

44.a. Mostrar que o quadril´atero MNP R ´e irregular; *44.b. Calcular a ´area do quadril´atero MNP R.

Dica: Decompor o quadril´atero MNP R em dois triˆangulos.

45. Sejam pontosP (1,2,3) eQ(−1,−4,5) pontos no espa¸co. Dar o tipo do objeto geom´etrico abaixo e determin´a-lo por meio de (in)equa¸c˜oes:

45.a. O L.G. (lugar geom´etrico) dos pontos no espa¸co que equidistam dos pontos P e Q;

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