LISTA DE EXERC´ ICIOS COMPLEMENTAR 05 – v. 1.0

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UFPE — MA054 — 2013.2 — PROF. FERNANDO J. O. SOUZA

LISTA DE EXERC´ ICIOS COMPLEMENTAR 05 – v. 1.0

Assuntos: Pontos, retas, planos e vetores no espa¸co tridimensional.

Orienta¸cão: Estes exerc´ıcios complementam (e não substituem) aqueles nos livros recomendados (endorsados) para esta disciplina. Dar solu¸cões leg´ıveis e completas, explicando todos os passos e detalhes, e indicando as proprieda- des, fórmulas e resultados utilizados. Mostrar todos os cálculos e racioc´ınios:

Só as respostas não servem ! Desenhos podem elucidar e inspirar e, portanto, esbo¸cos devem ser feitos. No entanto, a habilidade de esbo¸car/desenhar não será explorada nas provas. Já a interpreta¸cão de figuras dadas é um aspecto que pode aparecer em exames.

Recordar:

− Cobrimos a álgebra vetorial no espa¸co, inclusive a a¸cão de vetores sobre pontos (transla¸cões), a adi¸cão de vetores, a multiplica¸cão de vetor por escalar, e os produtos escalar, vetorial e misto de vetores;

− Exploramos as equa¸cões vetoriais, paramétricas e simétricas para retas no espa¸co; e as equa¸cões vetoriais, paramétricas, “plückerianas”, cartesianas ou gerais (inclusive interpreta¸cão de planos como superf´ıcies de n´ıvel), segmentárias e ”reduzidas´´ (interpreta¸cão de planos como gráficos de fun¸cões) para planos no espa¸co;

− Dados os vetores −→v = (vx, vy, vz) e −→w = (wx, wy, wz) no ^R³, definimos oproduto vetorial−→v×−→w := (vywz−vzwy, vzwx−vxwz, vxwy−vywx).

Tal vetor é ortogonal a −→v e−→w. Se um destes dois é múltiplo do outro, então seu produto vetorial é nulo; senão, a norma de −→v × −→w é igual

à área de um paralelogramo com lados não-paralelos que representam (com a devida orienta¸cão) −→v e −→w. Como opera¸cão, o produto vetorial não é associativo¹ nem comutativo, mas é bilinear e anticomutativo:

−

→w× −→v =− −→v × −→w;

− Em particular, se −→v e −→w são os dois vetores diretores numa equa¸cão vetorial de um plano no espa¸co, então seu produto vetorial é um vetor

1Contraexemplo:

bi×bi

×bj=−→

0 ×bj=−→

0, enquantobi× bi×bj

=bi×bk=−bj.

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normal àquele plano. Isto é uma alternativa prática à solu¸cão do se- guinte sistema de equa¸cões para o cálculo dos vetores −→n ortogonais a ambos: −→v · −→n = 0 =−→w· −→n;

− Dados os vetores −→u = (ux, uy, uz),−→v = (vx, vy, vz) e −→w = (wx, wy, wz) no ^R³, seu produto misto ´e o determinante de hux uy uz

vx vy vz

wx wywz

i, aqui de- notado por det [−→u,−→v,−→w]. Seu nome se deve a ele ser igual a −→u ·

−

→v × −→w

. Ele é não-nulo se e somente se os três vetores são L.I. (isto

é, geram todos os vetores do espa¸co). Neste caso, seu módulo é igual ao volume de um paralelep´ıpedo cujos lados não-paralelos representam

−

→u, −→v e−→w.

− Dados Π : Ax+By+Cz+D= 0 e Π^′ : A^′x+B^′y+C^′z+D^′ = 0 planos no espa¸co, o vetor −→n = (A, B, C) ´e normal a Π, e −→

n^′ = (A^′, B^′, C^′) é normal a Π^′. Ambos os vetores não são nulos. Distinguimos as posi¸cões relativas:

i. Π e Π^′ s˜ao coincidentes se, e somente se, −→n = k−→

n^′ para algum escalar k6= 0 (ou seja, −→n é múltiplo não-nulo de −→

n^′), e D=k D^′ para aquele mesmo escalar k;

ii. Π e Π^′ s˜ao paralelos se, e somente se,−→n =k−→

n^′ para algum escalar k 6= 0, mas D6=k D^′;

iii. Π e Π^′ são concorrentes se, e somente se,−→n não é múltiplo de−→ n^′;

− Dados o plano Π : Ax+By+Cz+D = 0 e a reta r: P =P⁰+t−→v (para t ∈ ^R) no espa¸co, o vetor −→v é diretor para r, e −→n é normal a Π. Ambos os vetores não são nulos. Denotemos P⁰ por P⁰(x⁰, y⁰, z⁰).

Distinguimos as posi¸c˜oes relativas:

i. r est´a contida em Π se, e somente se, −→v ´e paralelo a Π (ou seja,

−

→n · −→v = 0) eP⁰ est´a sobre Π (ou seja,Ax⁰+By⁰+Cz⁰+D= 0);

ii. ré paralela a Π se, e somente se,−→v é paralelo a Π (ou seja,−→n·−→v = 0) masP⁰ não está sobre Π (ou seja,Ax⁰+By⁰+Cz⁰+D6= 0);

iii. r é transversal a Π se, e somente se, −→v não é paralelo a Π (ou seja,−→n · −→v 6= 0);

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− Dadas as retas r : P = P⁰ +t−→v (para t ∈ ^R) e r^′ : P = P¹ +s−→w (paras ∈^R) no espa¸co, o vetor −→v é diretor parar, e−→w é diretor para r^′. Ambos os vetores não são nulos. Distinguimos as posi¸cões relativas:

i. r e r^′ s˜ao coincidentes se, e somente se, −→v e −−→

P⁰P¹ s˜ao m´ultiplos de−→w (observar que −−→

P⁰P¹ pode ser nulo);

ii. rer^′ são paralelas se, e somente se,−→v é múltiplo de −→w mas−−→

P⁰P¹ n˜ao o ´e;

iii. r e r^′ são concorrentes se, e somente se, −→v não é múltiplo de −→w e −−→

P⁰P¹ é C.L. de −→v e −→w. Tais condi¸cões equivalem a: −→v não é múltiplo de −→w e deth−→v,−→w,−−→

P0P1

i= 0;

iv. r e r^′ s˜ao reversas (ou seja, nenhum plano cont´em ambas) se, e somente se, −→v, −→w e −−→

P⁰P¹ s˜ao linearmente independentes, o que, por sua vez, equivale a deth−→v,−→w,−−→

P⁰P¹i 6= 0.

Dados para as quest˜oes 1 a 5. Considerem-se os seguintes pontos do espa¸co, dados por suas coordenadas cartesianas: O(0,0,0),P(2,−1,2), Q(−1,0,1), R(4,−1,−1),S(4,−3,0) e T (2,−2,3).

1. Seja Π o plano que cont´em ambos o ponto P e a reta ←→

QR (isto ´e, a reta que passa por Qe R).

1.a. Dar equa¸cões paramétricas (isto é, dar x(s, t), y(s, t) e z(s, t)) para o plano Π;

1.b. Encontrar uma fun¸cãof :^R² −→^Rcujo gráficoz =f(x, y) é o plano Π.

2. Dar equa¸cões paramétricas (isto é, dar x(t), y(t) e z(t)) para a reta que

´e a interse¸c˜ao dos planos Π¹ e Π², onde Π¹ passa por P com vetor normal

−→OP, e Π² passa por P com vetor normal−→

RS.

3. Considerem-se as retasr¹ e r² parametrizadas, respectivamente, por:

(x(t), y(t), z(t)) =P + t−→

OP e (x(s), y(s), z(s)) =Q+ s−→

OT (onde t, s ∈R).

Mostrar que elas são reversas, exibindo planos paralelos Π³ e Π⁴ tais que Π¹ contém r¹, e Π² contém r².

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4. Mostrar que as retas←→ P T e ←→

RS s˜ao reversas, exibindo planos paralelos Π⁵ e Π⁶ tais que Π⁵ cont´em ←→

P T, e Π⁶ cont´em ←→ RS.

Obs. Esta quest˜ao pode ser resolvida facilmente (talvez mais rapidamente do que a anterior) se se considerarem os planos Π⁵ e Π⁶ primeiro.

5.

5.a. Dar uma equa¸c˜ao geral do primeiro grau para o plano que corta o plano y = 0 segundo a retaz =x, e que corta o plano x= 0 segundo a reta z=y;

5.b. Dar uma equa¸c˜ao geral do primeiro grau para o plano que corta o plano x= 0 segundo a reta z =y, e que corta o plano x= 4 segundo a reta ←→

RS.

6. Encontrar equa¸cões paramétricas para o plano que contém o ponto A(4,4,4) e admite vetores diretores de coordenadas (1,2,3) e (3,2,1).

7. Considerem-se os vetores −→v = (1,0,−2) e −→w = (10,3,0) no espa¸co. Cal- cular as coordenadas de vetores −→p e −→q tais que: −→p ´e paralelo a −→v ; −→q ´e ortogonal a −→v ; e−→w =−→p +−→q.

8. Considerem-se a retarque passa pelos pontos de coordenadas (1,2,−1) e (0,0,−1), e a reta sque passa por (1,2,−1) e (2,4,3). Calcular o cosseno do ˆangulo entre elas.

9. Calcular o ˆangulo² entre as retas r e s definidas, respectivamente, pelas equa¸c˜oes abaixo:

r : (x, y, z) = (1,2,3) +µ(0,−1,1), onde µé um parâmetro real; e s: (x, y, z) = (1,2,3) +λ(2,1,−2), onde λ é um parâmetro real.

10. Calcular o ˆangulo entre uma aresta e uma diagonal de um cubo (adja- centes entre si).

Obs. Uma diagonal do cubo não é uma “diagonal da face” do cubo, mas sim um segmento que liga dois vértices não compartilhados por face alguma.

Portanto, ela não está contida em face alguma. Além disto, ela tem compri- mento máximo dentre os segmentos que ligam dois pontos quaisquer do cubo.

11. Considerem-se os pontos A(0,5,1), B(−2,7,1) e C(1,4,2). Calcular o

2O ângulo entre as retas é, no máximo, reto: se duas retas formam um ângulo obtuso,

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cosseno do ˆangulo entre os vetores −→

AB e −→

AC.

12. Encontrar uma equa¸cão geral para o plano que contém os pontos A, B e C da Questão 11.

13. Considerem-se os planos Π¹ e Π² que admitem as seguintes equa¸c˜oes gerais, respectivamente: Π¹ : 3x+ 2y+z = 6 e Π² : 3x−2y−7z =−6.

Por que Π¹ e Π² s˜ao transversais ?

14. Considerem-se o plano Π de equa¸cão geral x+y−2z = 0 e a reta r de equa¸cão vetorial (x, y, z) = (2,−1,0) +µ(1,1,1), µ ∈ ^R. Mostrar que r é paralela a Π.

15. Mostrar que a reta s definida abaixo ´e paralela ao plano Π definido abaixo:

s: (x, y, z) = (1,2,3) +λ(2,1,−2), onde λ ´e um parˆametro real; e

Π : (x, y, z) = (0,0,0) +α(1,0,−1) +β(−1,1,1), ondeα e β s˜ao parˆametros reais.

16. Mostrar que as retas r¹ er² definidas abaixo s˜ao reversas:

r1 : (x, y, z) = (1,2,3) +λ(1,1,2), onde λ é um parâmetro real; e r² : (x, y, z) = (5,4,3) +µ(1,0,1), onde µé um parâmetro real.

17 (Dif´ıcil a muito dif´ıcil. Estudo dirigido sobre algumas equa¸c˜oes de retas e planos).

17.a. Lema: Provar que um vetor não-nulo no espa¸co é paralelo a algum eixo coordenado se e somente se exatamente duas de suas coordenadas são nulas;

17.b. Lema: Provar que um vetor não-nulo no espa¸co é paralelo a algum plano coordenado se e somente se ao menos uma de suas coordenadas é nula;

17.c. Lema: Seja Π : Ax +By + Cz +D = 0 um plano no espa¸co.

Demonstrar que Π não é transversal a algum plano coordenado³ se e somente se exatamente dois de seus coeficientes A, B eC são nulos;

17.d. Lema: Seja Π : Ax+By+Cz+D= 0 no espa¸co. Demonstrar que Π n˜ao ´e transversal a algum eixo coordenado⁴ se e somente se ao menos um

3Ou seja, Π ´e paralelo a ou coincidente com algum plano coordenado.

4Ou seja, Π ´e paralelo a ou cont´em algum eixo coordenado.

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de seus coeficientes A, B eC ´e nulo;

17.e. (Equa¸cões simétricas de uma reta no espa¸co). Seja r uma reta no espa¸co. Demonstrar que r nem é paralela a algum dos planos coordenados nem está contida em algum deles se e somente se r pode ser determinada por um sistema de equa¸cões da forma abaixo, onde (x, y, z) representa todo e qualquer ponto de r, e os demais coeficientes estão fixados:

x−x⁰

a = y−y⁰

b = z−z⁰ c

Dica: Escrever equa¸cões paramétricas para r, e isolar o parâmetro em cada uma das três equa¸cões. Usar isto para interpretar as equa¸cões simétricas geometricamente.

17.f. (Equa¸cões reduzidas de uma reta no espa¸co). Seja s uma reta no espa¸co. Demonstrar que s nem é paralela ao plano coordenado Oyz nem está contida nele se e somente se s pode ser determinada por um sistema de equa¸cões da forma abaixo, onde (x, y, z) representa todo e qualquer ponto de s, e os demais coeficientes estão fixados:

y =mx+n; z=m^′x+n^′

Obs. A nomenclatura equa¸cões planaresde uma reta no espa¸co é, às vezes, utilizada para a apresenta¸cão de uma reta através das equa¸cões gerais cartesianas de dois planos transversais cuja interse¸cão é aquela reta. As equa¸cões reduzidas de uma reta, uma vez convertidas para o formato de equa¸cões gerais cartesianas, constituem um caso especial das equa¸cões planares.

17.g. Dar exemplos num´ericos dos dois itens anteriores, e converter as equa-

¸cões obtidas para equa¸cões vetoriais e paramétricas das retas em questão;

17.h. (Equa¸c˜ao segment´aria de um plano). Seja Π um plano no espa¸co.

Demonstrar que as três afirma¸cões abaixo são equivalentes:

17.h.1. Π nem é paralelo a algum eixo coordenado nem é incidente à origem;

17.h.2. Π intercepta os trˆes eixos coordenados Ox, Oy e Oz respectivamente nos pontos de coordenadas (a,0,0), (0, b,0) e (0,0, c) todos distintos da origem;

17.h.3. Π é determinado por uma equa¸cão geral no formato abaixo, onde a, b e c não são nulos:

x a +y

b + z c = 1

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17.i. Dar exemplos numéricos do item anterior, e converter as equa¸cões obtidas para equa¸cões vetoriais e paramétricas dos planos em questão.

18. Encontrar uma equa¸c˜ao geral para o plano que passa pelo ponto

P⁰(1,2,3) e que é perpendicular à reta definida pelas seguintes equa¸cões simétricas (cf. Questão 17.e):

x−1

5 = y−48

−3 = z+ 12 2

19. Encontrar equa¸cões paramétricas para a interse¸cão dos planos Π¹ e Π² no espa¸co definidos, respectivamente, pelas equa¸cões gerais abaixo:

Π¹ : x−2y+ 2z−3 = 0; e Π² : 2x+y−z−11 = 0.

20. Encontrar equa¸cões paramétricas para a interse¸cão dos três planos Π³, Π⁴ e Π⁵ no espa¸co definidos, respectivamente, pelas equa¸cões gerais abaixo:

Π³ : x−2y+ 3z−12 = 0; Π⁴ : 2x−4y+ 6z = 0; e Π⁵ : x−z−6 = 0.

21. Encontrar equa¸cões paramétricas para a interse¸cão dos três planos Π⁶, Π⁷ e Π⁸ no espa¸co definidos, respectivamente, pelas equa¸cões gerais abaixo:

Π⁶ : x−z−2 = 0; Π⁷ : 2x−2y+ 3z−6 = 0; e Π⁸ : x−4y+ 9z−6 = 0.

Defini¸cão: Onúmero de graus de liberdadede um sistema de equa¸cões lineares poss´ıvel é o número de parâmetros independentes em qualquer parametri- za¸cão de seu conjunto-solu¸cão (isto é, a dimensão daquele subespa¸co afim).

22.







3x+ 2y +z = 4 3x+ 1y +3z = 2 6x−1y +pz =q







2x+ 4y +3z = 4 6x−2y −z = 2 4x+ 7y +pz =q

22.a. Quais são todos os pares de números reais (p, q) para os quais o primeiro sistema de equa¸cões lineares acima é poss´ıvel determinado ?

22.b. Quais são todos os pares de números reais (p, q) para os quais o primeiro sistema é poss´ıvel indeterminado ? Quantos graus de liberdade tem o sistema neste caso ?

22.c. Responder `as mesma quest˜oes para o segundo sistema.

23. Resolver o sistema de equa¸c˜oes abaixo, descrevendo o conjunto-solu¸c˜ao

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parametricamente, e especificando o objeto geom´etrico por ele descrito:

x + 4y + 3z = 1

2x + 5y + 4z = 4

24. Dar um motivo geométrico para o sistema de equa¸cões abaixo ser insolú- vel, descrevendo a posi¸cão relativa dos planos determinados pelas equa¸cões:





x − 2y + 3z = 4

2x − 4y + 6z = 5

−2x + 6y − 9z = −12

25. Dar um motivo geométrico para o sistema de equa¸cões abaixo ser insolú- vel, descrevendo a posi¸cão relativa dos planos determinados pelas equa¸cões:





x + 2y − 3z = 4

2x + 3y + 4z = 5

4x + 7y − 2z = 12

26. Mostrar que a reta s definida abaixo ´e paralela ao plano Π definido abaixo, e calcular a distˆancia entre s e Π:

s: (x, y, z) = (1,2,3) +λ(2,1,−2), onde λ ´e um parˆametro real; e Π : (x, y, z) = (0,0,0) +α(1,0,−1) +β(−1,1,1), onde α, β ∈^R.

27. Considerem-se os pontosM(5,0,−3),N(6,3,−1),P (6,−1,−2) eQ(5,4,−3).

Seja Π o plano que cont´em M, N e P.

27.a. Decidir seQ pertence ao plano Π ou não e, em caso negativo, calcular o volume do tetraedro MNP Q. Obs. O volume de um tetraedro é igual a 1/6 do volume de um paralelep´ıpedo que compartilha, com tal tetraedro, um vértice e os três lados incidentes àquele vértice;

27.b. Calcular a distˆancia entre o ponto Q e a reta ←−→ MP.

28. Considerem-se os pontosM(5,−3,2),N(13,−3,−4),P (5,−2,2), Q(−3,−3,3) eR(−3,−2,3) no espa¸co. Seja Π o plano que cont´em os pontos M, N eP.

28.a. Calcular a distˆancia entre o ponto Qe o plano Π;

28.b. Calcular a distˆancia entre o pontoQ e a reta ←−→

MN; 28.c. Calcular a distˆancia entre as retas ←→

QR e ←−→

MN.

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29. Mostrar que as retas r¹ e r² definidas abaixo s˜ao reversas, e calcular a distˆancia entre elas:

r¹ : (x, y, z) = (1,2,3) + λ(1,1,2), r² : (x, y, z) = (5,4,3) + µ(1,0,1), λ, µ∈^R.

30. Considerem-se os seguintes pontos do espa¸co: M(−1,0,1), P(1,3,2), R(0,1,2) e S(3,1,2). Calcular:

30.a. O volume do paralelep´ıpedo com lados n˜ao-paralelos representantes de

−−→MP, −−→

MR e −−→

MS;

30.b. Calcular a ´area do paralelogramo com lados n˜ao-paralelos representantes de −−→

OM e −→

OP.

31. Calcular a distˆancia entre o pontoM(−1,0,1) e a retar parametrizada por (x(t), y(t), z(t)) =P + t−→

OP, t∈R, onde P = (2,−1,2).

32. Considerem-se as retas r : (x(k), y(k), z(k)) = (1,−1,4) +k(−1,2,3), q : (x(l), y(l), z(l)) = (l, l, l) (k, l ∈^R), e o plano Π parametrizado por

Π : (x(s, t), y(s, t), z(s, t)) = (0,1,2) +s(−1,2,3) +t(1,1,1) (s, t∈^R).

32.a. Calcular a distˆancia entre r e Π;

32.b. Calcular a distˆancia entre r e q;

32.c. Seja F o feixe das retas contidas em Π e paralelas ao vetor (1,1,1).

Dar equa¸c˜oes param´etricas para uma reta p contida em Π e concorrente a cada reta do feixe F.

33 (Dif´ıcil). Considerem-se o pontoP (1,1,18), o plano Π : 4x−y−3z = 1, e o feixe F das retas contidas em Π e paralelas ao vetor (1,1,1).

33.a. Dar equa¸c˜oes param´etricas para uma retapcontida em Π e concorrente a cada reta do feixe F;

33.b. Calcular a distˆancia entre P e Π, e dar as coordenadas de um ponto H deπ que realiza tal distˆancia;

33.c. Identificar as retas de F (se existir alguma) que distam 3 do pontoP. Para tanto, especificar, para cada uma destas retas, o ponto de p (cf. Item 33.a) pertencente a ela;

33.d. Repetir o Item 33.c para distˆancia (entreP e cada reta) igual a 26;

33.e. Repetir o Item 33.c para distância (entre P e cada reta) igual à dis- tância entre P e Π (cf. Item 33.b).

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34 (Dif´ıcil). Sejam pontosP (1,2,3) e Q(−1,−4,5) pontos no espa¸co. Dar o tipo do objeto geométrico abaixo e determiná-lo por meio de (in)equa¸cões:

34.a. O L.G. (lugar geom´etrico) dos pontos no espa¸co que equidistam dos pontos P e Q;

34.b. O L.G. dos pontos no espa¸co que equidistam das retas paralelas que admitem o vetor diretor −→v = (3,1,3) e passam por, respectivamente, P eQ;

34.c. O L.G. dos pontos no espa¸co que equidistam dos planos paralelos que admitem o vetor normal−→n = (3,1,3) e passam por, respectivamente,P eQ.