UFPE — MA054 — 2013.2 — PROF. FERNANDO J. O. SOUZA
LISTA DE EXERC´ ICIOS 01 – v. 1.0
Assuntos: Coordenadas de pontos na reta e no plano. Distˆancia entre pontos. Equa¸c˜oes da reta no plano; posi¸c˜ao relativa, interse¸c˜ao e distˆancia entre duas retas no plano (tratamento n˜ao-vetorial).
Orienta¸c˜ao: Redigir solu¸c˜oes justificadas, fornecendo os passos, detalhes e propriedades relevantes.
Nota¸c˜ao: Est´a fixado um sistema de coordenadas cartesianas Oxy para o plano euclidiano. Um ponto P de coordenadas (xP, yP) no plano euclidiano ser´a denotado por P (xP, yP). A origem ´e O(0,0).
Obs. Recordar os v´arios tipos de equa¸c˜ao de uma reta no plano que estuda- mos:
Ponto-declividade: y−y0 =m(x−x0) para a reta n˜ao-vertical de decli- vidade (inclina¸c˜ao) m e incidente ao ponto P0(x0, y0);
Reduzida: y = mx +n para a reta n˜ao-vertical de declividade m que intercepta o eixo ←0→y no ponto (0, n);
x=x0 para a reta vertical incidente a qualquer (e todo) ponto P0(x0, y0).
Apesar de n˜ao ser nomenclatura padr˜ao, chamaremosx=x0 deequa-
¸
c˜ao reduzida da reta vertical;
Geral ou cartesiana: ax+by+c= 0, onde a, b, c∈Rs˜ao tais que (a, b)6= (0,0), ou seja, a eb n˜ao s˜ao simultaneamente nulos. As retas r1 : ax+by+c1 = 0 e r2 : ax+by+c2 = 0 s˜ao, necessariamente, coincidentes ou paralelas, e a distˆancia entre elas ´e dada por
dist(r1, r2) = √|c1−c2| a2+b2 Segment´aria: x
p +y
q = 1 para a reta n˜ao-horizontal, n˜ao-vertical que n˜ao incide `a origem O(0,0) e que incide aos pontos (p,0) e (0, q);
Param´etricas: x = x0 +t vx e y = y0+t vy, onde t ∈ R parametriza a reta incidente ao ponto P0(x0, y0) e determinada por vx, vy ∈ R tais que (vx, vy)6= (0,0).
Quest˜ao 1. Sejam os pontosA(0,2),B(6,−2),C(2,5),D(2,2),E(−1,3), F (−1,1), G(3,1),H(1,−3), e I(1,−8) no plano euclidiano, e as retas r1 = ←→AB, r2 paralela a r1 por C, r3 perpendicular a r1 por C, r4 = ←→AD, r5 = ←→BD, r6 = ←→CD, r7 = ←→DE, r8 paralela a r7 por F, r9 perpendicular a r7 por F, r10 = ←→EF, r11 = ←→CG, r12 paralela a r11 por H, r13 e r14
perpendiculares a r11 por H e I, respectivamente, r15 = ←→BG, r16 = ←→DG, r17 =←→F H, r18 =←→GH, r19=←→F G, r20=←HI→, r21=←→OB, e r22=←→OD. 1.a. Para melhor visualizar o restante desta quest˜ao, esbo¸car as retas acima num
mesmo desenho, grande e bem feito;
1.b. Calcular a declividade de cada reta n˜ao-vertical acima;
1.c. Dar 3 equa¸c˜oes ponto-declividade distintas para cada reta n˜ao-vertical acima;
1.d. Dar a equa¸c˜ao reduzida de cada reta acima;
1.e. Dar 3 equa¸c˜oes cartesianas distintas para cada reta acima;
1.f. Dar a equa¸c˜ao segment´aria de cada uma das retas acima que admite este tipo de equa¸c˜ao;
1.g. Para cada reta acima, calcular o ponto em que ela intercepta o eixoOxcaso ela seja concorrente a ele. Repetir o exerc´ıcio para o eixo Oy. Para exercitar mais, partir da equa¸c˜ao reduzida e, para as retas do Item 1.f, usar a equa¸c˜ao segment´aria para confirmar as respostas;
1.h. Dar 3 sistemas de equa¸c˜oes param´etricas distintos para cada reta acima;
1.i. Determinar, algebricamente, a posi¸c˜ao relativa (coincidentes, paralelas ou concorrentes, enfatizando, neste ´ultimo caso, perpendiculares) de cada um dos seguintes pares de retas: r1 er4;r2 er5; r3 e r5;r4 e r6; r4 er19;r5 er6; r5 er10; r5 er15;r6 er19;r6 er20; r7 er21;r8 er13; r8 er21; r8 e r22;r9 er17; r9 e r21; r9 er22;r18 er22;r10 er20;r15 e r16; r15 e r22; r19 e r20; e r19 e r21; 1.j. Para cada par de retas concorrentes do Item 1.i, calcular (algebricamente)
o ponto em que as duas retas se interceptam;
1.k. Para cada par de retas paralelas na lista de 22 retas dadas, calcular (alge- bricamente) a distˆancia entre elas;
Para alguns dos pr´oximos itens, interpretar a reta r: ax+by+c= 0 no plano como a linha de n´ıvel−cpara a fun¸c˜ao f : R2 −→R
(x, y) 7−→f((x, y)) =ax+by.
Esta fun¸c˜ao define uma dire¸c˜ao no plano como sendo um feixe maximal de retas paralelas no plano. Tal dire¸c˜ao est´a associada ao par ordenado (a, b) e, mais geralmente, a todo e qualquer m´ultiplo n˜ao-nulo dele: (ka, kb) onde k 6= 0. Cada pontoP (xP, yP) no plano est´a sobre uma ´unica reta deste feixe, a saber, aquela de n´ıvelf((xP, yP)). Em particular, o n´ıvel da reta que passa pela origem ´e f((0,0)) = 0. A fun¸c˜ao f varia linearmente ao longo de qual- quer reta perpendicular `as retas do feixe e, portanto, os semiplanos definidos pela reta r s˜ao caracterizados pelas desigualdades ax+by < −c (ou seja, ax+by+c <0) e ax+by >−c(ou seja, ax+by+c >0), respectivamente.
1.l. Descrever (algebricamente) o feixe de todas as retas no plano que passam pelo ponto C;
1.m. Descrever (algebricamente) a dire¸c˜ao de r1 (o feixe de retas no plano que consiste der1 e todas as paralelas a ela). Repetir o exerc´ıcio parar3, r4 er6; 1.n. Descrever (algebricamente) o feixe de todas as retas no plano perpendicula-
res a r1. Repetir o exerc´ıcio para as retas r3,r4 e r6;
1.o. Descrever (algebricamente) o lugar geom´etrico dos pontos no plano que dis- tam 1 da reta r1. Repetir o exerc´ıcio com distˆancia 2 para a reta r2, com distˆancia 3 para a reta r3, e com distˆancia 4 para a retar4;
1.p. Descrever (algebricamente) o lugar geom´etrico dos pontos no plano que equi- distam das retas r1 e r2;
1.q. Descrever (algebricamente) o lugar geom´etrico dos pontos no plano que equi- distam das retas r2, r4 er6. Repetir o exerc´ıcio para o trio r11, r13 e r18; 1.r. Descrever (algebricamente) o lugar geom´etrico dos pontos no plano que equi-
distam dos pontos A eB;
1.s. Descrever (algebricamente) o lugar geom´etrico dos pontos no plano que equi- distam dos pontos O,A e D. Repetir o exerc´ıcio para o trio A, B eC; 1.t. Calcular a distˆancia entre o ponto e a reta em cada um dos seguintes pares:
C e r1;C e r4;C e r10; C er14; B e r9; B er22; E e r1; O er12; e O er13;
1.u. Para cada par no Item 1.t, descrever (algebricamente) o semiplano (aberto) determinado pelo par, ou seja, definido pela reta e que cont´em o ponto;
1.v. Descrever (algebricamente) cada segmento de reta: AD, CD,OD e BD; 1.w. Para cada um dos triˆangulos a seguir, dar um sistema de inequa¸c˜oes que
descreve a regi˜ao triangular fechada delimitada por ele: △OBD, △OAD,
△F GH, △CGH, △ACD e △ABC. Repetir o exerc´ıcio para cada regi˜ao triangular aberta (interior ao seu triˆangulo) e para cada triˆangulo (ou seja, s´o a curva poligonal fechada, sem o interior);
1.x. Calcular os per´ımetros dos triˆangulos no Item 1.w.
Quest˜ao 2. men s˜ao n´umeros reais. Atrav´es de condi¸c˜oes alg´ebricas sobre m en(se naparece) ou sobrem (sen˜ao), caracterizar cada um dos trˆes casos do n´umero de solu¸c˜oes do sistema de equa¸c˜oes dado (ou seja, nenhuma solu-
¸c˜ao, uma ´unica solu¸c˜ao, e um n´umero infinito de solu¸c˜oes distintas). Dica:
interpretar cada equa¸c˜ao geometricamente, e explorar posi¸c˜oes relativas.
2.a.
mx+ 3y = 12
4x+ 6y = 24 2.b.
mx+ 3y = 12
4x+ 6y = 0 2.c.
mx+ 3y = 12
4x+ 6y = n 2.d.
mx+ 3y = 12
nx+ 6y = 0 2.e.
mx+ 3y = 12
4x+ny = 24 2.f.
mx−3y = 12
3x+ny = 4 2.g.
mx−3y = 3n
3x+ny = 4
Quest˜ao 3. Descrever, geometricamente, o conjunto-solu¸c˜ao de cada equa-
¸c˜ao abaixo. Dicas: usar produtos not´aveis; completar quadrados; fatorar po- linˆomios; usar AB = 0⇐⇒(A= 0 ouB = 0); usar A2 =B2 ⇐⇒A=±B. 3.a. x2+ 2xy+y2 = 0;
3.b. x2−2xy+y2 = 0 3.c. x2−y2 = 0;
3.d. x2−y2−2y−1 = 0;
3.e. x2−y2+ 2x+ 1 = 0;
3.f. x2−y2−6x−4y+ 5 = 0;
3.g. x2−2xy+y2−1 = 0;
3.h. xy+ 4x−3y−12 = 0;
3.i. x2−2xy+y2+x−y = 0;
3.j. x2+ 2xy+y2+ 4x+ 4y+ 3 = 0;
3.k. Desafio: 2x2+ 3xy−2y2+ 3x+ 6y= 0.
Quest˜ao 4. Para reais x0, y0, c e d tais que c 6= 0 6= d, uma equa¸c˜ao em (x, y) da forma abaixo ´e dita umaequa¸c˜ao sim´etricade uma reta no plano:
x−x0
c = y−y0
d
4.a. Provar que toda reta n˜ao-vertical n˜ao-horizontal admite equa¸c˜ao sim´etrica.
Dicas: Dado um sistema de equa¸c˜oes param´etricas para a reta, eliminar o parˆametro. Observar que, para tal sistema, uma reta ´e horizontal (respecti- vamente, vertical) se, e somente se,d=vy = 0 (respectivamente, c=vx = 0);
4.b. Demonstrar que, reciprocamente, toda equa¸c˜ao sim´etrica (em (x, y) ) tem uma reta como conjunto-solu¸c˜ao. Dar a equa¸c˜ao reduzida de tal reta;
4.c. Verificar que h´a infinitas equa¸c˜oes sim´etricas distintas para cada reta que admite este tipo de equa¸c˜ao. Dica: Observar que h´a infinitas escolhas deP0
e de (vx, vy) para formarem as equa¸c˜oes param´etricas de cada reta no plano;
4.d. Exibir 3 equa¸c˜oes sim´etricas distintas para cada reta da Quest˜ao 1 que ad- mite tal tipo de equa¸c˜ao – cf. Item 1.h.
