FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA A

FUNDAMENTOS DA

MATEMÁTICA A

Rio de Janeiro / 2007

TODOSOSDIREITOSRESERVADOSÀ

UNIVERSIDADE CASTELO BRANCO

VICE-REITORIA DE ENSINO DE GRADUAÇÃO E CORPO DISCENTE

SUMÁRIO

Qudro-síntese do conteúdo programático ...

04

Contextualização da disciplina ...

05

U U U U UNIDADENIDADENIDADENIDADENIDADE I I I I I RELAÇÕES BINÁRIAS 1.1 - Sistema cartesiano ortogonal ...

06

1.2 - Produto cartesiano ...

08

1.3 - Relação binária ...

08

UUUUUNIDADENIDADENIDADENIDADENIDADE II II II II II FUNÇÕES 2.1 - Introdução ...

11

2.2 - Definição ...

11

2.3 - Gráfico de funções ...

15

2.4 - Funções crescentes e decrescentes ...

16

2.5 - Função constante ...

17

2.6 - Função afim ...

17

2.7 - Função quadrática ...

19

2.8 - Funções modulares ...

24

Glossário ...

25

Gabarito ...

26

Referências Bibliográficas ...

31

Quadro-síntese do conteúdo

programático

UNIDADES DE PROGRAMA OBJETIVOS

1 - Relações Binárias

2 - Funções

3 - Trigonometria

Possibilitar ao aluno a recordação dos conceitos de par ordenado, relação e função.

Estudar as formas de reconhecer quando uma relação é uma função e aprender a traçar gráficos corretamente.

Contextualização da Disciplina

Ao elaborarmos este instrucional, procuramos apresentar a teoria de modo resumido, enfatizando os exercícios e suas resoluções, evitando o excessivo formalismo. Acreditamos ter conseguido um bom desenvolvimento seqüencial das unidades, mantendo um rigor coerente com o nível para o qual o material é proposto. O objetivo é fazer com que o aluno domine as idéias básicas da disciplina de Fundamentos da Matemática A extremamente necessárias para o bom desempenho das disciplinas do curso.

5

UNIDADE I

R E L A Ç Õ E S B I N Á R I A S

R E L A Ç Õ E S B I N Á R I A S

R E L A Ç Õ E S B I N Á R I A S

R E L A Ç Õ E S B I N Á R I A S

R E L A Ç Õ E S B I N Á R I A S

1.1 –

1.1 –

1.1 –

1.1 –

1.1 – Sistema Cartesiano Ortogonal

Considerando dois elementos a e b podemos, admitir a existência de um terceiro elemento (a,b) que denominamos par ordenado. Dois pares ordenados (a,b) e (c,d) são iguais se, os primeiros elementos de cada par forem iguais, isto é, a = c, e se os segundos elementos de cada par também forem iguais, ou seja, b = d.

Logo: (a,b) = (c,d) ⇔ a = c e b = d.

Com base no que foi apresentado acima, devemos observar que (2,3) ≠ (3,2), embora os conjuntos {2,3} e {3,2} sejam iguais.

Todo o par ordenado pode ser representado por um ponto no plano cartesiano.

O plano cartesiano é um plano α no qual consideramos dois eixos x e y perpendiculares entre si. Seja o ponto O, o ponto de intersecção desses eixos, denominado origem do plano cartesiano.

Temos:

• Plano α→ Plano cartesiano; • Eixo x → eixo das abscissas (Ox); • Eixo y → eixo das ordenadas (Oy); • O → origem;

• a → abscissa do ponto P; • b → ordenada do ponto P; • (a, b) → coordenadas do ponto P;

À direita da origem temos os números positivos e, à esquerda, números negativos. Acima da origem temos números positivos e, abaixo, números negativos.

6

Exemplos

1) Representar, no plano cartesiano, os seguintes pontos: A(2, 5), B(– 5,1), C(– 3, – 3) e D(2, – 3).

2) Representar, no plano cartesiano, os seguintes pontos: G(3, 0), H(–3, 0), I (0, 3) e J(0, –3).

7

1.2 –

1.2 –

1.2 –

1.2 –

1.2 – Produto Cartesiano

1.3 –

1.3 –

1.3 –

1.3 –

1.3 – Relação Binária

Sejam A e B dois conjuntos não vazios. Denominamos produto cartesiano de A por B o conjunto A x B, formado por pares ordenados onde o primeiro elemento de cada par pertence a A e o segundo elemento de cada par pertence a B. Simbolicamente, temos: A x B = {(x,y) x ∈ A e y ∈ B} 1) Se A = { 2,4,5,7} e B = { 2,3} . Determine A x B e B x A: a) A x B = { (2,2), (2,3), (4,2), (4,3), (5,2), (5,3), (7,2), (7,3) } b) B x A = { (2,2), (2,4), (2,5), (2,7), (3,2), (3,4), (3,5), (3,7)} Exemplos: 2) Se A = { 2,4,5} . Determine = A x A

A

2 2

A

= {(2,2), (2,4), (2,5), (4,2), (4,4), (4,5), (5,2), (5,4), (5,5)} Observe que:

- Se A e B são conjuntos diferentes, então A x B ≠ B x A;

- Se A tem p elementos e B tem q elementos A x B tem p.q elementos;

Dados dois conjuntos A e B não-vazios, chama-se Relação Binária de A em B, a qualquer subconjunto R de A x B.

Exemplos:

1) Dados os conjuntos A = { 2,4,5,7} e B = { 2,3}, verifique se os conjuntos abaixo representam relações de A em B:

a) R = { (2,2), (4,2), (5,3), (7,2)} b) S = { (2,2), (4,2), (7,4)} c) T = {(4,3)}

Soluções:

a) R é relação de A em B, pois R ⊂ A x B, todos os elementos de R são elementos de A x B; b) S não é relação de A em B, pois S ⊄ A x B, o elemento (7,4) está em S e não está em A x B; c) T é relação de A em B, pois T ⊂ A x B.

8

A (3, 2) B (–1, 4) C (–3, –1) D (4, –5) E (0, 3) F (–1, 0) G (4, 0) H (0, –4) I (0, 0)

Exercícios de Fixação

2) Se A = {0, 1, 2, 3} e B = {1, 2, 4}, determine os elementos da relação R = {(x,y)∈ AxB x≥y}, o domínio e a imagem, utilizando a diagrama de Venn que aparece a seguir.

Solução:

R = { (1,1), (2,1), (2,2), (3,1), (3,2) } D(R) = {1,2,3} e Im(R) = {1,2}

Obs.: O domínio da relação R é formado por todos os valores de x de cada par pertencente a R e a imagem da relação R é formado por todos os valores de y de cada par pertencente a R, ou seja:

Domínio da Relação: D(R) = {x / (x,y) ∈ R} Imagem da Relação: Im(R) = {y / (x,y) ∈ R}

1) Localizar no plano cartesiano os seguintes pontos:

2) Sejam os conjuntos A = {–2, –1, 0, 1} e B = {0, 2}. Determine: a) A x B b) B x A c) d) 2

A

2

B

9

Exercícios de Auto-Avaliação

3) Se A x B = {(0, 2), (0, 3), (1, 2), (1, 3), (5, 2), (5, 3)}. Determine os conjuntos A e B:

4) Se A ⊂ B e B tem 5 elementos, qual o número máximo de elementos de A x B? 5) Dados os conjuntos : a) A relação b) A relação

{

_{(x,y) A x B/ y x}2

}

R = ∈ =

{

−2,−1,0,1,2

}

e =

{

0,1,2,3,4

}

, determine = B A

{

( , )∈ x / =2 +1

}

= x y A B y x R

6) Determine o domínio e a imagem de cada relação do 5º exercício:

7) Sejam os conjuntos

A

=

{ }

0

,

1

,

2

e

B

=

{

0

,

2

,

3

}

.

Determine a relação R de A em B definida por x < y: 8) O produto cartesiano foi definido com os conjuntos A e B não vazios, se A ou B fossem vazios, como ficaria A x B?

9) Antes de passar para a próxima unidade, veja se você consegue definir o que é uma função e verificar quais relações dos exercícios anteriores (5 e 7), são funções, justificando a sua resposta:

1) Sabendo-se que A x B = {(0,2), (0,4), (0,6), (1,2), (1,4), (1,6)}, determine os conjuntos A e B:

2) Se A = {0,2} e B = (0,2,3}, determine (A ∪ B) x B: 3) Dados A = {0,1,2}, B = {1,2,3} e C = {4,5,6}, determine:

a) (A ∩ B) x C b) (B ∩ C) x A c) (C ∪ A) x (B – A)

4) Um conjunto A tem 5 elementos e um outro conjunto B, tem 4 elementos. Determine o número de elementos de:

a) A x B c) A² b) B x A d) B²

5) Um conjunto A possui (x – 6) elementos; um conjunto B possui (3x + 1) elementos. Calcule x, sabendo-se que A x B tem 124 elementos:

6) Um homem tem cinco camisas e três calças. De quantas maneiras diferentes ele poderá vestir-se, usando, cada vez, uma calça com uma camisa?

7) Dados os conjuntos A = {–2, –1, 0, 1} e B = {–1, 0, 1, 2, 3, 4}, determine as relações abaixo, o seu domínio e a sua imagem:

a) R = {(x,y)∈ A x B y = x + 1} b) S = {(x,y) ∈ A x B x ≥ y} c) T = {(x,y) ∈ A x B x² + y² = 3}

8) Dados A = {x ∈ N x ≤ 10} e a relação R = {(x,y) ∈ A² | x + 2y = 10}, determine o domínio e a imagem da relação:

9) Calcule os valores de x e y de modo que: (5x + 2y, 2x + y) = (12, 5):

10) Localize, no plano cartesiano, os pontos A(0, 0), B(0, 6), C(6, 6), D(9, 10) e E(9, 0). Calcule a área e o perímetro da figura formada pela união dos pontos A, B, C, D, E e A:

10

UNIDADE II

F U N Ç Õ E S

F U N Ç Õ E S

F U N Ç Õ E S

F U N Ç Õ E S

F U N Ç Õ E S

2.1

2.1

2.1

2.1

2.1 – Introdução

2.2

2.2

2.2

2.2

2.2 – Definição

A noção de função é fundamental em Matemática. As funções estão no nosso dia-a-dia mesmo que nós não nos apercebamos disso.

Vejamos alguns exemplos:

a) A quantidade de combustível consumida por um automóvel é função da distância que ele percorre; b) O valor da conta de luz depende, de uma forma determinada, da quantidade de energia que usamos naquele período, ou seja, a quantia paga é função da quantidade de energia usada.

c) O preço de uma corrida de táxi é função da distância percorrida;

d) A nota de um aluno na prova depende da quantidade de acertos que ele teve.

Na própria Matemática, temos exemplos:

a) A área de um círculo depende do tamanho do raio r, que é dada por A = ð.r2_{. Podemos dizer que a}

área é função do raio, ou seja, A = f(r).

b) A área do quadrado depende do tamanho do lado l do quadrado, que é dado por A = l2_{. Logo, a}

área do quadrado é função do lado, ou seja, A = f(l).

Muitas vezes, obtém-se uma função através de uma equação. Por exemplo, a relação entre a medida C da temperatura em graus Celsius e a medida F da mesma temperatura, em graus Fahrenheit, é definida como sendo:

5

C

9

32

F

−

₌

vejamos , ) F ( f C ou ) C ( f F escrever Podemos = = Se Se

)

(

9

)

32

.(

5

F

f

C

F

C

=

−

→

=

ou

Dados dois conjuntos A e B, não vazios, uma função f: A → B é uma correspondência que, a cada elemento x∈A, associa um único elemento y∈B. O conjunto A (conjunto de partida) é chamado domínio da função f e o conjunto B (conjunto de chegada) é chamado contradomínio da função f. Como indicamos a função por f, temos y = f(x).

11

Como x é livre para variar no domínio da função, dizemos que x é variável independente, e que y, por estar dependendo de x, é a variável dependente. O conjunto dos elementos de B que estão associados por f a algum elemento de A, é chamado conjunto imagem de f.

Em símbolos, podemos escrever:

f: A → B ⇔ ∀ x ∈ A, ∃ y ∈ B | (x,y) ∈ f ou f: A → B ⇔∀ x ∈ A, ∃| y ∈ B | y = f(x).

Temos: D(f) = A, CD(f) = B e Im(f) =

{

y∈B(x,y)∈f

}

Exemplos:

1) Sejam os conjuntos A = {-1,0,1,2} e B = {1,2,3,4}. Verifique se a relação R de A em B definida por y = x2 _{+ 1 é uma função, justificando a sua resposta:}

Solução:

Não é função, porque nem todo elemento de A tem correspondente em B, observe que a imagem de 2 seria o 5, mas o elemento 5 não pertence ao conjunto B.

2) Verifique se a relação de cujo gráfico que aparece abaixo é uma função:R+=A em R=B,

Solução:

12

3) Sejam os conjuntos A = {-3,-1,1,3} e B = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Seja a função f: A → B, definida por y = x2_{. Determine o conjunto imagem da função:}

Solução: Se y = x2 _{, temos:} y = (-3)2 _{= 9} y = (-1)2 _{= 1} y = 12 _{= 1} y = 32 _{= 9}

Logo, o conjunto imagem é Im = {1,9}.

4) Seja a função f :R → R definida por f(x)= −3x+ 2. Determine: a) f(−2)+ f(0);

b) O elemento x do domínio tal que

f

(

x

)

=

−

10

:

Soluções:

a) Temos: f(−2)=−3.(−2)+ 2=8 e f(0)= −3.0+ 2=2.

Logo: f(−2)+ f(0)=8+ 2=10.

b) Queremos determinar o elemento do domínio cuja imagem é – 10. Então: −3x+ 2= −10 ⇒ −3x= −12 ⇒ x=4.

5) O aluguel de um carro, por um período de 30 dias, em uma locadora, é 750 u.m. (unidade monetária), acrescido de uma taxa de 2 u.m. por quilômetro rodado. Sabendo-se que uma pessoa ficou um mês com o carro alugado. Determine:

a) Uma lei de associação para essa função;

b) O valor a ser pago no final do período, se ele rodar 465 km;

c) O número de quilômetros que ele rodou, sabendo-se que pagou 1350 u.m.

Soluções:

a) y = 750 + 2 . x, onde x representa o número de quilômetros rodados. b) y = 750 + 2 . 465 ⇒ y = 1680 u.m.

c) 750 + 2 . x = 1350 ⇒ 2 . x = 600 ⇒ x = 300 km

Exercícios de Fixação

1) Sejam os conjuntos A = {0,1,2,3,4} e B = {-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8}. Seja a função f: A → B definida por y = 2x – 1. Determine:

a) o diagrama de Venn de f; b) o conjunto imagem de f.

2) Seja a função f: R → R (sendo R o Conjunto dos Números Reais) definida por f(x) = x2 _{– 3x + 4.}

Determine:

( )

(

)

3 c) 3 1 b) 2 a)       − − f f f

13

3) Seja a função f: R → R (sendo R o Conjunto dos Números Reais) definida por

.

5

3

2

)

(

x

=

x

−

f

Qual é o

elemento do domínio que tem

4

3

−

como imagem?

4) Seja a função f: R → R (sendo R o Conjunto dos Números Reais) assim definida:

    + − = , 1 2 2 , 1 2 ) ( x x x f

se

se

1

1

≥

<

x

x

Calcule:

5) Para estudar a capacidade de aprendizagem dos animais, um grupo de alunos de Psicologia fez uma experiência na qual um rato branco era colocado, repetidamente, em um labirinto. Os estudantes notaram que o tempo (em minutos) requerido para o rato percorrer o labirinto, na n-ésima tentativa, era de

aproximadamente . n 12 3 ) n ( t = + Pede-se: a) O domínio da função;

b) O tempo que o rato gastou para percorrer o labirinto na 3ª tentativa; c) Em que tentativa o rato gastou 4 minutos para percorrer o labirinto.

6) Uma fábrica produz p(t) = (t² + 2t) pares de sapatos após t horas do início de suas atividades diárias. Se a fábrica começa a funcionar às 8 horas da manhã, responda:

a) Quantos pares de sapatos são produzidos até às 10h da manhã? b) Quantos pares de sapatos são produzidos até às 11h da manhã? c) Quantos pares de sapatos são produzidos entre 10 e 11h?

7) O perímetro de um retângulo de largura x e comprimento y é 36 cm. Encontre a função que dá a área do retângulo em função da largura x:

8) Freqüentemente se diz: considere uma função f dada por f(x), o que significa “uma expressão contendo x”, sem menção ao domínio da função. Neste caso, supõe-se que tal domínio é formado por todos os valores de x para os quais a expressão pode ser calculada. Em esta observação, determine o domínio das seguintes funções: a)

x

x

f

−

=

1

1

)

(

b) 25 2 ) ( ₂ − + = x x x f c)f(x)=x2−4x+3 d) _f(x)=3_3x−6 e)f(x)= −3x+12 f) 2 3 2 + = x y f (0); f (-1) e f (1)

14

2.3

2.3

2.3 – Gráfico de Funções

2.3

2.3

Podemos descrever uma função por meio de um gráfico, no plano cartesiano. Gráfico é um conjunto de pontos cujas abscissas são elementos do seu domínio e cujas ordenadas são os correspondentes elementos de sua imagem.

Exemplos:

a)

f

(

x

)

=

x

,

D

=

R

b)

Devemos recordar que para uma relação ser uma função, todo elemento pertencente ao seu domínio deve corresponder a um único elemento no seu contradomínio. Logo, observe que se você traçar uma reta perpendicular ao eixo das abscissas ela deverá interceptar o gráfico no máximo em um ponto.

Observe que a relação ao lado definida de R em R₊ definida por x = y² não é função, pois temos elementos do domínio com dois correspondentes no contra-domínio.

15

2.4

2.4

2.4

2.4

2.4 – Funções Crescentes e Decrescentes

Uma função f(x) é crescente quando, à medida que x aumenta, f(x) também aumenta. Podemos escrever: ). ( , com ), ( ) ( _{1 2 1 2} 2 1 x f x f x x x D f x > ⇒ > ∈

Uma função f(x) é decrescente quando, à medida que x aumenta, f(x) diminui. Podemos escrever: ). ( , com ), ( ) ( _{1 2 1 2} 2 1 x f x f x x x D f x > ⇒ < ∈

Exemplo: Considere a função

     ≥ + − < < − − ≤ − = 2 se , 8 2 2 1 se , 1 se , ) ( 2 x x x x x x x

f representada no gráfico a seguir:

Determine os valores de x para os quais:

. 0 ) ( e) ; 0 ) ( d) (raízes); 0 ) ( c) e; decrescent é ) ( b) crescente; é ) ( a) < > = x f x f x f x f x f Soluções: a) 0 < x < 2; b) x < 0 ou x > 2; c) 0 e 4; d) x < 4; e) x > 4.

16

2.5

2.5

2.5 – Função Constante

2.5

2.5

Uma função f :R→Rrecebe o nome de função constante quando para todo x∈Rassocia sempre o mesmo elemento .

Exemplo: Construir o gráfico da função 2;

2.6

2.6

2.6

2.6

2.6 – Função Afim

Uma função f :R→R recebe o nome de função afim quando para todo x∈Rassocia sempre o elemento

( , com a,b∈R e a≠0.O gráfico da função afim é uma reta (provado em Geometria Analítica).

Obs. Quando b = 0 a função também é chamada função linear. Portanto, podemos afirmar que a função linear é um caso particular da função afim.

O coeficiente a é chamado coeficiente angular ou declividade da reta representada no plano cartesiano; é a tangente do ângulo que a reta forma com o eixo das abscissas.

O coeficiente linear b é chamado coeficiente linear; é o ponto em que a reta corta o eixo das ordenadas.

O conjunto Imagem de uma função afim é o conjunto dos números reais; observe que para todo y real, existe um x também real, tal que: f(x) = y.

Exemplos:

Construir o gráfico das seguintes funções:

a) f(x) = 2x a) f(x) =

−

2x

17

c) f(x) =

2

x +

1

d) f(x) =

– 2

x +

1

Observe que nos exemplos (a) e (b) os coeficientes lineares são iguais a zero, logo, a reta corta o eixo y no ponto (0,0), origem do sistema cartesiano. Já nos exemplos (c) e (d) os coeficientes lineares são iguais a 1, portanto os gráficos cortam o eixo das ordenadas no ponto (0,1).

Observe, também, que nos exemplos (a) e (c) os coeficientes angulares são positivos (o ângulo varia entre 0 e 90°), logo elas são crescentes. Nos exemplos (b) e (d) os coeficientes angulares são negativos (o ângulo varia entre 90° e 180°), logo elas são decrescentes.

Exercícios de Fixação

x x f x f x x f x x f x f ) ( e) 3 x 2 ) ( d) 4 ) ( c) 2 3 ) ( b) 4 ) ( a) = + = − = + − = − =

1) Construir o gráfico das funções, determinando o conjunto imagem:

2) A função linear em que o valor do coeficiente angular é igual a 1, recebe o nome de função identidade. Qual o ângulo formado pela função identidade com o eixo das abscissas?

3) Resolver analiticamente e graficamente o sistema de equações:

     + − = + = 3 4 3 2 3 x y x y

18

5) Determinar a função cujo gráfico é dado abaixo:

6) Determinar a função afim que passa pelo ponto (–3, 1) e forma um ângulo de 45° com o eixo das abscissas:

2.7 –

2.7 –

2.7 –

2.7 –

2.7 – Função Quadrática

Uma função f :R→Rrecebe o nome de função quadrática quando, para todo x∈R,associa sempre o elemento

(

, com a,b,c∈R e a≠0. O gráfico da função quadrática é uma parábola (provado em Geometria Analítica). Exemplos: a)f(x)=x2 x y (x,y) -2 4 (-2,4) -1 1 (-1, 1) 0 0 (0, 0) 1 1 (1, 1) 2 4 (2, 4) b) f(x)=−x2 x y (x,y) -2 -4 (-2, -4) -1 -1 (-1, -1) 0 0 (0, 0) 1 -1 (1, -1) 2 -4 (2, -4)

19

2.7.1

2.7.1

2.7.1

2.7.1

2.7.1 – Concavidade

Se a > 0 a parábola tem a concavidade “voltada para cima” e se a < 0, a concavidade “voltada para baixo”. Nos dois exemplos anteriores temos: no item (a) o a é positivo e no item (b) o a é negativo.

2.7.2

2.7.2

2.7.2

2.7.2

2.7.2 – Raízes e Zeros

Os zeros de uma função são os valores de x para os quais f(x)=0, isto é, são as raízes da equação f(x) = 0.

Logo, se , a 2 b x 0 c bx ax 0 ) x (

f = ⇒ 2+ + = ⇒ = − ± ∆ onde ∆ é chamado discriminante. Portanto, os zeros das funções são as soluções da equação do 2º grau 2_{+ + =0 .}

c bx ax

Temos três situações a considerar, em relação ao discriminante:

a) Se _∆>0,aequação teráduasraízesreaisediferentes, logoográficodafunçãoirá cortar o eixo das abscissas em dois pontos distintos;

b) Se ∆=0,aequação teráduasraízesreaiseiguais, logoográficodafunçãoirácortaro eixo das abscissas em apenas um ponto;

c) Se ∆<0 ,aequaçãonão terá raízesreais, logoográficodafunçãonãoirácortar oeixodas abscissas.

O vértice da parábola é o ponto de máximo ou de mínimo da parábola. Se a concavidade da parábola está “voltada para cima”, o vértice é um ponto mínimo e se a concavidade da parábola está “voltada para baixo”, o vértice é um ponto máximo.

As coordenadas do vértice da parábola são dadas por . 4 , 2     _{− −} ∆ a a b Demonstração:

Vamos chamar de x a abscissa do vértice da parábola, relativo a função_V 2

.

c

bx

ax

f(x)

=

+

+

Vamos analisar três situações, ∆>0, ∆=0e∆<0.Vamos considerar, nos três casos, o a > 0; a demonstração é feita da mesma forma, se a < 0.

a) 0 ∆>

2.7.3

2.7.3

2.7.3

2.7.3

2.7.3 – Vértice da Parábola

Nesse caso, o vértice é o ponto médio dos zeros da função. Temos:

⇒ ∆ − − + ∆ + − = + = ⇒        ∆ − − = ∆ + − = ⇒ ∆ ± − = 2 2 2 2 x x x 2 x 2 x 2 x _V 1 2 2 1 a b a b a b a b a b a b a b a b 2 2 1 x 2 2 2 2 2 xV =− =− − = ⇒

20

2.7.4 –

2.7.4 –

2.7.4 –

2.7.4 –

2.7.4 –

Intersecção com o Eixo das Ordenadas

Um ponto está localizado no eixo das ordenadas quando o valor da abscissa é zero. Logo, se

). ,c 0 ( ponto no y eixo o corta parábola a representa que curva a Logo, . c ) 0 ( f c 0 . b 0 . a ) 0 ( f c bx ax f(x) = 2+ + ⇒ = 2+ + ⇒ =

Como o vértice da parábola é o ponto de máximo ou de mínimo, temos:

Se a > 0, a concavidade está voltada para cima logo, o vértice é um ponto mínimo e o conjunto imagem será dado por: Im(f)={y∈R / y≥yV}, onde yVéaordenadado vértice.

2.7.5 –

2.7.5 –

2.7.5 –

2.7.5 –

2.7.5 – Imagem

0 ∆= b) c) ∆

Nesse caso, é fácil perceber que o vértice é a raiz da função. Como

∆

, temos:

Neste caso, a função não tem zeros reais. Sejam dois pontos simétricos P e P’, com abscissas x_V−K e x_V+Ke, considerando que x é a média_V aritmética das abscissas desses dois pontos, temos:

(

K

) (

f K

)

f x_V+ = x_V− . Substituindo na função 2

,

c

bx

ax

f(x)

=

+

+

temos:

(

K

)

b

(

K

)

c a

(

K

)

b

(

K

)

c ax_V− 2+ x_V− + = x_V+ 2+ x_V+ + . Desenvolvendo e simplificando, obtemos:

a b aK bK bK aK 2 x 4 2 x 2 x 4 V= ⇒ V=− ⇒ V=− − .

Observe que o que foi mostrado no item (c), pode ser generalizado para os demais itens.

Sendo , substituindonafunção ( ) .

4 y que provar podemos , 2 x_{V V} f x ax2 bx c a a b ₌₋ ∆ _{= + +} − = Temos: ⇒ + − = + − = +       − +       − =       − ⇒ + + = ₂2 2 2 ₂2 2 2 4 4 2 2 4 . 2 . 2 . 2 ) ( a ac ab ab c a b a b a c a b b a b a a b f c bx ax x f

Simplificando por a, temos:

a a ac b a ac b a b f 4 4 4 4 4 2 2 2 _∆ − = − − = + − =       − .

Logo, as coordenadas do vértice são . 4 , 2     _{− −} ∆ a a b

21

2.7.6 –

2.7.6 –

2.7.6 –

2.7.6 –

2.7.6 – Eixo de Simetria

Se a < 0, a concavidade está voltada para baixo, logo o vértice é um ponto máximo e o conjunto imagem será dado por: Im(f)={y∈R / y≤y_V}, onde y_Véaordenadado vértice.

O gráfico da função quadrática admite um eixo de simetria e esse eixo de simetria é uma reta perpendicular ao eixo das abscissas que passa pelo vértice; logo, todos os pontos desse eixo de simetria obedecem à equação

0 2 = + a b x _. Exemplos: 1) Seja a função

₍

₎

=

2

−

₆

+

₅

_,

x

x

x

f

a) analisar a sua concavidade; b) os zeros ou raízes;

c) a coordenada do ponto de intersecção com o eixo das ordenadas; d) as coordenadas do vértice;

e) um esboço do gráfico; f) o conjunto imagem. Soluções:

a) Como o valor de a é positivo, a concavidade está voltada para cima b) Fazendo x2−6x+5=0, obtemos :x₁=5 ex₂=1

c) (0,5) d) V(3, – 4) e)

f) Im(f)={y∈R / y≥−4}

2) Determinar uma função quadrática f talque f(0)=3, f(1)=0 e f(2)=−1: Solução: Seja f(x)=ax2+bx+c, então: 4 e 1 2 2 3 2 2 4 2 4 1 2 4 1 ) 2 ( 3 0 0 ) 1 ( 3 3 ) 0 ( − = = ⇒    − = + − = + ⇒      − = + ⇒ − = + ⇒ − = + + ⇒ − = − = + ⇒ = + + ⇒ = = ⇒ = b a b a b a b a b a c b a f b a c b a f c f

Portanto, se: a=1, b=−4 e c=3, temos: f(x)=x2−4x+3.

pede-se: 0 = . 2 x 2 0 x_{V V} a b a b − = ⇒ ± − =

22

3) Mostre que, na equação do 2º grau 0 ,

2_{+ + =}

c bx

ax deraízes x1e x2,temos para a soma das

raízes S x1 x2 ; a b − = + = Solução:

a) Seasraízes x₁e x₂são taisque x₁= x₂, temos:

No caso para a b a b a b a b a b a b a b − = − = + ⇒ − + − = + ⇒       − = − = ⇒ ± − = 2 2 x x 2 2 x x 2 x 2 x 2 0 x _{1 2 1 2} 2 1

b) Seasraízes x₁e x₂são taisque x₁≠ x₂, temos: No caso para x₁≠ x₂, temos∆>0,logo:

4) Resolva a inequação 2_{−6 +5<0:}

x x

Considerando f(x)=x2−6x+5, a=1>0 e∆=16>0,eraízes x₁=5 e x₂ =1. Então, como queremos os valores de x para os quais a função é menor que zero, temos S={x∈R / 1<x<5}.

Exercícios de Fixação

1) Construir o gráfico das seguintes funções:

x x x f x x x f x x f x x f 4 ) ( d) 4 4 ) ( c) 1 ) ( b) 1 ) ( a) 2 2 2 2 + − = + − = + − = − =

2) Dada a função f(x)=−x2+8x+9, pede-se: a) analisar a sua concavidade;

b) as coordenadas dos pontos de intersecção com o eixo das abscissas; c) as coordenadas do ponto de intersecção com o eixo das ordenadas; d) as coordenadas do vértice;

e) um esboço do gráfico; f) o conjunto imagem;

23

3) Seja a função f(x)=(m −1).x2 +(2m +3).x +m determine os valores de m de modo que a função tenha duas raízes reais e diferentes:

4) Mostre que, na equação do 2º grau ax2+bx+c= 0, deraízes x₁ e x₂,temos para o produto da raízes,

a

c

=

=

x

1

.

x

2

P

5) (PUC/CAMP – SP) Considerando todos os números reais x, y de soma igual a 8, determine aqueles cujo produto é máximo.

6) (CESGRANRIO – RJ) – Um dia na praia, às 10 horas, a temperatura era de 36°C e, às 14 horas, atingiu a máxima de 39,2°C. Supondo que, nesse dia a temperatura f( t) em graus era em função do tempo t medido em horas, dada por f(t)=at2+bt+c, quando 8≤t≤20, então, pode-se afirmar que:

(a) b = 0 (b) a = b (c) b < 0 (d) a.b < 0 (e) a > 0

7) (PUC CAMP – SP) Uma bola é largada do alto de um prédio e cai em direção ao solo. Sua altura h, em relação ao solo, t segundos após o lançamento, é dada pela expressão _h=-25t2_{+625.Após quantos}

segundos do lançamento a bola atingirá o solo?

(a) 2,5 (b) 5 (c) 7 (d) 10 (e) 25 8) Resolver as inequações em R: 0 25 10 e) 0 15 3 d) 0 6 5 c) 0 10 2 b) 0 2 3 a) 2 2 2 2 2 ≥ + − ≥ + − > − + − < + + ≥ + − x x x x x x x x x x

2.8

2.8

2.8

2.8

2.8 – Funções Modulares

Para cada valor x real podemos associar um único valor

x

.

Uma função f :R→Rrecebe o nome de função modular quando para todo x∈Rassocia sempre o elemento. Utilizando a definição de módulo, temos:

   < − ≥ = 0 se , 0 se , x x x x x A imagem da função é Im = R₊

24

Glossário

Abscissa - Numa reta, a distância de um ponto a outro, tomado como origem; coordenada de um ponto sobre uma reta. Em um sistema cartesiano, coordenada referente ao eixo do x.

Cartesiano - Doutrina de René Descartes, filósofo, matemático e físico francês (1596-1650), e de seus seguidores, caracterizada pelo racionalismo, pela consideração do problema do método como garantia da obtenção da verdade e pelo dualismo metafísico. Em Matemática, eixos cartesianos, são retas ortogonais, cuja intersecção é a origem.

Coeficiente - Parte numérica em um produto de fatores numéricos e literais.

Domínio - Em uma função, conjunto dos valores que a variável independente pode tomar.

Contradomínio - Em uma função, conjunto dos valores que a variável dependente pode tomar.

Ordenada - Coordenada cartesiana correspondente a um dos eixos.

Ortogonal - Que forma ângulos retos.

Parábola - Lugar geométrico plano dos pontos eqüidistantes de um ponto fixo e de uma reta fixa de um plano.

Paridade - Propriedade de ser par ou ímpar. Uma função pode ser par, ímpar ou nenhuma delas. Ela é par quando f (x) = f (-x) e ímpar quando f (x) = - f (-x).

25

Gabarito

Respostas dos Exercícios de Fixação

Unidade I - 1.1 a 1.3

1) 2) a) A x B = {(–2,0), (–2,2), (–1, 0), (–1, 2), (0,0),.(0,2),(1,0), (1,2)} b) B x A = {(0, –2), (0, –1), (0,0), (0,1), (2, –2), (2, –1), (2,0), (2,1)} c)A² = {(–2,–2), (–2,–1), (–2,0), (–2,1), (–1,–2), (–1,–1), (–1,0), (–1,1), (0,–2), (0,–1), (0,0), (0,1), (1, –2), (1,–1), (1,0), (1,1)} d) B² = {(0, 0), (0, 2), (2, 0), (2, 2)}

3) Observe que em cada par (x, y), x

∈

A e y

∈

B, logo: A = {0, 1, 5} e B = {2, 3}

4) O A também pode ter 5 elementos, logo A x B pode ter até 25 elementos (5 x 5 = 25);

5) a) y = x² b) y = 2x +1 X = -2 ⇒ (-2)² = 4 x= -2 ⇒ y= 2. (-2) + 1= -3

∉ Β

X = -1 ⇒ (-1)² = 1 x= -1 ⇒ y= 2. (−1) + 1 = −1

∉ Β

X = 0 ⇒ (0)² = 0 x= 0 ⇒ y= 2.0 + 1 = 1 X = 1 ⇒ (1)² = 1 x= 1⇒ y= 2. 1 + 1 = 3 X = 2 ⇒ (2)² = 4 x= 2 ⇒ y= 2. 2 + 1= 5

∉ Β

R = {(–2, 4), (–1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 4)} R= {(0,1), (1,3)}

6) Observando que o domínio é formado pelos valores de x tais que (x, y)

∈

R e a imagem pelos valores y, tais que (x, y)

∈

R, temos:

a) D(R) = {–2, –1, 0, 1, 2} e Im(R) = {0, 1, 4} b) D(R) = {0, 1} e Im(R) = {1, 3}

26

7)

R = {(0, 2), (0, 3), (1, 2), (1, 3), (2, 3)}

8) ∅

9) Só é função a relação do exercício Nº 5 – item a, pois, o item b do nº 5 não é função, pois temos elementos de A que não tem correspondente em B.

O nº 7 não é função pois temos elementos de A associados a mais de um correspondente em B.

Unidade II – 2.1 e 2.2

1) a) 2) a) f (-2) = (-2)² - 3 . (-2) + 4 = = 4 + 6 + = 14 b) f = + +1 4 9 1 4 46 5 9 1_{+ =} c) f

( ) ( )

_{3 = 3}2_{−3. 3+4}= = 3 - 3 3+ 4 = 7−3 3 3) 4 3 5 3 2x− ₌− _{⇒ 8x – 12 = -15 ⇒ 8x = -15 + 12 ⇒ 8x = - 3 ⇒} 8 3 − = x 4)f(0)=−1, f(−1)=0 e f(1)=3 ⇒ f(0)+ f(−1)+ f(1)=−1+0+3=2 5)a) D = {1, 2, 3, ..., n} b) Na 3ª tentativa, n = 3 ⇒ t(3) = 3 + 3 12 ⇒ t(3) = 3 + 4 = 7 minutos. c) n = ? 3 + n 12 = 4 ⇒ 3n + 12 = 4n ⇒ n = 12,

Logo, 12ª na tentativa o rato gastou 4 minutos.

27

      + − ; 3 2 ou

6) a) Às 10 horas, se passaram 2 horas, logo p(2) = 8. b) Às 11 horas, se passaram 3 horas, logo p(3) = 15. c) Entre 10 e 11 horas, 15 – 8 = 7 pares.

7)

Unidade II – 2.3 a 2.6

1) a) Im={ -4} b) Im = R c)Im = R’ d) Im = R e) Im = R

Y

x

x

y

2x + 2y = 36 como: A_x = x . y x + y = 18 temos: A x= x. (18 – x) logo: y = 18 – x A x = 18x – x² x x x f( )=− 2+18

{

}

{

}

{

}

      − > ∈ = − > ⇒ > + ≤ ∈ = ≤ ⇒ ≥ + = = ± ≠ ∈ = ≠ ∈ = 3 2 x / R x D : logo 3 2 x 0 2 3x f) 4 x / R x D 4 x 0 12 3x temos negativo, número de par índice com raiz existe não Reais, nos Como, e) R D d) R D c) 5 x / R x D b) 1 x / R x D temos nulo, ser pode não r denominado o Como a) 8) ou (- ; 4]       + − ; 3 2 ou ou R – {-5,5} ou R – {1}

28

2) Como o coeficiente angular é igual a 1, o ângulo é de 45°, pois tg 45° = 1.

3) Analiticamente, temos: 1 x 5 x 5 4 x 2 9 x 3 3 4 x 3 2 3 x 3 4 x 3 2 y e 3 x y Se = + =− + ⇒ + =− + ⇒ + =− + ⇒ =− ⇒ =− 2 3 1 3 e 1

Sex=− y=x+ ⇒ y=− + ⇒ y= O ponto de intersecção das duas funções é (–1, 2). Graficamente, temos: 4)f(x)=(3K−6)x+5 é crescente se a>0. Logo, 3K−6>0 ⇒ K>2,

( )

( )

. 1 3 : Logo 3 2 1 2 2 1 . 2 , 1 1 1 0 . 1 , 0 ; 5) + − = − = ⇒ − = + ⇒ − = + ⇒ − = + ⇒ − = ⇒ = + ⇒ + = x y a a b a b a b b a b ax y

6)Seformaumângulode45°comoeixodasabscissas,ocoeficienteangular éigualatg45°=1.

Então:y=x+b. Como o ponto (–3,1) pertence a função, temos:

1

Unidade II – 2.7

1) a) b)

c) d)

29

2) a) Como a < 0, concavidade voltada para baixo.

b) Os pontos de intersecção com o eixo das abscissas (eixo x) são aqueles pontos onde a ordenada é zero ( y = 0). Então, temos: - x² + 8x + 9 = 0 ou x² - 8x- 9 = 0 a = 1 b = -8 c = -9 Temos: x = a b 2 ∆ ± − Logo: x= 2 10 8± Pontos: (9, 0) e (–1, 0)

c) O ponto de intersecção com o eixo das ordenadas (eixo y) é o ponto onde a abscissas é zero (x = 0). Então, temos:

f (0) = 0² + 8 . 0 + 9 = 9 ⇒ (0, 9)

d) As coordenadas do vértice são dadas por _

   − −∆ a a b 4 , 2 , logo: x_v= 4 2 8₌ e y_v = 25 4 100₌₋ − ; ⇒ V(4, - 25) e) f)Im=

{

y∈R/y≤25

}

g)x<4 ∆= b² - 4 a c ∆ = (-8)² - 4.1.(-9) ∆ = 64 + 36 ∆ = 100 x’ = 9 2 18 2 10 8+ _{= =} x’’ = 1 2 2 2 10 8 − = − = −

30

Referências Bibliográficas

IEZZI, Gelson e outros.Coleção Fundamentos da Matemática Elementar. São Paulo: Editora Atual, 1985. Volumes 1, 2 e 3.

LIMA, Elon Lages e outros. A Matemática do Ensino Médio. Rio de Janeiro: SBM, 1996. Volume 1. BOULOS, Paulo. Pré-Cálculo. São Paulo: MAKRON Books, 1999.

GIOVANNI, José Ruy e BONJORNO, José Roberto. Matemática 1: conjuntos, funções, progressões. São Paulo: FTD, 1992.

_______. Matemática 2: trigonometria, matrizes, análise combinatória, geometria. São Paulo: FTD, 1992. MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO E DO DESPORTO. Parâmetros Curriculares nacionais – Matemática, 1998.