Abstract— A simple and efficient method for the solution of open-boundary axisymmetric electric and magnetic field problems is presented. Firstly, the classical Kelvin transformation approach is reviewed. The proposed axisymmetric approach uses the conventional Kelvin transformation coupled with a calculation procedure to alter the value of the parameters that represent the material properties of the exterior region. This technique is analyzed computationally with a force calculation problem and two numerical models are employed. In the first model, the exterior problem is modeled using the axisymmetric Kelvin transformation approach, and the forces are calculated using the weighted Maxwell stress tensor method. In the second model, asymptotic boundary conditions are used to terminate the solution region, and the forces are calculated using the Lorentz formula. Numerical results produced by the two models show an excellent correlation.
Keywords— Electromagnetic fields, finite element methods, magnetic forces
I. INTRODUÇÃO
AVALIAÇÃO do comportamento das variáveis eletromagnéticas na região que envolve um dado equipamento elétrico é um problema de grande importância para a ciência e engenharia. Problemas que representam campos elétricos e magnéticos que se estendem além dos limites geométricos de um dispositivo ou equipamento elétrico aparecem em muitas aplicações da engenharia. Trata-se dos problemas definidos em domínios abertos e conhecidos também como problemas exteriores.
Da frequência zero até as frequências de rádio, os problemas exteriores podem ser empregados na solução de casos particulares das equações de Maxwell [1]. É o caso, por exemplo, do uso da equação de Laplace para descrever o comportamento de dispositivos estáticos, ou que operam em baixas frequências. A equação transitória de difusão é empregada na análise de correntes induzidas em meios condutivos, um problema típico de dispositivos que operam em médias frequências. A equação transitória da onda, por sua vez, é empregada para descrever o comportamento dos dispositivos que operam na faixa de frequências de rádio. A
Este trabalho é parte do Projeto DAPE 2926/2008/UDESC.
A. F. L. Nogueira, Universidade do Estado de Santa Catarina (UDESC), Joinville, Santa Catarina, Brasil, antonioflavio@ieee.org
R. M. Le Boudec, Whirlpool Latin America, Joinville, Brasil, rafael_l_boudec@whirlpool.com
lista dos problemas exteriores mais conhecidos inclui o estudo de linhas de fita, cadeias de isoladores em torres de transmissão e sistemas não blindados de campos criados por supercondutores. Um dos problemas exteriores mais populares consiste na determinação do efeito resultante dos campos criados por um conjunto de condutores percorridos por correntes elétricas em um outro objeto com propriedades condutivas e situado a uma dada distância das fontes de campo.
Dentre os métodos de análise numérica empregados na solução das equações de campos elétricos e magnéticos, o método dos elementos finitos é, hoje em dia, o mais conhecido. Como o método dos elementos finitos produz uma solução em um domínio fechado e finito, técnicas especiais devem ser usadas no estudo de problemas que representam campos eletromagnéticos que não são confinados em um domínio finito. Para tal, deve-se estabelecer uma fronteira exterior, também fechada, e situada a uma distância finita do dispositivo em estudo. Essa fronteira exterior permite simular um problema que, de fato, possui uma distribuição de potenciais e campos em um domínio aberto [2].
Em muitas aplicações do eletromagnetismo, a região externa é modelada com o objetivo de aumentar a precisão numérica do cálculo das variáveis eletromagnéticas na própria região interna, ocupada pelo dispositivo em estudo. Já para um outro grupo de aplicações, que incluem os estudos de blindagem e interferência eletromagnética, a estimativa precisa das variáveis eletromagnéticas em posições distantes do dispositivo é mais importante que a avaliação precisa da distribuição dessas variáveis na região ocupada por aquele dispositivo. Tem sido uma prática comum utilizar métodos diferenciais, como o método dos elementos finitos ou diferenças finitas, para a solução da primeira classe de problemas, enquanto a segunda classe de problemas tem sido analisada através de métodos integrais.
A vantagem dos métodos integrais é que o valor do potencial ou campo em um determinado ponto é influenciado somente pelos valores dessas variáveis em pontos que representam as fontes de campo. Isso permite determinar o valor do potencial ou campo em posições distantes sem que seja necessário o cálculo de seus valores em posições intermediárias. A desvantagem dos métodos integrais é que as equações matriciais são densas, o que faz aumentar os requisitos de memória computacional e o tempo de processamento da solução numérica. Existem ainda os
A. F. L. Nogueira, Membro do IEEE, and R. M. Le Boudec
An Axisymmetric Version of the Kelvin
Transformation for the Analysis of Open-
Boundary Electric and Magnetic Fields
métodos híbridos, que acoplam o método dos elementos finitos a um método analítico ou a um determinado método integral, como o método de equações integrais de fronteira ou mesmo o método das correntes multifilamentares [3]. Os métodos híbridos procuram combinar as vantagens dos métodos diferenciais e integrais; o método diferencial contribui com a manutenção de certo grau de esparsidade da equação matricial e fornece as informações relativas à distribuição dos campos nas regiões de interesse, enquanto que o método integral evita a discretização de regiões de pouco interesse, à custa de uma redução no grau de esparsidade. As primeiras abordagens híbridas para a solução de problemas estáticos foram apresentadas por Silvester e Hsieh [4] e combinavam os métodos das equações integrais de fronteiras com elementos finitos. Diferentemente do que ocorre na análise de problemas estáticos descritos pela equação de Laplace, o acoplamento entre um método integral e um método diferencial ou analítico é bastante complicado quando se trata de problemas dinâmicos. As dificuldades do acoplamento entre métodos integrais e diferenciais na solução de problemas dinâmicos foram identificadas e parcialmente contornadas, já na década de 1970, por Berkhoff [5] e Karaiosifidis [6] no estudo de propagação de ondas aquáticas.
Os métodos baseados em transformações espaciais permitem modelar o espaço exterior utilizando somente um método diferencial e, ao contrário dos métodos híbridos, não apresentam as dificuldades inerentes ao processo de acoplamento entre métodos diferenciais e integrais. A transformação de Kelvin é uma transformação espacial que converte um domínio de dimensões infinitas em um domínio fechado e finito. A transformação de Kelvin de um círculo pode ser aplicada com facilidade na análise de estruturas bidimensionais com simetria translacional. No entanto, a técnica não pode ser empregada de forma direta quando se trata de problemas axissimétricos e tridimensionais. Essa limitação da técnica começou a ser superada quando Wong e Ciric [7]−[8] identificaram os passos necessários para o desenvolvimento de uma formulação mais abrangente e aplicável a essas classes de problemas. Uma das principais vantagens das transformações espaciais é que sua implementação independe do conhecimento prévio da forma de decaimento do campo na região exterior.
O problema exterior escolhido para testar o desempenho da técnica que combina a transformação de Kelvin com o método dos elementos finitos é descrito no tutorial de Meeker [9]. O problema consiste no cálculo da força que atrai uma pequena bola de ferro em várias posições relativas a uma bobina solenoidal, excitada e com núcleo de ar. Um esboço da geometria do problema é mostrado na Fig. 1.
Figura 1. O campo da bobina atrai a bola de ferro; dimensões em cm
II. ATRANSFORMAÇÃO DE KELVIN
A. Formulação clássica
A técnica que combina a transformação de Kelvin com o método dos elementos finitos é mais facilmente descrita no caso de estruturas bidimensionais definidas no plano x-y, como a que aparece na Fig. 2. Para se aplicar a técnica, o plano x-y é dividido em dois domínios de análise. Na ilustração da Fig. 2(a), o primeiro domínio, Ωint, é um domínio
circular, finito e deve envolver o dispositivo que está sendo analisado; o outro, Ωext, representa todo o espaço exterior do
primeiro círculo e se estende até o infinito. Na formulação clássica do método, assume-se que o ar é único meio material presente no domínio exterior.
Na representação do problema original, definido em domínio aberto e que aparece na Fig. 2(a), a fronteira Γin é
comum aos dois domínios. A essência do método consiste em mapear o domínio exterior e infinito, Ωext, no domínio
transformado Ωtr, circular e finito, empregando-se a
transformação espacial F.
Na verdade, a transformação consiste em uma mudança no sistema de coordenadas. A análise do problema passa a ser feita a partir das duas regiões circulares que aparecem na Fig. 2(b). O domínio de estudo se torna [Ωint∪Ωtr] e as equações de
campo, aplicáveis no domínio Ωext, precisam ser adaptadas
para o domínio transformado Ωtr. As malhas de elementos
finitos que modelam as duas regiões Ωint e Ωtr não precisam
ser iguais, mas o número de pontos nodais nas fronteiras circulares Γin e Γtr tem que ser exatamente o mesmo porque os
nós situados em posições correspondentes dos dois círculos são conectados empregando-se condições de periodicidade par. Como resultado dessa condição ou restrição, os valores calculados para os potenciais elétricos ou magnéticos dos pontos nodais correspondentes das fronteiras circulares Γin e
Ωint e Ωtr são conectadas elétrica ou magneticamente, e o
problema agora está definido em um domínio fechado e finito. Um outro requisito da formulação clássica diz respeito ao comprimento dos raios dos dois domínios circulares que, no caso, devem ser iguais.
Figura 2. A técnica mapeia o exterior de um círculo no interior de outro círculo
Na ilustração da Fig. 3 aparecem dois círculos de raio a alinhados verticalmente e que delimitam as regiões circulares Ωint e Ωtr.
Figura 3. Localização do ponto-imagem P’ no domínio transformado
Na disposição mostrada na Fig. 3, a distância entre os centros dos dois círculos é igual a 2,5 vezes o raio a de um dos círculos. A transformação espacial pode ser descrita em termos das variáveis r e r’ que aparecem na ilustração. No caso, a variável r representa a distância radial entre o centro da região circular Ωint e um ponto genérico P situado em sua
porção exterior, onde r>a. A outra variável, r’, representa a distância entre o centro da região transformada Ωtr e o ponto
P’, situado no interior dessa região e conhecido como ponto-imagem. A relação geométrica entre as variáveis r e r’ é
.
,
2 'r
a
r
a
r
=
≥
(1)A transformação de Kelvin, através dessa relação, transforma a região exterior do domínio Ωint no domínio
transformado Ωtr, que é fechado e finito. De acordo com (1),
quando a distância radial r tende ao infinito, a distância radial
r’ tende a zero. Ou seja, o centro do domínio transformado Ωtr
representa o infinito do problema original, definido em domínio aberto. O centro do domínio transformado deve, pois, ser usado para se definir o valor de referência para os potenciais elétricos ou magnéticos. Para tal, é necessário especificar no centro do domínio transformado a condição V=0 para o potencial elétrico ou A=0 para o vetor potencial magnético. A especificação de um ponto de referência é uma exigência normalmente encontrada nos simuladores de campos, pois elimina os problemas relativos à unicidade da solução numérica.
III. A VERSÃO AXISSIMÉTRICA
A. O emprego de semicírculos no plano r-z
Problemas axissimétricos são, de fato, tridimensionais. São usualmente tratados como sistemas bidimensionais porque somente apresentam variações dos potenciais nas direções radial e axial. Portanto, a técnica bidimensional descrita na seção anterior pode ser facilmente modificada e aplicada na análise de estruturas axissimétricas. No que diz respeito à definição do problema em domínio aberto, a modificação consiste em envolver o dispositivo em estudo por uma região esférica, como ilustrado na Fig. 4(a).
Figura 4. A técnica mapeia o exterior de uma esfera no interior da esfera transformada
Na ilustração da Fig. 4(a), o dispositivo e o campo elétrico ou magnético no seu entorno são envolvidos pelo domínio esférico Ωint. Como sugere a ilustração da Fig. 4(b), na
passagem para o problema axissimétrico correspondente, utiliza-se um semicírculo para envolver o dispositivo em estudo. A transformação espacial Fa
,
por sua vez, mapeia odomínio exterior da região esférica do problema original no domínio transformado Ωtr que também é modelado por um
rotação de uma região delimitada por um semicírculo em torno do eixo de rotação é uma região esférica, é comum referir-se aos domínios Ωint e Ωtr como “esfera interna” e
“esfera transformada”, respectivamente. A conexão entre os domínios Ωint e Ωtr no plano r-z é feita empregando-se
condições de periodicidade que garantem o mesmo valor dos potenciais nos pontos nodais situados em posições correspondentes das fronteiras Γin e Γtr.
B. A transformação das propriedades materiais
Em sua formulação clássica, a transformação de Kelvin realiza uma transformação espacial e, a rigor, não é aplicável a problemas tridimensionais e axissimétricos. Quando se trata de problemas axissimétricos, é necessário que o mapeamento do domínio exterior, aberto, seja acompanhado de uma alteração nos valores da permeabilidade magnética e/ou permissividade elétrica em função da posição. Essa reformulação é essencial para que se possa usar equações diferenciais com o mesmo formato tanto na região interior quanto na região transformada. No caso, a equação diferencial aplicada na região interior é função da variável r, enquanto a equação diferencial aplicada na região transformada é função da variável r’. Essa reformulação foi proposta em [8] e é baseada no equacionamento apresentado a seguir.
Sejam x1, x2 e x3 as coordenadas cartesianas originais do
espaço exterior, ilimitado, e uma esfera de raio a com seu centro situado em (b1,b2,b3). As coordenadas cartesianas
transformadas x1’, x2’ e x3’ são definidas pelas seguintes
equações:
(
)
', 1,2,3 2 2 ' = x −b +b i= r a xi i i i (2) onde(
)
. 2 / 1 3 1 2 − =
= i i i b x r (3)A transformada inversa, por sua vez, é definida por
(
)
, 1,2,3 ' ' ' 2 2 = + − = x b b i r a xi i i i (4) onde(
)
. ' 2 / 1 3 1 2 ' ' − =
= i i i b x r (5)A relação geométrica entre as variáveis e r e r’ é . ' 2 r a r= (6) As transformações dos parâmetros que representam as propriedades materiais para problemas magnetostáticos e eletrostáticos são μ μ' ' r r = (7) e . ' ' ε ε r r = (8)
Na relação expressa por (7), μ denota a permeabilidade magnética a uma distância r da origem do domínio original, μ’ é a permeabilidade a uma distância r’ da origem do domínio transformado e a relação entre as distâncias r e r’ é expressa por (6). Na relação expressa por (8), ε denota a permissividade elétrica a uma distância r da origem do domínio original e ε’ é a permissividade a uma distância r’ da origem do domínio transformado.
As transformações expressas em (7) e (8) conduzem a uma variação contínua dos parâmetros na região transformada. Os parâmetros μ’ e ε’ são denominados permeabilidade fictícia e permissividade fictícia, respectivamente.
IV. PROBLEMA DE TESTE
O problema de teste é descrito em [9] e consiste no cálculo da força magnética que atrai uma pequena bola de ferro situada em diferentes posições, medidas em relação ao centro de uma bobina solenoidal, excitada e com núcleo de ar, como mostrado anteriormente na ilustração da Fig. 1. Considerando que os centros da bobina e da bola de ferro são colineares, a simetria do problema em relação a um eixo de rotação permite tratar o problema como axissimétrico e, dessa forma, obter-se uma solução verdadeiramente tridimensional. As partes principais da estrutura axissimétrica são mostradas na Fig. 5. Nessa ilustração, o domínio de estudo é delimitado pela fronteira Γ que, no caso, coincide com um semicírculo de raio 10,16 cm, com centro na origem do plano r-z. A bobina é alimentada por uma corrente cuja densidade é 10 A/mm2 na
direção azimutal. O material que constitui a bola de ferro é considerado magneticamente linear, com permeabilidade magnética relativa μr=2.500. As dimensões geométricas,
utilizando-se o centímetro como unidade de comprimento, estão resumidas na Tabela I.
Na ilustração da Fig. 5 pode-se observar a configuração onde os centros da bola de ferro e da bobina solenoidal coincidem com a origem do plano r-z. Nessa posição, o fluxo magnético que atravessa o quadrante superior do pequeno semicírculo é igual em magnitude e oposto em direção ao fluxo que cruza o quadrante inferior. Como resultado, as pressões magnéticas na interface ferro-ar dos dois quadrantes se cancelam e a força líquida que atua na bola de ferro é nula. Essa posição é o ponto de equilíbrio estável para a bola de ferro. À proporção que a bola se afasta da origem, surge uma força restauradora que se opõe ao movimento. Para o movimento na direção axial descendente, por exemplo, a força atinge a intensidade máxima quando a bola de ferro está próxima à base da bobina. Além dessa posição, ocorre um aumento do fluxo disperso que “evita” o meio magnético, e a força de atração começa a decrescer. Quando a distância entre os centros da bola de ferro e da bobina atinge 3,81 cm, o valor da força torna-se desprezível.
Figura 5. Estrutura axissimétrica
TABELA I
DADOS GEOMÉTRICOS DO PROBLEMA Bobina Centro no plano r-z (0;0) Raio interno (cm) 0,635 Raio externo (cm) 3,175 Altura (cm) 3,810 Bola de ferro
Centro no plano r-z; posição inicial (0;0)
Raio (cm) 0,397
Para simular o movimento da bola de ferro na direção descendente, foi utilizado o recurso do programa FEMM [10] que realiza rotações e/ou translações em uma determinada região do modelo numérico. Assim, o script do pré-processamento inclui uma série de comandos para: i) selecionar a pequena região semicircular que modela a bola de ferro; ii) efetuar sua translação na direção vertical, de acordo com o deslocamento posicional Δz especificado.
V. MODELOS NUMÉRICOS
Para se obter as soluções numéricas, utiliza-se o módulo axissimétrico para análise magnetostática do programa de elementos finitos FEMM [10]. As soluções são obtidas para o vetor potencial magnético A que, na análise axissimétrica, é
inteiramente dirigido na direção azimutal θ; isso permite trabalhar com a distribuição escalar A=Aθ desse campo
vetorial de uma única componente [11].
Dois modelos numéricos diferentes são empregados na análise do problema. A comparação dos resultados dos diferentes modelos tem por base o cálculo de um parâmetro global: a força magnética. Os modelos diferem nas condições de contorno utilizadas, bem como no método de cálculo da força magnética.
Para evitar que o artefato das diferentes malhas de elementos finitos influencie nos resultados numéricos, a mesma triangulação é empregada nas regiões que são comuns aos dois modelos, ou seja, seções transversais da bobina, bola
de ferro e camada de ar que se estende até a fronteira interior. O método empregado para controlar o nível de discretização da malha em cada uma das regiões consiste na especificação de um parâmetro, δ, conhecido como “tamanho da malha” (do inglês, mesh size). Esse parâmetro define o comprimento máximo permitido para as arestas dos elementos triangulares da região selecionada. No caso, o gerador de malha Triangle [12] procura preencher a região selecionada com triângulos aproximadamente equilaterais e cujos lados têm comprimentos iguais ou bem próximos do valor especificado para o parâmetro δ.
O levantamento das duas características que representam a variação da força em função da posição da bola de ferro é feito a partir de duas sequências de soluções de campo que representam o deslocamento da bola de ferro na direção vertical descendente. O intervalo de simulação do movimento é −3,81≤ z ≤0 cm.
A. Primeiro modelo
O primeiro modelo utiliza a versão axissimétrica da transformação de Kelvin para modelar o espaço exterior. As regiões que compõem o modelo numérico aparecem na ilustração da Fig. 6. Nesse modelo, as estimativas da força são obtidas de forma direta, pela integração do tensor ponderado de Maxwell no entorno da bola de ferro [13]. As partes que compõem o primeiro modelo são descritas no tutorial de Meeker [9] que, além de descrever a geometria do problema, explica como preparar os dados de entrada da rotina de cálculo denominada “região exterior” para modelar problemas exteriores axissimétricos no programa FEMM. O domínio interior Ωint é delimitado pela fronteira Γin, definida por um
semicírculo de raio 7,620 cm e cujo centro coincide com a origem do plano r-z. O volume de ar que se estende além da fronteira Γin é modelado pelo pequeno semicírculo de raio
0,635 cm e centro em (r=0; z=8,255).
Figura 6. Primeiro modelo; dimensões em centímetro
Na ilustração da Fig. 6, aparece a configuração do problema onde o centro da bola de ferro está localizado 3,81 cm abaixo do centro da bobina; nessa disposição do problema
a força restauradora já é desprezível. B. Segundo modelo
Para delimitar o domínio de análise do segundo modelo numérico, são utilizadas condições de contorno assintóticas. As estimativas da força são obtidas de forma indireta, pela fórmula de Lorentz. Ou seja, a estimativa da força é obtida pela integração numérica da distribuição da densidade de força J×B na região da bobina. A condição de contorno
assintótica é considerada uma técnica de modelamento eficiente e o nível de truncamento da solução numérica é pequeno quando comparado ao de outras técnicas de modelamento de fronteiras. Vários aspectos da técnica são analisados no artigo de revisão de Chen e Konrad [14]. A utilização dessa condição de contorno em estruturas axissimétricas requer a definição de um semicírculo de raio r que envolve completamente o dispositivo. Os elementos de maior interesse devem estar próximos ao centro desse semicírculo, que faz o papel de uma fronteira remota [15]. Nesse modelo, o domínio de análise é delimitado por uma fronteira assintótica Γ definida por um semicírculo de raio 10,16 cm e cujo centro coincide com a origem do plano r-z.
VI. RESULTADOS NUMÉRICOS
As séries numéricas que representam as estimativas da força, obtidas a partir dos dois modelos numéricos, são apresentadas na Fig. 7.
Figura 7. Variação da força em função da distância
No gráfico da Fig. 7, o eixo das abcissas representa a distância d, em centímetro, entre o centro da bola de ferro e a origem do plano r-z. A primeira série numérica é representada por triângulos e contém as estimativas da força obtidas pelo modelo que combina a transformação de Kelvin e a integração do tensor ponderado de Maxwell. Uma curva suave se ajusta aos vários pontos dessa série. A segunda série é representada por círculos e contém as estimativas da força obtidas com o modelo que combina a condição de contorno assintótica e a fórmula de Lorentz.
As características mostradas na Fig. 7 estão de acordo com
o entendimento da física-matemática do problema e mostram que: i) quando os centros da bola de ferro e da bobina solenoidal coincidem (d=0), a força é nula e isso é devido à simetria na distribuição das pressões magnéticas na região da bola de ferro; ii) quando a bola de ferro está próxima à base da bobina (d≅1,7 cm), a força atinge a intensidade máxima; iii) quando os centros da bola e bobina se distanciam 3,81 cm aproximadamente, a força tende a zero porque o fluxo magnético gerado na bobina praticamente deixa de atravessar a região ocupada pela bola de ferro.
Ambas as características reproduzem os valores previamente publicados em [9]. Um dos parâmetros de maior interesse na análise é o valor máximo da força que atua sobre a bola de ferro. Esse valor é 0,877 N para a distância d=1,683 cm, de acordo com a estimativa da primeira série. Já a estimativa da segunda série leva a uma força máxima de 0,867 N em uma posição bem próxima, onde se tem d=1,651 cm. A observação atenta do gráfico da Fig. 7 mostra que as duas características seguem trajetórias bem próximas. Tais trajetórias são, na verdade, tão próximas que se torna difícil distinguir uma da outra.
Uma investigação adicional da característica que representa a variação dessa força foi feita empregando-se um modelo que combina condições de fronteira assintóticas e o método dos potenciais médios e de desvio para o cálculo da força [16]. Os resultados apresentam uma excelente correlação com aqueles aqui expostos. A alta correlação observada entre séries numéricas obtidas empregando-se técnicas diferentes, tanto para o modelamento do problema exterior como para o cálculo da força, pode ser tomada como garantia de resultados numéricos consistentes e precisos.
AGRADECIMENTOS
Os autores expressam seus agradecimentos a David Meeker (dmeeker@ieee.org) que, em suas mensagens eletrônicas, esclareceu questões importantes sobre técnicas de mapeamento de campos eletromagnéticos. Agradecem à CAPES, pelo uso do portal de periódicos. Agradecem também ao professor Benedito Antonio Luciano (Universidade Federal de Campina Grande) por suas observações construtivas.
REFERÊNCIAS
[1] A.F. L. Nogueira, “Análise do circuito elétrico atmosférico pelo método dos elementos finitos”, Revista IEEE América Latina, vol. 7, n.° 2, pp. 223-229, junho de 2009. Disponível: http://www.ewh.ieee.org/reg/9/etrans/ieee/issues/vol7/vol7issue2June20 09/7TLA2_14LicariaoNogueira.pdf
[2] A.F.L. Nogueira, “Análise de cabos coaxiais cilíndricos usando a técnica dos elementos finitos”, Revista Brasileira de Ensino de Física, vol. 29, n.° 4, pp. 565-573, 2007. Disponível: http://www.sbfisica.org.br/rbef/pdf/061209.pdf
[3] A.N. Gómez, “Espalhamento eletromagnético: análise via método de elementos finitos acoplado ao método de correntes multifilamentares”, Dissertação de mestrado, Universidade Federal de Minas Gerais, 2000. [4] P.P. Silvester and M.S. Hsieh, “Finite element solution of two
dimensional exterior field problems”, Proc. IEE, vol. 118, pp. 1743-1747, 1971.
[5] J.C. Berkhoff, “Computation of combined refraction-diffraction”, Proc.
[6] S. Karaiosifidis, Comparison of solution methods for exterior surface wave problems, MSc Thesis, University of Wales, 1976.
[7] S.H. Wong and I.R. Ciric, “Method of conformal transformation for the finite-element solution of axisymmetric exterior-field problems”,
COMPEL, vol. 4, n.° 3, pp. 123-135, 1985.
[8] I.R. Ciric and S.H. Wong, “Inversion transformations for finite element solutions of three dimensional exterior field problems”, COMPEL, vol. 5, n.° 2, pp. 109-119, 1986.
[9] D. Meeker, “Lua scripting example: coil gun”. Available: http://femm.foster-miller.net/examples/coilgun/coilgun.htm
[10] D. Meeker, “Finite element method magnetics, version 4.2 user’s manual”, Fev. 2009. Disponível: http://femm.foster-miller.net/wiki/Documentation/
[11] D.A. Lowther and P.P. Silvester, Computer-aided design in magnetics, New York: Springer-Verlag, 1986, p. 209.
[12] J. R. Shewchuk, “Delaunay refinement algorithms for triangular mesh generation”, Computational Geometry: Theory and Applications, vol. 22, n.° 1-3, pp. 21-74, 2002. Available: http://www.cs.cmu.edu/%7Equake/triangle.html
[13] S. McFee, J.P. Webb and D.A. Lowther, “A tunable volume integration formulation for force calculation in finite-element based computational magnetostatics”, IEEE Transactions on Magnetics, vol. 24, n.° 1, pp. 439-442, 1988.
[14] Q. Chen and A. Konrad, “A review of finite element open boundary techniques for static and quasi-static electromagnetic field problems”,
IEEE Transactions on Magnetics, vol. 33, n.° 1, pp. 663-676, 1997. [15] A.F.L. Nogueira, “O uso da simulação numérica de campos
eletromagnéticos como ferramenta de ensino”, Revista Brasileira de
Ensino de Física, vol. 30, 4306, 2008. Disponível:
http://www.sbfisica.org.br/rbef/pdf/304306.pdf
[16] A.F. Licarião Nogueira, “Computation of forces using mean and difference potentials”, presented at the 17th Conference on the computation of electromagnetic fields, COMPUMAG, Florianópolis, Brazil, November 2009.
Antônio Flavio Licarião Nogueira obteve os títulos de bacharel e mestre em Engenharia Elétrica (1980 e 1986) pela Universidade Federal da Paraíba, em Campina Grande. Obteve o título de doutor pela Universidade de Wales, Cardiff (1993). É professor do Departamento de Engenharia Elétrica da Universidade do Estado de Santa Catarina. Trabalha com técnicas de simulação de campos elétricos e magnéticos. Áreas de interesse: eletromagnetismo aplicado e métodos numéricos.
Rafael Marc Le Boudec obteve o título de bacharel em Engenharia Elétrica (2008) pela Universidade do Estado de Santa Catarina, em Joinville. Durante o curso de graduação foi bolsista do Programa de Educação Tutorial (PET). Trabalha com aquisição de dados e controle de processos. Áreas de interesse: eletromagnetismo aplicado, métodos numéricos e eletrônica.
