ANÁLISE COMBINATÓRIA
CONTEÚDOS
Princípio multiplicativo
Permutações simples
Arranjos simples
Combinações simples
Permutações com elementos repetidos
AMPLIANDO SEUS CONHECIMENTOS
Princípio multiplicativo
Você já esteve em um restaurante self-service? Caso você tenha visitado esse tipo de restaurante, já sabe como ele funciona, caso não tenha ido, podemos dizer, em síntese, que nesses restaurantes o cliente se serve, ou seja, ele mesmo faz o seu prato de acordo com as opções (arroz, feijão, carnes, verduras) disponíveis.
Vamos considerar que em um restaurante, um cliente compõe o seu prato com arroz, feijão e para as verduras e as carnes, ele tenha as seguintes opções:
Verduras: brócolis, alface e couve
Carnes: filé de peixe, filé de frango, carne de porco e bife de carne bovina.
Suponha que esse cliente pode escolher um tipo de verdura e um tipo de carne, de quantas maneiras diferentes ele pode compor o seu prato?
Para pensar nessas composições, vamos criar uma árvore de possibilidades:
Nessa árvore de possibilidades, foram apresentadas todas as maneiras de um cliente compor o seu prato. Veja que para cada escolha de verdura, ele terá ainda 4 opões de carne, assim, no total, temos 12 possibilidades de composição para uma refeição.
Para conhecer o número de possibilidades de escolha fizemos o uso da Análise Combinatória, esse é um ramo da Matemática que objetiva o desenvolvimento de métodos para contar os elementos de um conjunto, sendo esse conjunto formado sob certas condições.
Além da árvore de possibilidades, para conhecer a quantidade de possibilidades de composição do prato, poderíamos fazer uso do princípio multiplicativo. Acompanhe:
De acordo com as informações dadas, há 3 opções de verdura e 4 opções de carne, pelo princípio multiplicativo, a quantidade de possibilidades de escolha pode ser realizada por meio da seguinte multiplicação:
3.4 = 12
Observe que tivemos uma situação inicial com x possibilidades de ocorrência, e, em seguida, outra situação com y possibilidades. De acordo com o princípio multiplicativo, quando um acontecimento ocorre por várias etapas sucessivas e independentes, o número total de ocorrência desse evento pode ser conhecido pelo produto x.y.
Permutações simples
Você já ouviu falar em anagrama? Caso não tenha conhecimento sobre o que significa um anagrama, saiba que ele refere-se a uma palavra que pode ser formada utilizando as letras de uma palavra dada. Por exemplo, vamos considerar a palavrar amor. Com as letras dessa palavra, podemos formar a palavra roma.
amor roma
Um anagrama pode ou não, ter sentido na linguagem usual. Fazendo essa consideração, como saber qual é o número de anagramas que podemos fazer com uma determinada palavra?
Vejamos:
Vamos considerar a palavra “meu”.
Identificaremos como A o conjunto dos elementos da palavra “meu”.
A = { m,e,u}
Quantidade de opções de verduras
Quantidade de opções de carne
Com a palavra “meu”, podemos realizar as seguintes formações:
eum emu meu mue ume uem
Observou-se que com a palavra “meu” foi possível formar 6 anagramas. Neste caso, foi possível realizar todas as formações para verificar o número de possibilidades. Porém, fazendo um simples cálculo, também é possível conhecer o número de anagramas.
Acompanhe:
Considerando que a palavra é composta por 3 letras, e que para fazer um anagrama vamos utilizar essas 3 letras sem repeti-las, temos:
1º caractere 2º caractere 3º caractere Para o primeiro
caractere 3 opões de escolha
Se uma das letras já foi utilizada, para o segundo caractere haverá 2 opções de
escolha.
Se já ocorreu a utilização de duas letras, para o terceiro
caractere haverá apenas uma opção de
escolha.
Assim, o número de anagramas pode ser calculado pelo produto: 3.2.1 = 6
Ou seja, o número de anagramas que podemos fazer com palavra “meu” é igual a 6.
O cálculo realizado para conhecer o número de anagramas é identificado como permutação simples. A permutação simples de n elementos distintos é qualquer grupo ordenado desses n elementos.
O cálculo da permutação simples é realizado da seguinte maneira: Pn= n!
“ n fatorial”
Saiba mais
Sendo n um número natural, identificamos como fatorial de n o produto de todos os números naturais de 1 até n. Para identificar o fatorial de n é utilizado o seguinte símbolo:
n!
Vejamos um exemplo:
5! = 5.4.3.2.1
Para o fatorial, temos ainda as seguintes definições: 0! = 1 e 1! = 1
Vamos trabalhar mais um exemplo do cálculo da permutação simples:
Suponha que em uma sala de aula há em uma fileira 6 carteiras e nessas carteiras irão sentar-se 6 alunos. De quantos modos esses alunos podem se organizar nessas 6 carteiras?
Para fazer esse cálculo temos:
6! = 6.5.4.3.2.1 6! = 720
Portanto, nessas carteiras, os alunos poderão se organizar de 720 maneiras distintas.
Arranjos simples
Suponha que na sua turma da escola haverá uma eleição para eleger os desenhos mais criativos da aula de Arte. Após algumas seleções, ficarão para final 3 desenhos, dos quais 2 serão escolhidos e ocuparão o 1º e o 2º. Quantas são as possibilidades de escolha para essa premiação?
Neste caso, devemos considerar que serão feitos agrupamentos com 2 dos 3 elementos disponíveis. Para que possamos entender melhor essa situação, vamos supor que os finalistas serão os seguintes alunos: Ana, Pedro e Paula.
Assim, com esses 3 alunos, poderão ser formados os seguintes grupos de premiação:
Classificação 1º lugar 2º lugar
Aluno premiado
Ana Pedro
Ana Paula
Pedro Ana
Paula Ana
Pedro Paula
Paula Pedro
Esses grupos se distinguem por terem algum aluno diferente ou por terem os mesmos alunos ocupando um lugar diferente na premiação.
Os arranjos simples são todos os agrupamentos simples de p elementos que podemos formar com n elementos distintos. Onde temos p n. Para representar um arranjo simples de n elementos tomados p a p utilizamos a notação:
A
n,pPara determinar o número de possibilidades quando estamos falando de um arranjo simples, utiliza-se a seguinte fórmula:
p)!
(n An,p n!
Vejamos como aplicar a fórmula utilizando como exemplo a premiação da aula de Arte.
Neste caso temos:
2)!
- (3 A3,2 3!
Observe que temos 3 alunos e serão premiados apenas 2.
2)!
- (3
A3,2 3!
(1)!
A3,2 3!
1 3.2.1 A3,2
1
A3,2 6 A3,26
Portanto, considerando um grupo de 3 alunos onde apenas dois serão premiados, há 6 possibilidades diferentes de realizar essa premiação. Veja que o resultado obtido é o mesmo já encontrado quando foi organizada uma tabela com as possibilidades de
premiação. Assim, quando desejamos calcular um arranjo simples, não há a necessidade da organização da tabela, a qual muitas vezes pode levar longo tempo, podemos apenas fazer uso da expressão
p)!
(n An,p n!
. Combinações simples
As combinações são muito semelhantes aos arranjos, porém elas se diferenciam dos arranjos porque cada um dos grupos formados com um número de p elementos se diferenciam apenas pela natureza de seus elementos, não sendo importante a ordem destes.
Para que possamos esclarecer melhor as combinações, vamos trabalhar um exemplo.
Suponha que em uma escola há 3 jogadores de xadrez. E, para participar dos jogos escolares do município, 2 deles serão escolhidos. Qual é o número de escolhas (grupos) que podem ser feitos com esses três jogadores.
Para que possamos entender melhor essa situação, vamos supor que os jogadores são os seguintes alunos: Davi, Maria e Pedro.
Assim, com esses 3 alunos, poderão ser formados os seguintes grupos:
Alunos que irão para os jogos
Davi Maria
Davi Pedro
Maria Pedro
Veja que, neste caso não há necessidade de uma ordenação, por isso o número de grupos é menor, em relação a uma situação que exige uma ordenação dos elementos.
As combinações simples são todos os agrupamentos simples de p elementos que podemos formar com n elementos distintos. Onde temos p n. Como já mencionado, esses agrupamentos se diferenciam um do outro apenas pela natureza de seus elementos. Para representar uma combinação simples de n elementos, tomados p a p utilizamos a notação:
C
n,pPara determinar o número de possibilidades quando estamos falando de uma combinação simples, utiliza-se a seguinte fórmula:
p)!
(n p!
Cn,p n!
Vejamos como aplicar a fórmula utilizando o caso da escolha dos jogadores.
2)!
- (3 2!
C3,2 3!
(1)!
2!
C3,2 3!
2!1 C3,2 3!
2.1.1 3.2.1 C3,2
2.1.1 3.2.1
C3,2 ( quando possível realizamos a simplificação)
1 3 C3,23
Portanto, considerando um grupo de 3 alunos onde 2 serão escolhidos para participar dos jogos, há 3 possibilidades de escolhas diferentes.
Permutações com elementos repetidos
Assim como realizado nas demais situações (permutações simples, arranjos simples e combinações simples), vamos discutir uma determinada situação para que possamos compreender as permutações com elementos repetidos.
Vamos pensar na palavra ALA, quantos anagramas podem ser realizados com essa palavra?
Devemos observar que neste caso específico, na palavra, a letra A se repete 2 vezes.
Para fazer uma distinção, inicialmente vamos identificá-las como A1 e A2 .
Logo, temos: A1LA2
Vamos organizar as possibilidades de anagramas em uma tabela.
A1LA2
A2LA1
L A1 A2
L A2 A1
A1 A2L A2 A1L
Observe que das 6 formas apresentadas na tabela, apenas 3 delas são diferentes, quando consideramos apenas a letra A, sem classificação A1 e A2. Neste momento, optamos por fazer essa classificação apenas para que possamos perceber que quando há uma repetição de letras, temos um número menor de possibilidades em relação a uma palavra que tenha a mesma quantidade de letras, porém sem repetições.
Desta forma, considerando a palavra ALA, as únicas possibilidades de anagramas são:
ALA LAA AAL
Assim, temos:
2!
3!
Acompanhe o cálculo:
2!
3!
2.1 3.2.1
= 3
O cálculo desse anagrama pode ser indicado da seguinte forma:
P23 = 2!
3!
possibilidades iguais
possibilidades iguais
possibilidades iguais
3! porque a palavra é composta por 3 letras, dividido por 2! porque a letra A se repete duas vezes.
Vejamos mais um exemplo:
Vamos usar a palavra BANANA
P(3,2,1)6 = 3!2!1!
6!
Neste caso, é preciso considerar que a letra A se repete três vezes, a letra N duas vezes e a letra B apenas 1 vez. Por isso é realizada a divisão por 3!, 2! e 1!.
P(3,2,1)6 = 3!2!1!
6! P(3,2,1)6 =
3!2!1!
6.5.4.3! P(3,2,1)6 = 2!1!
6.5.4
P(3,2,1)6 = 2 120= 60
Assim, se temos n elementos para permutar, e considerando que 1 deles se repete p vezes e um outro q vezes, o número de permutações desses elementos será cálculo por:
P(p,n q)= q!
p!
n!
Vejamos a aplicação das permutações com elementos repetidos.
Em um torneio de vôlei uma equipe jogou 8 partidas. Nessas partidas, a equipe teve 1 empate, 4 vitórias e 3 derrotas. De quantas maneiras distintas esses resultados podem ter ocorrido?
P(4,3,1)8 = 4!3!1!
8! P(4,3,1)8 =
4!3!1!
8.7.6.5.4!
P(4,3,1)8 = 3!1!
8.7.6.5
P(4,3,1)8 = 6
1.680 280
ATIVIDADES
1. Para formar sua senha bancária,Lúcia poderá deverá escolher somente algarismos de 0 à 9. A senha será composta por 4 dígitos e os números não podem ser repetidos. Por exemplo, se ela utilizou o número 1 para o primeiro dígito, esse número não poderá ser utilizado novamente. Com essas considerações, quantas são as possibilidades de formação da senha de Lúcia?
2. Os funcionários de uma empresa resolveram fazer uma comissão composta por 3 pessoas que irão negociar com a diretoria da empresa os acertos referentes aos pagamentos que estão em atraso. Para formar essa comissão, dos 100 funcionários da empresa, 10 decidiram se candidatar, pois a comissão será eleita por votação. Realizando a votação, de quantas maneiras distintas essa comissão poderá ser formada?
3. (ENEM – 2014) Um cliente de uma videolocadora tem o hábito de alugar dois filmes por vez. Quando os devolve, sempre pega outros dois filmes e assim sucessivamente. Ele soube que a videolocadora recebeu alguns lançamentos, sendo 8 filmes de ação, 5 de comédia e 3 de drama, e por isso, estabeleceu uma estratégia para ver todos esses 16 lançamentos. Inicialmente alugará, em cada vez, um filme de ação e um de comédia.
Quando se esgotarem as possibilidades de comédia, o cliente alugará um filme de ação e um de drama, até que todos os lançamentos sejam vistos e sem que nenhum filme seja repetido.
De quantas maneiras distintas a estratégia desse cliente poderá ser posta em prática?
a) 20 x 8! + (3!)² b) 8! x 5! x 3!
c) 8
2 3!
x 5!
x 8!
d) 2² 3!
x 5!
x 8!
e) 28
16!
4. (ENEM – 2013) Um banco solicitou aos seus clientes a criação de uma senha pessoal de seis dígitos, formada somente por algarismos de 0 a 9, para acesso à conta corrente pela internet.
Entretanto, um especialista em sistemas de segurança eletrônica recomendou à direção do banco recadastrar seus usuários, solicitando, para cada um deles, a criação de uma nova senha com seis dígitos, permitindo agora o uso das 26 letras do alfabeto, além dos algarismos de 0 a 9. Nesse novo sistema, cada letra maiúscula era considerada distinta de sua versão minúscula. Além disso, era proibido o uso de outros tipos de caracteres.
Uma forma de avaliar uma alteração no sistema de senhas é a verificação do coeficiente de melhora, que é a razão do novo número de possibilidades de senhas em relação ao antigo.
O coeficiente de melhora da alteração recomendada é:
a) 6 6
10
62 b)
! 10
!
62 c)
! 56
! . 4
! 10
!
62 d) 62! – 10! e) 626 - 106
5. (ENEM - 2009) Doze times se inscreveram em um torneio de futebol amador. O jogo de abertura do torneio foi escolhido da seguinte forma: primeiro foram sorteados 4 times para compor o Grupo A. Em seguida, entre os times do Grupo A, foram sorteados 2 times para realizar o jogo de abertura do torneio, sendo que o primeiro deles jogaria em seu próprio campo, e o segundo seria o time visitante.
A quantidade total de escolhas possíveis para o Grupo A e a quantidade total de escolhas dos times do jogo de abertura podem ser calculadas através de
a) uma combinação e um arranjo, respectivamente.
b) um arranjo e uma combinação, respectivamente.
c) um arranjo e uma permutação, respectivamente.
d) duas combinações.
e) dois arranjos.
6. (ENEM – 2016) Para cadastrar-se em um site, uma pessoa precisa escolhe uma senha composta por quatro caracteres, sendo dois algarismos e duas letras (maiúsculas ou minúsculas). A letras e os algarismos podem estar em qualquer posição. Essa pessoa sabe que o alfabeto é composto por vinte e seis letras e que uma letra maiúscula difere da minúscula em uma senha.
Disponível em: www.infowester.com.Acesso em: 14 dez. 2012.
O número total de senhas possíveis para o cadastramento nesse site é dado por
a) 10². 26² b) 10² . 52² c) 10² . 52² . 2!
4!
d) 10² . 26² . 2!2!
4! e) 10² . 52² . 2!2!
4!
7. Uma determinada fase de uma competição de natação foi disputada por 8 atletas.
Nessa fase apenas 6 deles serão classificados, para a próxima etapa da competição.
Assim, de quantas maneiras distintas esses atletas podem ser classificados?
INDICAÇÕES
Para conhecer um pouco mais sobre Análise Combinatória, consulte os links indicados a seguir.
Vídeo - Arranjo e Combinação
Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=TE-QGzBM5I0
Web aula - Arranjos e Combinações
http://www.eja.educacao.org.br/bibliotecadigital/matematica/webaulas/Lists/Webaula/Disp Form.aspx?ID=7&Source=http%3A%2F%2Fwww%2Eeja%2Eeducacao%2Eorg%2Ebr%2 Fbibliotecadigital%2Fmatematica%2Fwebaulas%2FPaginas%2FWebaulas%5FEM%2Eas px
REFERÊNCIAS
FUVEST. 1ª fase – Vestibular 2010. Disponível em:<
http://www.fuvest.br/vest2010/1fase/p1f2010v.pdf>. Acesso em: 29 nov. 2016. 15h.
GIOVANNI, José Ruy. BONJORNO, José Roberto. Matemática Completa Ensino Médio 2ª série. V. 2. 2ª ed. São Paulo: FTD, 2005. p. 142 - 165
INEP. ENEM – 2009 – Prova Azul. Disponível em:
<http://download.inep.gov.br/educacao_basica/enem/downloads/2009/dia2_caderno7.pdf>
. Acesso em: 29 nov. 2016. 10h.
INEP. ENEM – 2013 – Prova Amarela. Disponível em:
http://download.inep.gov.br/educacao_basica/enem/provas/2013/caderno_enem2013_do m_amarelo.pdf>. Acesso em: 20 out. 2016. 16h.
INEP. ENEM – 2014 – Prova Amarela. Disponível
em:<http://download.inep.gov.br/educacao_basica/enem/provas/2014/CAD_ENEM_2014_
DIA_2_05_AMARELO.pdf>. Acesso em: 29 nov. 2016. 11h.
INFOENEM. ENEM – 2016 - Prova Amarela. Disponível em:<
https://www.infoenem.com.br/wp-
content/uploads/2011/10/CAD_ENEM_2016_DIA_2_05_AMARELO.pdf>. Acesso em: 28 nov. 2016. 15h.
SILVA, Claudio Xavier. Filho, Benigno Barreto. Matemática: Aula por Aula. 2ª série. 2ª ed. p. 241 – 261. São Paulo: FTD, 2005.
GABARITO
1. Se a senha é composta por algarismo de 0 à 9 e essa senha terá 4 dígitos, temos:
1º dígito 2º dígito 3º dígito 4º dígito
10 possibilidades de escolha
9 possibilidades de escolha
8 possibilidades de escolha
7 possibilidades de escolha
10.9.8.7 = 5.040
Temos portanto 5.040 possiblidades para formação dessa senha.
2. Para resolver a situação colocada, a primeira observação que devemos fazer está relacionada a escolha do cálculo por meio do arranjo simples ou por meio da combinação
simples. É possível verificar se a situação envolve arranjo ou combinação, ao analisar se há uma ordenação entre os elementos dessa comissão, desta forma, verificando que não há uma ordenação devemos utilizar a combinação simples.
Assim, temos:
p)!
(n p!
Cn,p n!
3)!
- (10 3!
C10,3 10!
(7)!
3!
.5.4.3!
10.9.8.7.6 C10,3
7!
.5.4 10.9.8.7.6
C10,3 120
5.040 604.800
C10,3
Portanto, haverá 120 possibilidades para a formação dessa comissão.
3. Alternativa B.
Para alugar os filmes, o cliente tem as seguintes possibilidades:
Para alugar os filmes de ação o cliente terá na primeira locação 8 possibilidades distintas, na segunda 7 possibilidades distintas, na terceira 6 possibilidades distintas e assim sucessivamente. Portanto, para os filmes de ação temos P8= 8!
Para alugar os filmes de comédia o cliente terá na primeira locação 5 possibilidades distintas, na segunda 4 possibilidades distintas, na terceira 3 possibilidades distintas e assim sucessivamente. Portanto, para os filmes de comédia temos P5= 5!
Para alugar os filmes de drama o cliente terá na primeira locação 3 possibilidades distintas, na segunda 2 possibilidades distintas e na terceira apenas 1 possibilidade.
Portanto, para os filmes de drama temos P3= 3!
Para conhecer as possibilidades para todos os filmes, basta multiplicar as possibilidades apresentadas para cada um.
Logo, temos: 8! x 5! x 3!
4. Alternativa A.
A primeira solicitação feita pelo banco, é de uma senha de 6 dígitos formada por algarismos de 0 a 9. Como não é informada se nessa senha poderá ou não, haver a repetição de algarismos, devemos considerar que pode-se repetir, assim, temos:
1º dígito 2º dígito 3º dígito 4º dígito 5º dígito 6º dígito
10 possibilidades de escolha
10 possibilidades de escolha
10 possibilidades de escolha
10 possibilidades de escolha
10 possibilidades de escolha
10 possibilidades de escolha
Neste caso, foram consideras 10 possibilidades de escolha porque temos os algarismos de 0 a 9.
Para essa senha o número de possibilidades é 106
Após o recadastramento, a senha também será composta por 6 dígitos. Novamente, devemos considerar que poderá haver repetições, já que o contrário não é mencionado.
Assim, temos:
1º dígito 2º dígito 3º dígito 4º dígito 5º dígito 6º dígito
62 possibilidades de escolha
62 possibilidades de escolha
62 possibilidades de escolha
62 possibilidades de escolha
62 possibilidades de escolha
62 possibilidades de escolha
Neste caso, foram consideras 62 possibilidades de escolha porque temos os algarismos de 0 a 9 somados as 52 letras, considerando que para a senha maiúsculas e minúsculas se diferem.
Para essa senha o número de possibilidades é 626
Assim temos como coeficiente de melhora a razão
6 6
10 62 .
5.Alternativa A.
Se havia doze times e foram sorteados 4 para compor o grupo A, neste sorteio, observa- se que para compor o grupo não existe a necessidade de ordenação dos elementos, logo, temos uma combinação simples. Já no sorteio para realização do jogo de abertura, a ordenação será importante porque ela definirá o local do jogo. Portanto, nesse segundo sorteio a ordenação será considerada, assim temos um arranjo simples.
6. Alternativa E.
Para saber qual é o número total de senhas para o cadastro, devemos considerar que temos 10 possibilidades de escolhas para os algarismos e 52 possibilidades para as letras (considerando que o alfabeto é composto por 26 letras e nesse caso devemos considerar que maiúsculas diferem de minúsculas.
Assim, temos:
1º dígito 2º dígito 3º dígito 4º dígito
Considerando um algarismo, temos 10 possibilidades
Considerando um algarismo, temos 10 possibilidades
Considerando uma letra, temos 52 possibilidades
Considerando uma letra, temos 52 possibilidades Temos então 10².52²
Porém é preciso considerar que nessa permutação poderá haver repetições de letras e de algarismos. Desta forma, devemos interpretar a situação como uma permutação com repetição. Onde permutamos 4 elementos, 2 a 2.
Essa permutação com repetição será descrita da seguinte forma.
P(2,2)4 = 2!2!
4!
Assim, temos: 10².52².
2!2!
4!
7. Para saber as distintas classificações que podem ocorrer, devemos observar que neste caso a ordem é um fato importante, portanto vamos aplicar o arranjo simples.
p)!
(n An,p n!
6)!
- (8 A8,6 8!
2!
3.2!
8.7.6.5.4.
A8,6
2!
3.2!
8.7.6.5.4.
A8,6
3 8.7.6.5.4.
A8,6 A8,6 20.160
Os atletas poderão ser classificados de 20.160 maneiras distintas.
