Mecânica. Sistemas de Partículas

Sistemas de Partículas

Mecânica

Introdução

A dinâmica newtoniana estudada até aqui foi utilizada no entendimento e nas previsões do movimento de objetos puntiformes. Objetos idealizados, portanto. Por essa razão, às vezes nos referimos a essa parte da mecânica como a que é dedicada à dinâmica do ponto. Como sabemos, os objetos que se movem no nosso Universo se encontram em constante interação com os demais.

Dessa forma, o interesse maior na mecânica é o estudo de um sistema de partículas. Um sistema pode ter um número indefinido de partículas. Para tais sistemas, fazemos uso do conceito de distri- buição contínua de massa. Esse caso é de interesse no caso de um corpo rígido.

Neste capítulo, vamos analisar as leis gerais do movimento de um sistema de N partículas. Esse número N pode ser relativamente pequeno, como 2 ou 3, até um número muito grande. Faremos uma análise bastante geral. Isso é caracterizado pelo fato de que não especificaremos o número de partículas que compõem o sistema. O caso de uma

Para um sistema constituído de um número N de partículas, o estado clássico desse sistema é caracterizado pelos N pares constituídos, cada par pela velocidade, e a posição de cada um dos constituintes:

( 1 )

Assim, o problema clássico que envolve a evolução do estado de um sistema de particulas é o de determinar o estado do sistema no instante de tempo t, uma vez conhecido o estado do sistema no instante de tempo inicial

( 2 )

As equações de Newton para um sistema de partículas são, basicamente, as equações de cada uma das partículas. Temos, portanto, para um sistema discreto, equações de segunda ordem no tempo. Essas equações determinam a evolução, no tempo, do estado do sistema.

       

r p

₁, ₁ , ,

r p

_{2 2} ,.... ,

r p

_{i i} ,... ,

r p

_{N N}

[ ] [ ] [ ] [ ] )

       

r p

₀₁, ₀₁ ,

r p

₀₂, ₀₂ ,.... ,

r p

_{0i 0i} ,...

r p

_0N, _0N

[ ] [ ] [ ] [ ] )

As Equações de Evolução do Sistema

Consideremos um sistema composto por N partículas. A posição da i-ésima partícula será representada pelo vetor

r 

_i. Imaginemos que sobre ela atuem dois tipos de forças: forças internas e forças externas.

1. Forças internas. Estas forças são aquelas resultantes da interação entre as partículas perten- centes ao sistema (isto é, as devidas às demais partículas do sistema).

As forças internas, que agem sobre a i-ésima partícula, representadas por



F

_int^{( )i}, podem ser escritas como uma soma:

( 3 )

onde



F

_ij é a força exercida pela j-ésima partícula sobre a i-ésima partícula. Sabemos ademais, pela terceira lei de Newton da ação e reação, que:

( 4 ) Figura 01: Sistemas simples e complexos de partículas.

Figura 02

 

F

ⁱ

F

j i N int( )

=

ij

∑

≠ = 1

 

F

_ij

= − F

_ji

2. Forças externas. Estas forças são aquelas que resultam da interação entre as partículas pertencentes ao sistema com objetos que não pertencem a esse sistema. Não se especifica que objetos são esses; dizemos apenas que cada partícula está, eventualmente, sujeita a tais forças.

Podemos assim escrever que a força sobre a i-ésima partícula é dada como uma soma que envolve, de um lado, as forças internas e, de outro, as forças externas

( 5 )

Utilizando agora a segunda lei de Newton, podemos escrever, para cada uma das partículas, as quais designamos por 1, 2, 3, ..., N

( 6 )

Estas são as equações básicas, as equações a partir das quais podemos determinar as posições e os momentos lineares das partículas. As soluções das equações acima correspondem, portanto, à solução do problema clássico da evolução do sistema.

Conservação do momento linear

Se adicionarmos as equações (000), verificaremos que os termos das forças internas na somatória se anulam. Isto decorre de (000). Portanto, podemos escrever para a soma

( 7 )

  

F

^{( )i}

= F

_ext^{( )i}

+ F

_int^{( )i}

dp

dt F F F F

dp

dt F F F

N

    

   

1 1 12 13 1

2 2 21 23

= + + + ⋅⋅⋅ +

= + + + ⋅⋅

ext

ext

⋅⋅ +

= + + + ⋅⋅⋅ +

⋅

⋅

⋅

= +



    

  

F dp

dt F F F F

dp

dt F F

N

N

N N

2

3 3ext 31 32 3

ext NN₁

+ F 

N₂

+ F 

N₃

⋅⋅⋅ + F 

NN₋₁

dp

dt

ⁱ

F

i N

i i



N



= =

∑ ⁼ ∑

1 1

ext

Definindo o momento linear total do sistema como a soma dos momentos de cada uma das partículas

( 8 )

Podemos, portanto, escrever

( 9 )

ou seja, a taxa pela qual o momento linear total do sistema varia com o tempo é igual à soma das forças externas.

Um resultado muito importante que decorre de (000) é o de que, na ausência de forças externas ou se o resultado for nulo,

( 10 )

Então de (000) verifica-se que o momento linear se conserva

( 11 )

e, consequentemente, escrevemos a conservação do momento linear total como

( 12 )

onde



P₀ é um vetor constante.

Este resultado vale independentemente da natureza das forças internas. É uma consequência direta das leis de Newton.

O Centro de Massa

A despeito de ser muito difícil, em geral, determinar a posição e a velocidade de qualquer uma das partículas do sistema [tendo em vista a dificuldade de encontrarmos a solução exata para o sistema de equações (000)], existe um ponto no sistema de partículas cujo movimento em um bom

 

P p

_i

i

≡

N

∑

= 1

dP

dt F

_i

i



N



=

∑

= ^ext 1

F 

_i

i

N ext

∑

=

⁼

1

0

dP dt



=0

P P

 

= ₀

número de casos é previsível. Esse ponto é o centro de massa. O centro de massa é definido pelas suas coordenadas R_x, R_y, e R_z dadas pelas expressões:

( 13 )

onde m de M é a massa total do sistema de partículas

( 14 )

Podemos assim escrever, vetorialmente, que o vetor de posição do centro de massa (



R) é dado por:

( 15 )

No caso de um sistema composto por um número muito grande de partículas é preferível tratá-lo como uma distribuição contínua de partículas e não discreta. Nesse caso, um dos conceitos mais relevantes é a densidade. A densidade de massa é definida como a relação entre a quantidade de massa dm contida num elemento infinitesimal de volume dV. Definimos, portanto,

( 16 )

onde r



é o vetor posição do elemento de volume dV.

Dada a densidade volumétrica de massa, podemos calcular a massa total através da integral de volume da densidade

( 17 )

R M m x

M m x m x m x m x R M m y

M m y

x i i

i N

N N

y i i

i N

= = ( + + + )

= =

−

−

∑

∑

1 1

1 1

1 1 1 2 2 3 3

1 1 11 2 2

1 1 1 2 2

1 1

+ + ⋅⋅⋅ +

( )

= = ( + + ⋅⋅⋅ + )

∑

−

m y m y R M m z

M m z m z m z

N N

z i i

i N

N N

M m m m m

_i

m

_N

i

=

N

= + + + ⋅⋅⋅ +

∑

− 1 2 3 1

 

R = M

¹

∑ m r

_{i i}

Figura 03

ρ

( )



( )

 r dm r

= dV

M = ∫∫∫ ^ρ

^{( )}

r dV ^

Para uma distribuição contínua de massa, o centro de massa é dado por:

( 18 )

Movimento do Centro de Massa

O movimento do centro de massa é bastante simples. Para entendermos isso notamos primei- ramente que

( 19 )

e, portanto, a taxa de variação do vetor posição do centro de massa vezes a massa total é igual ao movimento linear total

( 20 )

Consequentemente, de (000) e (000) resulta que:

( 21 )

Assim, o centro de massa é tal que ele se movimenta como se todas as forças externas estivessem atuando sobre ele. Não é assim muito difícil determinar a posição do centro de massa de um sistema de partículas.

No caso em que as forças externas se anulam ou são nulas, temos

( 22 )

e, portanto, o centro de massa tem um movimento retilíneo e uniforme, independentemente das forças internas.

Figura 4: A determinação da posição do centro de massa é importante para efeito do equilíbrio dos corpos rígidos.

  

R = M

¹

∫∫∫ r r dV ^ρ

^{( )}

mV p M dR

i i i

dt

  

∑ ⁼ ∑ ⁼

 

P M dR

=

dt

M d R dt

dP

dt F

ⁱ

i 2 N

2 1

  

= =

∑

− ^{ext( )}

M d R dt

2

2 0



=

Sistemas de duas Partículas

Consideremos o caso mais simples de um sistema de partículas: aquele composto por apenas duas partículas. Nesse caso, as equações (000) se reduzem a apenas duas:

( 23 )

No caso do sistema constituído por apenas duas partículas, definimos além do centro de massa

( 24 )

a coordenada relativa

( 25 )

Definimos, além da massa total,

( 26 ) Figura 05: Admitindo-se a força gravitacional constante, o movimento do centro de

massa é bastante simples.

Figura 06: Coordenadas envolvendo um sistema de duas partículas.

m d r

dt F F m d r

dt F F

1 21

2

1 12

2 2 2

2 2

21

  

  

= +

= +

ext

ext

    

R m r m r M

m r m r

= + m m

= +

1 1 2 2 1 1

+

2 2

1 2

  

r r r

= −

_{1 2}

M = m₁ + m₂

a massa reduzida

( 27 )

A utilidade das grandezas físicas assim definidas pode ser entendida ao adicionarmos e subtrairmos as equações (000). A adição nos leva a

( 28 )

ao passo que a subtração nos leva, depois de dividirmos a primeira equação por m₁ e a segunda por m₂, a

( 29 )

A primeira equação representa o resultado já conhecido de que o centro de massa se move de tal maneira que tudo se passa como se todas as forças externas estivessem atuando sobre ele.

Para entendermos a relevância da coordenada relativa e de massa reduzida, consideremos o caso em que o sistema de duas partículas não está sujeito a forças externas. Nessas circunstâncias, as equações (000) se escrevem agora

( 30 )

Uma vez conhecida a força (ou forças) de interação entre as duas partículas, podemos determinar 000 a partir de (

r t 

( )) e utilizando (



R t

( )). Uma vez conhecidos

r t 

( ) e



R t

( ), podemos determinar r



₁ e r



₂ utilizando (000), isto é,

( 31 )

1 1 1

1 2

1 2

1 2

µ= + ⇒ =µ m m +

m m m m .

M d R

dt²₂ F¹ F²

  

= _ext+ _ext

d

dt r r F m

F

m F

ext ext

2

2 1 2

1

1 2

2 1 12

    

( − ) ⁼

^{( )}

⁻

^{( )}

⁺ _µ

µ d r

dt F r M d R

dt

2

2 12

2

2 0

  



=

=

( )

Figura 07: Ilustração da coordenada do centro de massa e da coordenada relativa.

r t R m

M r r t R m

M r

1 2

2 1

( ) ( )

= +

= ′ +

O Centro de Massa Como Sistema de Referência

Em muitos casos, é útil fazer uso de um sistema de coordenadas cuja origem coincide com o centro de massa do sistema. Assim, a posição de uma partícula genérica do sistema (i-ésima partícula) é dada por:

( 32 )

onde o vetor

r 

_i′ determina a posição relativa ao centro de massa.

A velocidade é composta por dois termos

( 33 )

onde V



′ representa a velocidade de partícula relativa ao sistema centro de massa. A aceleração é dada por

( 34 )

lembrando que o índice linha, novamente aqui, representa a grandeza (no caso, a aceleração) rela- tiva ao centro de massa.

Multiplicando a equação (000) por m_i, efetuando a soma e lembrando (000), notamos uma proprie- dade da coordenada relativa ao centro de massa. Tal propriedade pode ser resumida pela seguinte:

( 35 )

Se considerarmos um sistema contínuo, então, a propriedade análoga (000) para um sistema contínuo é:

( 36 )

Veremos que a propriedade (000) ou, equivalentemente, (000) é muito útil na simplificação da expressão de várias grandezas físicas quando expressas em termos do centro de massa.

   r R r

_i

= + ′

_i

Figura 08: Coordenada relativa ao centro de massa.

dr dt

dR dt

dr

dt V V

i i

CM i

    

= + ′

= + ′

  

a a

_i

=

_CM

+ ′ a

_i

m r_{i i}

m_i

∑

^′=^0.

ρ( )r r dV′ = .

∫∫∫

⁰

Momento Angular de um Sistema de Partículas

O momento angular de uma partícula é dado por

( 37 )

enquanto a sua taxa de variação instantânea é

( 38 )

O primeiro termo do lado direito da equação acima se anula, uma vez que



V é paralelo a



P. Utilizando a lei de Newton, escrevemos:

( 39 )

O lado direito da equação acima é o torque da força definido como

( 40 )

Portanto, a taxa de variação do momento angular é igual ao torque aplicado pela força que age sobre o corpo. Portanto,

( 41 )

Para um sistema de partículas, o momento angular total é dado pela soma dos momentos angu- lares de cada partícula pertencente ao sistema:

( 42 )

No caso de uma distribuição contínua de partículas, escrevemos para o momento angular

( 43 )

   L r p = ×

dL dt

dr

dt p r dp

dt v p r dp dt

 =         × + × = × + ×

dL

dt r F

 = × .

   τ = × r F

dL dt

 = τ 

    

L r p_{i i} m r V_{i i i}

i N

i

= N × = ×

−

−

∑

∑

1 1

.

   

L = ∫∫∫ p r r VdV

^{( )}

×

^.

Utilizando o sistema centro de massa, verificamos que de (000) e (000)

( 44 )

Donde inferimos que o momento angular do sistema pode ser expresso como o momento angular do centro de massa mais o momento angular de cada uma das partículas relativas ao centro de massa.

A Conservação do Momento Angular Total

A taxa de variação do momento angular total é dada por

( 45 )

Lembrando a terceira lei de Newton, notamos que o último termo se escreve

( 46 )

Como



F

_ij é paralelo a

r r  

_i− _j, temos:

( 47 )

Donde resulta:

( 48 )

    

L = ∑ R P × + ∑ r p

_i

′× ′

_i

Figura 09

dL

dt r dp

dt r F F

r F

i i

i N

i ext ij

j N

i

     

 

= × = ×  +

  

 

= ×

− −

∑ ∑ ∑

1

1 1

extt( )i

i ij

i N

i

N

r F

∑ ⁺ ∑ ∑ ( ^× )

−

−

 

1 1

   r r

_i

−

_j

F

_ij

( ) ^{× =}

⁰

   r r

_i

−

_j

F

_ij

( ) ^{× =}

⁰

dL

dt r F

_i ⁱ

 = ∑   ×

^{ext( )}

ou seja, a taxa de variação com o tempo do momento angular total é igual à soma dos torques das forças externas

( 49 )

No caso em que esses torques se anulam ou se tornam nulos, temos o resultado de que o momento angular total deve ser conservado, isto é:

( 50 )

Energia Cinética de um Sistema de Partículas

A energia cinética do sistema é dada pela soma de energia cinética de cada uma das partículas que o compõem. Temos assim:

( 51 )

Considerando-se o sistema centro de massa, utilizando a definição (000), temos:

( 52 )

Tendo em vista a propriedade (000), o segundo termo se anula e, portanto ,

( 53 )

E, portanto, a energia cinética é dada pela energia cinética do centro de massa mais a energia cinética das partículas no seu movimento relativo ao centro de massa.

dL

dt

ⁱ

r F

i i i

i



N

= ∑ = ∑   ×

−

τ

_ext^{( )} _ext^{( )}

1

dL dt



=0

E

₀

m r

^{i 2}

mV

_{i i}² 2 2

= ∑ ^ = ∑ ^

E m R

_i

R m r m r

i N

i i i

i i N

i N 0

2

1

2

1

2 1 2

= ^∑

₋

+

ⁱ

^∑

₋

′+ ^∑

₋

( )

′

E M R mV

_{i i}

i N

0 2 2

2 1

1

= +

2

′

∑

−



Energia Potencial do Sistema

Admitindo-se que as forças externas sejam conservativas, teremos

( 54 )

onde

( 55 )

Admitindo-se ainda que as forças internas são conservativas, isto é, admitindo-se que

( 56 )

então, a energia potencial do sistema será dada por:

( 57 ) Figura 10: A energia cinética de um gás ideal depende apenas da temperatura desse gás.

  

F

_extⁱ

= − VU r

_{i ext}( )_i

   

∇ = ∂

∂ + ∂

∂ + ∂

i

∂

i i i

U U

x i U

y j U z k

ext ext ext ext

   

F

_ij

= −∇

_i

U r r

ⁱⁿ( _j

−

_j)

U U r

_i

U r r

_{i j}

i i j i

= ∑

N

+ ∑ ∑ ( − )

−

− ext( )



1

 

2

1

Poderíamos ter argumentado que a dependência do potencial em relação às coordenadas de tal forma que envolva apenas as diferenças entre as coordenadas é uma consequência da invariança da energia potencial com respeito a translações do sistema todo:

( 58 )

Assim, inferimos que a energia total do sistema é dada por:

( 59 )

   r r r

_i

= ′+

_{i 0}

E M R m r

_{i i}

U r U r r

i N

i i j

i i j i

= + + + ( − )

− ≠ =

∑ ∑ ∑

2

1 2

1 2

2

1 1

´² _ext( ) ´ ´

∑

−−

1

N .

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Créditos

Este ebook foi produzido pelo Centro de Ensino e Pesquisa Aplicada (CEPA), Instituto de Física da Universidade de São Paulo (USP).

Autoria: Gil da Costa Marques.

Revisão Técnica e Exercícios Resolvidos: Paulo Yamamura.

Coordenação de Produção: Beatriz Borges Casaro.

Revisão de Texto: Marina Keiko Tokumaru.

Projeto Gráfico e Editoração Eletrônica: Daniella de Romero Pecora, Leandro de Oliveira e Priscila Pesce Lopes de Oliveira.

Ilustração: Alexandre Rocha, Aline Antunes, Benson Chin, Camila Torrano, Celso Roberto Lourenço, João Costa, Lidia Yoshino,

Maurício Rheinlander Klein e Thiago A. M. S.

Animações: Celso Roberto Lourenço e Maurício Rheinlander Klein.