FEUEM/DECI, Exercicios Resolvidos_Metodo das Forcas 1 UNIVERSIDADE EDUARDO MONDLANE
Departamento de Engenharia Civil TEORIA DAS ESTRUTURAS Exercícios Resolvidos (Método das Forças)
1. Para a estrutura representada na figura, calcule as reacções de apoio e trace os diagramas de esforços. Considere EI=constante e EA=∞
Matrizes de flexibilidade das barras
3
52
6
52
6
52
3
52
1
;
3
4
6
4
6
4
3
4
1
EI
EI
BC ABF
F
Solução particular XoFEUEM/DECI, Exercicios Resolvidos_Metodo das Forcas 2
1300
250
250
0
CB BC BA AB oM
M
M
M
X
Solução complementarBp
; 2 1 6 0 10 4 0 0 4 0 ; 6 0 10 4 0 0 4 0 p p Bp B Deformações independentes _u
FX
u
o
o
42
.
270
42
.
270
1
;
94
.
85
56
.
101
1
EI
EI
BC AB _ _u
u
40
.
247
10
.
65
1
_EI
AB oAB AB oABF
X
u
u
86
.
3154
91
.
1892
1
_EI
BC oBC BC oBCF
X
u
u
Matriz de flexibilidade de estrutura base
F
eb
B
TFB
B
TABF
ABB
AB
B
TBCF
BCB
BC
53
.
86
07
.
173
07
.
173
31
.
396
1
53
.
86
07
.
173
07
.
173
98
.
373
1
0
0
0
3
64
1
EI
EI
EI
ebF
Calculo de incógnitas hiperstáticas a partir da equação dos deslocamentos
v
v
F
p
_ eb o
14
.
18929
81
.
40109
1
, , , ,EI
BC o T BC o AB o T AB o oB
u
B
u
v
00
.
129
87
.
44
;
0
0
14
.
18929
81
.
40109
1
53
.
86
07
.
173
07
.
173
31
.
396
1
2 1 2 1p
p
EI
p
p
EI
kNEsforços finais nas extremidades das barras
X
X
o
Bp
24
.
77
52
.
70
52
.
70
0
00
.
129
87
.
44
6
0
10
4
0
0
4
0
1300
250
250
0
CB BC BA ABM
M
M
M
X
kNmFEUEM/DECI, Exercicios Resolvidos_Metodo das Forcas 3 2. Para a viga representada na figura, calcule as reacções de apoio e trace os diagramas de esforços. Considere EI=constante e EA=∞.
Matrizes de flexibilidade das barras
3
2
3
1
3
1
3
2
1
;
3
4
6
4
6
4
3
4
1
EI
EI
BC ABF
F
3
5
6
5
6
5
3
5
1
;
1
2
1
2
1
1
1
EI
EI
DF CDF
F
Solução particular Xo
0
95
.
60
95
.
60
0
0
60
.
115
60
.
115
84
.
526
FD DF DC CD CB BC BA AB oM
M
M
M
M
M
M
M
X
Solução complementarBp
;FEUEM/DECI, Exercicios Resolvidos_Metodo das Forcas 4
2 10
88
.
1
88
.
1
0
0
0
0
0
0
25
.
1
25
.
1
75
.
3
0
0
0
4
;
0
88
.
1
88
.
1
0
0
0
0
0
0
25
.
1
25
.
1
75
.
3
0
0
0
4
p
p
Bp
B
Deformações independentesX
X
o
Bp
25
.
31
25
.
31
1
;
88
.
16
88
.
16
1
;
5
5
1
;
40
40
1
_EI
EI
EI
EI
BC CD DF AB _ _ _u
u
u
u
36
.
465
52
.
739
1
_EI
AB AB AB oABF
X
u
u
0
53
.
33
07
.
72
1
EI
oBCu
04
.
82
83
.
132
1
;
83
.
77
35
.
47
1
EI
EI
oDF oCDu
u
Matriz de flexibilidade de estrutura base
50
.
37
33
.
23
33
.
23
33
.
21
1
EI
DF DF T DF CD CD T CD BC BC T BC AB AB T AB ebB
F
B
B
F
B
B
F
B
B
F
B
F
Calculo de incógnitas hiperstáticas a partir da equação dos deslocamentos
v
v
F
p
_ eb o
97
.
3839
08
.
2958
1
, , , , , , , ,EI
DF o T DF o CD o T CD o BC o T BC o AB o T AB o oB
u
B
u
B
u
B
u
v
47
.
50
46
.
83
;
0
0
97
.
3839
08
.
2958
1
50
.
37
33
.
23
33
.
23
33
.
21
1
2 1 2 1p
p
EI
p
p
EI
kNEsforços finais nas extremidades das barras
X
X
o
Bp
0
68
.
33
68
.
33
0
0
51
.
52
51
.
52
74
.
3
FD DF DC CD CB BC BA ABM
M
M
M
M
M
M
M
X
kNmFEUEM/DECI, Exercicios Resolvidos_Metodo das Forcas 5 3. Para a estrutura esquematizada na figura, determine pelo método das forças as reacções de apoio e trace os diagramas de esforços
na barra BCD. Considere: E=2.1x108 kN/m2, I=48200 cm4. Despreze a deformação axial das barras.
Sistema 0
FEUEM/DECI, Exercicios Resolvidos_Metodo das Forcas 6 Sistema 2
Matrizes de flexibilidade das barras
3
4
3
2
3
2
3
4
1
;
3
2
3
2
3
3
1
EI
EI
BC ABF
F
3
5
6
5
6
5
3
5
1
;
3
4
3
2
3
2
3
4
1
EI
EI
BE CDF
F
Solução particular Xo
0
00
.
280
50
.
62
0
50
.
62
50
.
62
50
.
217
00
.
3120
EB BE CD DC CB BC BA AB oM
M
M
M
M
M
M
M
X
Solução complementarBp
;
2 10
4
0
0
0
0
4
0
0
0
4
13
4
4
4
5
;
0
4
0
0
0
0
4
0
0
0
4
13
4
4
4
5
p
p
Bp
B
Deformações independentes _u
FX
u
o
o
67
.
116
67
.
116
1
;
48
.
21
39
.
25
1
;
0
0
1
;
13
.
1063
13
.
1063
1
EI
EI
EI
EI
BC CD BE AB _ _ _ _u
u
u
u
00
.
125
00
.
125
1
;
38
.
4269
13
.
8623
1
EI
EI
oBC oABu
u
67
.
116
00
.
350
1
;
85
.
61
28
.
16
1
EI
EI
oBE oCDu
u
Matriz de flexibilidade de estrutura base
67
.
737
00
.
99
00
.
99
33
.
148
1
EI
BE BE T BE CD CD T CD BC BC T BC AB AB T AB ebB
F
B
B
F
B
B
F
B
B
F
B
F
FEUEM/DECI, Exercicios Resolvidos_Metodo das Forcas 7 Calculo de incógnitas hiperstáticas a partir da equação dos deslocamentos
v
v
F
p
_ eb o
13
.
130578
52
.
27285
1
0EI
T oB
u
v
32
.
167
28
.
72
;
0
0
13
.
130578
52
.
27285
1
67
.
737
00
.
99
00
.
99
33
.
148
1
2 1 2 1p
p
EI
p
p
EI
kNEsforços finais nas extremidades das barras
X
X
o
Bp
0
26
.
389
62
.
226
0
62
.
226
62
.
226
64
.
162
51
.
583
EB BE CD DC CB BC BA ABM
M
M
M
M
M
M
M
X
kNmFEUEM/DECI, Exercicios Resolvidos_Metodo das Forcas 8 4. Dado o pórtico esquematizado na figura, determine as reacções de apoio e trace os diagramas de esforços internos pelo método das
forças. Considere: EI constante. Despreze a deformação axial das barras.
Sistema 0
Sistema 1
FEUEM/DECI, Exercicios Resolvidos_Metodo das Forcas 9 Como a barra AC é rígida axialmente e a transalção de B está impedida, a translação horizontal de D é nula e é independente de p2,
perdendo sentido a condição de equivalência cinemática para a translação horizontal de D.
Vamos resolver o exercício, considerando a rigidez de todas as barras EA e depois calcular os limites das incógnitas hiperstáticas quando EA tende para infinito. Consideremos AC como elemento de pórtico plano e as restantes barras como elemento de treliça.
Matrizes de flexibilidade das barras
EA
EA
EI
EI
EI
CB AC25
.
22
;
5
.
2
0
0
0
3
5
.
2
6
5
.
2
0
6
5
.
2
3
5
.
2
F
F
EA
EA
DB CD4
;
5
.
2
F
F
Solução particular Xo
0
30
22.25
/
37
148
0
0
DB DC BC CA CA AC oN
N
N
N
M
M
X
Solução complementarBp
;
2 11
0
0
0
0
755
.
0
0
64
.
0
0
0
0
1
;
1
0
0
0
0
755
.
0
0
64
.
0
0
0
0
1
p
p
Bp
B
Deformações independentes _u
FX
u
o
o
;
0
/
828
.
48
/
828
.
48
EI
EI
AC _u
EA
EI
EI
EI
EI
EA
EI
EI
EI
EI
oAC/
370
/
828
.
48
/
828
.
48
0
/
828
.
48
/
828
.
48
148
0
0
5
.
2
0
0
0
3
5
.
2
6
5
.
2
0
6
5
.
2
3
5
.
2
u
EA
CB CB o CB oCB25
.
823
_ ,u
X
F
u
EA
CD CD o CD oCD75
_ ,u
X
F
u
0
_ ,
DB oDB DB oDBF
X
u
u
Matriz de flexibilidade de estrutura base
EA
EA
EI
i i T i eb4
0
0
713
.
3
833
.
0
4 1B
F
B
F
FEUEM/DECI, Exercicios Resolvidos_Metodo das Forcas 10 Deslocamentos correspondentes a
p
no Sistema 0
0
353
.
858
828
.
48
0EI
EA
T oB
u
v
Vectorp
0
713
.
3
833
.
0
35
.
858
713
.
3
833
.
0
10
*
4883
.
0
2EI
EA
EI
EI
EA
EA
p
0
kNm
594
.
58
0
833
.
0
10
*
4883
.
0
lim
2 EAp
Esforços finais nas extremidades das barras
X
X
o
Bp
0
00
.
30
30
.
130
50
.
110
0
kNm
59
.
58
kN
kN
kN
X
FEUEM/DECI, Exercicios Resolvidos_Metodo das Forcas 11 5. Dada estrutura da figura, determine os esforços internos pelo método das forças para uma variação uniforme de temperatura Δt=+15oC
em BC. Considere: secção 0,2x0,4; E=3x107 kN/m2, α=10-5/oC.
Com os dados do problema temos: EI=32000 e EA=2,4x106=75EI
1a alternativa da estrutura base
2 1
Matrizes de flexibilidade das barras
053
.
0
0
0
0
33
.
1
67
.
0
0
67
.
0
33
.
1
1
;
067
.
0
0
0
0
67
.
1
83
.
0
0
83
.
0
67
.
1
1
EI
EI
BC ABF
F
Solução particularX
o0
X
o
Solução complementarBp
2 10
1
0
0
4
0
6
.
0
8
.
0
4
0
8
3
;
0
1
0
0
4
0
6
.
0
8
.
0
4
0
8
3
p
p
Bp
B
Deformações independentes _u
FX
u
o
o
;
l
BC
tl
BC
0
.
0006
m
0006
.
0
0
0
;
0
0
0
BC AB _ _u
u
FEUEM/DECI, Exercicios Resolvidos_Metodo das Forcas 12
0
0
0
AB oAB AB oAB _u
X
F
u
0006
.
0
0
0
BC oBC BC oBC _u
X
F
u
Matriz de flexibilidade de estrutura base
F
eb
B
TFB
B
TABF
ABB
AB
B
TBCF
BCB
BC
208
50
50
15
1
30
.
21
0
0
053
.
0
1
7
.
186
50
50
15
1
EI
EI
EI
ebF
Calculo de incógnitas hiperstáticas a partir da equação dos deslocamentos
v
v
F
p
_ eb o
0
0006
.
0
0u
B
v
T o
55
.
1
44
.
6
;
0
0
0
0006
.
0
208
50
50
15
1
2 1 2 1p
p
p
p
EI
kNEsforços finais nas extremidades das barras
X
X
o
Bp
0
20
.
6
20
.
6
94
.
6
CB BC BA ABM
M
M
M
X
kNm2a alternativa da estrutura base
Matrizes de flexibilidade das barras
053
.
0
0
0
0
33
.
1
67
.
0
0
67
.
0
33
.
1
1
;
067
.
0
0
0
0
67
.
1
83
.
0
0
83
.
0
67
.
1
1
EI
EI
BC ABF
F
Solução particular Xo0
X
o
Solução complementarBp
;FEUEM/DECI, Exercicios Resolvidos_Metodo das Forcas 13
2 167
.
0
33
.
0
0
0
1
0
68
.
0
27
.
0
1
0
0
1
;
67
.
0
33
.
0
0
0
1
0
68
.
0
27
.
0
1
0
0
1
p
p
N
M
M
N
M
M
CB CB BC BA BA ABBp
B
Deformações independentes _u
FX
u
o
o
;
l
BC
tl
BC
0
.
0006
m
0006
.
0
0
0
;
0
0
0
BC AB _ _u
u
0
0
0
AB oAB AB oAB _u
X
F
u
0006
.
0
0
0
BC oBC BC oBC _u
X
F
u
Matriz de flexibilidade de estrutura base
F
eb
B
TFB
B
TABF
ABB
AB
B
TBCF
BCB
BC
05
.
3
81
.
0
81
.
0
68
.
1
1
35
.
1
012
.
0
012
.
0
006
.
0
1
70
.
1
82
.
0
82
.
0
67
.
1
1
EI
EI
EI
ebF
Calculo de incógnitas hiperstáticas a partir da equação dos deslocamentos
v
v
F
p
_ eb o
0004
.
0
0002
.
0
, , , , oBC T BC o AB o T AB o oB
u
B
u
v
97
.
5
69
.
6
;
0
0
0004
.
0
0002
.
0
05
.
3
81
.
0
81
.
0
68
.
1
1
2 1 2 1p
p
p
p
EI
kN.mEsforços finais nas extremidades das barras
X
X
o
Bp
0
97
.
5
97
.
5
69
.
6
CB BC BA ABM
M
M
M
X
kNmOs erros de arredondamento provocam diferenças nos resultados enferiores a 5%
6. Dada estrutura da figura, determine os esforços internos pelo método das forças para uma variação diferencial de temperatura Δt’=+15oC
FEUEM/DECI, Exercicios Resolvidos_Metodo das Forcas 14 Estrutura base
Matrizes de flexibilidade das barras
053
.
0
0
0
0
33
.
1
67
.
0
0
67
.
0
33
.
1
1
;
067
.
0
0
0
0
67
.
1
83
.
0
0
83
.
0
67
.
1
1
EI
EI
BC ABF
F
Solução particular0
X
o
Solução complementarBp
;A matriz
B
já foi calculada no exercício anteriorDeformações independentes _
u
FX
u
o
o
;0
.
0015
'
h
l
t
BC CB BC
0
0015
.
0
0015
.
0
;
0
0
0
BC AB _ _u
u
0
0
0
AB oAB AB oAB _u
X
F
u
0
0015
.
0
0015
.
0
BC oBC BC oBC _u
X
F
u
Matriz de flexibilidade de estrutura base
F
eb
B
TFB
B
TABF
ABB
AB
B
TBCF
BCB
BC A matriz de flexibilidadeF
eb já foi calculada no exercício anteriorFEUEM/DECI, Exercicios Resolvidos_Metodo das Forcas 15 Calculo de incógnitas hiperstáticas a partir da equação dos deslocamento
v
v
F
p
_ eb o
0015
.
0
0
, , , , oBC T BC o AB o T AB o oB
u
B
u
v
05
.
18
70
.
8
;
0
0
0015
.
0
0
05
.
3
81
.
0
81
.
0
68
.
1
1
2 1 2 1p
p
p
p
EI
kN.mEsforços finais nas extremidades das barras
X
X
o
Bp
0
05
.
18
05
.
18
70
.
8
CB BC BA ABM
M
M
M
X
kNm7. Na mesma estrutura, considere a única solicitação o assentamento do apoio C de 0.50 cm.
1a alternativa da estrutura base
2 1 _ _
v
v
p
F
v
0
v
0
u
0
X
o eb o o o005
.
0
0
;
;
ebF
foi calculada para esta estrutura base
208
50
50
15
1
30
.
21
0
0
0053
.
0
1
7
.
186
50
50
15
1
EI
EI
EI
ebF
87
.
3
90
.
12
;
005
.
0
0
208
50
50
15
1
2 1 2 1p
p
p
p
EI
kNFEUEM/DECI, Exercicios Resolvidos_Metodo das Forcas 16 2a alternativa da estrutura base, inclui o apoio que assenta
C CB CB BC BA BA ABV
N
M
M
N
M
M
R
X
Inclui-se na matriz B a reacção do apoio que assenta
005
.
0
0
0
0
0
0
0
;
;
25
.
0
0
67
.
0
33
.
0
0
0
1
0
68
.
0
27
.
0
1
0
0
0
_u
u
0
X
B
o o _ _v
v
p
F
v
u
B
v
T o eb o o;
0
0
;
00125
.
0
0
00
.
15
23
.
7
;
0
0
00125
.
0
0
05
.
3
81
.
0
81
.
0
68
.
1
1
2 1 2 1p
p
p
p
EI
kN.mOs momentos em A e B permitem calcular as reacções de apoio no apoio C VC=-3.75 kN e HC=12.41 kN
FEUEM/DECI, Exercicios Resolvidos_Metodo das Forcas 17 Sistema 0
Sistema 1
Considerando as barras AB e BC e assumindo nas mesmas (
EI
EA
), teremos:F
AB
F
BC
0
e as deformações correspodentes ( u,oAB e u,oAB) também serão nulas.Vector dos esforços
CG BF AE ADN
N
N
N
X
Sistema 0
M
A
0
;
N
BF*
2
.
5
600
500
*
2
.
5
150
*
1
.
5
0
;
N
BF
-830.00
kN
M
E
0
;
N
AD
579
.
56
kN
;
F
y
0;
N
AE
-229.81
kN
0
00
.
830
81
.
229
56
.
579
0 CG BF AE ADN
N
N
N
X
Sistema 1
1
2
1
0
B
FEUEM/DECI, Exercicios Resolvidos_Metodo das Forcas 18 Deformações no sistema 0 0 * 6 ) 830 ( * 6 ) 81 . 229 ( * 6 56 . 579 * 15 cos 6 , , , , EA EA EA EA X F X F X F X F CG o CG BF o BF AE o AE AD o AD o u
Matriz de flexibilidade de estrutura base
F
eb
B
TFB
EA
EA
EA
EA
EA
eb36
1
6
*
1
)
2
(
*
6
*
)
2
(
1
6
*
1
0
*
15
cos
6
*
0
F
Calculo da incógnita hiperstática a partir da equação dos deslocamentos
v
v
F
p
_ eb o
kN
37
.
238
;
0
36
16
.
8581
;
16
.
8581
p
p
EA
EA
EA
o T oB
u
v
Esforços finais nas extremidades das barras
