Cap.01 - Introdução - Comunicações Digitais

Cap´ıtulo

1

Introdução

Estasnotasdeaulaapresentaasidéiaseté ni asfundamentaisparasistemas de omuni açãodigital. Ênfaseédadaaparâmetrosne essáriospara oprojeto de sistemas, tais omo relação sinal-ruído (SNR), a probabilidade de erro, e utilização da banda. O objetivo é tratar a transmissão de informação (voz, vídeo ou dados) sobre um aminho ( anal) que pode onsistir de os, ondas guias,ouespaço,et .

Sistemasdigitaisde omuni açãoestãosetornando adavezmaisatraente, porque é res ente a utilização de omuni ação de dados e, os sistemas digi-tais ofere emopções de pro essamento de dados eexibilidade quenão estão disponíveis omatransmissãoanalógi o.

Aprin ipal ara terísti adeumsistema de omuni ação digital (doinglês, digital ommuni ation system - DCS) é que durante um intervalo de tempo nito,eleenviaumaformadeondaapartirdeum onjuntonitodeformasde ondapossíveis,em ontraste omumsistema de omuni açãoanalógi a,oqual enviaumaformadeondaapartirdeumavariedadeinnitadeformasdeonda omresoluçãoteori amenteinnito [6℄.

Para queaatransmissãoseja efetuada omalta onabilidade,várias té -ni asdepro essamentodigitaldesinaisforampropostasnasúltimasdé adas.

O objetivo do re eptor, em um sistema de omuni ação digital, não está em reproduzir uma forma de onda transmitida om pre isão, em vez disso, o objetivoédeterminarapartirdeumsinalderuídoperturbadoqueaformade ondade onjunto nito deformas deondafoi enviada pelo transmissor. Uma medida importantededesempenhodosistemaéaprobabilidade de error [6℄.

1.1 Pro essamento Digital de Sinais

A prin ipal vantagem de umsistema de omuni açãodigitalé afa ilidade omaqualossinaisdigitais,em omparação omsinaisanalógi os,são

regene-Figura 1.1ilustrapropagaçãodeumpulso idealdigitalbinárioaolongo de uma linha de transmissão. A forma de onda é afetada por dois me anismos bási os:

1. Todaalinhadetransmissãoe ir uitotemalgumafunçãodetransferên ia não-ideal,existindoumefeitodedistorçãosobreosinaltransmitido,pulso ideal;

2. O ruído elétri o indesejado, ou outra interferên ia, distor e a forma de ondadopulso.

Ambosestesme anismos ausamdegradaçãonaformadeondadoimpulso ao longodo omprimentodalinha detransmissão, omo mostradonaFigura1.1.

Figura1.1: Degradaçãoeregeneraçãodeumpulsoretangular.

Ao longo da linha de transmissão o pulso pode ainda ser identi ado em uma forma de forma onável (antes de ser degradadopara um estado ambí-guo),dessaforma,opulsopodeserregeneradoporumampli adordigitalque re upera o sua forma ideal original. Cir uitos que exe utam esta função em intervalos regularesao longodosistemade transmissãosão hamadosde repe-tidores. Tais ir uitos digitaissão menos sujeitosa distorções einterferên ias quesãoanalógi os ir uitos,poisosbinários ir uitosdigitaisoperaremumdos doisestados,

0

e

1

.

Outra vantagem é a alta delidade dos sinais asso iados, pois é possível uma dete ção e orreção de erros, mas pro edimentos semelhantes não estão disponíveis omsistemasanalógi os.

Existemoutrasvantagensimportantespara omuni açõesdigitais,asaber:

•

Cir uitos Digital são mais onáveis e pode ele produzidos a um usto

menordoqueos ir uitosanalógi os;

•

Ohardwaredigitalémaisexívelparadiversasapli ações,e.g.,os mi ro-pro essadoresde omutaçãodigitaleos ir uitosintegrados;

•

A ombinação de sinais digitais utilizando a Multiplexação por Divisão deTempo(doinglês,Time Division Multiplexing -TDM)émaissimples do que ada ombinação de sinais analógi os usando Multiplexação por DivisãodeFreqüên ia(doinglês,Frequen yDivisionMultiplexing-FDM);

•

Diferentestiposdesinaisdigitais(dados,telégrafo,telefone,televisão,et )

1.2 Diagrama de blo os de uma sistema de o-muni ações

Odiagramade blo osmostrado naFigura 1.2ilustra ouxo eo pro essa-mento de um sinal atravésde um sistema de omuni açõesdigital típi o (do inglês,digital ommuni ationsystem -DCS).

Figura1.2: Diagramadeblo osdeumasistemade omuni açõestípi o[6℄.

AFigura1.2podeservir omoumaguiaaoleitoratravésdos apítulosdesta notas deaula. A parte superior dodiagramablo osformatação, odi ador defonte,en riptador, odi adorde anal, multiplexidor,modulador depulso, modulação de banda passante, propagação de freqüên ia e a esso múltiplo  denotamastransformaçõesdesinalapartirdeumfontedeinformaçãoparao transmissor (XMT).Quantoaparteinferior dodiagramablo osdenota trans-formaçõesdosinalaore eptor,essen ialmenteinvertendoospassosde pro essa-mentodosinalrealizadaspelosblo osdapartesuperior. Osblo osdomodular edodemodularsão hamadosdemodems

1 .

Para apli açõessem o, otransmissor é onstituídoporumafrequên iade faseatéa onversãopara umafrequên iaderádio (doinglês,radio frequen y -RF), umampli adorde altapotên iaeuma antena. A porção dere eptor é onstituído por umantenaeumampli ador.

1

1.2.1 Pro esso de omuni ação

Em sentido amplo, a omuni ação envolve impli itamente a informação transmitida de um ponto a outro por uma su essão de pro essos, omo des- ritoaseguir.

Na Figura 1.2 afonte de informação na entrada é onvertido para dígitos binários(bits): osbitssãoagrupadosparaformarmensagensdigitaisousímbolos da mensagem. Cada símbolo

m

i

, em que

i = 1, . . . , M

, pode ele onsiderado omoummembrodeum onjuntonitodenido ontendo

M

elementos. Assim, para

M = 2

,amensagemdigitál

m

i

ébinária(oquesigni aqueé onstituída apenas debits).

A formatação transformaafontedeinformaçãoembits,assegurandoassim a ompatibilidade entre a informação e o pro essamento de sinal dentro dos sistemas de omuni ações digitais. Deste ponto até o blo o de modulação de pulso, a informação permaneça sob a forma de um uxo de bit e não é fo o dessadisi iplina.

Amodulaçãoéopro essopeloqualossímbolosdemensagensouossímbolos de anal(quando setratada odi açãodo anal)são onvertidos em formas deondaquesão ompatíveis omosrequisitosimpostospelo analde transmis-são. ModulaçãodePulsoséumpassoessen ial, pois adasímbolotransmitido deve-seprimeirotransformada,apartirdeumarepresentaçãobinária(níveisde tensãoque representamosbináriosezeros), emuma forma deonda debanda bási a. Abandadebási a refere-seaumsinal ujoespe troseestendeumvalor nito, geralmente menos do que uns pou os megahertz. O blo o de modula-çãodeimpulso,in luigeralmenteltrosparaminimizaralarguradabandade transmissão. Quandoamodulação de impulsoéapli ado asímbolos binários, aformadeondabináriaresultanteé hamadoModulaçãoporCódigodePulso (doinglês,Pulse Code Modulation -PCM).

Depoisdemodulaçãodepulso, adasímbolodamensagemtemuma forma deondadebanda bási a

g

i

(t)

, emque

i = 1, . . . , M

.

Parauma apli açãoenvolvendotransmissãode RF,opróximopasso é mo-dulaçãode banda passante,queérequerido sempreque omeio detransmissão nãosuportarapropagaçãodeformasdeondadepulsos,emqueumaonda por-tadorasenoidaléempregadaparafa ilitaratransmissãodosinaldigitalmente modulado através de uma anal om determinada banda. Em vários pontos ao longodoper ursodo sinal,ruído aditivoaleatório distor eosinal re ebido

r(t)

,demodoqueasuare epçãodeveser hamadodeumaversão orrompida dosinal

s

i

(t)

, quefoi lançadopelo transmissor. Osinalre ebido

r(t)

podeser expresso

r(t) = s

i

(t) ∗ h

c

(t) + n(t),

i = 1, . . . , M ;

emquearepresentação

∗

éumaoperaçãode onvolução,e,

z(t)

representaum pro essoderuído.

Nadireçãoinversa,ore eptore/ouodemoduladorfaza onversãoda frequên- iadare epçãoparaumfrequên iadeoperação,FI-frequên iaintermediária, para ada forma de ondade banda bási a

r(t)

. O demodulador restaura

r(t)

paraumaformadeondadeimpulsos

z(r)

,empreparaçãoparaadete ção. Ti-pi amente,pode haverváriosltrosasso iados omore eptor e demodulador para remover frequên ias indesejada. A Equalização pode ser des rito omo umaopçãoté ni adeltragemqueéusadadepoisdodemoduladorpara rever-ter osefeitos degradantesdosinalqueforam ausadospelo anal. Equalização torna-seindispensávelquandoarespostaaoimpulsodo anal,

h

c

(t)

,étãofra a queosinal re ebidoé ompletamentedistor ido. Umequalizadoré implemen-tadopara ompensar(ouseja,removeroudiminuir)qualquerdistorçãodosinal provo ada poruma ara terísti a do anal,

h

c

(t)

, não-ideal. Porm, aetapa deamostragememformadeimpulsostransformao

z(t)

paraumaamostra

z(t)

, e opasso de dete çãotransforma

z(T )

para uma estimativado anal símbolo

ˆ

u

i

, ou uma estimativada mensagemsímbolo,:

m

ˆ

i

, (se não houver odi ação de anal). Algunsautoresutilizamostermosdemodulaçãoedete ção alter-nadamente. Noentanto, nestas notasdeaula,demodulaçãoédenida omoa re uperaçãodeuma formadeonda,eadete çãoédenida omoatomadade de isõesarespeitodosigni adodigitaldaquelaonda.

Osoutrospassosdesinaisnopro essamentodosinaldentrodomodemsão opçõesdeimplementaçãoparane essidadesespe í asdosistema,asaber:

Codi açãodefonteproduz a onversãoanalógi oparadigital(A/D)(Para fontesanalógi as)eremoveasinformações(desne essários)redundante.A Crip-tograa,queéusadopara propor ionarpriva idadena omuni ação,impedea ompreensãodemensagensporusuáriosnão autorizadoseprevinedepossíveis alteraçõesnamensagemnosistema.A odi açãode anal,paraumadadataxa dedados,podereduziraprobabilidadedeerro,

P

E

,oureduzirarelaçãosinal ruídorequeridaparaumadesejadaprobabilidadedeerro,a ustadalargurade bandadetransmissãooua omplexidadedode odi ador.

Multiplexação ePro essosdeA essoMúltiplo ombinasinaisquepodemter ara terísti asdiferentesoupodeseroriginárioapartirdefontes diferentes,de modoqueelas podem ompartilharumre urso de omuni ação(porexemplo, oespe trodetempo).

Os blo os de pro essamento do sinal mostrados na Figura 1.2 representa um sistema digital típi o, no entanto, estes blo os podem ser implementada em ordem diferente. Por exemplo, pode realizar-se a multiplexação antes da odi açãode anal. Figura1.3mostraasfunçõesbási asdopro essamentode sinais,, lassi adosnosseguintesnovegrupos:

1. Formataçãoe odi açãodefonte;

2. Sinalizaçãodebandabási a;

3. Sinalizaçãobandapassante;

4. Equalização;

7. Espalhando; 8. Criptograa; 9. Sin ronização.

Figura1.3: Transformaçãoemumsistemade omuni açõestípi o[6℄.

1.3 Termos Usados em Comuni ações Digitais

Aseguirestãoalgunstermosusadosfreqüentementeem omuni açãodigital: Fonte de informação (do inglês, Information sour e) - Dispositivo que produz a informação que será transmitida por meio dos sistema de omuni- ação digital. As fontes de informação podem ser analógi osou dis retos. A saída de uma fonte analógi a pode ter qualquer valor numintervalo ontínuo deamplitudes,enquantoqueasaída deuma fontede informaçãodis retatem

podesertransformadoemfontesdigitaisatravésdautilizaçãodeamostrageme quantização. Té ni asdeamostragem equantização hamadodeformataçãoe odi açãodefonte (verFigura1.3)sãodes ritosnos apítulosnesse material. Mensagem textual - Seqüên ia de ara teres. (Ver Figura 1.4(a)) Para transmissãodigital,amensagemseráuma sequên iadedígitos ousímbolosde um onjuntonitode símbolos oualfabeto.

Cara teres - Um ara teresémembrodeumalfabetoouum onjunto de símbolos. (VerFigura1.4(b)). Podesermapeadaemumaseqüên iadedígitos binários.

Existemvários ódigospadronizadosutilizadosparaa odi açãode ara -teres,in luindoAmeri anStandardCodeforInformationInter hange (ASCII), Extended Binary CodedDe imalInter hange Code (EBCDIC),Hollerith, Bau-dot,Murray,eMorse.

Digito binário (bit) - Unidade de informação fundamental para todos os sistemas digitais. O bit termo também é utilizado omo uma unidade de onteúdodeinformaçãoemTeoriadaInformação.

Cadeiadebits(doinglês,bitstream)-Seqüên iadedígitosbinários(zeros e uns). Uma Cadeia de bits é muitas vezes denominado um sinal de banda bási a, oque impli aqueoseu onteúdoespe tralénito, geralmente inferior aummegahertz. NaFigura1.4( ),amensagem. HOW (traduz-sequem em português)érepresentado omo

7

bitsutilizandoo ódigode ara teresASCII, emqueasequên iadebits estárepresentadapormeio2níveisdepulsos.

Símbolo(mensagem digital)-Umsímboloéumgrupode

k

bits onside-rado omoumaúni a unidade. Refere-seaestaunidade omouma mensagem e édenotada por

m

i

(

i = 1, . . . , M = 2

k

) de um onjunto nito de símbolou alfabeto. (Veja aFigura 1.4(d)) O tamanho do alfabeto,

M

, é

M = 2

k

, em que

k

é onúmero de símbolo. Para transmissãoem banda bási a, ada sím-bolo

m

i

serárepresentado por uma forma deonda de um onjunto de formas

g1(t), g

2

(t), . . . , g

M

(t)

. Ofatodequeo onjuntodesímbolostransmitidopelos sistemasdigitaisénitoéadiferençaprimáriaentre umsistema analógi o.

Forma de onda digital - Forma de onda de tensãoou de orrente (um pulsoembandabási aouumasenóideparadetransmissãodebandapassante) querepresentaumsímbolodigital. As ara terísti asdaformadeonda (ampli-tude, largura eposição para pulsos, freqüên ia,e fasepara seníodes)permitir asuaidenti ação omoumdossímbolos doalfabetonito. A Figura1.4( )é umexemplodeuma formadeondadigitaldebandapassante.

Taxa dedados -Quantidadeembitsporsegundo(bits/s)denotadopor

R = k/T = (1/T ) log M

bits/s

;

emque

k

bitsidenti amumsímbolodeumalfabeto om

M = 2

k

Figura1.4: Exemplos deNomen laturas. (a)Messagem textual; (b)Cara ter; ( )CadeiadeBits;(d)Símboloe(e) Formadeondadigital[6℄.

1.4 Sinais Elementares

1.4.1 Sinais Periódi os e Aperiódi os

Um sinal periódi oserepete ao longode suavariávelindependente. Alge-bri amente,umsinalperiódi oobede eàDenição1.1.

Denição 1.1 Paraqualquervalor de

t

,as funçõesperiódi aspode ser deni-das daforma:

x(t) = x(t + T ), ∀t

e

T 6= 0.

(1.1)

emque

T

édenido omoo períododosinal

x(t)

éa menor onstate. Por iteraçãoda Equação1.1,tem-se:

x(t) = x(t + nT ), ∀t, T 6= 0

e

n = 0, ±1, ±2, . . . .

(1.2)

A Figura1.5ilustraumsinalperiódi o.

Per ebe-se que se o sinal for deslo ado de

T

o sinal permane e o mesmo, ilustrandoassim,aapli açãodaigualdadea ima.

Observa-setambémqueosinalemquestãofordeslo adode

nT

,ver Deni-ção1.1, sendo

n

uminteiro,pode-sededuzirquese;

Figura1.5: Sinal periódi o,deperíodo

T

.

que levaaarmarquese

x(t)

éperiódi ode período

T

etambém éperiódi o deperíodo

−T, ±2T, ±3T, ±4T, . . .

.

Denição 1.2 Períodofundamentaléomenorvalorpositivode

T

quesatisfaz aigualdade

x(t) = x(t + T )

,

∀t

.

T

0

, min |T | | x(t) = x(t + T ), ∀t

e

T 6= 0.

(1.3) Umsinaléaperiódi osenãoéperiódi o.

1.4.2 Função Impulso Unitário

Umafunçãomuitoutilizadanateoriadas omuni açõeséoimpulsounitário, ouFunção deltade Dira . Quepodeserdenida omoum sinaldeamplitude innita, omlarguradepulso zero,evalordeáreaunitário, entradanoponto zero. Oimpulsounitárioé ara terizadopela seguintesrelações:

Z

∞

−∞

δ(t)dt = 1;

e

δ(t) = 0,

para

t 6= 0.

A funçãoimpulso veri aas seguintes relações, em que

ξ(t)

é uma função qualquerem

t

:

ξ(t)δ(t) = ξ(0)δ(t);

ξ(t)δ(t − t

0

) = ξ(t

0

)δ(t − t

0

);

Z

∞

−∞

ξ(t)δ(t)dt = ξ(0);

e,

Z

∞

−∞

ξ(t)δ(t − t

0

)dt = ξ(t

0

).

1.4.3 Energia e Potên ia

Umsinalelétri opode serrepresentado omouma tensão

v(t)

ouuma or-rente

i(t)

omumapotên iainstantânea

p(t)

atravésdeumresistor

R

denido por

p(t) = V

2

_(t)/R

ou

p(t) = i

2

_(t)R

.

Dessaforma,sabe-sequeapotên iaelétri ainstantânea onsumidaporum resistor(

R

)édadapor:

p(t) = v(t)i(t) =

1

R

v

2

_(t)dt.

(1.4)

Assim,aenergia onsumida(dissipada)poresseresistornointervalo[

t

1

,

t

2

℄,será umsinalreal ompotên iainstantâneasegundoaEquação1.4,quepodeserdada por:

E

[t

1

,t

2

]

=

Z

t

2

t

1

p(t)dt =

Z

t

2

t

1

1

R

v

2

_(t).

(1.5)

Ainda,apotên iamédia onsumida(dissipada)poresseresistoredadapor:

P

[t

1

,t

2

]

=

E

[t

1

,t

2

]

t

2

− t

1

=

1

t

2

− t

1

Z

t

2

t

1

p(t)dt =

1

t

2

− t

1

Z

t

2

t

1

1

R

v

2

_(t).

(1.6)

Emsistemasde omuni ações,aalimentaçãoéfrequentementenormalizada assumindo

R

omosendo

1

ohm,embora

R

possaassumiroutrovalorno ir uito atual,assim,

E

[t

1

,t

2

]

=

Z

t

2

t

1

v

2

(t);

(1.7) e

P

[t

1

,t

2

]

=

E

[t

1

,t

2

]

t

2

− t

1

=

1

t

2

− t

1

Z

t

2

t

1

p(t)dt =

1

t

2

− t

1

Z

t

2

t

1

v

2

(t).

(1.8)

Odesempenhode umsistema de omuni açãodependedosinal deenergia re ebido;sinaisdeenergiaaltopodemserdete tados ommaissegurança( om pou oserros)queumsinaldeenergiabaixo. Apotên iadeterminaavoltagem queseráapli adaparatransmissãoeaintensidadedos amposeletromagnéti os quedevem onterosistemaderádio.

Agora,revistosos on eitosdeEnergiaePotên iaElétri a,pode-sedenira EnergiaeaPotên iadeumsinal,poisemanálisedesinaisde omuni ações, frequentemente é deseja-se tratar aenergia da forma de onda. Seja

x(t)

um sinal de energia, se e somente se, ele for diferente de zero mas a energia for nita(

0 < E

x

< ∞

),paratodotempo,tem-se:

Denição 1.3 AEnergiade um sinal edenida omo:

E

∞

, lim

T →∞

E

[−T,T ]

= lim

T →∞

Z

T

−

T

Denição 1.4 APotên ia de umsinal edenida omo:

P

∞

, lim

T →∞

E

[−T,T ]

2T

= lim

T →∞

1

2T

Z

T

−T

|x(t)|

2

_dt.

(1.10)

Exemplo1.2Cal uleaEnergiaeaPotên iadosinal

x(t) = e

−|t|

.Solução: Energia

E

[−T,T ]

=

Z

T

−T

|x(t)|

2

dt =

Z

T

−T





e

−|t|







2

dt =

Z

T

−T

e

−2|t|

dt

=

Z

0

−T

e

2t

dt +

Z

T

0

e

−2t

dt =

1

2

e

2t









0

−T

−

1

2

e

2t









T

0

=

1

2

(1 − e

2T

_{) −}

1

2

(e

−2T

_{− 1)}

⇒ E

[−T,T ]

= 1 − e

2T

,

logo,

E

∞

, lim

T →∞

E

[−T,T ]

= lim

T →∞

(1 − e

2T

_{) = 1.}

Potên ia

P

∞

, lim

T →∞

E

[−T,T ]

2T

= lim

T →∞

1 − e

2T

2T

= 0.

⋄

Emresumo:

•

Umsinaléditoserumsinaldeenergiase

0 < E

x

< ∞

;

•

Umsinaléditoserumsinaldepotên iase

0 < P x < ∞

;

•

Umsinalnãopodeserdeenergiaepotên iaaomesmotempo.

Energia ePotên ia de SinaisPeriódi os

Pensando rapidamente, per ebe-se que todo sinal periódi o, ontínuo ou se ionalmente ontínuo,temenergia, segundoaDenição 1.3, innita. Dessa forma, para sinais periódi osutiliza-se umnovo onjuntode denições paraa determinação daEnergiaedaPotên ia.

Denição 1.5 AEnergia de umsinal periódi oédenida omo:

E

T

0

,

Z

T

0

|x(t)|

2

dt;

(1.11)

em que

T

0

éoperíodo fundamentaldo sinal.

Denição 1.6 APotên ia de umsinal periódi oédenida omo:

P

T

0

,

E

T

0

T

0

=

1

T

0

Z

T

0

|x(t)|

2

dt;

(1.12)

Exemplo1.3Cal uleaEnergiaeaPotên iadosinalperiódi o

x(t) = e

jt

,

T

0

= π

.Solução: Energia

E

T

0

=

Z

T

0

|x(t)|

2

_{dt =}

Z

T

0



e

jt





2

dt =

Z

T

0

1

2

_dt

= t|

0

_T

₀

= T

0

.

Potên ia

P

∞

=

E

T

0

T

0

=

T

0

T

0

= 1.

⋄

1.5 Densidade Espe tral

Adensidadeespe traldeumsinalé ara terizadapeladistribuiçãodesinais de energia ou potên ia no domínio da frequên ia. Este on eito é parti ular-menteimportantequandose onsideraaltragemnossistemasde omuni ações. Éne essárioavaliarosinaleoruídonoltrodesaída,paraessem,adensidade deenergiaespe tral(doinglês,energyspe tral density -ESD) oudensidade de potên iaespe tral(doinglês,powerspe traldensity -PSD)sãoutilizadas.

1.5.1 Densidade Espe tral de Energia

Aenergiatotaldeumsinalreal

x(t)

,denidoemumintervalo

(−, )

édes rito pelaEquação(1.10). UsandooTeoremadePerseval,asaber,

x(t)

←→ X(f );

T F

Z

∞

−∞

|x(t)|

2

dt =

Z

∞

−∞

|X(f )|

2

df ;

(1.13)

emque,

X(f )

éatransformadadeFourierdossinaisnão-periódi os

x(t)

. Pode-serela ionaraenergiade adasinalexpressonodomíniodotempo omaenergia expressanodomínio dafrequên ia,daforma:

E

x

=

Z

∞

−∞

|X(f )|

2

df.

ApartirdaexpressãodeParsevalveri a-sequeaenergiapodeserobtida atra-vésdaáreadográ ode

|X(f )|

2

. Logo,dene-seentãoadensidade espe tral deenergia omo

ψ

x

(f ) = |X(f )|

2

.

Portanto,pode-seexpressaraenergiatotalde

x(t)

pelaintegraçãodadensidade espe tral omareferên iaafrequên ia,daforma:

E

x

=

Z

∞

−∞

ψ

x

(f )df =

1

2π

Z

∞

−∞

ψ

x

(ω)dω.

1.5.2 Densidade Espe tral de Potên ia

Analogamenteaoquefoifeitoparaossinaisdeenergia,pode-semostrarque para um sinal depotên ia

x(t)

periódi ode período

T

0

, tem-se apotên iano períodonormalizadadaforma,

P

x

=

1

T

0

Z

T

0

/2

−

T

0

/2

|x(t)|

2

dt.

(1.14)

1.5.3 Representação em Sério de Fourier

Seosinal

x(t)

éperiódi o omperíodo

T

0

= 1/f

0

,elepodeserrepresentado emsériesdeFourier, ombinaçãolineardasexponen iaisperiódi as harmoni a-mente rela ionada,ouseja,

x

repres.

(t) =

∞

X

k=−∞

c

k

φ

k

(t);

=

∞

X

k=−∞

c

k

e

jkω

0

t

;

=

∞

X

k=−∞

c

k

e

jk

2π

T0

t

_,

(1.15) emque:

• x

repres.

(t)

-representaçãoemSériedeFourierdeumsinalperiódi o

x(t)

;

• c

k

- oe ientes daserie, emque,

c

k

=

1

T

Z

T

x(t)e

−

jkω

0

t

dt;

(1.16)

• ω

0

-frequên iafundamentaldosinal

x(t)

;

• T

0

-períodofundamentaldosinal

x(t)

.

Relaçãode Parseval

Esta propriedadeé muito importante,poisrela iona medidas de energiae potên ianosdoisdomínios. Seja:

x(t)

←→ a

SF

k

;

1

T

Z

T

|x(t)|

2

dt =

∞

X

−∞

|a

k

|

2

.

(1.17)

Prova: Considere:

x(t) =

∞

X

−∞

c

k

e

jkω

0

t

=⇒ x

∗

(t) =

∞

X

−∞

c

∗

k

e

−jkω

0

t

;

1

T

Z

T

|x(t)|

2

dt =

1

T

Z

T

x(t)x

∗

(t)dt =

1

T

Z

T

x(t)





∞

X

−∞

c

∗

_k

e

−jkω

0

t





dt.

Tro ando-seosomatóriopelaintegral:

1

T

Z

T

x(t)x

∗

(t)dt =

1

T

Z

T

c

∗

_k





∞

X

−∞

x(t)e

−jkω

0

t





dt;

=

∞

X

−∞

c

∗

k

[c

k

] ;

=

∞

X

−∞

|c

k

|

2

,

•

Utilizando oTeoremadeParseval 2

, aEquação(1.14) podeserrees rita da forma,

P

x

=

1

2π

Z

∞

−∞

lim

T →∞

|X(ω)|

2

T

dω,

assim,deni-seadensidadeespe tralde potên iadaforma:

G

x

(ω) = lim

T →∞

|X(ω)|

2

T

.

Logo,apotên iapodeserexpressada omo,

P

x

=

1

2π

=

Z

∞

−∞

G

x

(f )df.

Representandoos oe ientesdasériedeFourierexponen ialpor

c

n

,a den-sidadeespe traldepotên iapodesersimpli ada para,

P

x

=

1

T

0

Z

T

0

/2

−

T

0

/2

|x(t)|

2

dt;

=

∞

X

n=−∞

|c

n

|

2

.

Paraapli araequação,éne essário onhe erapenasamagnitudedos oe- ientesdasériedeFourier

|c

n

|

. Afunçãodensidadeespe traldepotên ia

G

x

(f )

dosinal periódi o

x(t)

éumnúmeroreal efunçãonão negativadafrequên ia,

elesdãoadistribuiçãodepotên iade

x(t)

nodomíniodafrequên ia,édenido omo,

G

x

(f ) =

∞

X

n=−∞

|c

n

|

2

δ(f − nf

0

).

(1.18)

AEquação(1.18)deneadensidadeespe traldepotên iadeumsinalperiódi o

x(t)

omouma su essãode funçõesdelta ponderadaspor oe ientes da série de Fourier de

x(t)

. Portanto, a densidade espe tral de potên ia de um sinal periódi oé uma funçãodis reta da frequên ia. Usando adensidade espe tral depotên ia,pode-seagora,es reverapotên iamédianormalizadadeumsinal omvaloresreais omo,

P

x

=

Z

∞

−∞

G

x

(f )df = 2

Z

∞

0

G

x

(f )df,

(1.19)

Aequação(1.18)des reveadensidadeespe traldepotên iaapenasdosinal periódi o(potên ia). Se

x(t)

éumsinalnãoperiódi o,elenãopodeserexpresso omoumaSériedeFouriereseosinaldepotên iafornãoperiódi o(possuindo energia innita) ele não pode ter uma Transformadade Fourier. Entretanto, pode-seaindaexpressaradensidadeespe traldepotên iade adasinalem sen-tido limitado. Se um tre holimitado do sinalde potên ianão-periódi o

x(t)

, nointervalode

(−T /2, T /2)

quando

X

T

(t)

possuirenergianitaeuma T rans-formada de Fourier

X

T

(f )

, ele poderá ser apresentado omo uma densidade espe traldepotên iadosinal não-periódi o

x(t)

epodeserdenido nolimite omo,

P

x

= lim

T →∞

1

T

|X

T

(f )|

2

.

Dessa forma faz-se ne essário o estudo da Transformadade Fourier de sinais periódi oenãoperiódi os.

Exemplo1.4Potên ianormalizada

•

En ontreapotên iamédianormalizadanaformadeonda,

x(t) = A cos 2πf

0

t

;

•

En ontreapotên iamédianormalizadautilizandoasomade oe ientes espe trais.

Solução:

(a) UsandoaEquação(1.14),tem-se,

P

x

=

1

T

0

Z

T

0

/2

−T

0

/2

A

2

cos

2

2πf

0

tdt;

=

A

2

2T

0

Z

T

0

/2

−T

0

/2

1 + cos

2

4πf

0

t
dt;

=

A

2

2T

0

(T

0

) =

A

2

2

(b) Usandoasequação(1.18)e(1.19),tem-se,

G

x

(f ) =

∞

X

n=−∞

|c

n

|

2

δ(f − nf

0

).

Sabe-sequepara

x(t) = A cos 2πf

0

t

,os oe ientes são,



c

1

= c

−1

= A/2

c

n

= 0

para

n = 0, ±2, ±3, . . .

.

Logo,

G

x

(f ) =

 A

2



2

δ(f − nf

0

) +

 A

2



2

δ(f + nf

0

);

assim,

P

x

=

Z

∞

−∞

G

x

(f )df =

A

2

2

.

•

⋄

MaioresdetalhesdeSérieseTransformadasdeFourierserávistonoCapítulo.

1.6 Auto orrelação

Correlaçãoéumpro essodeharmonização;auto orrelaçãorefere-seà om-binaçãodeumsinal omuma versãoretardadadaprópria. Afunçãode auto- orrelaçãodeumsinaldeenergiadevalorreal

x(t)

édenido omo:

R

x

(τ ) =

Z

∞

−∞

x(t)x(t + τ )dt

para

− ∞ < τ < ∞.

(1.20)

Afunçãodeauto orrelação

R

x

(τ )

forne eumamedidadequãopertodosinal orrespondeauma ópiadesimesmo oma ópiadeslo adaem

τ

unidadesde tempo. Avariável

τ

desempenhaa funçãodeum parâmetrodeveri açãoou pesquisa.

R

x

(τ )

nãoéumafunçãodotempo,éapenasumafunçãodadiferença detempoentre aformadeondaeasua ópiadeslo ado.

A função de auto orrelação de um sinal de energia de valor real tem as seguintespropriedades:

1.

R

x

(τ ) = R

x

(−τ )

; 2.

R

x

(τ ) ≤ R

x

(0), ∀τ

;

3.

R

x

(τ ) ↔ Ψ(f )

,emque

Ψ(f )

éatransformadadeFourierde

R

x

(τ )

; 4.

R

x

(0) =

R

∞

−∞

x

2

_(t)dt

.

Se os itens de 1 a 3 estão satisfeitos,

R

x

(τ )

satisfaz as propriedades de uma funçãoauto orrelação. A propriedade4podeserderivadadapropriedade3e,

1.6.1 Auto orrelação de um sinal periódi o (Potên ia) Afunçãodeauto orrelaçãodeumsinalpotên iadevalorreal

x(t)

édenido omo:

R

x

(τ ) = lim

T →∞

Z

T /2

−

T /2

x(t)x(t + τ )dt

para

− ∞ < τ < ∞.

(1.21)

Quandoosinaldepotên ia

x(t)

éperiódi o omumperíodo

T

0

,amédiade temponaEquação(1.22)podesertomadaaolongodeumúni operíodo

T

ea funçãodeauto orrelaçãopodeele expresso omo:

R

x

(τ ) =

1

T

0

Z

T

0

/2

−

T

0

/2

x(t)x(t + τ )dt

para

− ∞ < τ < ∞.

(1.22)

Afunçãodeauto- orrelaçãodeumsinalperiódi odevalorrealtem propri-edadessemelhantesaosdeumsinaldeenergia:

1.

R

x

(τ ) = R

x

(−τ )

; 2.

R

x

(τ ) ≤ R

x

(0), ∀τ

;

3.

R

x

(τ ) ↔ G(f )

,emque

Ψ(f )

éatransformadadeFourierde

R

x

(τ )

;

4.

R

x

(0) =

1

T

0

R

T

0

/2

−

T

0

/2

x

2

_(t)dt

.

Lista de Exer í io - Introdução as Comuni ações Digitais

Questõesreferentes aoCapítulo1.

Exer í io1.1 Classiqueosseguintessinais omosinais de energiaousinais de potên ia. En ontre a energia normalizada e potên ia normalizada de ada sinal. a.

x(t) = A cos 2πf

0

t

. b.

x(t) =



A cos 2πf

0

t

para

− T

0

/2 ≤ τ ≤ T

0

/2

0

aso ontrário . .

x(t) =



A exp αt

para

t > 0, α > 0

0

aso ontrário . d.

x(τ ) = cos t + 5 cos 2t

.

Exer í io1.2 Citepelomenos3vantagense3desvantagensdasComuni ações Digitais.

Exer í io1.3 Des reva as prin ipais omponentes (diagrama em blo os) de um Sistemade Comuni ações Digitais.

Exer í io1.4 Determine,sehouver,quais dasseguintesfunçõestem proprie-dadesde função auto orrelação. Justiquesuadeterminação.

a.

x(τ ) =



1

para

− 1 ≤ τ ≤ 1

0

aso ontrário . b.

x(τ ) = δ(t) + sin 2πf

0

τ

. .

x(τ ) = exp |τ |

. d.

x(τ ) =



−τ + 1

para

0 ≤ τ ≤ 1

τ + 1

para

− 1 ≤ τ ≤ 0

.