Aula05

Aula 5 - Análise de Sistemas de 1.

a

e 2.

a

Ordem

Introdução

Grau Relativo e Ganho DC

Análise de Sistemas de Primeira Ordem

Análise de Sistemas de Segunda Ordem

Exercícios

I

In

nt

tr

ro

od

du

uç

çã

ão

o

A análise de sistemas cujo comportamento dinâmico é descrito por equações diferenciais lineares e invariantes no tempo freqüentemente é realizada com base na função de transferência destes sistemas. Tais funções de transferências podem, genericamente, ser representadas pela expressão abaixo:

m n a s a s a s a s b s b s b s b s K s U s Y s G n n n n n m m m m m ≥ + + + + + + + + + + = = − − − − − − ) ( ) ( ) ( 1 2 2 1 1 1 2 2 1 1   (5.1)

Embora a eq. (5.1) represente a função de transferência de um sistema de ordem n, observa-se que o polinômio do denominador é composto pelo produto de termos de primeira e segunda ordem, que representam respectivamente os pólos reais e os pólos complexos da função de transferência, conforme mostra a eq. (5.2). Informações sobre o comportamento de tais sistemas podem ser obtidas, ainda que de forma qualitativa, apenas com base na localização dos termos de primeira e segunda ordem que compõem cada sistema.

(

) (

)

( )

(

)

(

)

(

)

∑

∑

(

{ }

)

{ }

∏

∏

∏

∏

= = = = = = = = = = = = + + + + + = + + + + + + = r c r c r c n k 1 k k 2 2 k k k n j 1 j j j n j 0 j n k 1 k * k k j m h 1 h m i 1 i * i i h p Im p Re s C s B p s A p s p s p s z s z s z s K ) s ( G (5.2) onde

Ai , Bk e Ck : resíduos calculados pelo método das frações parciais

h

z

− : zeros reais −pj: pólos reais *

i ie-z

z

− : zeros complexos e seus conjugados −p_k e-p*_k: pólos complexos e seus conjugados mr : número de zeros reais de G(s) nr : número de pólos reais de G(s)

mc: número de zeros complexos de G(s) nc : número de zeros complexos de G(s) 2 m m m= r + c : número de zeros da G(s) 2 n n n= r + c : número de pólos da G(s)

A Fig. 5.1 representa o diagrama de blocos da função de transferência como produto dos termos relativos aos zeros e pólos, reais e complexos. A Fig. 5.2 apresenta o diagrama de blocos em termos das frações parciais de 1º e 2º ordem conforme eq. (5.2). Deve-se reparar que a função de transferência G(s)= Y(s)/U(s) é a mesma para os diagramas de bloco apresentados pelas Fig. 5.1 e 5.2, portanto a análise individual de cada um dos subsistemas de 1º e 2º ordem pode ser empregada para investigar sistemas de ordem mais elevada.

(

)

(

)

(

)

(

)

∏

∏

= = = =

+

+

+

+

c c n k k k k m i i i i

p

s

p

s

z

s

z

s

1 * 1 *

(

)

(

)

∏

∏

= = = =

+

+

r r n j j j m h h h

p

s

z

s

0 1

K

U(s)

Y(s)

Fig. 5.1: Diagrama de blocos de um sistema de ordem n definido pela eq. 5.1.

{ }

(

)

{ }

1 2 2 1 1 1 p Im p Re s C s B + + + r r n n p s A +

{ }

(

c

)

{ }

c c c n 2 2 n n n p Im p Re s C s B + + + 1 1 p s A +

U(s)

_Y(s)

Σ

Sistemas de 1º Ordem Sistemas de 2º Ordem

Fig. 5.2: Representação de um sistema de ordem n definido pela eq. 5.1, empregando somente sub-sistemas de 1º e 2º ordem.

Grau Relativo e Ganho DC

A função de transferência (5.1) apresenta n pólos e m zero finito, o que a caracteriza como sendo uma função de transferência de grau relativo n-m. Desta forma, observa-se que a definição de grau

relativo em sistemas lineares esta associada a diferença entre o número de pólos e de zeros finitos da

função de transferência do sistema sob análise. No exemplo do sistema de primeira ordem descrito pela equação (5.3), i.e.

p s k ) s ( G1 = ₊ (5.3)

observa-se a existência de um pólo finito e nenhum zero finito, caracterizando este sistema como sendo de grau relativo um.

Se n ≥ m a função de transferência é chamada de própria e se n < m a função de transferência é

chamada de imprópria. Somente as funções de transferência próprias são fisicamente realizáveis. Quando n = m a função de transferência é chamada de estritamente própria.

O ganho DC de um processo é obtido através da relação entre o sinal de saída em regime permanente deste processo e o seu sinal de entrada, este necessariamente uma constante. Considerando então a função de transferência de um processo dada por

) s ( U ) s ( Y ) s ( G = (5.4) onde Y(s) é a transformada de Laplace do sinal de saída do processo e U(s) a transformada de Laplace do sinal de entrada do mesmo processo. Admitindo que no processo representado pela função de transferência (5.4), quando excitado com um sinal constante, sua saída tende também para um valor constante em regime permanente1, pode-se formalizar o conceito associado ao ganho DC do processo empregando o teorema do valor final, ou seja

) s ( sY lim ) t ( y lim 0 s t→∞ → = (5.5) que, de acordo com (5.4), será igual a

) s ( G ) s ( sU lim ) t ( y lim 0 s t→∞ = → (5.6)

Uma vez que o sinal de excitação do processo para análise do ganho DC deve ser um sinal constante escolhe-se, por conveniência, um sinal constante e de amplitude unitária, i.e.

s 1 ) s ( U = (5.7) resultando, de acordo com (5.6) em

) s ( G lim ) ( y 0 s→ = ∞ (5.8) Devido ao fato do sinal de entrada do processo ser constante e de amplitude unitária, tal que

u(t)=1 ∀ t > 0, e da necessidade do sinal de saída do processo y(∞) ser um sinal constante, tem-se

0 t ) y( ) u( ) y( Ganho_DC = ∞ ∀ > ∞ ∞ = (5.9)

Por que quando a função de transferência G(s) possui pólos positivos a aplicação do teorema do valor final e do ganho DC implica numa análise errada do sinal de saída?

Obs: Considere o sinal de entrada do tipo degrau.

1 _{Essa consideração é verdadeira se todos os pólos da função de transferência G(s) forem negativos.}

Sistemas de Primeira Ordem

Iniciaremos a análise da resposta transitória de sistemas de primeira ordem baseados na função de transferência de um sistema elétrico composto por uma resistência e um capacitor dispostos conforme o esquema mostrado na Figura 5.3.

Fig. 5.3: Filtro passivo de primeira ordem.

) t ( v ) t ( v ) t ( i . R + o = i (5.10)

∫

i(t)dt=v (t) C 1 o (5.11)

Substituindo (5.11) em (5.10), relaciona-se diretamente a tensão de entrada vi com a tensão sobre o capacitor vo, i.e., ) t ( v ) t ( v dt ) t ( dv RC o i o _{+ = (5.12)}

Aplicando a técnica de solução de equações diferenciais, considerando-se que a tensão no capacitor no instante t=0 é vo(0) = 0 e o sinal de entrada vi(t) constante e de amplitude igual a A para t ≥ 0, obtêm-se expressão da tensão sobre o capacitor vo(t), i.e.,

(

t/RC

)

o(t) A1 e

v = − − (5.13) O valor de regime é obtido considerando t→∞,

A ) t ( v lim ) ( v0 ∞ = t→∞ o = (5.14)

Aplicando a transformada de Laplace nas equações diferenciais (5.10) e (5.11), considerando-se igualmente que a tensão no capacitor no instante t=0 é vo(0) = 0, ou seja , condições iniciais nulas, tem-se:

) s ( V ) s ( V ) s ( I R⋅ + o = i (5.15) ) s ( V sC ) s ( I o = (5.16) Substituindo (5.16) em (5.15) ) s ( V ) s ( V ) s ( sV . RC o + o = i (5.17)

( )

1_RC s ) RC ( 1 1 RCs 1 ) s ( V ) s ( V i o + = + = (5.18)

A Fig. 5.4 mostra o diagrama de blocos do sistema dinâmico de 1º ordem representado por (5.15) e (5.16). A função de transferência que relaciona diretamente Vo com Vi é dada por (5.18).

V_i(s) V0(s)

Cs

1

R

1

I(s) +

-Fig. 5.4: Diagrama de blocos do filtro de 1º ordem apresntado na -Fig. 5.3.

No exemplo do sistema de primeira ordem descrito pela equação (5.18), observa-se a existência de um pólo finito, localizado em –1/RC, e nenhum zero finito, caracterizando este sistema como sendo de grau relativo um. Além disso, a função de transferência desse sistema apresenta um ganho DC unitário, conforme pode ser verificado através das eq. (5.8) E (5.9), assim:

(

)

(

)

1 RC / 1 s RC / 1 lim GanhoDC = s→0 ₊ = (5.19)

Considerando o sinal de entrada vi(t) constante e de amplitude igual a A e aplicando a equação (5.9), obtêm-se o mesmo resultado que o encontrado em (5.14), i.e.,

A ) ( v Ganho ) ( vo ∞ = DC⋅ i ∞ = (5.20)

Pode-se chegar a mesma conclusão aplicando o teorema do valor final em (5.18), i.e.,

(

)

(

)

A RC / 1 s RC / 1 s A s lim ) s ( G ) s ( sV lim ) ( vo s 0 i s 0 = + ⋅ = = ∞ _{→ →} (5.21)

O gráfico apresentado na Fig. 5.5 mostra a resposta temporal Vo(t) do sistema apresentado na Fig. 5.3, quanto excitado no instante t = 0 com um sinal de entrada do tipo degrau, cuja amplitude é desconhecida.

- Qual é o valor da amplitude do sinal de entrada Vi(t)?

- A partir da resposta temporal é possível determinar o valor dos componentes, "R e C", empregados no teste?

Observe que a equação (5.18), relacionada ao circuito apresentado na Figura 5.3, é um caso particular de um sistema de primeira ordem genericamente descrito pela função de transferência (5.3), ou seja p s k ) s ( U ) s ( Y ) s ( G + = = (5.22) onde "k=1/RC , p=1/RC, Y=V0 e U=Vi.", para o exemplo apresentado na Fig. 5.3.

A resposta analítica, no domínio da freqüência, da variável de saída do sistema de primeira ordem descrito por (5.22), Y(s), admitindo como sinal de entrada um degrau unitário, é dada pela equação (5.24):

) p s ( k s 1 ) s ( G ). s ( U ) s ( Y + ⋅ = = (5.23) p s B s A ) p s ( s k ) s ( Y + + = + = (5.24) Empregar o método das frações parciais para encontrar os coeficientes A e B.

Resposta: p k B e p k A= =

Observando as Tabelas 6.1 e 6.2 da aula 6, uma vez calculados cada um dos coeficientes de (5.24), pode-se facilmente determinar a resposta temporal da variável de saída y(t), i.e.,

{

}

pt

(

pt

)

1 e 1 p k e p k p k ) s ( G ). s ( U L ) t ( y = − = − − = − − (5.25) O valor de regime y(t) pode ser obtido substituindo diretamente t→∞em (5.25) ou aplicando o teorema do valor final em (5.23), i.e.,

p k p s k s 1 s lim p s k ) s ( sU lim ) ( y _{s 0 s 0} = + ⋅ = + = ∞ _{→ →} (5.26) Como o sinal de entrada é um degrau unitário, o ganho DC da função de transferência G(s) apresenta o mesmo valor de regime do sinal de saída , pois:

p k p s k lim ) s ( G lim GanhoDC = s→0 = s→0 ₊ = (5.27)

A constante de tempo (τ) é definido, para sistemas de primeira ordem, como o valor da variável tempo que torna o expoente da equação (5.25) unitário, i.e.,

p 1 1 p e−(p⋅t) → ⋅τ= →τ= (5.28) Substituindo (5.28) em (5.25)

(

) (

)

p k 632 . 0 e 1 p k e 1 p k ) ( yτ = − −pτ = − −1 = (5.29) Portanto, a constante de tempo de um sistema de 1º ordem representa o intervalo de tempo necessário para que o sinal de saída atinja aproximadamente 63% do valor de regime determinado em (5.27). A tabela 5.1 relaciona o tempo, medido em unidades de τ, com o valor e o erro percentual do sinal de saída em relação ao valor de regime permanente.

Usando o conceito de constante de tempo é possível determinar o valor dos componentes, "R e C", empregados no teste da resposta temporal da Fig. 5.5?

Tempo em unidades de Constante de tempo

Valor percentual de y(t) em relação ao regime permanente

Erro percentual em relação ao regime permanente 1τ 63.2 % 36.8 % 2τ 86.5 % 13.5 % 3τ 95.0 % 5.0 % 4τ 98.2 % 1.8 % 5τ 99.3 % 0.7 % 6τ 99.7 % 0.3 %

Tab. 5.1: Relação entre o tempo, medido em unidades de τ, e o valor do sinal de saída.

O tempo de estabilização (ts) de um sistema de primeira ordem é definido como o intervalo de tempo necessário para a resposta temporal entre em regime permanente, quando o sistema é alimentado por um sinal do tipo degrau. O critério adotado para determinar o tempo de estabilização é o erro percentual em relação ao valor de regime permanente. Emprega-se, usualmente,

% 5 erro 3 ts = ⋅τ→ ≈ (5.30) ou % 2 erro 4 ts = ⋅τ→ ≈ (5.31)

As Fig. 5.6, 5.7 e 5.8 apresentam gráficos das respostas temporais, descrita em (5.25), para diferentes relações entre k e p , onde τ representa a constante de tempo do sistema. Observa-se, na Fig. 5.8, que se k > p, o ganho DC é maior que um pois o sinal de saída em regime é maior que a amplitude do sinal de entrada. Se k < p, conforme Fig. 5.7, o ganho DC é menor que um pois o sinal de saída em regime é menor que a amplitude do sinal de entrada. Para o caso k = p, Fig. 5.6, o ganho DC = 1 pois o sinal de saída em regime é igual a amplitude do sinal de entrada.

Fig. 5.7: Resposta temporal y(t), descrita em (5.25), quando k < p.

Preencha a Tabela 5.2 com as características de dez sistemas de 1º ordem apresentados e esboce a resposta temporal y(t) para cada caso. Considere o sinal de entrada u(t) do tipo degrau unitário e a função de transferência do sistema igual a

p s k ) s ( U ) s ( Y ) s ( G + = = k p Localização do pólo Constante de tempo (τ) Ganho DC Valor de regime do sinal de saída Tempo de estabilização (ts) 100 100 10 10 1 1 1 0 1 -1 10 -10 -10 -10 -10 10 1 10 100 10

Tab. 5.2: Características de dez sistemas de primeira ordem distintos.

Para verificar se a Tabela 5.2 foi preenchida corretamente , execute os seguintes comandos no Maltab, substituindo k e p pelos valores apresentados na Tabela.

» num = k; » den = [1 p]; » step(num,den)

Por que a determinação das características na área selecionada em cinza da Tabela 5.2 é inconsistente?

Determine a função de transferência de um sistema de 1º ordem que apresenta a resposta temporal, conforme Fig. 5.9. Sabe-se que para gerar esse gráfico foi utilizado um sinal de entrada do tipo degrau de amplitude 2.

Fig. 5.9: Resposta temporal de um sistema de 1º ordem desconhecido.

Sistema de Segunda Ordem:

Suponha como exemplo o sistema massa, mola e amortecedor da figura abaixo:

Fig. 5.10: Sistema massa, mola e amortecedor.

A equação dinâmica deste sistema é feita com base no balanço das forças que atuam em cada um dos componentes mecânicos apresentados na Figura 5.10, i.e.

) t ( F ) t ( F ) t ( F ) t ( F_k + _b + _m = (5.32) onde ) t ( x K ) t ( F_k = _m (5.33) ) t ( x B ) t ( F_b = _a (5.34) ) t ( x M ) t ( Fm =  (5.35) para K > 0, B ≥ 0 e M >0 e

Observe que a força Fk empregada para distender ou comprimir a mola é proporcional ao deslocamento x(t) de suas extremidades, que a força Fb diz respeito ao atrito de um elemento amortecedor

F(t) x(t)

b

k

que é proporcional a diferença de velocidade x(t) de suas extremidades e que a força Fm, necessária para

deslocar a massa M, é proporcional a aceleração x da mesma. Portanto, K(t) m [N/m], é o coeficiente de

elasticidade da mola, Ba [Ns/m] é o coeficiente de atrito viscoso do amortecedor e M [kg], é a massa

deslocada pela aplicação da força F.

Substituindo (5.33), (5.34) e (5.35) em (5.32), obtém-se ) t ( F ) t ( x M ) t ( x B ) t ( x Km + a +  = (5.36)

Aplicando a técnica de solução de equações diferenciais em (5.36), para o caso particular em que M =10 kg e Km = 10 N/m , considerando-se que o deslocamento, a velocidade e aceleração no instante t=0 são nulos e o sinal de entrada F(t) constante e de amplitude igual a 1 N para t ≥ 0, pode-se obter quatro expressões distintas do deslocamento x(t) em função do valor escolhido de Ba, i.e.,

Condição

(ver Tabela 5.4) Valor de B escolhido Resposta temporal f(t) M K 2 B_a > _m Ba =200Ns/m y(t)=0.1−0.1003e−0.05t−0.00025e−19.95t M K 2 B_a = _m Ba =20Ns/m y(t)=1−0.1te−t−0.1e−t M K 2 B_a < _m Ba =2Ns/m y(t)=0.1−0.1018e−0.1t cos

(

0.995t

)

−0.0204e−0.1tsen

(

0.995t

)

0 B_a = Ba =0Ns/m y(t)=0.1−0.1cos

( )

t

Tab. 5.3: Resposta temporal do sistema da Fig. 5.10, considerando M = 10 kg e K = 10 kg/s2.

Conforme se observa na Tab. 5.3 e na Fig. 5.11, a resposta temporal de um sistema de segunda ordem pode apresentar diferentes tipos de gráficos em função da escolha dos parâmetros. Para o caso analisado, os parâmetros M e Km foram especificados fixos e foi ajustado o parâmetro Ba de maneira a produzir todas as possíveis respostas temporais de um sistema de segunda ordem estável.

O valor de regime é obtido considerando t→∞,

0 B para 1 . 0 ) t ( x lim ) ( x∞ = _t→∞ = _a > (5.37) Para o caso em que Ba = 0, o sistema dinâmico não tem amortecimento e o valor do deslocamento oscila em torno do obtido em (5.37).

Aplicando a transformada de Laplace na equação (5.36), admitindo condições iniciais nulas, resulta em: ) s ( F ) s ( X K ) s ( sX B ) s ( X Ms2 + _a + _m = (5.38) De (5.38) pode-se facilmente determinar a função de transferência do processo apresentado na Figura (5.10) que relaciona o deslocamento X(s) com a força externa F(s) aplicada a massa M, ou seja

m a 2 _{B s K} Ms 1 ) s ( F ) s ( X + + = (5.39) A função de transferência (5.39) pode ser reescrita normalizando o termo de maior grau do denominador, i.e., M K s M B s M 1 ) s ( F ) s ( X m a 2_{+ +} = (5.40)

A Fig. 5.12 mostra o diagrama de blocos do sistema dinâmico de 2º ordem representado por (5.32) a (5.35). A função de transferência que relaciona diretamente X(s) com F(s) é dada por (5.40).

Fig. 5.12: Diagrama de blocos do sistema dinâmico apresntado na Fig. 5.10.

Obtenha a função de transferência (5.40) utilizando diretamente o diagrama de blocos da Fig. 5.12.

s

1

M

1

+

-s

1

m

K

a

B

F(s)

F

k

(s)

F

b

(s)

F

m

(s)

X(s)

Velocidad

Aceleração

+

-No exemplo do sistema de segunda ordem descrito pela equação (5.40), observa-se a existência de dois pólos e nenhum zero finito, caracterizando este sistema como sendo de grau relativo dois. Além disso a função de transferência desse sistema apresenta um ganho DC dado por

(

)

(

a

)

m m 0 s DC K 1 ) M / K ( s M / B s M / 1 lim Ganho = + + = _→ (5.41) A determinação do ganho DC do sistema descrito em (5.40) também pode ser obtido a partir da definição apresentada em (5.9). Assim, considerando-se um sinal de excitação constante e com amplitude unitária, o sinal de saída em regime pode ser obtido da seguinte forma:.,

m DC K 1 ) ( F Ganho ) ( x ∞ = ⋅ ∞ = (5.42) Pode-se chegar a mesma conclusão aplicando o teorema do valor final em (5.40), i.e.,

(

)

(

B /M

)

s (K /M) s M / 1 ) s ( sF lim ) ( x m a 0 s _{+ +} = ∞ _→ (5.43)

(

)

(

a

)

m m 0 s K 1 ) M / K ( s M / B s M / 1 s 1 s lim ) ( x = + + = ∞ _→ (5.44)

O gráfico apresentado na Fig. 5.13 mostra a resposta temporal x(t) do sistema apresentado pela Fig. 5.10, quanto alimentado no instante t = 0 com um sinal de entrada do tipo degrau com amplitude desconhecida. Os parâmetros conhecidos do sistema são M =10 kg e Km = 10 Nm.

- Qual é o valor da amplitude do sinal de entrada F(t)?

- A partir da resposta temporal é possível determinar o valor do parâmetro B empregados no teste?

Observe que a equação (5.40), relacionada ao circuito apresentado na Figura 5.10, é um caso particular de um sistema de segunda ordem genericamente descrito pela função de transferência , ou seja

) p s )( p s ( k ) s ( G 2 1 + + = (5.45) onde M 1 k= (5.46) M K M 2 B M 2 B p m 2 a a 1  −      + = (5.47) M K M 2 B M 2 B p m 2 a a 2  −      − = (5.48) para o exemplo apresentado na Fig. 5.10.

Observando as equações (5.47) e (5.48), verifica-se que os pólos podem ser reais ou complexos em função dos valores atribuidos aos parâmetros M, Ba e Km. A Tabela 5.4 relaciona os tipos de pólos em função da escolha do parametro Ba. A resposta temporal para cada caso apresentado na Tabela 5.4, considerendo um sinal de entrada do tipo degrau unitario, já foi avaliada na Tabela 5.3 e na Fig. 5.11.

Condição Tipo de pólo

Para M = 10 kg e K = 10 kg/s2 Valor de B

escolhido

Valores dos pólos de G(s) M K 2 B_a > _m pólos reais distintos kg/s 200 B_a = -0.05 -19.95 M K 2 B_a = _m pólos reais múltiplos kg/s 20 B_a = -0.1 -0.1 M K 2 B_a < _m pólos complexos Ba =2kg/s -0.1+j0.995 -0.1-j0.995 0 Ba = pólos imaginários puros kg/s 0 Ba = +j -j

Tab. 5.4: Tipos de pólos de G(s) em função do valor escolhido de Ba . Sistema de 2º Ordem com Pólos Reais Distintos:

Admitindo-se que o sistema dinâmico de segunda ordem descrito pela eq. (5.45) possui um conjunto de parâmetros, tal que os pólos da função de transferência do sistema são reais distintos. Desta forma, a resposta analítica do sinal de saída do sistema pode ser escrita no domínio da freqüência conforme apresentado em (5.50), onde é considerado um sinal de excitação do tipo degrau com amplitude unitária.

) p s )( p s ( k s 1 ) s ( G ). s ( U ) s ( Y 2 1 + + ⋅ = = (5.49) 2 1 2 1 s p C p s B s A ) p s )( p s ( s k ) s ( Y + + + + = + + = (5.50)

Empregar o método das frações parciais para encontrar os coeficientes A, B e C. Resposta: ) p p ( p k -C e ) p p ( p k -B , p p k A 2 1 2 1 2 1 2 1 − = − = =

Observando as Tabelas 6.1 e 6.2 da aula 6, uma vez calculados cada um dos coeficientes de (5.50), pode-se facilmente determinar a resposta temporal da variável de saída y(t), i.e.,

{

}

pt 2 1 2 t p 1 2 1 2 1 1 1 _e 2 ) p p ( p k e ) p p ( p k p p k ) s ( G ). s ( U L ) t ( y − − − − − − − = = (5.51) O valor de regime y(t) pode ser obtido substituindo diretamente t→∞em (5.51) ou aplicando o teorema do valor final em (5.49), i.e.,

2 1 2 1 0 s 2 1 0 s p p k ) p s )( p s ( k s 1 s lim ) p s )( p s ( k ) s ( sU lim ) ( y = + + ⋅ = + + = ∞ _{→ →} (5.52)

Como o sinal de entrada é um degrau unitário, o ganho DC da função de transferência G(s) apresenta o mesmo valor de regime do sinal de saída , pois:

2 1 2 1 0 s 0 s DC p p k ) p s )( p s ( k lim ) s ( G lim Ganho = + + = = _{→ →} (5.53)

Sistema de 2º Ordem com Pólos Reais Múltiplos:

Admitindo-se que o sistema dinâmico de segunda ordem descrito pela eq. (5.45) possui um conjunto de parâmetros, tal que os pólos da função de transferência do sistema são reais e de mesmo valor. Desta forma, a resposta analítica do sinal de saída do sistema pode ser escrita no domínio da freqüência conforme apresentado em (5.55), onde é considerado um sinal de excitação do tipo degrau com amplitude unitária. ) p s )( p s ( k s 1 ) s ( G ). s ( U ) s ( Y + + ⋅ = = (5.54) p s C ) p s ( B s A ) p s )( p s ( s k ) s ( Y ₂ + + + + = + + = (5.55) Empregar o método das frações parciais para encontrar os coeficientes A, B e C.

Resposta: 2 2 p k -C e p k -B , p k A= = =

Observando as Tabelas 6.1 e 6.2 da aula 6, uma vez calculados cada um dos coeficientes de (5.55), pode-se facilmente determinar a resposta temporal da variável de saída y(t), i.e.,

{

}

pt 2 pt 2 1 e p k te p k p k ) s ( G ). s ( U L ) t ( y = − = − − − − (5.56) A analise do valor de regime e do ganho DC da função de transferência é a mesma que a empregada no caso para pólos reais distintos.

Preencha a Tabela 5.5 com as características de dez sistemas de 2º ordem apresentados e esboce a resposta temporal y(t) para cada caso. Considere o sinal de entrada u(t) do tipo degrau unitário e a função de transferência do sistema dada por (5.57).

) p s )( p s ( k ) s ( U ) s ( Y ) s ( G 2 1 + + = = (5.57) k p1 p2 Localização dos pólos Constante de tempo de cada pólo

Ganho DC Valor de regimey(∞) ts 1000 10 100 100 10 50 200 10 20 100 10 10 100 10 5 20 10 2 10 10 1 10 10 0 10 10 -1 -1000 10 100

Tab. 5.5: Características de dez sistemas de segunda ordem distintos.

Para verificar o tempo de estabilização e se a Tabela 5.2 foi preenchida corretamente, execute os seguintes comandos no Maltab, substituindo k, p1 e p2 pelos valores apresentados na Tabela. » num = k;

» den = [1 p1+p2 p1*p2 ]; » step(num,den)

Por que a determinação das características na área selecionada em cinza da Tabela 5.5 é inconsistente?

Sistemas de segunda ordem que possuem pólos reais podem ser analisados como dois sistemas de 1º ordem em serie, conforme mostra a Figura 5.14 considerando k=k1k2.

Fig. 5.14: Representação do sistema de 2º ordem quando os pólos são reais (k=k1k2)

Se a constante de tempo de um dos pólos for muito menor, por exemploτ₁<<τ₂ , pode-se aproximar o sistema de segunda ordem por uma função de transferencia de primeria ordem, considerando somente o efeito relativo ao pólo com a maior τ, chamado de pólo dominante, e mantendo o ganho DC da função de transferência original, ou seja

Y(s)

1 1 p s k + ₂ 2 p s k +

U(s)

) p s ( k p 1 ) p s )( p s ( k ) s ( G 2 1 2 1 + ≈ + + = (5.58) Um sistema de 2º ordem com pólos reais, um pólo é considerado dominante quando apresentar a constante de tempo no mínimo dez vezes menor que a do outro pólo.

Considerando o critério para definir um pólo dominante apresentado acima, verificar na Tabela 5.5 quais os sistemas de segunda ordem que podem ser aproximados por uma função de transferência de 1º ordem. Determinar para cada caso a função de transferência aproximada.

Abaixo são selecionados dois sistemas da Tabela 5.5, com suas respectivas respostas temporais, considerando o sinal de entrada do tipo degrau unitário. Observe que as respostas temporais são composta de três parcelas distintas. Identifique nas Figuras 5.15 e 5.16, as respostas temporais das variáveis de saída dos sistemas G(s), assim como as respostas temporais de cada uma das parcelas que compõem cada y(t) ,

i. ) 100 s )( 10 s ( 1000 ) s ( G + + = ⇒⇒ 100t 10t e 11 . 1 e 111 . 0 1 ) t ( y = + − − − ii. 2 ) 10 s ( 100 ) s ( G + = ⇒⇒ 10t 10t e 1 te 10 1 y(t)= − − − −

Fig. 5.16: Resposta temporal de cada uma das parcelas de y(t) do sistema do item ii .

Sistema de 2º Ordem com Pólos Complexos Conjugados:

Quando o sistema dinâmico de segunda ordem descrito pela eq. (5.45) possui um conjunto de parâmetros, tal que os pólos da função de transferência do sistema são complexos conjugados é mais conveniente reescrever a função de transferência com outro conjunto de parâmetros, de acordo com (5.58).

2 n n 2 2 n 2 1)(s p ) s 2 s p s ( k ) s ( G ω + ξω + αω = + + = (5.58) onde α := Ganho DC

ξ := Fator de amortecimento do sistema

n

ω := Freqüência natural do sistema [rad/s] e m K 1 = α , M K_m n = ω e M K 2 B m a =

ξ , para o exemplo apresentado na Fig. 5.10.

As funções de transferências (5.45) e (5.58) são equivalentes, porém, conforme será analisado, os parâmetros α,ξeω_n de (5.58) se relacionam diretamente com a característica da resposta temporal de um sistema de 2º ordem considerando o sinal de entrada do tipo degrau. As raízes do denominador de (5.45) são também os pólos de função de (5.58) e são dadas pelas expressões (5.59) e (5.60):

1 p1=−ξωn +ωn ξ2− (5.59) 1 p2 =−ξωn −ωn ξ2− (5.60) 2 n k=αω (5.61) De (5.59) e (5.60) é fácil concluir que as raízes do denominador de (5.58) serão complexas conjugadas se –1<ξ<1. Para o caso específico em que 0≤ξ<1, a parte real das raízes complexas será negativa e neste caso os pólos complexos conjugados estarão localizados no semiplano esquerdo do plano

s, conforme ilustrado na Figura 5.17, i.e.

d n 1 j p =−ξω + ω (5.62) d n 2 j p =−ξω − ω (5.63) onde 2 n d =ω 1−ξ

ω := Freqüência amortecida do sistema [rad/s] (5.64)

d

d

θ

Fig. 5.17: Localização genérica dos pólos de (5.58) considerando 0≤ξ<1..

Determine a localização dos pólos de (5.58) empregando a forma polar de representação de números complexos

Resposta: d=ωn e θ=arccos

( )

ξ

A resposta analítica do sinal de saída do sistema pode ser escrita no domínio da freqüência conforme apresentado em (5.65), onde é considerado um sinal de excitação do tipo degrau com amplitude unitária. ) 2 ( 1 ) ( ). ( ) ( _{2 2} 2 n n n s s s s G s U s Y ω ξω αω + + ⋅ = = (5.65)

(

)

2 2 2 2 2 ) 2 ( ) ( n n n n n s C Bs s A s s s s Y ω ξω ω ξω αω + + + + = + + = (5.66) n ξω − 2 1 ξ ωn − σ 2 1 ξ ω − − n Plano s

Empregar o método das frações parciais para encontrar os coeficientes A, B e C. Resposta: A=α , B=-α e C=-2αξω_n

Substituindo os coeficientes encontrados na equação (5.66) e ajustando os termos das frações parciais, de forma a empregar diretamente a Tabela 6.1 (aula 6) para converter o sinal do domínio freqüência para o domínio tempo, obtêm-se,

(

)

2 2

(

)

2 2 ₂

(

)

2 2 1 2 ) ( n n d n n n n n n s s s s s s s s Y ω ξω ω ξ ξ α ω ξω ξω α α ω ξω ξω α α + + − − + + + − = + + + − = (5.67)

Finalmente, aplica-se a transformação inversa de Laplace em (5.67) para obter-se a resposta temporal da variável de saída, y(t), i.e.,

( )

( )

_       ω ξ − ξ − ω − α = −ξ −ξ t sen e 1 t cos e 1 ) t ( y d t w 2 d t w_{n n} (5.68) ou

( )

( )

        ω ξ − ξ − ω α α = −ξ sen t 1 t cos e -) t ( y d 2 d t w_n (5.69)

O valor de regime y(t) pode ser obtido substituindo diretamente t→∞em (5.68) ou aplicando o teorema do valor final em (5.65), i.e.,

α ω ξω αω ₌ + + ⋅ = = ∞ _{→ →} ) 2 ( 1 lim ) ( ). ( lim ) ( _{2 2} 2 0 0 n n n s s s s s s s G s sU Y (5.70)

Como o sinal de entrada é um degrau unitário, o ganho DC da função de transferência G(s) apresenta o mesmo valor de regime do sinal de saída , pois:

α ω ξω αω ₌ + + = = _{→ →} ) 2 ( lim ) ( lim _{2 2} 2 0 0 n n n s s DC s s s G Ganho (5.71)

A resposta transitória de sistemas de segunda ordem do tipo apresentado em (5.58), quando sujeitos a um sinal de excitação do tipo degrau, admitindo nulas as variáveis de saída do sistema e suas derivadas sucessivas em t=0, é completamente determinada com base na equação (5.68). Como pode-se observar, a equação (5.68) é função apenas do ganho DC α do coeficiente de amortecimento ξ, e da freqüência natural ωn. Desta forma, a resposta transitória deste sistema também dependerá diretamente dos

parâmetros ξ, e ωn , e o valor de regime dependerá do ganho DC α .O gráfico da Figura 5.18 mostra quais

Fig. 5.18: Resposta ao degrau de um sistema descrito por (5.58) destacando pontos relevantes. Na Figura 5.18 observa-se alguns pontos relevantes na resposta temporal de (5.58) quando este sistema transitória é sujeito a uma entrada em degrau. Tais pontos são definidos a seguir:

• tr (rise time) - Tempo de subida: tempo necessário para que a variável de saída do sistema passe de 0 a 100% do seu valor final;

• tp (peak time) – Tempo de pico: tempo necessário para que a variável de saída alcance seu valor máximo;

• Mp (maximum peak) – Sobre-sinal máximo: valor máximo que a variável de saída do sistema alcança em relação ao valor de regime permanente;

• ts (settling time) – Tempo de estabilização: tempo necessário para que a variável de saída do sistema alcance e permaneça dentro de uma faixa próxima de seu valor final. Esta faixa normalmente é especificada com valores percentuais absolutos (usualmente 2% ou 5%). Todos estes valores são deduzidos a partir de (5.68)2 considerando que a resposta do sistema é subamortecida, isto é 0<ξ<1. A Tabela 5.6 mostra as expressões matemáticas utilizadas na determinação de cada uma destas variáveis.

tr d arc ω ξ π− cos tp d ω π Mp π ξ ξ         − − 2 1 e ts n ξω 4 (2%) ou n ξω 3 (5%)

Tab. 5.6: Relação entre as variáveis ξ e ωn com as especificações da resposta transitória.

2

A dedução detalhada das equações apresentadas na Tabela 5.6 são encontradas no Livro Engenharia de Controle Moderno, K. Ogata, 1º edição.

Alguns comentários são necessários sobre as especificações da resposta transitória apresentada na Tabela 5.6:

• As constantes de tempo de um sistema de 2º ordem são dadas pelo inverso do valor da parte real dos pólos. O tempo de estabilização de sistemas de 1º e 2º ordem dependem igualmente das constantes de tempo associadas a esses sistemas. Quando a parte real do pólo complexo conjugado é positiva a resposta temporal não entra em regime pois o fator exponencial da equação (5.68) tende aumentar com o tempo. A Figura 5.19 mostra a resposta temporal instável de um sistema de 2º ordem que apresenta pólos complexos com a parte real positiva.

Fig.. 5.19: Resposta temporal de um sistema de 2º ordem com os pólos completos localizados em 10±j30.

• O sobre-sinal máximo depende exclusivamente do fator de amortecimento

ξ

, e não é influenciado pela freqüência natural ω_n. A Figura 5.20 apresenta a relação existente entre

ξ

e Mp. O sobre-sinal é considerado em relação ao valor de regime permanente do sinal de saída e não ao valor do sinal de entrada. O sobre-sinal também pode ser apresentado em termos percentuais, i.e.,

π         ξ − ξ − = 1 2 (%) p 100e M (5.72)

Fig.. 5.20: Relação entre ξ e Mp de um sistema de 2º ordem.

•

• O tempo de pico depende diretamente da freqüência natural amortecida do sistema, ω_d.. • Para sistemas de segunda ordem descritos em (5.58), os tipos de respostas temporais

possíveis para uma entrada do tipo degrau está associado a localização dos pólos no plano s e mais especificamente com o valor atribuído ao fator de amortecimento

ξ

, i.e., Fator de

amortecimento

Tipo de pólos Localização dos pólos no plano s

Tipo de resposta temporal

Exemplo

ξ > 1 Pólos reais Semi-plano esquerdo Superamortecida Fig. 5.11 Ba = 200 ξ = 1 Pólos reais múltiplos Semi-plano esquerdo Criticamente amortecida Fig. 5.11 Ba = 20 1> ξ >0 Pólos complexos Semi-plano

esquerdo

Subamortecida Fig. 5.11 Ba = 2 ξ = 0 Pólos imaginários

puros

Eixo Imaginário Oscilatória Fig. 5.11 Ba = 0 0 > ξ > -1 Pólos complexos Semi-plano direito Instável Fig. 5.19

ξ = -1 Pólos reais múltiplos

Semi-plano direito Instável

ξ < -1 Pólos complexos Semi-plano direito Instável

Preencha a Tabela 5.8 com as características de dez sistemas de 2º ordem apresentados e esboce a resposta temporal y(t) para cada caso. Considere o sinal de entrada u(t) do tipo degrau unitário e a função de transferência do sistema igual a

b as s b ) s ( U ) s ( Y ) s ( G ₂ + + = = a b Localização dos pólos ωn ξ ωnξ ωd Mp tp ts 0 900 4 40 9 225 10 61 10 250 10 925 15 225 20 1000 -20 1000 21 225

Tab. 5.8: Características de dez sistemas de segunda ordem distintos.

Para verificar as especificações calculadas da Tabela 5.8 são corretas, execute os seguintes comandos no Maltab, substituindo a e b, pelos valores apresentados na Tabela.;

» num = b; » den = [1 a b ]; » step(num,den)

Por que a determinação das características na área selecionada em cinza da Tabela 5.8 são inconsistentes?

Relacionar os sistemas de 2º ordem da Tab. 5.8 com as respostas temporais apresentadas nas Figuras 5.21 a 5.24.

Verificar que a resposta temporal relativa ao sistema instável foi apresentada na Fig. 5.19.

Fig.. 5.21: Respostas temporais de sistemas de 2º ordem com mesmo fator de amortecimento.

Fig.. 5.23: Respostas temporais de sistemas de 2º ordem com a mesma freqüência natural amortecida.

Fig.. 5.24: Respostas temporais de sistemas de 2º ordem com a mesma freqüência natural.

Marque os pólos dos sistemas de 2º ordem da Tab. 5.7 no plano s apresentado na Figura 5.25. Procure relacionar a posição dos pólos com as especificações das respostas temporais apresentadas na mesma tabela.

Exercícios

1. Considere as seguintes funções de transferência: Sistema 1: 10 s 10 ) s ( G + = Sistema 2: 2 ) 10 s ( 100 ) s ( G + =

i. Determine para cada um dos sistemas, a resposta ao degrau considerando condições iniciais da variável de saída e de sua derivadas nulas;

ii. Avalie as constantes de tempo e os tempos de estabilização.

iii. Trace o gráfico de ambas as respostas utilizando o Matlab e avalie as diferenças encontradas em ambos os casos. Pode-se afirmar que a função de transferência do sistema 1 é uma boa aproximação da função de transferência do sistema 2?

2. Considere as seguintes funções de transferência: Sistema 1: ) 200 s 20 s )( 100 s ( 20000 ) s ( G 2_{+ +} + = Sistema 2: ) 200 s 20 s )( 50 s ( 10000 ) s ( G ₂ + + + = Sistema 3: ) 200 s 20 s )( 10 s ( 2000 ) s ( G 2_{+ +} + = Sistema 4: ) 200 s 20 s )( 1 s ( 200 ) s ( G 2_{+ +} + =

i. Para cada um destes sistemas, faça o diagrama de pólos e zeros.

ii. Obtenha a resposta ao degrau de cada um destes sistemas considerando condições iniciais da variável de saída e de sua derivadas nulas; trace o gráfico utilizando a função step do Matlab. iii. Obtenha, para o item ii. os tempos de estabilização, de pico e também o máximo valor atingido

pela variável de saída em cada um dos casos. Preencher a Tabela 5.9. Sistema Localização dos

pólos Sobre-sinal Mp Tempo de pico tp Tempo de estabilização ts 1 2 3 4

iv. Compare os resultados obtidos no item iii. com os valores calculados empregando a Tabela 5.10, admitindo o seguinte sistema de segunda ordem

) 200 s 20 s ( 200 ) s ( G 2_{+ +} = Sistema Localização dos

pólos Sobre-sinal Mp Tempo de pico tp Tempo de estabilização ts 2º Ordem

Tab. 5.10: Especificações relativas ao sistema de 2º ordem do exercício 2.

v. Compare os resultados obtidos no item iii. com os valores calculados empregando a Tabela 5.11, admitindo o seguinte sistema de primeira ordem

) 1 s ( 1 ) s ( G + = Sistema Localização dos pólos

Constante de tempo Tempo de estabilização ts 1º Ordem

Tab. 5.11: Especificações relativas ao sistema de 1º ordem do exercício 2.

vi. Verifique quais sistemas apresentados na Tabela 5.9 podem ser aproximados pelas funções de transferência de 2º e 1º ordem mostrados na Tabelas 5.10 e 5.11.

3. Para o sistema de segunda ordem apresentado em (5.30), desenhe a região no plano s tal que: i. 5.0 ≤ ωn ≤ 10.0 rad/s e 0.3 ≤ ξ ≤ 0.7