Prof. Paulo Roberto
MÓDULO I
ENCONTRO 01---Função, Domínio e Imagem, Tipos, composição e inversibilidade. ENCONTRO 02 ---Função (função do primeiro grau).
ENCONTRO 03---Função Afim
ENCONTRO 04 ---Função Quadrática. (função do segundo grau). ENCONTRO 05 --- Função Quadrática.
PRIMEIRA FASE ENCONTRO 01
SÉRIE AULA
Lembrando as definições de domínio e imagem de uma função, assim como as definições de função injetora, sobrejetora e bijetora. Assim , por exemplo , sendo dado o gráfico cartesiano de uma função f , podemos dizer que:
a) a projeção da curva sobre o eixo dos x , nos dá o domínio da função .
b) a projeção da curva sobre o eixo dos y , nos dá o conjunto imagem da função .
c) toda reta vertical que passa por um ponto do domínio da função , intercepta o gráfico da função em no máximo um ponto (definição de função) .
Veja a figura abaixo, relativa aos ítens a, b e c acima:
2 -Tipos de funções
2.1 - Função sobrejetora
É aquela cujo conjunto imagem é igual ao contradomínio . Exemplo:
2.2 - Função injetora
Uma função y = f(x) é injetora quando elementos distintos do seu domínio , possuem imagens distintas, isto é:
x1 ≠ x2 → f(x1) ≠ f(x2) .
2.3 - Função bijetora
Uma função é dita bijetora , quando é ao mesmo tempo , injetora e sobrejetora . Exemplo:
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS: 1. Considere três funções f, g e h, tais que:
A função f atribui a cada pessoa do mundo, a sua idade. A função g atribui a cada país, a sua capital
A função h atribui a cada número natural, o seu dobro. Podemos afirmar que, das funções dadas, são injetoras: a) f, g e h b) f e h c) g e h d) apenas h e) nenhuma delas SOLUÇÃO:
Sabemos que numa função injetora, elementos distintos do domínio, possuem imagens distintas, ou seja: x1 ≠ x2 → f(x1) ≠ f(x2) .
Logo, podemos concluir que:
f não é injetora, pois duas pessoas distintas podem ter a mesma idade. g é injetora, pois não existem dois países distintos com a mesma capital.
h é injetora, pois dois números naturais distintos, possuem os seus dobros também distintos. Assim é que concluímos que a alternativa correta é a de letra C.
EXERCÍCIOS
1. (UFRN/2009) Considere a função f: definida por f(x) 3x2 6. a) Determine o valor de f (15) .
b) Determine x , no domínio de f, de modo que f (x) = 762 .
c) Explique por que não é possível encontrar valores, no domínio de f, com x1 x2, de modo que
1 2
f(x ) f(x ).
2. (UFMS/2009) Seja F uma função dada por:
2 12 - 2x - x F(x) e
x 2
Qual é o total de números naturais do domínio máximo da função F?
3. (UNESP SP/2010) Através dos gráficos das funções f(x) e g(x), os valores de f(g(0)) e g(f(1)) são, respectivamente: a) –5 e 0. b) –5 e 2. c) 0 e 0. d) 2 e –5. e) 2 e 0.
4. (UECE/2009) Se f e g são funções reais de variável real, definidas por f(x) x 1 2 e
2
g(x) 4x , a expressão algébrica que define a composta h(x) f(g(x))
a) 2x2 1
2. b) x
2 – 2x +1.
c) 4x2 – 1. d) x2 + 2x +1.
5. (FURG RS/2003) O gráfico da função f(x) é mostrado na figura abaixo. Qual dos gráficos apresentados a seguir pode ser o gráfico de 1
f(x)?
a) b)
c) d)
e)
6. (UFSCar SP/2000) A equação que mais aproximadamente é representada pela curva ao lado é:
a) xy = 1. b) x + y – 1 = 0. c) xy = 0. d) x2 – y = 0. e) x – y – 1 = 0.
7. (FURG RS/2000) O domínio da função inversa f–1(x) de f(x) 3x 1 2 x é: a) {x R / x 2} b) x R / x 1 e x 2 3 c) x R / x 1 3 d) { x R / x -3} e) x R / x 3 e x 1 3 GABARITO: 1) Gab: a) 669 b) x = 16
c) A função no domínio de f é injetiva, pois se x1 x2, então f(x )1 f(x )2
Vejam-se os cálculos: 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 x x x x 3x 3x 3x 6 3x 6 f(x ) f(x ) 2) Gab: 04 3) Gab: B 4) Gab: A 5) Gab: A 6) Gab: A 7) Gab: D
a) Temos q = h( ), e é tal que f( ) = g( )
–2 2 2 2 2 2 2 3 – 2 2 (2 ) 4·2 – 3 0 –4 2 7 2 –2 7. Como 2 0 2
Para todo R, 2 –2 7. Logo q h( ) 2 3 – 2 (2 ) 3 – 4·2
(–2 7) 3 – 4·(–2 7) 22 – 8 7.
SÉRIE CASA
1. (MACK SP) Considere f(x) = ax + b. Se f(0) = 1 e f(0) + f(1) + f(2) + … + f(10) = –99, o valor de a3 + b3 é a) –7 b) 9 c) 8 d) –4 e) –1
2. (UNESP SP) Observe o gráfico da função f(x) e analise as afirmações a seu respeito.
I. Se x1, x2 Dom(f) e x2 > x1, então f(x2) > f(x1). II. Se x > 1, então f(x) < 0.
III. O ponto (2, –2) pertence ao gráfico de f(x).
IV. A lei de formação de f(x) representada no gráfico é dada por f(x) =
2 1
(x–1).
A alternativa que corresponde a todas as afirmações verdadeiras é: a) I e III.
b) I, II e III.
c) I e IV. d) II, III e IV.
e) II e IV.
3. (UFF RJ) Em Mecânica Clássica, a norma G do campo gravitacional gerado por um corpo de massa m em um ponto a uma distância d > 0 do corpo é diretamente proporcional a m e inversamente proporcional ao quadrado de d. Seja G = f(d) a função que descreve a norma G do campo gravitacional, gerado por um corpo de massa constante m em um ponto a uma distância d > 0 desse corpo.
É correto afirmar que f(2d) é igual a: a) f(d) 4 b) f(d) 2 c) 4f(d) d) 2f(d) e) f(d)
4. (UEPG PR) Considerando f(2) 1 e f(a·b) f(a) f(b), assinale o que for correto. 01. f(16) = 4 02. f( 2) 1 2 04. f(1) = 0 08. f 1 2 2 16. f(6) = 3
5. (UNCISAL) Seja a função h definida por h(t) 2(t - 3) . Para 3 h(t) -60 teremos 2 – 3t igual a a) –11.
b) –7.
c) 11. d) 15. e) 35.
6. (UPE) Uma função f, de R em R, tal que f(x 5) f(x), f( x) f(x), f 1 1
3 . Seja 16 a f 3 , 29 b f
3 e c f(12) f( 7) então podemos afirmar que a, b e c são números reais, tais que a) a = b + c b) b = a + c c) c = a – b d) c a b 2 e) a b c 2
7. (UFG GO) A porcentagem de gordura corporal pode ser estimada pela fórmula G 457 412,4 D
(fórmula de Brozek), sendo que D é a densidade corporal, medida em gramas por centímetro cúbico, e obtida fazendo o quociente entre a massa corporal e o volume corporal. Por exemplo, para uma pessoa com densidade corporal de 1,033 gramas por centímetro cúbico, a sua porcentagem de gordura é, aproximadamente, G = 30. Assim, determine o intervalo em que deve estar o volume corporal de uma pessoa de 65 kg, com porcentagem de gordura entre 10 e 20.
8. (ESPM SP) Seja f : R R uma função polinomial do primeiro grau tal que f(x) f( x) x para qualquer x R. Se f(2) 4, então f(4) é igual a:
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
9. (UNIFOR CE) Seja a função de IR em IR, definida por f(x) 2 x se x2 Q
x se x Q. Calculando o valor da Expressão 1 5 f(f( 12)) f(f( )) f(f( 3) obtém-se um número a) compreendido entre 0 e 3. b) divisível por 6. c) múltiplo de 11. d) irracional. e) negativo. GABARITO:
1) Gab: A 2) Gab: E 3) Gab: A
4) Gab: a) 669 b) x = 16
c) A função no domínio de f é injetiva, pois se x1 x2, então f(x )1 f(x )2 Vejam-se os cálculos: 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 x x x x 3x 3x 3x 6 3x 6 f(x ) f(x )
5) Gab: 07 6) Gab: C 7) Gab: D
8) Gab: O volume corporal deve estar entre 60078,77 cm3 e 61501,09 cm3. 9) Gab: D
ENCONTRO 02 e 03 Um breve comentário sobre Função Afim.
Uma função definida por f: R→R chama-se afim quando existem constantes a, b que pertencem ao conjunto dos reais tais que f(x)= ax + b para todo x ∈ R. A lei que define função afim é:
O gráfico de uma função afim é uma reta não perpendicular ao eixo Ox.
Domínio: D = R Imagem: Im = R
Função linear
Uma função definida por f: R→R chama-se linear quando existe uma constante a ∈ R tal que f(x) = ax para todo x ∈ R. A lei que define uma função linear é a seguinte:
O gráfico da função linear é uma reta, não perpendicular ao eixo Ox e que cruza a origem do plano cartesiano. Nos casos de a>0, essa é a função que relaciona grandezas diretamente proporcionais, em que o coeficiente angular a também pode ser chamado de constante de proporcionalidade.
Domínio: D = R
Imagem: Im = R Função constante
Uma função definida por f: R→R chama-se constante quando existe uma constante b R tal que f(x) = b para todo x ∈ R. A lei que define uma função constante é:
O gráfico de uma função constante, é uma reta paralela ou coincidente ao eixo Ox q que cruza o eixo Oy no ponto de ordenada b.
Coeficientes numéricos
Cada coeficiente numérico de uma função caracteriza um elemento do gráfico dessa função.
• Coeficiente a: coeficiente angular de uma reta. A é igual à tangente do ângulo que a reta faz com o eixo x. Também pode ser chamado de taxa de variação da função afim ou ainda taxa de crescimento ou decrescimento linear.
Quando a > 0, a função é crescente. Quando a < 0, a função é decrescente.
• Coeficiente b: é a ordenada do ponto em que o gráfico de f cruza o eixo das ordenadas, ou seja, b = f(0).
EXERCÍCIOS
1. (UNICAMP-2013) A numeração dos calçados obedece a padrões distintos, conforme o país. No Brasil, essa numeração varia de um em um, e vai de 33 a 45, para adultos. Nos Estados Unidos a numeração varia de meio em meio, e vai de 3,5 a 14 para homens e de 5 a 15,5 para mulheres.
a) Considere a tabela ao lado.
Suponha que as grandezas estão relacionadas por funções afins t(x) = ax + b para a numeração brasileira e x(t) = ct + d para o comprimento do calçado. Encontre os valores dos parâmetros a e b da expressão que permite obter a numeração dos calçados brasileiros em termos do comprimento, ou os valores dos parâmetros c e d da expressão que fornece o comprimento em termos da numeração.
b) A numeração dos calçados femininos nos Estados Unidos pode ser estabelecida de maneira aproximada pela função real f definida por f(x) = 5(x − 20)/3, em que x é o comprimento do calçado em cm. Sabendo que a numeração dos calçados nk formam uma progressão aritmética de razão 0,5 e
primeiro termo n1 = 5, em que nk = f(ck), com k natural, calcule o comprimento c5.
2. (UFES-Modificada) Em 1950, as populações de Tóquio e de Nova Iorque eram de 7 e 12,6 milhões de habitantes, respectivamente. Em 1974, as populações de Tóquio e de Nova Iorque passaram para 20 e 16 milhões de habitantes, respectivamente. Admitinda que o crescimento populacional dessas cidades foi linear no período 1950-1974.
a) Monte um gráfico cartesiano representado os gráficos das funções de crescimento dessas duas populações.
b) Obtenha as funções de crescimento dessas populações.
c) Em que ano as duas cidades ficaram com a mesma população?
3. (UFES-2005) No tempo t = 0, o tanque de um automóvel está com 6 litros de combustível. A partir desse instante, ele é abastecido, e o volume de combustível no tanque aumenta a uma razão constante de 3 litros por minuto, durante 10 minutos. Logo em seguida, o automóvel entra em movimento e leva 3 horas para gastar todo o combustível e parar. Durante essas 3 horas, o volume de combustível no tanque, em litros, é descrito por uma função do segundo grau do tempo t , em minutos. O gráfico dessa função do segundo grau é uma parábola com vértice no ponto (190, 0). Designando por V t o volume de combustível no tanque, em litros, em função do tempo t , em minutos, para 0 t 190,
a) determine a expressão de v(t) e esboce o seu gráfico. b) determine em quais instantes de tempo t , tem-se v (t) = 9. 4. Observe esta figura:
Nessa figura, L1 e L2 são segmentos de reta que ligam os pontos (0,2), (2,2) e (4,0).
Uma função f: [0,4] IR é definida associando-se a cada t [0,4] o valor da área da região limtitada pelas retas x = 0, x = t, y = 0 e a poligonal formada pelos segmentos L1 e L2.
Por exemplo, o valor de 5 f
2
é a área da área da região sombreada na figura.
Considerando essas informações, a) DETERMINE os valores de f(1) e f(3).
b) DETERMINE as expressões de f(t) para 0 < t < 2 e para 2 < t < 4. c) ESBOCE o gráfico da função f(t).
SÉRIE CASA
1. (FGV /2011) Uma pequena empresa fabrica camisas de um único modelo e as vende por R$ 80,00 a unidade. Devido ao aluguel e a outras despesas fixas que não dependem da quantidade produzida, a empresa tem um custo fixo anual de R$ 96 000,00. Além do custo fixo, a empresa tem que arcar com custos que dependem da quantidade produzida, chamados custos variáveis, tais como matéria-prima, por exemplo; o custo variável por camisa é R$ 40,00. Em 2009, a empresa lucrou R$ 60 000,00. Para dobrar o lucro em 2010, em relação ao lucro de 2009, a quantidade vendida em 2010 terá de ser x% maior que a de 2009. O valor mais próximo de x é:
a) 120 b) 100 c) 80 d) 60 e) 40
2. (UNESP SP/2008) O consumo médio de oxigênio em ml/min por quilograma de massa (ml/min.kg) de um atleta na prática de algumas modalidades de esporte é dado na tabela seguinte.
2 Consumo médio de Esporte O em ml/min.kg Natação 75 Tênis 65 Marcha atlética 80
Dois atletas, Paulo e João, de mesma massa, praticam todos os dias exatamente duas modalidades de esporte cada um. Paulo pratica diariamente 35 minutos de natação e depois t minutos de tênis. João pratica 30 minutos de tênis e depois t minutos de marcha atlética. O valor máximo de t para que João não consuma, em ml/kg, mais oxigênio que Paulo, ao final da prática diária desses esportes, é:
a) 45. b) 35. c) 30. d) 25. e) 20.
3. (UFG GO/2006) Considere a tabela abaixo.
Índice de massa corporal Classificação Abaixo de 20 Abaixo do peso Entre 20 e 25 Saudável Entre 25 e 30 Sobrepeso Entre 30 e 40 Obesidade
O índice de massa corporal é obtido dividindo-se o peso em kg pelo quadrado da altura medida em metros. Determine, para uma pessoa de 1,70 m de altura, o intervalo de variação do peso para que ela seja considerada saudável.
4. (PUC RJ/2006) Quantos números inteiros satisfazem simultaneamente as desigualdades 2x 3 x 7 3x 1:
a) 4 b) 1 c) 3 d) 2 e) 5
5. (FGV /2011) Nos últimos anos, o salário mínimo tem crescido mais rapidamente que o valor da cesta básica, contribuindo para o aumento do poder aquisitivo da população. O gráfico abaixo ilustra o crescimento do salário mínimo e do valor da cesta básica na região Nordeste, a partir de 2005. Suponha que, a partir de 2005, as evoluções anuais dos valores do salário mínimo e dos preços da cesta básica, na região Nordeste, possam ser
aproximados mediante funções polinomiais do 1º grau, f(x) = ax + b , em que x representa o número de anos transcorridos após 2005. a) Determine as funções que expressam os
crescimentos anuais dos valores do salário mínimo e dos preços da cesta básica, na região Nordeste. b) Em que ano, aproximadamente, um salário
mínimo poderá adquirir cerca de três cestas básicas, na região Nordeste? Dê a resposta aproximando o número de anos, após 2005, ao inteiro mais próximo.
6. (UFPR/2011) Um telhado inclinado reto foi construído sobre três suportes verticais de aço, colocados nos pontos A, B e C, como mostra a figura abaixo.
Os suportes nas extremidades A e C medem, respectivamente, 4 metros e 6 metros de altura. A altura do suporte em B é, então, de:
a) 4,2 metros. b) 4,5 metros. c) 5 metros. d) 5,2 metros. e) 5,5 metros.
7. (UFPR/2011) Durante o mês de dezembro, uma loja de cosméticos obteve um total de R$ 900,00 pelas vendas de um certo perfume. Com a chegada do mês de janeiro, a loja decidiu dar um desconto para estimular as vendas, baixando o preço desse perfume em R$ 10,00. Com isso, vendeu em janeiro 5 perfumes a mais do que em dezembro, obtendo um total de R$ 1.000,00 pelas vendas de janeiro. O preço pelo qual esse perfume foi vendido em dezembro era de:
a) R$ 55,00. b) R$ 60,00.
c) R$ 65,00. d) R$ 70,00.
e) R$ 75,00.
8. (UFG GO/2010) Dados experimentais indicam que a dilatação linear experimentada por um objeto material é proporcional ao seu comprimento inicial (L0) e à variação da temperatura a que é submetido ( T), sendo que a constante de proporcionalidade, denominada de coeficiente de dilatação linear ( ), depende do material utilizado.Um fio de alumínio ( = 25 · 10–6 ºC–1) de 10 m de comprimento está a uma temperatura de 20 ºC, e é fixado pelas extremidades entre dois suportes, cuja distância é de 10 m. Um peso é colocado em seu ponto médio, de modo que o fio
possa ser considerado reto entre o ponto médio e cada extremidade. Caso o fio seja aquecido, atingindo uma temperatura de 40 ºC, ele sofrerá uma dilatação, de modo que o ponto médio estará a uma distância H da horizontal, como mostrado na figura. Nessa situação, qual é o valor de H em centímetros?
9. (FUVEST SP/2009) Na figura ao lado, a reta r tem equação y 2 2x 1 no plano cartesiano Oxy. Além disso, os pontos B ,B ,B ,B0 1 2 3 estão na reta r, sendo
0
B (0,1). Os pontos A ,A ,A ,A0 1 2 3 estão no eixo Ox, com
0
A O (0,0). O ponto Di pertence ao segmento A Bi i, para
1 i 3. Os segmentos A B1 1, A B2 2, A B3 3 são paralelos ao eixo Oy, os segmentos B D0 1, B D1 2, B D2 3 são paralelos ao eixo Ox, e a distância entre Bi e Bi+1 é igual a 9, para 0 i 2.
Nessas condições:
a) Determine as abscissas de A1, A2, A3.
b) Sendo Ri o retângulo de base Ai Ai+1 e altura Ai+1 D+1, para
0 i 2, calcule a soma das áreas dos retângulos R0, R1 e R2.
10. (UERJ/2011) Em um determinado dia, duas velas foram acesas: a vela A às 15 horas e a vela B, 2 cm menor, às 16 horas. Às 17 horas desse mesmo dia, ambas tinham a mesma altura. Observe o gráfico que representa as alturas de cada uma das velas em função do tempo a partir do qual a vela A foi acesa.
11. (UNESP SP/2010) Uma fábrica utiliza dois tipos de processos, P1 e P2, para produzir dois tipos de chocolates, C1 e C2. Para produzir 1 000 unidades de C1 são exigidas 3 horas de trabalho no processo P1 e 3 horas em P2. Para produzir 1 000 unidades de C2 são necessárias 1 hora de trabalho no processo P1 e 6 horas em P2. Representando por x a quantidade diária de lotes de 1 000 unidades de chocolates produzidas pelo processo P1 e por y a quantidade diária de lotes de 1000 unidades de chocolates produzidas pelo processo P2, sabe-se que o número de horas trabalhadas em um dia no processo P1 é 3x + y, e que o número de horas trabalhadas em um dia no processo P2 é 3x + 6y. Dado que o lucro na venda de uma unidade do chocolate produzido pelo processo P1 é de R$ 0,50, enquanto que o lucro na venda de uma unidade do chocolate produzido pelo processo P2 é de R$ 0,80, e se forem vendidas todas as unidades produzidas em um dia nos dois processos, no número máximo possíveis de horas, o lucro obtido, em reais, será:
a) 3.400,00. b) 3.900,00. c) 4.700,00. d) 6.400,00. e) 11.200,00. 12. (FAMECA SP/2010) Suponha que no gráfico esteja representado o número de produtores que
adotaram o controle biológico de pragas em uma certa região, que passaram de 2600 em junho/2007 para 5200 em junho/2009. Admita que o aumento se mantenha nos próximos 3 anos. De acordo com a função representada no gráfico, o número desses produtores, em dezembro/2009, será igual a a) 5 800. b) 5 850. c) 6 500. d) 6 850. e) 7 000. GABARITO: 1) Gab: E 2) Gab: A 3) Gab: 72,25 kg 4) Gab: D 5) Gab: a) Salário mínimo f(x) = 42x + 300 Cesta básica f(x) = 6x + 154 b) 42x + 300 = 3(6x + 154) x = 6,75 ; aproximadamente 7 anos. No ano 2012. 6) Gab: D 7) Gab: B 8) Gab: H 15,8 cm 9) Gab: a) 3, 6 e 9 b) 9 54· 2 10) Gab: hA = 8 cm hB = 6 cm 11) Gab: A 12) Gab: B ENCONTROS 04 e 05
Um breve comentário sobre função quadrática: Gráfico
O gráfico de uma função polinomial do 2º grau, y = ax2 + bx + c, com a 0, é uma curva chamada parábola.
Exemplo:
Vamos construir o gráfico da função y = x2 + x:
Primeiro atribuímos a x alguns valores, depois calculamos o valor correspondente de y e, em seguida, ligamos os pontos assim obtidos.
x y -3 6 -2 2 -1 0 0 0 1 2 2 6
Ao construir o gráfico de uma função quadrática y = ax2 + bx + c, notaremos sempre que: se a > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima;
se a < 0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo;
Zero e Equação do 2º Grau
Chama-se zeros ou raízes da função polinomial do 2º grau f(x) = ax2 + bx + c , a 0, os números reais x tais que f(x) = 0.
Então as raízes da função f(x) = ax2 + bx + c são as soluções da equação do 2º grau ax2 + bx + c = 0, as quais são dadas pela chamada fórmula de Bhaskara:
Temos:
A quantidade de raízes reais de uma função quadrática depende do valor obtido para o radicando , chamado discriminante, a saber:
quando é positivo, há duas raízes reais e distintas;
quando é zero, há só uma raiz real (para ser mais preciso, há duas raízes iguais); quando é negativo, não há raiz real.
Coordenadas do vértice da parábola
Quando a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima e um ponto de mínimo V; quando a < 0, a parábola tem concavidade voltada para baixo e um ponto de máximo V.
Imagem
O conjunto-imagem Im da função y = ax2 + bx + c, a 0, é o conjunto dos valores que y pode assumir. Há duas possibilidades: 1ª - quando a > 0, a > 0 2ª quando a < 0, a < 0
Sinal
Consideramos uma função quadrática y = f(x) = ax2 + bx + c e determinemos os valores de x para os quais y é negativo e os valores de x para os quais y é positivos.
Conforme o sinal do discriminante = b2 - 4ac, podemos ocorrer os seguintes casos: 1º - > 0
Nesse caso a função quadrática admite dois zeros reais distintos (x1 x2). a parábola intercepta o eixo Ox em dois pontos e o sinal da função é o indicado nos gráficos abaixo:
quando a > 0 y > 0 (x < x1 ou x > x2) y < 0 x1 < x < x2 quando a < 0 y > 0 x1 < x < x2 y < 0 (x < x1 ou x > x2) 2º - = 0 quando a > 0 quando a < 0
3º - < 0
quando a > 0
quando a < 0
Fatorações da função quadrática
A forma geral da função quadrática é dada por y=ax2+bx+c.
Se conhecermos as raízes da função, podemos reescrevê-la sob a forma: y=a(x-x1)(x-x2) em que x1 e x2 são as referidas raízes.
Forma canônica
Sabe-se que a função quadrática é determinada pela seguinte expressão: f(x)=ax2+bx+c
Contudo, se fizermos algumas manipulações algébricas do lado direito desta igualdade, por meio do processo de completar quadrados.
(f(x)=ax2+bx+c (Colocando o termo a em evidência)
Veja que as duas parcelas destacadas podem ser usadas para o processo de completar quadrados:
Portanto, basta somarmos e subtrairmos o último termo na nossa função f(x) (Processo para completar quadrados).
Sendo assim, completando o quadrado na função, temos:
Essa expressão também pode ser escrita da seguinte maneira:
Note que:
Sendo assim, outra maneira de escrevermos a função quadrática de forma canônica é: f(x)=a(x-m)2+k
Façamos um exemplo no qual devemos escrever uma função quadrática qualquer: f(x)=x2-3x-7
Devemos destacar os coeficientes e determinar os valores de m e k:
EXERCÍCIOS:
1. (FGV-2013) Uma única linha aérea oferece apenas um voo diário da cidade A para a cidade B. O número de passageiros y que comparecem diariamente para esse voo relaciona-se com o preço da passagem x , por meio de uma função polinomial do primeiro grau. Quando o preço da passagem é R$ 200,00, comparecem 120 passageiros e, para cada aumento de R$ 10,00 no preço da passagem, há uma redução de 4 passageiros. Qual é o preço da passagem que maximiza a receita em cada voo? 2. (UFES 99) Um portal de igreja tem a forma de um arco de parábola. A largura de sua base AB (veja
figura) é 4m e sua altura é 5m. Qual a largura XY de um vitral colocado a 3,2m acima da base?
3. (FUVEST 2005) Suponha que um fio suspenso entre duas colunas de mesma altura h, situadas à distância d (ver figura), assuma a forma de uma parábola.
Suponha também que
I. a altura mínima do fio ao solo seja igual a 2;
II. a altura do fio sobre um ponto no solo que dista d/4 de uma das colunas seja igual a h/2.
4. (UFES-2006) Uma pequena localidade é abastecida com água extraída de 6 poços, cada um possuindo uma vazão de 1.100 litros de água por hora. A prefeitura dessa cidade pretende aumentar o número de poços; porém, para cada poço adicional perfurado, estima-se que a vazão por poço diminui em 25 litros por hora. Por exemplo, com um poço adicional perfurado, a vazão de cada um dos 7 poços fica em 1075 litros por hora.
a) Calcule o tempo que os 6 poços iniciais levam para fornecer um volume de 17.600 litros de água. b) Dê a expressão da vazão por poço em função do número de poços adicionais perfurados. c) Dê a expressão da vazão total em função do número de poços adicionais perfurados.
d) Determine o menor número de poços que devem ser perfurados para que a vazão total seja de 9.225 litros por hora.
e) Determine o número de poços adicionais a serem perfurados de modo que a vazão total seja a maior possível e calcule essa vazão máxima.
5. (UFES_2007/1) A temperatura de uma certa cidade num determinado dia foi expressa por uma função quadrática. Sabendo que nesse dia a temperatura atingiu o valor de 20°C nos dois horários, às 8 horas e às 18 horas, e que a temperatura máxima desse dia foi de 30°C, determine:
a) a expressão da temperatura em °C em função da hora t desse dia, para 8 ≤ t ≤ 18; b) os horários desse dia, nos quais a temperatura atingiu o valor de 26,4ºC.
6. (UNICAMP-2005) A função y = ax2 + bx + c, com a ≠ 0, é chamada função quadrática. a) Encontre a função quadrática cujo gráfico passa pelos pontos A(0;2), B(– 1;1) e C(1;1).
b) Dados os pontos A(x0, y0), B(x1, y1) e C(x2, y2), mostre que, se x0 < x1 < x2 e se os pontos A, B e C não pertencem a uma mesma reta, então existe uma única função quadrática cujo gráfico passa pelos pontos A, B e C.
7. (UFES-2010) Num país longínquo, a tributação sobre a venda de veículos novos é feita por meio de um imposto único de 8%, que incide sobre o valor de venda estipulado pelas concessionárias. O preço final de um veículo ao consumidor é o valor estipulado pelas concessionárias acrescido dos 8% de imposto, que as concessionárias então repassam ao governo. Como as vendas vinham caindo muito, em decorrência da crise mundial, o governo resolveu reduzir temporariamente esse imposto para 4%. a) Determine a queda percentual no preço final de um veículo novo ao consumidor. Essa queda depende
do preço de venda estipulado pelas concessionárias? Justifique a sua resposta.
b) A redução do imposto veio acompanhada de um acréscimo de 20% nas vendas, o que não impediu que o governo perdesse receita. Determine a queda percentual da receita do governo advinda do imposto sobre a venda de veículos novos.
c) Ao invés de reduzir o imposto para 4%, o governo poderia ter reduzido o imposto para x%. Admitindo que, com a redução do imposto para x%, houvesse um aumento de 5(8 -x)% nas vendas, o governo arrecadaria uma fração f(x) do que arrecadava antes. Determine f(x), 0 < x < 8 , e esboce o gráfico de f. 8. (UP-2009) Qual é o menor comprimento das tábuas verticais
que compõem o barraco da figura ao lado? É sabido que a porta está centralizada e que tem o formata parabólico.
9. (UFES-2012) Em uma competição de tiro, um alvo é lançado a partir do ponto B e percorre uma trajetória parabólica. Um competidor situado no ponto A atira na direção da reta r e acerta o alvo no ponto P, conforme a figura plana esboçada ao lado.
a) Sabendo que a distância do competidor ao local do lançamento do alvo é de 24 m e que a altura máxima da trajetória do alvo é de 16 m, determine a equação da parábola que descreve a trajetória do alvo. b) Sabendo que o competidor atirou formando um ângulo α = 30o com a
horizontal, determine as coordenadas cartesianas do ponto P. GABARITO: De 01 a 08 em sala.
SÉRIE CASA
1. (UFG GO) A figura abaixo representa o gráfico de uma função polinomial de grau 2.
Dos pontos a seguir, qual também pertence ao gráfico? a) (3, –2)
b) (3, –4) c) (4, –2) d) (4, –4) e) (2, –4)
2. (UFBA) Sabendo que os gráficos das funções quadráticas f(x) = x2 – 4x + 3 e g(x) = –x2 – bx + c se intersectam em um ponto do eixo x e em um ponto do eixo y, determine o valor de b4c.
3. (FGV ) O gráfico de uma função quadrática f (x) tem as seguintes características: O vértice é o ponto (4, –1) .
Intercepta o eixo das abscissas no ponto (5,0).
O ponto de intersecção do gráfico com o eixo das ordenadas é:
a) (0,14) b) (0,15) c) (0,16) d) (0,17) e) (0,18)
4. (UEG GO) Uma empresa deseja cercar e gramar um terreno retangular. Determine as dimensões do terreno considerando que ele tenha 160 metros de perímetro e que a empresa gaste exatamente 1500 m2 de grama.
5. (IBMEC RJ) O lucro de vendas de x unidades mensais de certo produto é descrito por uma função quadrática representada pela figura a seguir:
Podemos afirmar que o lucro máximo de vendas, em reais, é de: a) R$ 63.000,00 b) R$ 62.500,00 c) R$ 62.000,00 d) R$ 62,50 e) R$ 62,00
6. (UFT TO) Um jogador de futebol ao bater uma falta com barreira, chuta a bola de forma a encobri-la. A trajetória percorrida pela bola descreve uma parábola para chegar ao gol.
Sabendo-se que a bola estava parada no local da falta no momento do chute, isto é, com tempo e altura iguais a zero. Sabendo-se ainda, que no primeiro segundo após o chute, a bola atingiu uma altura de 6 metros e, cinco segundos após o chute, ela atingiu
altura de 10 metros. Pode-se afirmar que após o chute a bola atingiu a altura máxima no tempo igual a: a) 3 segundos
b) 3,5 segundos
c) 4 segundos d) 4,5 segundos
e) 5 segundos
7. (UNEB BA) Uma fábrica de equipamentos leves fez um estudo de sua produção e conseguiu uma fórmula, cuja expressão é C(n) = 0,6n2 – 120n + 10 000, para obter o custo C, em reais, em função do número n de peças produzidas.
Nessas condições, o custo mínimo, em reais, de produção dessa fábrica é de 01. 3 500
02. 4 000 03. 4 500 04. 5 000 05. 5 500
8. (FGV ) Na figura abaixo temos os gráficos das funções custo (C) e receita de vendas (R) diárias de um produto de uma empresa, em função da quantidade produzida e vendida, em número de unidades.
Podemos afirmar que
a) o lucro será nulo somente se a quantidade produzida e vendida for 30.
b) haverá prejuízo somente quando a quantidade produzida e vendida for menor que 10. c) o prejuízo máximo será de $400.
d) o lucro máximo é superior a $800.
e) haverá lucro positivo quando a quantidade produzida e vendida estiver entre 10 e 30.
9. (UFCG PB) O custo de produção de um produto fabricado por uma cooperativa agrícola, em milhares de reais, é dado pela função C(x) = 4 + 6x, onde x é dado em milhares de unidades. Verificou-se que o faturamento de venda desses produtos, também em milhares de reais, é dado pela função F(x) = x2 + 3x. É correto afirmar que a cooperativa começará a ter lucro com a venda desse produto, a partir da produção de:
a) 3 milhares. b) 2,6 milhares.
c) 7 milhares. d) 2 milhares.
e) 4 milhares.
10. (UFRN) Em uma fábrica, o custo diário com matéria-prima, para produzir x unidades de um produto, é dado pela equação C(x) = 10x. A quantidade de unidades produzidas desse produto, após t horas, 0 t 8, por sua vez, é dada por Q(t) 6t 1t2
2 .
a) Preencha as tabelas de acordo com as expressões das funções Q(t) e C(x) dadas, e explicite os cálculos efetuados.
b) Construa o gráfico da função composta C(Q(t)) , que corresponde ao custo em função das horas( t ). 11. (UFPE) Uma fábrica tem 2.000 unidades de certo produto em estoque e pode confeccionar mais 100
unidades deste produto por dia. A fábrica recebeu uma encomenda, de tantas unidades do produto quantas possa confeccionar, para ser entregue em qualquer data, a partir de hoje. Se o produto for entregue hoje, o lucro da fábrica será de R$ 6,00 por unidade vendida; para cada dia que se passe, a partir de hoje, o lucro diminuirá de R$ 0,20 por unidade vendida. Calcule o lucro máximo, em reais, que a fábrica pode obter com a venda da encomenda e indique a soma de seus dígitos.
12. (UFG GO) Uma fábrica de calçados produz um determinado tipo de sandália, e o custo total de fabricação é de um custo mensal fixo de R$ 4.000,00 mais R$ 8,00 para cada par produzido. O preço de venda de cada par depende da quantidade produzida e é dado pela função p(x) = 40 – x, sendo x a quantidade de pares produzidos e vendidos e é o desconto dado em cada par de sandália.
Considerando-se que o lucro mensal, L(x), da empresa é a diferença entre o faturamento e o custo total de fabricação, calcule o valor do desconto para que a empresa obtenha um lucro máximo vendendo 3.200 pares de sandálias produzidos.
13. (ESPM SP) Um sitiante quer construir, ao lado de um muro retilíneo, dois viveiros retangulares para criação de galinhas e patos, sendo que a área destinada aos patos (P) tem que ter 40 m2 a mais que a destinada às galinhas (G). Para isso ele dispõe de 60 metros lineares de uma tela apropriada, que deverá ser usada para as cercas AB, CD, EF e BF, conforme a figura ao lado:
Para conseguir a maior área possível para os viveiros, a medida DF deverá ser de: a) 15 metros
b) 16 metros
c) 17 metros d) 18 metros
e) 19 metros
14. (ENEM) Um posto de combustível vende 10.000 litros de álcool por dia a R$ 1,50 cada litro. Seu proprietário percebeu que, para cada centavo de desconto que concedia por litro, eram vendidos 100 litros a mais por dia. Por exemplo, no dia em que o preço do álcool foi R$ 1,48, foram vendidos 10.200 litros.
Considerando x o valor, em centavos, do desconto dado no preço de cada litro, e V o valor, em R$, arrecadado por dia com a venda do álcool, então a expressão que relaciona V e x é
a) V = 10.000 + 50x – x2 . b) V = 10.000 + 50x + x2. c) V = 15.000 – 50x – x2 . d) V = 15.000 + 50x – x2 . e) V = 15.000 – 50x + x2 .
15. (FGV) Cada unidade de um brinquedo é vendida pela indústria que o fabrica por R$ 40,00 e a esse preço são vendidas, semanalmente, 500 unidades. Empiricamente sabe-se que, a cada R$ 1,00 de aumento no preço unitário do brinquedo, as vendas semanais diminuirão em 10 unidades.
a) Nessas condições, qual o valor da receita semanal máxima dessa indústria?
b) Se o custo médio semanal de fabricação de x unidades desse brinquedo é dado pela expressão:
me
3000
C (x) 32
x , determine o lucro semanal obtido pela indústria na condição de receita máxima. (Entende-se por custo médio a razão entre o custo total de produção e o número de unidades produzidas.)
GABARITO: 1) Gab: B
2) Gab: 48 3) Gab: B
4) Gab: As dimensões do terreno são 30m e 50m. 5) Gab: B 6) Gab: B 7) Gab: 02 8) Gab: E 9) Gab: E 10) Gab: a) C(x) = 10x 100 = 10x x = 10, C(16) = 10 16 = 160 e C(18) = 10 18 = 180 Q(t) = 6t – 1 2t 2 Q(2) = 6 2 – 2 1 22 = 12 – 2 = 10, Q(4) = 6 4 – 2 1 42 = 24 – 8 = 16 e 18 = 6t – 1t2 2 Resolvendo a equação, encontramos t = 6.
b) 11) Gab: 08 12) Gab: 0,005. 13) Gab: C 14) Gab: D 15) Gab: a) R$20.250,00 b) R$2.850,00
