032
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL INSTITUTO DE MATEMÁTICA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PURA E APLICADA
PLANO DE ENSINO
Objetivos:
- Apresentar panorama atual da computação científica e métodos numéricos;
- Discutir conceitos, resultados e métodos numéricos básicos nas classes de problemas considerados;
- Desenvolver habilidade para desenvolvimento de novos métodos numéricos, sempre que viável; estimular a participação individual e atividades de estudo extra-classe;
- Discutir erros (truncamento, arredondamento) nos problemas e métodos considerados.
Metodologia e Experiências de Aprendizagem:
Aulas expositivas e dialogadas, incluindo notas históricas e resolução de exercícios em aula; também serão atribuídas atividades complementares em período extra-classe,
particularmente resolução de exercícios e estudo de textos (em língua portuguesa ou inglesa) complementando discussões de aula e viabilizando o extenso programa.
Código MAT Nome
01032
Cálculo Numérico A
Créditos/horas-aula Súmula
04 / 60
Semestre
2008-1
Erros; ajustamento de equações; interpolação, derivação e integração; solução de equações lineares e não lineares; solução de sistemas de equações lineares e não lineares; noções de otimização; solução de equações diferenciais e equações diferenciais parciais; noções do método Monte Carlo em suas diferentes aplicações.
Cursos
Ciências Atuariais - Noturno Bacharelado em Estatística
Bacharelado em Matemática – ênfase Matemática Aplicada e Computacional Bacharelado em Matemática – ênfase Matemática Pura
Licenciatura em Matemática
Licenciatura em Matemática – Noturna Bacharelado em Química Química Industrial Etapa 6ª 4ª Eletiva 6ª 8ª 10ª Eletiva Eletiva Pré-Requisitos
INF01210 Introdução à Informática ou MAT01211 Algoritmos e Programação ou MAT01355 Álgebra Linear I – A
e/ou
MAT01167 Equações Diferenciais II ou MAT01356 Equações Diferenciais e Diferenças Finitas ou
MAT01009 Métodos Aplicados de Matemática I Professor Responsável
Conteúdo Programático:
Tópico 1: Introdução à Computação Científica. Computação numérica e simbólica;
visualização científica; linguagens de programação e software científico. Modelagem matemática, leis de conservação e balanceamento, taxas e equações diferenciais. Algoritmos finitos e iterativos; complexidade computacional de problemas e algoritmos; algoritmos determinísticos e probabilísticos, problemas diretos e inversos, determinísticos e estocásticos; algoritmos seminuméricos. Complexidade algébrica e analítica; classes P e NP, problemas NP -completos. Exemplos de problemas de alta complexidade em Matemática, Física
Computacional, CFD e outras áreas. Breves noções sobre arquitetura de computadores, computação paralela e vetorial, clusters de computadores e supercomputação; processadores superpipelined e superescalares, hierarquias de memória, representação interna de dados, operações lógicas e numéricas, computação FP e inteira, operações de I/O; sistemas
operacionais e compiladores. Exemplos de problemas matemáticos massivamente paralelos, paralelização de algoritmos em álgebra linear. Linguagens de programação, bibliotecas e softwares matemáticos; introdução a MATLAB. Computação científica na ufrgs, Brasil e mundo; RNP, CENAPADs; laboratórios, organizações e sociedades. Problemas e perspectivas futuras da Computação Científica; limites da computação; breve introdução a redes neurais, computação quântica e lógica fuzzy.
Tópico 2: Introdução à Análise Numérica. Sistemas de numeração, representação em ponto
fixo e ponto flutuante, aritméticas de precisão finita, aritmética IEC/IEEE. Erros de
discretização e arredondamento, validação de computações numéricas. Acumulação de erros de arredondamento, instabilidade numérica; condicionamento de problemas e algoritmos; estabilidade direta e backward, análise a priori e a posteriori, exemplos.
Tópico 3: Solução de equações não lineares. Localização e separação de raízes, método da
bisecção e variantes, métodos de ponto fixo, método de Newton-Raphson e variantes; raízes simples e múltiplas; zeros de polinômios. Convergência linear e superlinear, convergência quadrática e superior; estabilidade numérica. Métodos de ponto fixo, Newton e variantes para sistemas de equações não lineares.
Tópico 4: Solução de sistemas de equações algébricas lineares. Métodos diretos: método de
Gauss com pivoteamento, estabilidade numérica, balanceamento, fator de crescimento, refinamento iterativo; método de Cholesky. Métodos iterativos: Gauss-Seidel, Jacobi, gradiente conjugado, SOR e SSOR, técnicas de pré-condicionamento.
Tópico 5: Interpolação polinomial. Interpolação polinomial em geral, interpolação de
Lagrange e Hermite, diferenças divididas, erros de aproximação; interpolação inversa, interpolação em mais variáveis. Interpolação por splines polinomiais; splines lineares, quadráticos e cúbicos, representação por B-splines; erros em malhas uniformes e arbitrárias.
Tópico 6: Diferenciação numérica. Aproximação por diferenças finitas, aproximações por
splines e interpolação polinomial, fórmulas BDF, CDF e FDF; métodos de diferenciação compacta.
Tópico 7: Integração numérica. Problemas de quadratura, integrais próprias e impróprias,
pré-processamento de integrais; aproximação polinomial, algoritmos de Newton-Cotes, métodos compostos, fórmulas de Simpson e trapézios, integração de Romberg, integração por
splines, quadratura Gaussiana. Problemas de cubatura, métodos polinomiais, métodos de Monte Carlo.
Tópico 8: Ajuste de parâmetros por mínimos quadrados. Ajuste linear e equações normais.
Noções sobre ajuste não linear nos parâmetros e método de Levenberg-Marquardt.
Tópico 9: Optimização numérica. Métodos de procura em uma dimensão, problemas
multidimensionais, programação convexa. Métodos SD e gradiente conjugado. Métodos de minimização para solução de sistemas de equações algébricas lineares. Noções sobre programação linear e algoritmo simplex. Noções sobre algoritmos genéticos.
Tópico 10: Aproximação numérica de equações diferenciais. Problemas de valores iniciais
para EDOs: métodos de Runge-Kutta clássicos, métodos RK modernos, métodos de passo múltiplo, métodos BDF; barreiras de Butcher e Dahlquist. Procedimentos adaptativos de controle do erro. Problemas de contorno: métodos de shooting, métodos de diferenças finitas, introdução a métodos de elementos finitos. Erros de discretização e aproximação; relações entre consistência, estabilidade e convergência para problemas de valores iniciais e de contorno; estabilidade via análise de autovalores e Perron-Frobenius; fenômenos de supraconvergência em malhas não uniformes. Introdução a métodos discretos para EDPs: problemas evolutivos e estacionários.
Cronograma de Atividades:
Abaixo apresentaremos um cronograma, descrevendo a quantidade sugerida de encontros,de duas horas cada, para cada tópico descrito nos Conteúdos Programáticos acima:
Tópico 1 – 4 encontros; Tópico 2 – 4 encontros; Tópico 3 – 5 encontros; Tópico 4 – 5 encontros; Tópico 5 – 2 encontros; Avaliação 1 – 1 encontro; Tópico 6 – 1 encontro; Tópico 7 – 3 encontros; Tópico 8 – 1 encontro; Tópico 9 – 2 encontros; Tópico 10 – 5 encontros; Avaliação 2 – 1 encontro;
Atendimento e revisão – 1 encontro; Recuperação – 1 encontro.
Critérios de Avaliação e Aprovação:
Serão realizados duas avaliações (escritas) individuais, em aula, no meio
(aproximadamente) e final do período letivo, versando sobre a matéria discutida no semestre correspondente aos tópicos da súmula, com possibilidade de consulta às notas de aula.
A atribuição do conceito final será feita em correspondência com o grau M (entre 0 e 10) dado pela média aritmética simples (mesmos pesos) das duas notas correspondentes às avaliações escritas, usando-se a seguinte referência:
M ≥ 9,0 corresponde a conceito final A;
7,5 ≤ M < 9,0 corresponde a conceito final B; 6,0 ≤ M < 7,5 corresponde a conceito final C;
M < 6,0 corresponde a conceito final D;
sendo atribuído conceito FF aos estudantes que não atingirem freqüência satisfatória.
Atividades de Recuperação:
Os estudantes que desejarem alterar seu conceito final, qualquer que ele seja, poderão prestar um exame de recuperação, de caráter substitutivo, nos mesmos moldes acima, correspondente à primeira ou segunda avaliação, ou um exame global correspondente a ambas.
Esta recuperação será realizada uma semana depois da Avaliação 2, após aula de revisão e entrega dos resultados.
Bibliografia Básica:
1. C. F. van Loan, Introduction to Scientific Computing (2nd ed.), Prentice-Hall, Upper Saddle River, 2000.
2. G. H. Golub & J. M. Ortega, Scientific Computing and Differential Equations: an
introduction to numerical methods, Academic Press, New York, 1992.
3. J. M. Ortega & W. G. Poole, An introduction to numerical methods for differential
equations, Pitman, Marschfield, 1981.
4. G. H. Golub & C. F. van Loan, Matrix Computations (3rd ed.), John Hopkins University Press, Baltimore, 1996.
5. W. H. Press, S. A. Teukolsky, W. T. Vetterling & B. P. Flannery, Numerical Recipes in
Fortran: the art of scientific computing (2nded.), Cambridge University Press, Cambridge, 1992
Bibliografia Complementar:
1. W. L. Roque, Introdução ao Cálculo Numérico, Atlas, São Paulo, 2000.
2. D. M. Cláudio e J. M. Marins, Cálculo Numérico Computacional (2ª ed.), Atlas, 1994. 3. A. L. Bortoli, C. Cardoso, M. P. G. Fachin & R. D. Cunha, Introdução ao Cálculo
Numérico, Cadernos de Matemática e Estatística, UFRGS, 2001.
4. S. R. C. Pizzatto, Cálculo Numérico, Cadernos de Matemática e Estatística, UFRGS, 1991.
5. P. Henrici, Elements of Numerical Analysis, Wiley, New York, 1964.
6. C. W. Ueberhuber, Numerical Computation: methods, software and analysis (2 vols.), Springer, Berlin, 1997.
7. J. R. Rice, Numerical Methods, Software, and Analysis (2nd ed.), Academic, Boston, 1993.
8. G. H. Golub & J. M. Ortega, Scientific Computing: an introduction with parallel
computing, Academic Press, Boston, 1993.
10. A. Quarteroni, R. Sacco & F. Saleri, Numerical Mathematics, Springer, New York, 2000. 11. G. E. Forsythe & C. B. Moler, Computer Solution of Linear Algebraic Systems, Prentice
Hall, Englewood Cliffs, 1967.
12. L. N. Trefethen & D. Bau, III, Numerical Linear Algebra, SIAM, Philadelphia, 1997. 13. L. F. Shampine, Numerical Solution of Ordinary Differential Equations, Chapman & Hall,
New York, 1994.
14. J. D. Lambert, Numerical Methods for Ordinary Differential Systems, Wiley, New York, 1991.
15. A. Iserles, A first course in the numerical analysis of differential equations, Cambridge University Press, Cambridge, 1996.
16. L. F. Shampine, I. Gladwell & S. Thompson, Solving ODEs with MATLAB, Cambridge University Press, 2003.
17. N. J. Higham, Accuracy and stability of numerical algorithms, SIAM, Philadelphia, 1996. 18. J. H. Wilkinson, Rounding errors in algebraic processes, Dover, New York, 1994. 19. C. B. Moler, Numerical computing in MATLAB, SIAM, Philadelphia, 2004.
20. A. Gilat, MATLAB: an introduction with applications (2nd ed.), Wiley, New York, 2005. 21. R. Hyde, Write Great Code (2 vols), No Starch Press, 2006.
22. R. Beale & T. Jackson, Neural computing: an introduction, Adam Hilger, Bristol, 1990. 23. D. A. H. Jacobs (Ed.), The state of the art in numerical analysis, Academic Press, London,
1977.
24. A. Iserles & M. J. D. Powell (Eds.), The state of the art in numerical analysis, Clarendon Press, Oxford, 1987.
25. I. S. Duff & G. A. Watson (Eds.), The state of the art in numerical analysis, Oxford University Press, Oxford, 1998.
