Jos´
e
Soares
Barbosa
1
Universidade do Estado do Rio de Janeiro
Rio de Janeiro, mar¸co de 2006
1 Movimento Oscilat´orio 1
1.1 Movimento Harmˆonico Simples . . . 1
1.1.1 Movimento harmˆonico amortecido . . . 4
1.2 Oscilador harmˆonico For¸cado . . . 5
1.3 Movimento Ondulat´orio . . . 7
1.3.1 Introdu¸c˜ao . . . 7
1.3.2 Fun¸c˜ao de onda m´ovel . . . 7
1.3.3 Equa¸c˜ao de onda . . . 8
1.4 Comprimento de onda, per´ıodo e vetor de onda . . . 10
1.5 Potˆencia transportada e intensidade da onda . . . 11
1.6 Princ´ıpio de Superposi¸c˜ao e Ondas Estacion´arias . . . 12
1.6.1 Reflex˜ao e transmiss˜ao de ondas . . . 12
1.7 Apˆendice . . . 13
1.7.1 S´erie de Taylor ou f´omula de Taylor . . . 13
1.7.2 Raio de gira¸c˜ao . . . 14
1.8 Vetores . . . 15
1.8.1 Produto escalar . . . 16
1.8.2 Produto vetorial . . . 16
1.8.3 Triplo produto vetorial . . . 16
1.8.4 Transforma¸c˜ao do operador nabla: ∇(x, y)→ ∇(r, θ). . . 17
Movimento Oscilat´
orio
Uma part´ıcula ou corpo est´a oscilando quando se move periodicamente em torno de uma posi¸c˜ao de equil´ıbrio. O movimento de um pˆendulo, o movimento de um eletron em uma antena de r´adio, o movimento de uma carga em um circuito de corrente alternada e as vibra¸c˜oes moleculares em corpos ou em um meio, s˜ao bons exemplos de movimento oscilat´orio.
1.1
Movimento Harmˆ
onico Simples
O mais simples dos Movimentos Oscilat´orios ´e o chamado Movimento Harmˆonico Simples (MHS). Por defini¸c˜ao, dizemos que uma part´ıcula executa MHS ao longo do eixo OX quando sua posi¸c˜ao x(t) em rela¸c˜ao `a origem do sistema de coordenadas, ´e dada, como fun¸c˜ao do tempot, pela rela¸c˜ao:
x(t) =A sen(ω0t+θ0′). (1.1)
As gradezas θ(t) =ω0t+θ0′ ´e chamada argumento oufase, θ′0 ´e a fase inicial, isto ´e, valor de θ(t)
parat= 0 eω0´e afrequˆencia de oscila¸c˜oesoupulsa¸c˜ao do MHS. A posi¸c˜ao,x(t), da part´ıcula Eq.(1.1)
´e uma fun¸c˜ao senoidal. Porem nada impede que redefinamosx(t) como uma fun¸c˜ao cossenoidal desde de reescrevamos a fase inicialθ′
0→ θ0+π/2 substituindo na eq.(1.1) teremosx(t) =A cos(ω0t+θ0). Como
cosseno ´e definida no intervalo (−1 ≤cos≤ +1) ent˜ao (−A≤ x ≤+A). Pode-se calcular a velocidade
v da part´ıcula no oscilador derivando-se a eq.(1.1),
v(t) = dx(t)
dt =ω0A cos(ω0t+θ
′
0) (1.2)
e pode-se calcular a acelera¸c˜aoada part´ıcula no oscilador derivando-se a eq.(1.2),
a(t) = dv(t)
dt =−ω
2 0
x(t)
z }| {
A sen(ω0t+θ′0) =⇒ a(t) =−ω20x(t). (1.3)
Se a part´ıcula em quest˜ao tem massa m. Usando a segunda lei de Newton pode-se calcular a for¸ca que oscilador exerce emm, pela segunda leiF =ma(t) e substituindo a eq.(1.3):
F =−m ω20x(t) (1.4)
At´e aqui, x(t), foi tratada como uma express˜ao matem´atica desprovida de interpreta¸c˜ao f´ısica. Afim de dar uma interpreta¸c˜ao f´ısica parax(t) vamos discutir um problema concreto.
Na figura abaixo temos uma mola helicoidal, cuja constante el´astica ´ek, com uma de suas extremidades presa `a parede. Na outra extremidade fixamos um corpo de massamque pode se movimentar ao longo eixo OX. Inicialmente o corpo est´a na posi¸c˜ao de equil´ıbrio,x= 0, nenhuma for¸ca atua no corpo, a seguir
aplicamos uma for¸caF′ sobre o sistema deslocando o corpo at´e a posi¸c˜ao x, a nova posi¸c˜ao de equil´ıbrio,
nesta configura¸c˜ao a resultante das for¸cas que atua na part´ıcula ´eF′−k x a seguirF′ ´e anulada e o
sistema come¸ca a se deslocar em dire¸c˜ao ´a posi¸c˜aox= 0 (posi¸c˜ao de equil´ıbrio) nesta nova configura¸c˜ao a resultante das for¸cas que atua na part´ıcula ´eF = −k x, usando a segunda lei deNewtonteremos:
F=m a=−k x. (1.5)
Comparando as equa¸c˜oes (1.4 e 1.5) podemos concluir que sek=mω2
0 o problema f´ısico da eq.(1.5)
pode ser representado matematicamente pela eq.(1.4). Dividindo a express˜ao (1.4) pormteremos:
..
x(t) +ω02x(t) = 0. (1.6)
onde..x= ddt2x2 =a,
.
x=dxdt =v eω20= mk.
O nosso desafio agora ´e encontrar a solu¸c˜ao da eq.(1.6) e mostrar que ela ´e absolutamente equivalente `
a eq.(1.1). A solu¸c˜ao da eq.(1.6) pode ser obtida de v´arias formas aqui vamos apresentar uma delas; a chamada solu¸c˜ao por s´erie de potˆencias. Ent˜ao sejax(t) tal que
x(t) =
n
X
k=0
aktk=a0+a1t+a2t2+a3t3+a4t4+a5t5+a6t6+...+an−2tn−2+...+antn (1.7)
se a eq.(1.7) ´e solu¸c˜ao de eq.(1.6) ent˜ao ela deve satisfazer a eq.(1.6), derivandox(t) eq.(1.7)
.
x= d
dt(
n
X
k=0
aktk) =a1+ 2a2t1+ 3a3t2+ 4a4t3+ 5a5t4+ 6a6t5...+nantn−1
..
x = d
dt(
.
x) = d
2
dt2(
n
X
k=0
aktk)
= 2.1.a2+ 3.2.a3t1+ 4.3.a4t2+ 5.4.a5t3+ 6.5.a6t4+ 7.6.a7t5
+ 8.7.a8t6+...+ (n).(n−1).antn−2+...+ (n+ 2).(n+ 1).an+2tn (1.8)
substituindo eq.(1.7 e 1.8) na eq.(1.6)
..
x + ω02x= 2.1.a2+ 3.2.a3t1+ 4.3.a4t2+ 5.4.a5t3+ 6.5.a6t4+ 7.6.a7t5
+ 8.7.a8t6+...+ (n).(n−1).antn−2+...+ (n+ 2).(n+ 1).an+2tn
+ ω02 ¡
a0+a1t+a2t2+a3t3+a4t4+a5t5+a6t6+...+an−2tn−2+...+antn
¢
(1.9)
da eq.(1.6) esta express˜ao ´e nula. Abrindo os parˆentesis da eq.(1.9) e reagrupando os trmos em potˆencias detteremos
0 = ¡2.1.a2+ω20 a0¢+¡3.2.a3+ω02a1¢t+¡4.3.a4+ω02a2¢t2
+ ¡5.4.a5+ω20 a3 ¢
t3+¡6.5.a6+ω20 a4 ¢
t4+¡7.6.a7+ω02 a5 ¢
t5
+ ¡8.7.a8+ω20 a6 ¢
t6+...+ (n.(n−1).an+an−2)tn−2+...
(1.10)
a eq.(1.10) ´e uma combina¸c˜ao linear linearmente, linear linearmente independente, nas potˆencias de t, que ser´a nula se todos os coeficientes detna express˜ao (1.10) forem identicamente nulos, isto ´e:
¡
2.1.a2+ω02a0¢= 0 ¡3.2.1.a3+ω02 a1¢= 0 ¡
4.3.a4+ω02a2¢= 0 ¡5.4.a5+ω20 a3¢= 0 ¡
6.5.a6+ω02a4¢= 0 ¡7.6.a7+ω20 a5¢= 0 ¡
8.7.a8+ω02a6¢= 0 ...
. .. ¡
n.(n−1).an+ω02an−2¢= 0
da eq.(1.11) podemos determinar as constantesak para todok= (2,4,6, ...2p) isto ´e, k ´e n´umero inteiro
par, apartir de a0 e podemos determinar as contantes ak para todo k = (3,5,7, . . .2p+ 1) isto ´e, k ´e
n´umero inteiro impar, apartir dea1 onde p=(1,2,3,. . . ) ou seja teremos dois conjuntos de constantesak.
sendo um com indiceskpares e outro com indiceskimpares. Fazendo as substitui¸c˜oes e as simplifica¸c˜oes teremos:
a2=−ω
2 0
2.1 a0=−
ω2 0
2! a0 a3=−
ω2 0
3.2.1a1=−
ω2 0
2! a1
a4=−ω
2 0
4.3 a2=
ω40
4! a0 a5=−
ω20
5.4 a3=
ω04
5! a1
a6=−ω
2 0
6.5 a4=−
ω6 0
6! a0 a7=−
ω2 0
7.6 a5=−
ω6 0
7! a1
..
. ...
an=− ω
2 0
n(n−1)an−2= (−)p
ω20p
(2p)! a0 an′ =−
ω2 0
n′(n′−1)an′−2= (−)p
ω02p+1
(2p+1)! a1
(1.12)
onden= 2p e n′= 2p+ 1 substituindo a eq.(1.12) em eq.(1.7) teremos:
x(t) = a0+a1 t−
ω2 0
2! a0 t
2−ω02
2! a1 t
3+ω04
4! a0 t
4+ω40
5! a1 t
5−ω60
6! a0 t
6
− ω
6 0
7! a1 t
7+ω08
8! a0 t
8+. . .− ω02
n.(n−1)an−2tn
agrupando em termos de potˆencias pares e impares dete omitindo o ´ultimo termo teremos:
x(t) = a0(1−
ω2 0
2! t
2+ω40
4! t
4−ω06
6! t
6+. . .)
+ a1(t−ω 2 0
3! t
3+ω04
5! t
5−ω60
7! t
7+. . .)
no termo impar vamos multiplicar e dividir porω0
x(t) = a0 Ã
1−ω 2 0
2! t
2+ω04
4! t
4−ω60
6! t
6+. . .+(−)p ω 2p
0
(2p)! t
2p
!
+ a1
ω0 Ã
ω0 t−
ω3 0
3! t
3+ω05
5! t
5−ω70
7! t
7+. . .+(−)p ω 2p+1 0
(2p+ 1)! t
2p+1 !
(1.13)
os termos entre parˆentesis s˜ao as expans˜oes em s´erie de potˆencias das fun¸c˜oes cos(ω0t) e sen(ω0t)
respectivamente.
cos(ω0t) = 1−ω
2 0
2! t 2+ω4
0
4! t 4−ω6
0
6! t
6+. . .+(−)p
ω02p
(2p)! t 2p e
sen(ω0t) =ω0t−ω
3 0
3! t3+
ω5 0
5! t5−
ω7 0
7! t7+. . .+ (−)p
ω20p+1
(2p+1)! t2p+1 substituindo em (1.13) teremos:
x(t) = a0cos(ω0t) +
a1
ω0
sen(ω0 t) (1.14)
ou
x(t) = A sen(ω0t+θ0). (1.15)
onde se feza0=A sin(θ0) e ωa10 =A cos(θ0)
A velocidadev(t) da part´ıcula ser´a:
v(t) =dx(t)
e acelera¸c˜aoa(t) ser´a:
a(t) = d
2x(t)
dt2 = −ω 2
0 A sin(ω0t+θ0). (1.17)
Podemos obter a energia mecˆanicaE do oscilador em fun¸c˜ao deA;
E=Ek+Ep=
1 2m v
2+1
2k x
2= 1
2m(ω0 A cos(ω0t+θ0))
2+1
2k (A sin(ω0t+θ0))
2
E=1 2 A
2n(cos(ω
0t+θ0))2+ (sin(ω0 t+θ0))2 o
| {z }
=1
=1 2 A
2. (1.18)
Uma grandeza importante a ser definida aqui ´e,T, o per´ıodo de oscila¸c˜ao. O per´ıodoT ´e o intervalo de tempo que o oscilador demora para realizar uma oscila¸c˜ao completa, ou seja decorrido este intervalo de tempo, o oscilador volta ter mesma posi¸c˜ao e a mesma velocidade. Vamos usar esta argumenta¸c˜ao para obter a rela¸c˜ao entre o per´ıodo T e freq¨uenciaω
x(t) =x(t+T)
x(t) =A sen(ωt+θ0) =A sen{ω(t+T) +θ0}
1.1.1
Movimento harmˆ
onico amortecido
Um oscilador harmˆonico amortecido ´e um corpo de massam presos a uma mola de constante el´asticak
imerso em meio viscoso como mostra a figura 2. A resultante das for¸cas aplicadas ao corpo ser´a−kx−bv, ondeb´e uma cosntante que depende da viscosidade do meio e da geometria do corpo. Usando a segunda lei de Newtonma=−kx−bvesta equa¸c˜ao pode ser rescrita como segue
..
x + b
m
.
x+ω20 x= 0 (1.19)
uma solu¸c˜ao para a eq.(1.25) pode ser x(t) = eρt para isso devemos impor as condi¸c˜oes para que eρt
satisfa¸ca a eq.(1.25), temos que calcularx. (t) e x..(t),
.
x(t) = d
dt
¡
eρ t¢=ρ eρ t=ρ x(t)
..
x(t) = d
.
x(t)
dt = d dt
¡
ρ eρ t¢=ρ2 eρ t=ρ2x(t)
substituindo as duas express˜oes acima na eq.(1.25)
ρ2 x(t) + b
m ρx(t) +ω
2
0 x(t) = 0 (1.20)
colocandox(t) em evidˆencia
(ρ2+ b
m ρ+ω
2
0)x(t) = 0 (1.21)
comox(t)6= 0⇒ (ρ2+ 2γρ+ω2
0) = 0 que ´e chamada de equa¸c˜ao caracter´ıstica da equa¸c˜ao diferencial,
ρ = −γ±1
2
£
4γ2−4ω2 0
¤1 2
= −γ±£γ2−ω02 ¤1
2
(1.22)
a equa¸c˜ao (1.27) tem trˆes solu¸c˜oes
se γ2−ω02≥0 ρ´e real se γ2−ω20<0 ρ´e imagin´ario (1.23)
por tanto temos trˆes casos
ρ=
−γ para caso a) γ2−ω2 0= 0 −γ±£γ2−ω2
0 ¤1
2
para caso b) γ2−ω2 0>0 −γ±iω para caso c) γ2−ω2
0<0
(1.24)
ondeω=£ω2 0−γ2
¤1 2
portanto as solu¸c˜oes s˜ao chamado de: a) Criticamente amortecido;
x(t) =A1e−γ t+A2te−γ t= (A1+A2t)e−γ t
b) Superamortecido;
x(t) =B1eρ1t+B2eρ2t
ondeρ1=−γ+γ0 eρ2=−γ−γ0 eγ0= p
γ2−ω2 logo
x(t) =B1e−γ t+γ0t+B2e−γ t−γ0t
ou
x(t) =e−γ t(A
1eγ0t+B2e−γ0t)
c) Subamortecido;
x(t) =e−γ t(A
1eiω t+B2e−iω t) =e−γ tAsen(ω t+ϕ0)
x(t) =e−γ tA sen(ω t+ϕ
0)
1.2
Oscilador harmˆ
onico For¸
cado
O oscilador harmonico for¸cado ´e um oscilador qualquer que est´a sob a¸c˜ao de uma for¸ca externa f(t) logo sua equa¸c˜ao de movimento ´e dada por:
mx.. + b x. +k x=f(t) (1.25)
ou
..
x + b
m
.
x+ω20 x=
f(t)
m . (1.26)
A solu¸c˜ao geral desta equa¸c˜ao pode ser escrita como uma combina¸c˜ao linear da solu¸c˜ao homogˆenea com a solu¸c˜ao particular; esta ´ultima depende da forma expl´ıcita de f(t) como fun¸c˜ao do tempo. Um caso particular de muito interesse em f´ısica ´e aquele em quef(t) =f0cos ωft subst. na eq.(1.26)
¨
x + 2γx˙+ω02x=
f0
Solu¸c˜aoxp(t) =Bsen(ωft+θ0) ondeBeθ0s˜ao constantes a serem determinadas a partir da eq.(1.27);
derivandoxp teremos:
xp(t) = Bsen(ωft+θ0) = B{sen(ωft)cos(θ0) +cos(ωft)sen(θ0)} (1.28)
˙
x(t) = ωfB cos(ωft+θ0) = ωfB{cos(ωft)cos(θ0)−sen(ωft)sen(θ0)} (1.29)
¨
x(t) = −ωf2B sen(ωft+θ0) =−ωf2B{sen(ωft)cos(θ0) +cos(ωft)sen(θ0)} (1.30)
Subst. as eqs. (24, 25 e 26) em (1.27) teremos:
− ωf2B{sen(ωft)cos(θ0) +cos(ωft)sen(θ0)} (1.31)
+ 2γωfB{cos(ωft)cos(θ0)−sen(ωft)sen(θ0)} (1.32)
+ ω2
0B{sen(ωft)cos(θ0) +cos(ωft)sen(θ0)}=
f0
mcos ωft. (1.33)
Agrupando em termos desen(ωft) ecos(ωft)
¡
−ω2fcos(θ0)−2γωfsen(θ0) +ω02cos(θ0) ¢
B sen(ωft) = 0 (1.34)
©
−ωf2sen(θ0) + 2γωfcos(θ0) +ω20sen(θ0) ª
B cos ωft=
f0
mcos ωft. (1.35)
Como B6= 0 esen(ωft)6= 0 teremos
−ω2fcos(θ0)−2γωfsen(θ0) +ω02cos(θ0) = 0 (1.36)
© −ω2
fsen(θ0) + 2γωfcos(θ0) +ω02sen(θ0)ªB =
f0
m. (1.37)
1.3
Movimento Ondulat´
orio
1.3.1
Introdu¸
c˜
ao
S˜ao familiares as ondas que o vento ou outros agentes produzem na superf´ıcie das aguas de um lago. Ouve-se uma fonte sonora, por meio de ondas que se deslocam na atmosfera, exemplos as pessoas se comunicam usando suas pr´oprias vozes, neste caso, as fontes sonoras s˜ao suas cordas vocais. Existe uma infinidades de exemplos fontes sonoras, instrumentos musicais, equipamentos de som, businas de autom´oveis e etc..
O movimento ondulat´orio est´a intimamente ligado ao movimento oscilat´orio harmˆonico. Quando uma onda se desloca em uma substˆancia, cada part´ıcula dessa substˆancia oscila em torno de uma posi¸c˜ao de equil´ıbrio, o que obriga a considerar vibra¸c˜oes de in´umeras delas.
Quando as vibra¸c˜oes das part´ıculas s˜ao perpendiculares ao movimento da onda, estas se diz transversal; quando oscilam na dire¸c˜ao da propaga¸c˜ao da onda, chama-se longitudinal.
1.3.2
Fun¸
c˜
ao de onda m´
ovel
Estiquemos uma corda (por exemplo de um instrumento musical) entre dois suportes fixos. Puxando-o lPuxando-ongitudinalmente em algum pPuxando-ontPuxando-o da cPuxando-orda, Puxando-ou deslPuxando-ocandPuxando-o-Puxando-o lateralmente e sPuxando-oltandPuxando-o ap´Puxando-os, ser˜aPuxando-o observadas perturba¸c˜oes, caminhando em ambos os sentidos e proveniente da por¸c˜ao deslocada. Cada um deles se chama pulso. Se o pulso for transversal o movimento das part´ıculas da corda ser´a oscilat´orio porem perpendicular a propaga¸c˜ao do pulso. Um pulso mant´em suas caracter´ısticas enquanto se propaga e o faz `a velocidade constante, que designaremos v. Consideremos uma corda posicionada paralela ao eixoxe sejaξ o deslocamento transversal de uma part´ıcula da corda, a contar da posi¸c˜ao de equil´ıbrio,
ξ´e chamada defun¸c˜ao de onda. Em qualquer instante de tempo t, a fun¸c˜ao de onda ξ, ser´a dexe do tempot. Isto ´e: Na equa¸c˜ao geral do movimento da corda,ξser´a fun¸c˜ao deduas vari´aveis independentes, a abscissaxda part´ıcula e do tempot. Matematicamente.
ξ=f(x, t) (1.38)
A express˜ao matem´atica desta fun¸c˜ao depende da maneira particular com que a corda foi puxada, ou inicialmente deslocada. Afim de em encontrar uma express˜ao matem´atica para a fun¸c˜aoξ=f(x, t) que descreve um pulso que se desloca para a direita ou para a esquerda, `a velocidade constantev sem mudar sua forma, Vamos considerar uma corda esticada na qual se aplica uma for¸ca transversal que produz um pulso conforme mostra a figura 1, o pulso arbitr´ario caminha para a direita com velocidadev.
FIGURA!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
O diagrama superior representa graficamente o pulso no instante t1 e na posi¸c˜ao x1 e o inferior
representa o pulso no instantet2na posi¸c˜aox2. Durante o intervalo de tempot2−t1o pulso se deslocar´a,
de uma distˆancia v(t2−t1). N˜ao havendo altera¸c˜ao na forma da onda, o pulso no instante t2, deve ser
equivalente ao pulso no instantet1. Matematicamente isto pode ser escrito como segue:
f(x1, t1) =f(x2, t2)
na figura
x2=x1+v(t2−t1)
f(x1, t1) =f(x1−vt1) (1.39)
A fun¸c˜ao de onda no pontox2 no instantet2 ser´a
f(x2, t2) = f(x2−vt2) (1.40)
= f(x1+vt2−vt1−vt2) simplificando vt2 (1.42)
= f(x1−vt1). (1.43)
A igualdade f(x2 −vt2) = f(x1−vt1) = f(x−vt) significa que em qualquer instante de tempo
t, a fun¸c˜ao de onda ξ =f(x, t) tem o mesmo valor e, portanto mant´em a forma geom´etrica do pulso. Uma grandeza importante pode ser determinada a partir da eq. (1.40) o comprimento de onda λ. O comprimento de onda corresponde a distˆancia entre dois m´aximos (crista) ou dois m´ınimos (vale) sucessivos ou ainda dois pontos sucessivos, cujos pulsos tenham valores e as inclina¸c˜oes iguais ou seja:
ξ(x+λ, t) =ξ(x, t)
Um bom exemplo de fun¸c˜ao de onda ´e a onda senoidal,ξ=ξ0sen(k(x−vt)) ondek´e uma constante
a ser determinada a partir do comprimento de ondaλ. condi¸c˜ao:
ξ0sen[k(x−vt)] =ξ0sen[k(x+λ−vt)] (1.44)
Demonstra¸c˜ao:
ξ(x+λ, t) = ξ0sen[k(x+λ−vt)]
= ξ0sen[k(x+λ−vt)] =ξ0sen[kx−kvt+kλ]
= ξ0[sen(kx−kvt)cos(kλ) +cos(kx−kvt)sen(kλ)]
= ξ0sen[k(x−vt)] (1.45)
condi¸c˜oes: sen(kλ) = 0 ecos(kλ) = 1 ent˜aok=2λπ.
k´e denominado vetor numero de onda ou simplesmente vetor de onda. finalmente
ξ(x, t) =ξ0sen(k x−ω t)
ondeω=kv,ω´e frequencia de oscila¸c˜ao da onda. A frequecia natural da onda ´e dada por: f = ω
2π
1.3.3
Equa¸
c˜
ao de onda
Sejaξ=f(x, t) uma onda que se propaga ao longo do eixoXcom velocidadev, ver fig. 1. Seξ=f(u(x, t)) ondeu=x±v t. Pode-se demonstrar queξ(x, t) satisfaz a equa¸c˜ao de onda dada por:
∂2ξ
∂t2 −v 2∂2ξ
∂x2 = 0. (1.46)
Demonstra¸c˜ao: Derivando ξem rela¸c˜ao axet teremos;
∂ξ
∂x =
∂f(u(x, t))
∂x = ∂f ∂u µ∂u ∂x ¶ = ∂f ∂u ∂ξ ∂t =
∂f(u(x, t))
∂t = ∂f ∂u µ∂u ∂t ¶ = ∂f
∂u(±v) (1.47)
onde ∂u ∂x = 1 e
∂u ∂t =±v
Derivando de novo teremos:
∂2ξ
∂x2 =
∂ ∂x
µ
∂f(u(x, t))
∂x ¶ = ∂ ∂x µ ∂f ∂u ¶ = ∂ 2f ∂u2 µ ∂u ∂x ¶ = ∂ 2f ∂u2
∂2ξ
∂t2 =
∂ ∂t
µ
∂f(u(x, t))
∂t ¶ = ∂ ∂t µ ∂f ∂u(±v)
¶
=∂
2f
∂u2(±v) µ ∂u ∂t ¶ = ∂ 2f
∂u2(±v)
2 (1.48)
podemos concluir que
∂2ξ
∂x2 =
∂2f
∂u2 =
1
v2
∂2ξ
∂t2
=⇒ ∂ 2ξ
∂x2 =
1
v2
∂2ξ
∂t2 ou de maneira mais usual
∂2ξ
∂x2 −
1
v2
∂2ξ
∂t2 = 0. (1.49)
A express˜ao (1.49) ´e equa¸c˜ao de uma onda que se propaga com velocidade v ao longo do eixoX.
Equa¸c˜ao de onda el´astica em um bast˜ao
A figura mostra um bast˜ao de ´area A sujeito uma tens˜ao Γ. A tens˜ao normal Γ ´e definida pela raz˜ao entre a for¸ca,F, aplicada e a ´areaA. Isto ´e,
Γ = F
A (1.50)
Sob a a¸c˜ao uma for¸caF, que pode ser produzida por exemplo pelo impacto de uma martelada, cada se¸c˜ao do bast˜ao sofre um deslocamentoξparalelo ao eixo x. Se o deslocamento for o mesmo em todos os pontos n˜ao haver´a deforma¸c˜ao, mas simplesmente deslocamento longitudinal. Particularmente estamos interessados na caso em que h´a deforma¸c˜ao.
Considere duas se¸c˜oes retas de ´areas A e A′, separadas por uma distˆancia dx na situa¸c˜ao n˜ao
per-turbada. quando as for¸cas s˜ao aplicadas, a se¸c˜aoA se desloca de uma distˆanciaξ e a se¸c˜ao A′ de uma
distˆanciaξ′. A separa¸c˜ao no estado deformado ser´a
dx+ (ξ′−ξ) =dx+dξ (1.51)
portanto a deforma¸c˜ao no bast˜ao ´edξ.
A deforma¸c˜ao normalǫ no bast˜ao ´e definida como a deforma¸c˜ao ao longo do eixo xpor unidade de comprimento. Isto ´e:
ǫ= ∂ξ
∂x (1.52)
Equa¸c˜ao de onda de press˜ao em um tubo de g´as
Considere um tubo de ´area A com g´as. Se nas condi¸c˜oes de equil´ıbrio p0 eρ0 s˜ao a press˜ao e a massa
espec´ıca volum´etrica do g´as. Se a press˜ao do g´as for perturbada, um elemento de volumedV =Adxser´a posto em movimento devido a vari¸c˜ao da press˜ao. Em consequˆencia as ´areas de se¸c˜oes A eA′ v˜ao se
deslocar de uma distˆanciaξeξ′ respectivamente, de modo que a espessura do elemneto de volume depois
da deforma¸c˜ao ser´a dx+ξ′−ξ =dx+dξ. Devido a compressibilidade do g´as vai ocorrer varia¸c˜ao na
volume e na densidade do g´as e isso deve ser levado em conta na hora de se obter a equa¸c˜ao de onde. sejam
dm=ρ0dV =ρ0Adxa massa do elemento de bast˜ao antes da perturba¸c˜ao edm′=ρdV′ =ρA(dx+dξ)
a massa do elemento de bast˜ao perturbado. por conser¸c˜ao de mat´eriadm=dm′, ent˜ao,
ρ0Adx=ρA(dx+dξ) ou ρ µ
1 + ∂ξ
∂x
¶
=ρ0
resolvendo paraρ
ρ= ³ ρ0
1 + ∂x∂ξ´
(1.53)
em geral ∂ξ∂x pequeno e, em consequˆecia o termo³1 +∂x∂ξ´pode ser expandido em serie de Taylor ficando
³
Substituindo na Eq. (1.53) teremos;
ρ=ρ0 µ
1−∂ξ
∂x
¶
ou ρ−ρ0=−ρ0 µ
∂ξ ∂x
¶
. (1.54)
A press˜ao est´a relacionada `a massa especifica ρ pela equa¸c˜ao de estado, podemos escrever p=f(ρ) expandindo em serie de Taylor teremos:
p=p0+ (ρ−ρ0) µdp
dρ
¶
0
+ 1
2!(ρ−ρ0)
2 µd2p
dρ2 ¶
0
+. . .
Considerando apenas termos de primeira ordem em ρ
p=p0+ (ρ−ρ0) µdp
dρ
¶
0
a quantidade
κ=ρ0 µ
dp dρ
¶
(1.55)
´e chamda de m´odulo de elasticidade volum´etrica ent˜ao
p=p0+κ µ
ρ−ρ0
ρ0 ¶
(1.56)
Usando a eq.(1.54)
p=p0−κ µ
∂ξ ∂x
¶
(1.57)
1.4
Comprimento de onda, per´ıodo e vetor de onda
Discuss˜ao do movimento ondulat´orio (MO), comprimentoλde onda e per´ıdoT do MO. A equa¸c˜ao (1.49) admite uma solu¸c˜ao senoidal do tipo;
ξ(x, t) =ξ0sin(k x−ω t). (1.58)
Introduzindo agora o comprimento de onde λ, a fun¸c˜aoξ satisfaz a seguinte condi¸c˜ao ξ(x+λ, t) =
ξ(x, t), ondeλ´e a distˆancia entre duas cristas ou dois vales.
ξ0sin(k x+k λ−ω t) =ξ0sin(k x−ω t)
ou
ξ0sin(k x+k λ−ω t) =ξ0(sin(k x−ω t) cos(k λ) + sin(k λ) cos(k x−ω t)) =ξ0sin(k x−ω t)
isto s´o ´e verdade se e somente se
cos(k λ) = 1 e sin(k λ) = 0 =⇒kλ = 2π
Generalizando;o comprimento de ondaλ´e a distˆancia entre dois pontos quaisquer, da onda, defasados de2π.
O per´ıodo T de oscila¸c˜ao ´e tempo que uma onda leva para percorrer uma distˆancia igual a λ, isto imp˜oe que:
ξ(x, t+T) =ξ(x, t) =⇒
ξ0(sin(k x−ω t) cos(ω T) + sin(ω T) cos(k x−ω t)) = sin(k x−ω t)
isto ´e verdade se e somente se
cos(ω T) = 1 e sin(ω T) = 0 =⇒ω T,= 2π ou T =2π
ω
comoω=kv =⇒v=1
kω= λ
2πω=λν. Portanto a freq¨uˆenciaν
ν= v
λ (1.59)
1.5
Potˆ
encia transportada e intensidade da onda
Vejamos o caso de ondas el´asticas longitudinais que se propagam com velocidade∂ξ/∂to lado direito do bast˜ao puxa o lado esquerdo com uma for¸caF e o lado esquerdo puxa o lado direito com uma for¸ca−F. Assim, a potˆencia (ou trabalho por unidade de tempo) que o lado esquerdo transmite ao lado direito naquela se¸c˜ao ´e
∂
∂tw(t) = (−F) ∂ξ ∂t
para uma onda senoidal ξ=ξ0(sin(k x−ω t) teremos F =Y A∂(ξ)
∂x =Y A k ξ0cos(k x−ω t)
e ∂ξ/∂t=−ωξ0cos(k x−ω t)
∂
∂tw(t) = (−F) ∂ξ
∂t = (−Y A k ξ0cos(k x−ω t)) (−ωξ0cos(k x−ω t) ) =Y A k ω ξ
2
0cos2(k x−ω t)
comoω=kv ev=pY /ρtemos
∂
∂tw(t) = (ρv
2)A(ω2/v)ξ2
0cos2(k x−ω t) =vA[ρ ω2ξ20cos2(k x−ω t)]. (1.60)
A eq.(1.62) ´e sempre positiva mas vari´avel em geral ´e mais conveniente calcular o valor m´edio de
∂W/∂t.a potencia m´edia ´e
µ
∂w
∂t
¶
med
=vA©ρ ω2ξ02 £
cos2(k x−ω t)¤medª.
Porem£cos2(k x−ω t)¤
med =
1
2,desta forma
Pm=
µ
∂w
∂t
¶
med
=vA
µ
1 2ρ ω
2ξ2 0
¶
. (1.61)
Im=Pm/A=
1
A
µ
∂w
∂t
¶
med
=v
µ
1 2ρ ω
2ξ2 0
¶
=vǫ. (1.62)
ondeǫ= 12ρ ω2ξ2
0 energia por unidade volume ou energia espec´ıfica.
Para o movimento transversalF =T∂ξ
∂x ev(t) = ∂ξ ∂t
∂w
∂t = (−F) ∂ξ ∂t F =T kξ0cos(kx−ωt) e ∂ξ∂t =−ωξ0cos(kx−ωt)
logo
∂w
∂t = (−T kξ0cos(kx−ωt))(−ωξ0cos(kx−ωt)) = (T k ω ξ
2
0cos2(kx−ωt)) (1.63)
Pmed =
µ
∂w
∂t
¶
med
=T k ω ξ02 ¡
cos2(kx−ωt)¢med= 1 2
T v ω
2ξ2
0 (1.64)
1.6
Princ´ıpio de Superposi¸
c˜
ao e Ondas Estacion´
arias
1.6.1
Reflex˜
ao e transmiss˜
ao de ondas
Considere a jun¸c˜ao de duas cordas as quais tem massa por unidade comprimento diferente. as cordas est˜ao esticadas sob a mesma tens˜ao, supondo que a jun¸c˜ao das duas se dˆe na origem e suponha ainda que as velocidades de fase `a esquerda e a direita da jun¸c˜ao sejamv1ev2 respectivamente.
Suponha um trem de onda incidente yi, dado por
yi=Yisen(kix−ωit) (1.65)
A esquerda da origem, deslocando sobre corda, para a direita. Na jun¸c˜ao uma onda transmitida yt
dada por:
yt=Ytsen(ktx−ωtt) (1.66)
Propaga-se, deslocando-se, para a direita. Como a onda y satisfaz a equa¸c˜ao de onda (1.46) e, portanto,y tem derivada segunda emx. Ent˜aoy ´e uma fun¸c˜ao deriv´avel e sua derivada dydx tamb´em ´e uma fun¸c˜ao deriv´avel. Isto ´e, elas devem s˜ao fun¸c˜oes bem comportadas. Ent˜aoy e dy
dx devem satisfazer
a duas condi¸c˜oes limites:
Condi¸c˜oes:
½
I y e dy
dx s˜ao fun¸c˜oes cont´ınuas na jun¸c˜ao
II ∃ os limites `a esquerda e `a direita da jun¸c˜ao para y e dydx (1.67) Ent˜ao as condi¸c˜oes de continuidade imp˜oe
Condi¸c˜oes:
½
17−→ yi(0, t) =yt(0, t)
27−→ dyi(0,t)
dx = dyt(0,t)
dx
(1.68)
Os valores deyi(0, t) e dyidx(0,t) s˜ao respectivamente:
dyi(0, t)
dx =kiy0icos(kix−ωi t) =kiy0icos(−ωi t) (1.70)
Do mesmo modo
Os valores deyt(0, t) e dytdx(0,t) s˜ao respectivamente:
yT(0, t) =y0T sen(kT 0−ωT t) =y0T sen(−ωT t) (1.71)
dyT(0, t)
dx =kTy0Tcos(kTx−ωT t) =kTy0Tcos(−ωT t) (1.72)
Usando as condi¸c˜oes da eq.(1.68) teremos:
y0i sen(−ωi t) = y0T sen(−ωT t)
y0i = y0T (1.73)
onde estamos impondo queωi=ωT
kiy0i cos(−ωi t) = kTy0T cos(−ωT t)
kiy0i = kTy0T =⇒ (1.74)
ki = kT (1.75)
comov16=v2
As eq.(1.73 e 1.74) permite concluir que as ondasyi eyT n˜ao descrevem completamente o fenomeno
que est´a ocorrendo na jun¸c˜ao. Na verdade, na jun¸c˜ao separa duas regi˜oes. A regi˜ao I onde temos duas ondas, uma onda incidenteyi =y0i sen(kix−ωit) e uma onda refletidayr =y0r sen(krx−ωrt) e, a
regi˜ao II com uma onda transmitidayT =y0T sen(kTx−ωTt).
Regi˜ao I FI =y0i sen(kix−ωit)∀x ≤ 0
Regi˜ao II FII =y0T sen(kTx−ωTt)∀x ≥ 0
Usando as condi¸c˜oes de continuidade
fI =yi+yr=y0i sen(kix−ωit) +y0rsen(krx+ωrt) e fII =y0T sen(kTx−ωTt)
1.7
Apˆ
endice
1.7.1
S´
erie de Taylor ou f´
omula de Taylor
Sejaf(x) uma fun¸c˜ao real qualquer. Af(x) tem valor conhecido no pontox=x0, ou sejaf(x0) ´e medido
com com boa precis˜ao. podemos estimar o valor de f(x) na vizinhan¸ca de x0 comx=x0+ ∆x, desde
que ∆xseja pequeno. ´E claro que ∆x=x−x0. Procedimento chama-se s´erie de Taylor e consiste no
seguinte: 1) Expande-se a f(x) em uma s´erie de n-termos; 2) Calcula-se os valores dos coeficientes em termosf(x0) e suas derivadas.
f(x) =
n
X
k=0
f(x) = a0+a1(x−x0)1+a2(x−x0)2+a3(x−x0)3+. . .+ak(x−x0)k (1.77)
df(x)
dx = a1+ 2a2(x−x0)
1+ 3a
3(x−x0)2+. . .+nan(x−x0)n−1 (1.78)
d2f(x)
dx2 = 2·1a2+ 3·2a3(x−x0)
1+. . .+n·(n−1)a
n(x−x0)n−2 (1.79)
d3f(x)
dx3 = 3·2 ·1a3+ 4·3 ·2a4(x−x0)
1. . .+n·(n−1) ·(n−2)a
n(x−x0)n−3 (1.80)
..
. (1.81)
dnf(x)
dxn = n·(n−1) ·(n−2). . .2·1an(x−x0)
n−n =n!a
n (1.82)
devemos notar para calcular os coeficientes (a0. . . an) basta fazerx=x0nas equa¸c˜oes (22,23 . . . 27)
a0 = f(x0) (1.83)
a1 = 1
1!
df(x0)
dx (1.84)
a2 =
1 2!
d2f(x 0)
dx2 (1.85)
a3 = 1
3!
d3f(x 0)
dx3 (1.86)
..
. (1.87)
an =
1
n!
dnf(x
0)
dxn (1.88)
substituindo as eq. (28. . .33) na eq. 21, teremos:
f(x) =
n
X
k=0
1
k!
dkf(x
0)
d xk (x−x0)
k (1.89)
= f(x0) + 1
1!
d f(x0)
d x (x−x0)
1+ 1
2!
d2f(x 0)
d x2 (x−x0) 2+ 1
3!
d3f(x 0)
d x3 (x−x0)
3 (1.90)
+ . . . + 1
n!
dnf(x
0)
dxn (x−x0)
n (1.91)
Exerc´ıcios;
1- Usando a f´omula de Taylor obtenha as express˜oes das s´eries das fun¸c˜oes a)f(x) =ex;
b)f(x) =sen x; c)f(x) =cos x;
d) sex=i θuse os resultados dos itens anteriores para provar queei θ=cos θ+i sen θ;
1.7.2
Raio de gira¸
c˜
ao
Para resolver o problema 10,28, temos que definir raio de gira¸c˜ao. Se um corpo gira em torno de um eixo e seu momento de in´ercia ´eI, o raio de gira¸c˜aok0 ser´a:
M K02=I ⇒ K0= r
se o eixo passar pelo centro de gravidade;
KG=
r
I M
na figura 1 um corpo de massaM e momento de in´erciaI pode girar em torno de um eixo que passa por O localizado a uma distancia h do centro de gravidade G, o centro de oscila¸c˜oes O′ est´a a uma
distˆanciaℓdeO, ao longo da linha que passa porGeh′ ´e a distˆancia deGa O′ logoℓ=h+h′
Equa¸c˜ao de movimento do corpo r´ıgido ´e :
M K2
0θ¨=−M g h senθ. (1.92)
A eq. (1.92) ´e identica a equa¸c˜ao de movimento de um p´endulo simples de comprimeto ℓ
ℓ= K
2 0
h . (1.93)
K2
0 =KG2 +h2
ℓ=h+h′= K
2 0
h = K2
G+h2
h ⇒
h(h+h′) =K2
G+h2⇒ h′ =
K2
G
h
1.8
Vetores
SejaA~ um vetor do esp¸co vetorialE. Sejam{eˆ1, ˆe3, ˆe3}o conjunto dos vetores unit´ario de uma base do
espa¸co vetorialE. O vetorA~ pode ser definido em termos da base ˆei do seguinte modo:
~ A=
3 X
i=1
Aieˆi≡Aieˆi=A1eˆ1+A2ˆe2+A3ˆe3 (1.94)
P3
1.8.1
Produto escalar
O produto escalar entre o vetorA~ e o vetor B~ que tambem pertence aE ser´a:
~
A·B~ =Aieˆi·Bjˆej=AiBj(ˆei·eˆj) (1.95)
logo teremos
~
A·B~ =AiBjδij =AiBi=A1B1+A2B2+A3B3 (1.96)
onde
δij ≡eˆi·eˆj =
½
1 ∀ i=j
0 ∀ i6=j (1.97)
para uma base cartesiana basta fazer a correspondˆecia entre os ´ındices 1,2,3 e x,y,z ou seja A1=Ax,
A2=Ay eA3=Az
~
A·B~ =AiBi =A1B1+A2B2+A3B3=AxBx+AyBy+AzBz (1.98)
1.8.2
Produto vetorial
O produto vetorial entre o vetorA~ e o vetor B~ ser´a:
~
A∧B~ = Aiˆei∧Bjˆej=AiBj(ˆei∧eˆj) (1.99)
= A1B2eˆ3−A2B1eˆ3+A2B3eˆ1−A3B2eˆ1+A3B1ˆe2−A1B3ˆe2 (1.100)
= (A1B2 −A2B1)ˆe3+ (A2B3 −A3B2)ˆe1+ (A3B1 −A1B3)ˆe2 (1.101)
ˆ
e1∧eˆ2= ˆe3=ǫ123eˆ3, eˆ2∧ˆe1=−eˆ3=ǫ213ˆe3
ˆ
e2∧eˆ3= ˆe1=ǫ231eˆ1, eˆ3∧ˆe2=−eˆ1=ǫ321ˆe1
ˆ
e3∧eˆ1= ˆe2=ǫ312eˆ2, eˆ1∧ˆe3=−eˆ2=ǫ132ˆe2
Definidoǫijk por
ǫijk =
1 =ǫ123=ǫ231=ǫ312 ∀ i6=j6=k −1 =ǫ213=ǫ321=ǫ132 ∀ i6=j6=k
0 ∀ i=j, i=k, j=k
(1.102)
o produto Vetorial fica;
~
A∧B~ = AiBj ǫijk eˆk (1.103)
1.8.3
Triplo produto vetorial
sejamA, ~~ B eC~ o triplo produto vetorial entre eles ser´a:
(A~∧B~)∧C~ = (AiBjǫijk ˆek) ∧ Cleˆl=AiBjClǫijk (ˆek ∧ eˆl) (1.104)
= AiBjClǫijkǫklmˆem=AiBjClǫkijǫklmˆem (1.105)
sabendo queǫk i jǫk l m= (δi lδj m−δi mδj l)
(A~∧B~)∧C~ = AiBjCℓ(δi ℓδj m−δi mδjℓ)ˆem (1.106)
= ³A~·C~´Bmeˆm−
³
~
B·C~´Ameˆm (1.107)
= ³A~·C~´B~ −³B~ ·C~´A~ (1.108)
Pode-se mostrar, tamb´em, que
~
A∧(B~ ∧C~) = −AiBjCk(δi jδn k−δi kδn j) ˆen (1.109)
= ³A~·C~´B~ −³A~·B~´C~ (1.110)
Aplicando esta propriedade ao caso~r∧(~ω∧~r) neste caso ´e fazerA~ =~r,B~ =~ωeC~ =~rna eq. (1.108) e ainda~r=xieˆi e~ω=ωjˆej Para o caso em que
~r∧(~ω∧~r) =−xiωjxk(δi jδn k−δi kδn j) ˆen =−(xjxnωj−x2ℓδn jωj)ˆen
ou
~r∧(~ω∧~r) = −ωj(xjxn−x2ℓδj n)ˆen (1.111)
= ωj(x2ℓδj n−xjxn)ˆen (1.112)
como o momento angular ´e
~ L=
η
X
α=1
mα~rα∧(~ω∧~rα) = − η
X
α=1
mαωj(xjxn−x2ℓδj n)αeˆn (1.113)
= ωj
à η X
α=1
mα
¡
x2
ℓδj n−xjxn
¢
α
!
ˆ
en (1.114)
= ωjIjnˆen (1.115)
onde
Ijn= η
X
α=1
mα
¡
x2ℓδj n−xjxn
¢
α
no limite do continuo
Ijn=
Z
m
d m¡x2ℓδj n−xjxn
¢
&
1.8.4
Transforma¸
c˜
ao do operador nabla:
∇
(x, y)→ ∇
(r, θ)O operador ∇~ em termos das coordenadas cartesianasx ey ´e definido por∇ ≡~ ˆı∂x∂ + ˆ∂y∂ . Para uma parcela consider´avel de problemas F´ısicos ´e mais conveniente definir∇~ em coordenadas polaresr eθ.
Para fazer a transforma¸c˜ao vamos considerar a fun¸c˜ao potencialU(r(x, y), θ(x, y)).Aplicando o ope-rador∇~ na fun¸c˜aoU teremos:
~
∇U(r, θ) = ˆı∂U(r, θ) ∂x + ˆ
∂U(r, θ)
∂U(r, θ)
∂x =
∂r ∂x
∂U ∂r +
∂θ ∂x
∂U ∂θ
(1.116)
∂U(r, θ)
∂y =
∂r ∂y
∂U ∂r +
∂θ ∂y
∂U
∂θ (1.117)
Pode-se escreverxey, em termos das coordenadas polares,reθ, do seguinte modo:
½
x =r cos(θ)
y =rsen(θ) (1.118)
½
r =px2+y2
tan(θ) = yx (1.119)
Fazendo as derivadas parciais obteremos os elementos da matriz transforma¸c˜ao
∂r
∂x = cos(θ)
∂θ ∂x =
−sen(θ)
r
(1.120)
∂r
∂y = sen(θ)
∂θ ∂y =
cos(θ)
r (1.121)
δij ≡eˆi·eˆj =
½
1 ∀ i=j
