Equações do 1º e 2º Graus

Equações do 1º e 2º Graus

É no ensino fundamental que somos introduzidos ao conceito de incógnita, ou seja, de um termo desconhecido em uma expressão algébrica. Em geral uma incógnita representa um número que não conhecemos ou que querermos determinar, mas, em alguns casos, uma incógnita pode representar algo maior, como uma função. Uma incógnita pode ser representada por qualquer letra, ou símbolo, de forma que possamos trabalhar mais eficientemente com ela.

Quando dizemos, por exemplo, “o dobro de um número mais cinco” temos uma expressão algébrica que contém uma incógnita, o “número” que não é mencionado. Esta expressão pode ser representada algebricamente se denotamos que a incógnita é, por exemplo, a letra 𝑇 e assim

2 × ⏞

"𝑑𝑜𝑏𝑟𝑜"

𝑇

⏟

"𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜"

+5 ⏞

"𝑚𝑎𝑖𝑠 𝑐𝑖𝑛𝑐𝑜"

.

Este tipo de expressão torna-se uma equação quando consideramos que existe uma igualdade, ou seja, quando duas expressões algébricas são divididas por uma igualdade. Estas duas expressões podem ter qualquer forma, desde que uma delas possua uma, ou mais, incógnita(s). Por exemplo, são equações

2 × 𝑇 + 5 = 15 e 3𝑥 + 2 = 𝑥 − 1.

OBS: a partir deste momento vamos diminuir o uso de × para representar a multiplicação, uma vez que isto pode se confuso na leitura, pensando que este símbolo representa a incógnita 𝑥.

Definição: O grau de uma equação é determinado pela maior potência da incógnita da equação.

Desta forma, a expressão 2𝑇 + 5 = 15 é uma equação do primeiro grau, uma vez que 𝑇 = 𝑇 ¹ . Da mesma forma, 3𝑥 + 2 = 𝑥 − 1 também é uma equação do primeiro grau.

Seguindo o mesmo raciocínio, um exemplo de equação do segundo grau é 3𝑥 ² − 𝑥 + 7 = 0.

INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DE SANTA CATARINA DEPARTAMENTO ACADÊMICO DE LINGUAGEM, TECNOLOGIA, EDUCAÇÃO E CIÊNCIA PROFESSOR: Jeremias Stein Rodriguês

DISCIPLINA: Cálculo A

CONTEÚDO: Equações e inequações de 1º e 2º graus.

Operações em equações:

Da mesma forma que com números, também podemos realizar operações com incógnitas, desta forma fazendo com que seja possível resolver operações em expressões com muitos termos, de forma a torná-la mais simples. Estas operações respeitam todas as propriedades matemáticas de soma, subtração, multiplicação e divisão, basta entender a lógica de como elas ocorrem.

A propriedade da distributividade da multiplicação em relação a soma, 𝑛 ∙ (𝑥 + 𝑦) = 𝑛 ∙ 𝑥 + 𝑛 ∙ 𝑦, pode ser utilizada na forma contrária, comumente chamada de “tirar/colcoar em evidência”, para explicarmos como somar os termos 2𝑥 e 𝑥 + 4𝑦:

2𝑥 + (𝑥 + 4𝑦) = 2𝑥 + 𝑥 + 4𝑦 𝐴𝑞𝑢𝑖 𝑠ó 𝑡𝑟𝑜𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑥 𝑝𝑜𝑟 1𝑥 → = 2𝑥 + 1𝑥 ⏟

𝑎𝑚𝑏𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑠𝑢𝑒𝑚 𝑜 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜 𝑥,𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑣𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑡𝑖𝑟á−𝑙𝑜

𝑒𝑚 𝑒𝑣𝑖𝑑ê𝑛𝑐𝑖𝑎

+ 4𝑦

= (2 + 1)𝑥 + 4𝑦

= 3𝑥 + 4𝑦

Note que os únicos termos que se somaram foram 2𝑥 e 𝑥, efetuando 2𝑥 + 𝑥 = 3𝑥.

Queremos perceber então que na operação de soma, assim como na subtração, resolvemos a operação apenas com termos semelhantes (números com números, termos com 𝑥 e termos com 𝑥, etc), ou seja, operamos termos que possuem a mesma potência da incógnita.

Exemplo: Resolver a subtração de 3𝑥 ² − 5𝑥 + 7 e 𝑥 ² − 3𝑥 − 10.

→ 3𝑥 ² − 5𝑥 + 7 − (𝑥 ² − 3𝑥 − 10) = 3𝑥 ² − 5𝑥 + 7 − 1𝑥 ² + 3𝑥 + 10

= (3𝑥 ² − 1𝑥 ² ) + (−5𝑥 + 3𝑥) + (+7 + 10)

= 2𝑥 ² − 2𝑥 + 17

A multiplicação e divisão seguem análogas com o que já conhecemos, no entanto vale ressaltar algumas propriedades e absurdos.

Propriedades: dada a incógnita 𝑥 e os números 𝑚 e𝑛 1) 𝑥 ⁰ = 1;

2) 𝑥 ¹ = 𝑥;

3) 𝑥 ^𝑚 ∙ 𝑥 ^𝑛 = 𝑥 ^𝑚+𝑛 ;

4) 𝑥 ^𝑚

𝑥 ^𝑛 = 𝑥 ^𝑚−𝑛 .

Como vimos anteriormente, para a multiplicação de termos com mesma base temos a propriedade que nos diz que

𝑥 ^𝑛 ∙ 𝑥 ^𝑚 = 𝑥 ^𝑛+𝑚 .

Disto, podemos então observar que o produto de dois polinômios pode ser feito usando esta propriedade e a propriedade de que a multiplicação é distributiva em relação a soma/subtração, ou seja, dados 𝑎, 𝑏 e 𝑐 temos que

𝑎 ∙ (𝑏 ± 𝑐) = 𝑎 ∙ 𝑏 ± 𝑎 ∙ 𝑐.

Por exemplo, podemos efetuar a multiplicação de 3𝑥 − 1 por 2𝑥 ² − 4𝑥 + 3 fazendo (3𝑥 − 1) ∙ (2𝑥 ² − 4𝑥 + 3) = 3𝑥 ∙ (2𝑥 ⏟ ² − 4𝑥 + 3)

𝑝𝑎𝑟𝑐𝑒𝑙𝑎 1

−1 ∙ (2𝑥 ⏟ ² − 4𝑥 + 3)

𝑝𝑎𝑟𝑐𝑒𝑙𝑎 2

= 3𝑥 ∙ 2𝑥 ⏟ ² + 3𝑥 ∙ (−4𝑥) + 3𝑥 ∙ 3

𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑐𝑒𝑙𝑎 1 𝑎𝑝ó𝑠 𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑡𝑖𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒

−1 ∙ 2𝑥 ⏟ ² − 1 ∙ (−4𝑥) − 1 ∙ 3

𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑐𝑒𝑙𝑎 2 𝑎𝑝ó𝑠 𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑡𝑖𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒

= 6𝑥 ⏟ ³ − 12𝑥 ² + 9𝑥

𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑐𝑒𝑙𝑎 1 𝑎𝑝ó𝑠 𝑎 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎çã𝑜

−2𝑥 ⏟ ² + 4𝑥 − 3

𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑐𝑒𝑙𝑎 𝑎𝑝ó𝑠 𝑎 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎çã𝑜

= 6𝑥 ³ − 14𝑥 ² + 13𝑥 − 3

A divisão não é um processo tão simples, então veremos isto futuramente quando falarmos de produtos notáveis e divisão de polinômios.

Raízes de um Polinômio do 1º e 2º graus:

A forma geral de um polinômio do 1º grau é dada por 𝑝(𝑥) ⏟

𝑢𝑠𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑝(𝑥) 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑑𝑒𝑛𝑜𝑡𝑎𝑟 𝑢𝑚 𝑝𝑜𝑙𝑖𝑛ô𝑚𝑖𝑜

𝑛𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖á𝑣𝑒𝑙 𝑥

= 𝑎𝑥 + 𝑏,

em que 𝑥 é a incógnita (termo desconhecido) e 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ , com 𝑎 ≠ 0. De forma parecida, o polinômio do 2º grau tem forma geral dada por

𝑝(𝑥) = 𝑎𝑥 ² + 𝑏𝑥 + 𝑐,

em que 𝑥 é a incógnita e 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ, com 𝑎 ≠ 0.

Definição: Dado um polinômio 𝑝(𝑥), uma raiz de 𝑝(𝑥) é um valor 𝑥 ₀ , atribuído a incógnita, que satisfaz

𝑝(𝑥 ₀ ) = 0.

Assim, podemos dizer, de forma mais simples, que as raízes de um polinômio são valores que quando substituídos no polinômio geram o resultado zero.

Exemplos:

𝑎) 𝑥 = −3 é raiz da equação 5𝑥 + 15.

Substituindo temos

5𝑥 + 15 = 5 ∙ (−3) + 15 = −15 + 15 = 0

𝑏) 𝑥 = 2 𝑒 𝑥 = 3 são raízes de 𝑥 ² − 5𝑥 + 6.

Substituindo 𝑥 = 2 temos

𝑥 ² − 5𝑥 + 6 = 2 ² − 5 ∙ 2 + 6

= 4 − 10 + 6

= 0 Substituindo 𝑥 = 3 temos

𝑥 ² − 5𝑥 + 6 = 3 ² − 5 ∙ 3 + 6

= 9 − 15 + 6

= 0

Para determinarmos a raiz de um polinômio 𝑝(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, basta o igualarmos a zero, assim

𝑎𝑥 + 𝑏 = 0 𝑎𝑥 = −𝑏

𝑥 = − 𝑏

𝑎 .

Já para equações do 2º grau, na forma 𝑎𝑥 ² + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, temos dois métodos mais utilizados, a fórmula de Bháskara (ou fórmula da resolução da equação de 2º grau) e o método de “Soma e Produto”.

A fórmula de Bháskara é dada por 𝑥 = −𝑏 ± √∆

2𝑎 em que ∆= 𝑏 ² − 4𝑎𝑐.

Note que por haver ± na fórmula, podemos ter duas raízes para a equação, uma vez que para uma é aplicado a soma e em outra a subtração. Note também que quando ∆ é um número negativo, dizemos que não existe raiz no conjunto dos números reais, uma vez que não conseguiríamos calcular √∆ , ou seja, a raiz de um número negativo (no entanto, no conjunto dos números complexos existe raiz/solução).

A segunda forma de calcularmos as raízes é pelo método da “Soma e Produto”. Para isto, partimos da ideia de que 𝑥 ₁ e 𝑥 ₂ são as raízes do polinômio 𝑥 ² + 𝑏𝑥 + 𝑐, ou seja, 𝑎 = 1 (o método também pode ser aplicado para outros valores de 𝑎, mas ele se torna mais complexo).

Então queremos que 1) 𝑥 ₁ + 𝑥 ₂ = −𝑏;

2) 𝑥 ₁ ∙ 𝑥 ₂ = 𝑐.

Descobrindo os valores que satisfazem as duas equações, eles são as raízes do polinômio.

Para verificar o motivo deste método funcionar, basta tentarmos resolver o sistema { 𝑥 ₁ + 𝑥 ₂ = −𝑏

𝑥 ₁ ∙ 𝑥 ₂ = 𝑐 .

Para isto, isolamos uma das variáveis na primeira equação e substituímos na segunda:

𝑥 ₁ + 𝑥 ₂ = −𝑏

→ 𝑥 ₁ = −𝑏 − 𝑥 ₂ 𝑆𝑢𝑏𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑛𝑑𝑜: 𝑥 ₁ ∙ 𝑥 ₂ = 𝑐

(−𝑏 − 𝑥 ₂ ) ∙ 𝑥 ₂ = 𝑐

−𝑏 ∙ 𝑥 ₂ − 𝑥 ₂ ∙ 𝑥 ₂ = 𝑐

−𝑏𝑥 ₂ − (𝑥 ₂ ) ² = 𝑐

0 = (𝑥 ⏟ ₂ ) ² + 𝑏𝑥 ₂ + 𝑐

𝑀𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑥

é 𝑟𝑎𝑖𝑧 𝑑𝑎 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜

𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙,𝑢𝑚𝑎 𝑣𝑒𝑧 𝑞𝑢𝑒 𝑥

𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑑𝑜 𝑎

𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑔𝑒𝑟𝑎 𝑜 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑧𝑒𝑟𝑜

O mesmo raciocínio pode ser feito com 𝑥 ₁ para mostramos que este também é raiz da equação.

Inequações do 1º e 2º Graus

Uma inequação é a composição de duas expressões algébricas e um sinal de relação de ordem. São sinais de relação de ordem:

1) < → menor que;

2) ≤ → menor que ou igual a;

3) > → maior que;

4) ≥ → maior que ou igual a.

Estes sinais são aplicados quando podemos relacionar dois objetos pela sua grandeza. Por exemplo, é correto afirmar que

1 < 5 → 𝑢𝑚 é 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑐𝑖𝑛𝑐𝑜 3 > −4 → 𝑡𝑟ê𝑠 é 𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑎𝑡𝑟𝑜

0 ≤ 1 → 𝑧𝑒𝑟𝑜 é 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑜𝑢 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑎 𝑢𝑚

Vale ressaltar que o uso do OU na matemática tem como significado “uma das coisas pode ocorrer ou ambas podem ocorrer”. Dizemos que ele não é excludente.

Também podemos observar que dizer 1 < 5, um é menor que cinco, é a mesma coisa que dizer que 5 > 1, cinco é maior que um. Note que em ambos os casos o sinal da desigualdade

“aponta” para o mesmo termo, disto podemos dizer que o sinal sempre “aponta” para o menor dos termos, disto podemos fazer qualquer leitura (a MENOR QUE b, ou b MAIOR QUE a).

Intervalos reais:

Um intervalo real nada mais é do que uma parte da reta real. Por exemplo, o intervalo dos números não negativos é o intervalo que começa em zero e não tem fim, pois segue no sentido dos números positivos infinitamente. Uma dúvida que pode surgir é se o número zero faz parte ou não do intervalo. Neste caso sim, pois zero é um número não negativo e não positivo.

Isto nos chama a atenção para o fato de que o começo (ou o fim) de um intervalo pode

ou não fazer parte deste, por isso definimos três tipos de intervalos: abertos, fechados e mistos.

Um intervalo aberto é um intervalo que não contém seus extremos. Por exemplo, o intervalo dos números ENTRE 1 e 5. A palavra “entre” deixa a entender que 1 e 5 não fazem parte do conjunto. Escrevemos intervalos abertos usando ] , [, assim este intervalo na forma ]1,5[ .

Um intervalo fechado é um intervalo que contém seus extremos. Por exemplo, o intervalo dos números DE −3 ATÉ 7. Escrevemos intervalos fechados usando [ , ], assim este intervalo escrevemos na forma [−3,7].

Um intervalo misto é um intervalor que é aberto e fechado, ou seja, uma das suas extremidades faz parte do intervalo e a outra não.

Podemos representar intervalos usando os sinais de relação de ordem, fazendo:

1) Intervalo aberto: ]𝑎, 𝑏[ = {𝑥 ∈ ℝ| 𝑎 < 𝑥 < 𝑏}

2) Intervalo fechado: [𝑎, 𝑏] = {𝑥 ∈ ℝ| 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏}

3) Intervalo misto: ]𝑎, 𝑏] = {𝑥 ∈ ℝ| 𝑎 < 𝑥 ≤ 𝑏} 𝑜𝑢 [𝑎, 𝑏[= {𝑥 ∈ ℝ| 𝑎 ≤ 𝑥 < 𝑏}

Além disso, existem intervalos infinitos, ou seja, que não possuem um ponto de partida ou um ponto de chegada. Assim, podemos ter:

1) ] − ∞, 𝑏[ = {𝑥 ∈ ℝ| 𝑥 < 𝑏} 𝑜𝑢 ] − ∞, 𝑏] = {𝑥 ∈ ℝ| 𝑥 ≤ 𝑏}

2) ]𝑎, +∞[ = {𝑥 ∈ ℝ| 𝑎 < 𝑥} 𝑜𝑢 [𝑎, +∞[ = {𝑥 ∈ ℝ| 𝑎 ≤ 𝑥}

Note que um intervalo é sempre aberto “no infinito”, pois este não é um número e assim nunca fará parte do conjunto.

Inequação do 1º grau:

Inequações do primeiro grau são todas as desigualdades que, para 𝑝(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, podem ser reduzidas a uma das formas

𝑝(𝑥) > 0 𝑝(𝑥) ≥ 0 𝑝(𝑥) < 0 𝑝(𝑥) ≤ 0.

Exemplos:

1) 2𝑥 + 3 < 0;

2) 3(𝑥 − 2) ≥ 1;

3) 𝑥 − 5

3 < 3𝑥 + 4.

Também podemos ter inequações simultâneas e sistemas de inequações, que são da forma:

1) 3 ≤ 2𝑥 − 1 < 𝑥 + 7 → Inequações simultâneas 3 ≤ 2𝑥 − 1 𝑒 2𝑥 − 1 < 𝑥 + 7

2) { 3𝑥 − 4 ≤ 5

3 < 𝑥 + 1 → Sistemas de inequações.

Para resolvermos estes tipos de inequações, utilizamos um processo parecido com o feito com a equação do 1º grau, tentamos isolar a variável. Aqui vale chamar atenção para o fato de que se 14 > −6, quando multiplicamos/dividimos esta inequação por um número negativo, obtemos

1) 14 > −6 → 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑐𝑖𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑟 − 2, 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 − 28 𝑒 + 12, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 → −28 < +12;

2) 14 > −6 → 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑟 − 2, 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 − 7 𝑒 + 3, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 → −7 < +3.

Em ambos os casos temos que o sinal da desigualdade “muda de direção”, isto ocorre por causa da troca de sinais. Isto ocorre SOMENTE para a multiplicação e a divisão.

Exemplo: Resolver a inequação 3𝑥 + 5 < 23.

→ 3𝑥 + 5 < 23 3𝑥 < 23 − 5 3𝑥 < 18

𝑥 < 18 3 𝑥 < 6

Note que aqui, nossa solução ao problema não é mais um número, mas o intervalo ] − ∞, 6[.

Inequações Produto e Quociente:

Dadas duas funções 𝑓(𝑥) 𝑒 𝑔(𝑥), ambas de 1° grau, denominamos inequação-produto e inequação-quociente como se segue:

Inequação Produto Inequação Quociente

𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥) < 0 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥) ≤ 0 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥) > 0 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥) ≥ 0

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥) < 0 𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥) ≤ 0 𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥) > 0 𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥) ≥ 0

Aqui devemos notar que nossas inequações devem ser em relação ao termo maior, menor ou igual a ZERO. Fazemos isto pelo fato de que o produto, assim como o quociente, é maior que zero quando o produto/quociente ocorre entre ambos termos positivos ou termos negativos. Da mesma forma o produto/quociente é menor que zero quando os termos tens sinais opostos.

Para resolvermos a inequação-produto ou quociente:

 Coloca-se a inequação na forma geral;

 determina-se a raiz de 𝑓(𝑥) 𝑒 𝑔(𝑥);

 representa-se graficamente os sinais de 𝑓(𝑥) 𝑒 𝑔(𝑥) ao redor das raízes;

 dá-se o conjunto-solução escolhendo o intervalo em que o produto ou o quociente dos sinais que satisfaz a inequação.

Exemplo: Determinar o conjunto solução da inequação ( 2𝑥 + 4 ) ∙ ( −𝑥 + 3 ) < 0

A raiz de 2𝑥 + 4 é 𝑥 = −2 e de −𝑥 + 3 é 𝑥 = 3. Construindo os sinais das expressões obtemos

Note que o resultado será o produto dos sinais (regra de sinais)

Assim, o conjunto solução para a inequação ( 2𝑥 + 4 ) ∙ ( −𝑥 + 3 ) < 0 , será o intervalo

dado por ] − ∞, −2[ ∪ ]3, +∞[ . Observe que o intervalo é aberto pois a inequação não admite

a igualdade. No caso de quociente, também devemos manter aberto o intervalo que zera o

denominador.

Inequações do 2º grau:

Denomina-se inequação do 2° grau toda desigualdade que, para 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 ² + 𝑏𝑥 + 𝑐, 𝑎 ≠ 0, pode ser reduzida a uma das formas:

𝑓(𝑥) > 0 𝑓(𝑥) < 0 𝑓(𝑥) ≥ 0 𝑓(𝑥) ≤ 0.

Para resolve-las, utilizamos um processo parecido com a inequação do produto.

Buscamos as raízes da equação do segundo grau e se localizam os sinais, baseando-se no fato de que o gráfico da equação do segundo grau é uma parábola, temos que

Exemplo: Resolver a inequação

𝑥 ² − 5𝑥 + 6 ≥ 0.

𝑥 ² − 5𝑥 + 6:

Como resultado temos o conjunto ] − ∞, 2] ∪ [3, +∞[.

Inequações simultâneas e Sistemas de inequações:

Uma inequação simultânea, do tipo, 3 < 2𝑥 − 1 ≤ 5 pode também pode ser escrita na forma de um sistema de inequações, fazendo

{ 3 < 2𝑥 − 1 2𝑥 − 1 ≤ 5 .

Para resolver isto, resolvemos cada um dos casos e depois fazermos a interseção dos

conjuntos soluções. Na primeira inequação temos

3 < 2𝑥 − 1 4 < 2𝑥

2 < 𝑥

Obtemos então o conjunto ]2, +∞[. Na segunda inequação temos 2𝑥 − 1 ≤ 5

2𝑥 ≤ 6 𝑥 ≤ 3

e então obtemos o intervalo ] − ∞, 3]. Portanto temos o conjunto solução ]2,3].