CONTROLE ADAPTATIVO ROBUSTO APLICADO A UM CIRCUITO CAÓTICO

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São João del-Rei - MG - Brasil

CONTROLE ADAPTATIVO ROBUSTO APLICADO A UM CIRCUITO CA ´OTICO

Samaherni M. Dias∗, Aldayr D. de Araujo∗, Allan de M. Martins∗, Kurios I. P. de M. Queiroz∗

∗_{Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Departamento de Engenharia El´}_{etrica, Laborat´}_{orio de} Acionamento, Controle e Instrumenta¸c˜ao (LACI), Natal, RN, Brazil

Emails: sama@dca.ufrn.br, aldayr@dca.ufrn.br, allan@dee.ufrn.br, kurios@dee.ufrn.br

Abstract— Many practical systems (for example: robotic systems, power system and electronic circuits) are multiple-input multiple-output nonlinear systems and some of them have coupled relations between inputs and outputs. Besides all that, these systems can suffer from plant uncertainties and external disturbances. Any control techniques to be applied to these systems are complex. This work proposes a new control structure, based on the union between the variable structure model reference adaptive control and a decoupling left-inverse technique, to transform the nonlinear multiple-input multiple-output system into a number of single-input single-output linear systems. In that case each input affects only one output and with a desired closed-loop performance.

Keywords— Robust control; Model reference adaptive control; Sliding mode control; Decoupling; Chattering. Resumo— Muitos sistemas práticos (por exemplo: sistemas robóticos, sistemas de potência e circuitos eletrˆ o-nicos) são não-lineares com múltiplas-entradas e múltiplas sa´ıdas. Alguns destes sistemas possuem acoplamento entre suas entradas e sa´ıdas. Além do acoplamento estes sistemas podem apresentar incertezas paramétricas e distúrbios externos. Qualquer técnica de controle aplicada a estes sistemas é complexa. Este trabalho propõe uma nova estrutura de controle, baseada na união entre o controlador adaptativo por modelo de referência e es-trutura variável e uma técnica de desacoplamento, para transformar o sistema não-linear com múltiplas-entradas e múltiplas sa´ıdas em um conjunto de sistemas lineares com uma entrada e uma sa´ıda. Neste caso, cada entrada afeta apenas uma única sa´ıda com sua performance em malha fechada definida pelo projetista.

Palavras-chave— Controle robusto; Controle adaptativo por modelo de referˆencia; Controle por modos des-lizantes; Sistemas desacoplados; Chattering.

1 Introdu¸c˜ao

Atualmente, há um crescente interesse em apli-car técnicas de controle em processos industriais. Entretanto, muitos destes processos são sistemas MIMO (Múltiplas Entradas e Múltiplas Sa´ıdas) não lineares e alguns deles apresentam um forte acoplamento entre as entradas e as sa´ıdas. Além de tudo isso, estes sistemas podem apresentar in-certezas paramétricas e distúrbios externos. Qual-quer técnica de controle aplicada a um sistema como esse será complexa. Este trabalho propõe desacoplar o sistema não linear MIMO em um conjunto de sistemas lineares SISO (Uma Entrada Uma Sa´ıda), nos quais cada entrada afeta apenas uma sa´ıda com sua performance em malha fechada definida pelo projetista.

Alguns trabalhos nesta ´area podem ser des-tacados por suas contribui¸c˜oes, como o trabalho de Hirschorn (1979), no qual ele provou a condi-¸

cão suficiente para a existência de uma classe de sistemas não lineares (sistemas de fase m´ınima) inversos à esquerda. Em Singh (1981) o algoritmo da constru¸cão de sistemas inversos proposto por Hirschorn foi modificado ampliando a classe de sistemas não lineares inversos à esquerda. Li et al (1987) generalizou o método de inversão de sis-temas provando a condi¸cão necessária e suficiente para a inversão de um sistema não linear genérico. Recentemente, a aplica¸cão de métodos de controle não linear desacoplado tem sido pro-posta (Gang e Lina, 2010; Ahmed et al., 2009; Li

et al., 2009; Dias et al., 2007). Muitas destas apli-ca¸cões estão direcionadas a motores de indu¸cão e sistemas robóticos. A aplica¸cão apresentada aqui está relacionada com circuitos eletrônicos.

Será utilizado um algoritmo modificado de constru¸cão de sistemas inversos, proposto por Hirschorn, associado com uma técnica de controle por modos deslizantes para desacoplar o circuito de Chua modificado, o qual é um circuito eletrˆ o-nico simples que exibe um comportamento ca´ o-tico. O circuito de Chua modificado é muito sen-s´ıvel a varia¸cões em seus componentes e tem um forte acoplamento entre suas entradas e sa´ıdas. Por estas caracter´ısticas, o circuito de Chua foi escolhido para testar a técnica proposta.

O controle por modos deslizantes usado neste trabalho é o controle adaptativo por modelo de referência e estrutura variável (VS-MRAC). Esta estratégia de controle leva a um desempenho tran-sitório rápido e é robusta às incertezas param´ etri-cas, dinâmicas não modeladas e distúrbios exter-nos (Costa e Hsu, 1992). O VS-MRAC para plan-tas lineares com grau relativo unitário foi proposto em (Hsu, 1988), e em seguida, estendido para o caso geral (Hsu, 1990). A aplica¸cão de técnicas de chaveamento em circuitos eletrônicos não é uma novidade, e uma das mais importantes aplica¸cões é a fonte chaveada.

Inicialmente, o sistema não linear MIMO (cir-cuito de Chua) será desacoplado, utilizando o al-goritmo modificado proposto, em dois sistemas li-neares SISO e, então, para cada um dos sistemas

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SISO desacoplado ser´a aplicado um controlador VS-MRAC.

2 Invers˜ao de sistemas n˜ao lineares

Baseado no algoritmo de constru¸cão de sistemas inversos proposto por Hirschorn (1979), o qual constrói uma sequência de sistemas, alterando o mapeamento de sa´ıda até que se possa encontrar uma solu¸cão para o vetor de entrada (u) em fun¸cão da sa´ıda (y), das derivadas da sa´ıda e do vetor de estado (x). Assim, é poss´ıvel obter-se um segundo sistema não-linear que age como um sistema in-verso à esquerda para o sistema original. Para um melhor entendimento faz-se necessário que o leitor esteja familiarizado com a nota¸cão e os resultados apresentados em (Hirschorn, 1979). Considere o sistema    ˙ x = A(x) + m P i=1 uibi(x); x ∈ M, y = C(x) (1) onde A, b1, . . . , bm∈ V (M → M ) e C : M → Rl_´_e um mapeamento anal´ıtico real. Então

dy dt = y

(1)_{= Ac(x) + D(x)u} ₍₂₎

onde u denota o vetor em <m _cujos componentes s˜ao u1, . . . , um e D(x) = [b1c(x) b2c(x) · · · bmc(x)] ´e uma matriz l × m para cada x ∈ M .

Agora, considere o sistema 1

     ˙ x = A(x) + m P i=1 uibi(x); x ∈ M1, z1 = C1(x) + D1(x)u (3) onde z1 = R0(x) dy dt, C1 = R0(x)Ac(x), D1 = R0(x)D(x). (4)

Seja R0(x) uma matriz com a propriedade de reordenar as linhas de D(x) e R0(x)D(x) = D11(x) 0 , (5)

onde D11(x) é uma matriz r1× m de posto r1 para todo x ∈ M1 e r1 = maxx∈M{rank D(x)} é chamado de ´ındice de inversibilidade do sistema (1). Seja o Sistema J      ˙ x = A(x) + m P i=1 uibi(x); x ∈ MJ, zJ = CJ(x) + DJ(x)u (6) onde MJ é um subconjunto de M , CJ(x) e DJ(x) são matrizes l × l e l × m, respectivamente, cujas entradas são fun¸cões anal´ıticas reais em MJ, e

DJ(x) =

DJ 1(x) 0

, (7)

com DJ 1(x) uma matriz rJ× m de posto rJ para todo x ∈ MJ.

Por constru¸c˜ao

0 6 r16 r26 r36 . . . 6 m (8) onde m é o número de entradas. Desta forma, existe pelo menos um número positivo inteiro J tal que rJé máximo.

Baseado em (Hirschorn, 1979), suponha que um sistema da forma (1) tem ordem relativa α < ∞. Desta forma, o α-´esimo sistema ser´a

     ˙ x = A(x) + m P i=1 uibi(x); x ∈ Mα, zα = Cα(x) + Dα(x)u (9) e por constru¸c˜ao Dα(x) = Dα1(x) 0 (10)

onde para todo x ∈ Mα, Dα1(x) é uma matriz rα× m de posto rα = m (para α < ∞) e é uma matriz invers´ıvel. Seja zα e cα os primeiros m componentes de zα e cα, respectivamente. Então

zα= cα(x) + Dα1(x)u. (11)

Se x0 ∈ Mα então existe uma matriz Hα(x) (m×αl) cujas entradas são fun¸cões anal´ıticas reais em Mα tal que zα(t) = Hα(x(t))    y(1)(t) .. . y(α)_(t)    (12) e o sistema ( ˙ b x = A(bx) + b_b B(_bx)_bu; x0_b = x0∈ Mα, b y = C(b _bx) + bD(_bx)u_b (13) onde b A(_bx) = A(_bx) −b1(x) . . . bm(_b _bx) D−1 α1(x)cα(b bx) b B(_bx) = b1(_bx) . . . bm(x) D_b −1 α1(bx)Hα(bx) b C(_bx) = −D−1_α1(_bx)cα(x)_b b D(_bx) = D−1_α1(x)Hα(_b x)_b (14) age como um sistema inverso à esquerda para o sistema (1).

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3 Controlador VS-MRAC

O controlador VS-MRAC (Figura 1) foi proposto em (Hsu, 1988). O objetivo do VS-MRAC é en-contrar uma lei de controle que modifique a estru-tura e a dinâmica da planta, de maneira que seu conjunto entrada/sa´ıda seja exatamente o mesmo de um modelo de referência.

Considere uma planta linear SISO e invari-ante no tempo com fun¸cão de transferência estri-tamente própria W (s) = kpnp(s) dp(s) = kp s + ap ,

com entrada u e sa´ıda y. O modelo de referência é caracterizado pela fun¸cão de transferência estri-tamente própria M (s) = kmnm(s) dm(s) = km s + am ,

com entrada yr e sa´ıda ym.

O prop´osito ´e encontrar um lei de controle u(t), utilizando somente medidas de entrada e sa´ıda da planta, tal que o erro de sa´ıda

e0= y − ym (15)

tenda a zero assintoticamente para condi¸cões ini-ciais arbitrárias e sinal de referência yr(t) cont´ınuo por partes e uniformemente limitado.

Modelo M (s) Planta W (s) Rel´e Rel´e θ2 θ1 θ2= −θ2sgn(e0· yr) θ1= −θ1sgn(e0· y) yr ym y u θ2 θ1 e0 -+ + +

Figura 1: Diagrama de blocos do controlador adaptativo por modelo de referˆencia e estrutura vari´avel (VS-MRAC)

Considere u = θ∗Tω (16) onde θ₁∗=ap− am kp , θ∗₂= km kp . (17)

o sinal de controle para a planta (W (s)) seguir exatamente o modelo de referência (M (s)), isto é, a fun¸cão de transferência da planta em malha fechada, de yr para y, é M(s). Claro que θ∗T só pode ser conhecido se W (s) é conhecido. Quando este não for o caso, o sinal de controle será

u = θTω, (18)

onde θT = [θ1 θ2] ´e o vetor de parˆametros adap-tativos (para sinais persistentemente excitantes θ → θ∗) e

ω =y yrT

, (19)

é definido como o vetor “regressor”. As seguintes hipóteses são assumidas: 1. o grau relativo n∗da planta W (s) é conhecido

e o modelo de referˆencia M (s) tem o mesmo grau relativo da planta;

2. somente sinais de entrada e sa´ıda da planta s˜ao utilizados para gerar o sinal de controle u;

3. a ordem (n) da planta é conhecida, isto é, dp(s) é mônico e de ordem n;

4. a planta e o modelo são observáveis e con-troláveis (os pares de polinômios mônicos (np, dp) e (nm, dm) são co-primos);

5. Os sinais de kp e km são os “ganhos de alta frequência” e possuem o mesmo sinal; 6. W (s) é de fase m´ınima.

Assim, a lei de adapta¸cão dos parâmetros é

θi= −θisgn(e0ωi)

onde

θi> |θ∗i|, i = 1, 2

4 Estrutura do controlador

Este trabalho propõe, utilizando uma modifica¸cão do método de inversão de sistemas proposto por Hirschorn, desacoplar o sistema MIMO não linear em um conjunto de sistemas SISO lineares (ver Fi-guras 2 e 3), nas quais cada entrada afeta somente uma sa´ıda. A Figura 2 apresenta um diagrama de blocos do método de Hischorn para inversão de sistemas. É importante observar que o número de sistemas SISO desacoplados é ξ, onde ξ ≤ m.

ur1 . . . urξ u1 . . . um y1 . . . yl

⇒

s−α . . . s−α ur1 urξ y1 yξ Sistema Inverso ` a es-querda Sistema MIMO

Figura 2: Diagrama de blocos do m´etodo de Hirs-chorn de invers˜ao de sistemas

A modifica¸cão no método de Hirschorn pro-posta (ver Figura 3) aqui é obtida pela modifica-¸

cão de bA(_bx) (sistema 13). A idéia principal por trás desta modifica¸cão é a modifica¸cão da fun¸cão de transferência de s−α para

W (s) = bwn−αs

n−α_{+ · · · + bw}

1s + bw0 sn_{+ awn−1s}n−1_{+ · · · + aw1s + aw0} com grau relativo α

(4)

ur1 . . . urξ u1 . . . um y1 . . . yl

⇒

W1(s) . . . Wm(s) ur1 urξ y1 yξ Sistema Inverso ` a es-querda Sistema MIMO

Figura 3: Diagrama de blocos do m´etodo modifi-cado de Hirschorn para invers˜ao de sistemas

O método modificado de Hirschorn para in-versão de sistemas irá desacoplar um sistema não linear MIMO em um conjunto de sistemas lineares SISO com Wi(s) como a fun¸cão linear desaco-plada. Mas, quando há incertezas paramétricas no sistema não linear MIMO, as fun¸cões lineares desacopladas podem ser interpretadas como (ver Figura 4)

yi= W xi(s)(uri+ di) (20)

onde

di= f (u1, · · · , um) (21) ´e um dist´urbio de entrada,

W xi(s) = Wi(s) + 4κ (22)

e 4κ é uma dinâmica não modelada.

uri W xi(s) yi di + +

Figura 4: Fun¸cões lineares desacopladas quando há incertezas paramétricas em sistemas MIMO não lineares

Para garantir que o método modificado de Hirschorn para inversão de sistemas irá desacoplar o sistema MIMO não linear, será utilizado um con-trolador VS-MRAC (Vi), para cada sistema linear desacoplado (ver Figura 5). O controlador VS-MRAC oferece excelente estabilidade e robustez com respeito a incertezas paramétricas, dinâmicas não modeladas e distúrbios externos.

uri _{W x} i(s) yi di Vi yri + +

Figura 5: Controlador VS-MRAC aplicado ao sis-tema obtido utilizando o m´etodo modificado de Hirschorn para invers˜ao de sistemas

O controlador proposto desacopla o sistema MIMO não linear em um conjunto de sistemas li-neares, cada um com uma fun¸cão de transferência dada pelo modelo de referência Mi(s) associado ao respectivo controlador VS-MRAC (ver Figura 6).

ymi

Mi(s)

yri

Figura 6: Conjunto de fun¸c˜oes lineares desacopla-das obtidesacopla-das utilizando o controlador proposto

5 Resultados de simula¸c˜ao

Esta se¸cão apresenta um exemplo que destaca o desempenho do controlador proposto. Por esse motivo, o controlador proposto é aplicado ao cir-cuito de Chua modificado, o qual é muito sens´ıvel a varia¸cões nos seus componentes e tem um forte acoplamento entre suas entradas e sa´ıdas. O cir-cuito de Chua modificado em variáveis de estado é dado por    ˙ y1 = k1(y2− y1) − k2g(y1) + u1 ˙ y2 = k3(y1− y2) + k4y3+ u2 ˙ y3 = −k5y2+ u2 (23) onde g(x) = Gbx+0, 5(Ga−Gb)[|x+Bp|−|x−Bp|] (24) é uma fun¸cão não linear e Ga, Gb, Bp, ki (i = 1, . . . , 5) são constantes auxiliares que dependem dos componentes f´ısicos do circuito.

5.1 Desacoplando o circuito de Chua modificado O objetivo é desacoplar o sistema MIMO não li-near (23) em dois sistemas SISO lili-neares (ver Fi-gura 7), um sistema linear para y1 e um outro para y2, onde y1 e y2 representam a tensão em dois capacitores diferentes do circuito.

ur1 ur2 u1 u2 y1 y2

⇒

W1(s) W2(s) ur1 ur2 y1 y2 Sistema Inverso ` a es-querda Circuito de Chua Modi-ficado

Figura 7: Diagrama de blocos do m´etodo modifi-cado de Hirschorn para invers˜ao de sistemas

O sistema inverso à esquerda para (23), utili-zando o método proposto na se¸cão 2, é dado por

˙ b y₁ = _by1+ ur1 ˙ b y2 = by2+ ur2 ˙ b y₃ = −k5_by2 (25) com

u1 = −k1(_by2−y1) + k2g(_b y1) + ur1_b

u2 = −k3(_by1−y2) − k4_b _by3+ ur2 (26) Se (25) for modificado para

˙ b y1 = −kmby1+ kmur1 ˙ b y₂ = −kmby2+ kmur2 ˙ b y₃ = −k5y2_b (27)

onde km é definido pelo modelo de referência do controlador VS-MRAC, o sistema inverso modifi-cado é obtido.

(5)

5.2 Projeto dos controladores VS-MRAC Inicialmente, é necessário definir os modelos de referência (M1(s), M2(s))

Mi(s) = ymi yri =

km s + km

O segundo passo ´e definir a lei de controle para cada sistema linear desacoplado

ur1 = θT v1ω1 ur2 = θT v2ω2 (28) onde ωT i = [yi yri] θT vi = [θi 1 θi 2] (29)

com i = 1, 2. Assim, a lei de atualiza¸cão dos pa-râmetros é θ1 1 = −θ1 1sgn(e0 1y1) θ1 2 = −θ1 2sgn(e0 1yr1) θ2 1 = −θ2 1sgn(e0 2y2) θ2 2 = −θ2 2sgn(e0 2yr2) (30) onde e0 i= yi− ymi 5.3 Simula¸cões

Considere o circuito de Chua modificado (sistema 23) com condi¸c˜oes iniciais

  x(0) y(0) z(0)  =   0, 15264 −0, 02281 0, 38127  , (31) e            k1 = 7 k2 = 10 k3 = 0, 35 k4 = 0, 5 k5 = 7    Bp = 1 Ga = 4 Gb = 0, 1 (32) No projeto dos controladores VS-MRAC, os modelos de referˆencia foram escolhidos com km= 20 e θ1 1 = 0, 3375 θ1 2 = 1, 4250 θ2 1 = 0, 2756 θ2 2 = 0, 3937 (33)

Outra informa¸cão importante é que todas as simula¸cões tem 400s e em t > 250s os valores dos parâmetros do sistema irão mudar para

           k1 = 10 k2 = 12, 5 k3 = 0, 363 k4 = 0, 454 k5 = 8, 139 (34)

na simula¸c˜ao das Figuras (9-10).

O comportamento caótico do circuito de Chua modificado é apresentado na Figura 8. As Figu-ras (a-b) apresentam o comportamento do sistema (23) quando as entradas u1 e u2 têm as formas dadas pelas Figuras 8(c-d), respectivamente.

(a) y1× y3 (b) y2× y1

(c) u1× t (d) u2× t

Figura 8: Simula¸c˜ao do circuito de Chua modifi-cado com diferentes valores para as entradas u1e u2

A simula¸c˜ao das Figuras 8 (a-b) mostra que o comportamento do circuito de Chua modificado permanece ca´otico apesar dos sinais de entrada diferente de zero.

A próxima simula¸cão (Figura 9) apresenta o comportamento do sistema (23) utilizando (26-27) como sistema inverso à esquerda. Nesta simula¸cão é importante notar que qualquer valor constante para ur2 leva o sistema à instabilidade1_.

O comportamento do sistema utilizando o sis-tema inverso à esquerda (Figura 9) é oscilatório e apresenta erro de sa´ıda. Quando os parâmetros do sistema mudam (t > 250s) o erro de sa´ıda au-menta. Apesar da introdu¸cão do sistema inverso, pode-se observar que ainda há um acoplamento entre as entradas e as sa´ıdas do sistema. Um forte acoplamento entre ur2e y1, o qual torna o sistema instável, e um acoplamento mais fraco entre ur1e y2.

A Figura 10 exibe o comportamento do sis-tema (23) utilizando (26-27) como sissis-tema inverso `

a esquerda e os controladores VS-MRAC projeta-dos (se¸c˜ao 5.2).

Nesta simula¸cão (Figura 10) o foco é o com-portamento do controlador proposto, o qual tem um rápido transitório e um pequeno chattering2 no sinal de sa´ıda. Um outro aspecto é que o

con-1_{E importante ressaltar que o sistema inverso `}´ _{a esquerda} deveria desacoplar o sistema perfeitamente. O que não ocorreu devido ao arredondamento nos parâmetros e da sensibilidade do sistema caótico.

2_{Chattering s˜}_{ao oscila¸}_c˜_{oes de alta frequˆ}_{encia presentes}

(6)

(a) (y1 e ur1) × t (b) (y2 e ur2) × t

(c) u1× t (d) u2× t

Figura 9: Simula¸c˜ao do circuito de Chua modifi-cado com sistema inverso `a esquerda

(a) y1× y3 e yr1× yr3 (b) y2× y1 e yr2× yr1

(c) u1× t (d) u2× t

Figura 10: Simula¸c˜ao do circuito de Chua modi-ficado com sistema inverso `a esquerda e controla-dores VS-MRAC

trolador proposto ´e robusto a incertezas param´ e-tricas e dist´urbios de entrada.

6 Conclus˜ao

Neste trabalho, uma nova estrutura de controle, baseada na união entre controladores VS-MRAC e uma técnica de inversão de sistemas, foi pro-posta. Esta estrutura utiliza somente medidas de entrada/sa´ıda, melhora o comportamento transi-tório (reduzindo o chattering no sinal de sa´ıda) e, ainda, é robusto a incertezas paramétricas e distúrbios. Todas estas caracter´ısticas são de-monstradas pela simula¸cão de um circuito eletrˆ o-nico que exibe comportamento caótico (circuito de Chua). Esta estrutura pode ser utilizada por sistemas SISO, linear ou não-linear, para suavi-zar o sinal de controle e, desta forma, reduzir o

chattering no sinal de sa´ıda. Finalmente, este tra-balho apresenta uma aplica¸cão em circuitos ele-trônicos, a qual pode ser expandida para outros circuitos eletrônicos como fonte chaveada, modu-ladores, conversores digital/analógico e etc.

Em trabalhos futuros, a análise de estabili-dade, a aplica¸cão em ambientes industriais e o uso de componentes embarcados (FPGAs, MCUs e DSPs) serão discutidos.

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