Prof°. Giancarlo de França Aguiar
DESCONTO COMPOSTO
1. Introdução
Neste momento estudaremos os descontos no regime de capitalização composta. Analogamente ao juro composto, os descontos compostos também são obtidos por cálculos exponenciais, visto que o desconto composto é na verdade, uma sucessão de descontos simples, calculados período a período.
Da mesma maneira que os descontos simples, os descontos compostos podem ser de dois tipos: o desconto comercial composto e o desconto reacional composto. No entanto, o desconto comercial composto quase não apresenta aplicação prática no Sistema Financeiro brasileiro, razão pela qual o apresentamos de forma sucinta, dedicando a maior parte desta unidade ao desconto racional composto.
A simbologia que adoraremos no trato com o desconto composto é a seguinte: = desconto comercial composto
= desconto racional composto = valor nominal
�= valor atual racional
� = valor atual comercial
�= taxa de desconto composto racional
� = taxa de desconto composto comercial
�= prazo de antecipação
Desconto Racional Composto
O desconto racional composto, relativo a um dado título de crédito, é a diferença entre o valor nominal e o valor atual deste, os quais são determinados com base no sistema de capitalização composto.
Como se trata de desconto racional, a fórmula para o valor atual pode ser obtida pela relação do montante composto.
= � 1 +� � então =� 1 +� � ou �= 1 +� −� de onde temos: = − � então = − . 1 +� −� ou = 1− 1 +� −�
Em resumo:
= − �
Taxa:
�
=
��−�
�
− �
Tempo:
=
� �� �−�
� � �+�
Exemplo1: Encontrar o desconto racional composto, concedido no resgate de um título de R$ 50.000,00, recebido 2 meses antes de seu vencimento, à taxa de 3% a.m.
R: R$ 2870,20
Exemplo2: Qual é o valor atual de um título de R$ 100.000,00, resgatado racionalmente a taxa composta de 4% a.m., 3 meses antes de seu vencimento?
R: R$ 88.899,60
=� 1 +� �
�= 1 +� −�
Exemplo3: Por ter pago uma dívida de R$ 300.000,00, 4 meses antes de seu vencimento, uma pessoa obteve um desconto de R$ 22.846,50. Qual a taxa de desconto racional envolvida nessa operação?
R: i = 0,02 ou i = 2%
Exemplo4: Uma empresa tomou emprestada de um banco a quantia de R$ 2.000.000,00, a taxa de juro composto de 12% a.m., por 7 meses. No entanto, 15 dias antes da data prevista para o vencimento, a empresa decidiu liquidar a dívida. Qual o valor a ser pago, se nessa data o banco estava operando a 15% a.m.?
R: R$ 4.122.941,32
Desconto Comercial Composto
As fórmulas para o cálculo do desconto comercial composto, relativo a um dado título de crédito, são obtidas pelas fórmulas do desconto comercial simples, aplicadas período a período. Chamado de � � o valor atual comercial do título, n períodos antes de sua data de vencimento, temos:
� = 1− � �
= �
1− � �
Exemplo1: Obter o desconto comercial composto, concedido no resgate de um título de R$ 50.000,00, 2 meses antes de seu vencimento, à taxa de 3% ao mês.
R: d = 2.955,00
Exemplo2: Qual o valor atual de um título de R$ 100.000,00, 3 meses antes de seu vencimento, considerando-se a taxa composta de 4% ao mês, sob o critério do desconto comercial?
R: R$ 88.473,60
““
