21510  ii 131  ii

LISTA DE EXERCÍCIOS – OPERAÇÕES COM COMPLEXOS - 2009 - GABARITO 1. Calcule as seguintes somas: (somam- se as partes reais e as partes imaginárias separadamente)

a) (2 + 5i) + (3 + 4i) b) i + (2 - 5i)

= (2 + 3) + (5i + 4i) = 5 + 9i = i + 2 – 5i = 2 – 4i 2. Calcule as diferenças: (subtraem-se as partes reais e as partes imaginárias separadamente) a) (2 + 5i) - (3 + 4i) b) (1 + i) - (1 - i)

= 2 + 5i – 3 – 4i = - 1 + i = 1 + i – 1 + i = 2i 3. Calcule os seguintes produtos: (aplica-se a distributividade e a soma ou subtração) a) (2 + 3i) (3 - 2i) b) (1 + 3i) (1 + i)

= (2)(3) – (2)(2i) + (3i)(3) – (3i)(2i) = (1)(1) + (1)(i) + (3i)(1) + (3i)(i)

= 6 – 4i + 9i – 6i

²

= 6 + 5i + 6 = 12 + 5i = 1 + i +3i + 3i

²

= 1 + 4i – 3 = - 2 + 4i 4. Escreva os simétricos dos seguintes números complexos: (o número é multiplicado por -1)

a) 3 + 4i = - 3 – 4i b) -3 + i = 3 - i c) 1 - i = - 1 + i d) -2 + 5i = 2 – 5i

5. Escreva os conjugados dos seguintes números complexos: (troca-se o sinal da parte imaginária) a) 3 + 4i = 3 – 4i b) 1 - i = 1 + i

6. Efetue as seguintes divisões de números complexos:

Solução. Elimina-se a parte imaginária do denominador com técnicas semelhantes às da racionalização.

Nesse caso multiplica-se numerador e denominador pelo conjugado do denominador.

a)

i i





 2

15

10 b) i

i



 1

3

1

i i i

i i i i i

i i

a i

4 5 7

20 35 1

4

15 20 20

) ( ) 2 (

15 30 10 20 )

2 (

) 2 ( 2

15

) 10

_{2 2}

2





 

 







 

 







 



 







i i i

i i i i i

i i

b i



 

 



 

 





 



 





2 2 2 4 1 1

3 2 1

) ( ) 1 (

3 3 1 ) 1 (

) 1 ( 1

3

) 1

_{2 2}

2

7. Calcule as potências: (Regra dos produtos notáveis: quadrado da soma)

a) (1 + i)

²

b) (-2 + i)

²

= (1)

²

+ 2.(1)(i) + (i)

²

= 1 + 2i – 1 = 2i = (-2)

²

+ 2.(-2)(i) + (i)

²

= 4 – 4i – 1 = 3 – 4i 8. Sendo z = (m

²

- 5m + 6) + (m

²

- 1).i, determine m de modo que z seja um imaginário puro.

Solução. Para que o complexo seja imaginário puro, a parte real deve ser nula (z = 0 + bi) e a parte imaginária diferente de zero (bi ≠ 0). Temos:

i)   



 













 3

0 2 )3 )(2 ( 0 6

2 5

m m m

m m

m ⁱⁱ⁾

 





 











 1

0 1 )1 )(1 ( 0

2 1

m m m

m m

COLÉGIO PEDRO II - UNIDADE SÃO CRISTÓVÃO III

3ª SÉRIE – MATEMÁTICA I – PROFº WALTER TADEU

www.professorwaltertadeu.mat.br

Unindo as duas condições, temos que: m = 2 ou m = 3.

9. Determine a parte real do número complexo z = (1 + i)

¹²

.

Solução. No exercício 7 foi calculado que (1 + i)

¹²

= 2i. O número 12 = 2 x 6. Logo a potência pode ser escrita como ((1 + i)

²

)

⁶

= (2i)

⁶

= (2)

⁶

.(i)

⁶

e lembrando que (i)

⁴

= 1, temos: (1 + i)

¹²

= (64).(i)

⁴

.(i)

²

= - 64.

OBS: Lembre que na multiplicação de potências de mesma base, conserva-se esta e somam-se os expoentes. Essa propriedade foi utilizada em: (i)

⁶

= (i)

²⁺⁴

= (i)

²

.(i)

⁴

.

10. Calcule o número complexo i

¹²⁶

+ i

^-126

+ i

³¹

- i

¹⁸⁰

Solução. A propriedade acima será utilizada em todos os termos. Basta encontrar as potências múltiplas de 4, pois i

⁴

= 1.

      ^{4 31 2 4 31 2 74 3 4 45}

180 31 126

126 .

. . 1 45

4 80 0 45 4 180)

3 74 31 3 7 4 31)

2 31 4 126 2 31 4 126)

i i i i i i i i i i i r

c

r b

r a















 



 







































Lembrando que: i

²

= -1; i

³

= -i e i

⁴

= 1, temos:

              i i i i

i i

i           

 











^

1 . 1 1 1 1 3

1 . 1 1 1 .

1

³¹ ₃₁ ^{7 45}

80 31 126 126

11. Sendo z = 5i + 3i

²

- 2i

³

+ 4i

²⁷

e w = 2i

¹²

- 3i

¹⁵

, calcule Im(z).w + Im(w).z . Solução. Calculando as formas algébricas de “z” e “w”, temos:

 

 ⁱ   ^{i i}  ⁱ

i i w

i i

i i

i i i

i i i i i z

3 2 . ) ( . 3 ) ( . 2 3 2

3 3 4 2 3 5 . ) ( . 4 ) ( 2 ) 1 ( 3 5 4 2 3 5

3 3 4 3

4 15

12

3 6 4 27

3 2















































Identificando as partes reais e imaginárias de cada número e efetuando a expressão pedida, temos:

a)   



 



 Im( 3)

3 ) 33 Re(

z i z

z b)

 





 

 Im( 3) 2) 32 Re(

w i w w

i i

i i

i z

w w

z ). Im( ). 3 ( 2 3 ) 3 ( 3 3 ) 6 9 9 9 3 18

Im(             

12. (UCMG) - O número complexo 2z, tal que 5z + z = 12 + 6i é:

Solução. Considerando z = a + bi e substituindo na equação mostrada, temos:



 

















































2 3 4 6 6 4

2 12 6 6 12 4 6 6 12 5

5 6 12 )

.(5 b b

a a

i bi a i bi a bi a i bi a bi a

OBS: Dois números complexos são iguais se suas partes reais e imaginárias são iguais.

Logo, z i 2 z 4 3 i

2

2  3   



13. (UCSal) - Para que o produto (a+i). (3-2i) seja real qual deve ser o valor de “a”?

Solução. O produto será real se somente a parte imaginária do resultado for nula. Multiplicando, temos:

i a a

i i ai a i i

a ).( 3 2 ) 3 2 3 2 ( 3 2 ) ( 3 2 )

(      

²

    . As condições são (3a + 2) ≠ 0 e (3 – 2a) = 0.

Resolvendo vem:

2 a: 3 Logo 2 a 3 3 a2 0 )a2 3(

3 a 2 2 a3 0 )2 a3(





 



 





























.

14. (UFBA) - Sendo a = -4 + 3i , b = 5 - 6i e c = 4 - 3i , calcule o valor de a.c + b.

Solução. Efetuando (a.c): (  4  3 i ).( 4  3 i )   16  12 i  12 i  ( 9 i )

²

  16  24 i  (  9 )   7  24 i Adicionando o resultado a “b”: (  7  24 i )  ( 5  6 i )   2  18 i

15. (Mackenzie-SP) – Calcule o valor da expressão y = i + i

²

+ i

³

+ ... + i

¹⁰⁰¹

.

Solução. Repare que a soma representa uma soma de 1001 termos de uma progressão geométrica com razão “i”. Utilizando a fórmula e substituindo os valores, temos:

i i i i i

i i i

i i i S n

iq i a q a q S

n

n 



 







 



 







 



 







 

 



 









 

 







 

1 . 1 1

].

)[(

. 1 1 1 1 1001

1 ^{1001 4 250}

1001 1

.1

16. Determine o número natural n tal que (2i)

ⁿ

+ (1 + i)

²ⁿ

+ 16i = 0.

Solução. Inicialmente, veja que: (1 + i )

²

= 1

²

+ 2.1.i + i

²

= 1 + 2i – 1 = 2i

Observe também que (1 + i)

²ⁿ

= [(1 + i)

²

]

ⁿ

= (2i)

ⁿ

. Substituindo, vem: (2i)

ⁿ

+ (2i)

ⁿ

+ 16i = 0.

Simplificando, fica: 2.(2i)

ⁿ

+ 16i = 0, implicando que 2.(2i)

ⁿ

= -16i. Logo, (2i)

ⁿ

= -8i.

Desmembrando, temos: 2

ⁿ

.i

ⁿ

= 2

³

. (-i)

Igualando as partes reais e imaginárias, vem: 2

ⁿ

= 2

³

e i

ⁿ

= -i Portanto, n = 3, uma vez que também i

³

= i

²

.i = (-1).i = -i.

17. (UEFS-93.2) - Se m - 1 + ni = (3 + i).(1 + 3i), calcule os valores de m e n.

Solução. Calculando o produto do 2º membro, temos:

a) (3 + i).(1 + 3i) = 3 + 9i + i + 3i

²

= 3 + 10i – 3 = 10i

Igualando os números do 1º e 2º membro pelas partes reais e imaginárias, vem:

b)   











 



 10 10

1 10 01

)1

( ni i n

m i m

ni m

18. A soma de um número complexo z com o triplo do seu conjugado é igual a (-8 - 6i). Calcule z .

Solução. Seja z = a + bi. O conjugado será (a – bi). Montando a equação descrita, temos:

i z i z Logo

b b

a i a

bi a i bi

a bi a

3 2 3

2 :

3 6 2

2 8 6 4

8 2 4 6 8 ) (3 ) (











 















 



















19. (FESP/UPE) - Seja z = 1+ i , onde i é a unidade imaginária. Calcule a potência z

⁸

. Solução. Já foi calculado que z

²

= (1 + i)

²

= 2i. Logo, z

⁸

= (z

²

)

⁴

= (2i)

⁴

= 2

⁴

.i

⁴

= 16.1 = 16.

20. (UCSal) - Sabendo que (1+i)

²

= 2i, então calcule o valor da expressão y = (1+i)

⁴⁸

- (1+i)

⁴⁹

. Solução. Utilizando as potências de (1 + i) calculadas anteriormente, temos:

 i  i i i   i i i

i i i

i i

i )

⁴⁸

( 1 )

⁴⁹

( 1 )

⁴⁸

( 1 1 ) ( 1 )

⁴⁸

( ) ( 1 )

^{2 24}

.( ) ( 2 )

²⁴

.( ) 2

²⁴

.

^{4 6}

.( ) 2

²⁴

1

(                   