Vórtices em nanoestruturas magnéticas elípticas

Texto

(1)Universidade Federal do Rio Grande do Norte Centro de Ciências Exatas e da Terra Departamento de F´ısica Teórica e Experimental Programa de Pós-Gradua¸caõ em F´ısica. V´ ortices em Nanoestruturas Magn´ eticas El´ıpticas. Jadson Tadeu Souza Dantas. Natal–RN Fevereiro de 2015.

(2) Jadson Tadeu Souza Dantas. Vórtices em Nanoestruturas Magnéticas El´ıpticas. Disserta¸caõ apresentada ao Programa de PósGradua¸caõ em F´ısica do Departamento de F´ısica Teórica e Experimental da Universidade Federal do Rio Grande do Norte como requisito parcial para a obten¸caõ do grau de mestre em F´ısica. Orientador: Prof. Dr. Artur da Silva Carri¸co. Co-orientador: Dr. Gustavo de Oliveira Gurgel Rebou¸cas.. Natal–RN Fevereiro de 2015.

(3) Disserta¸caõ de mestrado sob o t´ıtulo Vórtices em Nanoestruturas Magnéticas El´ıpticas apresentada por Jadson Tadeu Souza Dantas e aceita pelo Departamento de F´ısica Teórica e Experimental do Centro de Ciências Exatas e da Terra da Universidade Federal do Rio Grande do Norte, sendo aprovada por todos os membros da banca examinadora abaixo especificada:. Dr. Artur da Silva Carri¸co Orientador Departamento de F´ısica Teórica e Experimental Universidade Federal do Rio Grande do Norte. Dr. Idalmir de Souza Queiroz Junior Examinador Externo Departamento de F´ısica ´ Universidade Federal Rural do Semi-Arido. Dr. José Humberto de Ara´ ujo Examinador Interno Departamento de F´ısica Teórica e Experimental Universidade Federal do Rio Grande do Norte. Natal-RN, 19 de Fevereiro de 2015..

(4) Aos meus Pais, por todo o apoio de hoje e sempre.. i.

(5) Agradecimentos Em primeiro lugar, gostaria de agrade¸cer aos meus pais por todo o apoio dado durante toda minha jornada de vida. ` minha irmã que sempre foi uma amiga de imensa confian¸ca e estima. A ` minha namorada Larissa Ribeiro, por todo o apoio, companheirismo e amor. São A tantas noites sem dormir estudando juntos. Você sempre esteve ao meu lado quando eu precisei. Sempre me ajudou em tudo que eu precisava com muita paciência e amor. Não teria conseguido sem você. ` minha tia Dalva pelo amor incondicional que sempre demonstrou por mim, assim A como meu tio Zeca, que infelizmente não está mais entre nós, mas que deixa lembran¸cas boas e inesquec´ıveis. Ao meu orientador Artur Carri¸co por tudo que aprendi desde que comecei minha vida como pesquisador. Ao meu amigo e ex-tutor Ezequiel, pelo apoio desde o in´ıcio da gradua¸caõ até hoje. Não poderia deixar de agradecer a meu amigo e co-orientador, Gustavo Rebou¸cas. Tenho certeza que esse trabalho só foi poss´ıvel gra¸cas a sua extrema colabora¸caõ. Agrade¸co também a todos os meus amigos de sala: Karol, Rafaela, Nathan, Leo, César, Gustavo, Juliana e Silas. Amigos que levarei para sempre. Aos meus amigos pessoais Lucas e Pastor, pelas incontáveis derrotas, tanto no magic, quanto no fifa. Ao meu amigo Rafael que sempre tem os bichos ou as manas zicados. Ao meu amigo Renato, por toda a amizade, apoio, tanto na área acadêmica, quanto na vida pessoal, por todos esses anos. Estou certo de que parte da minha vida acadêmica é creditada a sua pessoa, bem como parte da minha vida pessoal. Agrade¸co extremamente a todo o povo brasileiro que é o principal contribuinte para todo o ambiente acadêmico do pa´ıs. Finalmente, ao CNPq, pelo apoio financeiro.. ii.

(6) “Milhares de velas podem ser acesas a partir de uma u ńica vela e a sua chama não será encurtada. Assim é a felicidade, nunca diminui ao ser compartilhada.” (Dalai Lama). iii.

(7) Resumo Estruturas ferromagnéticas (F) submicrométricas são de interesse, pois constituem partes essenciais de dispositivos magnetoeletrônicos modernos. O comportamento magnético destes sistemas devem ser entendidos, assim as fases ou estados magnéticos destes sistemas devem ser descritos e compreendidos de forma a propiciar o controle de seu comportamento ao longo da curva de magnetiza¸caõ ou de efeito de corrente elétrica polarizada. Estes comportamentos são fun¸cões das dimensões da part´ıcula, de seus parâmetros magnéticos intr´ınsecos, do seu histórico de tratamento térmico e/ou magnético, dentre outros. Investigamos as fases magnéticas de nanoelementos el´ıpticos de Fe ao longo da curva de magnetiza¸caõ, desde seu campo de satura¸cão positivo até campo nulo, buscando seu estado magnético em remanência. Usamos o modelo micro-magnético autoconsistente que permite representar o comportamento magnético do nanoelemento em questão, em fun¸caõ de seus parâmetros magnéticos intr´ınsecos. Estudamos os estados magnéticos de nanopart´ıculas el´ıpticas de Ferro isoladas com espessura de 25 nm, com diâmetro menor entre 100 nm a 200 nm e o diâmetro maior variando entre 300 nm a 500 nm. Estudamos também o comportamento de nanopart´ıculas com as dimensões citadas acima em uma estrutura constitu´ıda de duas part´ıculas idênticas separadas por um espa¸cador nãomagnético de 25 nm de espessura. O eixo de anisotropia é na dire¸caõ do raio menor da elipse e o campo externo pode ser aplicado tanto na dire¸caõ do eixo menor quanto na dire¸cão do eixo maior. A dire¸caõ de aplica¸caõ do campo magnético resulta em diferentes estados magnéticos em remanência para nanoelementos de uma mesma dimensão. Identificamos estados magnéticos em fun¸cão das dimensões laterais da elipse. Encontramos uma diversidade de estados: estados uniformes, vórtice u ńico, vórtices duplos, com quiralidades e polaridades opostas e iguais, e ainda estados com três vórtices na mesma estrutura. Mostramos que a dire¸caõ de aplica¸cão do campo magnético (rota de prepara¸caõ) é muito importante para o estado remanente dessas estruturas. Mostramos também que há acoplamento dipolar entre pares de nanoestruturas el´ıpticas e estes alteram de forma significativa os estados magnéticos quando comparado com o elemento isolado.. Palavras-chave: Nanoestruturas; Fases magnéticas; Curva de magnetiza¸caõ; Rota de prepara¸caõ; Vórtice; Remanência; Acoplamento dipolar.. iv.

(8) Abstract Ferromagnetic nanostructures (F) submicron are of interest, since they are essential parts of modern magnetic-eletric devices. States or magnetic phases of this system along the magnetization curve or polarized electrical current effect, are functions of particle size as well as the intrinsic parameters ferromagnet. We investigated elliptical magnetic phases Fe nanostructures along the magnetization curve, from its positive saturation field to zero field by using a self-consistent micro-magnetic dipole model that allows us to represent effects of system geometry, as well as the other parameters intrinsic of the nanostructures. We studied the magnetic states of isolated iron elliptical nanoparticles and coupled with a thickness of 25 nm, with smaller diameter ranging from 100 nm to 200 nm and the largest diameter ranging from 300 nm to 500 nm. Where the spacer is attached structures nonmagnetic and has a thickness of 25 nm. The anisotropy axis is in the direction of the minor radius of the ellipse and the external field can be applied both in the direction of the minor axis and the major axis direction. This field preparation route results in different magnetic states in remanence to nanostructures that have the same dimensions. We have identify magnetic states depending on the size ellipse’s dimensions. We identify a variety of magnetic states: uniform states, single vortex, double vortices with chirality and polarity opposite and equal, and states with three vortices on the same infrastructure. We show that the preparation route and dipolar coupling are very important factors for the remanent state of these structures.. Keywords: Nanostructures; Magnetic phases; Magnetization curve; Preparation route; Vortex; Remanence; Dipolar coupling.. v.

(9) Lista de Figuras 2.1 2.2 2.3. 2.4 2.5 2.6 3.1 3.2 3.3. 3.4 3.5 3.6. 3.7. Figura esquemática de uma espira representada por um c´ırculo de área a, onde circula uma corrente I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A figura mostra uma curva de histerese magnética idealizada. O eixo das abcissas é o campo externo e o eixo das coordenadas é a magnetiza¸caõ. . . Figura representativa de: 1) Célula cristalina, onde a0 é o parâmetro de rede. 2) Representa a célula de simula¸caõ magnética com o seu momento de dipolo efetivo, com comprimento menor que o comprimento de troca. 3) Representa o sistema como um todo, dando ênfase para uma célula i, seus primeiros vizinhos j e todos os outros vizinhos k. . . . . . . . . . . . . . . Figura esquemática de cada campo atuante na célula magnética i. . . . . . Representa¸cão de dois nanoelementos, N E1 e N E2 com suas respectivas alturas h1 e h2 , separados por um espa¸cador não magnético de espessurra . Tabela de parâmetros do ferro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Figura esquemática de fases magnéticas em nanoestruturas cil´ındricas. . . Figura esquemática de fases magnéticas em nanoestruturas acopladas via campo dipolar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A figura mostra um diagrama de fases magnéticas em remanência para cil´ındros de bases el´ıpticas, em fun¸caõ de seus diâmetros, com uma espessura fixa de 25 nm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A figura ilustra a compara¸cão da curva de magnetiza¸caõ de duas nanoestruturas de dimensões diferentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A figura ilustra a compara¸caõ do mapa de spin no estado de remanência de duas nanoestruturas de dimensões diferentes. . . . . . . . . . . . . . . A figura mostra duas curvas, onde o eixo das abcissas representa a componente z dos momentos magnéticos e o eixo das coordenadas representa o valor de y. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Curva de magnetiza¸cão e estado magnético de uma estrutura magnética, cujo estado remanente é de dom´ınio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. vi. 4 7. 19 22 23 24. . 29 . 30. . 32 . 34 . 35. . 36 . 37.

(10) 3.8. 3.9 3.10 3.11 3.12 3.13 3.14 3.15 3.16 3.17 3.18 3.19. 3.20. 3.21 3.22 3.23 3.24. A componente z do momento magnético em fun¸caõ da dimensão em y e do estado magnético de uma estrutura magnética, cujo estado remanente é de dom´ınio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Curva de magnetiza¸caõ e mapa de spin de uma nanoestrutura magnética isolada de Fe, cujo estado de remanência é de vórtice. . . . . . . . . . . . . Curva que mede a sa´ıda da magnetiza¸cão com rela¸cão a posi¸caõ do eixo das coordenadas sobre o esbo¸co do nanoelemento em seu estado remanente. Compara¸caõ dos estados magnéticos de uma nanoestrutura, cujo estado magnético é de vórtice u ńico com rela¸caõ ao topo e ao fundo. . . . . . . . . Figura ilustrando a curva de magnetiza¸cão e o processo de nuclea¸cão de uma estrutura cujo estado remanente é VDV. . . . . . . . . . . . . . . . . Curva da componente z da magnetiza¸caõ em fun¸cão da posi¸caõ no eixo das coordenadas, para z fixo e x nulo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Curva da componente z da magnetiza¸caõ em fun¸cão da posi¸caõ no eixo das coordenadas, para z fixo e x nulo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Curva que mede a sa´ıda da magnetiza¸cão com rela¸caõ a posi¸caõ do eixo das coordenadas. Ao lado um esbo¸co do nanoelemento em seu estado remanente. Figura comparando a curva de magnetiza¸caõ de dois nanoelementos de dimensões diferentes e suas respectivas fases magnéticas em remanência. . . Gráfico que ilustra a evolu¸caõ de uma nanoestrutura magnética de Fe, da satura¸caõ até a remanência. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Curva que mede a sa´ıda da magnetiza¸cão com rela¸caõ a posi¸caõ do eixo das coordenadas. Ao lado o esbo¸co do nanoelemento em seu estado remanente. A figura mostra um diagrama de fases magnéticas em remanência para cil´ındros de bases el´ıpticas, em fun¸caõ de seus diâmetros, com uma espessura fixa de 25 nm. O eixo de anisotropia uniaxial é o de diâmetro menor. O campo de satura¸caõ é na dire¸cão do eixo maior. . . . . . . . . . . . . . . A figura mostra uma compara¸cão entre duas nanoestruturas de dimensões iguais, saturadas com campos de mesmo módulo, mas dire¸cões diferentes, dando ênfase no estado remanente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Representa¸caõ dos nanoelementos separados por um espa¸cador não magnético. As fases para estas dimensões são apresentadas na figura 3.22. . Diagrama que lista os estados remanentes de nanoestruturas idênticas, acopladas e separadas por um espa¸cador não magnético de 25 nm de espessura. Curva de magnetiza¸caõ e mapa de spin de uma estrutura acoplada genérica, cujo estado remanente é o acoplamento AFM. . . . . . . . . . . . . . . . . Curva de magnetiza¸caõ e mapa de spin de uma estrutura acoplada genérica, cujo estado remanente é a fase SS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. vii. 37 38 39 40 41 41 42 43 44 44 45. 46. 46 47 48 49 51.

(11) 3.25 Curva de magnetiza¸caõ e mapa de spin de uma estrutura acoplada genérica, cujo estado remanente é a fase DVV. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51. viii.

(12) Sum´ ario Agradecimentos. ii. Resumo. iv. Abstract. v. 1 Introdu¸c˜ ao. 1. 2 Magnetismo 2.1 O Momento de Dipolo Magnético . . . . . . . . 2.2 A Magnetiza¸caõ e a Susceptibilidade Magnética 2.3 Curvas de Magnetiza¸caõ . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Histerese Magnética . . . . . . . . . . . 2.3.2 Histerese Térmica . . . . . . . . . . . . . 2.4 Materiais Ferromagnéticos . . . . . . . . . . . . 2.5 Micromagnetismo e as Energias Magnéticas . . 2.6 Energias Magnéticas por Células . . . . . . . . . 2.6.1 Energia de Troca . . . . . . . . . . . . . 2.6.2 Energia Zeeman . . . . . . . . . . . . . . 2.6.3 Energia de Anisotropia . . . . . . . . . . 2.6.4 Energia Magnetostática . . . . . . . . . 2.7 Campo Médio Local . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.1 Campo de Troca . . . . . . . . . . . . . 2.7.2 Campo Zeeman . . . . . . . . . . . . . . 2.7.3 Campo de Anisotropia . . . . . . . . . . 2.7.4 Campo Dipolar . . . . . . . . . . . . . . 2.7.5 O Campo Médio e o Equil´ıbrio . . . . . 2.8 Intera¸cão Entre Dois Nanoelementos . . . . . . 2.9 Parâmetros dos Materiais Magnéticos . . . . . . 2.10 Método Autoconsistente . . . . . . . . . . . . .. ix. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3 4 5 6 7 8 9 9 11 12 17 17 17 18 19 20 20 20 21 21 24 25.

(13) 3 Nanoestruturas Ferromagn´ eticas Acopladas Magneticamente 3.1 Estados Magnéticos de Remanência de Nanoel´ıpses . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Estados de Remanência para Estruturas Nanomagnéticas Isoladas . 3.1.2 Estados de Remanência para Estruturas Nanomagnéticas Acopladas 3.2 Nanoestruturas Elipsoidais Isoladas de Fe com Campo Aplicado ao Longo do Eixo de Anisotropia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Estudo das Curvas de Remanência . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1.1 Dom´ınio (D) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1.2 Vórtice (V) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1.3 Vórtice-Dom´ınio-Vórtice (VDV) . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1.4 Vórtice-Anti-vórtice-Vórtice (VAV) . . . . . . . . . . . . . 3.2.1.5 Triplo Vórtice (TV) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Nanoestruturas Elipsoidais Isoladas de Fe com Campo Aplicado Perpendicular ao Eixo de Anisotropia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Nanoestruturas Elipsoidais Acopladas de Fe . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1 Estado Uniforme Antiparalelo (AFM) . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.2 Estado Atiparalelo Tipo SS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.3 Vórtices Duplos Nos Dois Nanoelementos (DVV) . . . . . . . . . .. 26 27 27 29. 4 Conclus˜ oes e Perspectivas. 53. Referˆ encias bibliogr´ aficas. 56. x. 31 35 35 38 40 41 42 43 45 49 50 50.

(14) Cap´ıtulo 1 Introdu¸ c˜ ao Os dispositivos magnéticos utilizados na tecnologia atual, vem ganhando cada vez mais espa¸co com o passar do tempo, tanto nas ind´ ustrias, quanto nos ambientes acadêmicos por todo o mundo e no cotidiano de toda a sociedade. Existem hoje, vários dispositivos que apresentam sistemas magnéticos, tais como: memórias magnéticas, cabe¸cas de leitura magneto-resistivas, nanoosciladores, etc. A miniaturiza¸caõ destes dispositivos aliado ao desenvolvimento da litográfia nanométrica e a busca pelo aumento da densidade de grava¸caõ de dados é de interesse de todos [2, 9, 10, 11, 12, 13]. Os estados magnéticos destes sistemas são relevantes e possibilitam a identifica¸caõ de seu uso como parte de dispositivos. Identificar as fases magnéticas e entender o processo que levou até a mesma é importante e guia seu poss´ıvel uso como tecnologia que envolva um maior controle dos dispositivos que usam nanoestruturas de materiais ferromagnéticos. Vários esfor¸cos foram feitos para identificar e controlar os estados magnéticos de elementos de diversos materiais e formatos [25, 32, 33, 16], inclusive usando acoplamento com um substrato AF (exchange bias) que em princ´ıpio inibiria o estado magnético tipo vórtice [34, 31]. Visando este passo inicial de identificar fases magnéticas e entender a forma com que as estruturas atingiram esse estado, como uma das maneiras de ter maior controle dos dispositivos nanomagnéticos, essa disserta¸caõ estuda nanoelipsoides de Fe isolados e ´ acoplados, separados por um espa¸cador não magnético de espessura predeterminada. E utilizado um determinado valor de campo (o mesmo para todas as estruturas apresentadas nesse trabalho) para saturar os momentos magnéticos em uma determinada dire¸caõ e a partir da´ı estuda-se a curva de magnetiza¸cão até o estado de remanência, dando ênfase e listando esse u ´ltimo em fun¸cão dos diâmetros da nanoelipse [1, 2, 3]. No segundo cap´ıtulo, apresentamos uma revisão sobre o magnetismo, suas principais grandezas, os tipos de materiais magnéticos e, o conceito de curva de magnetiza¸cão e histerese. Em seguida, introduzimos o micromagnetismo usados no cálculo n´ umerico ao longo deste trabalho. Justificaremos a divisão do sistema em células de simula¸caõ para tornar o cálculo numérico viável do ponto de vista computacional. Descrevendo os campos 1.

(15) envolvidos no sistema. Também neste cap´ıtulo, ilustramos o método autoconsistente utilizado para se calcular os estados de equil´ıbrio ao longo da curva de magnetiza¸caõ, que faz uso do fato de que o equil´ıbrio ocorre quando os momentos magnéticos das células de simula¸cão apontam na mesma dire¸cão que o campo efetivo, descrito na Equa¸cão de Landau-Lifshitz-Gilbert. No terceiro cap´ıtulo, apresentamos os resultados das simula¸cões numéricas das estruturas estudadas. Primeiro trabalhamos com os nanoelementos de Fe isolados e definimos o eixo de anisotropia uniaxial como sendo o eixo de menor diâmetro de base. Saturamos as estruturas tanto na rota de maior diâmetro, como na rota de menor diâmetro e listamos todos os estados remanentes dessas estruturas que possuem uma espessura fixa de 25 nm. Em seguida mudamos a rota de satura¸caõ sem fazer nenhuma outra altera¸cão e listamos todos os estados remanentes, e comparamos estes estados em fun¸cão da rota de magnetiza¸caõ. Identificados os estados remanentes para as duas situa¸co˜es citadas acima, fazemos um acompanhamento dos estados magnéticos ao longo da curva de magnetiza¸caõ para cada fase magnética diferente listada no diagrama. Esse acompanhamento é importante e fornece um maior controle da estrutura por sabermos a maneira com que ela se forma até atingir o estado de magnetiza¸caõ remanente. Feito isso, passamos a estudar as estruturas de mesmas dimensões que as anteriores, acopladas via campo dipolar e separadas por um espa¸cador não magnético. Os pares são feitos sempre com nanoelipses de mesma dimensão e com o espa¸cador não magnético. Fazemos então, um diagrama das fases magnéticas em remanência em fun¸caõ das dimensões das estruturas. Da mesma forma que para as nanoestruturas isoladas é feito o acompanhamento dos estados magnéticos ao longo da curva de magnetiza¸cão para cada tipo de fase magnética presente no diagrama. No quarto cap´ıtulo, tomamos algumas conclusões a partir dos resultados obtidos e do conhecimento prévio da natureza magnética da matéria. E atentamos também para o fato que o trabalho possui muitas perspectivas tanto do ponto de vista puramente acadêmico, quanto para a fabrica¸caõ de dispositivos. Vários exemplos de atividades de pesquisa que podem ser feitas a partir das conclusões do trabalho apresentado são listadas: como investigar estruturas com dimensões diferentes, seja mudando os diâmetros e espessuras, quanto mudando o eixo de anisotropia uniaxial ou fazendo a investiga¸cão com outros tipos de materiais ferromagnéticos e diversas outras.. 2.

(16) Cap´ıtulo 2 Magnetismo Quando falamos em magnetismo, a maioria das pessoas prontamente associam esta palavra aos ´ımãs. Entretanto, quase ninguém a associa as correntes elétricas. Magnetismo é um fenômeno quântico que surge devido a cargas elétricas em movimento. As propriedades magnéticas de um material são decorrentes da forma como os diversos dipolos magnéticos, oriundos das correntes elétricas em suas estruturas atômicas, interagem entre si. Isto tanto em n´ıvel interno ao próprio a´tomo, como entre um a´tomo e seus demais vizinhos. Contudo, não podemos dizer que o movimento de cargas em rela¸caõ a um referencial adotado é a u ńica fonte do campo magnético de um material [5, 6]. Um fator de grande importância na descri¸caõ de fenômenos magnéticos é o momento magnético intr´ınseco de cada part´ıcula (que está diretamente relacionado ao spin da ´ muito comum associar essa parcela do momento angular da part´ıcula com um part´ıcula). E movimento desta em torno do seu próprio eixo. Entretanto, com o conhecimento que temos atualmente da mecânica quântica, não podemos considerar um bom modelo supor uma rela¸caõ associativa entre o momento angular intr´ınseco de uma part´ıcula e um movimento de rota¸caõ em torno do seu próprio eixo. Podemos justificar isso, se lembrarmos que part´ıculas como elétrons e prótons não possuem dimensões experimentalmente resolvidas (para a f´ısica atual, o elétron é uma nuvem totalmente dispersa se estiver parado ou um ponto se não soubermos nada a respeito de sua velocidade). Na verdade, part´ıculas carregadas como prótons e elétrons são, por si só, pequenos dipolos magnéticos e os efeitos magnéticos destes tem uma grande importância tanto na compreensão da estrutura atômica como do comportamento magnético da matéria [6, 7]. Note que não fizemos nenhuma men¸caõ ao termo “carga magnética”. De fato, esta não existe. Todos os estudos até agora, nos mostram que a divergência do campo magnético é nula, assim o fluxo através de uma superf´ıcie fechada é zero. Desse modo, as linhas de campo que saem dessa superf´ıcie são as mesmas que entram novamente. Se a carga magnética existisse, as linhas apenas sairiam ou apenas entrariam, dependendo do seu sinal. Então torna-se claro que não existem cargas magnéticas e que, portanto, o menor ente magnético é o dipolo magnético [4]. 3.

(17) 2.1. O Momento de Dipolo Magn´ etico. Consideremos uma pequena espira que delimita um c´ırculo de área a, onde circula uma corrente elétrica de intensidade constante I, como mostra a figura 2.1.. Figura 2.1: Figura esquemática de uma espira representada por um c´ırculo de área a, onde circula uma corrente I. O momento magnético m ~ é definido como o produto entre a corrente I e o vetor de a´rea ~a. Tal vetor é definido como um vetor normal à superf´ıcie com módulo igual a a´rea delimitada pela espira. m ~ = I~a. (2.1). Assim como a carga elétrica representa a fonte primária para os efeitos elétricos, o momento magnético é a fonte primária para os fenômenos magnéticos, como por exemplo ~ e o campo H. ~ A unidade do momento de dipolo magnético é o campo magnético B ampère por metro quadrado (A · m2 ). Para uma superf´ıcie mais geral, a equa¸caõ 2.1 não é muito adequada, pois o vetor de a´rea é o mesmo para todos os pontos do espa¸co. Para generalizar nossa expressão, devemos integrar sobre todo vetor de área: Z m ~ =I. ~ da. (2.2). Part´ıculas subatômicas carregadas, como por exemplo elétrons e prótons, comportamse cada uma como pequenos dipolos magnéticos, possuindo um momento de dipolo magnético inerente a` part´ıcula, denominado momento de dipolo magnético intr´ınseco. Este momento de dipolo magnético relaciona-se diretamente a outra propriedade pertinente a todas as part´ıculas subatômicas, carregadas ou não: o momento angular intr´ınseco, também denominado spin. Este não tem nenhum análogo clássico, embora, para todos os 4.

(18) efeitos, se comporte de forma análoga ao momento angular intr´ınseco discutido na equa¸cão ~ que 2.1. Na verdade, o momento angular total J~ é a soma do momento angular orbital L, ~ que está intimamente está associado ao momento magnético intr´ınseco, mais o spin S, relacionado ao momento magnético intr´ınseco. Dipolos magnéticos são fontes de campo magnético, assim como os dipolos elétricos são fontes de campo elétrico. Esses dipolos também sofrem os efeitos de campos em regiões em que estes são não nulos [5, 6]. Pode-se demonstrar que um dipolo magnético na origem, produz um campo magnético ao seu redor dado por: ~ r) = µ 1 [3(m B(~ ~ · rˆ)ˆ r − m] ~ (2.3) 4π r3 onde µ é a permeabilidade magnética do meio em que o dipolo magnético está imerso e rˆ é o vetor unitário na dire¸caõ do vetor radial [6].. 2.2. A Magnetiza¸c˜ ao e a Susceptibilidade Magn´ etica. Uma grandeza muito importante quando estudamos efeitos magnéticos nos materiais é o vetor de magnetiza¸c˜ ao. A magnetiza¸caõ é definida como a média vetorial do momento de dipolo magnético por unidade de volume ao longo de todo volume considerado [5]: ~ = M. P. m(r~0 ) V. (2.4). onde consideramos todos os momentos magnéticos em suas respectivas posi¸co˜es r~0 dentro do volume V . A unidade da magnetiza¸cão no sistema internacional é o ampère por metro (A/m). Quanto maior a magnetiza¸caõ, maior o momento de dipolo magnético efetivo associado a cada elemento diferencial de volume do material e maior o momento de dipolo magnético total associado ao objeto. ´ importante sabermos que a magnetiza¸caõ em um material pode ser afetada por E diversos fatores, como: campo externo, temperatura, corrente elétrica, etc. Logo a magnetiza¸caõ é um fenômeno de resposta frente a agentes externos. Vamos usar como exemplo um campo externo aplicado. Quando se emerge um material magnético em uma região onde há um campo magnético preexistente, a estrutura desse material responde ao campo no qual foi imerso, produzindo um campo magnético próprio. A intensidade e a orienta¸caõ desse campo depende do campo externo e das propriedades do material em questão. Para os casos mais simples, onde os materiais são homogêneos, isotrópicos e não fortemente magnetizáveis, a magnetiza¸cão depende diretamente do campo magnético excitante. Este fato nos leva a defini¸cão de uma nova grandeza chamada: susceptibilidade 5.

(19) magn´ etica. De forma que: ~ = χm H ~ M. (2.5). onde χm é a susceptibilidade magnética. A susceptibilidade magnética é uma grandeza adimensional que varia de substância para substância, apresentando valores positivos para os materiais paramagnéticos e negativo para diamagnéticos. Desse modo, a susceptibilidade é a resposta da magnetiza¸cão ao campo magnético aplicado. Nesses casos a magnetiza¸cão é nula quando o campo excitante é nulo e cresce gradualmente, a favor (paramagnetismo) ou contrária (diamagnetismo), mas sempre paralela ao campo externo. Contudo, nem sempre essa rela¸cão é válida, existem casos em que a magnetiza¸caõ se relaciona com o campo excitante de maneiras bem mais complicadas e pode até depender do histórico de exposi¸cão a` campos magnéticos externos, fenômeno observado em materiais que exibem memória e histereses magnéticas. Falaremos mais adiante sobre esses materiais [4, 5, 6]. Materiais que possuem histerese magnética podem estar magnetizados mesmo na ausência de um campo excitante em um dado momento e podem, devido ao seu histórico, exibir magnetiza¸caõ nula mesmo quando imersos em campos excitantes não nulos. Os ´ımãs permanentes são materiais que apresentam uma magnetiza¸cão não nula, mesmo a campo nulo. Esses materiais respondem a campos externos de forma que sua magnetiza¸caõ não tem uma grande dependência do campo externo (desde que esse não seja muito forte). Os ´ımãs permanentes diferem dos demais materiais por associarem uma parcela de magnetiza¸caõ permanente não nula com origem na própria estrutura do mate´ importante sabermos que mesmo nesses materiais é possivel “saturar” os dipolos rial. E magnéticos, os deixando paralelos ao campo externo, desde que este seja forte o suficiente para “vencer” a magnetiza¸caõ espontânea já existente nos ´ımãs permanentes e todos os outros fatores que discutiremos mais adiante, ao falarmos das energias magnéticas.. 2.3. Curvas de Magnetiza¸ c˜ ao. Como já foi dito, materiais não lineares não possuem uma rela¸cão simples entre sua magnetiza¸caõ e os agentes externos. Mesmo os materiais lineares, possuem um limite de linearidade. Campos com grande intensidade podem muito bem torná-los não lineares, por exemplo. Nesses casos o comportamento magnético é estudado por meio de curvas de resposta magnética. Neste trabalho, estudaremos as curvas da magnetiza¸caõ em fun¸cão do campo externo identificando as fases magnéticas em campo nulo, estado remanente. Descreveremos ainda de forma breve da magnetiza¸caõ em fun¸cão da temperatura (histerese térmica).. 6.

(20) 2.3.1. Histerese Magn´ etica. Nesse tipo de curva, observamos o comportamento da magnetiza¸cão em fun¸cão do campo externo aplicado. Em meios lineares já sabemos que essa curva seria uma reta. Contudo, nos materiais que discutiremos neste trabalho isto não ocorre. A forma mais simples de fugir do comportamento linear descrito anteriormente é, sim~ aplicado no material. Verificaplesmente, aumentar demasiadamente o campo externo H se que mesmos os materiais classificados no grupo dos materiais lineares deixam de responder de forma proporcional ao campo externo. Quando isto ocorre o material deixa de responder ao campo externo no qual está imerso, pois a magnetiza¸caõ não mudará mais, ocorrendo o alinhamento de todos os momentos magnéticos do material, dizemos que a estrutura está magneticamente saturada. Acontece então o que chamamos de satura¸caõ magnética do material. A satura¸caõ magnética ocorre devido ao alinhamento de todos, ou praticamente todos, os momentos de dipolo magnético do material quando este se encontra sob campo externo intenso o suficiente. O material exibe na satura¸caõ a máxima magnetiza¸caõ poss´ıvel. A proporcionalidade entre a magnetiza¸caõ e o campo externo em materiais lineares é válida apenas para valores moderados desse u ´ltimo. Contudo, em materiais lineares observase que reduzindo o campo externo restaura-se a linearidade da curva de magnetiza¸caõ e removendo o campo excitante não haverá mais magnetiza¸caõ macroscópica mensurável no material. Entretanto, existem materiais que apresentam memória magnética, o ferro em temperatura abaixo da temperatura cr´ıtica é o exemplo mais conhecido. Nesses materiais a magnetiza¸cão em um dado instante de tempo depende não apenas do campo externo nesse momento, como também de todo o histórico magnético do material. Vamos usar como exemplo um material idealizado, com grande histerese. A figura 2.2 apresenta uma curva t´ıpica de magnetiza¸cão.. Figura 2.2: A figura mostra uma curva de histerese magnética idealizada. O eixo das abcissas é o campo externo e o eixo das coordenadas é a magnetiza¸caõ. 7.

(21) Come¸camos com um material desmagnetizado (ou que apresenta uma certa magnetiza¸caõ) em ausência de um campo excitante (origem no gráfico). Então vamos aplicando um campo externo em uma determinada dire¸cão e observamos uma resposta inicialmente proporcional ao campo externo, devido a magnetiza¸caõ gradual do material. Elevando o campo externo a valores maiores, deixamos a região de proporcionalidade e se aumentarmos ainda mais, atingiremos a satura¸caõ. Esta curva inicial é também conhecida como magnetiza¸cão de amostra virgem. Reduzindo-se o campo externo, observamos que a magnetiza¸cão não segue pelo mesmo caminho da excita¸caõ. A curva desenhada com a diminui¸cão do campo externo não se sobrepõe a` curva inicial durante o processo que levou ao campo de satura¸cão. Podemos observar que, mesmo após o campo externo ter sido completamente removido, ainda há uma magnetiza¸caõ no material. Tal magnetiza¸caõ é denominada de remanˆ encia. Se parássemos por a´ı, dependendo do material, ter´ıamos produzido um ´ımã permanente. Na verdade, esse é um processo muito utilizado na ind´ ustria, chamado de congelamento. Mas se continuarmos observando o gráfico, veremos que é necessário a aplica¸caõ de um campo externo na dire¸caõ inversa daquele aplicado inicialmente para anular totalmente a magnetiza¸cão do material (interse¸caõ da curva com o eixo das abcissas a` esquerda) e um campo de intensidade ainda maior para que ocorra a reversão da magnetiza¸cão saturandose na dire¸caõ contrária (ponto extremo inferior do gráfico, terceiro quadrante, o mais a` esquerda). Esse valor de campo é denominado de campo de coercividade e é o campo necessário para desmagnetizar completamente a amostra. No entanto, a mesma não se encontrará mais no estado de amostra virgem devido ao processo magnético ao qual foi exposta. O processo se repete de forma análoga ao anterior à medida que se reduz o campo externo a zero (interse¸caõ do gráfico com eixo das coordenadas, abaixo) e logo em seguida aumenta-se o campo na dire¸caõ positiva inicial, até atingir uma magnetiza¸caõ nula (interse¸caõ da curva com o eixo das abcissas, à direita), e novamente satura¸cão em dire¸caõ compat´ıvel com a primeira satura¸cão (ponto superior no primeiro quadrante, o mais a direita) [6].. 2.3.2. Histerese T´ ermica. Uma curva com comportamento semelhante pode ser obtida se analisarmos uma curva de magnetiza¸cão em fun¸cão da temperatura. Ao aquecermos o sistema, este evolui para a fase natural do ferromagneto, mas ao resfriarmos este contempla estados diferentes. Por esse motivo, ao fim do resfriamento o sistema irá assumir outro estado que não seja aquele inicial. Podemos definir a histerese térmica como um tipo de curva em que o estado do sistema magnético depende do processo térmico que ocorreu e não apenas da temperatura neste mesmo instante.. 8.

(22) A curva de histerese para uma dado material mostra-se muito dependente não apenas do material (tanto na térmica, quanto na magnética), mas também das condi¸co˜es f´ısicas em que esse se encontra: temperatura, por exemplo. Também é muito importante saber as dimensões do material em questão. Um mesmo material pode apresentar curvas de histerese totalmente diferentes se possuir dimensões e formatos diferentes. Outro fator relevante na curva de histerese é a classe magnética do material. Existem várias classes magnéticas conhecidas: diamagnéticos, paramagnéticos, ferromagnéticos, ferrimagnéticos [6].. 2.4. Materiais Ferromagn´ eticos. Nesse trabalho, vamos dar destaque para os materiais ferromagnéticos, mais espeficicamente o Ferro. Esses tipos de materiais apresentam uma certa magnetiza¸cão espontânea e ocorrem em átomos que possuem elétrons sem par no u ´ltimo orbital, embora nem todos os a´tomos que apresentam elétrons sem par na u ´ltima camada apresentam ferromagnetismo. Por este motivo, os dipolos magnéticos procuram apontar na mesma dire¸caõ que seus vizinhos, pois essa é a configura¸caõ de m´ınima energia (trataremos deste assunto mais adiante, quando falarmos de energias magnéticas). Além disso, no modelo de ferromagnetismo consideramos que os momentos magnéticos possuem os mesmos tamanhos. Porém, não observamos um prego de ferro ser um ´ımã poderoso. Isso ocorre porque o alinhamento acontece em a´reas relativamente pequenas, chamadas dom´ınios magn´ eticos. Cada dom´ınio contém milhões de dipolos, todos alinhados, mas a orienta¸caõ de cada dom´ınio em si é aleatória. Devido a isso, a magnetiza¸cão total acaba sendo quase nula. ´ importante dizer que um material é, ou não, ferromagnético dependendo de sua E temperatura. O aumento da temperatura diminue os momentos magnéticos intr´ınsecos do material, fazendo assim com que a magnetiza¸caõ torne-se nula. Há uma temperatura precisa para cada material (770◦ C para o ferro). Abaixo dessa temperatura (denominada Temperatura de Currie) o ferro é considerado ferromagnético e acima é considerado paramagnético. Não existe uma transi¸cão gradual entre esses dois comportamentos [6].. 2.5. Micromagnetismo e as Energias Magn´ eticas. Quando estudamos o micromagnetismo, buscamos um conhecimento mais profundo da matéria, estudar os fenômenos magnéticos no seu ´ıntimo. Entretanto, isso nem sempre é poss´ıvel. Se quisermos tratar um a´tomo como um dipolo magnético e estudarmos cada um dos a´tomos de um material, mesmo com os melhores dos computadores nos auxiliando, isto não seria viável. Descreveremos a seguir o micromagnetismo utilizado neste trabalho:. 9.

(23) Consideremos um material cristalino (Ferro) c´ ubico de corpo centrado (bcc) de 10 nm de lado. Sabermos que o n´ umero de a´tomos para um material como este é dado por: N =2. d3 a30. (2.6). onde d representa o lado da aresta do cubo em questão e a0 é o parâmetro de rede do material magnético. A fra¸cão indica o n´ umero de células unitárias do tipo bcc e o n´ umero 2 indica que cada célula bcc pode apresentar dois a´tomos [2]. Usando como exemplo os parâmetros ditados anteriormente e o fato de que o parâmetro umero de átomos de 8, 46×1010 . Tornade rede do ferro é: aF0 e = 0, 287 nm, teremos um n´ se claro que nem os mais potentes dos computadores poderiam trabalhar calculando todas as intera¸co˜es aos pares em um n´ umero tão elevado de dipolos magnéticos. Para trabalhar com configura¸cões da ordem de centena de nanômetros, usamos o conceito da célula de simula¸cão. A célula de simula¸caõ representa um certo volume do material, no qual não há grandes mudan¸cas nos momentos magnéticos participantes. O parâmetro que controla esse volume é chamado de comprimento de troca (lEXCH ). Todas as células de simula¸cão devem ter um comprimento menor que este, pois ele representa o comprimento na qual a intera¸cão de troca se sobressai sobre as demais intera¸cões magnéticas [20, 21]. s lEXCH =. 2A (SI) µ0 Ms2. s lEXCH =. (2.7). 2A (cgs) Ms2. (2.8). onde A é a constante de troca e Ms é a magnetiza¸caõ de satura¸caõ. Falaremos dessas duas grandezas mais adiante, quando discutiremos as energias por célula magnética. ´ interessante ressaltar, que podemos estudar a forma com que um elemento da estruE tura interage com os demais, no nosso caso, como as células magnéticas interagem umas com as outras. Nesse contexto, o sistema contempla várias energias, ou seja, existem vários tipos de energia sobre cada célula. Podemos nos adiantar e escrever os cinco tipos de energia que o sistema contempla. Considerando um sistema com i a´tomos, com momentos magnéticos representados pelo versor S~i e um volume V , a energia do sistema é representada por [2, 3]:. E = −Je. XX i. ~ · Ms V S~i S~j − H. j. Ms2 V X X 2 i k. X. S~i − H~in · Ms V. i. (. X i. S~i · S~k (S~i · r~ik )(S~k · r~ik ) − 3 5 rik rik 10. KV X z 2 (Si ) + S~i − 2 i. ) (2.9).

(24) O primeiro termo é a energia de troca, que por sua vez é de curto alcance e só acontece entre uma célula e os seus primeiros vizinhos j. Je é a integral de exchange ou integral de troca entre os dois átomos. O segundo termo é a energia Zeeman, que representa a ~ O terceiro termo é a intera¸cão de troca intera¸cão do sistema com um campo externo H. com a interface antiferromagnética. O quarto termo representa a energia de anisotropia, onde K é a constante de anisotropia do material. No u ´ltimo termo, temos a energia devido ao campo dipolar ou magnetostático, onde rik é o modulo do vetor que liga o i-ésimo e o k-ésimo a´tomo. Esta u ´ltima representa a intera¸cão entre todos os dipolos do sistema. ´ muito O equil´ıbrio ocorre, quando essa energia é m´ınima e a entropia máxima. E importante sabermos que o equil´ıbrio tenta “regrar” o m´ınimo de cada energia individualmente na medida do poss´ıvel no Hamiltoniano. Contudo, nem sempre é poss´ıvel minimizar todas ao mesmo tempo. Por exemplo, veremos mais adiante que para minimizar a energia de troca, os spins devem apontar na mesma dire¸cão. Por outro lado, para minimizar a energia Zeeman, os spins devem se alinhar com o campo externo. Se essas duas condi¸cões forem imposs´ıveis juntas, o sistema irá procurar um estado que minimiza a soma das duas. Resumindo: o sistema irá procurar um estado que minimize a energia total E, mas isso não implica no m´ınimo de cada energia do hamiltoniano. No caso do magnetismo o sistema encontra um m´ınimo local no qual permanece até sair dele para outro m´ınimo, que pode ser outro m´ınimo local ou o m´ınimo de energia. Para uma histerese t´ıpica quando o campo externo é negativo o sistema se mantém ainda oposto ao campo externo, até este campo ultrapassar um certo valor. Desse modo o estado de equil´ıbrio do sistema se dá quando os momentos magnéticos apontam na dire¸caõ dos campos magnéticos locais internos ao sistema.. 2.6. Energias Magn´ eticas por C´ elulas. Como dito anteriormente, não podemos fazer um mapeamento magnético e calcular os termos da equa¸caõ 2.9 para todos os a´tomos. Por esse motivo, vamos reescrever a expressão 2.9 considerando que o sistema é composto por células c´ ubicas de lado d. Cada célula conterá N a´tomos de acordo com a expressão 2.6. As células contém um momento de dipolo efetivo, tomaremos o cuidado de não escolhermos o d muito grande, para que os momentos de dipolo de cada átomo da célula não sejam tão distintos um dos outros. A seguir, vamos descrever as principais energias magnéticas para o nosso modelo, para posteriormente associá-las a um campo médio local que será usado para encontrar a configura¸caõ magnética de equil´ıbrio.. 11.

(25) 2.6.1. Energia de Troca. A energia de troca surge devido a antissimetricidade da fun¸cão de onda espacial dos férmions e da simetricidade dessa para os bósons. Ela muda o valor esperado da distância quando ocorre a superposi¸cão das fun¸co˜es de onda de part´ıculas indistingu´ıveis, aumentando para os férmions e diminuindo para os bósons. A intera¸caõ de troca é responsável pelo próprio ferromagnetismo. Pode-se demonstrar através do determinante de Slater que a energia de troca para um a´tomo i com os seus vizinhos j é [7]: H=−. X. Jij S~i · S~j. (2.10). j. Se a intera¸cão for isotrópica, então: Jij = Je ∀i, j. Desse modo: H = −Je S~i · S~j. (2.11). Os operadores S~i e S~j não são vetores clássicos. Entretanto, em alguns problemas, como por exemplo no estudo de dom´ınios, podemos trabalhar como se esses fossem vetores clássicos. Com isto: H = −Je S 2. X. cos φij. (2.12). j. Reescrevendo o u ´ltimo termo da equa¸cão 2.12, temos: cos φij = uî · uˆj. (2.13). ~: Sabemos que para um vetor arbitrário no espa¸co cartesiano U v~i = cos(αi ) |~v |. (2.14). onde αi é denominado o cosseno diretor na dire¸caõ i. Assim, em 3D a equa¸cão 2.13 torna-se: cos φij = uî · uˆj = α1i α1j + α2i α2j + α3i α3j. (2.15). Desde que os ângulos entre os versores uî e uˆj sejam pequenos, podemos expandir os cossenos diretores de uî em torno de uˆj . A série de Taylor para uma fun¸cão de várias variáveis pode ser obtida por: f (x1 , ..., xn ) =. ∞ X ∂f (x0 , ..., x0 ) i. ∂xi. k=0. n. (xi −. x0i ). (2.16). Desprezando os termos a partir da segunda ordem e considerando um espa¸co cartesiano ortogonal de três dimensões, temos para o primeiro termo da expressão 2.15: 12.

(26) 1 2 α1i α1j = α1i α1i + ~rij · ∇α1i + (~rij · ∇α1i ) α1i + ... 2. (2.17). Agora para um dado i (na expressão acima temos i = 1, mas a expressão real soma todos os i0 s), temos que somar todos os vizinhos j. Como nossa célula é um cubo representado no espa¸co cartesiano ortogonal e o mesmo possui uma simetria com rela¸caõ a forma com que os spins se agrupam em seu vértice, temos: X. ~rij · ∇α1i = 0. (2.18). j. Isso ocorre porque ∇α1i = 0 ∀i 6= j. Por outro lado, ~rij = 0 → i = j. Desse modo, este termo é sempre nulo. Assim como: X1 j. 2. (~rij · ∇α1i ) = 0, ∀i 6= j. (2.19). Pois como dito anteriormente, os spins se agrupam em um cubo de forma simétrica. Pelo mesmo motivo, temos: X. xij yij. ∂ 2 αij ∂xij ∂yij. = 0, ∀i 6= j. (2.20). Considerando as equa¸cões 2.18 , 2.19 e 2.20 na equa¸caõ 2.12, teremos:. X j. 1 ∂ 2 α1i X 2 1 ∂ 2 α1i X 2 1 ∂ 2 α1i X 2 α α1i x + y + z cos φij = z + α1i 1i 2 ∂x2ij j ij 2 ∂yij2 j ij 2 ∂zij2 j ij 1 ∂ 2 α2i X 2 + α2i x + ... 2 ∂x2ij j ij. (2.21). onde para considerarmos as três dimensões, definimos: 2 2 2 + α2i + α3i z = α1i. (2.22). Note que: X. x2ij =. j. X. yij2 =. X j. j. zij2 =. 1X 2 r 3 j ij. (2.23). Identificando as equa¸cões 2.22 e 2.23 na equa¸caõ 2.21, e lembrando da defini¸caõ do laplaciano e dos cossenos diretores, obtemos: X j. cos φij = z +. 1X 2 r uˆ · ∇2 uˆ 6 j ij. 13. (2.24).

(27) Substituindo 2.24 em 2.12, temos que: E=H=−. Je S 2 X 2 rij uˆ · ∇2 uˆ 6 j. (2.25). Considerando a seguinte identidade vetorial:. ∇2 (b u·u b) = ∇ · ∇(b u·u b) = ∇ · [∇(b u·u b)] = ∇ · [∇u · u b+u b · ∇u] = 2∇ · (b u · ∇u) = 2{∇u · ∇u + u b · ∇2 u b} = 2|∇b u|2 + 2(b u · ∇2 u b). (2.26). Mas por defini¸caõ, temos que: |∇ˆ u|2 = (∇α1 )2 + (∇α2 )2 + (∇α3 )2. (2.27). Logo, a equa¸cão 2.26 torna-se: ∇2 (ˆ u · uˆ) = 2[(∇α1 )2 + (∇α2 )2 + (∇α3 )2 ] + 2(ˆ u · ∇2 uˆ) = 0. (2.28). Substituindo 2.28 e lembrando da defini¸caõ 2.27 na equa¸caõ 2.25, teremos: H=E=. Je S 2 X 2 rij [(∇α1 )2 + (∇α2 )2 + (∇α3 )2 ] 6 j. (2.29). 2 Sabendo que nossa célula é c´ ubica, a soma em todos rij é 6a2 , pois o cubo tem seis faces, onde a é o parâmetro de rede. Considerando isso na equa¸caõ 2.29, temos:. H = E = Je S 2 a2 [(∇α1 )2 + (∇α2 )2 + (∇α3 )2 ]. (2.30). A expressão 2.30 representa a energia de troca para uma célula unitária de lado a.. Energia de Troca por C´ elula Magn´ etica Consideremos uma pequena part´ıcula de lado δ. Nessa part´ıcula, temos N part´ıculas 3 menores cada uma de lado a. Logo: N = aδ 3 . Utilizando a defini¸cão de derivada: 0. f (x + h) − f (x) h→0 h. f (x) = lim Temos que:. 14. (2.31).

(28) 2 2. E = N JS a. ". P. mnk. 2 2 2 dα1 (m, n, k) dα2 (m, n, k) dα3 (m, n, k) + + dx dx dx 2 2 2 dα2 (m, n, k) dα3 (m, n, k) dα1 (m, n, k) + + + dy dy dy 2 2 2 # dα1 (m, n, k) dα2 (m, n, k) dα3 (m, n, k) + + dz dz dz (2.32). Usando o seguinte produto notável: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2. (2.33). Obtemos finalmente:. E = δ3. A 2. " X α2 (m + 1, n, k) + α2 (m, n, k) − 2α1 (m + 1, n, k)α1 (m, n, k) 1 1 δ2 mnk 2 α2 (m + 1, n, k) + α22 (m, n, k) − 2α2 (m + 1, n, k)α2 (m, n, k) + δ2 2 α3 (m + 1, n, k) + α32 (m, n, k) − 2α3 (m + 1, n, k)α3 (m, n, k) + δ2 2 α1 (m, n + 1, k) + α12 (m, n, k) − 2α1 (m, n + 1, k)α1 (m, n, k) + δ2 2 α2 (m, n + 1, k) + α22 (m, n, k) − 2α2 (m, n + 1, k)α2 (m, n, k) + δ2 2 α3 (m, n + 1, k) + α32 (m, n, k) − 2α3 (m, n + 1, k)α3 (m, n, k) + δ2 2 α1 (m, n, k + 1) + α12 (m, n, k) − 2α1 (m, n, k + 1)α1 (m, n, k) + δ2 2 α2 (m, n, k + 1) + α22 (m, n, k) − 2α2 (m, n, k + 1)α2 (m, n, k) + δ2 2 # α3 (m, n, k + 1) + α32 (m, n, k) − 2α3 (m, n, k + 1)α3 (m, n, k) + (2.34) δ2. Onde definimos: 2JS 2 (2.35) a Tal grandeza é definida como o exchange stiffness e determina a rigidez magnética do material, ou seja, o quanto o material tende a apresentar momentos magnéticos aponA=. 15.

(29) tando em uma mesma dire¸cão. Por esta razão este parâmetro é diretamente associado ao comprimento de troca e a espessura da parede de dom´ınio [19, 21]. A soma dos termos positivos da equa¸caõ 2.34 é seis, pois equivale a soma dos módulos de 3 vetores unitários. Sendo assim, temos:. E δ3. " A X 6 − 2 α1 (m + 1, n, k)α1 (m, n, k) + α2 (m + 1, n, k)α2 (m, n, k) = 2 2δ mnk ! +α3 (m + 1, n, k)α3 (m, n, k). − 2 α1 (m, n + 1, k)α1 (m, n, k) !. +α2 (m, n + 1, k)α2 (m, n, k) + α3 (m, n + 1, k)α3 (m, n, k) −2 α1 (m, n, k + 1)α1 (m, n, k) + α2 (m, n, k + 1)α2 (m, n, k) !# +α3 (m, n, k + 1)α3 (m, n, k). (2.36). Identificando os vetores unitário µ ˆ na equa¸caõ 2.36:. E δ3. " A X 6 − 2ˆ µ(m + 1, n, k) · µ ˆ(m, n.k) − 2ˆ µ(m, n + 1, k) · µ ˆ(m, n.k) = 2 2δ mnk # −2ˆ µ(m, n, k + 1) · µ ˆ(m, n.k). (2.37). Que pode ser reescrita como:. E δ3. " A X = 2 2 − 2ˆ µ(m + 1, n, k) · µ ˆ(m, n.k) + 2 − 2ˆ µ(m, n + 1, k) · µ ˆ(m, n.k) + 2 2δ mnk # −2ˆ µ(m, n, k + 1) · µ ˆ(m, n.k). (2.38). Desse modo, podemos escrever a energia de troca por unidade de volume entre duas células de lado d = δ: Eexch AX = [1 − µî · µˆj ] δ3 δ 2 ij. (2.39). A soma em i representa todas as células do sistema, a soma em j representa todos os vizinhos da célula i. Logo a intera¸cão de troca é de curto alcance. 16.

(30) 2.6.2. Energia Zeeman. A energia Zeeman descreve a intera¸caõ entre a magnetiza¸cão de um determinado material e o campo externo em que esse encontra-se submetido. Os dipolos magnéticos tendem a se alinhar paralelamente com o campo externo. Essa energia apresenta um m´ınimo quando o momento magnético aponta na dire¸cão do campo externo. A energia por unidade de volume da célula de simula¸caõ é uniforme e não depende da sua dimensão. Em todo o sistema, a energia Zeeman será a soma de cada uma individualmente: X EZeeman ~ ext · Ms = H m î d3 i. (2.40). onde Ms é a magnetiza¸caõ de satura¸caõ do ferromagneto em questão.. 2.6.3. Energia de Anisotropia. Em alguns sólidos nota-se a existência de uma tendência a magnetiza¸caõ na dire¸cão de um eixo cristalino preferencial (no caso da anisotropia uniaxial, que trataremos no nosso trabalho) com rela¸cão aos outros. Isso ocorre devido ao campo originado pela intera¸cão de troca entre os spins dos átomos vizinhos que orienta os momentos magnéticos numa dire¸caõ privilegiada. Resumindo: a simetria da estrutura cristalina afeta o processo de troca, nesse caso ocorre eixos preferenciais para a magnetiza¸caõ. Isso é o que chamamos de energia de anisotropia, a qual possui um m´ınimo quando os momentos magnéticos estão orientados ao longo desses eixos, denominados de eixos de fácil magnetiza¸caõ. Podemos escrever a energia de anisotropia uniaxial em fun¸caõ dos aˆngulos de magnetiza¸caõ em rela¸caõ aos eixos cristalinos θ: Ea = KV sin2 θ. (2.41). onde K é a densidade de energia cristalina. Podemos escrever a energia de anisotropia unixial por volume para uma célula magnética de lado d como: Ea = K sin2 θ 3 d. 2.6.4. (2.42). Energia Magnetost´ atica. A energia magnetostática ou dipolar, representa a intera¸cão entre um dipolo magnético e todos os outros do sistema. A equa¸caõ 2.3 já nos mostra o campo que um dipolo produz em um ponto espec´ıfico do espa¸co. Poder´ıamos a partir dela, com o uso de uma integral, encontrar o potencial associado a esse campo. Se considerarmos cada a´tomo como um. 17.

(31) ~ com spin S, ~ podemos escrever a energia magnetostática por a´tomo dipolo magnético M a uma distância ~r: EDip. M 2V 2 X X = s 2 i j. (. ~i · S ~j ~i · ~rij )(S ~j · ~rij ) S (S − 3 5 rij rij. ) (2.43). Podemos reescrever essa expressão em fun¸caõ da aresta da célula magnética d. Vamos tomar ~r = d~n, onde ~n é um vetor que representa a distância entre as células de simula¸caõ em fun¸caõ das arestas. Desse modo: EDip. î ·m ˆj (m ˆ i · ~nij )(m ˆ j · ~nij ) Ms2 V 2 X X m − = 2d3 n3ij n5ij i j. (2.44). onde i representa todas as células do sistema, assim como j. O n´ umero 2 aparece para que não seja contado a mesma intera¸caõ duas vezes. Para representar a energia dipolar de uma célula magnética por unidade de volume, reescrevemos a equa¸caõ 2.44 em fun¸cão do volume da célula unitária, ou seja: Ms2 V 2 X X m EDip î ·m ˆj (m ˆ i · ~nij )(m ˆ j · ~nij ) = − 3 d3 2 n n5ij ij i j. (2.45). Energia Total por Unidade de Volume Agora que temos todas as energias magnéticas por unidade de volume para cada célula magnética, podemos escrever a energia total por unidade de volume como a soma de todas as energias em todas as células magnéticas:. E(T /V ) =. A d2. KX z 2 (mi ) 2 i i j i î ·m ˆ k (m ˆ i · ~rik )(m ˆ k · ~rik ) Ms2 X X m − + 3 5 2 i k rik rik. XX. ~ · MS [1 − m î ·m ˆ j] − H. X. m ~i−. (2.46). A figura 2.3 ilustra uma representa¸caõ de uma célula cristalina, de uma célula de simula¸caõ e de todo o sistema magnético de acordo com a abordagem escolhida nesse trabalho.. 2.7. Campo M´ edio Local. A partir da equa¸caõ 2.46, teremos o campo associado a cada parcela de energia, devido ao fato de o campo nessas situa¸co˜es ser dado pela divergência da energia com rela¸cão aos momentos magnéticos. Se quisermos trabalhar com o campo médio, devemos dividir a. 18.

(32) Figura 2.3: Figura representativa de: 1) Célula cristalina, onde a0 é o parâmetro de rede. 2) Representa a célula de simula¸caõ magnética com o seu momento de dipolo efetivo, com comprimento menor que o comprimento de troca. 3) Representa o sistema como um todo, dando ênfase para uma célula i, seus primeiros vizinhos j e todos os outros vizinhos k. A intera¸cão entre i e j ocorre por intera¸cão de troca, entre i e k ocorre por meio de intera¸caõ dipolar. Esta figura constru´ıda a partir da figura da referência [3]. divergência com respeito a magnetiza¸caõ de satura¸cão. Desse forma, o campo médio local é [2]: ) ~ i = − 1 ∂E(V /T H p Ms ∂ m î. (2.47). onde i indica a célula magnética e p indica a dire¸caõ cartesiana com que se toma a divergência. Aplicando a equa¸caõ 2.47 na equa¸caõ 2.46, teremos todos os campos médios locais. A soma de todos eles nos fornece o campo médio efetivo: ~ ef f = H ~p ~p ~p ~p H Exch + HZeeman + HAnis + HDip. 2.7.1. (2.48). Campo de Troca. De acordo com a equa¸caõ 2.47, o campo de troca que atua em uma célula i será: 1 ∂EExch ~p H Exch = − Ms ∂ m ˆ pi. (2.49). Para o eixo x em particular, temos: 1 ∂ x ~ Exch H =− Ms ∂ m ˆ xi. . A y y x x z z [1 − (mi mj + mi mj + mi mj )] d2. x ~ Exch H =. A m ˆx Ms d2 j. 19. (2.50). (2.51).

(33) De maneira análoga, encontramos os campos das componentes y e z: ~y H Exch =. A m ˆ yj 2 Ms d. (2.52). ~z H Exch =. A m ˆ zj 2 Ms d. (2.53). Como dito anteriormente, j representa os primeiros vizinhos de i. No caso tridimensional, i tem seis vizinhos j.. 2.7.2. Campo Zeeman. A energia Zeeman alinha os momentos magnéticos do sistema na dire¸caõ do campo externo. Utilizando a expressão 2.47 na 2.40, temos: Ms ∂ ~x (Hx mx + Hy my + Hz mz ) H Zeeman = − Ms ∂ m ˆx. (2.54). Observamos imediatamente que:. 2.7.3. x HZeeman = H cos θ. (2.55). y HZeeman = H sin θ. (2.56). z HZeeman =0. (2.57). Campo de Anisotropia. Como dito anteriormente, nossa anisotropia é uniaxial, portanto só haverá um campo de anisotropia na dire¸cão do eixo de fácil magnetiza¸cão. Definiremos essa dire¸cão como sendo xˆ. Utilizando a equa¸cão 2.47 na expressão 2.42, obtemos [2, 3]: 1 x ~ Anis H =− [−2K m ˆ x] Ms. (2.58). ˆx ~ x = − 2K m H Anis Ms. (2.59). Portanto:. 2.7.4. Campo Dipolar. A intera¸caõ dipolar atua em todos os pares de células do sistema. De acordo com a equa¸caõ 2.47, temos:. 20.

(34) ~ p = − 1 ∂EDip H Dip Ms ∂ m ˆ pi. (2.60). Utilizando a equa¸cão 2.45 na 2.60, obtemos:. p HDip. ( mxi nxik + myi nyik + mzi nzik mxk nxik + myk nyik + mzk nzik Ms2 ∂ −3 = − Ms ∂ m ˆ pi n5ik ) mxi mxk + myi myk + mzi mzk (2.61) + n3ik. De posse da equa¸caõ 2.61, podemos calcular cada componente (x, y, z) do campo dipolar:. 2.7.5. x HDip. Ms X −3(mxk nxik + myk nyik + mzk nzik )nxik mxk + 3 =− 2 k n5ik nik. (2.62). y HDip. Ms X −3(mxk nxik + myk nyik + mzk nzik )nyik myk + 3 =− 2 k n5ik nik. (2.63). z HDip. Ms X −3(mxk nxik + myk nyik + mzk nzik )nzik mzk + 3 =− 2 k n5ik nik. (2.64). O Campo M´ edio e o Equil´ıbrio. Obtido os campos médios locais, podemos calcular o campo médio efetivo dado pela equa¸caõ 2.48. A configura¸cão de equil´ıbrio é alcan¸cada quando os momentos magnéticos de cada célula apontam na dire¸cão do campo médio local, ou seja, o torque entre o campo médio local e o momento magnético local é m´ınimo, neste caso a equa¸caõ 2.46 é minimizada. Portanto, achamos o vetor que nos mostra o campo efetivo.. 2.8. Intera¸c˜ ao Entre Dois Nanoelementos. Imagine agora dois nanoelementos que interagem entre si, separados por uma distância ~rqv . O q-ésimo nanoelemento deve interagir magnetostaticamente com o v-ésimo elemento. O campo dipolar de um interage com o outro. Assim, podemos afirmar que, para todos os efeitos, o campo dipolar do q-ésimo elemento é visto como um campo Zeeman pelo v-ésimo elemento, com o campo dipolar interagindo com os momentos magnéticos. Esse termo pode ser escrito de acordo com a equa¸caõ 2.40 [3]: V ~D · ED = −Ms H. X j. 21. m ˆj. (2.65).

(35) Figura 2.4: Figura esquemática de cada campo atuante na célula magnética i. A soma desses campos individualmente nos fornece o campo efetivo. Esta figura foi baseada na referência [3]. Então o campo dipolar do q-ésimo nanoelemento no v-ésimo é: v ~ qD · ED = −Msv H. X. m ˆ v,j. (2.66). j. Msv. onde é a magnetiza¸cão de satura¸cão do v-ésimo elemento. De modo análogo, podemos encontrar o campo dipolar do v-ésimo elemento no q-ésimo elemento: q ~ vD · ED = −Msv H. X. m ˆ q,l. (2.67). l. Em ambas as equa¸co˜es os ´ındices q e j indicam, respectivamente, os nanoelementos q (N E1) e o v (N E2). A figura 2.5 ilustra bem esta situa¸caõ:. 22.

(36) Figura 2.5: Representa¸caõ de dois nanoelementos, N E1 e N E2 com suas respectivas alturas h1 e h2 , separados por um espa¸cador não magnético de espessurra . Esta figura foi retirada da referência [3]. Podemos então, finalmente, escrever a energia total em cada nanoelemento agora que possu´ımos todas as energias consideradas em nosso modelo magnético. Temos em N E1: energia de troca entre as células magnéticas e suas vizinhas, energia Zeeman entre o campo externo e o momento magnético da célula, energia de anisotropia, energia devido ao campo dipolar entre todos os pares de células do N E1 e o campo dipolar em N E1 devido ao N E2. O mesmo é válido para N E2. Os campos dipolares entre os v-ésimos e q-ésimos nanoelementos são:. Msv X X 3[ˆ nv,ik + rˆvq ][m ˆ v,k · (ˆ nv,ik + rˆvq )] m ˆ v,k v ~ − HD = 2 i k |ˆ nv,ik + rˆvq |5 |ˆ nv,ik + rˆvq |3. (2.68). Msq X X 3[ˆ nq,ls + rˆqv ][m ˆ q,s · (ˆ nq,ls + rˆqv )] m ˆ q,s q ~ HD = − 2 l s |ˆ nq,ls + rˆqv |5 |ˆ nq,ls + rˆqv |3. (2.69). E:. Utilizando as equa¸cões 2.68 e 2.69 nas equa¸cões 2.66 e 2.67, e adicionado o resultado na equa¸caõ 2.46 como um outro termo dipolar, teremos:. 23.

(37) ETv =. X Av X X Kv X z 2 ~ v [1 − m ˆ · m ˆ ] − (m ) − H · M m ~ v,i v,i v,j v,i s d2 i j 2 i i Msv Msq X X X m ~ v,i · m ˆ q,s 3[m ~ v,i · (ˆ nq,ls + rˆqv )][m ˆ q,s · (ˆ nq,ls + rˆqv )] + − 3 2 |ˆ n + r ˆ | |ˆ nq,ls + rˆqv |5 q,ls qv s l ) (i (Msv )2 X X m ˆ v,i · m ˆ v,k (m ˆ v,i · ~rv,ik )(m ˆ v,k · ~rv,ik ) (2.70) + − 3 5 2 r r v,ik v,ik i k. E para o outro nanoelemento:. ETq =. X Aq X X Kq X z 2 ~ q [1 − m ˆ · m ˆ ] − (m ) − H · M m ~ q,l q,l q,l q,l s d2 l s 2 l l ~ q,l · m ˆ v,k 3[m ~ q,l · (ˆ nv,ik + rˆvq )][m ˆ v,ik · (ˆ nv,ik + rˆvq )] Msq Msv X X X m − + 3 2 |ˆ n + r ˆ | |ˆ nv,ik + rˆvq |5 v,ik vq i k l ( ) (Msq )2 X X m ˆ q,l · m ˆ q,s (m ˆ q,l · ~rq,ls )(m ˆ q,s · ~rq,ls ) + (2.71) − 3 5 2 r r q,ls q,ls s l. As equa¸co˜es 2.70 e 2.71 representam a energia total, incluindo a energia magnetostática entre os dois nanoelementos admitindo que eles possuam as mesmas espessuras, como a mesma célula de simula¸cão. Para mudarmos isso, basta associarmos v e q ao seu respectivo parâmetro d nas equa¸caõ acima.. 2.9. Parˆ ametros dos Materiais Magn´ eticos. Nessa disserta¸caõ, trabalharemos especificamente com o elemento Ferro (F e). Os parâmetros magnéticos do material estão listados na tabela 2.6 [25, 26].. Figura 2.6: Tabela de parâmetros do ferro. Figura baseada na referência [3].. 24.

(38) 2.10. M´ etodo Autoconsistente. O método numérico utilizado neste trabalho, tem como objetivo apresentar estruturas de equil´ıbrio para determinadas nanoestruturas (cil´ındros e elipsoides de F e) de acordo com as energias anteriormente discutidas, associadas a equa¸cão do torque: ~ dM ~ ×H ~ ef f = −γ M (2.72) dt O equil´ıbrio acontece quando os momentos magnéticos apontam na dire¸caõ do campo efetivo, de modo que a taxa de varia¸cão da magnetiza¸caõ com rela¸caõ ao tempo seja nula. O método autoconsistente utilizado é descrito de forma simplificada [2, 3], abaixo: 1. Inicialize o sistema com uma configura¸caõ magnética previamente escolhida. 2. Calcule o campo efetivo local sobre cada célula. 3. Compare o valor calculado para a configura¸caõ magnética obtida pela equa¸cão do torque em rela¸cão a uma tolerância. 4. Se o torque for menor ou igual a tolerância, então aceite a configura¸cão. 5. Se o torque for maior do que a tolerância, então os momentos são alinhados com o campo efetivo local. Então retorne ao passo 2. 6. O cálculo é repetido até que o torque seja inferior a tolerância ou até que o n´ umero de intera¸co˜es chegue ao seu limite preestabelecido.. 25.