Polinômios e
equações algébricas
Fabricante de caixas
Uma empresa fabrica caixas de papelão. Para isso utiliza folhas quadradas de 20 cm de lado. O processo de fabricação aparece na figura.
20 cm 20 cm x x x x x x x x
Fabricante de caixas
A empresa acaba de receber uma encomenda de caixas como essa. Elas devem ter meio litro de capacidade, o que equivale a 500 cm3.
Qual deve ser o valor de x, lado dos quadradinhos a serem cortados, para que a caixa tenha o volume pedido?
Fabricante de caixas
Vamos, então, calcular o volume da caixa.
x 20 – 2x 20 – 2x V = AB . h AB = (20 – 2x)2 = 400 – 80x + 4x2 V = (400 – 80x + 4x2).x V = 4x3 – 80x2 + 400x Deve ser V = 500, 4x3 – 80x2 + 400x = 500 4x3 – 80x2 + 400x – 500 = 0 (: 4) x3 – 20x2 + 100x – 125 = 0
Polinômios
forma geral:
Coeficientes: a0, a1, a2, an
Os termos são escritos na ordem decrescente de seus graus (ele é ordenado).
Variável: x Grau: n, com an0 e nN p(x) = anxn + a n-1xn–1 + an-2xn–2 + ... + a1x + a0 Exemplos de polinômios p(x) = x2 – 5x + 2 é um trinômio.
Seus termos são x2, –5x e 2.
Os coeficientes são 1, –5 e 2. O termo independente é 2.
q(x) = 6x + i é um binômio.
Seus termos são 6x e i.
Os coeficientes são 6 e i. O termo independente é i.
r(x) = 3x2 é um monômio.
Seu único termo 3x2 de coeficiente 3. Ele não tem termo independente.
Grau de um polinômio
O grau de um polinômio é o expoente de seu termo de
maior grau, com coeficiente não-nulo. No caso, esse coeficiente é chamado de coeficiente dominante do polinômio.
p(x) = x3 – 5x + 2 é um polinômio de grau 3 (3º grau). Seu coeficiente dominante é 1.
q(x) = 0x2 + 6x + i é um polinômio de grau 1 (1º grau). Seu coeficiente dominante é 6.
r(x) = 5 é um polinômio de grau 0. Seu coeficiente dominante é 5.
Exemplo
Analisar, em função do parâmetro m, o grau do polinômio
p(x) = (m2 – 1)x2 + (m + 1)x – 3.
1ª hipótese: o polinômio pode ser de 2º grau. Deve ser
m2 – 1 ≠ 0 ⇒ m2 ≠ 1 ⇒ m ≠ ± 1
2ª hipótese: o polinômio pode ser de 1º grau. Deve ser
m2 – 1 = 0 m + 1 ≠ 0
⇒ m2 = 1 ⇒ m = ± 1
Exemplo
Analisar, em função do parâmetro m, o grau do polinômio
p(x) = (m2 – 1)x2 + (m + 1)x – 3.
3ª hipótese: o polinômio pode ser de grau 0. Deve ser
m2 – 1 = 0 m + 1 = 0
⇒ m2 = 1 ⇒ m = ± 1
⇒ m = –1 ⇒ m = –1
Valor numérico e raiz de um polinômio
Vamos considerar, por exemplo, o seguinte polinômio
p(x) = x3 – 5x2 + 7x – 2. podemos atribuir à variável x qualquer valor complexo.
Para x = 3, temos
p(3) = 33 – 5.32 + 7.3 – 2 = 27 – 45 + 21 – 2 = 1
Dizemos que o valor do polinômio p(x) para x = 3 é p(3) = 1.
Valor numérico e raiz de um polinômio
Vamos considerar, por exemplo, o seguinte polinômio
p(x) = x3 – 5x2 + 7x – 2. podemos atribuir à variável x qualquer valor complexo.
Para x = 2, temos
p(2) = 23 – 5.22 + 7.2 – 2 = 8 – 20 + 14 – 2 = 0 O valor de p(x) para x = 2 é p(2) = 0.
Dizemos que 2 é uma raiz ou um zero do polinômio p(x). A raiz anula o polinômio.
Polinômio nulo
O polinômio que tem todos os coeficientes iguais a zero, é
chamado de polinômio nulo ou identicamente nulo.
p(x) = 0x3 + 0x + 0 e q(x) = 0x + 0 são duas representações do polinômio nulo.
Qual é o grau do polinômio nulo?
Não se define o grau do polinômio nulo.
Infinitas raízes.
Polinômio nulo
De modo geral definimos:
p(x) = anxn + a
n-1xn–1 + an-2xn–2 + ... + a1x + a0
p(x) é nulo ⇔ a0 = an–1 = an–2 = ... = an = 0
Às vezes indicamos que p(x) é polinômio identicamente nulo, escrevendo p(x) ≡ 0.
Exemplo
Calcular os valores das constantes a, b e c, para que
p(x) = ax(x – 3) + b(2x – 1) + x(x + 5) + c – 1 seja polinômio nulo.
Primeiro vamos escrever p(x) na forma geral p(x) = ax2 – 3ax + 2bx – b + x2 + 5x + c – 1 p(x) = (a + 1)x2 + (2b – 3a + 5)x + c – b – 1 a + 1 = 0 2b + 5 – 3a = 0 c – b – 1 = 0 ⇒ a = –1 ⇒ 2b – 3(–1) + 5 = 0 ⇒ b = –4 ⇒ c – (–4) – 1 = 0 ⇒ c = –3
Polinômios idênticos
Observe os seguintes polinômios: p(x) = x2 – 4(x – 1) – 1
q(x) = x(x – 4) + 3
r(x) = (x + 2)(x – 2) – 4x + 7
Escrevendo-os na forma geral, obtemos o mesmo polinômio: x2 – 4x + 3.
Dizemos, por isso, que p(x), q(x) e r(x) são polinômios idênticos.
Polinômios idênticos
Dois polinômios são idênticos, quando escrito na forma
geral tem os coeficientes de um iguais aos coeficientes do termo de mesmo grau do outro.
p(x) = anxn + a
n-1xn–1 + an-2xn–2 + ... + a1x + a0 q(x) = bnxn + b
n-1xn–1 + bn-2xn–2 + ... + b1x + b0 p(x) é idêntico a q(x) ⇔ a0 = b0 , a1 = b1, ... an = bn.
Às vezes indicamos p(x) ≡ q(x), para dizer que p(x) é idêntico a q(x).
Exemplo
p(x) = (x + a)2 + b e q(x) = c(x + 2)(x – 4) são dois
polinômios tais que p(k) = q(k) para todo complexo k. Calcular as constantes a e b.
Se p(k) = q(k) para todo k, então p(x) é idêntico a q(x).
p(x) = (x + a)2 + b q(x) = c(x + 2)(x – 4) 1 = c 2a = –2c a2 + b = –8c ⇒ c = 1 ⇒ 2a = –2.1 ⇒ a = –1 ⇒ (–1)2 + b = –8.1 ⇒ b = –9 = x2 + 2ax + a2 + b = c(x2 – 2x – 8) = cx2 – 2cx – 8c
Divisão de polinômios
Divisão de polinômios
Vamos efetuar a divisão de A(x) = 2x4 – 3x3 + x – 1 por B(x) = x2 – 2x + 3, utilizando o método da chave.
Primeiro vamos completar o dividendo A(x). Falta o termo de 2º grau
A(x) = 2x4 – 3x3 + 0x2 + x – 1
Divisão de polinômios
Vamos efetuar a divisão de A(x) = 2x4 – 3x3 + x – 1 por B(x) = x2 – 2x + 3, utilizando o método da chave.
+ 11 –10x + 12 – 8x 4x2 – 1 – 2x – 4x2 – 3x + 2x2 – x3 – 1 + x – 6x2 x3 2x2 x2 – 2x + 3 + x – 4 – 6x2 + 4x3 –2x4 2x4 – 3x3 + 0x2 + x – 1
Divisão de polinômios Na nossa divisão, temos:
A(x) = 2x4 – 3x3 + 0x2 + x – 1, é o dividendo; B(x) = x2 – 2x + 3, é o divisor;
Q(x) = 2x4 + x – 4, é o quociente; R(x) = – 10x + 11, é o resto.
O grau de Q(x) é a diferença entre os graus de A(x) e B(x) e o grau de R(x) < grau B(x).
Divisão de polinômios
Dividir A(x) por B(x) é obter dois polinômios Q(x) e R(x),
obedecendo às seguintes condições.
A(x) ≡ B(x).Q(x) + R(x)
grau de R(x) < grau de B(x) ou R(x) ≡ 0
A(x) é o dividendo, B(x) o divisor, Q(x) o quociente e R(x) o resto da divisão.
É importante observar que o grau do quociente é a diferença entre os graus do dividendo e do divisor.
Divisibilidade de polinômios
Veja a divisão de A(x) = x2 – 5x + 6 por B(x) = x – 2, utilizando o método da chave.
0 – 6 + 3x + 6 – 3x x x – 2 – 3 + 2x –x2 x2 – 5x + 6
Nesse caso, o resto é polinômio nulo, R(x) ≡ 0. Dizemos, por isso, que A(x) é divisível por B(x).
Divisibilidade de polinômios
Em geral, se na divisão de A(x) por B(x) o resto é o
polinômio nulo, dizemos que A(x) é divisível por B(x). No caso, sendo Q(x) o quociente,
A(x) ≡ B(x).Q(x) A(x)
B(x) = Q(x) ou
Exemplo
Sabe-se que p(x) = x3 – x2 + ax + b é divisível por b(x) = x2 + x – 2. Calcular a e b. (a+4)x + 2x 2x2 +(a+2)x – 2x2 x x2 + x – 2 – 2 – x2 –x3 x3 – x2 + ax + b + 2x + b – 4 + b – 4 a + 4 = 0 b – 4 = 0 ⇒ a = – 4 ⇒ b = 4
Divisor de 1º grau –
caso particular
De grande importância no estudo dos polinômios e equações algébricas.
Teorema do resto
Vamos efetuar a divisão de p(x) = x2 – 3x + 5 por x – 2, utilizando o método da chave.
+ 3 – 2 + x + 5 – x x x – 2 – 1 + 2x –x2 x2 – 3x + 5
Vamos calcular agora P(2), onde 2 é a raiz do divisor x – 2. p(2) = 22 – 3.2 + 5 = 4 – 6 + 5 = 3
Teorema do resto – caso geral
Vamos obter o resto da divisão de p(x) por x – 3.
Sendo o divisor de 1º grau, o resto deve ser o polinômio nulo ou um polinômio de grau 0. O resto é uma constante real, independente de x.
p(x) = (x – 3).q(x) + R
Se q(x) é o quociente, da definição de divisão podemos escrever
Teorema do resto – caso geral
O resto da divisão de um polinômio p(x) por um divisor de 1º grau, do tipo ax + b, com a ≠ 0, é igual a p(–b/a). Onde –b/a é a raiz do divisor.
R = p(–b/a)
Exemplo
Calcular o resto da divisão de p(x) = x3 – 2x2 – 1 por x – 2.
O divisor é de 1º grau. Sua raiz é 2. R = p(2) = 23 – 2.22 – 1 = 8 – 8 – 1 = –1
Exemplo
O resto da divisão de p(x) = x4 – 4x3 – kx – 75 por (x – 5) é 10. Calcular o valor de k.
O divisor é de 1º grau. Sua raiz é 5. R = p(5) = 54 – 4.53 – k.5 – 75 = 10 ⇒ 54 – 4.53 – k.5 – 75 = 10 ⇒ 53 – 4.52 – k – 15 = 2 (: 5) ⇒ 125 – 100 – k – 15 = 2 ⇒ 10 – k = 2 ⇒ k = 8 ⇒ – k = 2 – 10 ⇒ R = p(5) = 10 Teorema de D’Alembert
Conseqüência imediata do teorema do resto.
Um polinômio p(x) é divisível pelo polinômio ax + b de 1º grau (a ≠ 0) ⇔ p(–b/a) = 0.
Exemplo
Analisar se p(x) = x3 + x2 – 3x – 6 é divisível por 2x + 2 e
por 3x – 6.
Os divisores são de 1º grau. Suas raízes são –1 e 2, respectivamente.
p(–1) = (–1)3 + (–1)2 – 3.(–1) – 6 = –1 + 1 + 3 – 6 = –3 p(2) = 23 + 22 – 3.2 – 6 = 8 + 4 + 6 – 6 = 0
Logo, p(x) não é divisível por 2x + 2, mas é divisível por 3x – 6.
Exemplo
Achar o valor de m, sabendo-se que o polinômio
p(x) = 9x2 + mx – m + 3 é divisível por 3x – 1.
O divisor é de 1º grau. Sua raiz é 1/3. Segundo o teorema de D’Alembert, devemos ter p(1/3) = 0.
9.(1/3)2 + m.(1/3) – m + 3 = 0 ⇒ 9.(1/9) + m/3 – m + 3 = 0 ⇒ 1 + m/3 – m + 3 = 0 ⇒ m/3 – m = – 4 (x 3) ⇒ m – 3m = –12 ⇒ – 2m = –12 ⇒ m = 6
Dispositivo de Briot-ruffini
Processo prático para efetuar uma divisão de polinômios, quando o divisor é de 1º grau.Dispositivo de Briot-Ruffini
Vamos efetuar a divisão de p(x) = 3x4 – 4x3 – 5x2 + 4x + 9
por x – 2, utilizando o dispositivo de Briot-Ruffini.
Os cálculos a serem efetuados tem como ponto de partida, a
raiz do divisor, no caso, a raiz é 2.
– 1 – 5 13 = R 2 2 3 2 9 4 – 4 3 + + + + x x x x q(x) = 3x3 + 2x2 – x + 2 e R(x) = 13
Exemplos
Na divisão de p(x) = x4 + 2x3 – x2 + k por x + 1, o resto é 4.
Calcular k e o quociente da divisão.
Dividindo p(x) por x + 1, pelo dispositivo de Briot-Ruffini.
–2 – 1 k – 2 2 1 1 –1 k 0 2 1 + + + + x x x x q(x) = x3 + x2 – 2x + 2 e R = k – 2 = 4 ⇒ k = 6 Exemplos
Provar pelo dispositivo de Briot-Ruffini que p(x) = x3 – 7x + 6
é divisível por (x - 2).(x +3).
Primeiro vamos dividir p(x) por x – 2. Depois, o quociente obtido q(x) por x + 3. –3 – 7 0 = R 2 1 2 6 0 1
Nos dois casos, obtivemos resto R = 0. Concluímos que p(x) é divisível por (x + 2).(x – 3).
0 = R -1
1 -3
Exemplos
Na equação x3 – 3x2 + x – 3 = 0, uma de suas raízes é 3. Obter
as outras duas raízes.
Suponhamos p(x) = x3 – 3x2 + x – 3. Se 3 é raiz de p(x), p(3) = 0 e p(x) é divisível por x – 3. 1 1 0 = R 0 1 3 – 3 – 3 1 q(x) = x2 + 1 ⇒ x2 + 1 = 0 ⇒ x2 = – 1 ⇒ x = i ou x = – i
