Unidade10 11 Rotação Translação Torque ConservaçaoMomento

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Rotação e Translação e Momento Angular

Prof. Eduardo Fuzer Rosso

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Rotação

Vamos estudar a rotação de um corpo rígido em torno de um eixo fixo;

Um corpo rígido é um corpo que pode girar com todas as partes ligadas rigidamente e sem mudar a forma;

Um eixo fixo significa um eixo que não muda de posição;

E uma rotação – movimento angular – todos os pontos do corpo se movem ao longo de uma circunferência cujo centro está sobre o eixo de rotação e todos os pontos descrevem o mesmo ângulo em um mesmo intervalo de tempo.

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Translação

Na translação – movimento linear – todos os pontos do corpo se movem ao longo de linhas retas, e todos os pontos sofrem o mesmo deslocamento linear em um mesmo intervalo de tempo.

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Posição Angular

A posição angular é a posição do corpo no movimento de rotação. A figura mostra uma reta de referência, fixa ao corpo, perpendicular ao eixo de rotação girando o corpo.

A posição angular θ é medida pela expressão:

onde s é o comprimento de um arco de circunferência que vai do eixo x (posição zero) ate a reta de referência e r é o raio da circunferência. Esse ângulo é medido em radianos (rad).

θ=

s

r

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Variáveis da Rotação

Deslocamento Angular

Se o corpo gira em torno do eixo de rotação com a posição angulara variando de θ₁ até θ₂, o copro sofre um deslocamento angular Δθ que é dado por

Δθ=θ

₂

−

θ

₁

Um deslocamento angular no sentido anti-horário é positivo e um deslocamento angular no sentido horário é negativo

Velocidade Angular

Agora se uma corpo em rotação está em uma posição θ

₁

no instante t1 e na

posição θ

₂

no instante t2. A definição de velocidade angular média do corpo no

intervalo de tempo é

ω

_méd

=

θ

2

−

θ

1

t

₂

−

t

₁

=

Δθ

Δt

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Variáveis da Rotação

Velocidade Angular Instantânea

E a velocidade angular em um determinado tempo, ou seja o limite da razão da velocidade angular média quando Δt tende a zero:

ω=

Δθ

Δt

=

dθ

dt

.

Aceleração Angular

Se a velocidade angular de um corpo em rotação não é constante, o corpo possui uma aceleração angular. As velocidades angulares são alteradas com o decorrer do tempo, assim, a expressão para a aceleração angular média é:

α

_méd

=

ω

2

−

ω

1

t

₂

−

t

₁

=

Δω

Δt

.

Aceleração Angular Instantânea

Agora para o limite da razão da aceleração angular média quando Δt tende a zero, a aceleração angular é descrita como

α=

Δω

Δt

=

dω

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Posição Angular

Exemplo: O disco da Figura está girando em torno do seu eixo central como um carrossel. A posição angular θ(t) de uma reta de referência do disco é dada por

Com t em segundos, θ em radianos e a posição angular zero indicada na figura.

(a) Plote a posição angular do disco em função do tempo, de t = -3,0 s a t = 5,4 s.

Desenhe o disco e sua reta de referência em t = -2,0 s, 0 s, 4,0 s e os instantes em que o gráfico cruza o eixo t

(b) Em que instante t mínimo o ângulo passa pelo valor mínimo? Qual é o valor mínimo? (c) Plote a velocidade angular do disco em função do tempo de t = -3,0 as t = 6,0 s.

Exemplo.

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Rotação com Aceleração Angular Constante

Nos movimentos de translações e rotações ocorre os casos com aceleração angulara constante. As equações que descreve o movimento angular com aceleração constante são semelhante as equações do movimento linear. Porém substituímos as variáveis lineares por variáveis da rotação.

Exemplo: Uma pedra de amolar gira com aceleração angulara constante de 0,35 rad/s2. No instante t = 0 ela tem uma velocidade angular ω₀ = -4,6 rad/s e uma reta de referência traçada na roda está na horizontal, na posição angular θ₀=0.

(a) Em que instante após t = 0 a reta de referência está na posição angular θ = 5,0 rev? (b) Descreva a rotação da pedra de amolar entre t = 0 s e t =32 s.

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Cálculo do Momento de Inércia



Um corpo rígido de pequena dimensões (número pequeno de de partículas) o momento de de inércia entorno de um eixo de rotação é calculado usando a o somatório do produto mr2_{para cada partícula.}



Agora se um corpo rígido contém um número muito grande de partícula não é mais possível expressar o momento de inércia através de um somatório, assim devemos substituir o somatório por uma integral, ou seja



Suponha que estamos interessados em determinar o momento de inércia do corpo de massa M em relação ao um eixo dado. Podemos encontra o I utilizar a integral, porém fica mais fácil se conhecemos o momento de inércia I_CM do corpo em relação a um eixo paralelo ao eixo desejado.

I=

∑

m

_i

r

2

⇒

I=

∫

r

2

dm .

Momento de inércia Corpo

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Cálculo do Momento de Inércia



O h é a distância perpendicular entre o eixo dado e o eixo que passa pelo centro de massa. Neste caso o momento de inércia I em relação ao eixo dado é

que é o teorema dos eixos paralelos.

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Cálculo do Momento de Inércia



Alguns Momentos de inércia:

I=MR

2

I=

1 ₂

M

(

R

1 2

_+R

2 2

)

I=

1

2 MR

2 I= 1 4 MR 2 + 1 12 ML 2

I=

1

12 ML

2 I=1 2 MR 2 I=2 MR2 I=2₃ MR2 _I= 1 _M (a2+b2)

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Cálculo do Momento de Inércia

Exemplo: A Figura (a) mostra um corpo rígido composto por duas partículas de massa m ligadas por uma barra de comprimento L e massa desprezível.

(a) Qual é o momento de inercia I_CM em relação a um eixo passando pelo centro de massa e perpendicular à barra, como mostra a figura?

(b) Qual é o momento de inércia I do corpo em relação a um eixo passando pela extremidade esquerda da barra e paralelo ao primeiro eixo (Figura (b)).

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Torque ( )

Uma maçaneta fica o mais longe possível do eixo das dobradiças por uma boa razão

τ

τ=

(

r

)(

Fsenφ

)

τ=

(

r

) (

Fsenφ

)

=rF

_t

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Torque

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Exemplo depois da segunda lei de Newton

Exemplo: A Figura mostra um disco uniforme, de massa M = 2,5 kg e raio R = 20 cm, montado em um eixo horizontal fixo. Um bloco de massa m = 1,2 kg está pendurado por uma corda de massa desprezível que está enrolada na borda do disco. Determine a aceleração do bloco em queda, a aceleração angular do disco e a tensão na corda A corda não escorrega e não existe atrito no eixo.

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(19)

Rolamento – Combinação de Translação e Rotação

Em determinados sistemas o rolamento pode ser uma combinação de translação e rotação. Inicialmente vamos considerar objetos que rolam suavemente em uma superfícies, ou seja, objetos rolam sem escorregar ou quicar na superfície.

s=θR

v

_CM

=ωR

(Rolamento suave) O P _P

v= 2 ⃗

v

_CM

v=−⃗v

_v=−⃗v

_v

₌₀

⃗v_CM _⃗_v CM ⃗v_CM ⃗v_CM O s s O O O

v= ⃗v

_CM

v= ⃗v

_CM

v= ⃗v

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Rolamento – Combinação de Translação e Rotação

Rolamento com Rotação Pura: uma rotação pura em torno de uma eixo que sempre passa pelo ponto de contato entre a roda e a superfície sobre a qual a roda tá rolando.

v

_CM

=

(

ω

) (

2 R

)

=

(

ωR

)

=

2 v

_CM

O T

Energia Cinética da Rotação: para uma roda em rolamento do ponto de vista de um observador estacionário.

K=

1

2 I

CM

ω

2

+

1

2 Mv

CM 2 eixo de rotação em P Rotação Translação

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Rolamento – Combinação de Translação e Rotação

Em determinados sistemas o rolamento pode ser uma combinação de translação e rotação. Inicialmente vamos considerar objetos que rolam suavemente em uma superfícies, ou seja, objetos rolam sem escorregar ou quicar na superfície.

s=θR

v

_CM

=ωR

(Rolamento suave) O P _P

v= 2 ⃗

v

_CM

v=−⃗v

_v=−⃗v

_v

₌₀

⃗v_CM _⃗_v CM ⃗v_CM ⃗v_CM O s s O O O

v= ⃗v

_CM

v= ⃗v

_CM

v= ⃗v

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As Forças do Rolamento

Atrito e Rolamento: se a uma força age no movimento de rotação e translação no intuito de aumentar ou diminuir a velocidade e a aceleração, esta força e a força de atrito. Essa força produz uma aceleração a_CM do centro de massa na direção do movimento.

Rolamento para Baixo em uma Rampa: Um corpo redondo uniforme, de massa M e raio R, rolando suavemente para baixo ao longo de um eixo x em uma rampa inclinada de ângulo θ. Aplicamos a segunda lei de Newton para encontrar a aceleração do corpo através da rampa.

a

_CM

=αR

a_CM,x=− gsenθ 1 + ICM₂

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Momento Angular

Uma partícula de massa m e momento linear ao passar por um ponto A de um plano xy. O momento angular desta partícula em relação à origem O é uma grandeza vetorial definida através da equação

a unidade é o (kg . m2_{/s) ou (J . s).}

A segunda lei de Newton para a a rotação será:

⃗l

⃗l=⃗r×⃗p =m

(

⃗

r ×⃗v

)

Momento Angular de um Sistema de Partículas: para um sistema de partículas o momento angular total , será a soma vetorial dos momentos angulares das partículas

⃗L

⃗l

⃗L=⃗l

₁

+⃗

l

₂

+⃗

l

₃

+.. .+⃗l

_n

=

∑

i=1 n

⃗l

_i

(Segunda Lei de Newton para a rotação)

⃗

p=m ⃗v

⃗τ

_res

=

d ⃗l

dt

⃗τ

_res

=

d ⃗L

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Momento Angular de um Corpo Rígido

Um sistema de partículas que formam um corpo rígido que gira em torno de um eixo fixo.

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Momento Angular de um Corpo Rígido

Se nenhum torque externo resultante age obre o sistema, a expressão da segunda lei de Newton para a rotação é zero ou seja, o momento angular se conserva.

Este resultado é denominado Lei da Conservação do Momento Angular. Assim, temos que o momento angular total em um certo instante inicial t_i é igual ao momento angular total em um instante posterior t_f