A8 9 EletroAp LinhasTransmissao

Linhas de transmissão

)

cos(

0 `

Vg

V

t

V

_AA







Vg

A

A’

B

B’

l

Para f = 1 KHz, l = 5 cm V<sub>AA`</sub> = V<sub>0</sub> V<sub>BB</sub>` = 0,9999999999998V₀ Para f = 1 KHz, l = 20 km V<sub>AA`</sub> = V<sub>0</sub> V<sub>BB</sub>` = 0,91V₀







l

c

l

_

2

Se l/  0,01 é necessário considerar o comprimento l não desprezível. I.e., num determinado instante de tempo, as tensões serão diferentes em diferentes pontos do circuito.



´

/



]

cos[

)

/

´

(

´)

(

0 ` `

c

l

t

V

c

l

t

V

t

V

_{BB AA}













1

Linhas de transmissão

Definição:

-Uma linha de transmissão é um dispositivo projetado para guiar energia elétrica de um ponto para outro. É usada, por exemplo, para transferir a energia em RF de saída de um transmissor para uma antena. Embora a antena possa ser conectada diretamente ao transmissor, normalmente esta fica a alguma distância do último.

Propriedades Elétricas:

-Uma linha de transmissão tem as propriedades de indutância, capacitância e resistência, da mesma forma que circuitos convencionais.

-A diferença dos circuitos convencionais, ditas constantes são distribuídas ao longo da linha de transmissão.

Constantes elétricas distribuídas:

-Constantes elétricas de linhas de transmissão, chamadas constantes distribuídas, são dispersas ao longo do comprimento total da linha de transmissão e não podem ser distinguidas separadamente.

- A quantidade de indutância, capacitância e resistência depende do comprimento da linha, o diâmetro dos fios condutores, o espaçamento entre os fios e do dielétrico entre os fios.

-Um parâmetro distribuído é aquele que se encontra esparso sobre toda a estrutura e não está confinado à um elemento tal como uma espira, por exemplo. 2

Linhas de transmissão

Indutância de uma linha de transmissão

-A corrente I(x) circulando pelo elemento de circuito produz um campo magnético B -Multiplicando esse campo por uma seção reta paralela aos condutores, obtemos o

fluxo de campo .

Linhas de transmissão

Capacitância de uma linha de transmissão

-Dois condutores separados por uma distância “d”, com uma diferença de potencial entre eles, “V”, devem possuir uma carga “±Q” nos dois condutores que dá origem a essa diferença de potencial.

-Podemos imaginar uma distribuição linear de cargas na linha de transmissão, ρ(C/m), onde temos +ρ Coulombs/metro num condutor e -ρ C/m no outro

condutor.

-A capacitância total fica: C = Q/V = ρ L/V, onde L é o comprimento total da linha. -A capacitância por unidade de comprimento é ρ/V.

-O campo elétrico entre os fios é similar ao campo que existe entre duas placas de um capacitor. No exemplo das figuras, o ar faz as vezes de dielétrico 4

Linhas de transmissão

Resistência de uma linha de transmissão

- Uma linha de transmissão apresenta uma resistência elétrica distribuída ao longo de seu comprimento.

- A resistência de uma linha de transmissão é normalmente expressa em ohms por unidade de comprimento.

Linhas de transmissão

Condutância de uma linha de transmissão

- Uma vez que não existe dielétrico perfeito, uma pequena corrente flui entre os dois condutores.

- O dielétrico funciona como um resistor, permitindo que a corrente passe de um condutor para o outro, essa corrente é chamada de CORRENTE DE FUGA.

- O mecanismo é representado como resistores em paralelo conectando os dois condutores.

- Esta propriedade é chamada Condutância (G).

- A condutância em linhas de transmissão é expressa como o recíproco da resistência ( e sempre por unidade de comprimento), a sua unidade é 1 /m, ou Siemens/m

Linhas de transmissão

Modelo elétrico completo de uma linha de transmissão:

Importante:

As unidades das grandezas indutância, capacitância, condutância e

resistência, estão dadas por unidade de comprimento da linha.

Exemplos:

Linhas de transmissão

Transmissão de Energia

- Num circuito elétrico a energia elétrica é armazenada nos campos elétrico e magnético. Estes campos devem ser levados até a carga para transmissão de energia. _{DC aplicado numa linha de transmissão}

Linhas de campo elétrico criado pela distribuição progressiva de cargas ao longo da linha Linhas de campo magnético entrando no plano do circuito criado pela corrente

elétrica

I

I

Linhas de transmissão

Transmissão de Energia

DC aplicado numa linha de transmissão

• O campo elétrico se movimentando e o seu correspondente campo

magnético constituem uma onda eletromagnética que se move do

gerador (bateria) para a carga (load).

• A energia alcançando a carga é igual àquela disponibilizada pela

bateria, desde que não hajam perdas na linha de transmissão.

Linhas de transmissão

Transmissão de Energia

- Quando a chave é fechada, a voltagem da bateria é aplicada aos terminais de entrada da linha de transmissão.

- C1 não possui carga e se comporta como um curto circuito entre A e B.

- A voltagem da bateria aparece no indutor L1, o qual se opõe à variação de

corrente (0 no instante de ligação) e limita a taxa de carga do capacitor.

Nenhuma corrente flui além dos pontos (A) e (B) até que a primeira carga apareça em C1. A medida em que a tensão em C1 aumenta tem-se fluxo de corrente através de L2 e C2 começa a carregar.

- O capacitor C2 carrega até a sua tensão final (qual?) apenas após C1 carregar totalmente.

DC aplicado no circuito equivalente de uma linha de transmissão infinita e sem perdas

V

Linhas de transmissão

Transmissão de Energia

DC aplicado no circuito equivalente de uma linha de transmissão infinita e sem perdas

- A medida em que a tensão em C1 aumenta tem-se fluxo de corrente através de L2 e C2 começa a carregar.

- Este comportamento replica-se na linha e carrega cada capacitor até ter a tensão da bateria nas suas placas.

- Assim uma onda de tensão trafega ao longo da linha. Além da frente de onda a linha está descarregada.

- Uma vez que a linha é infinitamente longa sempre existirão capacitores a serem carregados e a corrente nunca vai para de fluir.

- Observe que a corrente flui para carregar os capacitores na linha de transmissão. - O fluxo de corrente não avança na linha até que se estabeleça uma tensão entre as placas dos capacitores, desta forma a voltagem e a corrente se movem em fase na linha.

Linhas de transmissão

Transmissão de Energia

AC aplicado numa linha de transmissão

Quando a bateria na Figura anterior é substituída por um gerador AC cada valor de tensão instantâneo e sucessivo enviado pelo gerador de voltagem propaga-se para a carga com velocidade finita.

Linhas de transmissão

Transmissão de Energia

Linhas de transmissão

Linhas de transmissão

Análise do modelo de elementos concentrados para uma linha de

transmissão

Uma linha de transmissão de comprimento finito pode ser vista como uma cascata de elementos como os mostrados a seguir:

0

)

,

(

)

,

(

)

,

(

)

,

(





















v

z

z

t

t

t

z

i

z

L

t

z

zi

R

t

z

v

Aplicando a lei de Kirchoff temos:

(1)

Aplicando a lei dos nós:

0

)

,

(

)

,

(

)

,

(

)

,

(





























i

z

z

t

t

t

z

z

v

z

C

t

z

z

zv

G

t

z

i

(2)

15

Linhas de transmissão

Análise do modelo de elementos concentrados para uma linha de

transmissão

Dividindo as equações (1) e (2) por z e aplicando o limite z0 :

,

)

,

(

)

,

(

)

,

(

t

t

z

i

L

t

z

Ri

z

t

z

v















(3)

.

)

,

(

)

,

(

)

,

(

t

t

z

v

C

t

z

Gv

z

t

z

i















₍₄₎

No caso de regime harmônico estacionário temos:

),

(

)

(

)

(

z

I

L

j

R

dz

z

dV

s s









₍₅₎

).

(

)

(

)

(

z

V

C

j

G

dz

z

dI

s s









(6)

) ( ) (

)

(

Re

)

(

Re

)

,

(

z

t

V

z

e

j t

Vs

z

e

j t

v



 





Vs

(

z

)



V

(

z

)

e

j

Por simplicidade, faremos φ=0 ) ( ) (

)

(

Re

)

(

Re

)

,

(

z

t

I

z

e

j t

Is

z

e

j t

i



 





Is

(

z

)



I

(

z

)

e

j

Vs e Is são os fasores tensão e corrente

Linhas de transmissão

Propagação de uma onda numa linha de transmissão

As equações (5) e (6) podem ser resolvidas simultaneamente para V(z) e I(z):

,

0

)

(

)

(

₂ 2 2





V

z

dz

z

dV

s s



.

0

)

(

)

(

₂ 2 2





I

z

dz

z

dI

s s



(7)

(8)



R

j

L



(

G

j

C

)

j





















(9)

A cte. de propagação, , em geral é complexa:

Linhas de transmissão

Propagação de uma onda numa linha de transmissão

Impedância característica

As soluções para (7) e (8) são:

z z s

z

V

e

V

e

V

(

)



₀ 



₀  z z s

z

I

e

I

e

I

(

)



₀ 



₀ 

(10)

(11)

Podemos obter uma expressão para a corrente em função da tensão na linha introduzindo (10) em (5):



z z



e

V

e

V

L

j

R

z

I

 





 

_







_{0 0}

)

(

₍₁₂₎

Comparando (12) com (10) podemos definir a impedância característica da linha, Z₀ :

C

j

G

L

j

R

L

j

R

Z



















0

(13)

   







0 0 0 0 0

I

V

I

V

Z

18

Neste caso, toda a energia é consumida pela carga, é a linha se

comporta como se fosse de comprimento 

Linhas de transmissão

Propagação de uma onda numa linha de Transmissão

Linhas Infinitas e conceito de impedância característica

A impedância característica é a impedância `vista´ pelo gerador se a linha

fosse de comprimento infinito.

Linhas de transmissão

Ondas de tensão e corrente

Multiplicando as equações (10) e (11) pelo fator ejωt_{, e usando a expressão para ϒ}

t j z j t j z j

e

e

V

e

e

V

t

z

V

(

,

)



₀ ( ) 



₀ ( )  t j z j t j z j

e

e

I

e

e

I

t

z

I

(

,

)



₀ ( ) 



₀ ( ) 

(14)

(15)

Tomando a parte real das equações (14) e (15):

)

cos(

)

cos(

)

,

(

z

t

V

₀

e

t

z

V

₀

e

t

z

v



 z









 z







)

cos(

)

cos(

)

,

(

z

t

I

₀

e

t

z

I

₀

e

t

z

i



 z









 z







20

Linhas de transmissão

Linhas sem perdas

-Para linhas sem perdas; R = G = 0, a cte de propagação  fica:

C

L

C

j

G

L

j

R

Z













0

-A impedância característica de uma linha sem perdas é um número real:

(16)

LC

LC

j

j

























0

,

(17)

(18)

(19)

z j z j s

z

V

e

V

e

V

(

)



₀  



₀  z j z j s

z

I

e

I

e

I

(

)



₀  



₀ 

Linhas de transmissão

Propagação de uma onda numa linha de transmissão

Linhas sem perdas

Comprimento de onda:

Expressões das ondas de tensão e corrente:

LC













2



2

LC

v

_p





1





Velocidade de propagação:

E os valores instantâneos (função do tempo) serão:

)

cos(

)

cos(

)

,

(

z

t

V

₀

t

z

V

₀

t

z

v





















)

cos(

)

cos(

)

,

(

z

t

I

₀

t

z

I

₀

t

z

i





















22

Linhas de transmissão

Linhas com baixas perdas

L

R





G





C

Matematicamente, a condição de baixa perda se expressa:

A qual se obtém facilmente nas altas frequências. A cte de propagação fica:

Devido às condições para R e G, podemos aproximar os termos entre parênteses:

) 4 2 2 1 ( ) 2 1 )( 2 1 ( ₂ LC RG C j G L j R LC j C j G L j R LC j

















      

De onde podemos eliminar o ultimo termo:

         ( ) 2 1 1 C G L R j LC j    Com isto:

(

)

2

1

L

C

R

C

L

G







_

_

_

_LC

A velocidade da onda numa linha com baixas perdas:

LC

v





1









                                    C j G L j R LC j C j G L j R LC j C j G L j R j            1 1 1 1 ) ( 2 2 23

Linhas de transmissão

Linhas sem distorção

Se na linha de transmissão se cumpre a condição:

C

G

L

R



A constante de propagação fica:









2 2 2

2

)

(

)

(









































LC

j

R

L

C

RC

j

LC

L

C

R

C

j

L

RC

L

j

R

C

j

G

L

j

R

j





















)

(

R

j

L

L

C

LC

j

R

L

C

j























Dai:

R

L

C











LC

LC

v





1





E a velocidade : 24

Linhas de transmissão

Propagação sem distorção.

Notar que, exceto pela constante de atenuação, as caraterísticas da linha sem distorção são idênticas às das linha de baixa perda ( e também nas linhas sem perdas), i.e., beta ser uma função linear da frequência, o que implica numa velocidade de transmissão independente da frequência.

Desde que um pulso é formado por um conjunto de frequências, a condição para propagação sem distorção é justamente a independência da velocidade com ω. Dita condição é aproximadamente satisfeita em linhas com baixas perdas, exatamente cumprida nas linhas nas quais se verifica:

e também nas linhas sem perdas.

C

G

L

R

Linhas de transmissão terminadas

Reflexões numa linha de transmissão

Quando uma linha não está terminada em Z

₀

a energia incidente não

é totalmente absorvida. Nesse caso, retorna via o único meio possível, a

própria linha.

Reflexão de uma voltagem DC numa linha de transmissão aberta:

-A bateria tem uma voltagem V e impedância interna Zi = Z₀.

-A impedância de carga é , isto é, circuito aberto

-A corrente e a tensão chegam em fase ao final da linha -No percurso, a situação é similar ao caso de DC

aplicado numa linha infinita. Cada capacitor foi carregado até a tensão V/2.

-No entanto, ao chegarmos ao final da linha, a

circulação de corrente cessa. O campo magnético do ultimo indutor colapsa é, devido à autoindução, a

corrente nesse indutor continua circulando no mesmo sentido, carregando o ultimo capacitor até a tensão V. Nesse momento, o fluxo de corrente do ultimo indutor cai a zero, e o mesmo processo passa a se repetir no penúltimo indutor, carregando o penúltimo capacitor até uma tensão V.

O processo se repete até que o primeiro capacitor for carregado à tensão V e a corrente =0

V

Linhas de transmissão

Reflexões numa linha de transmissão

Reflexão de uma voltagem DC numa linha de transmissão aberta:

-A mudança de tensão (voltagem) retornando para o início da linha pode

ser pensada como se a voltagem chegasse ao fim da linha de transmissão , não encontra saída e retorna para a entrada com a mesma polaridade (carregando ainda mais cada capacitor). Isto se chama REFLEXÃO.

- A corrente, no entanto, é refletida com polaridade oposta (as correntes

em cada indutor vão caindo a zero)

-Quando o último capacitor é carregado a corrente da fonte para.

Resumo de reflexões de voltagens DC em linhas abertas:

1) a voltagem é refletida no fim da linha de transmissão sem mudança de polaridade, amplitude ou forma

2) a corrente refletida no fim de uma linha de transmissão aberta tem polaridade oposta, sem mudança na amplitude ou forma.

Linhas de transmissão

Reflexões numa linha de transmissão

Reflexão de uma voltagem DC numa linha de transmissão em curto:

-A bateria tem uma voltagem V e impedância interna Zi = Z₀.

-A impedância de carga é 0, isto é, curto-circuito.

-A corrente e a tensão chegam em fase ao final da linha -No percurso, a situação é similar ao caso de DC aplicado numa linha infinita. Cada capacitor foi carregado até a tensão V/2.

-No entanto, ao chegarmos ao final da linha (curto), a

tensão cai para zero, o qual faz com que o ultimo

capacitor descarregue a traves do indutor, somando-se assim á corrente da bateria .

-uma vez descarregado o ultimo capacitor, este fica em

curto, obrigando ao penúltimo capacitor a descarregar-se num processo idêntico ao já descrito,

-Como consequência, a corrente no circuito vai ao

dobro e a tensão de cada capacitor cai a zero progressivamente

V

Linhas de transmissão

Reflexões numa linha de transmissão

Linhas de transmissão

Reflexões numa linha de transmissão

- Para o caso de linhas terminadas em curto ou abertas, a reflexão de energia é total isto é, toda a energia que chega ao final da linha é refletida e volta ao gerador.

- O que acontece quando a impedância de carga não é zero, infinita ou igual à impedância característica Z₀ ?

- Nesse caso, parte da energia será absorvida na impedância, e parte será refletida. - Vamos considerar o valor da impedância na carga, Z_L, a qual consideraremos concentrada.

Z

_L

z=0

z=-l

Linhas de transmissão terminadas

Reflexões numa linha de transmissão

Coeficiente de reflexão de tensão.

0 0 0 0

Z

Z

Z

Z

V

V

L L L











_

- Vamos calcular o valor da impedância na carga

         



















0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

)

0

(

)

0

(

I

I

V

V

e

I

e

I

e

V

e

V

z

I

z

V

Z

S S L        







0 0 0 0 0

I

V

I

V

Z

Introduzindo: _{ }  







0 0 0 0 0

V

V

V

V

Z

Z

_L Chegamos em:

Manipulando a ultima equação:

0 0 0 0

Z

Z

Z

Z

V

V

L L







 

O coeficiente de reflexão de tensão

na carga é: Vemos aqui que, se a impedância de carga não for “casada”, i.e., igual à impedância característica da linha, o coeficiente de reflexão será diferente de zero, e teremos V₀

-diferente de zero.

Em qq ponto de uma linha de transmissão podemos encontrar a razão entre a tensão total e a corrente total. Esta razão se conhece como impedância de entrada

Impedância de entrada

Z

_L

z=0

z=-l

l l l l S S entr

e

V

e

V

e

V

e

V

Z

l

z

I

l

z

V

Z

_{ }        

















0 0 0 0 0

)

(

)

(

Podemos manipular esta equação :

l

tgh

Z

Z

l

tgh

Z

Z

Z

Z

L L entr











0 0 0

Para uma linha sem perdas :

 

 

l

jZ

Z

l

jZ

Z

Z

Z

L L entr





tan

tan

0 0 0







32

Circuito Completo

Vamos acrescentar uma fonte senoidal, V_SS, com a sua impedância Z_S

Calculando a impedância de entrada, Z_entrada, obtemos o circuito equivalente:

Z

L

z= 0

z=

-

l

Z

s

V

_SS

Aplicando lei de ohm (em forma fasorial) temos: entr S SS Sentr Z Z V I   _entr entr S SS entr Sentr Sentr Z Z Z V Z I V    ) ( ) ( ) ( ₀ l _L l _{0 l} Sentr _l Sentr e e V V e e V l z V V     _{ }          

A tensão na carga será: V_L V(z  0) V₀(e0 _Le0) V₀(1_L)

Z _s

V

_SS V_entr

Z

entrada

I_entr

Lembrando que a tensão em qq ponto da linha pode ser calculada como:



z



L z z z s z V e V e V e e V ( )  ₀   ₀   ₀    33

Transferência de potencia numa linha sem perdas

z j z j s

z

V

e

V

e

V

(

)



₀  



₀ 



j z



L z j s

e

e

Z

V

z

I



 





  0 0

)

(

Temos, para os fasores tensão e corrente incidentes e refletidos numa LT sem perdas:

A potência média ao longo da linha de transmissão é:



_S S



med

V

I

P



Re



2

1

Aplicando essa expressão para as ondas de tensão e corrente incidente e refletida:



j z



L z j s

z

V

e

e

V

(

)



₀  





 z j s i

e

V

z

V

(

)



₀  

V

rs

z



V



_L

e

jz  0

)

(

z j s i

e

Z

V

z

I

  



0 0

)

(

s L j z r

e

Z

V

z

I







  0 0

)

(

34

Transferência de potencia numa linha sem perdas

Daí, a potência liquida media entregue para a carga:



2



0 2 0 0 2 0 2 0 2 0

1

2

2

2

L L m ed r m ed i m ed

Z

V

Z

V

Z

V

P

P

P

















   0 2 0 0 0 0

2

Re

2

1

Z

V

e

Z

V

e

V

P

im ed j z j z     

_



















  0 2 0 2 0 0 0

2

Re

2

1

Z

V

e

Z

V

e

V

P

rmed _L j z _L j z L      

_

_











































 

Obtemos a potencia incidente media:

Ondas Estacionárias

)

(

)

(

₀ j z _L j z s

z

V

e

e

V



  









j z



L z j s

e

e

Z

V

z

I



 





  0 0

)

(

Vamos considerar uma linha sem perdas:

Levando em conta que: j r

L L

e

















12 0 0 2 1

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

z j j L z j z j j L z j s s s s

e

e

e

V

e

e

e

V

z

V

z

V

z

V

z

V

r r            















Manipulando essa expressão, chegamos a:



2



12 0

1

2

cos(

2

)

)

(

_{L L r} s

z

V

z

V



















Essa expressão descreve a variação da amplitude da envoltória da onda estacionaria de tensão ao longo da linha, formada pela soma das ondas incidente e refletida. Uma expressão análoga para a corrente também pode ser obtida.

Podemos achar a variação da amplitude da envoltória da onda estacionaria de tensão:

Ondas Estacionárias











_{L L}





_L



s L L L s

V

V

V

V

V

V

































   

1

2

1

1

2

1

0 2 1 2 0 min 0 2 1 2 0 max

Claramente, a envolvente terá um valor máximo e mínimo, quando o valor do cosseno for + 1 ou -1.

Ondas Estacionárias

Vamos considerar os casos especiais de linhas terminadas em curto e abertas: Linha aberta significa Z_L =∞, daí

1  _L



1

1

2

cos(

2

)



2



1

cos(

2

)



)

(

12 ₀ 0

z

V

z

V

z

V

_s



















Substituindo na expressão para V_s(z):

Teremos, em z=0, um máximo de tensão, o qual faz sentido, se tratando de uma linha aberta. Podemos deduzir também que a envoltória da onda estacionária de corrente será mínima (0), nesse ponto, i.e., não circula corrente no circuito aberto.

,

2

2

2



z



n





z

_max



n



Generalizando, os máximos de tensão neste caso estarão localizados em:

n inteiro E os mínimos:









4

1

2

1

2

2



z



n







z

_min



n





38

λ/2

λ/2

λ/4

V

_MAX

I

_MAX

Reflexão de uma voltagem alterna numa linha de TX com terminação aberta

Linhas de transmissão

Reflexões numa linha de transmissão

- A distância entre dois ventres (pontos de amplitude máxima) é igual à distância entre dois nós (pontos de amplitude mínima). Essa distância, por sua vez, é igual a λ/2. Isto é válido tanto para a onda de tensão quanto para a onda de corrente. - Para uma linha com impedância de carga infinita, ou aberta, o valor da tensão na terminação será máximo, o primeiro mínimo da tensão encontra-se a uma distância

λ/4 do fim da linha. Já o valor da corrente no fim da linha é zero, é o primeiro máximo encontra-se a uma distância λ/4 do fim da linha.

- Notar que os máximos de tensão coincidem com os mínimos de corrente e

Ondas Estacionárias

Uma linha terminada em curto i.e. Z_L = 0, => Γ=-1, mas isso significa:

  j j L L

e

e

r



1







i.e. θr = π rad, ou 1800_{. Substituindo na eq geral}

para a envoltória da onda de tensão:









12 0 2 1 0 0

1

1

2

cos(

2

180

)

2

(

1

cos(

2

))

)

(

z

V

z

V

z

V

_s





















,

2

2

2



z



n





z

_min



n



n inteiro







₄



1

2

1

2

2



z



n







z

_max



n





Os mínimos de tensão neste caso estarão localizados em:

E os máximos:

Teremos, em z=0 um mínimo (0) de tensão, numa linha em curto. Podemos deduzir também que, a envoltória da onda estacionária de corrente será máxima nesse ponto, o qual faz sentido em se tratando de um curto.

V

_MAX

I

_MAX

λ/4

λ/2

λ/2

Reflexão de uma voltagem alterna numa linha de TX com terminação em curto

Linhas de transmissão

Reflexões numa linha de transmissão

Para uma linha com impedância de carga zero, ou em curto, o valor da tensão na terminação será zero, o primeiro máximo da tensão encontra-se a uma distância λ/4 do fim da linha. Já o valor da corrente no fim da linha é máximo, é o primeiro mínimo encontra-se a uma distância λ/4 do fim da linha.

- Notar que os máximos de tensão coincidem com os mínimos de corrente e vice-versa.

Casamento de Impedâncias, linha quarto de onda

Idealmente, toda a energia chegando na carga deveria ser consumida. Este não será sempre o caso (impedâncias de carga não cassadas à impedância característica da linha). Ondas de tensão retornando pela linha podem ser prejudiciais, podendo afetar o gerador. Existem diversas técnicas de casamento de impedância. Se a carga for puramente resistiva, podemos utilizar a linha quarto de onda:

R

_L



/4

Z

₀

Z

_λ/4









_L L L L L entr R Z jR Z jZ R Z jR Z jZ R Z Z /4 2 4 / 4 / 4 / 4 / 4 / 4 / 4 2 tan 4 2 tan 4 / tan 4 / tan        _          _                   L

R

Z

Z

_/4



₀

Se eu colocar uma linha de quarto de onda cuja impedância característica seja:

Daí, a impedância de entrada enxergada pela onda de tensão será: 0 4 / 2

Z

R

Z

Z

L entr







Linha de quarto de comprimento de onda

Frequentemente é encontrado o problema prático da ligação entre duas linhas de transmissão as quais possuem impedâncias características diferentes Z₁ e Z₂.

Z

₁

_Z

₂

Z

₁

Z

₀



Z

₁

Z

₂

_Z

₂

A impedância enxergada por Z₁ será Z₁ é o coeficiente de reflexão será nulo.

Distribuição de campos elétrico e magnético

na linha de transmissão infinita, voltagem AC

Campo Elétrico (entre os Condutores)

Campo Magnético

(ao redor dos condutores)

Campo Magnético

(ao redor dos condutores)

H

E

B

E

1

S

0





















E

B

B

Observar que o sentido de propagação da energia está dada pelo sentido do vetor

de Poynting, o qual, aponta SEMPRE no sentido tal de se afastar do gerador

B S

E

B _S

E

Campos entre Condutores

E

Cabos Coaxiales

O cabo coaxial é formado por dois condutores concêntricos separados por um dielétrico

Embora o comportamento do coaxial possa ser analisado em termos de correntes e tensões, é mais interessante estudar as configurações de campos elétrico e magnético, já que esse estudo é muito útil para os guia de onda.

A faixa de frequência de utilidade do cabo coaxial é de 1 a 18 GHz.

Cabos Coaxiales

Cabos Coaxiales

Distribuição de campos

Fórmulas para linhas de transmissão

Para o cabo coaxial ideal

)

ln(

60

)

ln(

2

120

)

ln(

2

1

0

a

b

a

b

a

b

Z

















é a impedância caraterística do médio, para o caso do ar = 120 







ar

Z

₀ 49

Material complementar

Dedução da impedância característica para um cabo coaxial

C L Z₀ 

Vamos considerar um caso sem perdas, (ideal):

Começamos pelo calculo da capacitância, por definição:

V Q C_T

 

Onde Q será a carga induzida pela aplicação da diferença de potencial ΔV entre os dois condutores concêntricos. Por sua vez, um campo elétrico será gerado entre esses condutores, o qual pode ser calculado pela lei de Gauss:

r

r

r

E

l

rl

E

l l l

ˆ

2

;

2

2

Q

d

.





























E

S

E

Consideramos carga uniformemente distribuída na superfície do condutor central. Como superfície de integração, foi usado um cilindro concêntrico de rádio r e comprimento l.

r

Lembrando que L e C são indutância e capacitância por unidade de comprimento, respectivamente

E

Comprimento total do cabo, l

50

Dedução da impedância característica para um cabo coaxial

Também, o campo elétrico entre os condutores está relacionado à diferença de potencial aplicada entre eles por:







b

a

V

E d

.

l

Substituindo pela expressão _{já obtida para E :}











b a b a l l

r

r

r

r

V

d

2

d

.

2









)

ln(

2

a

b

V

l









Com isto, a capacidade total fica :

) ln( 2 a b l V Q C l l T







  

E a capacidade por unidade de comprimento:

) ln( 2 a b l C C  T 



Agora devemos calcular a indutância por unidade de comprimento, L, primeiro, calculamos L_T:

i

d

i

L

_T









B.

s

O campo B pode ser facilmente calculado a partir da lei de ampere. Neste caso, pela simetria do problema:







_ˆ

2 r

i



B

₅₁

Material complementar

Dedução da impedância característica para um cabo coaxial

O fluxo do campo B se calcula a través de uma superfície aberta:

dr

O diferencial de superfície: ds=ldr.φ















b a b a

a

b

il

r

dr

il

r

ildr

d

ln(

)

2

2

ˆ

.

ˆ

2



















B.

s

Daí:

_ln(

₎

2

a

b

l

i

L

_T







_



e:

_ln(

₎

2

a

b

l

L

L

T









) ln( 2 1 ) ln( 4 ) ln( 2 ) ln( 2 2 2 0 a b a b a b a b C L Z



















         

Substituindo tudo na expressão da impedância:

φ

52