Tabelas

APPENDIX A

|

TABLE OF

INTEGRALS

Basic Integrals

1.

∫

undu = u_{n + 1 + C, n ≠ −1}n + 1 2.

∫

du_{u = ln|u| + C} 3.

∫

eudu = eu+ C 4.

∫

audu = au lna + C 5.

∫

sin u du = −cos u + C 6.

∫

cos u du = sin u + C 7.

∫

_sec2_{u du = tan u + C} 8.

∫

_csc2_{u du = −cot u + C} 9.

∫

_{sec u tan u du = sec u + C} 10.

∫

_{csc u cot u du = −csc u + C} 11.

∫

tan u du = ln|sec u| + C 12.

∫

cot u du = ln

|

sin u

|

+ C 13.

∫

sec u du = ln|sec u + tan u| + C 14.

∫

csc u du = ln|csc u − cot u| + C 15.

∫

du a2− u2= sin −1u_{a + C} 16.

∫

du a2+ u2= 1atan−1ua + C 17.

∫

du u u2− a2= 1asec −1u_{a + C}

Trigonometric Integrals

19.

∫

_cos2_{u du = 12u + 14sin2u + C} 20.

∫

tan2u du = tan u − u + C 21.

∫

cot2u du = −cot u − u + C

22.

∫

sin3u du = − 13⎛_⎝2 + sin2u⎞_⎠cos u + C 23.

∫

cos3u du = 13⎛_⎝2 + cos2u⎞_⎠sin u + C 24.

∫

tan3u du = 12tan2u + ln|cos u| + C 25.

∫

cot3u du = − 12cot2u − ln

|

sin u

|

+ C

26.

∫

sec3u du = 12secutanu + 12ln|secu + tanu| + C 27.

∫

_csc3_{u du = − 12cscucot u + 12ln|cscu − cot u| + C} 28.

∫

_sinn_{u du = − 1nsin}n − 1_{u cos u + n − 1n}

∫

_sinn − 2u du

29.

∫

cosnu du = 1ncosn − 1u sin u + n − 1_n

∫

cosn − 2u du 30.

∫

tannu du = 1

n − 1tann − 1u −

∫

tann − 2u du

31.

∫

cotnu du = −1

n − 1cotn − 1u −

∫

cotn − 2u du

32.

∫

secnu du = 1

n − 1tan u secn − 2u + n − 2n − 1

∫

secn − 2u du

33.

∫

cscnu du = −1

n − 1cot u cscn − 2u + n − 2n − 1

∫

cscn − 2u du

34.

∫

_{sin au sin bu du = sin(a − b)u}

2(a − b) −sin(a + b)u2(a + b) + C

35.

∫

cos au cos bu du = sin(a − b)u

2(a − b) +sin(a + b)u2(a + b) + C

36.

∫

sin au cos bu du = − cos(a − b)u

2(a − b) −cos(a + b)u2(a + b) + C

37.

∫

u sin u du = sin u − u cos u + C 38.

∫

u cos u du = cos u + u sin u + C

39.

∫

unsin u du = −uncos u + n

∫

un − 1cos u du 40.

∫

uncos u du = unsin u − n

∫

un − 1sin u du

41.

∫

sin

n_{u cos}m _{u du = − sin}n − 1u cosm + 1 u

n + m + n − 1n + m

∫

sinn − 2u cosmu du = sinn + 1_{n + m}u cosm − 1u+ m − 1_{n + m}

∫

sinnu cosm − 2u du This OpenStax book is available for free at http://cnx.org/content/col11964/1.2

Exponential and Logarithmic Integrals

42.

∫

ueaudu = 1 a2(au − 1)e au_{+ C} 43.

∫

uneaudu = 1auneau− na

∫

un − 1eaudu 44.

∫

eausin bu du = eau

a2+ b2(asin bu − b cos bu) + C

45.

∫

eaucos bu du = e_a2 au

+ b2(a cos bu + b sin bu) + C

46.

∫

lnu du = u lnu − u + C 47.

∫

unlnu du = un + 1 (n + 1)2 ⎡ ⎣(n + 1)lnu − 1⎤⎦+ C 48.

∫

1 u lnu du = ln

|

lnu

|

+ C

Hyperbolic Integrals

49.

∫

_{sinh u du = cosh u + C} 50.

∫

_{cosh u du = sinh u + C} 51.

∫

_{tanh u du = lncosh u + C} 52.

∫

coth u du = ln

|

sinh u

|

+ C 53.

∫

sech u du = tan−1

|

sinh u

|

+ C 54.

∫

csch u du = ln

|

tanh 12u

|

+ C 55.

∫

sech2u du = tanh u + C 56.

∫

csch2u du = −coth u + C 57.

∫

_{sech u tanh u du = −sech u + C} 58.

∫

_{csch u coth u du = −csch u + C}

Inverse Trigonometric Integrals

59.

∫

sin−1u du = u sin−1u + 1 − u2+ C 60.

∫

cos−1u du = u cos−1u − 1 − u2+ C 61.

∫

tan−1u du = u tan−1u − 12ln⎛_⎝1 + u2⎞_⎠+ C

63.

∫

u cos−1u du = 2u2− 1 4 cos−1u − u 1 − u4 2+ C 64.

∫

_{u tan}−1_{u du = u}2+ 1 2 tan−1u − u2 + C 65.

∫

unsin−1u du = 1 n + 1 ⎡ ⎣ ⎢un + 1sin−1u −

∫

un + 1du 1 − u2 ⎤ ⎦ ⎥_{, n ≠ −1} 66.

∫

uncos−1u du = 1 n + 1 ⎡ ⎣ ⎢un + 1cos−1u +

∫

un + 1du 1 − u2 ⎤ ⎦ ⎥_{, n ≠ −1} 67.

∫

untan−1u du = 1 n + 1

⎡

⎣

un + 1tan−1u −

∫

un + 1_{1 + u}du2

⎤

⎦

, n ≠ −1

Integrals Involving a

2

+ u

2

, a > 0

68.

∫

a2+ u2du = u2 a2+ u2+ a2 2 ln⎛⎝u + a2+ u2⎞⎠+ C 69.

∫

u2 a2+ u2_{du = u8}⎛⎝a2+ 2u2⎠⎞ a2+ u2− a_{8 ln}4 ⎛⎝u + a2+ u2⎞⎠+ C 70.

∫

a2_u+ u2_{du = a}2_{+ u}2_{− a ln}

|

a + a_u2+ u2

|

_{+ C} 71.

∫

a2+ u2 u2 du = − a 2_{+ u}2 u + ln⎛⎝u + a2+ u2⎞⎠+ C 72.

∫

du a2+ u2= ln ⎛ ⎝u + a2+ u2⎞⎠+ C 73.

∫

u2du a2+ u2= u2 ⎛ ⎝ a2+ u2⎞⎠− a_{2 ln}2 ⎛⎝u + a2+ u2⎞⎠+ C 74.

∫

du u a2+ u2= − 1aln

|

a2+ u_u2+ a

|

_{+ C} 75.

∫

du u2 a2+ u2= − a 2_{+ u}2 a2u + C 76.

∫

du ⎛ ⎝a2+ u2⎞⎠ 3/2=_{a2 a}u_{2+ u2}+ C

Integrals Involving u

2

− a

2

, a > 0

77.

∫

u2− a2du = u2 u2− a2− a2 2 ln

|

u + u2− a2

|

+ C 78.

∫

u2 u2− a2_{du = u8}⎛⎝2u2− a2⎞⎠ u2− a2− a_{8 ln}4

|

u + u2− a2

|

+ C 79.

∫

u2_u− a2du = u2− a2− acos−1 a |u| + C 80.

∫

u2− a2 u2 du = − u 2_{− a}2 u + ln

|

u + u2− a2

|

+ C

81.

∫

du u2− a2= ln

|

u + u 2_{− a}2

|

_{+ C} 82.

∫

u2du u2− a2= u2 u 2_{− a}2_{+ a}2 2 ln

|

u + u2− a2

|

+ C 83.

∫

du u2 u2− a2= u 2_{− a}2 a2u + C 84.

∫

du ⎛ ⎝u2− a2⎞⎠3/2 = − u a2 u2− a2+ C

Integrals Involving a

2

− u

2

, a > 0

85.

∫

a2− u2du = u2 a2− u2+ a2 2 sin−1ua + C 86.

∫

u2 a2− u2du = u8⎛_⎝2u2− a2⎞_⎠ a2− u2+ a4 8 sin−1ua + C 87.

∫

a2_u− u2du = a2− u2− aln

|

a + a_u2− u2

|

+ C 88.

∫

a2− u2 u2 du = − 1u a2− u2− sin−1ua + C 89.

∫

u2du a2− u2= − uu a 2_{− u}2_{+ a}2 2 sin−1ua + C 90.

∫

du u a2− u2= − 1aln

|

a + a 2_{− u}2 u

|

+ C 91.

∫

du u2 a2− u2= − 1a2u a2− u2+ C 92.

∫

⎛_⎝a2− u2⎞_⎠3/2du = − u8_⎝⎛2u2− 5a2⎞_⎠ a2− u2+ 3a4 8 sin−1ua + C 93.

∫

du ⎛ ⎝a2− u2⎞⎠3/2 = − u a2 a2− u2+ C

Integrals Involving 2au − u

2

, a > 0

94.

∫

2au − u2du = u − a 2 2au − u2+ a2 cos2 −1⎛⎝a − u_a ⎞⎠+ C 95.

∫

du 2au − u2= cos −1⎛ ⎝a − ua ⎞⎠+ C 96.

∫

u 2au − u2du = 2u2− au − 3a2 6 2au − u2+ a2 cos3 −1⎛⎝a − ua ⎞⎠+ C 97.

∫

du u 2au − u2= − 2au − u 2 au + C

Integrals Involving a + bu, a ≠ 0

98.

∫

u du a + bu =b12 ⎛ ⎝a + bu − aln

|

a + bu

|

⎞⎠+ C 99.

∫

u2du

a + bu =_2b13⎡⎣(a + bu)2− 4a(a + bu) + 2a2ln

|

a + bu

|

⎤⎦+ C

100.

∫

_u du (a + bu) =1aln

|

a + buu

|

+ C 101.

∫

du u2(a + bu)= − 1au +ab2ln

|

a + buu

|

+ C 102.

∫

u du (a + bu)2=b2(a + bu)a + 1b2ln

|

a + bu

|

+ C 103.

∫

u du u(a + bu)2=a(a + bu) −1 a12ln

|

a + buu

|

+ C 104.

∫

u2du (a + bu)2= 1b3 ⎛ ⎝a + bu − aa + bu − 2aln2

|

a + bu

|

⎞⎠+ C 105.

∫

_{u a + bu du = 2}

15b2(3bu − 2a)(a + bu)3/2+ C

106.

∫

u du a + bu= 23b2(bu − 2a) a + bu + C 107.

∫

u2du a + bu= 215b3 ⎛ ⎝8a2+ 3b2u2− 4abu⎞⎠ a + bu + C 108.

∫

du u a + bu = 1aln

|

a + bu − aa + bu + a

|

+ C, if a > 0 = 2−atan − 1 a + bu−a + C, if a < 0 109.

∫

a + bu_{u du = 2 a + bu + a}

∫

du u a + bu 110.

∫

a + bu u2 du = − a + buu + b2

∫

u a + budu 111.

∫

un a + bu du = _b 2 (2n + 3)⎡⎣un(a + bu)3/2− na

∫

un − 1 a + bu du⎤⎦ 112.

∫

undu a + bu= 2u n _{a + bu} b(2n + 1) −b(2n + 1)2na

∫

un − 1_{a + bu}du 113.

∫

du un a + bu= −a(n − 1)ua + bun − 1− b(2n − 3)2a(n − 1)

∫

un − 1dua + bu

APPENDIX B

|

TABLE OF

DERIVATIVES

General Formulas

1. _{dx(c) = 0}d 2. _dxd⎛ ⎝f(x) + g(x)⎞⎠= f ′ (x) + g′ (x) 3. _dxd⎛ ⎝f(x)g(x)⎞⎠= f ′ (x)g(x) + f (x)g′ (x)

4. _dx(xd n) = nxn − 1, for real numbers n 5. _dxd⎛ ⎝c f(x)⎞⎠= c f ′ (x) 6. _dxd⎛ ⎝f(x) − g(x)⎞⎠= f ′ (x) − g′ (x) 7. _dxd⎛_⎝gf(x) (x)⎞⎠= g(x) f ′ (x) − f (x)g′ (x)⎛ ⎝g(x)⎞⎠2 8. _dxd⎡ ⎣f⎛⎝g(x)⎞⎠⎦⎤= f ′⎛⎝g(x)⎞⎠· g′ (x)

Trigonometric Functions

9. _{dx(sinx) = cosx}d 10. _{dx(tanx) = sec}d 2x 11. _{dx(secx) = secxtanx}d 12. _{dx(cosx) = −sinx}d 13. _{dx(cotx) = −csc}d 2x 14. _{dx(cscx) = −cscxcot x}d

Inverse Trigonometric Functions

15. _dxd⎛_⎝sin−1x⎞_⎠= 1 1 − x2 16. _dxd⎛_⎝tan−1x⎞_⎠= 1 1 + x2 17. _dxd⎛_⎝sec−1x⎞_⎠= 1 |x| x2− 1

18. _dxd⎛_⎝cos−1x⎞_⎠= − 1 1 − x2 19. _dxd⎛_⎝cot−1x⎞_⎠= − 1 1 + x2 20. _dxd⎛_⎝csc−1x⎞_⎠= − 1 |x| x2− 1

Exponential and Logarithmic Functions

21. _dx(ed x) = ex 22. d dx(ln|x|) =1x 23. _dx(bd x) = bxlnb 24. _dxd⎛⎝log_bx⎞⎠= 1_xlnb

Hyperbolic Functions

25. _{dx(sinhx) = coshx}d 26. _{dx(tanhx) = sech}d 2x

27. _{dx(sech x) = −sech x tanhx}d 28. d

dx(coshx) = sinhx

29. _{dx(cothx) = −csch}d 2x 30. _{dx(csch x) = −csch x cothx}d

Inverse Hyperbolic Functions

31. _dxd⎛_⎝sinh−1x⎞_⎠= 1 x2+ 1 32. _dxd⎛_⎝tanh−1x⎞_⎠= 1 1 − x2(|x| < 1) 33. d dx⎛⎝sech−1x⎞⎠= − 1 x 1 − x2 (0 < x < 1) 34. _dxd⎛_⎝cosh−1x⎞_⎠= 1 x2− 1 (x > 1) 35. _dxd⎛_⎝coth−1x⎞_⎠= 1 1 − x2 (|x| > 1) 36. _dxd⎛_⎝csch−1x⎞_⎠= − 1 |x| 1 + x2(x ≠ 0)