Análise Linear de Sistemas
Paulo R. C. Vilela
• Introdução
• Definições de Estabilidade
• Teorema da Estabilidade
• Critério de Estabilidade de Routh-Hurwitz
• Casos Especiais no Critério de
Routh-Hurwitz
• Projeto de Estabilidade via Critério de
Routh-Hurwitz
• Exercícios
• Requisitos em Projeto de Sistemas de
Controle:
– Resposta Transitória;
– Estabilidade;
– Erro em Regime Permanente
• Estabilidade = especificação mais
importante!
– Se um sistema é instável, os outros requisitos
deixam de ter significado.
– Um sistema instável não atende a uma
resposta transitória específica ou um requisito
de erro de estado estacionário.
• O que é estabilidade?
– Muitas definições, dependendo do tipo de sistema ou do ponto de vista que se adota;
– Limitaremos a analisar os sistemas lineares e invariantes no tempo.
• A resposta total de um sistema é a soma das
respostas forçada e natural, ou seja:
– Estável se a resposta natural tender a zero quando o tempo tender a infinito
– Instável se a resposta natural tender a infinito quando o tempo tender a infinito
– Marginalmente estável quando a resposta natural nem cresce e nem decresce à medida que o tempo tende a infinito.
Definições de Estabilidade
)
1
.
7
.
(
)
(
)
(
)
(
t
c
t
c
t
Eq
• Pode ser difícil separar a resposta natural da forçada (sistemas de ordem elevada);
• Se a entrada for limitada e a resposta não tender a
infinito, o sistema pode ser considerado estável, pois a resposta natural NÃO pode estar tendendo a infinito! • E se a entrada for ilimitada e a resposta do sistema
também? Pode-se afirmar que o motivo é devido à resposta natural ou à resposta forçada?
• Uma definição alternativa:
– Um sistema linear é estável quando todo sinal de entrada de
amplitude finita produz sinais de saída também de amplitude finita.
– Um sistema linear é instável quando algum sinal de entrada de
amplitude finita produz sinais de saída de amplitude infinita.
• Um sistema instável pode causar danos ao próprio sistema, a sistemas adjacentes ou à vida humana.
• Um sistema linear invariante no tempo (SLIT) e de parâmetros concentrados é estável se e somente se
nenhum dos pólos de sua Função de Transferência (ou seja, nenhuma das raízes de sua equação
característica) pertence ao semi-plano direito (SPD) do plano complexo s-jω, incluindo também o próprio eixo
jω.
• Ou seja:
– Sistemas estáveis possuem função de transferência a malha fechada com pólos somente no semi-plano da esquerda
– Sistemas instáveis possuem função de transferência a malha fechada com pelo menos um pólo no semi-plano s da direita
e/ou pólos de multiplicidade maior que um no eixo imaginário.
– Sistemas marginalmente estáveis apresentam funções de transferência a malha fechada com somente pólos de
multiplicidade um no eixo imaginário e pólos no semi-plano s da esquerda.
• Exemplo 7.1:
• Exemplo 7.2:
Teorema da Estabilidade
)
2
.
7
.
(
)
(
1
)
(
)
(
Eq
s
KGH
s
GH
s
R
Y
• A determinação da estabilidade de um
sistema dada a sua Função de
Transferência envolve a determinação das
raízes do denominador da função.
Entretanto, as raízes não são muito
facilmente obtidas se o denominador tem
a forma:
• Onde n>3.
• Para estas situações, aplica-se o critério
de Routh-Hurwitz.
Critério de Estabilidade de Routh-Hurwitz
)
3
.
7
.
(
...
1 1 02 2
1
1
s
a
s
a
s
a
Eq
a
s
1°TESTE: Inspecionar os coeficientes da Eq. 7.3
• Se qualquer coeficiente é negativo, então o sistema é instável.
• Se qualquer coeficiente é zero, o sistema pode ser no máximo criticamente estável.
• Se eles são todos positivos e se nenhum é zero, então o sistema
pode ser estável.
– Exemplo 7.3:
• Para sistemas que tem denominadores que podem ser estáveis, um segundo teste deve ser realizado.
Critério de Estabilidade de Routh-Hurwitz
2°TESTE: Os coeficientes da eq.(7.3) são escritos e m uma ordem particular chamada arranjo de Routh
• As linhas seguintes no arranjo são determinadas por cálculos feitos a partir dos elementos nas duas linhas
imediatamente acima. Linhas sucessivas são calculadas até que apenas zeros apareçam. O arranjo deve então conter (n+1) linhas, uma linha correspondente a cada um dos termos sn a s0.
• Se todos as elementos na primeira coluna
do arranjo são positivos, todas as raízes
tem parte real negativa e estão
localizados no semi-plano esquerdo do
diagrama de pólos e zeros.
• O sistema é então estável se todos os
elementos da primeira coluna são
positivos.
• Se existem elementos negativos na
primeira coluna, o número de trocas de
sinal na primeira coluna é igual ao número
de raízes com parte real positiva.
• Exemplo 7.4:
Critério de Estabilidade de Routh-Hurwitz
• Zero somente na primeira coluna:
– Ocasiona uma divisão por zero;
– Método do Épsilon: Atribui-se um valor ε no lugar do zero,
fazendo-se ao final com que este tenda a zero positivo ou zero negativo.
– Método da Inversa: inverter os coeficientes dos polinômios (de trás para frente).
• Exemplo 7.5: Para os sistemas em malha fechada abaixo, aplique o critério de Routh e avalie a
estabilidade dos mesmos.
Critério de Routh-Hurwitz – Casos Especiais
• Linha de Zeros:
– Ocorre quando há um polinômio par como fator do polinômio original;
• Exemplo 7.6: Para os sistemas em malha
fechada abaixo, aplique o critério de Routh e
avalie a estabilidade dos mesmos.
Critério de Routh-Hurwitz – Casos Especiais
• Distribuição dos pólos através da tabela de
Routh com linhas de zeros:
– Polinômio Par: aquele acima da linha com zeros;
• Não há mudança de sinal da linha do polinômio par para baixo: pólos sobre o eixo jω (imaginário)
– Verificar se o polinômio par possui raízes múltiplas.
• Há mudanças: número de mudanças é igual ao número de raizes no SPD e do SPE
– Do início até o polinômio Par: número de mudanças de sinal é igual ao número de raízes no SPD.
– As restantes estão no SPE.
– Não podem haver raízes jω neste “resto”.
• Exemplo 7.7: Avalie os polinômios dos
exemplos 7.4 até 7.6, indicando o número de
raízes no SPD, SPE e no eixo j
ω
.
• Exemplo 7.8: Determine os valores de K
para que o sistema abaixo seja estável,
instável e marginalmente estável.
Suponha K>0.
Projeto de Estabilidade via Routh-Hurwitz
K s
s s
K s
T
+ +
+ =
77 18
)
• Exemplo 7.9: Verifique a distribuição dos
pólos para o seguinte caso
• Exemplo 7.10: Verifique a distribuição dos
pólos para o seguinte caso
Projeto de Estabilidade via Routh-Hurwitz
20 38 48 59 39 22 12 20 )
( 8 7 6 5 4 3 2
+ + + + + + + + = s s s s s s s s s T 1 2 3 2 3 2 1 )
( 5 4 3 2
