PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO
PUC-SP
Danilo Gustavo Bispo
A Teoria da Computação de Alan Turing
Doutorado em História da Ciência
SÃO PAULO
Danilo Gustavo Bispo
A Teoria da Computação de Alan Turing
Doutorado em História da Ciência
Tese apresentada à Banca Examinadora da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, como exigência parcial para obtenção do título de Doutor em História da Ciência sob a orientação do Prof. Dr. José Luiz Goldfarb
SÃO PAULO
Banca Examinadora
____________________________________________
____________________________________________
____________________________________________
____________________________________________
____________________________________________
Pesquisa financiada com bolsa concedida pela agência de fomento da Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES), entre os anos de 2014 e 2018.
DEDICATÓRIA
À Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES), pela concessão da bolsa de estudos
Ao meu ilustre orientador pelas imprescindíveis contribuições
À minha noiva e familiares por todo apoio e compreensão
Aos amigos e professores do doutorado por compartilharem seus ensinamentos
O caminho da história não é o de uma bola de bilhar, que segue uma inflexível lei casual; assemelha-se mais ao de uma nuvem, a alguém que vai perambulando pelas ruas e que é desviado aqui por uma
sombra, ali por um grupo de pessoas ou pelo espetáculo de uma praça barroca e por fim chega a um lugar que não conhecia e aonde não desejava ir.
RESUMO
O presente trabalho tem como objetivo expor o estudo de alguns aspectos que permearam o surgimento da Teoria da Computação de Alan Mathison Turing no início do século XX. De acordo com pesquisa, sugere-se que isso tenha ocorrido em parte, devido a uma consequência teórica do desenvolvimento da matemática. No final do século XIX houve um esforço despendido por parte de alguns pensadores cujo o intuito estava em clarificar a natureza da verdade em matemática, problema posto em aguda evidência pela turbulenta etapa no desenvolvimento do pensamento matemático ocorrido entre aproximadamente 1870 e 1940 com o surgimento de novos tipos de geometria. Esta etapa também pode ser interpretada como "a crise dos fundamentos" e visualizada como o desfecho da fase de desenvolvimento correspondente ao surgimento da ciência contemporânea. Dentro deste contexto, a ideia será agora ampliar a investigação procurando identificar detalhes dos projetos que não foram bem-sucedidos, mas que também tiveram sua contribuição ou influenciaram de algum modo o surgimento da teoria que estabeleceu conceitos chave para o modelo do computador digital.
Palavras-chave: Geometrias Não-Euclidianas, Formalismo, Fundamentos da Matemática, Teoria da Computação
ABSTRACT
The present work aims to expose the study of some aspects that permeated the emergence of Computing Theory of Alan Mathison Turing at the beginning of the 20th century. According to previous research, it is suggested that this occurred in part, due to a theoretical consequence of the development of mathematics. At the end of the nineteenth century there was an effort expended by some thinkers whose aim was to clarify the nature of truth in mathematics, a problem put in sharp evidence by the turbulent stage in the development of mathematical thinking between about 1870 and 1940 with the emergence of new types of geometry. This stage can also be interpreted as "the crisis of fundamentals" and visualized as the outcome of the development phase corresponding to the emergence of contemporary science. Within this context, the idea will now be to broaden the research to identify details of the projects that were not successful but that also had their contribution or influenced in some way the emergence of the theory that established key concepts for the digital computer model.
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO ...1
CAPÍTULO 1 – ALAN TURING E A HISTÓRIA DA COMPUTAÇÃO 1.1 Notas historiográficas...…...5
CAPÍTULO 2 – OS FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA NO INÍCIO DO SÉCULO XX 2.1 Surgimento das geometrias não-euclidianas...13
2.2 A criação do programa de Hilbert...…...17
2.2 O problema de decisão (Entscheidungsproblem)...25
CAPÍTULO 3 – ALAN TURING E A TEORIA DA COMPUTAÇÃO 3.1 O documento: Comp. Numbers an Application to the Entscheidungsproblem..31
3.1.2 Computing machine …...…...38
3.1.3 Examples of computing machines …...44
3.1.4 Enumeration of computable sequences ...59
3.1.5 The universal machine...64
3.1.6 Detailed description of the universal machine…...68
3.1.7 Application of the diagonal process...82
3.1.8 Application to the Entscheidungsproblem...100
CONSIDERAÇÕES FINAIS...…...101
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS...…...103
INTRODUÇÃO
Este projeto tem como propósito iniciar uma pesquisa em história da ciência sobre a teoria da computação elaborada pelo matemático Alan Turing para o Programa de História da Ciência1. Propus pesquisar os aspectos da Europa moderna, que foram influentes no desenvolvimento da teoria da computação. Para tanto foi visto que parte está alicerçado nas transformações que ocorreram na matemática entre o final do século XIX e início do século XX.
O objetivo principal é argumentar sobre o núcleo dos resultados matemáticos obtidos por Alan Turing no início do século XX, cujas ideias mais fundamentais orbitaram em torno das concepções de infinito e fundamentação da matemática.
Neste projeto, a principal dificuldade encontrada para sua concretização, foi conseguir livros de história da computação que tratassem das influências do meio social no desenvolvimento desta ciência. Quando tomamos os textos sobre história da computação, o que fica como percepção é a existência de uma grande predominância de estudos que trabalham apenas o desenvolvimento das ideias matemáticas. No caso do surgimento da teoria dos números computáveis de Alan Turing, não foi diferente, apenas livros e documentos que tratam o tema do ponto de vista do desenvolvimento conceitual foram encontrados.
Perante as limitações, foi então decidido optar por uma abordagem mais interna. Como proposta de projeto de pesquisa, a ideia é buscar dentro de textos sobre o desenvolvimento da matemática descrever como questões metodológicas da história da ciência2 são trabalhadas no
interior da história da computação.
No intuito de buscar identificar os principais aspectos que foram influentes no desenvolvimento da teoria de Alan Turing, o principal fator encontrado foi o programa de fundamentos da matemática que ocorreu entre o final do século XIX e início do XX. Estabelecer
1 Goldfarb A., O que é história da ciência, 68-72.
esta relação parece um bom ponto de partida para iniciar uma pesquisa em história da computação. Portanto, de um projeto que propunha pesquisar as condicionantes culturais da Europa moderna que motivaram e possibilitaram a teoria dos computadores digitais, meu trabalho se converteu em um estudo, menos pretensioso, porém capaz de contribuir com aspectos relevantes.
A teoria de Turing, a princípio tinha como proposta apresentar uma solução a um dos problemas do programa de pesquisa na filosofia e fundamentos da matemática. Este programa foi idealizado no início do século XX pelo matemático alemão David Hilbert (1862-1943) sendo empreendido por ele e seus colaboradores na Universidade de Göttingen e em outros centros de estudos nas primeiras décadas dos anos de 1900. O programa de fundamentos surgiu, em parte, pela necessidade de compatibilizar os novos modelos de geometria que surgiram na virada do século XIX, eliminação de paradoxos relacionados a questão do infinito e sua justificação.
Resumidamente, o programa de Hilbert consistia em uma nova fundamentação da matemática baseada em dois pilares: o método axiomático e a teoria da prova finitária, conceitos que serão apresentados adiante neste trabalho. Ao propor formalizar a matemática em sistemas axiomáticos e posteriormente provar por métodos próprios que esses sistemas fossem consistentes seria possível, constituir uma base filosófica satisfatória para toda a matemática. Caso tivesse sido plenamente bem-sucedido, certamente não apenas teria influenciado outros projetos fundamentais da época, como também afetaria outras áreas do conhecimento que projetavam na matemática uma espécie de alicerce seguro, puro e livre de contradições principalmente no que se refere a sua própria justificação por meio de uma abstração racionalista. No entanto, os resultados das teorias de Turing entre outros como Alonzo Church e Kurt Godel mostraram que o programa originalmente previsto por Hilbert não pôde ser realizado plenamente.
No caso de Turing, a original motivação em escrever seu artigo3 foi tentar resolver o
problema de decisão formulado por Hilbert. Ele indagava sobre como construir um processo geral
3 Turing, Application to the Entscheidungsproblem, 1.
para determinar a probabilidade ou não de uma asserção da lógica matemática. Esta questão ficou conhecida como Entscheidungsproblem ou problema de decisão de Hilbert. Turing prova com o seu artigo a impossibilidade da construção de um método geral de decisão, contrariando assim as expectativas do programa de fundamentos. Como consequência a teoria de Turing abriu novos aspectos sobre o sistema de números, sendo também considerada uma relevante contribuição para a construção conceitual de uma tecnologia dominante no mundo contemporâneo: o computador digital programável.
Este trabalho está dividido em três capítulos, aos quais propus relacioná-los às esferas constituintes de uma pesquisa em história da ciência. O conteúdo de cada capítulo corresponde respectivamente a historiografia, contexto e análise de conceitos através de documento de fonte primária. Uma cópia do documento de fonte primária foi acrescentada em anexo a fim de servir como material de leitura complementar.
No primeiro capítulo será realizado análise historiográfica sobre alguns textos de história da computação focados na obra de Turing, compostos também por uma síntese de alguns tópicos sobre o surgimento dos conceitos relacionados a sua teoria. O objetivo é apresentar algumas visões sobre o tema e suas principais teses para tentar explicá-lo à luz das historiografias que serão apresentadas. Neste mesmo capítulo serão apontadas algumas críticas a respeito dos textos, seja por haver um certo distanciamento ou por não estabelecerem relação com a atual historiografia da ciência.
O capítulo 2 tem como objetivo descrever o contexto sobre quais principais pesquisas estavam sendo feitas em matemática no final do século XIX e início do século XX, cobrirá o conteúdo histórico e matemático conceitual e suas transformações no cenário onde estavam sendo debatidos os conceitos dos quais Turing se apropria para elaborar o documento cujo o objetivo do trabalho está se propondo analisar.
Tal análise ocupará o capítulo 3, onde serão apresentados os aspectos mais significativos do documento publicado por Turing em 1936 no artigo de título On Computable Numbers, with an
Application to the Entscheidungsproblem. Este é o documento que será utilizado no trabalho como
fonte primária. Nas secções que forem sendo descritas, será demonstrada uma simulação do funcionamento do que ele denominou como Computing Machine, explorando alguns dos exemplos por ele descrito.
CAPÍTULO 1 – ALAN TURING E HISTÓRIA DA COMPUTAÇÃO
1.1 Notas historiográficas
Neste capítulo, pretendo analisar a história da computação contada e publicada em 2000 no livro The Universal Computer. The Road from Leibniz to Turing de Martin David Davis (1928). Também será feito um estudo sobre o livro História da Computação: O Caminho do Pensamento e
da Tecnologia publicado em 2007 do professor e analista de sistemas Cléuzio Fonseca Filho (1955).
Será feito uma análise dos textos considerando o aspecto historiográfico apresentado nestas obras. Mais conhecido como matemáticos, pelos seus trabalhos, Davis e Fonseca estão entre os primeiros historiadores da teoria da computação a apresentarem o desenvolvimento dos conceitos em computação desde o período de o século XVIII até sua rigorosa fundamentação ocorrida entre o final do XIX e início do século XX.
Pode-se dizer que os autores são matemáticos, ou seja especialista da área que iniciaram suas pesquisas, período em que estudos sobre história da computação ainda não passou por uma revisão historiográfica nem por reflexões que analisam formas distintas de se fazer a história deste campo de conhecimento. Nestes primeiros passos do estudo sistemático da história da computação, o foco principal da reconstrução histórica são as ideias e conceitos matemáticos. Entender como estas ideias se desenvolveram, como foram propostas ou aplicadas é o objetivo principal das suas histórias.
Os livros que utilizaremos servem como uma espécie de manual de como os conceitos foram desenvolvidos, relatando praticamente todos os pensadores que contribuíram para o desenvolvimento de alguma ideia que auxiliou, mesmo que de forma indireta, a formulação da computação. Porém, neste capítulo, será omitido alguns nomes e apresentaremos de forma mais concisa as teorias que permitam compreender melhor as teses levantadas por Davis e Fonseca para justificar o surgimento da computação. Para facilitar a leitura, optei por só remeter diretamente à
Davis e Fonseca os pontos onde eles explicitam suas teses para explicar o surgimento da computação. Todos trechos que retirados dos livros estarão destacados em itálico. Vale ressaltar que, mesmo quando não indicado esta síntese tenta seguir e apresentar a história na visão dos autores em questão.
De acordo com Davis a história da computação se inicia no século XVIII, apresentando alguns aspectos da matemática no século XVIII. Apesar de terem chegado a importantes resultados, o processo empírico empregado na investigação matemática não possibilitou aos personagens do século XVIII o desenvolvimento de um método sistemático de generalizações e abstrações capaz de fornecer regras gerais que os guiassem ao “sonho de Leibniz”4.
O autor conta um pouco sobre as histórias da vida pessoal, social de Leibniz, Boole, Frege, Cantor, Godel e Turing e explica alguns dos elementos essenciais das suas teorias propondo descrever de que forma cada um prestou sua contribuição para o surgimento da computação.
O livro consiste em nove capítulos, com várias notas, uma longa lista de referência e com os os capítulos divididos sobre os sete personagens.
Davis muitas vezes enfatiza a "maravilhosa ideia de Leibniz"5 de um alfabeto capaz de
representar todos os conceitos fundamentais e uma ferramenta de cálculo apropriada para manipular esses símbolos utilizando o símbolo de integração e diferenciação estabelecido pelo próprio Leibniz como exemplo.
He would seek a special “alphabet” whose elements represented not sounds, but concepts. A language based on such an alphabet should make it possible to determine by symbolic calculation which sentences written in the language were true and what logical relationships existed among them.6
4 Davis, The Universal Computer, 1. 5 Davis, The Universal Computer, 3-16. 6 Davis, The Universal Computer, 4.
No segundo capítulo Davis descreve a “revolucionária” monografia de Boole sobre lógica como uma forma de matemática incluindo alguns dos mesmos conceitos do trabalho de Leibniz, embora Boole não tivesse conhecimento dos esforços da Leibniz. Davis enfatiza que o tipo de raciocínio que ocorre de maneira informal e implícita nas interações humanas comuns poderia ser capturado pela álgebra de Boole e incluindo exemplos de como realizá-los.
In Boole’s early work, he applied algebraic methods to the objects that mathematicians call operators. These “operate” on expressions of ordinary algebra to form new expressions. Boole was particularly interested in differential operators, so called because they envolve the differentiation operation of the calculus. Theses operators were seen to be of particular importance because many of the fundamental laws of the physical universe take the form of differential equations, that is equations involving differential operators. Boole showed how certain differential equations could be solved by using methods of ordinary algebra applied to differential operators.7
Davis fornece um tratamento sobre as contribuições conceituais de Gerog Ludwig Philip Cantor (1845-1918) como conjuntos infinitos com tamanhos distintos, a hipótese do continuum, números transfinitos ordinais e cardinais e o método diagonal, enfatizando que:
Cantor was exploring a domain that had been visited by none before him. There were no
linguagem baseada em tal alfabeto deveria permitir determinar por cálculo simbólico quais sentenças escritas na linguagem eram verdadeiras e quais relações lógicas existiam entre elas.
7 Davis, The Universal Computer, 22.
Tradução: Nos primeiros trabalhos de Boole, ele aplicou métodos algébricos aos objetos que os matemáticos chamam de operadores. Estes "operam" nas expressões da álgebra comum para formar novas expressões. Boole estava particularmente interessado em operadores diferenciais, assim chamados porque envolvem a operação de diferenciação do cálculo. Os operadores das teses foram vistos como de particular importância porque muitas das leis fundamentais do universo físico assumem a forma de equações diferenciais, que são equações envolvendo operadores diferenciais. Boole mostrou como determinadas equações diferenciais poderiam ser solucionadas utilizando métodos de álgebra comum aplicados a operadores diferenciais.
mathematical rules he could trust. He had to invent everything himself, relying on his intuition.8
Davis descreve também sobre o interesse de Hilbert no desenvolvimento de fundamentos da matemática começando por descrever suas principais ideias sendo isto o foco principal do capítulo sobre Hilbert.
Embora Davis tenha dedicado um capítulo inteiro sobre Hilbert, não parece ficar claro quais foram as principais motivações que levaram ao matemático alemão empreender o seu programa que pretendia deixar a matemática sob rigorosa fundamentação.
Os capítulos sobre Godel e Turing são os mais longos do livro, cujo o propósito é explicar “suas conquistas”9, como ele mesmo descreve embora não mencione as biografias, bem
como dos ambientes políticos e sociais da época. O autor claramente consegue expor os conceitos, embora exagere nos detalhes técnicos de codificação em ambos os capítulos. Por outro lado, embora seja mais abstrato, o tratamento do teorema de Godel, consegue ser acessível ao público em geral.
No capítulo sobre Turing, Davis enfatiza as características da máquina universal mostrando que na verdade não existe distinção entre programa e dados. Conceito bem entendido, por exemplo, por John von Neumann (1903 - 1957), que como observa Davis, propôs em 1945 que o EDVAC, fosse construído como um modelo físico da máquina universal da Turing. O trabalho de Von Neumann é substancialmente discutido por Davis, embora não haja um capítulo separado dedicado a ele. Ainda comentando sobre a teoria de Turing, um outro fator que chama atenção é que Davis quase não discute nem descreve muito sobre o artigo On Computable Numbers. Documento que foi o embrião dos principais conceitos elaborados por Turing.
Já no Brasil podemos citar o trabalho de Cléuzio Fonseca Filho da PUC Rio Grande do Sul cujo título História da Computação: O caminho do pensamento e da tecnologia serve de material
8 Davis, The Universal Computer, 57.
Tradução: Cantor estava explorando um domínio que não tinha sido visitado por ninguém antes dele. Não havia regras matemáticas em que ele pudesse confiar. Ele teve que inventar tudo a si mesmo, confiando em sua intuição. 9 Davis, The Universal Computer, 102-122.
introdutório para outros pesquisadores interessados no assunto. O quarto capítulo A “Evolução dos
Conceitos” será o trecho analisado aqui em especial.
Passando para o período do renascimento, Fonseca começa com subtítulo: Leibniz, o
precursor da Lógica Matemática Moderna.
A Lógica Moderna começou no século XVII com o filósofo e matemático alemão Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 - 1716). Seus estudos influenciaram, 200 anos mais tarde, vários ramos da Lógica Matemática moderna e outras áreas relacionadas, como por exemplo a Cibernética (Norbert Wiener dizia que “se fosse escolher na História da Ciência um patrono para a Cibernética, elegeria Leibniz”10
Considerando as ideias e os conceitos como uma das linhas que conduzirão ao grande desenvolvimento tecnológico da Computação a partir da década de 40 do século XX, este capítulo faz referência a alguns aspectos da evolução da Matemática, e mais especificamente de alguns dos seus ramos, no caso a Álgebra e a Lógica Simbólica ou Matemática, de onde nos vieram o rigor e o método axiomático, até chegar às noções de computabilidade e procedimento, com Turing e Church11
Vale observar que este tipo de história não foi construída sobre recorte ou sobre um conjunto de documentos que retratam o seu tempo.
Em outros trechos observa-se que suas narrativas muitas vezes são apresentadas de maneira anacrônica.
Pode-se dizer que os primeiros passos em direção aos computadores digitais foram dados nas antigas civilizações da China, do Egito e da Babilônia, há mais de quatro milênios, com os sistemas de medidas de distâncias, previsão do curso das estrelas e tabelas gravadas em tábuas de barro usadas para ajudar cálculos algébricos.12
10 Filho, História da Computação, 49. 11 Filho, História da Computação, 29. 12 Filho, História da Computação, 35.
Em seguida o autor expõe comentários sobre a obra de Aristóteles, tratando conhecimento de seu período como se fossem especialidades tal como são tratados os conhecimentos dentro do contexto contemporâneo.
Ele foi sábio em quase todos os domínios: ciências naturais, lógica, física, poética, astronomia, ética, política, retórica, psicologia, entre outras. Mestre de lógica para centenas de gerações, aplicou-se, sobretudo, em assentar as bases da “ciência que buscamos”, a “filosofia primeira”, o que depois chamou-se Metafísica. Interessa neste estudo sobretudo a lógica aristotélica e o seu método axiomático.13
Lembrando que naquele período o conhecimento não era dividido em especificidades como física, astronomia, psicologia entre outros.
Continuando seu raciocínio, Fonseca descreve as “contribuições” dos estóicos para a “computação moderna”.
Embora Aristóteles seja o mais brilhante e influente filósofo grego, outra importante tradição argumentativa formou-se na antiga Grécia, com os megáricos e estóicos. Pouco conservada pela tradição, merece um melhor tratamento dos historiadores, porque o que deles se conhece sugere que esses gregos eram altamente inteligentes.14
Ele cita alguns dos megáricos como Diodoro Cronus criador da expressão “se..., então...” conhecidas como condicionais. Outro que teria forte influência na computação moderna seria segundo Fonseca, Crísipo de Soles.
Ele estudou as sentenças condicionais e também as disjuntivas (regidas pela partícula “ou”) e as copulativas (regidas pelo “e”), tendo também reconhecido claramente o papel lógico desempenhado pela negação.15
13 Filho, História da Computação, 37. 14 Filho, História da Computação, 39. 15 Filho, História da Computação, 40.
Trocando de personagem, mais a frente Fonseca cita George Boole (1815-1864) como o “pioneiro” da construção da lógica simbólica.
Boole criou o primeiro sistema bem sucedido para o raciocínio lógico, tendo sido pioneiro ao enfatizar a possibilidade de se aplicar o cálculo formal em diferentes situações e fazer cálculos de acordo com regras formais, desconsiderando as interpretações dos símbolos usados.16
Finalmente chega ao personagem principal. Ao descrever Turing, Fonseca começa com título conforme descrito: Alan Mathison Turing: O berço da computação
A revolução do computador começou efetivamente a realizar-se no ano de 1935, em uma tarde de verão na Inglaterra, quando Alan Mathison Turing (1912 – 1954) era, estudante do King’s College, Cambridge.17
Ao citar Turing, ele coloca seus desenvolvimentos sempre como extremamente revolucionários embora não discute a fundo o que seria essa “revolução”?
Em 1936, Turing consagrou-se como um dos maiores matemáticos do seu tempo, quando fez antever aos seus colegas que é possível executar operações computacionais sobre a teoria dos números por meio de uma máquina que tenha embutida as regras de um sistema formal.18
A percepção genial de Turing foi a substituição da noção intuitiva de procedimento efetivo por uma ideia formal, matemática. O resultado foi a construção de uma conceituação matemática da noção de cálculo efetivo, uma noção que ele modelou baseando-se nos passos que um ser humano dá quando executa um determinado cálculo. Ele formalizou definitivamente o conceito de algoritmo.19
Conforme citado no início deste trabalho, um fator em comum que marca a narrativa entre esses tipos de histórias é o fato de que elas descrevem os acontecimentos muitas vezes apenas sob a
16 Filho, História da Computação, 74. 17 Ibid
18 Filho, História da Computação, 75. 19 Ibid
ótica dos conceitos. Outro ponto a observar é que elas quase sempre constroem uma narração anacrônica. Uma história anacrônica é uma história que tenta descrever o passado com base em conceitos e valores do presente.
Lembrando também que quase sempre o modelo positivista é o que predominantemente está presente neste tipo de obra. A historiografia positivista deu origem a uma modalidade em história da ciência que ficou conhecida como whig. Esse termo foi cunhado em 1931 por Herbert Butterfield20.
Ao inventá-lo, pretendia Butterfield combatê-lo como sendo o pecado mais mortal que um historiador poderia cometer.
Seguindo nossa linha sobre história da computação conseguimos analisar algumas histórias deste evento publicados após a metade do século XX e fazer uma análise deste texto considerando as discussões historiográficas apresentadas até aqui.
CAPÍTULO 2 – FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA NO SÉCULO XX
2.1 O surgimento das geometrias não-euclidianas
Este capítulo tem como pretensão descrever parte do contexto em que ideias e conceitos estão sendo debatidos na comunidade entre os matemáticos da Europa ocidental, local em que Turing também esteve inserido como personagem da ciência de seu tempo.
No final do século XIX, uma crise potencial marcou a matemática. Tal crise envolveu um campo que datava de cerca de 300 antes de cristo. Conhecida como geometria conforme determinada por Euclides através de sua obra denominada como Elementos. Os elementos de Euclides começam com uma série de definições seguidas por cinco postulados e algumas noções comuns também conhecidas como axiomas. A partir destes poucos pressupostos básicos, pode-se derivar diversificados teoremas.
Os quatro primeiros postulados de Euclides são auto evidentes. Eles descrevem quais os estados sobre o que é possível desenhar sobre linhas e círculos utilizando régua e compasso enquanto de maneira igualmente simples:
1 – Para desenhar uma linha reta de qualquer ponto para outro ponto qualquer. 2 – Para construir uma linha reta continuamente a partir de uma linha reta. 3 – Para descrever um círculo com qualquer centro e distância.
4 – Todos os ângulos são iguais uns aos outros.
Comparado com a brevidade e auto evidência dos quatro primeiros postulados, o quinto é notoriamente mais longo e mais argumentativo:
5 – Se uma linha reta caindo em duas outras linhas retas, faz os ângulos interiores do mesmo lado menos de dois ângulos retos, as duas linhas retas, quando produzidas indefinidamente, encontram nesse lado em que são os ângulos inferiores aos dois ângulos retos.21
Este postulado define as condições sob as quais as linhas são paralelas, determinando que
elas já mais se encontrarão ao serem estendidas indefinidamente. Este quinto postulado ficou registrado como intuitivamente controverso. Durante todo esse período muitos estudiosos pensaram que o quinto postulado era supérfluo, redundante ou até mesmo que ele poderia ser derivado dos quatro primeiros. Porém todas as tentativas de derivar o quinto postulado falharam.
Já no início do século XIX na Europa, alguns matemáticos começaram a explorar um outro tipo de abordagem. Começaram a supor e assumir algo contrário ao quinto postulado. Talvez duas linhas retas sempre se encontrem, independentemente do ângulo que elas formem com outra reta. Foi então que uma outra contradição surgiu novamente. O quinto postulado seria comprovado por
reductio ad absurdum (redução ao absurdo).22 E não deixaram de trabalhar nessa linha de
raciocínio. Na Alemanha, na Hungria e na Rússia, Carl Friedrich Gauss (1777-1855), Johann Bolyai (1802-1860) e Nocolai Ivanovitch Lobachevsky (1792-1856), todos trabalhando de forma paralelamente, descobriram que as alternativas ao quinto postulado de Euclides não resultavam em contradições, em vez disso, levou à construção de universos geométricos novos e estranhos, mas inteiramente pertinentes. Em pouco tempo, os matemáticos aceitaram e começaram por praticar essas alternativas a geometria euclidiana. Essas geometrias não-euclidianas possuem representatividade ao que chamamos consensualmente como mundo real? O que muitas vezes soa como controverso é que este tipo de geometria não euclidiana descreve o espaço de maneira não linear e estático, muitas vezes assemelhando-o em certo aspecto a uma espécie de esfera.
Esse contexto fez com que os matemáticos do século XIX presenciassem uma certa angústia por parte da comunidade, mas também desenvolvessem um interesse novo e profundo pelo método axiomático que Euclides empregou em seus elementos. Um sistema matemático começa com axiomas específicos e continua derivando implicações desses axiomas. Dependendo de qual cálculo geométrico estejamos dispostos a construir, esse axioma pode ou não coincidir com as nossas noções intuitivas do mundo real em três dimensões.
22 Heath, Euclid’s Elements, 165.
Redução ao absurdo é um método filosófico utilizado para refutar uma proposição partindo das consequências inaceitáveis a que essa proposição conduz.
Por dois milênios, a ideia de imitar o mundo real realmente tinha a geometria como ferramenta elementar e essencial. Se os axiomas pudessem ser separados do mundo intuitivo e tornados suficientemente abstratos, a matemática em si poderia ser libertada até para poder ampliar o território de exploração dessas novas perspectivas. Os axiomas e a matemática que resultam devem ser tratados de forma abstrata sem que pressupostos implícitos sejam levados em última instancia a intuição humana.23
O personagem David Hilbert (1862-1943), foi um dos matemáticos mais engajados na missão de elaborar um sistema capaz de contemplar os dois tipos de geometrias. Hilbert nasceu perto de Königsberg, uma parte da cidade no Mar Báltico e na época, capital da Prússia Oriental. Quando Hilbert nasceu, Königsberg já era uma cidade famosa para estudos em matemática. A Universidade de Königsberg, foi o local onde o filósofo Immanuel Kant (1724-1804) estudou e ensinou. Hilbert também foi um frequentador dessa universidade, por um breve período chegou a ministrar algumas aulas, mas em 1895 a Universidade de Gotemburgo, o aceitou para lecionar. Hilbert tinha visitado pela primeira vez Gottingen após nove anos de guerra, local onde ele se viu encantado, tanto pela pequena cidade quanto pelo belo cenário montanhoso, tão diferente da movimentada cidade de Königsberg.24
A Universidade de Gottingen já prestava de reconhecimento antes da chegada de Hilbert. Em meados de 1833, Gauss e o físico Wilhelm Weber (1804-1891) colaboraram em um telégrafo eletromagnético, projeto que ficou muito conhecido dentro e fora da universidade naquela época. Com um departamento de matemática dirigido por Hilbert e Felix Klein (1849-1925), Gottingen estava prestes a se tornar uma espécie de reduto para os matemáticos daquele período.
Em seus primeiros anos na universidade Hilbert ministrou aulas sobre geometria, um assunto que geralmente não era apresentado a nível universitário, uma vez que, os alunos já haviam realizados cursos completo sobre Euclides durante a educação elementar.
23 Reid, Hilbert, 57. 24 Reid, Hilbert, 25.
O curso de geometria de Hilbert seguia a familiaridade da estrutura de Euclides, iniciava com axiomas para que a partir deles próprios os teoremas pudessem ser derivados. A principal diferença é que era uma geometria apresentada com nível de rigor mais elaborado. Ele tinha repensado a geometria de maneira re-axiomatizada agregando as premissas das geometrias não-euclidianas conforme sua concepção. Em 1899, Hilbert publicou suas palestras de geometria no livro Grundlagen der Geometrie (Fundamentos da Geometria), que se tornou bem aceito na época pela comunidade da matemática.25
Colocar a geometria em um fundamento axiomático rigoroso foi mais importante para Hilbert do que prover solução dos próprios teoremas. Estabelecer uma base para a geometria demonstraria que os axiomas eram consistentes, ou seja, que nunca poderiam levar a contradições. Hilbert fez isso construindo uma analogia de sua geometria sob o plano dos números reais.26 Esta
era basicamente geometria analítica dentro do sistema de coordenadas cartesianas. A consistência da geometria de Hilbert tornou-se um problema na consistência da aritmética de um número real.
Vale ressaltar que Hilbert não era o único que estava interessado na época em estabelecer os fundamentos em matemática. Em 1889, O matemático italiano Giuseppe Peano (1858-1932) aplicou o método axiomático na formulação da aritmética dos números naturais. Menos bem conhecido na época, mas amplamente reconhecido atualmente, foi Gottlob Frege (1848-1925). Personagem que havia estruturado um modelo de lógica matemática com uma nova notação que descreveu em um artigo de 1879 chamado Begriffschrif.27 Em 1884 Frege escreveu o Grundlagen
der Arithmetik (Fundamentos da aritmética), no qual ele tentou estabelecer uma base para a
aritmética de números reais através da lógica matemática. Frege elaborou o sistema em um trabalho detalhado no ano de 1893, publicando o primeiro volume de suas leis básicas da aritmética, em que a teoria dos conjuntos e a lógica matemática foram combinadas para estabelecer a legitimidade dos
25 Reid, Hilbert, 35.
26 O conceito de números reais surgiu a partir da utilização de frações. Os números reais são os que podem ser expressos por uma gama de diferentes classes numéricas, sejam eles números inteiros (3, 28, 1568) ou decimais (4,28; 289,6; 39985,4671). Vide: https://conceito.de/numeros-reais
números reais.
2.2 A criação do programa de Hilbert
Em agosto de 1900, David Hilbert foi convidado a pronunciar um importante discurso no segundo Congresso Internacional de Matemáticos realizado em Paris. Os problemas marcariam o início do novo século para a matemática. Nesse mesmo período foi quando Hilbert criou um manifesto que ficou conhecido como Programa de Hilbert.
Most alluring would be the attempt at a look into the future and listing of the problems on which
mathematicians should try themselves during the coming century. With such a subject you could
have people talking about your lecture decades later.28
Who of us would not be glad to lift the veil behind which the future lies hidden. To cast a
glance at the next advances of our science and the secretes of its development during future
centuries? What particular goals will there be toward which the leading mathematical spirits of
coming generations will strive? What new methods and new facts in the wide and rich field of
mathematical thought will the new centuries disclose?29
Hilbert discutiu, em geral, alguns dos problemas que exigiriam soluções dos matemáticos do novo século. Ele assegurou a sua audiência e que esses problemas estavam apenas esperando para serem solucionados:
28 Reid, Hilbert, 69.
Tradução: O mais atraente seria a tentativa de olhar para o futuro e listar os problemas sobre os quais os
matemáticos deveriam trabalhar durante o próximo século. Sobre esse tema já se podia ver as pessoas comentando sobre suas conferências décadas depois.
29 Yandell, Hilbert’s Problems and Their Solvers, 240.
Tradução: Quem de nós não ficaria satisfeitos em levantar o véu atrás do qual o futuro está escondido. Para lançar um olhar sobre os próximos avanços de nossa ciência e os segredos de seu desenvolvimento nos séculos futuros? Que objetivos específicos haverá para o qual os principais espíritos matemáticos das gerações vindouras se
esforçarão? Quais novos métodos e novos fatos no vasto e rico campo do pensamento matemático os novos séculos revelarão?
However unapproachable these problems may seem to us and however helpless we stand
before them, we have, nevertheless, the firm conviction that their solution must follow by finite
number of purely logical processes. This conviction of the solvability of every mathematical
problem is a powerful incentive to the worker. We hear within us the perpetual call: There is the
problem. Seek its solution. You can find it by pure reason, for in the mathematics there is no
ignorabimus.30
Embora as palavras estejam em latim, os matemáticos da audiência de Hilbert conseguiram facilmente interpretar a expressão como "Não há ignorância em matemática".
Foi então que Hilbert propôs a comunidade matemática resolver 23 problemas pendentes em vários campos da matemática. Devido a restrições de tempo, apenas 10 foram mencionados no congresso, todos os 23 problemas apareceram na versão publicada mais para frente. A maioria dos problemas apresentados eram de bases fundamentais em seu escopo.
Por questões de escopo do trabalho, estarei comentando apenas os principais problemas que estão relacionados de alguma maneira com a teria de Alan Turing.
O primeiro problema dizia respeito ao "Problema de Cantor do número cardinal do continuo" - se a cardinalidade do contínuo representava o próximo número transfinito após a cardinalidade dos números naturais ou se havia outros números transfinitos entre aqueles a serem considerados. O trabalho de Georg Cantor tornou-se bem aceito pela comunidade matemáticos e Hilbert era um dos maiores defensores de Cantor naquela época. Resumidamente, significa perguntar se é possível “medir” outros tipos de infinito entre os dois já identificados pelas teorias de Cantor
30 Yandell, Hilbert’s Problems and Their Solvers, 395.
Tradução: Por mais inacessíveis que estes problemas possam parecer para nós e, por mais indefesos que estejamos diante deles, temos, no entanto, a firme convicção de que sua solução deve ser acompanhada por um número finito de processos puramente lógicos. Esta convicção da resolvabilidade de cada problema matemático é um poderoso incentivo para o resolvedor. Nós ouvimos dentro de nós a chamada perpétua: existe o problema. Procure sua solução. Você pode encontrá-lo por pura razão, pois na matemática não há ignorabimus.
O segundo problema tinha o foco sobre "A compatibilidade dos axiomas da aritmética". Hilbert baseou a consistência de sua geometria na consistência do sistema dos números reais e da aritmética. Agora, os números reais precisavam de uma axiomatização. Também era exigido que fosse provado que eles não seriam contraditórios, ou seja, que através de um número finito de passos lógicos baseados neles nunca poderiam levar a resultados contraditórios.31
O problema 10 na língua alemã de Hilbert: “Entscheidung der Losbarkeit einer diophantischen Gleichung”. Entscheidung, é uma palavra muito relevante neste contexto. Ela pode ser interpretada com significado de decisão, decidibilidade ou determinação. O décimo problema de Hilbert foi lido na íntegra, e está relacionado com o conceito de decisão:
Determination of the solution of a diophantine equation. Given a Diophantine equation with
any number of unknown quantities and with rational integral numerical coefficients, devise a
process whereby it can be determined by a finite number of operations if the equation is solvable in
rational integers.32
Enquanto alguns matemáticos trabalhavam com formas específicas de equações de diofantinas33, Hilbert exigia um processo geral de decisão. Vale observar que ele não está
solicitando um método geral para resolver todas as equações diofantinas. O que ele queria é uma determinação da resolvabilidade. Considere equações diofantinas arbitrárias: são solúcionáveis? Existe uma solução? Hilbert defendia a existência de um processo que determina a solução. Precisa apenas ser elaborado e formalizado.
Os conceitos que Hilbert utiliza para definir este problema estabeleceram o tom para este
31 Yandell, The Honors Class, 397. 32 Yandell, The Honors Class, 496.
Tradução: Determinação da solução de uma equação diofantina. Dada uma equação diofantina com qualquer número de quantidades desconhecidas e com coeficientes numéricos integrais racionais, conceber um processo segundo o qual ele possa ser determinado por um número finito de operações se a equação é solucionável em inteiros racionais
33 Equações diofantinas são equações que permitem que suas variáveis possuam apenas valores inteiros. Ex: 3x + 5y = 41. O par ordenado é (2, 7).
problema específico de decisão e outros similares nos próximos anos. Ele queria um processo com um número finito de etapas - operações bem determinadas e executadas em tempo finito. Em suma, Hilbert queria um algoritmo, lembrando que não existe registro que essa palavra - tanto em inglês como em alemão – tinha sido utilizada na época, pelo menos não no sentido atual. O uso moderno da palavra só se tornou comum na década de 1960 já na literatura da computação digital.
Em 1900, Hilbert convidou sua audiência a “superar os obstáculos” do qual o século XX estava envolvido. Outros campos do conhecimento também seguiam este caminho. Os próprios físicos acreditavam que estavam à beira do conhecimento pleno da natureza.
Essas esperanças foram um tanto precipitadas. Em 1905 o físico Albert Einstein (1879-1955) publicou uma tese de doutorado e quatro outros trabalhos que estabeleceram os princípios básicos da relatividade e da mecânica quântica.
A essa altura, já não havia mais aquela sensação de que o universo era euclidiano linear e totalmente determinista. O espaço e o tempo perderam suas amarras em um universo relativista. Na sequência, outro resultado impactante na mecânica quântica seria algo conhecido como o Princípio
da Incerteza34 em 1927.
A matemática do século XX não era imune a essas perturbações. As primeiras notas chocantes soaram em 1902. Gottlob Frege (1948-1925), nascido em Wismar, na Alemanha, em 1848, recebeu seu Ph. D em Gotemburgo duas décadas antes das ideias de Hilbert chegarem por lá e depois começou a ensinar na Universidade de Jena, onde ficaria por mais 44 anos. O primeiro volume do trabalho da sua obra principal, The Grundgesetze der Arithmetik, foi publicado em 1893. Este trabalho tinha por objetivo um desenvolvimento sistemático de toda a matemática, através de um estreito relacionamento entre lógica e matemática, hoje um programa mais conhecido como logicismo. Nesta época, o primeiro volume de Grundgesetze der Arithmetik atraiu alguns leitores. Bertrand Russell (1872-1970) foi um deles, cujos primeiros artigos em matemática foram
34 Esta teoria representa uma lei que diz que existe um limite fundamental para o que podemos saber sobre o
comportamento das partículas elementares da natureza. Esta teoria foi desenvolvida pelo físico alemão Werner Karl Heisenberg (1901-1976). Vide: http://www.explicatorium.com/biografias/werner-heisenberg.html
publicados no reinado de Victoria.35
Em 1902, Russell estava trabalhando no livro The Principles of Mathematics publicado no ano seguinte. Nele havia a citação da descoberta de um problema nas teorias de Frege. Os conjuntos podem ter outros conjuntos como membros, e os conjuntos podem até se conter como membros de si próprios. Russell então questionou: e o conjunto que contém todos os conjuntos que não são membros de si mesmo? Esse conjunto se contém? Se não, então, é um conjunto que não se mantém, "então" ele precisa se conter, mas se ele se conter, então não é mais um conjunto que não se contém. Foi identificado então um paradoxo. Este paradoxo ficou conhecido como o Paradoxo de Russell, e tornou-se o mais recente dos vários paradoxos que têm atormentado os matemáticos há pelo menos dois milênios. Russell depois fez uma analogia com um paradoxo do barbeiro. O barbeiro da cidade que raspa a barba de todos aqueles que não se barbeiam na cidade. Mas daí quem raspa a barba do barbeiro?
No mesmo ano Russell escreveu uma carta à Frege perguntando sobre o conjunto que contém todos os conjuntos, mas que não contém a si mesmo. O paradoxo apontava um grande golpe ao trabalho de Frege. Ele rapidamente escreveu no apêndice do segundo volume de Grundgesetze
der Arithmetik, descrevendo que o problema não poderia ser resolvido. O paradoxo era uma falha
básica que atravessava o seu principal trabalho.
O paradoxo que Bertrand Russell teve como resultado a impossibilidade dos conjuntos serem estabelecidos como membros de si próprios. Se esse conceito auto referencial fosse removido, a teoria dos conjuntos poderia voltar como instrumento de conhecimento seguro entre os matemáticos. Russell assim estabeleceu a teoria dos tipos que discutido um pouco em seu Principia
Mathematica e em seguida melhor detalhado num artigo de 1908. Russell para amenizar o impacto
do seu paradoxo, sugeriu a construção de uma hierarquia de conjuntos. Simplificando, sua estrutura seria como: na parte inferior da hierarquia, um conjunto de tipo 1 poderia conter apenas uma certa
espécie de indivíduos (por exemplo, números). Os conjuntos de Tipo 1 somente poderiam pertencer a conjuntos de tipos 2. Os conjuntos de Tipo 2 somente poderiam pertencer a conjuntos de Tipo 3 e assim por diante.
Quando Russell publicou esse artigo de 1908, algo muito maior estava em andamento. Russell estava pronto para dar início ao trabalho em um segundo volume dos Principia
Mathematica, e o ex-professor e mentor de Russell, Alfred North Whitehead (1861-1947), também
estava se preparando para escrever um segundo volume para seu livro anterior, A Treatise on
Universal Álgebra (1898). Russell e Whitehead perceberam que seus objetivos, de certa forma, se
sobrepunham e em 1906, começaram a colaborar no que se tornaria um dos livros mais influentes sobre lógica em sua época. As quase 2000 páginas de Principia Mathematica de Whitehead e Bertrand Russell foram publicadas em três volumes em 1910, 1912 e 1913. Vale lembrar que, Whitehead, Russell eram membros de Cambridge, a sociedade da elite dedicada à apresentação de artigos filosóficos, facilitando assim, a divulgação e disseminação da obra para em várias partes da Europa.
Em 1904, Hilbert abordou o Terceiro Congresso Internacional de Matemáticos "Sobre Fundamentos da Lógica e Aritmética", no qual ele citou sobre algumas passagens da publicação do
Principia apresentando o logicismo como centro das questões das fundamentações da matemática.
Durante a pesquisa não consegui encontrar referências indicando se houve algum tipo de colaboração mútua entre Hilbert e Russell sobre as questões de fundamentos, mesmo após a publicação do Principia. Ao que tudo indica, os eventos mundiais intercederam nessa possível aproximação. Em 4 de agosto de 1914, a Grã-Bretanha declarou a guerra à Alemanha, que já havia declarado guerra à Rússia e à França. A Grande Guerra logo duraria até 1918.
Em 11 de setembro de 1917, Hilbert novamente publicou um artigo no campo de fundamentos da matemática endereçado para a Sociedade Matemática Suiça em Zurique com o tema "Pensamento Axiomático". Embora a guerra ainda estivesse acontecendo, Hilbert conseguiu se
encontrar com matemáticos de outros países em Zurique, porque a Suíça manteve a neutralidade. Neste discurso, podemos ouvir as origens do que se conheceu no início da década de 1920, como o Programa de Hilbert, que se afastou do lógico, mas buscou como objetivo a axiomatização rigorosa de toda matemática. Para analisar sistemas axiomáticos, Hilbert concebeu a ideia de metamatemática e uma "teoria da prova" que utilizariam a lógica matemática para tirar conclusões sobre a estrutura de outros sistemas matemáticos.
Logo este modo de abordagem em matemática ficaria conhecida como formalismo36. Na concepção de Hilbert, a construção de um sistema matemático formal começa com definições, axiomas e regras para construir teoremas a partir dos axiomas. Idealmente, o sistema resultante deve exibir quatro qualidades inter-relacionadas (Independência, Consistência, Completude, Decidibilidade).
Independência significa que não podem existir redundância entre os axiomas, de modo que
não haja axioma que possa ser derivado de outros axiomas.
A Consistência é uma das características mais importante para qualquer sistema axiomático segundo Hilbert. Dado um conjunto de axiomas, não deve ser possível derivar como resultado dois teoremas que se contradizem. Por exemplo, suponha que seja criado algum novo sistema matemático. Este sistema contém axiomas e regras que podem ser utilizados para derivar teoremas dos axiomas estabelecidos. Isso pode ser feito estabelecendo-se algumas regras. Essas regras implicam a sintaxe do que é conhecido como fórmula bem formada (muitas vezes chamada de wff,). É possível montar uma fórmula bem formada sem primeiro derivá-la do sistema e então demonstrar que é uma consequência dos axiomas.
Para efeito de ilustração será demonstrado duas fórmulas bem formadas em um sistema matemático hipotético. Abaixo está a primeira fórmula denominada A:
cachorro = animal
36 Reid, Hilbert, 150.
O termo formalismo em matemática tem significado como sistemas formais que geralmente pela noção de um cálculo permite mudar as operações com objetos e símbolos correspondentes a eles mesmos.
O sinal de igual significa que as duas expressões de cada lado são consideradas equivalentes de alguma forma. Aqui está a fórmula B:
cachorro != animal
É o mesmo que a fórmula A, exceto que um sinal não-igual (!=) substituiu o sinal de igual. Fórmula B é a negação ou contradição de A.
As fórmulas A e B são opostas. Somente uma ou a outra pode ser verdadeira. Vale lembrar que, o conceito de "verdade" é muitas vezes delicado na lógica matemática quanto na vida real. Não temos a pretensão de esgotar esse assunto neste trabalho. Simplesmente será definido o que significava mais ou menos harmonioso com os pressupostos axiomáticos e com as regras da lógica dita clássica37 ou aristotélica utilizada na aquela época.
Se for possível derivar ambas as fórmulas A e B dos axiomas, então o sistema axiomático é inconsistente. Além de não ser consistente, o sistema perde validade porque a incoerência se espalha em todo o sistema e torna tudo igualmente falso e verdadeiro ao mesmo tempo.
Quanto a Completude, pode ser descrita como a capacidade de derivar todas as fórmulas verdadeiras dos axiomas. Obtém-se fórmulas verdadeiras utilizando-se provas. Se você não puder derivar a fórmula A ou B do axioma (isto é, nem A nem B são demonstráveis), significa então o que o sistema axiomático estará incompleto.
A distinção entre verdade e demonstrabilidade não é uma tarefa fácil de se conseguir: se algo não é provável, geralmente não podemos ter a certeza de que é verdadeiro, mas isso não impede de afirmar a verdade sem a prova correspondente. Por exemplo, hoje é amplamente aceito pela comunidade matemática que conforme a conjectura de Goldbach38, cada inteiro maior que 2 é a
soma de dois números primos. No entanto, é chamado de uma conjectura porque permanece sobre a lista de problemas matemáticos ainda não comprovados.
37 Stanford Encyclopedia of Philosophy, “Classical Logic,” Stanford Encyclopedia of Philosophy, https://plato.stanford.edu/entries/logic-classical
38 Stanford Encyclopedia of Philosophy, “Enumerative Induction,” Stanford Encyclopedia of Philosophy, https://plato.stanford.edu/entries/mathematics-nondeductive/
Isso se torna complicado porque demonstrabilidade é um conceito sintático, baseia-se nos axiomas do sistema e nas regras utilizadas para derivar os teoremas. A verdade, no entanto, é um conceito semântico que depende do significado real que damos aos símbolos no sistema.
2.3 O problema de decisão (Entscheidungsproblem)
Outro importante conceito para Hilbert foi de Decidibilidade ou Entscheidung. Conceito que exigia um procedimento de decisão para responder se um determinado problema tem solução ou não. Pode-se supor que nem a fórmula A nem B podem ser demonstradas. O sistema está incompleto, mas o interessante é que pode existir um procedimento de decisão capaz de analisar as fórmulas A e B e chegar exatamente à mesma conclusão, ou seja, que não podem ser provadas. O procedimento de decisão existiria mesmo que o sistema não estivesse completo. Tal procedimento de decisão identificaria A ou B como verdadeiras, mesmo que nenhuma delas possam ser comprovadas no sentido de serem deriváveis dos axiomas.
Cabe observar que um procedimento de decisão seria mais interessante não sobre a determinação da não demonstrabilidade, mas sim sobre o que se conjectura como verdade.
Hilbert comentou pela primeira vez sobre a ideia de um procedimento de decisão em seu discurso em Paris 1900 relacionando com problemas das equações diofantinas citadas anteriormente. Em 1917 em Zurique sobre "Pensamento Axiomático" Hilbert também abordou o problema da decisão de uma questão matemática em um número finito de operações. De todos os aspectos dos sistemas axiomáticos, segundo ele, a Decidibilidade é o mais conhecido e mais discutido, pois ele passa sobre a essência do pensamento matemático.
Não se sabe muito bem ao certo quando Hilbert veio a utilizar em documento as palavras
Entscheidung composta com Problem pela primeira vez, mas o primeiro uso registrado da palavra
composta foi feito por um de seus assistentes, Heinrich Behmann (1891-1970), em uma conferência para a Sociedade Matemática de Gottingen em 10 de maio de 1921, intitulado
Entscheidungsproblem und Algebra der Logik39.
It is of fundamental importance for the character of this problem that only mechanical calculations
according to given instructions, without any thought activity in the stricter sense, are admitted as
tools for the proof. 40
No ano letivo de 1922, Hilbert ministrou um curso nomado como Fundamentos Lógicos da
Matemática e também começou a usar a palavra Entscheidungsproblem. Este foi o ano em que o
assistente de Hilbert Wilhelm Ackermann (1896-1962) o ajudou a reunir as aulas do curso em um livro curto publicado sob o título. Grundzuge der Theoretischen Logik (traduzido como Principles
of Mathematical Logic), um livro que hoje é conhecido como “Hilbert & Ackermann”.
Hilbert & Ackermann não chegaram a aprofundar o escopo do Principia Mathematica. O livro abrangeu apenas os fundamentos da lógica matemática, além de qualquer teoria de lógica definida. No entanto, Hilbert & Ackermann provaram ser bastante influentes para além das 120 páginas publicadas no livro. No núcleo do livro havia uma explicação de cálculo funcional restrito, mais conhecido hoje sob o termo lógica de predicado de primeira ordem, que incluiu questões relativas à completude e decisão.
Um dos leitores de Hilbert & Ackermann sobre as questões de fundamentos era um estudante de matemática austríaco de Viena chamado Kurt Godel (1906-1978).
Whether the axiom system in complete, at least in the sense that all logical formulas that are
correct for every domain of individuals can be derived from it, is still an unresolved question.41
Esta passagem está se referindo a fórmulas da lógica de primeira ordem que são verdadeiras
39 Reid, Hilbert, 152. 40 Reid, Hilbert, 158.
Tradução: É de fundamental importância para o caráter deste problema que somente cálculos mecânicos de acordo com instruções fornecidas, sem qualquer atividade de pensamento no sentido mais estrito, sejam admitidos como ferramentas para a prova.
independentemente da interpretação das funções proposicionais conceito hoje conhecido como predicados. Todas essas formas universalmente válidas, suas fórmulas são deriváveis dos axiomas? Godel tomou o desafio e apresentou em sua tese de doutorado de 1929 que a lógica do predicado de primeira ordem estava completa nesse sentido. Isto ficou conhecido como Teorema da Completude
de Godel.
A completude da lógica de predicados de primeira ordem foi um resultado importante. Ele mostrou que os axiomas e os mecanismos de prova eram adequados para derivar todas as declarações que fossem válidas dentro do sistema. No entanto, a lógica matemática não existe por si só. Um dos principais propósitos da lógica de predicados foi fornecer uma estrutura sólida e fundamental para os números e a aritmética. Para que essa realização fosse bem-sucedida seria necessário adicionar axiomas ao sistema lógico para estabelecer a teoria dos números. Esse foi o principal objetivo de Principia Arithmetica. Depois de adicionar esses axiomas, a lógica de predicados de primeira ordem estará completa em um sentido muito mais profundo, sendo cada asserção ou negação demonstráveis no sistema. Este foi o problema abordou por Godel em seguida.
Em 7 de setembro de 1930, Godel anunciou que havia mostrado que os axiomas adicionados à lógica de predicados de primeira ordem que permitiam a derivação da aritmética (incluindo adição e multiplicação) deixaram o sistema incompleto. Ele derivou desse sistema uma fórmula e sua negação. Se a aritmética for consistente, então essas declarações devem ser verdadeiras. No entanto, elas não podem ser demonstradas.
Pensando num conceito mais tarde denominado como numeração de Godel42, ele utilizou a aritmética desenvolvida dentro do sistema para associar cada fórmula e todas as provas como um número. Então desenvolveu uma fórmula auto afirmativa da sua própria falta de demonstrabilidade. Essa formulação elaborada por Godel assemelha-se ao paradoxo do mentiroso - tudo o que eu digo
é uma mentira, incluindo esta afirmação, A fórmula não confirma absolutamente nada sobre sua
42 Stanford Encyclopedia of Philosophy, “Kurt Gödel,” Stanford Encyclopedia of Philosophy, https://plato.stanford.edu/entries/goedel
verdade ou sua falsidade, mas sim que não é demonstrável. Se a aritmética for consistente, essa fórmula não pode ser demonstrada, isso porque levaria a uma contradição. A fórmula deve ser verdadeira - mas verdadeira apenas no sentido matemático porque a verdade não é um conceito do próprio sistema lógico - o que significa que ele realmente não é demonstrável.
O artigo de Godel foi publicado no ano seguinte sob o título On Formally Undecidable
Propositions of Principia Mathematica and Related Systems I.43 O número romano indica que
Godel pretendia colocar em seu artigo informações adicionais, embora este artigo já trouxesse um impacto imediato e de forma negativa contrariando as expectativas da comunidade matemática.
Uma premissa crucial para o Teorema da Incompletude é que a aritmética seja consistente. Como corolário, Godel também mostrou que a prova de consistência para a aritmética dentro do sistema também era inviável. Como certas fórmulas não podiam ser demonstradas nem refutadas, era possível que essas fórmulas fossem inconsistentes. Isso não significa que a aritmética e a teoria elementar dos números sejam inconsistentes. O problema é que a consistência não pode ser demonstrada de dentro e apenas com recursos do próprio sistema. Isso já afeta praticamente todos os pilares do programa hilbertiano (Independência, Consistência e Completude)
Ao descobrir sobre o Teorema de Incompletude de Godel, David Hilbert teve uma reação de não aceitação das suas descobertas logo de imediato. Ele estava um tanto desacreditado, mas aos poucos ele começou a incorporar as descobertas de Godel em seu programa. O resultado foi tão estonteante que muitos matemáticos envolvidos com o programa de fundamentação simplesmente perderam interesse pela lógica matemática.
Russel começou a perseguir outros interesses, como escrever sobre filosofia, política e questões sociais. Ele ganhou o Prêmio Nobel de Literatura em 1950 em reconhecimento de seus variados escritos em que ele defende ideais humanitários e liberdade de pensamento. Nesta época, muitas pessoas até se esqueceram que ele era originalmente um matemático.
43 Godel, On Formally Undecidable Propositions,
https://monoskop.org/images/9/93/Kurt_G%C3%B6del_On_Formally_Undecidable_Propositions_of_Principia_Mat hematica_and_Related_Systems_1992.pdf
O matemático húngaro John von Neumann (1903-1957), que estava em Göttingen em meados da década 1920, também abandonou a lógica (termos teóricos) após Godel.
Para aqueles matemáticos que continuaram a explorar a lógica matemática restavam ainda problemas a serem resolvidos. Na edição de 1928 de Hilbert & Ackermann afirmaram de forma destacada que, o problema de decisão, era chamado de o principal problema da lógica matemática. A Teoria da Incompletude de Godel não implicou que um processo de decisão também não pudesse existir, ao contrário isso significava que tal processo de decisão não poderia determinar a verdade de qualquer fórmula arbitrária. Poderia, na melhor das hipóteses, determinar a demonstrabilidade de uma fórmula.
Nove páginas de Hilbert & Ackermann foram dedicadas ao problema de decisão em lógica de predicados de primeira ordem, e quase metade dessas páginas discutiram soluções do Problema de Decisão de casos especiais. Para diversos tipos de fórmulas em lógica matemática, os processos de decisão já tinham sido desenvolvidos. Nada indicava que um processo de decisão geral também não seria possível.
Porém em 1936, o matemático norte americano Alonzo Church (1903-1995) chegou a conclusão que “The general case of the Entscheidungsproblem of the engere Funrtionenralrul -
first-order predicate logic - in unsovable.”44. Trabalhando paralelamente a Church e utilizando ou
outro tipo de metodologia, Alan Turing chegou à mesma conclusão, quando ele afirma no início de seu artigo que o problema de decisão de Hilbert não pode ter solução, conforme será detalhado no próximo capítulo.
Quando Church e Turing publicaram seus documentos, Hilbert já estava com 74 anos. Estes foram os seus últimos anos. Ele morreu em 1943. No ápice de Hilbert em Gottingen utilizou as palavras. “Nós devemos conhecer. Nós temos que conhecer”, entretanto atualmente, quando as pessoas lêem estas palavras, imediatamente o que podem pensar é sobre as teorias de Godel,
44 Jstor, “A Note on the Entscheidungsproblem,” Jstor,
CAPÍTULO 3 – ALAN TURING E TEORIA DA COMPUTAÇÃO
3
.1 O documento: Comp. Numbers an Application to the Entscheidungsproblem
Alan Mathison Turing nasceu em Londres no ano de 1912 numa família inglesa de classe média alta. Seu pai estava no Serviço Civil indiano e sua mãe era filha do engenheiro-chefe da Estrada de Ferro de Madras. Em 1913 seus pais voltaram para a Índia – deixando Turing ainda bebê e seu irmão de cinco anos aos cuidados de um coronel reformado e a mulher dele em St. Leonards-on-Sea Sussex. Quando sua mãe voltou para uma visita mais prolongada em 1916, resolveu trazê-los definitivamente para Inglaterra. A ideia da mãe de Turing era que ele conseguisse ingressar em alguma escola pública, para tanto fez com que o filho aprendesse um pouco de latim, requisito principal para o exame comum de admissão da maioria dos colégios públicos da época.
Quando Alan Turing completou 10 anos, teve acesso a um livro de Edwin Tenney Brewster entitulado The natural wonders every child should know - As maravilhas naturais que cada criança deve conhecer. Este livro abriu os olhos do jovem para a ciência, Turing disse mais tarde, e talvez isso tivesse uma influência ainda mais profunda em sua concepção da relação entre seres humanos e máquinas. "Pois, é claro, o corpo é uma máquina", o livro afirma:
It is a vastly complex machine, many, many times more complicated than any machine ever
made with hands; but still after all a machine. It has been likened to a steam engine. But that was
before we knew as much about the way it works as we know now. It really is a gas engine; like the
engine of an automobile, a motor boat, or a flying machine.45
Dois séculos separam a vida de Alan Turing da de Julien de La Mettrie Offray (1709-1751),
45 Hodges, Alan Turing, 13. Tradução: É uma máquina muito complexa, muitas vezes mais complexa do que qualquer máquina já feita manualmente, mas ainda assim depois de tudo continua sendo uma máquina. Tem sido comparada a máquina a vapor. Mas isso foi antes de nós conhecermos sobre a forma como ele funciona como o conhecemos agora. É realmente um motor a gasolina; como o motor de um automóvel, um barco a motor ou uma máquina voadora.
