DINÂMICA DO MOVIMENTO CIRCULAR PROFESSOR FABIO TEIXEIRA

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DINÂMICA DO MOVIMENTO CIRCULAR PROFESSOR FABIO TEIXEIRA

1. (Uff 2011) Medidas para facilitar o uso de bicicletas como meio de transporte individual estão entre aquelas frequentemente tomadas para diminuir a produção de poluentes pelo trânsito urbano. Numa bicicleta, o freio é constituído por sapatas de borracha que, quando acionadas, comprimem as rodas . Analise as três possibilidades de posicionamento das sapatas indicadas em vermelho nas figuras a seguir. Chame de T1, T2 e T3 o tempo necessário para a parada total das rodas da bicicleta com cada um desses arranjos.

Supondo que a velocidade inicial das bicicletas é a mesma e que a força feita pelas sapatas é igual nos três casos, é correto, então, afirmar que

a) T1 = T2 = T3 b) T1 > T2 > T3 c) T₁ > T₂ = T₃ d) T1 < T2 = T3 e) T1 < T2 < T3

2. (Udesc 2011) Considere o “looping” mostrado na Figura, constituído por um trilho inclinado seguido de um círculo.

Quando uma pequena esfera é abandonada no trecho inclinado do trilho, a partir de determinada altura, percorrerá toda a trajetória curva do trilho, sempre em contato com ele.

Sendo v a velocidade instantânea e a a aceleração centrípeta da esfera, o esquema que melhor representa estes dois vetores no ponto mais alto da trajetória no interior do círculo é:

a)

b)

c)

d)

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3. (Cesgranrio 2011) Uma esfera de massa igual a 3 kg está amarrada a um fio inextensível e de massa desprezível. A esfera gira com velocidade constante em módulo igual a 4 6

15 m/s, formando um cone circular imaginário, conforme a figura abaixo.

O fio permanece esticado durante todo o movimento, fazendo um mesmo ângulo com a vertical, cuja tangente é 8/15. A componente horizontal da tração no fio vale 16 N e é a força centrípeta responsável pelo giro da esfera. O volume do cone imaginário, em cm³, é

a) 280

b) 320

c) 600

d) 960

e) 1800

4. (Uesc 2011)

A figura representa as forças que atuam sobre um piloto que tomba sua motocicleta em uma curva para percorrê-la com maior velocidade.

Sabendo-se que a massa do conjunto moto-piloto é igual a m, a inclinação do eixo do corpo do piloto em relação à pista é θ, o módulo da aceleração da gravidade local é g e que o raio da curva circular é igual a R, contida em um plano horizontal, em movimento circular uniforme, é correto afirmar que a energia cinética do conjunto moto-piloto é dada pela expressão

a) mR2

2gtgθ b) mRtg

2g θ

c) mgR 2tgθ d) mgRtg

2 θ

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e) ^{m gRtg}

 

²

2 θ

5. (Epcar (Afa) 2011) Um garoto, que se encontra em repouso, faz girar, com velocidade constante, uma pedra de massa m presa a um fio ideal. Descrevendo uma trajetória circular de raio R num plano vertical, essa pedra dá diversas voltas, até que, em um dado instante, o fio arrebenta e ela é lançada horizontalmente, conforme ilustra a figura a seguir.

Sujeita apenas à aceleração da gravidade g, a pedra passou, então, a descrever uma trajetória parabólica, percorrendo uma distância horizontal x equivalente a 4R.

A tração experimentada pelo fio toda vez que a pedra passava pelo ponto onde ele se rompeu era igual a a) mg

b) 2 mg c) 3 mg d) 4 mg

6. (Upe 2010) Um coelho está cochilando em um carrossel parado, a uma distância de 5 m do centro. O carrossel é ligado repentinamente e logo atinge a velocidade normal de funcionamento na qual completa uma volta a cada 6s.

Nessas condições, o coeficiente de atrito estático mínimo entre o coelho e o carrossel, para que o coelho permaneça no mesmo lugar sem escorregar, vale:

Considere π = 3 e g = 10 m/s². a) 0,2

b) 0,5 c) 0,4 d) 0,6 e) 0,7

7. (Ufop 2010) Uma estação espacial é projetada como sendo um cilindro de raio r, que gira em seu eixo com velocidade angular constante ω, de modo a produzir uma sensação de gravidade de 1g = 9,8 m/s² nos pés de uma pessoa que está no interior da estação.

Admitindo-se que os seus habitantes têm uma altura média de h = 2 m, qual deve ser o raio mínimo r da estação, de modo que a variação da gravidade sentida entre os pés e a cabeça seja inferior a 1% de g?

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8. (Unesp 2010) Curvas com ligeiras inclinações em circuitos automobilísticos são indicadas para aumentar a segurança do carro a altas velocidades, como, por exemplo, no Talladega Superspeedway, um circuito utilizado para corridas promovidas pela NASCAR (National Association for Stock Car Auto Racing). Considere um carro como sendo um ponto material percorrendo uma pista circular, de centro C, inclinada de um ângulo α e com raio R, constantes, como mostra a figura, que apresenta a frente do carro em um dos trechos da pista.

Se a velocidade do carro tem módulo constante, é correto afirmar que o carro a) não possui aceleração vetorial.

b) possui aceleração com módulo variável, direção radial e no sentido para o ponto C.

c) possui aceleração com módulo variável e tangente à trajetória circular.

d) possui aceleração com módulo constante, direção radial e no sentido para o ponto C.

e) possui aceleração com módulo constante e tangente à trajetória circular.

9. (Unesp 2010) Algumas montanhas-russas possuem inversões, sendo uma delas denominada loop, na qual o carro, após uma descida íngreme, faz uma volta completa na vertical. Nesses brinquedos, os carros são erguidos e soltos no topo da montanha mais alta para adquirirem velocidade. Parte da energia potencial se transforma em energia cinética, permitindo que os carros completem o percurso, ou parte dele. Parte da energia cinética é novamente transformada em energia potencial enquanto o carro se move novamente para o segundo pico e assim sucessivamente.

Numa montanha-russa hipotética, cujo perfil é apresentado, o carro (com os passageiros), com massa total de 1 000 kg, é solto de uma altura H = 30 m (topo da montanha mais alta) acima da base de um loop circular com diâmetro d = 20 m.

Supondo que o atrito entre o carro e os trilhos é desprezível, determine a aceleração do carro e a força vertical que o trilho exerce sobre o carro quando este passa pelo ponto mais alto do loop. Considere g = 10 m/s².

10. (Pucsp 2010) Um automóvel de massa 800 kg, dirigido por um motorista de massa igual a 60 kg, passa pela parte mais baixa de uma depressão de raio = 20 m com velocidade escalar de 72 km/h. Nesse momento, a intensidade da força de reação que a pista aplica no veículo é: (Adote g = 10m/s²).

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a) 231512 N b) 215360 N c) 1800 N d) 25800 N e) 24000 N

11. (Ufla 2010) Um corpo desliza sem atrito ao longo de uma trajetória circular no plano vertical (looping), passando pelos pontos, 1,2,3 e 4, conforme figura a seguir. Considerando que o corpo não perde contato com a superfície, em momento algum, é correto afirmar que os diagramas que melhor representam as direções e sentidos das forças que agem sobre o corpo nos pontos 1,2,3 e 4 são apresentados na alternativa:

a)

b)

c)

d)

12. (Ufc 2010) Uma partícula de massa m está pendurada no teto através de um fio ideal de comprimento l. Determine o período, sabendo que a partícula realiza um movimento circular uniforme horizontal de raio a, onde l > a.

Despreze atritos e considere a aceleração da gravidade local constante e de módulo igual a g. A seguir, assinale a alternativa que apresenta corretamente esse período.

a) 2 l g b) 2 l²a / g² c) ²^



^{la g}²



^{1 4}

d) T = 2  

 

 

2 2 14

2

l a g e) T = 2  

 

 

2 2 14

2

l a g

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13. (Ufla 2010) Uma esfera de massa 500 gramas desliza em uma canaleta circular de raio 80 cm, conforme a figura a seguir, completamente livre de atrito, sendo abandonada na posição P₁. Considerando g = 10 m/s², é correto afirmar que essa esfera, ao passar pelo ponto P2 mais baixo da canaleta, sofre uma força normal de intensidade:

a) 5N b) 20N c) 15N d) πN

14. (Ufsc 2010) Rotor é um brinquedo que pode ser visto em parques de diversões.Consiste em um grande cilindro de raio R que pode girar em torno de seu eixo vertical central. Após a entrada das pessoas no rotor, elas se encostam nas suas paredes e este começa a girar. O rotor aumenta sua velocidade de rotação até que as pessoas atinjam uma velocidade v, quando, então, o piso é retirado. As pessoas ficam suspensas, como se estivessem “ligadas”

à parede interna do cilindro enquanto o mesmo está girando, sem nenhum apoio debaixo dos pés e vendo um buraco abaixo delas.

Em relação à situação descrita, é CORRETO afirmar que:

01) a força normal, ou seja, a força que a parede faz sobre uma pessoa encostada na parede do rotor em movimento, é uma força centrípeta.

02) se duas pessoas dentro do rotor tiverem massas diferentes, aquela que tiver maior massa será a que terá maior chance de deslizar e cair no buraco abaixo de seus pés.

04) o coeficiente de atrito estático entre a superfície do rotor e as roupas de cada pessoa dentro dele deve ser maior ou igual a

2

gR. ν

08) o coeficiente de atrito estático entre a superfície do rotor e as roupas de cada pessoa dentro dele é proporcional ao raio do rotor.

16) o coeficiente de atrito estático entre a superfície do rotor e as roupas de cada pessoa dentro dele é proporcional à velocidade v do rotor.

15. (Puccamp 2010) Num trecho retilíneo de uma pista de automobilismo há uma lombada cujo raio de curvatura é de 50 m. Um carro passa pelo ponto mais alto da elevação com velocidade v, de forma que a interação entre o veículo e o solo (peso aparente) é mg

5 neste ponto. Adote g = 10 m/s². Nestas condições, em m/s, o valor de v é

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a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) 50

16. (Ufpr 2010) Convidado para substituir Felipe Massa, acidentado nos treinos para o grande prêmio da Hungria, o piloto alemão Michael Schumacker desistiu após a realização de alguns treinos, alegando que seu pescoço doía, como consequência de um acidente sofrido alguns meses antes, e que a dor estava sendo intensificada pelos treinos. A razão disso é que, ao realizar uma curva, o piloto deve exercer uma força sobre a sua cabeça, procurando mantê-la alinhada com a vertical.

Considerando que a massa da cabeça de um piloto mais o capacete seja de 6,0 kg e que o carro esteja fazendo uma curva de raio igual a 72 m a uma velocidade de 216 km/h, assinale a alternativa correta para a massa que, sujeita à aceleração da gravidade, dá uma força de mesmo módulo.

a) 20 kg.

b) 30 kg.

c) 40 kg.

d) 50 kg.

e) 60 kg.

17. (Ita 2009) Considere um pêndulo simples de comprimento L e massa m abandonado da horizontal. Então, para que não arrebente, o fio do pêndulo deve ter uma resistência à tração pelo menos igual a:

a) mg.

b) 2 mg.

c) 3 mg.

d) 4 mg.

e) 5 mg.

18. (Enem 2009) O Brasil pode se transformar no primeiro país das Américas a entrar no seleto grupo das nações que dispõem de trens-bala. O Ministério dos Transportes prevê o lançamento do edital de licitação internacional para a construção da ferrovia de alta velocidade Rio-São Paulo. A viagem ligará os 403 quilômetros entre a Central do Brasil, no Rio, e a Estação da Luz, no centro da capital paulista, em uma hora e 25 minutos.

Disponível em: http://oglobo.globo.com. Acesso em: 14 jul. 2009.

Devido à alta velocidade, um dos problemas a ser enfrentado na escolha do trajeto que será percorrido pelo trem é o dimensionamento das curvas. Considerando-se que uma aceleração lateral confortável para os passageiros e segura para o trem seja de 0,1 g, em que g é a aceleração da gravidade (considerada igual a 10 m/s²), e que a velocidade do trem se mantenha constante em todo o percurso, seria correto prever que as curvas existentes no trajeto deveriam ter raio de curvatura mínimo de, aproximadamente,

a) 80 m.

b) 430 m.

c) 800 m.

d) 1.600 m.

e) 6.400 m.

19. (Puc-rio 2009) Um brinquedo de parque de diversões consiste (veja as figuras a seguir) de um eixo vertical girante, duas cabines e um suporte para os cabos que ligam o eixo às cabines. O suporte é uma forte barra horizontal de aço, de L = 8,0 m de comprimento, colocada de modo simétrico para poder sustentar as cabines. Cada cabo mede d = 10 m.

Quando as pessoas entram nas cabines, o eixo se põe a girar e as cabines se inclinam formando um ângulo ? com a vertical. O movimento das cabines é circular uniforme, ambos de raio R. Considere a massa total da cabine e passageiro como M = 1000 kg.

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Suponha que θ = 30^°. Considere g = 10 m/s² para a aceleração gravitacional e despreze todos os efeitos de resistência do ar.

a) Desenhe na figura anterior o raio R de rotação, para a trajetória da cabine do lado direito, e calcule seu valor.

b) Desenhe na figura anterior as forças agindo sobre a cabine do lado esquerdo. Qual a direção e o sentido da força resultante Fr sobre esta cabine?

c) Sabendo que as forças verticais sobre a cabine se cancelam, calcule a tensão no cabo que sustenta a cabine.

d) Qual o valor da força centrípeta agindo sobre a cabine?

20. (Pucmg 2009) Um objeto percorre uma circunferência em movimento circular uniforme. A força resultante sobre esse objeto:

a) é nula, porque não há aceleração.

b) é dirigida para o centro.

c) é tangente à velocidade do objeto.

d) tem sentido contrário ao da velocidade.

21. (Udesc 2009) Um carro de massa m = 1000 kg com velocidade escalar constante de 72 km/h trafega por uma pista horizontal quando passa por uma grande ondulação, conforme figura a seguir e mantém a mesma velocidade escalar.

Considerando que essa ondulação tenha o formato de uma circunferência de raio R = 50 m. Calcule, no ponto mais alto da pista:

a) A força centrípeta no carro.

b) A força normal.

(Dado: g = 10 m/s²)

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22. (Fuvest 2009) Um acrobata, de massa MA = 60 kg, quer realizar uma apresentação em que, segurando uma corda suspensa em um ponto Q fixo, pretende descrever um círculo de raio R = 4,9 m, de tal forma que a corda mantenha um ângulo de 45^° com a vertical. Visando garantir sua total segurança, há uma recomendação pela qual essa corda deva ser capaz de suportar uma tensão de, no mínimo, três vezes o valor da tensão a que é submetida durante a apresentação.

Para testar a corda, com ela parada e na vertical, é pendurado em sua extremidade um bloco de massa M₀, calculada de tal forma que a tensão na corda atenda às condições mínimas estabelecidas pela recomendação de segurança.

Nessa situação:

a) Represente no esquema a direção e o sentido das forças que agem sobre o acrobata, durante sua apresentação, identificando-as, por meio de um desenho em escala.

b) Estime o tempo tA, em segundos, que o acrobata leva para dar uma volta completa em sua órbita circular.

c) Estime o valor da massa M0, em kg, que deve ser utilizada para realizar o teste de segurança.

NOTE E ADOTE: Força centrípeta F_C = m v²/R Adote π= 3

23. (Ita 2009)

A partir do repouso, um carrinho de montanha russa desliza de uma altura H = 20 3m sobre uma rampa de 60^° de

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inclinação e corre 20 m num trecho horizontal antes de chegar a um loop circular, de pista sem atrito.

Sabendo que o coeficiente de atrito da rampa e do plano horizontal é 1

2, assinale o valor do raio máximo que pode ter esse loop para que o carrinho faça todo o percurso sem perder o contato com a sua pista.

a) R = 8 3m b) R = 4( 3- 1)m c) R = 8( 3- 1)m d) R = 4(2 3-1)m e) R = 40



^{3 1}



3

 m

24. (Ufsc 2009) "Ao fazermos uma curva, sentimos o efeito da força centrífuga, a força que nos "joga" para fora da curva e exige um certo esforço para não deixar o veículo sair da trajetória. Quanto maior a velocidade, mais sentimos essa força. Ela pode chegar ao ponto de tirar o veículo de controle, provocando um capotamento ou a travessia na pista, com colisão com outros veículos ou atropelamento de pedestres e ciclistas."

(DENATRAN. Direção defensiva. [Apostila], p. 31, maio 2005. Disponível em: http://<www.detran.sc.gov.br>

Acesso em: 9 out. 2008).

A citação anterior apresenta um erro conceitual bastante frequente. Suponha o movimento descrito analisado em relação a um referencial inercial, conforme a figura a seguir:

Em relação ao exposto, assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).

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01) Um veículo de massa m percorre uma determinada curva de raio R sem derrapar, com velocidade máxima de módulo constante v. Um segundo veículo com pneus idênticos ao primeiro, com massa quatro vezes maior (4 m), deverá percorrer a mesma curva sem derrapar, com uma velocidade máxima constante de módulo duas vezes menor (v/2).

02) Um veículo descrevendo uma curva em uma estrada plana certamente estará sob ação de uma força centrífuga, se opondo à força de atrito entre os pneus e o chão. Se o atrito deixar de atuar, o veículo será lançado radialmente para fora da curva em virtude dessa força centrífuga.

04) Como o veículo está em equilíbrio, atuam a força centrípeta (para "dentro" da trajetória) e a força centrífuga (para

"fora" da trajetória), com o mesmo módulo, a mesma direção e sentidos contrários. Essas forças constituem um par ação e reação, segundo a 3^a Lei de Newton.

08) Se o veículo percorrer uma curva, executando uma trajetória circular, com o módulo da velocidade constante, estará sujeito a uma aceleração. Pela 2^a Lei de Newton, essa aceleração é provocada pela resultante das forças que atuam sobre o veículo. Como a força normal e o peso se anulam, a força resultante é a força centrípeta que se origina do atrito entre os pneus e o chão.

16) Força é o resultado da interação entre dois ou mais corpos. Pela 3ª Lei de Newton: "se dois corpos A e B interagem, a força que A faz sobre B tem o mesmo módulo, a mesma direção e sentido contrário à força que B faz sobre A".

Logo, não há força centrífuga atuando sobre o veículo, pois se o veículo (corpo A) é jogado para fora da curva, ele deveria ser atraído por outro corpo, que naturalmente não existe.

25. (Udesc 2009) Na figura a seguir, o sul-africano Mark Shuttleworth, que entrou para história como o segundo turista espacial, depois do empresário norte-americano Dennis Tito, "flutua" a bordo da Estação Espacial Internacional que se encontra em órbita baixa (entre 350 km e 460 km da Terra).

Sobre Mark, é correto afirmar:

a) tem a mesma aceleração da Estação Espacial Internacional.

b) não tem peso nessa órbita.

c) tem o poder da levitação.

d) permanece flutuando devido à inércia.

e) tem velocidade menor que a da Estação Espacial Internacional.

26. (Uel 2009) Considere um satélite artificial que tenha o período de revolução igual ao período de rotação da Terra (satélite geossíncrono).

É CORRETO afirmar que um objeto de massa m dentro de um satélite desse tipo:

a) Fica sem peso, pois flutua dentro do satélite se ficar solto.

b) Apresenta uma aceleração centrípeta que tem o mesmo módulo da aceleração gravitacional do satélite.

c) Não sente nenhuma aceleração da gravidade, pois flutua dentro do satélite se ficar solto.

d) Fica sem peso porque dentro do satélite não há atmosfera.

e) Não apresenta força agindo sobre ele, uma vez que o satélite está estacionário em relação à Terra.

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27. (Unicamp 2008) O irrigador rotativo, representado na figura, é um dispositivo bastante utilizado para a irrigação de jardins e gramados. Para seu funcionamento, o fluxo de água de entrada é dividido em três terminais no irrigador. Cada um destes terminais é inclinado em relação ao eixo radial para que a força de reação, resultante da mudança de direção dos jatos de água no interior dos terminais, proporcione o torque necessário para girar o irrigador. Na figura, os vetores coplanares F1, F2 e F3 representam as componentes das forças de reação perpendiculares aos vetores r1, r2 e r3

respectivamente.

a) Se os módulos das forças F1, F2 e F3 valem 0,2 N e os módulos de r1, r2 e r3 são iguais a 6,0 cm, qual é o torque total (momento resultante das forças) sobre o irrigador, em relação ao seu centro, produzido pelos três jatos de água em conjunto?

b) Considere que os jatos de água sejam lançados horizontalmente da extremidade do irrigador a uma altura de 80 cm do solo e com velocidade resultante de 8,0 m/s. A que distância horizontal do ponto de lançamento, a água atinge o solo?

28. (Ufg 2008) A montanha-russa de um parque de diversão, esquematizada na figura a seguir, foi projetada com segurança para que a força resultante sobre um carrinho de massa m, ao passar pelo ponto C num trilho circular de raio R, fosse de mg

 

¹⁷ , após ter sido abandonado no ponto A.

Dessa forma, determine:

a) a altura h em função do raio R do trilho;

b) a força exercida pelo trilho sobre o carrinho no ponto D, em função de m e g .

29. (Ufrj 2008) Dois pêndulos com fios ideais de mesmo comprimento b estão suspensos em um mesmo ponto do teto.

Nas extremidades livres do fio, estão presas duas bolinhas de massas 2 m e m e dimensões desprezíveis. Os fios estão esticados em um mesmo plano vertical, separados e fazendo, ambos, um ângulo de 60^° com a direção vertical, conforme indica a figura.

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Em um dado momento, as bolinhas são soltas, descem a partir do repouso, e colidem no ponto mais baixo de suas trajetórias, onde se grudam instantaneamente, formando um corpúsculo de massa 3 m .

a) Calcule o módulo da velocidade do corpúsculo imediatamente após a colisão em função de b e do módulo g da aceleração da gravidade.

b) Calcule o ângulo θ que o fio faz com a vertical no momento em que o corpúsculo atinge sua altura máxima.

30. (Ufmg 2008) Devido a um congestionamento aéreo, o avião em que Flávia viajava permaneceu voando em uma trajetória horizontal e circular, com velocidade de módulo constante.

Considerando-se essas informações, é CORRETO afirmar que, em certo ponto da trajetória, a resultante das forças que atuam no avião é

a) horizontal.

b) vertical, para baixo.

c) vertical, para cima.

d) nula.

31. (Mackenzie 2008) Na ilustração a seguir, A e B são pontos de uma mesma reta tangente à circunferência no ponto B, assim como C e D são pontos de uma outra reta tangente a mesma circunferência no ponto C. Os segmentos BC e AD são paralelos entre si e a medida do ângulo θ e 1,30 rad.

Dados: Raio da circunferência = R med AB= med CD= 2R sen 0,65 rad = 0,6

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cos 0,65 rad = 0,8 sen 1,30 rad = 0,964 cos 1,30 rad = 0,267

Considerando que a massa do corpo 1 é m, enquanto ele estiver descrevendo o arco BC da circunferência ilustrada, a força centrípeta que nele atua tem intensidade

a) F_C = (m . v₁²)/2 b) FC = (m² . v1)/R c) FC = (m . v1)/2 d) F_C = 2 . m . v₁² e) FC = (m . v12

)/R

32. (Ita 2008) Numa brincadeira de aventura, o garoto (de massa M) lança-se por uma corda amarrada num galho de árvore num ponto de altura L acima do gatinho (de massa m) da figura, que pretende resgatar. Sendo g a aceleração da gravidade e H a altura da plataforma de onde se lança, indique o valor da tensão na corda, imediatamente após o garoto apanhar o gato para aterrisá-lo na outra margem do lago.

a) 2H

Mg 1 L

  

 

 

b)



^{M m g 1}



^{M m} ²^2H

M L

    

 

     

c) 2H

Mg 1 L

  

 

 

d)



^{M m g 1}



^M ²^2H

M m L

   

 

      

e)



^{m M g}



^M ²^2H ¹

M m L

  

 

     

33. (Ita 2008) Um cilindro de diâmetro D e altura h repousa sobre um disco que gira num plano horizontal, com

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velocidade angular ω. Considere o coeficiente de atrito entre o disco e o cilindro μ > D/h, L a distância entre o eixo do disco e o eixo do cilindro, e g a aceleração da gravidade. O cilindro pode escapar do movimento circular de duas maneiras: por tombamento ou por deslizamento. Mostrar o que ocorrerá primeiro, em função das variáveis.

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Gabarito:

Resposta da questão 1:

[E]

Quanto maior for o torque (momento) proporcionado pela força de frenagem, menor o tempo para a parada total.

Mas o torque de uma força é dado pelo produto da força pelo braço (distância da linha de ação da força até o eixo de rotação).

Na sequência apresentada, o torque é maior na primeira figura e menor na terceira. Portanto:

T₁ < T₂ < T_3.

[A]

A figura mostra a velocidade tangencial da esfera e as forças atuantes. A resultante será para baixo e a aceleração também.

[B]

2

2 2

4 6

mV / R V 8 15 8 96 96x15

tg R 0,08m 8cm

mg Rg 15 10R 15 15 x10R 80x15

α

 

 

 

         

R 8 8

tg h 15cm

h 15 h α    

2 2 3

1 1

V R h .8 .15 320 cm

3π 3π π

  

[C]

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Observe a figura abaixo.

No triângulo sombreado podemos afirmar:

R m v

mg F

tg F

₂

at n







 





 tg

v Rg g

R tg

v

² ₂

 

 2 tg

mRg tg

. Rg m 2 . v 1 . m 2 .

E

_C

1

²

[C]

A figura mostra as forças que agem na pedra imediatamente antes de o fio arrebentar.

No lançamento horizontal, o tempo de queda independe da velocidade inicial, dependendo apenas da altura (h) e da intensidade do campo gravitacional local (g), como na queda livre. Assim:

2 2 2R

 

1 2h 4R

h g t t t t .

2 g g g

      

No eixo x o movimento é uniforme, pois a velocidade horizontal de lançamento permanece constante. Então:

 

2

2 2 2

2

4R 4R 4R

x v t 4R v 4R v 16R v

g g g

v 4Rg.

   

          



Imediatamente antes de o fio arrebentar, as forças que agem na pedra são a tração e o peso, como mostra a figura, sendo a soma vetorial das duas a resultante centrípeta.

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 

2 C

m 4Rg

T P R T mg mv T mg T 4mg mg

R R

T 3mg.

           



[B]

A figura mostra as forças agindo no coelho.

A força de atrito é a componente centrípeta das forças que agem no coelho e a normal equilibra o peso.

2 2

N m R 2 R

mg m R N mg g

    

      

  ^{eq 01}

1rot 2 rad

1,0rd / s

6s 6s

    

Voltando à equação 01:

12 5 10 0,5

   

Dados: h = 2 m; g = 9,8 m/s²; a_c= 1%g = g

100= 0,098 m/s².

Um habitante (da cabeça aos pés) gira com a mesma velocidade angular () da nave.

A diferença entre as acelerações centrípetas nos pés

 

a^pec e na cabeça

 

a^cabc deve ser igual a 1% da aceleração da gravidade na Terra.

Para os pés: a^pe_c  ²r= g;

Para a cabeça: a^cab_c  ²(rh). Equacionando:

(19)

  

pe cab

c c

a a g

100   ² ²   g       ² ² ² g

r (r h) r r h

100 100 g  g ²(2)0,098  ² = 0,049.

Mas

²r = g  0,049r = 9,8  r = 9,8 0,049^

r = 200 m.

[D]

Conforme o diagrama anexo, as forças que agem no carro são o peso

 

^P ^{e a normal}

 

^N . Como o movimento é circular e uniforme, a resultante dessas forças é centrípeta (radial),

 

^R^C

tg = 

    



c c

c

R m a

a g tg

P m g . Como  e g são constantes, a aceleração centrípeta (radial, dirigida para o centro) tem módulo constante.

Dados: v0 = 0; m = 1.000 kg; H = 30 m; d = 20 m  r = 10 m.

Pela conservação Energia Mecânica, calculamos a velocidade no ponto B:

2

A B 2

Mec Mec

E E m g H m g d m v v 2g(H d)

    2     v² = 20(30 – 20)  v² = 200.

No ponto B, a resultante das forças que agem sobre o carro são radiais, portanto a aceleração é centrípeta.

a = a_c =

v2 200

r  10  a = 20 m/s².

No ponto B, a resultante é centrípeta e a força vertical que o trilho exerce no carro é a normal

 

^N ^.

Rc = N + P  ma = N + mg  N = m(a – g)  N = 1.000(20 – 10)  N = 10.000 N.

[D]

(20)

Dados: r = 20 m; v = 72 km/h = 20 m/s; m = (800 + 60) = 860 kg e g = 10 m/s².

Sendo FN a força de reação da pista e P o peso do conjunto, analisando a figura, temos que a resultante centrípeta é:

RC = FN – P  F_N = RC + P  F_N =

2 2

N

m v 860 (20)

m g F 860 (10) 17.200 8.600

r    20    

FN = 25.800 N.

[A]

Se não há atrito, as únicas forças que agem sobre o corpo são seu próprio peso ( )v

P , vertical para baixo, e a normal ( )v

N , perpendicular à trajetória em cada ponto.

A figura abaixo ilustra essas forças em cada um dos pontos citados.

[D]

O enunciado sugere tratar-se de um pêndulo cônico. Estranha a observação l > a feita no enunciado, uma vez que é impossível num pêndulo cônico termos o comprimento menor ou igual ao raio (l  a).

As figuras abaixo ilustram a situação descrita.

Na Fig 1:

(21)

h² + a² = l²  h² = l² – a²  h = l²a² . (I) sen = a

l ^{; cos}^{ =} h

l ^.

Na Fig 2:

A componente horizontal da tração (F_x) é a resultante centrípeta (R_C).

F_x = R_C  Fsen = m v² a ^{ F}

a l ⁼

m v2

a ^{ F =}

2 2

m v l a ^{. (II)}

Como o movimento se dá num plano horizontal, a resultante das forças verticais é nula. Assim, a componente vertical da tração (F_y) equilibra o peso da esfera pendular (P).

Fy = P  Fcos = mg  Fh

l ^{= m}g  F = m g l h . (III) Igualando (II) e (III), vem:

2 2

m v l a ⁼

m g l h ^{ v}

2 = a g2

h . (IV)

O período (T) é o intervalo de tempo gasto em cada volta (S = 2a).

v = 

 S

t  v = 2 a T ^(V)

Substituindo (V) em (IV), temos:

  

 

  2 a 2

T = a g2

h  ² ²

2

4 a

T =

a g2

h  T² = 4²h

g ^{ T = 2}

h

g (VI) Substituindo (I) em (VI):

T = 2 l²a²

g ^{ T = 2}



2 2

2

l a g 

T = 2

 



4 2 2

2 14

l a g

[C]

Dados: m = 500 g = 0,5 kg; R = 80 cm = 0,8 m; g = 10 m/s².

Para encontrar a expressão da velocidade (v) da esfera no ponto P₂, apliquemos a conservação da energia mecânica, tomando como referencial para energia potencial o plano horizontal que passa por esse ponto:

(22)

1 2

Mec Mec

P P

E E  m v²

m g R

 2  v² = 2gR. (I) A resultante centrípeta no ponto P2 é:

Rc = N – P = m v2

R ^{. (II)} Substituindo (I) em (II), vem:

N – mg = m (2 g R )

R ^{ N – m}^{g = 2}^mg  N = 3mg  N = 3(0,5)(10)  N = 15 N.

01 + 04 = 05

A figura a seguir mostra as forças que agem na pessoa.

01) Correta . A força normal (N) é sempre perpendicular a superfície de apoio, conforme ilustra a figura acima. Nesse caso ela é dirigida para o centro, portanto é uma força centrípeta.

02) Falsa. Como a pessoa efetua movimento circular uniforme, na direção horizontal a normal age como resultante centrípeta (RCent) e, na direção vertical, a força de atrito (Fat) deve equilibrar o peso. O piso somente deve ser retirado quando a força de atrito estática máxima for maior ou igual ao peso, caso contrário a pessoa escorrega pelas paredes. Assim:

N = mv2

R

Fat  P  N  mg. Inserindo nessa expressão a expressão anterior, vem:

m v2

R m g

  

2

R g v

   v  R g

 . Nessa expressão, vemos que a massa da pessoa não interfere e que a velocidade mínima com que o piso pode ser retirado depende apenas do raio do rotor da intensidade do campo gravitacional local e do coeficiente de atrito entre as roupas da pessoa e a parede do rotor.

04) Verdadeira, conforme demonstração no item anterior.

08) Falsa. O coeficiente de atrito depende apenas das características das superfícies em contato.

16) Falsa, conforme justificativa do item anterior.

[B]

(23)

No ponto mais alto, a força centrípeta é a diferença entre o peso e a normal.

2 2

V V mg 4mg 2

m mg N m mg V 400 V 20m / s

R    50   5  5    

[B]

Dados: v = 216 km/h = 60 m/s; m = 6 kg; r = 72 m.

A força que o piloto deve exercer sobre o conjunto cabeça-capacete é a resultante centrípeta.

R_C = mv2

r ⁼6(60)² 3.600

72 12 ^{ R}^C = 300 N.

Para que um corpo tenha esse mesmo peso, quando sujeito à gravidade terrestre, sua massa deve ser:

m = P 300 g 10 ^ m = 30 kg.

[C]

Pela conservação da energia m.g.L = m.v²/2



v² = 2.g.L

No ponto inferior pela análise de forças em um movimento circular T – P = m.v²/L

T – m.g = m.2.g.L/L T = m.g + 2.m.g T = 3.m.g

[E]

Quanto se tem pela frente uma questão teste em que se deve chegar a um valor numérico, é recomendável dar uma

“olhadinha” nos valores que estão nas opções. Se a diferença entre eles é relativamente grande, pode-se usar e abusar dos arredondamentos, como será feito nesse teste.

Dados: S = 403 km  400 km = 410⁵m; t = 85 min = 5,110³s  510³ s.

A velocidade média (v_m) do trem-bala é:     

 

5

m 3

S 4 10

v 80 m/s.

t 5 10

A aceleração lateral (centrípeta - ac) é: _c  ²   ²  ²  

c

v v 80

a r r 6.400 m.

r a 0,1(10)

(24)

R = (L/2) + d.sen =

8 2

   

 

+ 10.sen30 = 4 + 10.0,5 = 4 + 5 = 9 m Na figura

T.cos = M.g



T.cos30 = 1000.10



T.0,87 = 10000



T =

10000

0,87

^{= 11494 N}

A resultante centrípeta atua no plano horizontal, logo: Fcentrípeta = T.sen30 = 11494.0,5 = 5747 N

[B]

Resolução

Um corpo em MCU está sujeito a uma força resultante denominada CENTRÍPETA que é dirigida para o centro da trajetória.

F = m.v²/R =

1000.20

2

50

^{= 8000 N}

F = P – N



N = P – F = 10000 – 8000 = 2000 N

a) Observe a figura a seguir:

(25)

b) Analisadas as forças do sistema:

Na direção vertical



T.cos45 = m.g Na direção horizontal



T.sen45 = m.v²/R

Pela igualdade das duas expressões



m.v²/R = m.g



v²/R = g



v = Rg = 7 m/s Para a volta completa



v = S/t



v = 2R/t_A



tA = 2R/v = 2.3.4,9/7 = 4,2 s

c) Sabemos que T.cos45 = m.g



T. 2

2 ^{= 60.10}



T.0,71 = 600



T = 845 N Nas condições do teste de segurança



3.T = M0.g



M0 = 3.845/10 = 253,5 kg Resposta da questão 23:

[B]

No ponto máximo do looping para que o corpo complete o percurso P = m.g = m.v²/R



v² = R.g

(26)

O comprimento da rampa



cos60 = H/L



L = 40 m

A energia gravitacional no início da rampa



E_g = m.g.H = 20mg

3

O trabalho do atrito na rampa



W = F.d = NL = mgL = 10mg

3

O trabalho do atrito no deslocamento horizontal



W’ = Nd = 10mg A energia cinética do início do looping



Ec = Eg - W - W’

E_c = 20 mg

3

– 10 mg

3

– 10 mg = 10 mg(

3

– 1)

Esta energia cinética se converte em gravitacional e cinética no alto do looping 10 mg(

3

– 1) = mg.2R + (m/2).Rg

10(

3

– 1) = 2R + R/2 10(

3

– 1) = 5R/2 R = 4.(

3

– 1) m

08 + 16 = 24.

Resolução:

Justificando as incorretas:

1) INCORRETA: Seja o coeficiente de atrito estático entre os pneus e a pista, R o raio da curva, m a massa do veículo e a intensidade do campo gravitacional local. Embora o enunciado nada tenha afirmado, vamos considerar que a pista seja plana e horizontal (a lateral externa não sobrelevada em relação à interna). Assim, a intensidade da força normal (N) é igual à intensidade da força peso (N P mg)e a força resultante centrípeta é a própria força de atrito estática. A velocidade é máxima quando a força de atrito estático é máxima:

máx

2 2

máx máx

cent at

máx

mv mv

F F N mg

R R

v Rg.

       

 

Como se pode notar por essa expressão final, a velocidade máxima independe da massa do veículo. Portanto, com pneus idênticos, a velocidade máxima é a mesma para os dois veículos.

2) INCORRETA: A força centrífuga não existe em referencial inercial. Ela é “inventada” pelo referencial não inercial (que acelera junto com o veículo) jogando os corpos para fora da curva. Assim como também não existe a “força” que empurra os corpos para trás quando o veículo acelera, ou que empurra os corpos para frente quando o veículo freia.

Essas “forças” fictícias criadas pelo referencial não inercial são chamadas “forças de inércia”. Quando o veículo não faz a curva, é porque a resultante centrípeta não foi suficiente para mantê-lo nessa trajetória, saindo ele, então, pela tangente. O veículo não é centrifugado, mas sim, tangenciado.

4) INCORRETA: O veículo não está em equilíbrio. Um corpo somente está em equilíbrio, de acordo com o princípio da inércia, quando está em repouso ou em movimento retilíneo e uniforme, situações em que a resultante das forças agindo sobre ele é nula. Se o veículo está descrevendo uma curva plana e horizontal, com velocidade de módulo constante, a resultante das forças sobre ele é centrípeta. Como já esclarecido na proposição anterior, a força centrífuga não existe, não existindo, portanto, o par ação-reação.

8) CORRETA: Há que se fazer, porém, algumas ressalvas: A curva deve ser plana e horizontal. Se, por exemplo, a lateral externa é sobrelevada em relação à interna, a resultante centrípeta é dada pela soma vetorial das componentes radiais do atrito e da normal. Além disso, as forças normal e peso não se anulam: elas se equilibram; a resultante das duas é que se anula.

(27)

16) CORRETA.

[A]

Resolução

O chamado estado de imponderabilidade ocorre exatamente porque todos os corpos dentro da estação espacial e a própria estação espacial estão sujeitos a mesma aceleração. O que valida a alternativa A. Como existe aceleração (gravitacional) da Terra sobre a estação e tudo mais que ela contém, o astronauta possui peso, o que invalida a alternativa B. Até onde se sabe apesar da fortuna do Sr. Shuttleworth não há evidências de que ele tenha poder de levitação. O estado do astronauta, bem como de tudo mais da estação não é inercial, pois, como já dito, existe aceleração sobre os corpos em órbita. A velocidade do astronauta pode até ser momentaneamente maior ou menor que a velocidade da própria estação, se ele se desloca dentro dela. Como ele flutua, no mesmo local da estação, subentende-se que a velocidade dele é a da estação, o que invalida a alternativa E.

[B]

Resolução

O objeto solto bem como o próprio satélite está sujeito à força gravitacional terrestre e logo ambos têm peso.

Admitindo que o movimento do satélite e do corpo são circulares e uniformes, a aceleração centrípeta será a aceleração gravitacional.

A alternativa c é estranha quando coloca que o corpo deverá “sentir” aceleração. A despeito da frase antropomórfica para um corpo qualquer, se uma pessoa estiver solta dentro da nave ela não experimenta sensação de peso.

Insisto que o corpo possui peso dentro do satélite e isto não tem relação com a atmosfera.

a) O momento de uma força em relação a um eixo é o produto do módulo da força pelo braço de alavanca ( distância do eixo à reta suporte da força).

O

MF Fd

No caso proposto, o momento total é a soma dos três momentos produzidos pelas forças.

2 2

resul tante

M 3Fd 3 0,2 6 10  ^ 3,6 10 N.m ^

b) O movimento de um corpo lançado horizontalmente deve ser decomposto em dois movimentos.

Vertical  MUV a partir do repouso  1 ² ²

S .a.t 0,8 5t t 0,4s

 2    

Horizontal  MU   S V.t 8 0,43,2m

(28)

A figura abaixo mostra as forças que agem no carrinho em C e D.

A resultante das forças em C pode ser calculada pela expressão.

2 2 2 2 2 2 2 2

(F )R N P 17m g N m g  N 4mg

No ponto C, a força centrípeta é a componente normal da força de contato entre o trilho e o carrinho.

2

2 Cent

F mV 4mg V 4Rg

 R   

Por outro lado, há conservação de energia entre A e C.

1 2

mgh mgR mV

 2

Substituindo

V

² e simplificando “m”, vem:

gh gR 1 4Rg h R 2R 3R

  2    

Aplicando conservação de energia entre A e D, vem:

2

2 2

1 V

mgh mg.2R mV g(3R) 2gR V 2gR

2 2

      

No ponto D, a força centrípeta é a soma da componente normal da força de contato entre o trilho e o carrinho com o peso.

mV2 m(2gR)

N P N mg N mg

R R

      

a) V = gb

3 ^.

b) cos θ =17 18^.

[A]

(29)

[E]

[D]

Pela conservação da energia mecânica podemos determinar a velocidade do garoto no momento em que vai agarrar o gato.

M.g.H = M.v²/2 ==> v =



^2.g.H



Pela conservação da quantidade de movimento podemos obter a velocidade do conjunto (garoto e gato).

M.



^2.g.H



= (m + M).v' v' = [M/(m+M)] .



^2.g.H



Pela análise de dinâmica de movimento circular:

T - m.g - M.g = (m + M).v'²/L T - (m + M).g = (m + M).v'²/L

T = (m + M).g + (m + M).{[M/(m+M)] .



2.g.H } / L



²

T = (m + M).g.{1 + [M/(m+M)].2H/L}

A velocidade angular necessária para o corpo tombar (ω2) é inferior à velocidade angular necessária para o corpo

deslizar, portanto o corpo tomba antes de deslizar.