ÍÒ Ú Ö ËÓ È ÙÐÓ ÁÒ Ø ØÙØÓ ÌÖ Ò Ó ÉÙÒØ Ó¹ Ð Ñ Ë Ø Ñ ÓÑ ÈÖÓÔ Ò Ó ÓÐ Ø Ú Å ÐØÓÒ Ð Ü Ò Ö Ë ÐÚ ÂÙÒ ÓÖ ÇÖ ÒØ ÓÖ ÈÖÓ º Öº ÒØÓÒ Ó ÖÒ Ò Ó Ê ÖÓ ÌÓÐ Ó È Þ Ì ÓÙØÓ

Instituto de Físia

Transição Quântio-Clássia em Sistemas om Propensão

Coletiva

Milton Alexandre da Silva Junior

Orientador: Prof. Dr. Antonio Fernando Ribeiro de Toledo Piza

Tese de doutorado apresentada ao Instituto

de Físia para a obtenção do título de

Doutor em Ciênias

Comissão Examinadora:

Prof. Dr. Antonio Fernando Ribeiro de Toledo Piza (IFUSP)

Prof. Dr. Mahir Saleh Hussein (IFUSP)

Prof. Dr. Iberê Luiz Caldas (IFUSP)

Prof. Dr. Diógenes Galetti(IFT-Unesp)

Profa. Dra. Kyoko Furuya (IFGW-Uniamp)

São Paulo

2010

•

^{Agradeçoaoprofessor Antonio Fernando Ribeirode ToledoPiza pelaexelente orientação e}

peloapoio,emespeialpelapaiênia,amimdispensadosdurantearealizaçãodestetrabalho.

•

^{Agradeçoà Fapesp pelosuporte naneiro durante arealização deste trabalho.}

•

^{Agradeço aos meus pais, Milton Alexandre da Silva e Maria de Lourdes Barellos da Silva}

peloapoiodurante arealização deste trabalho.

•

^{Agradeço aos olegas do Instituto de Físia pelo apoio e pelas disussões, sobre Físia ou}

não, que muito ontribuírampara odesenvolvimento deste trabalho.

•

^{AgradeçoaoprofessorCarlosMolinaMendespelosuporte}omputaionaldurantearealização deste trabalho.

Nesta tese, estudamos o omportamento de sistema quântios ujo limite lássio pode tanto

apresentar um omportamento regular omo aótio. Nosso estudo se baseou na araterização

dinâmiadoomportamento,aótioouregular, destessistemasquântios nolimite lássioatra-

vés da análise daestrutura de distribuiçõesno espaço de fases. Partiularmente, apliamos estas

ferramentas ao estudo da transição quântio-lássia para uma lasse de sistemas, que denomi-

namos generiamente omo sistemas om propensão oletiva, os quais possuem a importante

propriedade de admitir, emum erto limite análogoao limite termodinâmio, uma desrição de

sua dinâmiaem termos de um número reduzido de variáveis de natureza oletiva. Esta proprie-

dade além de nos permitir reduzir a dinâmiade sistemas ompliados à dinâmia de sistemas

om pouos graus de liberdade, também nos permite, através de um esalonamento apropriado

das variáveisoletivas,estudar o limite lássio destes sistemas onomitantemente om o limite

termodinâmio,evitando assim lidar diretamenteom proedimentosformaisusualmenteassoi-

ados ao limite lássio da forma

~ → 0

^. Diferentemente das abordagens usuais, a abordagem que utilizamos nesta tese, baseada na propensão oletiva dos sistemas, permite a implementação

de uma desrição em termos doomportamento de distribuiçõesno espaçode fasespara sistemas

om espetro puramentedisreto num espaço de dimensão nita.

In this thesis, we studied the behaviour of quantum systems whih in the lassial limit may

exhibiteitherregularorhaotibehaviour. Ourstudywasbasedonthedynamialharaterization

of the, haoti orregular,behaviour of these systems inthe lassial limitthrough the analysis of

the struture of phase-spaedistributions funtions. Partiularly,we haveappliedthis harateri-

zationtoolstothestudy ofthequantum-to-lassialtransitioninalassofquantum systems,that

we alled generally assystems with olletive propensity, whih have the important property of

admiting,inaertainlimitanalogous tothethermodynamiallimit,adesription oftheirdyna-

misintermsofalownumberofvariablesofolletivenature. Thispropertyallowsustodesribe

the dynamisofvery ompliatedsystemsintermsofthe dynamisofsystems withfewdegrees of

freedom. Besides, this allows us to study the lassial limitof these systems onomitantly with

the termodynamial limit, avoiding in this way to deal with formalproedures assoiated with

the limit

~ → 0

^{. Dierently from the usual approahes, the one we employ inthis thesis, based}

onthesystems' olletivepropensity,allowsforanimplementationofadesriptionintermsof the

behaviour of phase-spae distribution funtions for systems endowed with a disrete spetrum in

a nite-dimensionalspae.

1 Introdução 3

2 Expoentesde Lyapunov, CaoseaDinâmiadeDistribuiçõesno EspaçodeFases 7

2.1 Expoentes de Lyapunov paraum TempoFinito emTermosdoGradientede Distri-

buições noEspaço de Fases. . . 7

2.1.1 DistribuiçãoClássias. . . 7

2.1.2 Análogo Quântio do Expoente de Lyapunov para um TempoFinito. . . 12

2.2 Heterogeneidade DistribuionalnoEspaço de Fases . . . 15

2.2.1 Contexto Clássio . . . 15

2.2.2 Contexto Quântio . . . 17

3 Espaços de Dimensão Finita 21 3.1 Basede Operadores Unitários de Shwinger . . . 21

3.2 FormalismonoEspaço de Fases Disreto . . . 25

3.3 Distribuições num Espaço de Fases Disreto . . . 28

4 Modelo om Propensão Coletiva 33 4.1 Modelo de Bose-Hubbard om Dois Sítios e

N

^{Bósons . . . . . . . . . . . . . . . . . 33}

4.1.1 Representação emTermos de Operadores Coletivos(Quasi-Spin) . . . 34

4.1.2 Transformada de Weyl Disreta e aFunção de Wigner . . . 36

4.1.3 Limite Semi-Clássio . . . 44

4.2 Heterogeneidade DistribuionalnoModelo de Bose-Hubbard . . . 47

4.2.1 Estado Iniiale Cálulode

˜ h q (ˆ ρ)

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47}

4.2.2 Correspondênia Quântio-Clássia . . . 54

5 Modelo om Dois Graus de Liberdade 60 5.1 HamiltonianodoSistema,Representação de Quasi-Spine Limite Termodinâmio . . 60

5.2 Sistemade DoisMomentosAngulares Aoplados . . . 66

5.2.1 HamiltonianodoSistema eseu Limite Clássio. . . 66

Modelo (5.1). . . 67

5.3 Heterogeneidade Distribuional para o Modelo de Dois Momentos Angulares Ao-

plados . . . 68

6 Conlusões e Perspetivas 75

Apêndies 78

A. Exemplo Explíito da Equivalênia entre

˜ h q (ˆ ρ)

^e

h q (ˆ ρ)

^{no Limite}

D → ∞

^{e da Não}

Comutatividade dos Limites

D → ∞

^e

α → 0

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78}

B. Análise davariania

v(α)

^{noCaso Contínuo e Obtençãoda Equação (2.41)(2). . . . . 82}

C. Obtenção de (2.45)(3) a partir de (3.39) . . . 84

Referênias Bibliográas 87

Introdução

As profundasdiferençastantooneituais quantoténias entre ameânia quântiae ameânia

lássia,aexistêniadenotáveispropriedadesdeorrespondênia entreasduasteoriaseosuesso

de ambas nos seus respetivos domínios naturais de apliação [1℄ onstituem o erne do onjunto

de problemas designado generiamenteomotransição quântio-lássia. Umadas questões ru-

iais nesse ontexto é a que se refere à transição quântio-lássia para sistemas lassiamente

não integráveis, sendo a não integrabilidade lássia no mínimoembaraçosa frente à linearidade

quântia. Esta questão, por sua vez, deve ser entendidaomo indissoluvelmente ligada à questão

da natureza espeía do proesso limite que onduz do sistema quântio ao sistema lássio não

integrável.

Neste ontexto,existem sistemasquântios que,emboraideais,podemsertomadosomoapro-

ximaçõesúteisparasistemasexperimentalmenterealizáveis,desritosporhamiltonianosqueadqui-

rem araterístiaslássias,om um número restritode variáveisdinâmiasde natureza oletiva,

em um determinado limite que pode ser visto de erta forma omo análogo a um limite termo-

dinâmio [2, 3℄. Tais sistemas serão hamados aqui sistemas om propensão oletiva. Uma

araterístia interessante dessa lasse de sistemas, espeialmente em onexão om análises da

transição quântio-lássia,éade queolimitelássio está assoiadoaumlimitedotipolimite

termodinâmio bem denido, independentemente de operações formaisdotipo

~ → 0

^.

Umexemplodessetipodesistemaonsisteemumaaproximaçãodedoismodosparaumsistema

frio de muitos (

N

^{) bósons} aprisionados em um poço duplo de potenial externo. Neste aso, se

a ^† _±

^e

a ±

^{são operadores de riação e} aniquilação para os dois estados do dubleto mais baixo de partíula únia, o hamiltoniano

H

^{do sistema pode ser esrito em termos dos}

operadores coletivos J 1 ±

ⁱ

J 2 = a ^† _± a ∓

^,

J 3 =

a ^† ₊ a + − a ^† ₋ a −

/2

^e

J =

a ^† ₊ a + + a ^† ₋ a −

/2 = ˆ N /2

^{; isto faz}

om que dinâmiado sistema de

N

^{bósons seja desritaatravés da dinâmiade um sistema om}

apenas um grau de liberdade, desritoporum onjuntopequeno de variáveisdinâmiasoletivas.

Note que neste aso, o número de variáveis dinâmiasas quais a dinâmia do sistema de muitos

orposa reduzida, não depende do valorde

N

^.

No limite em que a onstante de movimento

J → ∞

^{, temos que oorre um} adensamento no espetro dos operadores esalonados

j _k ≡ J _k /J

^,

k = 1, 2, 3

^{; e de aordo om as relações de}

omutaçãosatisfeitaspelosoperadores

J _k

^,

[J _i , J _j ] =

ⁱ

ε _ijk J _k

^{,queemtermosdos}

j _k

^am

J [j _i , j _j ] =

i

ε ijk j k

^{, vemos os operadores}

j k

^{omutam no limite}

J → ∞

^{, o que} possibilita que o espetro dos operadores

j k

^{sejam tratados omo variáveis lássias ontínuas. Neste sentido, o} hamiltoniano por partíula

H/2J

^{pode então ser esrito emtermos dos operadores esalonados}

j k

^{de tal forma}

que, no limite

J → ∞

^{, este adquire} araterístias lássias. Como veremos no orpo desta tese, o esalonamento dohamiltoniano

H

^{om o número de partíulas dos sistema}

N

^{,desempenha um}

papel fundamental para que se araterize a propensão oletiva do sistema, ou seja, para que no

limite termodinâmio

N → ∞

^{osistema adquira} araterístiaslássias. Veremos também que aso tomássemos o limite

N → ∞

^{sem onsiderar o} esalonamento de

H

^{, por exemplo da forma}

omo foi feitoem[4, 5, 6℄, obteríamosuma desrição de

H

^{emtermos de variáveisontínuas num}

espaço de dimensão innita aoinvés de um sistema om araterístiaslássias.

O sistema desrito no exemplo aima foi efetivamente realizado em uma versão aberta (in-

luindo dependênias temporais externas notadamente do parâmetro de hopping) e teve seu

omportamento aótio estudado experimentalmente [7, 8, 9℄. A generalização para redes om

muitos sítios do modelo de dois modos, atualmente de uso orrente para a desrição de on-

densados atmios de Bose-Einstein submetidos a redes periódias de potenial externo geradas

optiamente, onsiste no modelo de Bose-Hubbard. Neste aso, a restrição aos dois modos mais

baixos é substituída pela restrição aos

L

^{modos mais baixos no aso de sistemas om}

L

^{sítios, e}

pela restrição à primeira zona de Brillouinpara redes periódias extensas. O aso

L > 2

^{, nito,}

foi reentemente estudado do ponto de vista do aos quântio [10℄ araterizado em termos de

estatístias de espaçamentode energiasde estadosestaionários.

Diversos trabalhosaolongodosúltimosquinzeanos(verporexemplo[11℄-[20℄)seouparamda

transiçãoquântio-lássiaapartirdeumavariedadedepontosdevista. Umdessespontosdevista

tende a privilegiar o omportamento de trajetórias lássias e relaioná-lo seja om proprideades

de estados quântios de sistemas orrespondentes, seja om astrajetórias desritas por valores

médios quântios das variáveis dinâmias apropriadas [11, 20℄. Alternativamente, a ênfase da

desrição é desloada das trajetórias para o omportamento de distribuições no espaço de fases,

asoemqueasdinâmiaslássiaequântiasãodesritaspelasequaçõesdeLiouvilleedeLiouville-

von Neumann respetivamente [12℄-[19℄. Em partiular, o sistema onsiderado nos trabalhos de

Emerson e Ballentine [13, 14℄ é um sistema aberto, om propensão oletivaredutível a um únio

graudeliberdade. Eleontémumasimetriamodularquenãoétratadanaversãolássia,embora

possasertomadaemontadeformaalevaradiferentesformasdeorrespondêniaquântio-lássia

[21℄.

Ostrabalhos[15℄-[19℄,poroutrolado,enfatizamoomportamentode

texturas

^{noespaçodefa-}

sestantonoasoquântio(atravésdousodarepresentaçãode Wigner)omonoasolássio. Esse

pontode vistapermite,partiularmenteemsua realização talomodesenvolvidanos trabalhosde

permiteumatraduçãoessenialmentediretaeindependentederepresentaçãoasistemasquântios,

desritos em termosdo operadordensidade.

Em sua versão lássia [18℄, uma dessas medidas [16, 18, 19℄ se relaiona diretamente om

o expoente de Lyapunov máximo do sistema, e este fato é usado na onstrução de um objeto

dependentedotempoquepodeser vistoomouma versãopara umtemponitodesteexpoentede

Lyapunov. Uma araterístiarelevantedessa medidade omplexidadeda distribuição noespaço

de fases é o seu aráter não linear no operador densidade, o que em partiular a torna sensível

a proessos de emaranhamento envolvendo diferentes graus de liberdadedos sistema onsiderado

[22℄.

Estas ferramentas de análise do omportamento de distribuições no espaço de fases foram

amplamente utilizadas no ontexto de sistemas quântios desritos em espaços de Hilbert om

dimensão

infinita

^{,para versões} quantizadas de sistemas lássios onheidos. Neste aso, a dinâ- mia do sistema quântio é desrita emtermos de variáveis annias quântias quepossuem um

espetro ontínuo, tipiamente, variáveis de posição

q

^{e seu momentoanniamente onjugado}

p

[16, 18, 23,24, 19, 25, 26℄. No entanto,outros asos, porexemplo envolvendo variáveis de ângulo

e momentoangular (ação),permaneem onsideravelmente menosexplorados.

De partiular interesse para nós nesta tese, são os sistemas desritos num espaço Hilbert que

possui dimensão

D finita

^{, ujo limite lássio está} diretamente assoiado ao limite ontínuo

D → ∞

^{, tomado de formaapropriada (por exemplo, o modelo de muitos bósons em dois modos}

loalizadosdesritoanteriormente). Seriaportantodesejável enontrar umaextensão dadesrição

em termos de distribuições no espaço de fases que também levasse em onta o aso de sistemas

desritosemespaçosdedimensãonita. Destaforma,seríamosapazesdeapliarasferramentasde

distribuiçõesnoespaçode fases também paraesta lasse sistemas,por exemplosistemasdesritos

porgrausdeliberdadede spin. Naverdade, omoveremosnoorpodestatese,épossívelextender

o uso desta análise de

texturas

^de distribuições para o aso mais geral de sistemas desritos por graus de liberdade que não possuem uma ontrapartida lássia, ou seja, que são desritios por

um número nito de estados. Esta possibilidade se mostra potenialmente interessante quando

nos voltamos para o ontexto de sistema quântios de muitos orpos, por exemplo um sistemade

muitos átomos armadilhadosomo é oaso do modelo de Bose-Hubbard.

A idéia envolvidanesta tese onsiste emutilizara araterização dinâmiadoomportamento

aótio baseada na análiseda estrutura de distribuições noespaço de fases [16℄-[19℄para estudar,

nesses sistemas om propensão oletiva, a transição quântio-lássia onomitante om o limite

termodinâmio. A transição está ligada, no aso, à resente marosopiidade do sistema,

independendo de proedimentos formais do tipo assoiado ao limite

~ → 0

^{. Deve ser notada a}

grandeliberdadeemgeralexistente, nesteontexto,om relaçãoà

escolha

^{dasvariáveisdinâmias}

oletivas a que se reduzirá a dinâmia do sistema, bem omo a possibilidade de implementar

Deve nalmente ser notado que a liberdadeexistente na esolha das partiulares variáveis di-

nâmias oletivas a serem privilegiadasno proesso de transição quântio-lássia [21℄ impliana

possibilidadede alteraronomitantementearepresentaçãono

espa

^ç

o de f ases

^{dosestadosestai-}

onáriosquântios, eportantotambémo onteúdo espetral, eonsequentementeasaraterístias

dinâmias assoiadas a diferentes regiões do espaço de fases. Desta forma, é no mínimo extre-

mamente duvidoso que seja possível formar uma imagem razoavelmente ompleta da transição

quântio-lássia sem levaremontaa liberdadeinerente àesolha das variáveisdinâmiasnais.

No que segue dividimos esta tese da seguinte maneira: noapítulo 2, apresentamos um breve

resumo das ferramentas utilizadas na análise de distribuições no espaço de fases. No apítulo 3,

introduzimos oformalismo neessário para traduzir estas ferramentasdo espaço de fases para o

ontextodesistemasdesritosnumespaçodedimensãonita. Finalmentenoapítulo4,apliamos

estas ferramentas para oaso de um sistema om propensão oletiva (omodelo de Bose-Hubbard

omdoissítiose

N

^bósons)ujaomportamentonolimitelássioétotalmenteregular. Noapítulo 5,realizamos mesmo estudodo apítulo4 paraum sistemaom propensãooletivaque, nolimite

lássio, pode apresentar um omportamento irregular (aótio). No apítulo 6, apresentamos

algumas onlusões e disutimos algumas perspetivas de trabalhos futuros dentro do assunto

desta tese.

NoapêndieA,apresentamosumexemploexplíitodeomoépossívelobteraheterogeneidade

distribuional no aso de um espaço de dimensão

infinita

^{tomando omo ponto de partida o}

equivalente desta para um espaço de dimensão

finita

^{, através de um limite ontínuo. Neste}

apêndietambémapresentamosumexemploexplíitodanãoomutatividade,noasodeumespaço

de dimensão nita, entre o limite lássio e o limite que dene a heterogeneidade distribuional.

No apêndie B, fazemos uma análise do omportamento da variania utilizada na denição da

heterogeneidade distribuionaldependênia da heterogeneidadeno espaço de fases noaso de um

espaçode dimensão nita. NoapêndieC, obtemosde uma formamais explíitaa expressãopara

heterogeneidade distribuionalnoaso de um espaço de dimensão nita.

Expoentes de Lyapunov, Caos e a Dinâmia

de Distribuições no Espaço de Fases

Neste apítulo, apresentaremos de uma forma resumida a teoria desrita em[16, 18℄, na qual nos

baseamos para fazer o estudo datransição quântio-lássia. Apresentaremos a denição de uma

medida de omplexidade no espaço de fases, que têm omo prinipal ingrediente o gradiente de

distribuiçõesnesteespaço[18℄. Emseguidaapresentaremosumadeniçãoalternativadestamedida

[16℄ que, apesar de tambémreair nautilizaçãode gradientede distribuições, tem omo prinipal

ingrediente uma medida de entropia. Esta segunda abordagem será a que utilizaremos em nosso

estudo da transição quântio-lássia, em primeiro lugar por apresentar uma essênia mais físia

aosebasear numa medidade entropiae emsegundo lugar,pelomesmomotivo,porpermitiruma

onexão mais imediataom o estudode proessos deoerênia [22℄.

2.1 Expoentes de Lyapunov para um Tempo Finito em Ter-

mos do Gradiente de Distribuições no Espaço de Fases

2.1.1 Distribuição Clássias.

O aos em meânia lássia é usualmente denido através da forte sensibilidade das trajetórias

noespaço de fases apequenas mudanças nas suas ondições iniiais. Quantitativamente, o aos é

desrito por uma grandeza positiva onheida omo expoente de Lyapunov máximo. Esta gran-

deza mede a taxa om que duas trajetórias no espaço de fases, oriundas de ondições iniiais

innitesimalmentepróximas,se afastamapósum tempomuito longo (

t → ∞

^).

Na verdadeexiste todoumespetro de expoentes de Lyapunov (onúmero deexpoentes éigual

ao número de dimensões do espaço de fases), pois as taxas om que as trajetórias se afastam

uma da outra podem variar de aordo om a direção da separação iniial noespaço de fases. No

edevidoàtaxaderesimentoexponenialoefeitodevidoaosdemaisexpoentes serárelativamente

suprimidoonforme

t → ∞

^.

Tendoissoemmente,onsideremosiniialmenteumsistemaHamiltonianoom

n

^{grausdeliber-}

daderepresentadospelasvariáveisanniasdeposição

q ˜ 1 , . . . , q ˜ n

^emomento

p ˜ 1 , . . . , p ˜ n

^,onde

q ˜ i

^e

p ˜ i

sãoanoniamenteonjugadas,ouseja,

{ q ˜ i , p ˜ i } ^{(˜ q} i ,˜ p i ) = 1

^,onde

{ f, g } ^{(˜ q} i ,˜ p i ) = P n

i=1 [(∂f /∂ q ˜ i ) (∂g/∂ p ˜ i )

− (∂f /∂ p ˜ i ) (∂g/∂ q ˜ i )]

^{,são osparênteses de Poisson nasvariáveisannias}

q ˜ i

^e

p ˜ i

^{. Denimosentão}

variáveis esalonadas adimensionais

q 1 , . . . , q n

^e

p 1 , . . . , p n

^{, tais que}

q i ≡ q ˜ i /ℓ

^e

p i ≡ p ˜ i ℓ/ κ

, onde

ℓ

possui unidadesdeposição

q ˜ i

^e

κ

possuiunidades deação,ouseja,de

q ˜ i × p ˜ i

^{. Nesteaso, podemos}

failmenteveriar que

{ q i , p i } (˜ q i ,˜ p i ) = 1/ κ

e

{ q i , p i } (q i ,p i ) = 1

^.1

Am de tratarmos igualmente as oordenadas

q _i

^{e seus respetivos momentos onjugados}

p _i

^,

araterizamos um pontono espaçode fasesporum vetor noespaço

2n

-dimensional

γ ≡ (q 1 , . . . , q n , p 1 , . . . , p n ) .

^(2.1)

Em seguida,por onveniênia, introduzimosamatriz antisimétria

J

J = 0 1

− 1 0

!

,

^(2.2)

onde

0

^e

1

^{são asmatrizesnulaeidentidade}

n × n

^,respetivamente. A matriz

J

^{obedeeàrelação}

J ^† = J ⁻¹ = − J.

^(2.3)

Comoauxíliode

J

^{,asequaçõesanniasde movimento(ouseja,asequaçõesdeHamilton),neste}

aso podem ser esritas naformaompata

˙

γ = J ( ∇ H) .

^(2.4)

Asensibilidadedeumatrajetórialássia

γ (t)

^apequenasperturbaçõesemsuaondiçãoiniiail

γ (0)

^{é desrita pelamatriz de} estabilidade

M _γ(0)

^{, ujoselementossão denidos omo}

M

ij [γ (0) , t] ≡ ∂γ i (t)

∂γ _j (0) ,

^(2.5)

ouseja,seonsiderarmosduas trajetórias

γ ₁ (t)

^e

γ ₂ (t)

innitesimalmenteseparadas iniialmente, teremosque a evolução desta separação será dada por

γ 2 (t) − γ 1 (t) = M _{γ 1 (0)} { γ 2 (0) − γ 1 (0) } .

^(2.6)

1

Paradesriçõesquântias, fazendoaassoiação direta

(q i , p i ) → (ˆ q i , p ˆ i )

^{entre as variáveis}adimensionais

q i

^e

p i

^{eosoperadores}

q ˆ i

^e

p ˆ i

^{,temos que}

[ˆ q i , p ˆ i ] =

ⁱ

~ / κ

,

~ / κ

podeservistoomouma espéiedeonstante dePlank adimensional.

Amatrizde estabilidade

M _γ(0)

^{tambémpode seromputadaatravésdesuaequação}diferenial.

Esta equação diferenialsegue diretamentede (2.4) e(2.5)

M ˙ _γ(0) = J ∇ ² H

M _γ(0) ,

^(2.7)

om a ondição

M _γ(0) = 1

^{, em}

t = 0

^.

Com isso podemos enm denir o expoente de Lyapunov máximo dosistema. Uma formade

denir osexpoentes de Lyapunov é através dos autovalores damatriz [27℄

Λ γ(0) = lim

t→∞ M ^T _γ(0) M _γ(0) 1/2t

,

^(2.8)

onde

M ^T _γ(0)

^{representa a transposta de}

M _γ(0)

^{. Neste aso, os expoentes de Lyapunov são os}

logaritmosdos autovalores de

Λ _γ(0)

^{esegundo [28, 27, 29℄é possívelprovar queo limite}

t→∞ lim 1 t ln

M _γ(0) u

= λ [γ (0)] ,

^(2.9)

onde

|· · · |

^{éa normausual noespaçode fases,existe para qualquervetor}

u

^{do espaçode fases, tal}

que

u 6 = 0

^{. Na equação(2.9),}

λ [γ (0)]

^{éomaior dos expoentes de Lyapunov dosistema,ouseja,o}

expoente de Lyapunov máximo.

Existe uma forma mais geral de denir os expoentes de Lyapunov. Seja

M

^{uma variedade}

Riemanniana

2n

-dimensional, ompata e difereniável. Denotamos por

T x

^{o espaço tangente a}

M

^{num dado ponto}

x

^{. Oteoremade Oselede [28, 27℄ nos dizque para todovetor}

η ∈ T x

^,

η 6 = 0

^,

o limite

t→∞ lim 1 t ln

T _x ^t η

= λ (x, η) ,

existe e é nito, onde

||· · · ||

^{é a norma induzida em}

T ^x

^{pela métria} Riemanniana em

M

^e

T _x ^t

^é

responsável pelo mapeamentode vetores de

T ^x

^{emvetores de}

T ^x(t)

^{, onde}

{ x (t) }

^{é uma urva em}

M

^{tal que}

x (0) = x

^.

Alémdisso, oteorematambémnos dizqueexiste uma base

{ η i } _1≤i≤2n

^de

T x

^{talque,onforme}

η

^{variaonúmero}

λ (x, η)

^{assume apenas osvalores}

{ λ (x, η i ) } 1≤i≤2n

^{, om}

λ ₁ (x) ≤ λ ₂ (x) ≤ · · · ≤ λ _2n (x) ,

onde zemos

λ (x, η i ) = λ i (x)

^,

1 ≤ i ≤ 2n

^.

Osnúmeros

{ λ _i (x) } 1≤i≤2n

^{formamohamadoespetro de expoentes de Lyapunov daevolução}

do sistema no ponto

x

^e

λ 2n (x)

^{é o expoente de Lyapunov máximo do sistema. Segundo [28℄}

(teorema B), para um dado vetor

η 6 = 0

^tomado aleatoriamenteno espaço tangente, teremos que

λ (x, η) ≡ λ 2n (x)

^{,umavez queosvetores}

η

^paraosquais

λ (x, η) < λ 2n (x, η)

^{formamum onjunto}

de medida de Lebesgue nula.

Seja agora

ρ t [γ (t)]

^uma distribuição lássiade probabilidadesbemomportadae

δγ (t)

^uma

pequena variaçãodesta trajetória. O teoremade Liouvilleimplia que

ρ t [γ (t) + δγ (t)] − ρ t [γ (t)] = ρ 0 [γ (0) + δγ (0)] − ρ 0 [γ (0)] .

^(2.10)

No limite em que

| δγ (0) | → 0

^{e utilizandoo fato de que}

J ² = − 1

^e

JM ^† _γ(0) J = − M ⁻¹ _γ(0)

^{, obtemos}

a equação

M _γ(0) J ∇ ρ 0 [γ (0)] = J ∇ ρ t [γ (t)] .

^(2.11)

Substituindo(2.11) em(2.9) obtemos

λ [γ (0)] = lim

t→∞

1

t ln {| J ∇ ρ t [γ (t)] |}

= lim

t→∞

1

t ln {|∇ ρ t [γ (t)] |} .

^(2.12)

É importante notar que (2.12) dene o expoente de Lyapunov máximo não mais em termos de

trajetóriasmasagoraemtermosdaspropriedadesdedistribuiçõesnoespaçodefases[16,18℄. Mais

preisamente, quantomais rápido a estrutura de

ρ _t

^{aumentar, maior será ovalorde}

λ [γ (0)]

^.

Seguindo [19℄, denimos aseguintequantidade,

χ c (t) ≡

R |∇ ρ t | ² dγ R ρ ² _t dγ

^1/2

,

^(2.13)

que através de uma integração porpartes se torna

χ c (t) =

−

R ρ t ( ∇ ² ρ t ) dγ R ρ ² _t dγ

1/2

,

^(2.14)

que porsua vez é uma médiasobre os gradientes da distribuição

ρ t

^.

Utilizando (2.11)e (2.14), obtemos

χ c (t) =

" R

JM _γ(0) J ( ∇ ρ 0 )

2 dγ R ρ ² ₀ dγ

# 1/2

.

^(2.15)

O signiado físio de

χ c (t)

^{se torna mais laro quando} onsideramos a transformada de Fourier de

ρ t

^{, ouseja,}

ρ t (γ) = 1 (2π) ⁴

Z

dk exp (2π

ⁱ

k · γ) ρ t (k) ,

onde

ρ t ( k )

^{denotaaomponentedeFourieraluladanovetor}

2n

-dimensional

k

^{. Nesteasotemos}

que (2.14)a

χ ² _c (t) =

R dkk ² | ρ t (k) | ²

R dk | ρ t (k) | ² ,

^(2.16)

mostrando que

χ c

^{é o raio quadrátio médio da}transformada de Fourier da distribuição

ρ t (γ)

^{, e}

que portanto pode ser utilizada omo uma medida da estrutura no espaço de fases lássio [19℄.

Isto signiaque quantomaior

χ _c

^{, mais estrutura}

ρ _t (γ)

apresentará.

Para dinâmias ompletamente integráveis existe um onjunto espeial de oordenadas gene-

ralizadasformado porvariáveisde ação e ângulo

I i

^e

θ i

^{, om}

i = 1, . . . , n

^{. Nesta} representação, o Hamiltonianodependesomentedaquelasvariáveisde açãoquesãoonstantes demovimento. Para

estes asos, a equação(2.7) possui asolução

M _γ(0) = 1 + J ∂ ² H

∂γ ² t.

^(2.17)

Substituindo esta dependênia temporal explíita da matriz de estabilidade na equação (2.15)

obtemoso omportamentode

χ c

^{para temposlongos}

t→∞ lim

χ c (t) t =

R | (∂ ² H/∂γ ² ) J ∇ ρ 0 | ² dγ R ρ ² ₀ dγ

1/2

.

^(2.18)

Portanto, para dinâmias regulares, a estrutura da distribuição

ρ t

^{, medida por}

χ c (t)

^{, assintoti-}

amente apresenta uma dependênia linear no tempo. Isto oorre na representação de ação e

ângulo, no entanto,

χ c (t)

^{pode apresentar uma dependênia polinomial no tempo para outras}

representações annias[19℄.

No aso em queo sistema emquestão possui uma dinâmiaaótia temosque [18℄

t→∞ lim 1

t ln χ _c (t) = λ,

^(2.19)

onde

λ

^{é o expoente de Lyapunov máximo do sistema. Isto signia que, no aso aótio, o raio}

quadrátiomédio datransformada de Fourierda distribuição

ρ t

^aumentaassintotiamentea uma taxa exponenialdada por

λ

^.

Uma vez que um dado limite de resolução

δ

^{no espaço de fases orresponde à} impossibilidade delevarmosemonsideraçãomodosdeFouriermaioresque

1/δ

^{,oaospode ser}interpretadoomo uma espéie de perda exponenial de informação, ontida na expansão em modos de Fourier da

distribuição iniial

ρ 0

^.

Pordenição,oexpoentede Lyapunov generalizado

λ

^éumapropriedadeassintótia,relevante quando

t → ∞

^{. No entanto, de aordo om [18, 19℄, é possível deniruma versão doexpoentede}

Lyapunov para um tempo

t

^{nito emtermos de}

χ c (t)

^{. Esta denição é dada por}

λ _c (t) ≡ 1 t ln

χ c (t) χ c (0)

,

^(2.20)

a qualdeve satisfazer

t→∞ lim λ c (t) = λ.

^(2.21)

Esta denição ((2.20)om (2.21)) torna-sebastante relevanteemum estudorealístio(numério,

para ser mais preiso) da orrespondênia quântio-lássia, pois num estudo deste tipo temos

aesso apenas às propriedades da dinâmia lássia aótia que podem ser analisadas para um

tempo

t

^{nito. Portanto,tendoemmenteeste ontexto realístio,énomínimo}extremamenteútil ter em mãos uma denição doexpoentede Lyapunov para um tempo

t

^nito.

A quantidade

λ c (t)

^{, nos permiteestudar oaos} baseando-nos nadinâmiade distribuiçõesno espaço de fases, apenas no aso de distribuições lássias. Na subseção seguinte apresentaremos

uma versão quântia de

λ _c (t)

⁽

λ _q (t)

^{dada em (2.28)) que nos permitirá extender a análise de}

distribuiçõesnoespaço de fasespara o aso quântio.

2.1.2 Análogo Quântio do Expoente de Lyapunov para um Tempo Fi-

nito.

Do ponto de vista de ensembles estatístios, a maneira usual de estudarmos as propriedades de

orrespondêniaentreum sistemalássioeseuanálogoquântio(sistemaquantizado)onsisteem

omparamos a equação lássia de Liouville para uma densidade de probabilidades no espaço de

fases,omaequaçãoquântiadeLiouville-vonNeumannparaooperadordensidade,representando

um dadoestadodosistemaquantizado,numadadarepresentação noespaçode fases,porexemplo

arepresentaçãode Wigner-Weyl. Maispreisamente,suponhamosporexemploumsistemahamil-

toninanogenério da forma

H (p, q) = p ² /2m + V (q)

^{, desritoem termosdas variáveis dinâmias}

de posição

q

^emomento

p

^. Classiamente, um estadoiniial de

H (q, p)

^{pode ser} representado por uma distribuição de probabilidades positiva

ρ (p, q)

^{no espaço espaço de fases enquanto que um}

estadoiniialdosistemaquantizado,desritoporum operadordensidade

ρ ˆ

^,temsuarepresentação noespaço de fases dada pela função de Wigner orrespondente

ρ ^W (p, q)

^{, uja denição é}

ρ ^W (p, q) ≡ 1 2π ~

Z

dv

^e

^~

ⁱ

^pv h q − 1

2 v | ρ ˆ | q + 1

2 v i .

^(2.22)

A evolução temporal lássia e quântia deste sistema são então dadas respetivamente pelas

equaçõesde Liouvillepara

ρ (q, p)

^{e de} Liouville-vonNeumann para

ρ ^W (q, p)

^{, ouseja,}

∂

∂t ρ (p, q) = − h p

m ∂ q − ∂ q V (q) ∂ p

i ρ (p, q) ,

^(2.23)

∂

∂t ρ ^W (p, q) = − h p

m ∂ q − ∂ q V (q) ∂ p

i ρ ^W (p, q) +

∞

X

λ=1

( ~ /2

ⁱ

) ^2λ

(2λ + 1)! ∂ ^2λ+1 _q V (q) ∂ _p ^2λ+1 ρ ^W (p, q) ,

^(2.24)

desde que o potenial

V (q)

^{possa ser expandido em série de Taylor.} Classiamente, temos que o aso extremo

ρ (p, q) = δ (p − p ^′ ) δ (q − q ^′ )

^{, quando} substituido em(2.23), nos fornee as equações de Newton para o movimento de uma partíula de massa

m

^. Quantiamente no entanto, esta formaultraloal não é permitidapois , para oaso de um estado puro

2

,

Z dp

Z dq

ρ ^W (p, q) 2

= 1

2π ~ .

^(2.25)

A impossibilidade de uma desrição daevolução dosistema quântio em termosde trajetórias de

partíulas noespaçode fases,está initimamenteligada aoprinípiode inerteza de Heisenberg eé

uma diuldade que aparee naturalmente emestudos daorrespondênia quântio-lássia.

Contudo, apesar dadiuldade menionada noparágrafo anterior,segundo [18, 19℄, é possível

denir um análogo quântio para os expoentes de Lyapunov, da forma omo foram denidos

em (2.12), fazendo uso de funções de Wigner no espaço de fases, através de uma analogia direta

om a equação (2.13). Para tanto,seguindo [18, 19℄, denimos a medida

χ q

^{da estrutura de uma}

distribuição quântia noespaço de fases omo

χ q ≡

" R

|∇ ρ ^W _t (γ) | ² dγ R (ρ ^W _t (γ)) ² dγ

# 1/2

,

^(2.26)

onde

ρ ^W (γ)

^{é afunção de Wigner dada em(2.22). No espaço de Fourier, temos que}

χ ² _q =

R d kk ² | ρ ^W _t ( k ) | ²

R dk | ρ ^W _t (k) | ² ,

^(2.27)

om

ρ ^W _t (γ) = 1 (2π) ⁴

Z

dk exp (2π

ⁱ

k · γ) ρ ^W _t (k) ,

de onde vemosque

χ _q

^{éo raioquadrátio médioda}tranformada de Fourier dafunção de Wigner.

Comadenição(2.26),temosnalmentequeoexpoentedeLyapunovparatemponitoemtermos

dadinâmiade distribuiçõesquântias, emanalogiadireta om

λ c (t)

^{, édado por}

λ q (t) ≡ 1

t ln

χ q (t) χ _q (0)

.

^(2.28)

Apesar de possuírem uma forma muito semelhante e serem obitidas através de um simples

2

Paraoasodeumestadodemistura,oladodireitodaequação(2.25)ariamultipliadopor

P

k w ² _k

^,ondeos

w k

analogia, as quantidades

λ c (t)

^e

λ q (t)

^possuem omportamentos diferentes no limite

t → ∞

^.

Classiamente, vemos em (2.21) que neste limite

λ _c (t)

^{por denição é o expoente de Lyapunov}

máximo do sistema. Quantiamente no entanto, a situação é um pouo diferente. Suponhamos

que

ρ ˆ

^{sejaooperadordensidadeassoiadoàfunçãodeWigner}

ρ ^W (q, p)

^e

γ ˆ i

^{ooperadorassoiadoà}

variávelannia lássia

γ i

^{(por exemplo}

q i

^ou

p i

^{). Segundo [18℄, podemos onsiderarnaequação}

(2.14) o fato de que

∇ ² ρ ≡ { p, { p, ρ }} + { q, { q, ρ }}

^{e além disso utilizar o proesso usual de}

quantização

{ A, B } → − (

ⁱ

/ ~ ) h A, ˆ B ˆ i

(onde

[, ]

^{representa o omutador entre dois} operadores) para obter uma versão de (2.26) em termosdo operador densidade

ρ ˆ

^{e das variáveisannias do}

sistema

ˆ γ i

^{dada por}

χ ² _q = 2 X

i

Tr

(ˆ ρ ² ˆ γ _i ² − ρˆ ˆ γ _i ρˆ ˆ γ _i )

~ ²

Tr

(ˆ ρ ² ) .

^(2.29)

Esta versão é independente de representação e, para o aso de um estado puro, ou seja

ρ ˆ ² = ˆ ρ

^,

tem a formamais simples

χ ² _q = 2

~ ² X

i

( h γ ˆ _i ² i − h γ ˆ _i i ² ),

^(2.30)

onde

h O ˆ i ≡ h ψ | O ˆ | ψ i

^{denota o valor esperado do operador}

O ˆ

^{em um dado estado quântio}

| ψ i

^.

Umavez quea equação (2.29) nos dizque

χ ² _q ≤ 2 X

i

Tr

(ˆ ρ ² ˆ γ _i ² )

~ ²

Tr

(ˆ ρ ² ) ,

temosque

χ q

^{possuiumlimitesuperiorparaqualquersistema}Hamiltonianolimitado. Dessaforma, para sistemas limitadose

~

xo,temos que

t→+∞ lim λ q (t) = 0,

^(2.31)

que nada mais é do que o resultado onheido de que sistemas quântios limitados não podem

exibiraos no sentido lássio.

Para estudar o omportamentode

λ q (t)

^e

λ c (t)

^para

t

^{nito, é neessário estudar as soluções}

daequação(2.24)parafunçãodeWigner

ρ ^W

^. Consideremos então,umsistemaumsistemaHamil- toniano espeío om dois graus de liberdade

H = H (q 1 , q 2 , p 1 , p 2 )

^{, sob a ação de um potenial}

V (q 1 , q 2 )

^{. Neste aso, temosque (2.24) édada por[19℄}

∂ρ ^W

∂t =

H, ρ ^W + X

(l 1 +l 2 )>1,

^ímpar

( ~ /2

ⁱ

) ^{(l 1 +l 2 −1)} l 1 !l 2 !

∂ ^{(l 1 +l 2 )} V (q 1 , q 2 )

∂q ^l ₁ ¹ ∂q ₂ ^{l 2}

∂ ^{(l 1 +l 2 )} ρ ^W

∂p ^l ₁ ¹ ∂p ^l ₂ ² ,

^(2.32)

ondeoprimeirotermodoladodireitodaequaçãosão osparêntesesde Poisonlássioseosegundo

termo representa a soma sobre uma série innitade orreçõesquântias.

Osmesmosresultadosdaseçãoanteriorpodemserobtidosapartirdeumaabordagemligeiramente

diferentedevidaaGu[16℄. Adedução deGuapresentaumarátermaisfísio,poissebaseianuma

medida da omplexidade de uma distribuição ao longo doespaço de fases, e utiliza omo medida

para esta omplexidade uma variação da entropia do sistema quando é feita uma média (oarse-

graining)innitesimalnoespaçodefases. Utilizandoestavariaçãodeentropia,Gu[16℄deniuuma

medida apaz de desrever quantitativamente a variação na estrutura da distribuição no espaço

de fases onformeéfeita amédia(oarse-graining), aheterogeneidade distribuionalnoespaçode

fases. Como veremos mais adiante, esta quantidade está diretamente relaionada, em sua versão

lássia

h c

^{, om a quantidade}

χ c

^{dada em (2.13) e em sua versão quântia}

h q

^om

χ q

^{dada em}

(2.26).

2.2.1 Contexto Clássio

Comoobjetivode denirumaquantidadequepudesse serutilizadaomoumamedidadahetero-

geneidade mirosópia de umadensidade noespaço de fases,YanGu[16℄ tomouomo pontode

partidaumaanalogiadiretaomoproblemade agitaruma misturainiialmenteseparadade água

e tintapreta. Guonsiderou queenquantodopontovistamaroópioo líquidoiniialmentenão

uniformetende aumestado de misturaom uma orpredominantementeinza,dopontode vista

mirosópioquantidadesde águaetintavãosendo deformadas emlamentosada vez mais nos

de tal forma que a esala da heterogeneidade, iniialmentemarosópia, se torne mirosópia.

Comoem meânia estatístia quantomais uniformementedistribuída é

ρ

^{maioro valordaentro-}

pia de Gibbs

S

^{, poderíamos onsiderar a entropia média} (oarse-grained)

S

^{g omo uma medida}

dauniformidade marosópia de

ρ

^.

Supondo agora um ensemble estatístio de sistemas lássios que iniialmente estão unifor-

memente distribuídos em uma região pequena do espaço de fases. À medida que a densidade

ρ t (γ)

^{, om}

γ = (q 1 , . . . , q n , p 1 , . . . , p n )

^{, se espalha no espaço de fases em lamento ada vez mais}

nos, a diferença entre a entropia média (oarse-grained) e a entropia do sistema (ne-grained)

apresentará um resimento ontínuo até que a esala da heterogeneidade distribuional de

ρ

^se

torneomparávelaotamanhodaéluladoespaçode fasesutilizadanoproessode média(oarse-

graining). Neste aso, podemos onsiderar esse aumento na entropia do sistema devido a uma

média (oarse-graining)innitesimal omo uma medidada heterogeneidadedistribuional de

ρ

^.

Paraumadadadensidade

ρ(γ)

^{noespaçodefases,podemosdenirumamédia}(oarse-graining) sobre esta densidade talque formaque a densidade média

ρ α (γ)

^{é dada por[16℄}

ρ α (γ) = Z

δ α (γ ^′ ) ρ (γ − γ ^′ ) dγ ^′ ,

^(2.33)

lim α→0 ρ α = ρ δ α (γ ^′ )

de tamanho

α

^em

γ ^′

^{e quepossui as}propriedades

Z

δ _α (γ)dγ = 1,

^(2.34)

δ α ( − γ) = δ α (γ),

^(2.35)

α→0 lim δ α (γ) = δ(γ),

^{(Deltade Dira) (2.36)}

α→0 lim 1 α

Z

γ i γ j δ α (γ)dγ = δ ij , (i, j = 1, . . . , 2n)

^(2.37)

e

Z

M (γ)δ _α (γ)dγ = o(α),

^(2.38)

se

M (γ)

^{for um monmioem}

γ

^{de ordemmaior que dois.}

Utilizando omodenição para aentropia dosistema

S(ρ) = − ln Z

| ρ(γ) | ² dγ

,

^(2.39)

e levando em onta(2.33) temos que

∆S = S(ρ α ) − S(ρ) = − ln

R | ρ α (γ) | ² dγ R | ρ(γ) | ² dγ

≥ 0,

^(2.40)

e segundo [16℄, a heterogeneidadedistribuional noespaço de fases édenida omo

h c (ρ) ⁽¹⁾ = lim

α→0

∆S α

(2) =

2n

X

i=1

R | ∂ρ (γ) /∂γ i | ² dγ

R | ρ (γ) | ² dγ .

^(2.41)

Segundo Gu [16℄, esta denição da heterogeneidade de

ρ

^{implia na existênia de um om-}

primento araterístio no espaço de fases, a saber

1/ p

h c (ρ)

^{, que mede o omprimento de onda}

médio 3

das osilações dadensidade

ρ

^{. Como menionado}anteriormente, podemos ver naequação (2.41) queas quantidades

h c (ρ)

^e

χ ² _c (t)

^são equivalentes (ver (2.13)).

3

Otermomédioaquinãodeveseronfundidoomamédiadevidaaooarse-graining.

O análogo quântio da heterogeneidade distribuiional no espaço de fases, denida em termos

do operador densidade, pode ser obtido de através do mesmo proedimento seguido no ontexto

lássio. Consideremos um sistema quântio om

n

^{graus de liberdade,} representado por um operador densidade

ρ ˆ

^{. Seguindo [16℄, denimos a média} (oarse-graining) sobre este operador densidade omo sendo oproesso peloqualobtemos (

κ = ~

,ver nota de rodapé1)

4

ˆ ρ α =

Z

δ α (γ) e

ⁱ

^{(γˆ γ)} ρe ˆ ⁻

ⁱ

^{(γˆ γ)} dγ,

^(2.42)

onde

lim α→0 ρ ˆ α = ˆ ρ

^,

δ α (γ)

^{representa a função de alisamento utilizada em (2.33) e}

γ ˆ j = − p ˆ j

e

ˆ γ j+n = ˆ q j

^,

j = 1, . . . , n

^{, são os}

2n

^{operadores assoiados as oordenadas no espaço de fases}

γ j ≡ (q j , p j )

^{, om}

j = 1, . . . , 2n

^.

Utilizando para aentropia do sistema,novamenteseguindo [16℄, a seguinteexpressão

S (ˆ ρ) = − ln

^Tr

ˆ ρ ²

,

^(2.43)

e levando em ontaas equações (2.42) onluímosque

∆S = S (ˆ ρ α ) − S (ˆ ρ) = − ln

Tr

[ˆ ρ ² _α ]

Tr

[ˆ ρ ² ]

> 0.

^(2.44)

Introduzimos então o funionalnão-negativo dooperador densidade

ρ ˆ

h q (ˆ ρ) ⁽¹⁾ = lim

α→0

∆S α

(2) =

2n

X

i=1

R

∂ρ ^W (γ) /∂γ i

2 dγ R | ρ ^W (γ) | ² dγ

(3) = −

2n

X

j=1

Tr

[ˆ γ j , ρ] ˆ ²

Tr

(ˆ ρ ² ) ,

^(2.45)

onde

ρ ^W (γ)

^{éa função de Wigner do operador densidade}

ρ ˆ

^{dada em(2.22). A equação (2.45)(2)}

pode ser obtida utilizandoo mesmo proedimento empregado no ontexto lássio (ver Apêndie

B) enquantoque aequação (2.45)(3) segue diretamenteda denição de

h q (ˆ ρ)

^{(ver Apêndie C).}

Da equação (2.45)(3)obtemos adesigualdade

h q (ˆ ρ) ≤ 2

n

X

j=1

Tr

ρ ˆ ² q ˆ _j ² + ˆ p ² _j

Tr

[ˆ ρ ² ] ,

^(2.46)

4

Noteque,devidoànãoomutatividadedos

q j

^e

p j

^{,adenição(2.42)podelevaradiferentesdeniçõeslassi-}

quegaranteque

h q (ˆ ρ)

^{élimitadaparatodoensemblequeonsistede sistemasquântios limitados.}

Uma vez que, segundo [16℄,

1/ p

h _q (ˆ ρ)

^{representa a esala do espaço de fases na qual utuações}

apreiáveisdadensidade podem ser observadas, esta esala preisaser maior quea esalamínima

dada pelarelação de inerteza

∆q∆p ≥ 1/2

min { ∆q, ∆p } ≥ 1/2L,

^(2.47)

om

L = max { ∆q, ∆p }

^{. Em outras palavras,devemos ter}

h q (ˆ ρ) ≤ 4L ² ,

que éompatívelom a desigualdade(2.46).

Uma outra araterístia interessante da heterogeneidade quântia (2.45) é que esta pode ser

denida mesmo paraum únio sistemaquântio, oque não oorre oma heterogeneidadelássia

(2.41), que não possui signiado para uma distribuição de um únio ponto no espaço de fases.

Novamentedaequação(2.45)(3), épossívelobterqueaheterogeneidadeparaum sistemaquântio

desritoporuma função de onda

ψ

^{pode ser expressa omo}

h q (ψ) = 2

n

X

j=1

(∆q j ) ² + (∆p j ) ² ,

onde

(∆q j ) ² = h ψ | q ˆ _j ² | ψ i − h ψ | q ˆ j | ψ i ² (∆p j ) ² = h ψ | p ˆ ² _j | ψ i − h ψ | p ˆ j | ψ i ² ,

que éidêntia a (2.30).

Podemos resumirasprinipaisaraterístiasglobaisdoomportamentode

h q (ˆ ρ)

^{, pelomenos}

para os sistemas estudados em [16, 18, 23℄, da seguinte forma:

(i)

^{para sistemas} lassiamente regulares (integráveis),

h q (ˆ ρ)

^{osilaomo umafunção dotempoexibindoresimentoiniialomo}

umapotêniadotempo;

(ii)

^parasistemaslassiamenteaótios,

h q (ˆ ρ)

^apresentainiialmenteum resimentoexponenialom o tempo,uja taxa de resimento assintótio é dada pelo expoente

de Lyapunov máximo do sistema lássio orrespondente, até atingir um patamar de saturação.

Este omportamento iniial 5

pode ser visto na gura 2.1, que mostra a dependênia temporalde

h q (ψ)

^{para aversão quântia do sistema6}

5

É importante notaque oomportamento quântio dosistema (2.51) éna verdade periódioom umperíodo

daordemde

N

^[16,30℄.

6

NoHamiltoniano(2.48),

δ ₁ (t)

representeaumasequêniadefunções

δ

^{deperíodoum.}

H = 1 2 p ² + 1

2 K q ² δ ₁ (t) ,

^(2.48)

para o qual aevolução temporalde uma distribuição noespaço de fases

ρ ^t (p, q)

^{é dada expliita-}

mentepor

ρ ^k+1 (p k+1 , q k+1 ) = ρ ^k (p k , q k ) ,

^(2.49)

om

p k+1 = p k − K q k (mod 1)

q _k+1 = q _k + p _k+1 (mod 1).

^(2.50)

Esta versão quântia é dada por [31℄

ˆ

ρ ^k+1 = ˆ D ρ ˆ ^k D ˆ ^† ,

^(2.51)

onde

D ˆ = exp −

ⁱ

π N p ˆ ²

exp −

ⁱ

π N K q ˆ ² .

Na gura 2.1osasos A, B eC referem-serespetivamente aos estados iniiais

(

^A

) | ψ (0) i = C

s−1

X

j=−s

exp

− πj ² N

| j i ,

(

^B

) | ψ (0) i = 1

√ 2r + 1

r

X

j=−r

| j i ,

(

^C

) | ψ (0) i = 1

√ 2 N

s−1

X

j=−s

h 1 + ( − 1) ^j i

| j i ,

onde

N = 20000

^,

s = 10000

^,

r = 100

^e

| j i

^,

j = − s, . . . , s − 1

^são

N

autoestados do operador

q ˆ

om autovalores

j/ N

^.

Figura 2.1: (Figura retirada de [16℄). Evolução temporal de

ln [h q (ψ)]

^{para diferentes estados}

quântios iniiais. As urvas sólidas referem-se a

K = − 1

(omportamento aótio) e as urvas traejadasreferem-se a

K = 0

(omportamentoregular).

Ainda omrelaçãoaequação(2.45)(3),tambéméimportantenotarque,atravésde umamani-

pulaçãoalgébriasimples,é possível mostrarqueesta equivaleàexpressão alternativade

χ ² _q

^dada

em(2.29). Assimilaridadesentre

χ ² _q

^e

h q (ˆ ρ)

^{tambémforamestudadasom algumdetalheem [23℄.}

A utilização destas medidas da estrutura de distribuições no espaço de fases, bem omo do

proessodemédia(oase-graining)paraoestudodaorrespondêniaquântio-lássiaemsistemas

lassiamente aótios, já foi feita para diversos sistemas (ver por exemplo [25, 26, 32, 24, 31℄, e

referênias lá itadas). No entanto, é importante enfatizar que a utilização desta araterização

doomportamentolassiamenteaótioemtermosde distribuiçõesnoespaçode fases,mesmono

aso de sistemas quântios, foi feita apenas para sistemas desritos por variáveis ontínuas num

espaço de dimensão

infinita

^.

Contudo,omo aráevidentemais adiante(mais preisamentenoapítulo4),para tratarmos

ossistemasompropensãooletivaserá neessárioextender estadesrição paraoasode sistemas

quântios desritos por variáveis disretas num espaço de Hilbert que possui dimensão

finita

^.

Com este objetivo, apresentaremos no próximo apítulo o formalismo neessário para desrever

taissistemasquântios. Alémdisso,mostraremosopontode partidade omoesteformalismoserá

utilizado(nosapítulos4e5)paraimplementarmososmétodos desritos aquinoapítulo2(mais

espeiamente (2.45)) para estes sistemas.

Espaços de Dimensão Finita

Neste apítulo apresentaremos o formalismo neessário à desrição de sistemas num espaço de

dimensão nita. Iniialmente, introduziremos uma representação proposta por Shwinger, obtida

através da simples existênia de uma base ortonormal no espaço de Hilbert do sistema orres-

pondente, naqualosgraus de liberdadedosistemaquântio são desritos pormeiode operadores

unitáriosnoespaçodeoperadoresorrespondente. Atravésdestarepresentaçãoépossívelonstruir

análogosdisretos de quantidades que antes eram usualmente denidas para sistemas ontínuos

num espaço de dimensão innita. Mostraremos que uma das prinipais vantagens desta repre-

sentação disreta, é que nolimite em que adimensão doespaço setorna innita reuperamos os

resultados usuais para sistemasontínuos num espaço de dimensão innita. Emseguida, faremos

uso desta representação para implementar a desrição em termos de distribuições, apresentada

no apítulo2 (mais espeiamente (2.45)), num espaço de fases de dimensão nita. Estas ferra-

mentasserãode fundamentalimportâniaparaque possamosapliaruma desriçãoemtermosde

distribuiçõesno espaçode fases,aos sistemasom propensão oletiva.

3.1 Base de Operadores Unitários de Shwinger

Éumfatobemonheidoqueparaadesriçãoquântiaompletade umsistemafísio,éneessária

aexistênia de um onjuntode operadores quepermitaa onstruçãode todasas possíveisquanti-

dades dinâmiasrelaionadas aeste sistema. Os elementos deste onjunto são então identiados

omo sendo oselementos de uma base ompleta no espaço de operadores do sistemaem questão.

Um onjunto partiular de operadores foi proposto por Shwinger [33, 34, 35, 36℄. Em seus

trabalhos, Shwinger notou que é possível obter uma base ompleta no espaço dos operadores a

partir de um par de operadores unitários

U ˆ

^e

V ˆ

^{, que atuamnoonjunto de}

D

autovetores um do outro, daseguinte forma:

V ˆ ^s | u n i = | u n−s i , U ˆ ^s | v n i = | v n+s i , n = 0, 1, . . . , D − 1

^(3.1)

| u _k i ≡ | u _k( ^mod _D) i , | v _m i ≡ | v _m( ^mod _D) i ,

^(3.2)

que impliaque

U ˆ ^D = ˆ V ^D = ˆ1;

^(3.3)

e de onde vem que osautovalores de

U ˆ

^e

V ˆ

^{são raízes daunidade, ou seja,}

U ˆ | u k i = exp

2π

ⁱ

D k

| u k i , V ˆ | v k i = exp 2π

ⁱ

D k

| v k i ,

^(3.4)

o quemostra que opar de operadores

U ˆ

^e

V ˆ

^{obedeetambémauma álgebra de Weyl:}

U ˆ ^j V ˆ ^l = exp 2π

ⁱ

D jl

V ˆ ^l U ˆ ^j ,

^(3.5)

e seus autovetores são relaionadospor uma transformada de Fourier disreta:

h v k | u n i = 1

√ D exp

− 2π

ⁱ

D kn

.

^(3.6)

Valeapenamenionarofatodequeestaonstruçãoétotalmentegeral,umavezqueShwinger

obteve os resultados aima a partir da simples suposição da existênia de

D

^estados ortonormais (qualquer base ortonormal em um espaço vetorial omplexo de dimensão

D

^{). Shwinger então,}

veriouqueopar de operadores

U ˆ

^e

V ˆ

^{poderiaser utilizadopara deniruma basenoespaçodos}

operadores (omoserádisutido ommaioresdetalhes napróximaseção)equeapartirdesta base

seria possívelobter uma desrição ompleta do sistemafísio emquestão.

Comomenionadoanteriormente,umadasprinipaisvantagensdestarepresentaçãodeShwin-

ger éofato de podermosgerar osresultados usuaispara um espaçode dimensão innitanolimite

D → ∞

^{. Am de veriarmos esta} propriedade de uma forma explíita, seguindo [6℄, primeiro introduzimoso fatorde rede

ǫ = r 2π

D ,

^(3.7)

que obviamente seanula nolimite

D → ∞

^{. Em seguida}onstruímos, apartir dos autoestadosde

U ˆ

^e

V ˆ

^{, dois operadores} hermitianos

P ˆ

^e

Q ˆ

^{de talformaque}

P ˆ =

(D−1)/2

X

j=−(D−1)/2

jǫ ^δ p 0 | v j ih v j | , Q ˆ =

(D−1)/2

X

j ^′ =−(D−1)/2

j ^′ ǫ ^2−δ q 0 | u j ^′ ih u j ^′ | ,

^(3.8)

onde

δ

^{é um parâmetro livre que pode assumir qualquer valor dentro do intervalo aberto}

(0, 2)

(a disussão original de Shwinger é equivalente a assumir

δ = 1

^{). Os parâmetros}

p 0

^e

q 0

^são