Revisão Experimento 01 - Medida da Temperatura e Resfriamento de Newton

MEDINDO TEMPERATURAS

Experimento 01

Física Experimental II

2018.1

TERMODINÂMICA

Introdução

Fenômenos térmicos ocorrem diariamente a nossa volta

•

e por isto fazem parte da nossa experiência comum.

Por exemplo, que o fogo pode ser usado para aquecer a

•

água e fazê-la entrar em ebulição e deste processo, o

vapor pode ser utilizado para gerar trabalho útil.

Um corpo pode esfriar espontaneamente se posto em

•

contato com outro corpo mais frio ou pode ser forçado a

esfriar de forma não espontânea através da ação de um

refrigerador.

Termodinâmica

A Termodinâmica é o ramo da Física que estuda os

•

sistemas macroscópicos (sistemas com um número

suficientemente grande de constituintes – N ~ 10

_{, por}

exemplo, um gás ideal dentro de um recipiente de volume

V)

Está baseada num conjunto de princípios ou leis, obtidos

•

a partir da observação experimental da matéria, de onde

se extraem as consequências lógicas, ou seja, é uma

teoria fenomenológica da matéria

Conceitos Importantes para a

Termodinâmica

•

A- O Sistema Termodinâmico

Defini

•

-se como sistema termodinâmico

uma região macroscópica limitada por

uma fronteira que pode ser fixa ou móvel,

real ou abstrata. Um exemplo disto é um

gás (sistema) contido em um recipiente

onde uma de suas paredes (fronteiras) é

um pistão (móvel).

592 C H A P T E R 1 9 Temperature

It is convenient to express the amount of gas in a given volume in terms of the number of moles n. As we learned in Section 1.3, one mole of any substance is that

amount of the substance that contains Avogadro’s number of

constituent particles (atoms or molecules). The number of moles n of a substance is related to its mass m through the expression

(19.7)

where M is the molar mass of the substance (see Section 1.3), which is usually ex-pressed in units of grams per mole (g/mol). For example, the molar mass of oxy-gen (O2) is 32.0 g/mol. Therefore, the mass of one mole of oxygen is 32.0 g.

Now suppose that an ideal gas is confined to a cylindrical container whose vol-ume can be varied by means of a movable piston, as shown in Figure 19.11. If we assume that the cylinder does not leak, the mass (or the number of moles) of the gas remains constant. For such a system, experiments provide the following infor-mation: First, when the gas is kept at a constant temperature, its pressure is in-versely proportional to its volume (Boyle’s law). Second, when the pressure of the gas is kept constant, its volume is directly proportional to its temperature (the law of Charles and Gay – Lussac). These observations are summarized by the equation of state for an ideal gas:

(19.8)

In this expression, known as the ideal gas law, R is a universal constant that is the same for all gases and T is the absolute temperature in kelvins. Experiments on numerous gases show that as the pressure approaches zero, the quantity PV/nT ap-proaches the same value R for all gases. For this reason, R is called the universal gas constant. In SI units, in which pressure is expressed in pascals (1 Pa ! 1 N/m2_{) and volume in cubic meters, the product PV has units of newton" meters,}

or joules, and R has the value

(19.9)

If the pressure is expressed in atmospheres and the volume in liters (1 L ! 103_cm3_!10#3_m3_{), then R has the value}

Using this value of R and Equation 19.8, we find that the volume occupied by 1 mol of any gas at atmospheric pressure and at 0°C (273 K) is 22.4 L.

Now that we have presented the equation of state, we are ready for a formal definition of an ideal gas: An ideal gas is one for which PV/nT is constant at all pressures.

The ideal gas law states that if the volume and temperature of a fixed amount of gas do not change, then the pressure also remains constant. Consider the bottle of champagne shown at the beginning of this chapter. Because the temperature of the bottle and its contents remains constant, so does the pressure, as can be shown by replacing the cork with a pressure gauge. Shaking the bottle displaces some car-bon dioxide gas from the “head space” to form bubbles within the liquid, and these bubbles become attached to the inside of the bottle. (No new gas is gener-ated by shaking.) When the bottle is opened, the pressure is reduced; this causes the volume of the bubbles to increase suddenly. If the bubbles are attached to the bottle (beneath the liquid surface), their rapid expansion expels liquid from the

R ! 0.082 14 L"atm/mol"K R ! 8.315 J/mol"K PV ! nRT n ! m M NA!6.022 $ 1023

The universal gas constant

QuickLab

Vigorously shake a can of soda pop and then thoroughly tap its bottom and sides to dislodge any bubbles trapped there. You should be able to open the can without spraying its contents all over.

Figure 19.11 An ideal gas con-fined to a cylinder whose volume can be varied by means of a mov-able piston.

A natureza

•

destas paredes pode influenciar de forma

fundamental a interação entre o sistema e o meio externo

que o cerca.

•

-Isolado: confinado em paredes isolantes (não há

transferência de energia e matéria entre o sistema e o

meio externo);

•

-Fechado: confinado por paredes condutoras (há

transferência de energia entre o sistema e o meio

externo, mas não de matéria);

•

-Aberto: não confinado.

Sistema

Fronteira (Paredes)

Meio Externo

•

B- Parâmetros Termodinâmicos (ou Quantidades de

Estado, ou Variáveis de Estado)

São quantidades macroscópicas mensuráveis associadas ao

•

sistema. Como exemplo, algumas quantidades associadas a

um gás ideal contido em um recipiente são a pressão (P), o

volume (V) e a temperatura (T).

Estas quantidades de estado, definidas experimentalmente,

•

podem ser classificadas em:

•

-Extensivas ou aditivas (proporcionais a quantidade de matéria do

sistema, ou seja, se o sistema estiver dividido em várias partes, o

valor total de uma variável extensiva é igual à soma dos valores dessa

variável para cada parte considerada. Como por exemplo, temos o

número de partículas, a massa, etc.)

•

-Intensivas (São independentes da quantidade de matéria no sistema

e não são aditivas para fases particulares do sistema. Como por

exemplo, temos a pressão, a temperatura, etc.)

•

C- Equilíbrio Termodinâmico

Um sistema está em equilíbrio termodinâmico quando ás

•

quantidades de estado não variam no tempo, ou seja, o

estado não muda no intervalo de tempo da observação

(medida de uma quantidade) do sistema. Ex. Equilíbrio

Térmico => T é constante.

Lei Zero da Termodinâmica

A Lei Zero da Termodinâmica é de importância fundamental, pois

•

permite a introdução do conceito do termômetro e a medida da

temperatura de vários sistemas de maneira reprodutiva.

Dois sistemas em equilíbrio térmico com um terceiro estão em

equilíbrio térmico entre si (c).

ou

Dois corpos cujas temperaturas sejam iguais às de outro têm

temperaturas iguais.

Termômetro

Consequência importante da Lei Zero;

•

Há vários tipos de termômetros, mas todos eles são caracterizados

•

por uma propriedade facilmente mensurável, que varia com a

temperatura e é, por isso, chamada de propriedade termométrica.

Abaixo está o resumo dos principais tipos de termômetros utilizados

•

Termômetro de Gás

A pressão do gás no bulbo é

determinada por:

A temperatura do gás e, portanto,

do sistema em questão, é definida

em função de um ponto fixo, o

ponto triplo da água, por:

P

= P

+

ρgh

T (P)

= T

lim

P

P

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

= 273,16 K

(

)

lim

P

P

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

O ponto triplo representa o estado em que coexistem, em equilíbrio, as

fases líquida, sólida e gasosa da água. Para esse estado, P = 4,58 mmHg e

RESFRIAMENTO DE

NEWTON

Resfriamento de Newton

O calor (normalmente representado por

•

Q) é a nomenclatura atribuída à

energia sendo transferida de um sistema a outro, em contato térmico,

exclusivamente em virtude da diferença de temperaturas entre eles.

Esta transferência se dá através da fronteira comum aos sistemas. A unidade

•

do Sistema Internacional (SI) para o calor é o joule (J), embora seja

usualmente utilizada a caloria (cal; 1 cal = 4,18 J).

Resfriamento de Newton

Há essencialmente duas formas de calor, o calor sensível e calor latente.

Calor sensível: provoca apenas a variação da temperatura do sistema (é

-diretamente proporcional a variação de temperatura do corpo, ΔT).

onde, C é definida como a capacidade calorífera do sistema (característico do

sistema).

Calor latente: provoca a mudança de estado físico do sistema de massa

-

m,

mas não de temperatura. É a quantidade de calor (L) que a substância troca

por

grama

de massa durante a mudança de estado físico.

Q

= mL

Suponha dois sistemas nos quais a temperatura seja homogênea em todos os

seus pontos. Assuma que a temperatura do primeiro sistema (água) seja T, e que

a temperatura do segundo sistema (ambiente) seja T

. Colocando-se os dois

sistemas em contato, se T > T

, então, haverá fluxo de calor da água para o

ambiente.

Quando a diferença de temperaturas (T – T

) não é muito grande, uma quantidade

de calor dQ é transferida da água para o ambiente, durante um intervalo de tempo

dt, de modo que a taxa de transferência de calor ou corrente de calor H é

proporcional à diferença de temperaturas, isto é,

onde, α é uma constante que depende da condutividade térmica entre os sistemas

e A é a área de contato. A água, de massa m e calor específico c, transfere para o

ambiente, durante esse intervalo de tempo, a quantidade infinitesimal de calor dQ

= - m c dT , em que dT corresponde à variação de temperatura, devido ao

resfriamento da água. Então, pode-se escrever:

H

=

dQ

dQ

dt

=

mcdT

dt

=

α A(T − T

)

dT

dt

= − α

A

mc

(T

− T

)

= −

1

τ

(T

− T

)

em que

τ

é uma constante característica dos sistemas.

Supondo que a água esteja à temperatura T

no instante inicial t

, e à

temperatura T no instante t > t

, integra-se a equação diferencial, chegando-se

ao resultado:

T

= T

+ (T

− T

)e

( )

ou

ΔT = ΔT

e

( )

Utilizando os dados experimentais

Na atividade experimental citada no início deste texto, foi feita uma discussão sobre os

principais fatores que influenciam o resfriamento de um corpo e podemos verificar a

concordância entre as conclusões tiradas dos dados coletados experimentalmente e o texto

acima. Para tornar mais clara esta verificação, temos abaixo, nas Figuras 1 a 6, os gráficos

coletados, em diferentes situações, durante a atividade experimental.

Resfriamento

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0

500

1000

1500

Tem po (s)

T

em

p

er

at

u

ra

(

C)

_{Resfriam ento}

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0

500

1000

1500

Tempo (s)

T

em

p

er

at

u

ra

(

C)

Figura 1: Resfriamento de 25 ml de água, em tubo

de ensaio, em contato com o ar.

Figura 2: Resfriamento de 25 ml de água, em tubo

de ensaio, imerso em água a temperatura ambiente.

Resfriam ento

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0

500

1000

1500

Tempo (s)

T

em

p

er

at

u

ra

(

C)

Resfriam ento

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0

500

1000

1500

Tempo (s)

T

em

p

er

at

u

ra

(

C)

Figura 3: Resfriamento de 25 ml de água, em tubo

de ensaio, imerso em água gelada.

Figura 4: Resfriamento de 200 ml de água, em um

béquer de 250 ml, em contato com o ar.

3

_{Os dados representados nestes gráficos (mostrados nas Figuras 1 a 6) foram coletados pelos alunos da turma 104 do}

CEFET-RS (ano letivo de 2005). Gráficos coletados pela turma 125 podem ser encontrados em:

http://www.cefetrs.tche.br/~denise/caloretemperatura/resf125.pdf

. Fotos dos grupos durante a coleta de

dados podem ser encontradas em:

http://www.cefetrs.tche.br/~denise/fotos/resf.html

.

FENÔMENOS COM DEPENDÊNCIA

TEMPORAL EXPONENCIAL

Conceitos básicos para uma análise gráfica

Física Experimental II

Introdução

Uma função do tipo exponencial, como por exemplo,

•

tem uma representação gráfica linearizada quando usamos

mono-logarítmicas.

Em particular, estamos interessados em sistemas físicos cuja

•

evolução temporal é exponencial, tendo o tempo t como a variável

independente. Assim, estas funções podem ser escritas como

onde,

τ

é uma constante de tempo característica do sistema e tem

a mesma unidade de t.

y

= ke

Gráfico Linear - Método do Tempo Característico

• -se um conjunto de medidas da tensão sobre um

capacitor, de capacitância desconhecida, inicialmente carregado com a tensão de 8,0 Volts, que se descarrega sobre um resistor de 100 kΩ. As medidas dos valores de tensão no capacitor em função do tempo estão mostradas na tabela abaixo.

Pode

• -se observar, na representação linear da tensão no

capacitor em função do tempo, que a tensão diminui com o tempo, mas a principio não pode-se dizer que a forma da curva é uma exponencial ou uma hipérbole, esta última. Sabe-se que a tensão no capacitor em um circuito RC cai exponencialmente durante sua descarga, logo não é necessário que nos preocupar-se com esta possibilidade. Sabendo

• -se que a tensão no capacitor, para este circuito, é

dada por

Vê

• -se que para o circuito RC, τ = RC , isto é, a constante

de decaimento da tensão é dada pelo produto da

capacitância C do capacitor (medida em Faradays ) pela resistência R do resistor (medida em Ohms). O produto RC tem, portanto, dimensões de segundo.

Observe que, em

• t =τ, temos

4

descarga. Note que, tanto no processo de carga como no de descarga do capacitor, a tensão total é igual a

V = VC + VR = , (carga) (4.10)

V = VC + VR = qo / C . (descarga) (4.10’)

4.3 Método do tempo característico

Vejamos um conjunto de medidas da tensão sobre um capacitor, de capacitância desconhecida, inicialmente carregado com a tensão de 8,0 Volts, que se descarrega sobre um resistor de 100 k . As medidas dos valores de tensão no capacitor em função do tempo estão mostradas na tabela abaixo.

t (s) 0,0 0,12 0,70 2,0 3,0 5,0 VC (Volts) 8,00 7,10 3,97 1,08 0,40 0,05

No gráfico 1, vemos a representação linear da tensão no capacitor em função do tempo. Como podemos observar, a tensão diminui com o tempo, mas a princípio não podemos dizer que a forma da curva é uma exponencial ou uma hipérbole, esta última descrita por p

x k

y , com p 0. Como sabemos que a tensão no capacitor em um circuito RC cai exponencialmente durante sua descarga, não é necessário que nos preocupemos com esta possibilidade.

Comparando-se as equações (4.1) e (4.8), vemos que, para o circuito RC, RC , isto é, a

constante de decaimento da tensão é dada pelo produto da capacitância C do capacitor (medida em Farads – F) pela resistência R do resistor (medida em Ohms - ). O produto RC tem, portanto, dimensões de segundo.

Observe que, em t , temos

0 1 0 / 0e V e 0,37V V VC (4.11)

i.e., em t (uma unidade de constante de decaimento) a tensão no capacitor cai para 37% do seu valor inicial, V . Se 0 V = 8,0 V, então 0 VC 0,37 8,V 2,9V.

5

Gráfico 1: Tensão de descarga de um capacitor em função do tempo, em um circuito RC.

No gráfico 1, o valor da constante de decaimento pode ser facilmente encontrado, bastando para isto ler na curva o valor de tempo correspondente ao valor de tensão 2,9 V. Encontramos que

s

05 ,

1 , como indicado. Com isto, podemos trivialmente encontrar o valor da capacitância do capacitor, pois C /R 1,04/105 10,4 F_.

4.4 Método da tangente

Há uma outra maneira de se medir a constante de decaimento, usando ainda o gráfico linear. Trata-se do método da tangente. Derivando a equação (4.8’)   em   relação   ao   tempo   e   avaliando   o   resultado em t 0, obtemos 0 0 / 0 0 ) ( V e V dt t dV t t t C _(4.12)

Como sabemos, a derivada de uma função em um determinado ponto é igual ao valor da tangente do ângulo entre a reta tangente à curva no ponto considerado e o eixo das abscissas. Traçando-se uma reta tangente à curva de decaimento da tensão em t 0, como mostra o gráfico 2,

observamos que 2 1 2 1 X X Y Y X Y tg (4.13)

Escolhendo os pontos 1 e 2 conforme mostra o gráfico 2, temos Y₁ V₀, X1 0, Y2 0 e X2 t,

onde t é o valor de tempo em que a reta tangente corta o eixo das abscissas. Assim,

t V t V tg 0 0 0 0 (4.14) 3

Figura 2. Corrente de carga do capacitor em função do tempo.

A figura 2, acima, mostra o gráfico da corrente de carga do capacitor em função do tempo. A corrente diminui do fator 1/e no tempo t = tC = RC. Se a taxa de carga fosse constante e igual ao seu

valor inicial, o capacitor estaria completamente carregado depois do instante de tempo t = RC, (ver linha tracejada em vermelho). Quando a chave S se encontra em b, não há força eletromotriz aplicada ao circuito (o mesmo aconteceria se desligássemos a fonte da força eletromotriz ). O capacitor irá descarregar sobre o resistor R. Portanto, as equações equivalentes a (4.1) e (4.2) serão

R i + q / C = 0 (4.4’) e dt dq + q / RC = 0, (4.5’) cuja solução é q(t) = qo e -t / RC, (4.6’)

onde qo é o valor inicial da carga no capacitor. Assim, teremos

i(t) = - (qo / RC)e –t / RC (4.7’)

VC = (qo / C)e -t / RC (4.8’)

VR = (qo / C)e -t / RC (4.9’)

onde o sinal negativo indica que a corrente circula no sentido oposto de quando o capacitor está sendo carregado. Como as fórmulas (4.4), (4.4’),   (4.5), (4.5’),   (4.6) e (4.6’)   dependem   de   uma   função que varia exponencialmente com o tempo, teremos grande variação temporal até t RC. Portanto, para t 4RC, temos que q C em (4.6). Assim, se colocarmos a chave S de a para b ou se desligarmos a fonte após t 4RC, a carga inicial do capacitor será qo C no processo de

0 1 2 3 4 5 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 i(t) = I₀et/RC

Corrente de carga em um circuito RC I₀= /R

i(t)

/I

t/RC

Vê

• -se que para o circuito RC, τ = RC , isto é, a constante de

i.e., em t =τ (uma unidade de constante de decaimento) a

tensão no capacitor cai para 37% do seu valor inicial, V₀. Se

V0= 8,0 V, então VC(τ) = 0,37x8,0V = 2,9V .

No gráfico, o valor da constante de decaimento pode ser •

facilmente encontrado, bastando para isto ler na curva o valor de tempo correspondente ao valor de tensão 2,9 V.

Encontra-se τ = 1,05 s , como indicado.

Com isto, pode

• -se trivialmente encontrar o valor da

capacitância do capacitor, pois C = τ / R = 1,04 /105_{= 10,4}

μF.

4

descarga. Note que, tanto no processo de carga como no de descarga do capacitor, a tensão total é igual a

V = VC + VR = , (carga) (4.10)

V = VC + VR = qo / C . (descarga) (4.10’)

4.3 Método do tempo característico

Vejamos um conjunto de medidas da tensão sobre um capacitor, de capacitância desconhecida, inicialmente carregado com a tensão de 8,0 Volts, que se descarrega sobre um resistor de 100 k . As medidas dos valores de tensão no capacitor em função do tempo estão mostradas na tabela abaixo.

t (s) 0,0 0,12 0,70 2,0 3,0 5,0 VC (Volts) 8,00 7,10 3,97 1,08 0,40 0,05

No gráfico 1, vemos a representação linear da tensão no capacitor em função do tempo. Como podemos observar, a tensão diminui com o tempo, mas a princípio não podemos dizer que a forma da curva é uma exponencial ou uma hipérbole, esta última descrita por p

x k

y , com p 0. Como sabemos que a tensão no capacitor em um circuito RC cai exponencialmente durante sua descarga, não é necessário que nos preocupemos com esta possibilidade.

Comparando-se as equações (4.1) e (4.8), vemos que, para o circuito RC, RC , isto é, a

constante de decaimento da tensão é dada pelo produto da capacitância C do capacitor (medida em Farads – F) pela resistência R do resistor (medida em Ohms - ). O produto RC tem, portanto, dimensões de segundo.

Observe que, em t , temos

0 1 0 / 0e V e 0,37V V VC (4.11)

i.e., em t (uma unidade de constante de decaimento) a tensão no capacitor cai para 37% do seu valor inicial, V . Se ₀ V = 8,0 V, então ₀ V_C 0,37 8,V 2,9V.

Gráfico Linear - Método da Tangente

Derivando a equação de

• V_C em relação ao tempo e avaliando o resultado em t = 0 , obtemos

A derivada de uma função em um determinado

•

ponto é igual ao valor da tangente do ângulo entre a reta tangente à curva no ponto

considerado e o eixo das abscissas. Traçando-se uma reta tangente à curva de decaimento da tensão em t = 0 , como mostra o gráfico, observa-se que

Escolhendo os pontos 1 e 2 conforme mostra o

•

gráfico, tem-se Y₁ = V₀, X₁ = 0,Y₂ = 0 e X₂ = t, onde t é o valor de tempo em que a reta tangente corta o eixo das abscissas. Assim,

Igualando-se as equações da tangente, obtemos V₀/t = V₀/τ, onde τ = t = 1,05 s . No gráfico traça-se mais uma tangente à curva, no ponto 3, que corta o eixo das abscissas no ponto 4. Procedendo-se de maneira análoga ao caso anterior, encontramos τ =(X₄ - X₃) = 2,75 -1,75 =1,00s, valor que é muito próximo ao que foi encontrado anteriormente. Desta forma, verifica-se que é possível medir a constante de decaimento a partir da declividade da curva medida em um ponto qualquer.

5

No gráfico 1, o valor da constante de decaimento pode ser facilmente encontrado, bastando para isto ler na curva o valor de tempo correspondente ao valor de tensão 2,9 V. Encontramos que

s

05 ,

1 , como indicado. Com isto, podemos trivialmente encontrar o valor da capacitância do capacitor, pois C /R 1,04/105 10,4 F.

4.4 Método da tangente

Há uma outra maneira de se medir a constante de decaimento, usando ainda o gráfico linear. Trata-se do método da tangente. Derivando a equação (4.8’)   em   relação   ao   tempo   e   avaliando   o   resultado em t 0, obtemos 0 0 / 0 0 ) ( V e V dt t dV t t t C _(4.12)

Como sabemos, a derivada de uma função em um determinado ponto é igual ao valor da tangente do ângulo entre a reta tangente à curva no ponto considerado e o eixo das abscissas. Traçando-se uma reta tangente à curva de decaimento da tensão em t 0, como mostra o gráfico 2, observamos que 2 1 2 1 X X Y Y X Y tg (4.13)

Escolhendo os pontos 1 e 2 conforme mostra o gráfico 2, temos Y₁ V₀, X₁ 0, Y2 0 e X2 t , onde t é o valor de tempo em que a reta tangente corta o eixo das abscissas. Assim,

t V t V tg 0 0 0 0 (4.14) 5

Gráfico 1: Tensão de descarga de um capacitor em função do tempo, em um circuito RC.

No gráfico 1, o valor da constante de decaimento pode ser facilmente encontrado, bastando para isto ler na curva o valor de tempo correspondente ao valor de tensão 2,9 V. Encontramos que

s 05 ,

1 , como indicado. Com isto, podemos trivialmente encontrar o valor da capacitância do capacitor, pois C /R 1,04/105 10,4 F.

4.4 Método da tangente

Há uma outra maneira de se medir a constante de decaimento, usando ainda o gráfico linear. Trata-se do método da tangente. Derivando a equação (4.8’)   em   relação   ao   tempo   e   avaliando   o   resultado em t 0, obtemos 0 0 / 0 0 ) ( V e V dt t dV t t t C _(4.12)

Como sabemos, a derivada de uma função em um determinado ponto é igual ao valor da tangente do ângulo entre a reta tangente à curva no ponto considerado e o eixo das abscissas. Traçando-se uma reta tangente à curva de decaimento da tensão em t 0, como mostra o gráfico 2,

observamos que 2 1 2 1 X X Y Y X Y tg (4.13)

Escolhendo os pontos 1 e 2 conforme mostra o gráfico 2, temos Y₁ V₀, X₁ 0, Y2 0 e X2 t , onde t é o valor de tempo em que a reta tangente corta o eixo das abscissas. Assim,

t V t V tg 0 0 0 0 (4.14) 5

Gráfico 1: Tensão de descarga de um capacitor em função do tempo, em um circuito RC.

No gráfico 1, o valor da constante de decaimento pode ser facilmente encontrado, bastando para isto ler na curva o valor de tempo correspondente ao valor de tensão 2,9 V. Encontramos que

s 05 ,

1 , como indicado. Com isto, podemos trivialmente encontrar o valor da capacitância do capacitor, pois C /R 1,04/105 10,4 F.

4.4 Método da tangente

Há uma outra maneira de se medir a constante de decaimento, usando ainda o gráfico linear. Trata-se do método da tangente. Derivando a equação (4.8’)   em   relação   ao   tempo   e   avaliando   o   resultado em t 0, obtemos 0 0 / 0 0 ) ( V e V dt t dV t t t C _(4.12)

Como sabemos, a derivada de uma função em um determinado ponto é igual ao valor da tangente do ângulo entre a reta tangente à curva no ponto considerado e o eixo das abscissas. Traçando-se uma reta tangente à curva de decaimento da tensão em t 0, como mostra o gráfico 2,

observamos que 2 1 2 1 X X Y Y X Y tg (4.13)

Escolhendo os pontos 1 e 2 conforme mostra o gráfico 2, temos Y₁ V₀, X1 0, Y2 0 e X2 t , onde t é o valor de tempo em que a reta tangente corta o eixo das abscissas. Assim,

t V t V tg 0 0 0 0 (4.14) 6

Igualando-se as equações (4.13) e (4.14), obtemos

t V

V0 0 _{, donde}

s

t 1,05 . No gráfico

2 traçamos mais uma tangente à curva, no ponto 3, que corta o eixo das abscissas no ponto 4. Procedendo-se de maneira análoga ao caso anterior, encontramos

s s

X

X ) 2,75 1,75 1,00

( _{4 3} , valor que é muito próximo ao que foi encontrado anteriormente. Desta forma, verificamos que é possível medir a constante de decaimento a partir da declividade da curva medida em um ponto qualquer.

Gráfico 2: Ilustração do método da tangente. 4.5 Gráficos mono-logarítmicos

Vejamos, agora, como trabalhar com a escala mono-logarítimica, ou mono-log. Primeiro, escrevemos os valores da tensão em notação científica, como mostrado na tabela abaixo:

t (s) 0,0 0,12 0,70 2,0 3,0 5,0

VC (Volts) 8,00 7,10 3,97 1,08 0,40 0,05 VC (Volts) 8,00 100 7,10 100 3,97 100 1,08 100 4,00 10-1 5,00 10-2

No gráfico 3, a escala logarítmica foi escolhida de acordo com o menor valor de tensão da tabela acima (5,00 10-2 V). Observe o seguinte, no gráfico 3:

a) Em t 0 s devemos ter V_C(0) 8,0V , e no gráfico lemos VC V 0 10 0 , 8 ) 0 ( .

b) Em V_C( ) 2,9V devemos encontrar o valor da constante de decaimento . Conforme

indicado no gráfico 2, encontramos 1,00s, que é aproximadamente o valor encontrado usando-se os gráficos 1 e 2.

c) Da equação (4.8’),  operando  logarítmos  em  ambos  os  lados,  obtemos:

e t V VC 10 0 10 10 log log log (4.15) 21

Gráficos mono-logarítmicos

Trabalharemos

• neste momento com a escala mono-logarítimica, ou mono-log.

Primeiro

• , escreve-se os valores da tensão em

notação científica, como mostrado na tabela abaixo:

No

• gráfico ao lado, a escala logarítmica foi

escolhida de acordo com o menor valor de tensão da tabela acima (5,00x10-2 _{V). Observe no}

gráfico: Em

a) t = 0 s deve-se ter V_C (0) = 8,0 V , e no gráfico lê-se V_C (0) = 8,0x100 _V

Em

b) V_C (τ) = 2,9 V deve-se encontrar o valor da

constante de decaimento τ . Conforme indicado no gráfico acima, encontra-se τ = 1,00 s , que é aproximadamente o valor encontrado usando-se os gráficos anteriores.

Traça

c) -se, manualmente com uma régua, a reta

que melhor se ajusta aos pontos.

6

anteriormente. Desta forma, verificamos que é possível medir a constante de decaimento a partir da declividade da curva medida em um ponto qualquer.

Gráfico 2: Ilustração do método da tangente.

4.5 Gráficos mono-logarítmicos

Vejamos, agora, como trabalhar com a escala mono-logarítimica, ou mono-log. Primeiro, escrevemos os valores da tensão em notação científica, como mostrado na tabela abaixo:

t (s) 0,0 0,12 0,70 2,0 3,0 5,0 VC (Volts) 8,00 7,10 3,97 1,08 0,40 0,05

VC (Volts) 8,00 100 7,10 100 3,97 100 1,08 100 4,00 10-1 5,00 10-2

No gráfico 3, a escala logarítmica foi escolhida de acordo com o menor valor de tensão da tabela acima (5,00 10-2 _{V). Observe o seguinte, no gráfico 3:}

a) Em t 0 devemos ter s VC(0) 8,0V, e no gráfico lemos VC V

0 10 0 , 8 ) 0 ( .

b) Em VC( ) 2,9V devemos encontrar o valor da constante de decaimento . Conforme

indicado no gráfico 2, encontramos 1,00s, que é aproximadamente o valor encontrado usando-se os gráficos 1 e 2.

c) Da equação (4.8’),  operando  logarítmos  em  ambos  os  lados,  obtemos:

e t V VC 10 0 10 10 log log log (4.15) 7

Fazendo a mudança de variáveis costumeira, ficamos com t

a b

y (4.16) Com _a log10e 0,434 _{tg 0,44s}1_{, o que equivale a s}

s 0,99 44 , 0 434 , 0 1 , que é um valor muito próximo aos encontrados anteriormente, por outros métodos.

Gráfico 3: Tensão de descarga de um capacitor em função do tempo, em um circuito RC, representada em escala mono-logarítmica.

7

Fazendo a mudança de variáveis costumeira, ficamos com

t a b y (4.16) Com log10 0,434 _0,44 1 s tg e a , o que equivale a s s 0,99 44 , 0 434 , 0 1 , que é um

valor muito próximo aos encontrados anteriormente, por outros métodos.

Gráfico 3: Tensão de descarga de um capacitor em função do tempo, em um circuito RC, representada em escala mono-logarítmica.

Da

d) equação de V_C, operando logarítmos

em ambos os lados, obtem-se:

Fazendo a mudança de variáveis, fica-se com

6

2 traçamos mais uma tangente à curva, no ponto 3, que corta o eixo das abscissas no ponto 4. Procedendo-se de maneira análoga ao caso anterior, encontramos

s s

X

X ) 2,75 1,75 1,00

( _{4 3} , valor que é muito próximo ao que foi encontrado anteriormente. Desta forma, verificamos que é possível medir a constante de decaimento a partir da declividade da curva medida em um ponto qualquer.

Gráfico 2: Ilustração do método da tangente. 4.5 Gráficos mono-logarítmicos

Vejamos, agora, como trabalhar com a escala mono-logarítimica, ou mono-log. Primeiro, escrevemos os valores da tensão em notação científica, como mostrado na tabela abaixo:

t (s) 0,0 0,12 0,70 2,0 3,0 5,0 VC (Volts) 8,00 7,10 3,97 1,08 0,40 0,05

VC (Volts) 8,00 100 7,10 100 3,97 100 1,08 100 4,00 10-1 5,00 10-2

No gráfico 3, a escala logarítmica foi escolhida de acordo com o menor valor de tensão da tabela acima (5,00 10-2 V). Observe o seguinte, no gráfico 3:

a) Em t 0 s devemos ter V_C(0) 8,0V , e no gráfico lemos V_C(0) 8,0 100 V .

b) Em V_C( ) 2,9V devemos encontrar o valor da constante de decaimento . Conforme indicado no gráfico 2, encontramos 1,00 s, que é aproximadamente o valor encontrado usando-se os gráficos 1 e 2.

c) Da equação (4.8’),  operando  logarítmos  em  ambos  os  lados,  obtemos:

e t V V_{C 10 0 10} 10 log log log (4.15) 6

Igualando-se as equações (4.13) e (4.14), obtemos

t V

V_{0 0}

, donde t 1,05s. No gráfico

2 traçamos mais uma tangente à curva, no ponto 3, que corta o eixo das abscissas no ponto 4.

Procedendo-se de maneira análoga ao caso anterior, encontramos

s s

X

X ) 2,75 1,75 1,00

( _{4 3} , valor que é muito próximo ao que foi encontrado

anteriormente. Desta forma, verificamos que é possível medir a constante de decaimento a partir da declividade da curva medida em um ponto qualquer.

Gráfico 2: Ilustração do método da tangente.

4.5 Gráficos mono-logarítmicos

Vejamos, agora, como trabalhar com a escala mono-logarítimica, ou mono-log. Primeiro, escrevemos os valores da tensão em notação científica, como mostrado na tabela abaixo:

t (s) 0,0 0,12 0,70 2,0 3,0 5,0

VC (Volts) 8,00 7,10 3,97 1,08 0,40 0,05

VC (Volts) 8,00 100 7,10 100 3,97 100 1,08 100 4,00 10-1 5,00 10-2

No gráfico 3, a escala logarítmica foi escolhida de acordo com o menor valor de tensão da

tabela acima (5,00 10-2 V). Observe o seguinte, no gráfico 3:

a) Em t 0 devemos ter s V_C(0) 8,0V, e no gráfico lemos VC V

0 10 0 , 8 ) 0 ( .

b) Em V_C( ) 2,9V devemos encontrar o valor da constante de decaimento . Conforme

indicado no gráfico 2, encontramos 1,00s, que é aproximadamente o valor encontrado

usando-se os gráficos 1 e 2.

c) Da equação (4.8’),  operando  logarítmos  em  ambos  os  lados,  obtemos:

e t V V_{C 10 0 10} 10 log log log (4.15) Y = b + aX onde Y = Log(V_C) b= Log(V₀) a= −1 τ Log(e) X= t Logo, Y (x= 0) = b ⇒ Log(V_C(t= 0)) = Log(V₀)⇒ V₀= V_C(t= 0) a= tgθ = Y2−Y1 X₂− X₁ = Log(VC,2)− Log(VC,1) t₂− t₁ = Log(VC,2 VC,1 ) t₂− t₁ escolhendo-se t1= 0,0s e VC,1= 8,0 ×10 0 V t2 = 6,6s e VC,2= 1,0 ×10 −2_V obtém-se tgθ = Log(1,0 × 10−2V 8,0×100V) 6,6s− 0,0s = − 0,44s −1 a= −1 τ Log(e)= − 0, 434 τ = tgθ = −0.44s−1⇒τ = 0,99s 23