5 o Roteiro de Atividades: reforço da terceira parte do curso de Cálculo II Instituto de Astronomia e Geofísica

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5

o

_{Roteiro de Atividades: refor¸}

_{co da}

terceira parte do curso de C´

alculo II

Instituto de Astronomia e Geof´ısica

Objetivo do Roteiro

Pesquisa, Atividades e Exerc´ıcios: Polinômio de Taylor para fun¸cões de duas variáveis. Classifica¸cão dos pontos cr´ıticos. Máximos e m´ınimos locais. Máximos e m´ınimos em conjunto compacto. Multipli-cadores de Lagrange

1 Polinˆ

omio de Taylor para fun¸

c˜

oes de duas vari´

aveis

1.1 Pesquisar

Fazer um resumo e/ou pesquisar o teorema que define os polinˆomios de Taylor de ordem 2 e de ordem 2.

1.2 Aplica¸

c˜

ao dos conceitos

1. Determine o polinˆomio de Taylor de ordem 2 das fun¸c˜oes dadas, nos respectivos pontos. 1. f (x, y) = x2 _{+ (y − 1)}2 _{em (x}

0, y0);

2. f (x, y) = x2_y3_{(6 − x − y) em (2, 3);}

3. f (x, y) = (x2 _{+ y}2_{) e}−(x2+ y2) em (0, 0);

2. Obtenha o polinˆomio de Taylor de segunda ordem de f (x, y) = e(x − y)_{sen(y − x) em}

torno de (0, 0).

3. Obtenha o polinˆomio de Taylor de primeira ordem P1(x, y) e segunda ordem P2(x, y)

de f (x, y) = xey _{em torno de (0, 0). Avali-os e f (x, y) em (0,9 , 0,1). Fa¸ca os gr´aficos de}

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1.3 Exerc´ıcios de consolida¸

c˜

ao

1. Determine o polinˆomio de Taylor de ordem 2 das fun¸c˜oes dadas em (x0, y0).

1. f (x, y) = sin(x) sin(y) sin(x + y), para 0 ≤ x ≤ π e 0 ≤ y ≤ π, emπ 3, π 3 ; 2. f (x, y) = x − 2y + ln (px2_{+ y}2_{) + arctg}y x , para x 6= 0, em (1, 1); 3. f (x, y) = (5x + 7y − 25) e−(x2+ xy + y2), em − 1 26, 3 26 ;

2. Obtenha o polinˆomio de Taylor de primeira ordem P1(x, y) e segunda ordem P2(x, y) de

f (x, y) = e(x2

− y2) em torno de (0, 0). Fa¸ca os gr´aficos de P

1(x, y), P2(x, y) e f (x, y).

2 M´

aximos e m´ınimos

2.1 Pesquisar

Fazer um resumo sobre

1. defini¸cão e classifica¸cão dos pontos extremos; 2. condi¸cões necessárias para um ponto ser extremo;

3. condi¸c˜ao suficiente para umponto ser extremo: teste da segunda derivada; 4. pontos extremos em conjuntos compactos

2.2 Aplica¸

c˜

ao dos conceitos

1. Determine e classifique os pontos cr´ıticos das fun¸c˜oes do exerc´ıcio 1 da se¸c˜ao 1, 2. Respostas:

1. (0, 1) ponto de m´ınimo absoluto;

2. (0, 6) e (x, 0) pontos de sela para todo x; (0, y) pontos de m´ınimo relativo para todo 0 < y < 6; (2, 3) e (0, y) pontos de m´aximo relativo para todo y < 0 e y > 6;

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2. Determine e classifique os pontos cr´ıticos da fun¸c˜ao f (x, y) = 10x2_{y − 5x}2_{− 4y}2_{− x}4 _{− 2y}4

Usando um computador fa¸ca um esbo¸co (como abaixo) do gr´afico desta fun¸c˜ao.

Localize os pontos cr´ıticos da f no mapa de contorno abaixo.

3. Uma caixa retangular sem tampa deve ser feita com 1m3 _{de volume. O material utilizado}

na confeçcão do fundo custa o dobro que será utilizado nas laterais. Determine as dimensões da caixa que minimizam o custo do material.

Resposta: Cubo de aresta 1m

4. Uma caixa retangular sem tampa deve ser feita com 100cm2 _{de papel˜ao. Determine as}

dimens˜oes da caixa que maximizam o volume da caixa.

Resposta: Cubo de aresta 5√2 √

3 cm

5. Para as fun¸cões de uma variável, é imposs´ıvel para uma fun¸cão cont´ınua ter dois pontos de máximo local e nenhum de m´ınimo local. Para fun¸cões de duas variáveis tais fun¸cões existem. Mostre que a fun¸cão

f (x, y) = −(x2− 1)2− (x2y − x − 1)2

tem somente dois pontos cr´ıticos, ambos de máximo local. Utilize um computador para visualizar o gráfico desta fun¸cão.

6. Se uma fun¸cão de uma variável é cont´ınua em um intervalo e tem apenas um ponto cr´ıtico, então, se este for um máximo (ou m´ınimo) local, obrigatoriamente será um pon

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to de máximo (ou m´ınimo) global. Isto, porém, não será verdade para fun¸cões de duas variáveis. Mostre que a fun¸cão

f (x, y) = 3xey

− x3− e3y

tem exatamente um ponto cr´ıtico que é um máximo local mas que não é um máximo global. Utilize um computador para visualizar o gráfico desta fun¸cão.

7. Determine os valores de m´aximo e minimo absolutos da fun¸c˜ao

f (x, y) = x2 _{− 5xy + 2y} no retˆangulo

D = {(x, y)/ 0 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 2} .

2.3 Exerc´ıcios de consolida¸

c˜

ao

1. _{Determine a menor distância entre o ponto (1, 0, −2) e o plano x + 2y + z = 4.} 2. Determine e classifique os pontos cr´ıticos das fun¸cões do exerc´ıcio 1 da se¸cão 1, 2. Respostas:

1. (π/3, π/3) ponto de m´aximo absoluto; (2π/3, 2π/3) ponto de m´ınimo absoluto; (0, 0) ponto de m´ınimo relativo; (π, π) ponto de m´aximo relativo; (0, π) e (π, 0) pontos de sela;

2. (1, 1) ponto de sela;

3. (−1/26, −1/26) ponto de m´ınimo absoluto; (1.3) ponto de m´aximo absoluto;

3. Três alelos (versões alternativas de um gene) A, B e O determinam os quatro tipos de sangue: A (AA ou AO), B (BB ou BO), O (OO), e AB. A Lei de Hardy-Weinberg afirma que a propor¸cão de indiv´ıduos em uma popula¸cão que carregam dois alelos diferentes é

P (p, q, r) = 2pq + 2pr + 2rq ,

onde p, q e r são as propor¸cões de sangue tipo A, B e O na popula¸cão. Usar o fato que p + q + r = 1 para mostrar que é no máximo 2/3.

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4. Suponha que um cientista tenha raz˜ao para acreditar que duas quantidades x e y sejam, pelo menos aproximadamente, linearmente relacionadas, ou seja,

y = ax + b , para algum valor de a e b.

O cientista realiza um experimento e coleta os dados na forma de pontos

(x1, y1), (x2, y2), . . . , (xn, yn) ,

que são colocados num gráfico. Os pontos não estão todos alinhados, de modo que o ci-entista quer encontrar as constante a e b para que a reta y = ax + b se ”ajuste”aos pontos da melhor forma poss´ıvel.

Seja

di = yi− (axi + b)

o desvio vertical do ponto (x1, y1) da reta. O m´etodo dos m´ınimos quadradosdetermina

a e b de modo a minimizar n X i=1 d2i = n X i=1 (yi− (axi + b)) 2 ,

a soma dos quadrados dos desvios. Mostrar que, segundo este m´etodo, a reta que melhor se ajusta aos ´e pontos obtida quando

m n X i=1 xi + bn = n X i=1 yi , m n X i=1 x2i + b n X i=1 xi = n X i=1 xiyi .

Assim, a reta é determinada resolvendo esse sistema linear de duas incognitas, a e b. (Veja aplica¸cões do método dos m´ınimos quadrados.)

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3 Multiplicadores de Lagrange

3.1 Pesquisar

Fazer um resumo e/ou pesquisar

1. teorema que define procedimento para localizar extremantes de uma fun¸cão f (x, y) condicionados uma restri¸cão definida por uma segunda fun¸cão g(x, y) = k;

2. generaliza¸cão deste procedimento para o caso dos extremantes da fun¸cão f (x, y, z) estarem condiciona-dos por restri¸cões definidas por fun¸cões g(x, y, z) = k e h(x, y, z) = c;

3.2 Aplica¸

c˜

ao dos conceitos

1. Determine o valor máximo da fun¸cão f (x, y, z) = x + 2y + 3z, na curva obtida pela interseçcão do plano x − y + z = 1 com o cil´ındro x2_{+ y}2 _{= 1.}

2. PARTÍCULA DENTRO DE UMA CAIXA: Como exemplo da utiliza¸cão de mul-tiplicadores de Lagrange, considere o prob-lema da Mecãnica Quântica de uma part´ıcula (massa m) dentro de uma caixa. A caixa é um paralelep´ıpedo retangular com lados a, b e c.

A energia do estado fundamental da part´ıcula ´e dada por E = ~ 2 8m 1 a2 + 1 b2 + 1 c2 .

Procuramos o formato da caixa que minimizará a energia E, sujeito à restri¸cão de que o volume seja constante,

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Dica: _{Usar f (a, b, c) = E(a, b, c) e ϕ(a, b, c) = abc − k = 0} Resposta: A solu¸c˜ao ´e a = b = c (cubo).

3. REATOR NUCLEAR CILÍNDRICO: Um outro exemplo é dado pela teoria do reator nuclear. Suponha que um reator nuclear (térmico) deva o ter a forma de um cilindro circular de raio R e altura H. A teoria da difusão de nêutrons fornece uma restri¸cão:

ϕ(R, H) = 2, 4048 R 2 + π H 2 = const . Queremos minimizar o volume do vaso do reator,

f (R, H) = πR2H . Resposta: A solu¸c˜ao ´e H = 1, 847R.

3.3 Exerc´ıcios de consolida¸

c˜

ao

1. A energia de estado fundamental de uma part´ıcula quˆantica de massa m dentro de uma pastilha (cilindro circular reto) ´e dada por

E = ~ 2 2m (2, 4048)2 R2 + π2 H2 ,

na qual R é o raio e H a altura da caixa. Ache a razão entre R e H que minimizará a energia para um volume fixo.

2. Ache a razão entre R (raio) e H (altura) que minimizará a área da superf´ıcie total de um cilindro circular reto de volume fixo.

3. Um reator nuclear térmico está sujeito à restri¸cão ϕ(a, b, c) = π a 2 + π b 2 + π c 2 = B2, uma constante.

Ache as raz˜oes entre os lados de um reator na forma de um paralelep´ıpedo regular de volume m´ınimo.

Resposta: a = b = c, cubo.

4. Para uma lente de comprimento focal f , a distância do objeto p e a distância da imagem q estão relacionadas por

1 p + 1 q = 1 f .

Ache a m´ınima distˆancia objeto-imagem (p + q) para f fixo. Admita objeto e imagem reais (p e q positivas).

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5. Dada uma elipse x a 2 + y b 2 = 1 ,

ache o retãngulo inscrito de área máxima. Mostre que a razão entre a área do retângulo de área máxima e a área da elipse é 2/π = 0, 6366.

6. Um paralelep´ıpedo retangular está inscrito em um elipsóide com semi-eixos a, b e c. Maximize o volume do paralelep´ıpedo retangular inscrito. Mostre que a razão entre o máximo volume e o volume do elipsóide é 2/π√3 = 0, 367.

7. Um pentágono é formado colocando-se um triângulo isósceles sobre um retângulo. Se o pentágono tem per´ımetro fixo l, determine os comprimentos dos lados do pentágono que maximizam sua área.

Resposta: _{Comprimentos: l(2 −}√_{3), l(3 −} √

3)/6 e l(2√_{3 − 3)/3.}

8. Determine o valor de m´aximo e m´ınimo das fun¸c˜oes nos respectivos conjuntos. 1. f (x, y) = xy (1 − x2 _{− y}2_{) em A = {(x, y)/ − 1 ≤ x ≤ 1 e − 1 ≤ y ≤ 1};}

Resposta: _{M´aximo absoluto valendo 1 nos pontos (1, −1) e (−1, 1); M´ınimo absoluto} valendo −1 nos pontos (1, 1) e (−1, −1).

2. f (x, y) = x2_y3_{(6 − x − y) em A = {(x, y)/ − 1 ≤ x ≤ 1 e − 1 ≤ y ≤ 1};}

3. f (x, y) = x2 _{− y}2 _{em A = {(x, y)/ x}2 _{+ y}2 _{≤ 4};}

Resposta: _{M´aximo absoluto valendo 4 nos pontos (0, 2) e (0, −2); M´ınimo absoluto} valendo −4 nos pontos (0, 2) e (−2, 0).

Referˆ

encias

[1] Apostol, Tom M: Cálculo II, 2a _{edi¸cão, Editorial Reverté, 2010.}

[2] Arfken, George & Weber, Hans: F´ısica matemática: métodos matemáticos para engenharia e f´ısica, 6a _{edi¸cão, Elsevier, 2007.}

[3] Guidorizzi, Hamilton: Um curso de Cálculo, Vol. 2, 5a _{edi¸cão, Livros Técnicos e}

Cient´ıficos, 2010.

[4] Stewart, James, Calculus: C´alculo, Vol. 2, 6a _{edi¸c˜ao, Thomson Learning Inc.,}