Projeto de Pesquisa do Orientador
EDITAL / PROGRAMA:
EDITAL PROPCI/UFBA 01-2013 – PIBIC e PIBIC-AF Orientador(a):
Manuel Stadlbauer
Título do Projeto: (completo, sem abreviações)
Fronteiras de Martin e Furstenberg associadas a extensões por grupos
Palavras Chave:
Espaço estacionário, amenidade, formalismo termodinâmico
Grupo de Pesquisa Sistemas dinâmicos / UFBA
Salvador 2013
1.
Objetivos e JustificativasObjetivos e justificativas do projeto em termos de relevância para a pesquisa científica e do estado da arte.
No âmbito do projeto, pretendemos estudar a conexao entre extensões por grupos de aplicações de Gibbs-Markov e espaços estacionários e obter atraves deste abordagem uma construçao efetiva de espaços estacionários e da fronteira de Furstenberg baseado em famílias de autofunções do operador de Ruelle. Alem disso, pretendemos estender o criterio para amenidade do proponente a grafos. O objeto principal e um extensao de uma aplicaçao de Gibbs-Markov θ∶X➝X por um grupo discreto G, isto e uma aplicaçao
T∶X×G➝X×G, (x,g)↦(θ(x),gf(x)),
onde f∶X➝G e contínua. Os exemplos básicos para aplicações desta classe sao caminhos aleatorios sobre grupos com incrementes independentes (neste caso, X e o shift completo munido de uma medida de Markov) e o codificaçao do fluxo geodesico definido numa cobertura regular de uma superfície geometricamente finita (neste caso, X e o conjunto limite munido da medida de Patterson). Este abordagem por exemplo foi usado de Aaronson e Denker ([1]) e Sarig ([6]) para estudar a teoria ergodica infinita do fluxo hiperbolico e horocíclico.
Problema 1. Na prepublicaçao [8] do proponente, uma família de autofunções do operador
de Ruelle foi construída atraves de medidas conformes. Esperamos obter construções de fronteiras de Martin e Furstenberg generalizadas baseada neste resultado e seguindo ideias em [10] para cadeias de Markov. Um tal resultado contribuirá à soluçao do problema atual da realizaçao de entropia de Furstenberg de G-espaços estacionários (veja [3]). Nevo ([5]) mostrou que para um grupo com a propriedade de Kazdhan (T) existe um ε > 0 tal que a entropia de qualquer G-espaço estacionário e ou 0 ou maior do que ε. Alem disso, utilizando uma versao da formula de Abramov para espaços estacionários em [4], Hartmann e Tamuz mostraram que grupos virtualmente livres nao possuem a propriedade deste buraco de entropia. A conjetura aberta portanto e que o buraco de entropia implica a propriedade de Kazdhan (T).
Problema 2. O proponente recentemente pude generalizar em [7] o criterio de Kesten
sobre caminhos aleatorios: G e ameno se e somente se o raio espectral do operador de Ruelle e igual a 1. Visto que a prova nao depende muito da estrutura do grupo G e definições adequadas no âmbito da geometria hiperbolica já foram introduzidas em [2] e [9], uma generalizaçao a graphos (ou seja, árvores enraizados) e promissor.
2.
MetodologiaDescriçao da maneira como serao desenvolvidas as atividades para se chegar aos objetivos propostos. Indicar os materiais e metodos que serao usados.
A metodologia inerente da pesquisa em Matemática consiste em participar de reuniões científicas, seminários e coloquios para estar em contato com as linhas de pesquisa atuais e em ter acesso aos livros tecnicos atuais e às revistas especializadas de circulaçao internacional para possibilitar um estudo detalhado de problemas e resultados. No caso especifico da iniciaçao cientifica, os resultados relevantes e alcançados serao divulgados e discutidos em seminários com participaçao dos orientandos de pos-graduaçao e graduaçao, do orientador e, em casos especiais, do grupo de pesquisa em sistemas dinâmicos. No caso da aprovaçao do projeto, e planejado que o bolsista de PIBIC atual,
Danilo Oliveira Almeida, continuará sobre a tutoria de Sara Ruth Pires Bispo.
Os metodos teoricos do projeto utilizados serao principalmente a teoria ergodica infinita, o formalismo termodinâmico, a teoria dos cadeias de Markov transientes e as fronteiras de Martin e Furstenberg.
3.
Viabilidade e FinanciamentoArgumentaçao clara e sucinta, demonstrando a viabilidade do projeto e seus financiamentos (se existentes) com fonte e período de execuçao.
Viabilidade: Na pesquisa fundamental em Matemática nao e possível no senso estrito
-fazer previsões sobre a viabilidade de um projeto num prazo fixo, pois problemas que inicialmente pareciam soluveis podem ser bastante complexos. Contudo, os trabalhos iniciais sobre uma versao σ-finita do teorema de Ruelle e as fronteiras de Martin sao muito promissores. Portanto penso que o projeto resultará em ao menos uma publicaçao numa revista especializada de circulaçao internacional dentro do prazo de 12 meses.
Financiamento: Contamos com o apoio pelo projeto de pesquisa “EDITAL
PROPCI-PROPG/UFBA 04/2012” aprovado em 1/4/2013.
4.
Resultados e impactos esperadosRelaçao dos resultados ou produtos que se espera obter apos o termino da pesquisa. Os resultados esperados se traduzem normalmente em artigos originais de pesquisa publicadas em revistas científicas internacionais com sistema de peer-review e com resenhas em Mathematical reviews (MathSciNet) ou Zentralblatt (zmath). Alem disso, atraves da discussao de temas de pesquisa atual em seminários e da orientaçao de alunos da pos-graduaçao, o projeta dará uma contribuiçao importante à formaçao de jovens pesquisadores da UFBA. Esperamos portanto o fortalecimento da pesquisa em Sistemas Dinâmicos e, devido à influencia forte de metodos probabilísticos da proposta, da pesquisa na teoria matemática da probabilidade na Bahia.
5.
Cronograma de execuçãoRelaçao itemizada das atividades previstas, em ordem sequencial e temporal, de acordo com os objetivos traçados no projeto e dentro do período proposto.
Semestre de 2013-1
1. Estudo dos conceitos diferentes para a construçao da fronteira de Martin e de Poisson para cadeias de Markov.
2. Estudo da construçao de Furstenberg no caso de um caminho aleatorio sobre um grupo.
3. Estudo da medida de Patterson para graphos pelo aluno da PIBIC atual.
Semestre de 2013-2
1.
Construçao adaptada da fronteira de Martin para extensões por grupos. 2. Obter a distribuiçao limite do processo estocástico parada na fronteira. 3. Provar uma apresentaçao de funções harmônicas por medidas na fronteira.mestrado Sara Ruth Bires Bispo.
Semestre de 2014-1
1. Construçao de espaços estacionários.
2. Estudar o conceito de entropia de Furstenberg.
3. Preparaçao dos artigos para publicaçao com os resultados finais do projeto.
6.
Referências bibliográficas (máximo de 10 referências)Relaçao itemizada das referências que subsidiam a proposta de pesquisa, colocando as mais importantes.
[1] J. Aaronson and M. Denker. The Poincare series of C∖Z. Ergod. Th. Dynam. Sys., 19(1):1–20, 1999.
[2] K. Falk and K. Matsuzaki. The critical exponent, the hausdorff dimension of the limit set and the convex core entropy of a kleinian group. Preprint in arxiv 2011.
[3] A. Furman. Random walks on groups and random transformations. In Handbook of dynamical systems, Vol. 1A, pages 931–1014. North-Holland, Amsterdam, 2002.
[4] Y. Hartmann, Y. Lima, and O. Tamuz. An abramov formula for stationary spaces of discrete groups. Ergod. Th. Dynam. Sys 2013, doi:10.1017/etds.2012.167.
[5] A. Nevo. The spectral theory of amenable actions and invariants of discrete groups. Geom. Dedicata, 100:187–218, 2003.
[6] O. M. Sarig. Invariant Radon measures for horocycle flows on Abelian covers. Invent. Math., 157(3):519–551, 2004.
[7] M. Stadlbauer. An extension of Kesten’s criterion for amenability to topological Markov chains. Adv. Math., 235:450–468, 2013.
[8] M. Stadlbauer. On group extensions of topological markov chains. Preprint, 2013. [9] S. Tapie, Graphes, Moyennabilite et bas du spectre de varietes topologiquement infinies,
Preprint arxiv 2010.
[10] W. Woess. Denumerable Markov chains. EMS Textbooks in Mathematics. European Mathematical Society (EMS), Zürich, 2009.
7.
Detalhamento dos orientandos de graduaçãoRelaçao dos orientandos de graduaçao (ver item 5.6 do Edital), em outros programas, se for o caso. Especificar nome completo e CPF do orientando, projeto ou programa no qual ele e orientado e, quando pertinente, tutor, com nome, CPF e nível (mestrando, mestre, doutorando, doutor) de pos-graduaçao.
Danilo Oliveira Almeida, CPF 03640907582, bolsista de Iniciaçao Científica do CNPq – Edital PROPCI/UFBA 01-2012
Salvador,
22
de
abril
de
2013
.
Orientador(a)
Secretaria do Programa
Rua Basílio da Gama, 06. Canela. Salvador – BA. 40.110-040.
