PREÂMBULO
PREÂMBULO
A Lógica é uma ciência com características matemáticas mas, fortemente ligada à Filosofia. Ela cuida das regras do bem pensar, ou do pensar correto, sendo, portanto, um instrumento do pensar. Aristóteles, filósofo grego (384?-322a.C) em sua obra Órganon, distribuida em 8 volumes, foi o seu principal organizador.
Através da Lógica pode-se avaliar a validade ou não de raciocínios que têm por base premissas iniciais.
Vejamos um exemplo:
Raciocínio I - (1ª premissa) Todo homem é mortal - (2ª premissa) Sócrates é mortal. Conclusão: Sócrates é mortal.
Raciocínio II- (1ª premissa) Todo homem é mortal - (2ª premissa) Sócrates é homem. Conclusão: Sócrates é mortal.
À primeira vista, todos os dois raciocínios parecem verdadeiros. Entretanto, o primeiro é falso, pois: Sócrates pode perfeitamente ser o gatinho da minha vizinha. Já, o segundo raciocínio é universamente verdadeiro.
No decorrer deste curso veremos como, a partir de uma lógica formal, podemos analisar a veracidade ou não de um conjunto de premissas e a correspondente conclusão.
George Boole (1815-1864), em seu livro A Análise Matemática da Lógica estruturou os princípios matemáticos da lógica formal, que, em sua homenagem foi denominada Álgebra Booleana. No século XX, Claude Shannon aplicou pela primeira vez a álgebra booleana em interruptores de onde se originaram os atuais computadores.
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CAPÍTULO 1 – CONJUNTOS DEFINIÇÕES E OPERAÇÕES 1.1 – INTRODUÇÃO
A noção de conjunto é intuitiva. Esta noção está associada a uma coleção de elementos, que, em geral, apresentam uma propriedade comum.
Exemplos: conjuntos das vogais, conjunto dos números reais, conjunto dos números inteiros maiores que 5 e menores que 9.
Um conjunto é indicado, em geral, por uma letra maiúscula e seus elementos relacionados entre duas chaves. Assim, se A é o conjunto das vogais indica-se: A = {a, e, i, o, u}.
A idéia de conjunto pode ser estendida para (i) Conjunto unitário:
Conjunto das consoantes contidas na palavra areia: {r}. (ii) Conjunto vazio:
Conjunto dos números inteiros compreendidos entre 7 e 8.
Como não existe nenhum inteiro compreendido entre 7 e 8, indicamos { } ou . Obs. {} é um conjunto unitário cujo elemento é .
(iii) Conjunto infinito:
O conjunto infinito tem, como o próprio número indica, infinitos elementos. Um exemplo bem simples de conjunto infinito é o conjunto dos números naturais N = {0, 1, 2, 3, ...}.
(iv) Conjuntos discretos e densos:
Usados principalmente para conjuntos numéricos.
Um conjunto é dito discreto quando, estabelecida a ordem de seus elementos, entre dois elementos sucessivos não existe outro elemento.
O conjunto dos números naturais é um conjunto discreto, pois, por exemplo, entre o 4 e o 5 não existe nenhum outro número natural. Os conjuntos dos números racionais e dos números reais são densos. Pois, quaisquer que sejam dois elementos escolhidos sempre existem infinitos números entre eles.
Veja, por exemplo: escolhidos os racionais 1/3 e 1/2 podemos escrevê-los nas formas 10/30 e 15/30. Entre eles temos 11/30, 12/30, ..., 14/30. Se escolhido um denominador maior, maior quantidade de racionais teremos entre 1/3 e 1/2.
1.2 – RELAÇÕES DE PERTINÊNCIA E INCLUSÃO
Seja A um conjunto. Se x é um elemento do conjunto A, indicamos x A, que se lê: o elemento x pertence ao conjunto A. Caso contrário, se y não é elemento do conjunto A, indica-se y A.
É importante notar que os símbolos e somente podem ser usados quando se relacionam elemento e conjunto.
Consideremos então os conjuntos A = {a, b, c, d, e}, B = {b, c, d} e C = {c, e, f}. Como pode ser notado todo elemento de B pertence ao conjunto A. O mesmo não acontece com os
conjuntos C e A. No caso dos conjuntos A e B, indica-se A B ou B A, que se lê, respectivamente A contém B e B está contido em A. Nestas condições, o conjunto B é um subconjunto de A.
Para os conjuntos A e C, escreve C A que se lê, C não está contido em A.
Quando se relaciona um conjunto com ele mesmo usa A A ou A A. A é um subconjunto próprio de A.
Convém notar que o conjunto vazio está contido em todo conjunto. Isto é A. O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto.
1.3 – OUTRAS FORMAS DE NOTAÇÃO DE CONJUNTOS
Já foi visto anteriormente que um conjunto pode ser indicado escrevendo seus elementos entre duas chaves. Esta forma de notação é denominada LISTAGEM.
Pode-se também representar um conjunto indicando a propriedade comum a seus elementos. Nesta forma de notação indicamos A = {x | P(x)}, que se lê “A é conjunto dos elementos “x” tais que P é a propriedade comum”.
Temos, por exemplo: A = {x | x é vogal}, que se lê A é o conjunto dos elementos x tais que x é vogal. “x” é uma variável que pode assumir diversos valores.
Uma terceira forma, chamada “diagrama de Venn”, consiste em circundar os elementos por linhas.
EXERCÍCIOS 01.
1 – Use o símbolo adequado a cada uma das seguintes sentenças abaixo, sendo definidos os conjuntos: A = {a, e, i, o, u}, B = {2, 3, 4, 5}, C = {e, u}, D = {x | 1 < x < 7} e D = {b, c} (a) B______D (b) D_____A (c) ______ C (d) e ____ C (e) x ____ A.
2 – Represente o conjunto B usando a propriedade comum a seus elementos. 3 – Escreva, sob forma de listagem, o conjunto D.
4 – É falso ou verdadeiro que (a)
{ , p, q}? (b) {3} {1, 2, 3, {3}}? Justifique suas respostas.Para o item (b) o sinal pode ser ou não substituído por ? Justifique sua resposta. 1.4 – OPERAÇÕES COM CONJUNTOS.
Uma operação é um processo escolhido a partir do qual, dados dois elementos quaisquer se pode obter um terceiro elemento de mesma natureza.
Já é do domínio público operações como adição e multiplicação de números inteiros, que são representadas pelos sinais + e X (ou .) respectivamente.
Assim, ao indicarmos 3 + 4, significa que escolhemos um processo que irá resultar no inteiro 7 e se indicarmos 3 . 4, o processo escolhido permite obter o resultado 12.
Generalizando indicamos (a b) c, para representar uma operação que, tomados os elementos “a” e “b”, teremos como resultado o elemento (de mesma natureza) “c”.
Para conjuntos são definidas as operações: (i) UNIÃO
Indicada pelo símbolo , e definida por A B = {x | x
A ou x B}.Como será visto no estudo das sentenças, o conectivo “ou”, simbolizado por , é usado para indicar que um elemento pertence a A B quando pertencer somente ao conjunto A, somente ao conjunto B ou a ambos os conjuntos.
Temos por exemplo: A = {1, 2, 3, 4} e B = {3, 4, 5, 6} A B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. (ii) INTERSEÇÃO
Indicada por , esta operação é definida por A B = {x | x A e x B}.
O conectivo e, indicado por , é usado para indicar que x (A B) se, e somente se, x pertencer aos dois conjuntos ao mesmo tempo.
Exemplos:
(1) A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5, 6} A B = {3, 4} (2) A = {1, 2, 3, 4}, B = {5, 6, 7, 8} A B =
(iii) DIFERENÇA
Indicada pelo sinal -, denota-se a diferença entre o conjunto A e o conjunto B por A – B. Esta operação é definida por A – B = {x | x
A e x
B}.Se B é um subconjunto de A, pode-se escrever A – B = CB,Aque se lê complementar de B em relação a A.
Exemplo: A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5, 6} A - B = {1, 2} e B – A = {5, 6}. a e
i o u
b
No diagrama, os elementos “a”, “e”, “i”, “o” e “u” pertencem ao conjunto A. O elemento b não pertence ao conjunto A.
4 Usando diagramas podemos indicar
1.5 – PROPRIEDADES DAS OPERAÇÕES
Sejam e duas operações definidas em um conjunto A e x, y e z elementos desse conjunto.
(i) Se, para todo x e y de A, x y = y x, a operação é dita comutativa.
(ii) Se, para todos x, y, z de A, x (y z) = (x y) z, a operação é dita associativa. (iii) Se em A existe um elemento n, tal que, x A, se tem x n = n x = x, “n” é o elemento neutro para a operação .
(iv) Se em A, para cada elemento x de A, existir um elemento y, tal que x y = y x = n, então a operação admite inverso ou simétrico. “x” é o inverso de “y” e “y” é o inverso de x para a operação .
(v) Se para todos x, y, z de A, x (y z) = (x y) (x z) então a operação é distributiva em relação a .
Com relação às operações com conjuntos temos:
(i) x (A B) (x ou x B) (x B ou x A) x (B A) A B = B A. x (A B) (x e x B) (x B e x A) x (B A) A B = B A.
Portanto, as operações união e interseção são comutativas. Deixamos como exercício a demonstração dos itens a seguir.
(ii) A (B C) = (A B) C e A (B C) = (A B) C. Associatividade.
(iii) A (B C) = (A B) (A C) e A (B C) = (A B) (A C). Distributividade. (iv) O conjunto vazio é o elemento neutro da operação união.
Se A, B, C são subconjuntos de um conjunto U, então U é o elemento neutro da operação interseção. O conjunto U é chamado conjunto universo.
(v) As operações união e interseção não admitem inverso ou simétrico. 1.6 – OUTRAS PROPRIEDADES
Sejam
U = conjunto universo, = conjunto vazio,
A = complementar de A em relação a U. Além das propriedades acima, tem-se:
(vi) A A = A e A A = A. Idempotente.
(vii) A (A B) = A e A (A B) = A. Absorção.
(viii) (A B) = A B e (A B) = A B. Regras de De Morgan. (ix) A = A.
(x) A A = U e A A = (xi) A U = U e A =
EXERCÍCIOS 02
1. Demonstre as propriedades ii, iii, vi, vii, viii, ix, x e xi relativas às operações com conjuntos. 2. Sejam A = {x|x
N e 3 < x < 10}, B = {y|y
N e 4 < y < 12} e C = {z|z N e 10 < z < 15} três conjuntos. Considere ainda os conjuntos: vazio e universo U = {w | w N e 0 < w < 20} Determine:A B
A B
A - B B - A
(a) A (b) (A B) C (c) (A B) C (d) A – B (e) (A B) C (f) (A B) C (g) (B – C) A (h) (B – C) A (i) (A B) C (j) (A B) C
3. Represente os conjunto A, B , C, U em diagramas. Mostre neste diagrama os resultados obtidos no exercício 2.
1.7 – PRODUTO CARTESIANO
Sejam A e B dois conjuntos. Define-se o produto A X B como sendo o conjunto dos pares da forma (x, y) tais que x
A e y
B.Isto é A X B = {(x, y) | x A e y B}.
Se A = B, então A X B = B X A. O mesmo não acontece quando A for diferente de B. Isto é, o produto cartesiano não é comutativo.
Exemplo: Sejam A = {1, 2, 3} e B = {3, 4} dois conjuntos.
Pela definição temos: A X B = {(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 3), (3, 4)} e B X A = {(3, 1), (3, 2), (3,3), (4, 1), (4, 2), (4, 3)}.
Como pode ser observado pelo exemplo acima A X B
B X A. 1.8 – RELAÇÃOChama-se relação ao processo de escolha de pares de um produto cartesiano. Indica-se, uma relação entre os elementos “a” e “b” do par (a, b) por a b.
Seja por exemplo a
b a + b = 5, onde (a, b) são os pares do produto A X B obtido no exemplo do item anterior.Esta relação define o conjunto = {(1, 4), (2, 3)}. Uma relação pode ser:
(i) Simétrica, se a b b a. (ii) Reflexiva, se a a.
(iii) Transitiva se a b e b c a c.
Uma relação simétrica, reflexiva e transitiva é denominada relação de equivalência, enquanto que uma relação não simétrica, não reflexiva e não transitiva é denominada relação de ordem.
Tomando, por exemplo, o conjunto de alunos de uma classe e a relação “mesma altura que”, podemos concluir facilmente que, se A, B, C são alunos desta classe:
(1) A B B A, pois se A tem a mesma altura que B, B terá a mesma altura que A. (2) A A, pois A tem a mesma altura que ele mesmo.
(3) A B e B C A C. As alturas dos três são iguais.
Assim, a relação “mesma altura que” permite ordenar os alunos por altura. Esta é então uma relação de ordem.
Seja agora a relação = “irmão de”.
Esta relação é simétrica, não reflexiva e transitiva.
Se considerarmos a relação = “primo de” ela será simétrica, não reflexiva e não transitiva. Com relação à transitividade, A e C podem ser irmãos.
1.9 – NUMERAL DE UM CONJUNTO
Simbolizado por n(A) o numeral do conjunto A é igual ao número de elementos desse conjunto A.
Exemplo: se A = {a, b, c, d, e} então n(A) = 5 pois A o conjunto A tem cinco elementos. Para a união de conjuntos temos:
(1) n(A B) = n(A) + n(B) – n(A B), pois em n(A) e n(B) os elementos comuns (pertencentes à interseção) estão computados duas vezes; e
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Em um concurso onde foram aplicadas apenas provas de Português e Matemática e, para que o candidato seja classificado ele deve ser aprovado nas duas disciplinas. Após a correção das provas verificou-se que 100 candidatos foram aprovados em Matemática e 130 foram aprovados em Português, mas apenas 80 foram classificados. Quantos candidatos participaram do concurso?
Solução: n(M) = 100 (aprovados em Matemática); n(P) = 130 (aprovados em Português) e n(M P) = 80.
Assim, n(M P) = 100 + 130 – 80 = 150 candidatos. EXERCÍCIOS 3.
1. Dez pessoas se reuniram para, ao final de um ano, registrarem uma firma. Ficou combinado que cada um deveria aplicar uma certa importância em caderneta de poupança e em compra de ações, podendo se assim o desejasse aplicar uma parte em poupança e outra em ações.
O responsável pelo controle ao selecionar os recibos das aplicações verificou-se que haviam 8 aplicações em poupança e 6 aplicações em ações. Quantas, da dez pessoas, dividiram suas aplicações?
2. Em uma classe do terceiro do segundo grau 10 alunos foram aprovados sem necessidade de uma prova final. Ao fazer o controle para a realização da prova final verificou-se que:
(a) somente será necessário aplicar provas de Matemática, Física e Química. (b) 18 alunos deverão fazer prova final de Matemática.
(c) 19 alunos deverão fazer prova final de Física. (d) 15 alunos deverão fazer prova final de Química.
(e) 10 alunos deverão fazer prova final de Matemática e Física. (f) 9 alunos deverão fazer prova final de Matemática e Química. (g) 6 alunos deverão fazer prova final de Física e Química.
(h) 4 alunos deverão fazer prova final de Física, Química e Matemática. Qual é o número de alunos dessa classe?
3. Em uma cidade com 41.520 habitantes são publicados dois jornais A e B. Se 8.050 lêem o jornal A, 13.200 lêem o jornal B e 1230 lêem os dois jornais, quantos habitantes da cidade não lêem nenhum dos dois jornais?
4. Certa região, com 15000 lavradores, (a) 7000 plantam tomate;
(b) 4800 plantam alface; (c) 5600 plantam batata.
(d) 2100 plantam tomate e alface; (e) 1500 plantam tomate e batata; (f) 1400 plantam alface e batata;
(g) 800 plantam tomate, alface e batata. Responda:
(1) quantos plantam pelo menos uma das três espécies? (2) quantos não plantam nenhuma das três espécies?
(3) quantos plantam tomate e alface, mas não plantam batatas? (4) quantos plantam apenas batata?
