TEMA: Funções

TEMA: Funções

CONTEÚDOS OBJECTIVOS ORIENTAÇÕES METODOLÓGICAS

-Derivada de uma função num ponto.

-Interpretação geométrica.

-Derivadas laterais.

-Teorema relativo à derivabilidade e continuidade.

-Função derivada.

-Derivada da soma, do produto, do quociente, da potência de expoente racional.

-Derivadas de ordem superior à primeira.

-Aplicações das derivadas.

*Definir derivada de uma função num ponto pertencente a um subconjunto do domínio.

*Interpretar geometricamente o conceito de derivada.

*Investigar se uma função tem derivada num ponto do seu domínio.

*Investigar da existência de derivadas laterais.

*Calcular a derivada da função num ponto, utilizando a definição.

*Calcular a derivada, usando as regras de derivação.

*Determinar a tangente ao gráfico de uma função num ponto dado.

*Estudar o sentido da variação de uma função.

*Determinar os extremos relativos.

*Determinar o sentido das concavidades do gráfico

O conceito de derivada pode introduzir-se a partir de modelização de situações onde é evidente a necessidade de estudar a razão (taxa) entre as variações (infinitésimais) das variáveis dependentes e independentes, observando a evolução das posições das secantes e dos respectivos declives, respectivamente para a tangente e para a derivada (declive da recta tangente ao gráfico no ponto).

O aluno deve ser confrontado com situações como por exemplo:

( )

2 2

4, 2

x = 4, 2

x x

f

x x

 − ≤



+ >



( ) ( ) ( )

2 2

2 = lim f x =0; lim f x =8

x x

f _{− +}

→ →

( )

x = ^{2 , 2}

2 , 2

f x

x x

 <

′ 

 >

não existe f′

( )

2 , embora existam e sejam iguais as derivadas laterais no ponto 2

( )

x = ²₂ ^{4, 2}

4, 2

x x

g x x

+ ≤



+ >



-Função exponencial.

-Derivada de f

( )

x =e^x

-Função logarítmica.

da função.

*Resolver problemas de máximos e de mínimos.

*Levantar indeterminações.

*Esboçar o gráfico de uma função.

*Estudar a função exponencial f

( )

x =a , ^x a∈ ⁺\ 1 ,

{ }

x∈ ⁺

( )

x = ^{2, 2}

2 , 2

g x

x x

 <

′ 

 >

não existe g′

( )

2

Funções estudadas anteriormente devem ser retomadas para que o aluno comprove a diferença de tratamento, quanto a eficiência e precisão.

Os problemas de optimização devem ser acessíveis e ter algum interesse prático.

A partir do esboço do gráfico de uma função deve obter-se informação relativa a domínio, contra-domínio, zeros, intervalo de monotonia, extremos absolutos e relativos, pontos de descontinuidade, pontos de não deferenciabilidade, sentido das concavidades.

A função exponencial e^x pode ser introduzida a partir do cálculo do

1+x n

lim n

 

 

 

Através do esboço do gráfico da função nos casos a>1 e 0<a<1 , concluir da continuidade, monotonia e contra- domínio.

Dar a informação, sem demonstrar, que f x =e f x =e

( )

^x ′

( )

^x

f x =e f x =u .e , com u=u x

( )

^u ′

( )

′ ^u

( )

Utilizando a máquina de calcular, os alunos podem verificar a possibilidade de simplificar alguns cálculos

-Definição de logaritmo de x na base a, com a∈ ⁺\ 1 ,

{ }

x∈ ⁺ -Propriedades

- log ;log₂x ₁₀x;log_e x -Operações com logaritmos.

-Função logarítmica.

-Derivada de

f

( )

x =log_ex

*Definir logaritmo.

*Operar com logaritmos.

*Estudar a função logarítmica

f

( )

x =log x, _a a∈ ⁺\ 1 ,

{ }

x∈ ⁺.

*Resolver equações e inequações que envolvam logaritmos e exponenciais.

aplicando os logaritmos.

Através do esboço do gráfico da função nos casos a>1, 0<a<1, concluir da continuidade, monotonia e

contradomínio.

Dar a informação, sem demonstrar, que f x

( )

=log_ex ^f

( )

^{x 1}

x

′ =

f x

( )

=log_eu ^f

( )

^{x u}

u

′ = ′

f x

( )

=log_ax

( )

¹

log_e f x

x a

′ =

f x

( )

=log_au

( )

log_e f x u

u a

′ = ′

f

( )

x =a^x f′

( )

x =a^xlog_ea f

( )

x =a ⁿ f′

( )

x =u .a log a′ ^u _e em que u=u x

( )

Os alunos podem realizar trabalhos em grupo sobre a História do Cálculo Diferencial referindo o trabalho de alguns matemáticos como Newton, Fermat, Leibniz, Cauchy, Anastácio da Cunha,...

Breve descrição sobre o estudo do programa

“Estudo de Funções” de José Leal

O "Estudo de Funções" é um programa de Matemática dirigido aos alunos e professores do Ensino Secundário. Poderá, pontualmente, ser utilizado para outros níveis de ensino, embora aí o autor nada tem aconselhado.

Esta é a segunda versão do programa e funciona para uma resolução 1024x768 do monitor. Para valores menores as imagens ficam cortadas e não é possível utilizá-lo.

Este programa dispõe de muitos movimentos de pontos e de linhas, até mesmo de geração de gráficos. Eles devem efectuar-se devagar para que o olhar possa segui-los, mas suficientemente rápidos para que um utilizador impaciente não desespere. O desenho dos gráficos seria praticamente instantâneo se não existisse um temporizador que o torna mais lento. Aí não há qualquer comando de velocidade, é propositada a forma como são desenhados. Mas as páginas dispõem de um controlador de velocidade para as tarefas que podem desempenhar (também seriam quase instantâneas) para que se possam visualizar.

As imagens seguintes podem dar uma ideia do que é o programa.

Desenhar gráficos de funções

A página onde se podem desenhar os gráficos das funções, mesmo definidas por troços. Cores, espessura do traço, escalas, tamanho da janela de desenho são, entre outras, as possibilidades.

Interpretação de gráficos

O utilizador escreve a expressão analítica da função que pretende, o seu gráfico será desenhado e, através de movimentos, poderá ver-se onde a função é crescente ou decrescente, positiva ou negativa, o sentido das concavidades, os zeros, etc. Existem também funções predefinidas.

Limite de uma função num ponto

Para explicar este conceito, bem como o de continuidade, podem desenhar-se gráficos de funções e escolher os pontos. Os limites são visualizados através de pontos móveis.

Assímptotas e limites infinitos

Dada a função, o programa desenha as assímptotas verticais ou não verticais, e pode determinar os limites da função nos pontos de descontinuidade ou para valores infinitos.

Funções periódicas

O utilizador escreve a expressão de uma função periódica e pode seleccionar com o rato, ou indicando as coordenadas, o período. Pode deslocar essa parte do gráfico para compreender o conceito.

Operações com funções

O utilizador escreve as expressões analíticas de duas funções e pode depois fazer operações sobre elas: soma, multiplicação, composição, etc., vendo os seus gráficos.

O conceito de tangente a uma linha

Para introduzir o conceito de derivada em pontos especiais, nesta opção mostra-se, através de movimentos, como são as tangentes nesses pontos.

O conceito de derivada de uma função num ponto

Mostra, através de linhas móveis, o conceito de derivada lateral e de derivada de uma função num ponto.

Derivada de uma função num ponto

O utilizador escreve a expressão da função e indica o ponto onde pretende calcular a derivada. O programa desenha o gráfico e mostra, com linhas móveis, as derivadas laterais e os seus valores.

Relação entre uma função e as suas primeiras e segunda derivadas

O utilizador escreve a expressão analítica da função e, em três janelas de desenho, o programa mostra os gráficos da função, da função primeira derivada e da função segunda derivada. São mostrados também os pontos especiais destas funções.

Extremos relativos e pontos de inflexão

Dada a função, são determinados os extremos relativos, os pontos de inflexão e podem ser desenhadas as tangentes nesses pontos.

Biblioteca de funções

É uma base de dados onde se podem guardar funções de vários tipos. Pode também fazer-se um álbum com os gráficos e as expressões analíticas dessas funções.

Pensamos que de uma forma bastante simples nós apresentamos minimamente o programa e com essas informações qualquer utilizador do programa poderá efectuar as funções aqui apresentadas e descobrir muitas outras operações. No entanto para mas informações acerca do programa os interessados poderão pesquisar o seguinte site:

http://josefleal.no.sapo.pt/EstFun.htm