Aula 1 Funções 1

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1

Cálculo

Prof.Eduardo Jose Aloia

Funções

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Funções

SUMÁRIO

1.1Pares Ordenados

1.2 Conceito de Funções

1.3 Domínio, Contradomínio e Conjunto Imagem

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3

Funções

SUMÁRIO

1.1Pares Ordenados

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Funções

• Pares ordenados

– O plano cartesiano é definido por dois eixos ortogonais – Eixo x é o eixo das abscissas

– Eixo y é o eixo das ordenadas – A origem do sistema é o ponto O

– As coordenadas do ponto P são os números reais x₁ e y₁ • Par ordenado (x₁ , y₁) x y x₁ y₁ P(x1, y1) O

Cálculo

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5

Funções

• Domínio

– É o conjunto de valores assumidos por x. • Imagem

– É o valor assumido pela função ao se aplicar a regra de correspondência para os elementos do domínio.

• Gráfico

– É a representação geométrica dos pares x e y no plano cartesiano.

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Funções

SUMÁRIO

1.1Pares Ordenados

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Funções

O conceito de função refere-se essencialmente à

correspondência entre conjuntos. Uma função

associa elementos de um conjunto a elementos

de outro conjunto.

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Funções

Cálculo

A Função f pode ser entendida como uma

terna

(A, B, a→b)

Onde A e B são dois conjuntos e

a→b, uma

regra que nos permite associar a cada

elemento a de A um único b de B.

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Funções

Uma função F é uma lei que associa cada

elemento x em um conjunto D exatamente a um

elemento f(x), em um conjunto E.

Cálculo

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Cálculo

Funções

• Funções são ferramentas que descrevem o mundo real em termos matemáticos.

• Uma função pode ser representada por uma equação, um gráfico, uma tabela numérica ou uma descrição verbal.

• O valor de uma quantidade variável, digamos y, depende do valor de outra quantidade variável, a qual poderíamos denominar x.

• Dizemos que “y é uma função de x”, e a escrevemos de modo simbólico, como

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11

Funções

Cálculo

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Cálculo

Funções

• Uma função ƒ é como uma máquina que produz um valor de saída ƒ(x) em sua imagem sempre que inserimos um valor de entrada x a partir de seu domínio.

Diagrama que mostra uma função como um tipo de máquina.

Uma função também pode ser representada por um diagrama de

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13

Cálculo

Funções

• Conceito de função

– Dados dois conjuntos A e B, uma função f de A

em B é uma lei ou regra de correspondência

que relaciona a cada elemento de de A um

único elemento de B.

• Notação:

f: A



B

y = f(x)

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Cálculo

Funções

Exemplo

Sejam A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = Z (conjunto dos inteiros) e 𝑓: 𝐴 → 𝐵 definida pela regra que a cada elemento de A faz corresponder o seu dobro.

Temos

A regra que define 𝑓é y = 2x.

A imagem do elemento 1 é 2, de 2 é 4 etc. O domínio de 𝑓 D(f) = A.

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Funções

Cálculo

Gráficos de funções

• Se ƒ é uma função com domínio D, seu gráfico consiste dos pontos no plano cartesiano cujas coordenadas são pares de entrada/saída para ƒ. Na notação de conjunto, o gráfico é

• Seu gráfico é a linha reta esboçada ao lado:

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Funções

Cálculo

Gráficos de funções

• A altura pode ser positiva ou negativa, dependendo do sinal de

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Funções

SUMÁRIO

1.1Pares Ordenados

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Funções

Sejam A e B subconjutos de R. Uma função

f : A

→ 𝑩 é uma lei ou regra que a cada elemento

de A faz corresponder um

único

elemento de B.

O conjunto

1. A é chamado

domínio

de f e é denominado por

𝔻(f).

2. B é chamado de

contradomíni

o de

C𝔻(f).

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19

Funções

Im(f)

D(f) = A CD(f) = B

Domínio, Contradomínio e Conjunto-Imagem

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Funções

Cálculo

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21

Funções

Notação: f: A  B y = f(x) • Nomenclatura – y é igual a f de x

)

(x

f

y



Variável independente (domínio) Variável dependente (contra-domínio ou imagem)

X (domínio) Y (imagem)

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Funções

Exemplo

A = {1,2,3,4} B = {2,3,4,5}

f: A → 𝑩 dada pelo diagrama abaixo é uma função de A em

B.

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23

Funções

g: A → 𝑩

x → 𝒙 + 𝟏 é uma função de A em B.

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Funções

Contra- Exemplos

Cálculo

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25

Funções

A = {3,4,5}

B = {1,2}

f: A → 𝑩 dada pelo diagrama abaixo não é uma função de A em B.

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Funções

g: A → 𝑩

x → 𝒙−3 não é uma função de A em B.

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27

Funções

Não é função de A em B É função de A em B

Definição de função por meio de conjuntos

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Funções

Não é função de A em B É função de A em B

Definição de função por meio de conjuntos

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Funções

Seja f: A  B.

I. Dado x ∈ 𝐴, o elemento f(x) ∈ 𝐵 é chamado de valor

da função f no ponto x ou imagem de x por f.

II. O conjunto de todos os valores assumidos pela função é chamado conjunto imagem de f e é

denotado por Im (f).

Conjunto Imagem

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Funções

• As extremidades de um intervalo são chamadas pontos de fronteira e os pontos restantes são chamados pontos interiores. • Intervalos que contêm os pontos de fronteira são fechados e os

que não contêm são abertos. – Aberto AB • A < x < B ou ]A, B[ – Fechado AB • A ≤ x ≤ B ou [A, B] – Fechado em A e aberto em B • A ≤ x < B ou [A, B[ – Aberto em A e fechado em B • A < x ≤ B ou ]A, B] x A B x A B x x A B

Cálculo

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31

Funções

• As extremidades de um intervalo são chamadas pontos de fronteira e os pontos restantes são chamados pontos interiores. • Intervalos que contêm os pontos de fronteira são fechados e os

que não contêm são abertos. – Aberto AB • A < x < B ou ]A, B[ – Fechado AB • A ≤ x ≤ B ou [A, B] – Fechado em A e aberto em B • A ≤ x < B ou [A, B[ – Aberto em A e fechado em B • A < x ≤ B ou ]A, B] x A B x A B x A B x A B

Cálculo

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Funções

• Intervalos Infinitos • x > A ou ]A, +∞[ • x ≥ ou [A, +∞[ • x < B ou ]-∞, B[ • x ≤ B ou ]-∞, B] x A +∞ x -∞ B x -∞ B x A +∞

Cálculo

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33

Funções

• Exemplos de domínios e imagens

– A função 1 fornece um valor real de y para qualquer número real de x, então o domínio é ]-, [

– A função 2 fornece um valor real de y somente quando x é positivo ou zero, então o domínio é [0, [

  



























R

x

y

R

x

y

R

x

y

ou

[

,

0 [

ou

[

,

0 [

)

3 ou

[

,

0 [

ou

[

,

]

)

2 ou

[

,

]

ou

[

,

]

2 )

1 (y)

Imagem

(x)

Domínio

Função

2

Cálculo

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Funções

Gráfico de uma função

Uma função pode ser representada por pares ordenados e seu gráfico é um subconjunto do ℝ2_{, isto é:}

{(x,y)  ℝ2_/x_{𝔻(f) e y = f(x)}_{𝕀m(f)} ou} {(x,f(x))  ℝ/ x  𝔻(f) } (x,y) y₁ x₁ x₂ y₂ y=f(x) x y 𝔻(f)={x∊ℝ/x  x  x }=[x , x ] 𝕀m(f)=[y₁, y₂]

Cálculo

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Funções

D = {x  IR| –3  x  4 e x  1} e Im = {y  IR| –2 < y  3}

Domínio e imagem através do gráfico

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Funções

Gráfico da função f(x) = x

2

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37

Funções

Gráfico da função f(x) = x

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Funções

Gráfico da função f(x) = -2 se x ≤ −2 2 se −2 < x< 2 4 se x > 2

Cálculo

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Funções

Gráfico da função f(x) = | x |

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Funções

Gráfico da função f(x) =

1

𝑥

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