funcao modular

Função Modular

Luciana Borges Goecking

Universidade Federal de Alfenas - Instituto de Ciências Exatas

Função Modular

Definição. Toda função que apresenta módulo em sua lei de formação é denominada função modular.

Vamos trabalhar um pouco com essas funções a partir dos exemplos a seguir.

Função Modular

Definição. Toda função que apresenta módulo em sua lei de formação é denominada função modular.

Vamos trabalhar um pouco com essas funções a partir dos exemplos a seguir.

Exemplos

Vamos esboçar o gráfico e encontrar o domínio e a imagem das funções a seguir:

a) f (x ) = |x | b) f (θ) = |θ + 1| c) f (t) = |t| + |t − 2| d) f (x ) = |x | − |x − 2| e) f (h) = |h2− 3h + 9| f) f (t) = |t + 2| t + 2

Equações e Inequações Modulares

Vamos resolver alguns exemplos a) |4x − 6| = x − 3 b) |x |2− 3|x| + 2 = 0 c)     3 − 2x 2 + x     ≤ 4 x 6= −2

Função Injetora

Definição. Uma função f : A → B chama-se injetora quando, dados x,y quaisquer em A, se f (x ) = f (y ) então x = y . Em outras palavras: quando x 6= y , em A, implica f (x ) 6= f (y ) em B.

A função injetora leva elementos distintos de A em elementos distintos de B.

Função Injetora

Definição. Uma função f : A → B chama-se injetora quando, dados x,y quaisquer em A, se f (x ) = f (y ) então x = y . Em outras palavras: quando x 6= y , em A, implica f (x ) 6= f (y ) em B.

A função injetora leva elementos distintos de A em elementos distintos de B.

Exemplo de funções injetoras

1) f : A → B onde A = B = R+definida por f (x ) =

√ x 2) f : [0, 4] → R, f (x) = x2

Função Sobrejetora

Definição. Uma função f : A → B chama-se sobrejetora quando, para todo y ∈ B existe pelo menos um x ∈ A tal que f (x ) = y .

Em outras palavras, se f : A → B é sobrejetora tem-se que f (A) = B

Função Sobrejetora

Definição. Uma função f : A → B chama-se sobrejetora quando, para todo y ∈ B existe pelo menos um x ∈ A tal que f (x ) = y .

Em outras palavras, se f : A → B é sobrejetora tem-se que f (A) = B

Exemplos de funções sobrejetoras

1) f : A → B onde A = B = R+definida por f (x ) =

√ x 2) f : R → R+, f (x ) = x2

Função Bijetora

Definição. Uma função que seja, ao mesmo tempo, injetora e sobrejetora é chamada sobrejetora.

Exemplos

1) f : A → B onde A = B = R+definida por f (x ) =

√ x 2)

Funções Compostas

Dadas duas funções f e g, a função composta de g com f, denotada por g ◦ f , é definida por (g ◦ f )(x ) = g(f (x )).

O domínio de g ◦ f é o conjunto de todos os pontos x no domínio de f tais que f (x ) está no domínio de g.

Simbolicamente,

Exemplos

1) Sejam f (x ) =√x e g(x ) = x − 1. Encontre g ◦ f , f ◦ g, f ◦ f , g ◦ g. 2) Dadas f (x ) = x − 1 e (g ◦ f )(x ) = 5x − 3, obtenha g(x ). 3) Dadas f (x ) = 2x − 3 e h(x ) = x + 3 2 , obtenha f ◦ h e g ◦ f .

Função Inversa

Definição. Seja uma função injetora com domínio A e imagem B. A função inversa f−1é a função, com domínio B e imagem A tal que:

f−1(f (x )) = x para x ∈ A e f (f−1(y )) = y para y ∈ B. Assim, podemos definir a função inversa f−1por

x = f−1(y ) ⇐⇒ y = f (x ) para todo y em B.

Diagrama

Exemplos

1) A função f : R → R definida por y = 2x − 5 tem como função inversa f−1: R → R, definida por x = 1

2(y + 5).

2) A função f : R − {3} → R − {−1} definida por y = x − 1 3 − x admite a função inversa f−1: R − {−1} → R − {3}, definida por x = 1 + 3y

Se aplicarmos, em qualquer ordem, f e também f−1a um número qualquer, obtemos esse número de volta.

Graficamente, podemos determinar se uma função admite inversa traçando uma reta paralela ao eixo dos x. Esta deve corta o gráfico em apenas um ponto.

A função f : R → R dada por y = x2_{não possui inversa.}

Fazendo uma restrição conveniente no domínio a função y = −x2admite inversa. Por exemplo impondo x ≥ 0.

Encontre a função inversa de 1) f : [0, ∞) → [0, ∞), definida por f (x ) = x2. 2) f : R → R dada por y = x3. 3) f (x ) = 3x 4) f (x ) =x + 1 x − 3

Equações exponenciais

Algumas equações apresentam a incógnita como expoente, essas são então chamada equações exponenciais.

Exemplos: a) 5x =125 b) 11(x −2)₌₁

c) 3x (x +2)=27 d) 52x− 4.5x_{+3 = 0}

Equações exponenciais

A resolução das equações exponenciais requer o

conhecimento das propriedades das potências e a utilização de alguns artifícios. Vejamos alguns exemplos.

Exemplos

1) 5x =125 2) 3x ₌ 1 81 3) 121(x −2)=1 4) 49x ₌√4 343 5) 5x +1₊₅x +2₌₃₀ 6) 2x −1+2x +2=36 7) 22x− 3.2x_{+2 = 0} 8) 4x− 9.2x _{+8 = 0}

Função exponencial

Chamamos de função exponencial a toda função do tipo f (x ) = ax_{, definida para todo x real com a > 0 e a 6= 1}

Exemplos:

a) f (x ) = 2x b)f (x ) = 1 2

Gráfico da função exponencial

1◦Caso. A base é um número real maior que 1: a > 1

Gráfico da função exponencial

2◦Caso. A base é um número real menor que 1: 0 < a < 1

Características da função exponencial

- O gráfico da função exponencial f (x ) = ax passa pelo ponto (0, 1)

- O seu domínio é o conjunto dos números reais - A sua imagem é Im(f ) = R∗+

- A função é crescente para a > 1 - A função é decrescente para 0 < a < 1

Inequações exponenciais

Inequações exponenciais são as que envolvem funções exponenciais. Exemplos: a) 9x _{≤ 27 b)} 1 2 2x > 1 2 4

Resolução das inequações exponenciais

1◦Caso. (a > 1) Neste caso, desprezamos as bases comuns e mantemos o sinal da desigualdade em relação aos expoentes

ax1 _<ax2 _{⇐⇒ x}

1<x2

ax1 _>ax2 _{⇐⇒ x}

1>x2

Resolução das inequações exponenciais

2◦Caso. (0 < a < 1) Neste caso, desprezamos as bases comuns e invertemos o sinal da desigualdade em relação aos expoentes

ax1 _<ax2 _{⇐⇒ x}

1>x2

ax1 _>ax2 _{⇐⇒ x}

1<x2

Exemplo. Determine o conjunto verdade da inequação  1 2 2x > 1 2 4

Exercício

Qual é o conjunto verdade das inequações considerando U = R a) (√2)2x +4 ≤ 1 (√2)2x −1 b) 2 3 3x +1 >1

Aula passada vimos: log_ab = c ⇐⇒ ac =b (C.E): b > 0 e 0 < a 6= 1

Condições de existência

A base de um logaritmo não pode ser negativa, não pode ser igual a zero nem igual a um.

Exemplos:

a) Não existe log₋₃27, pois não existe x real para que se tenha (−3)x =27

b) Não existe log₀7, pois não existe x real para que se tenha 0x =7

Condições de existência

c) Não existe log₁3, pois não existe x real para que se tenha 1x =3

Condições de existência

O logaritmando não pode ser negativo e nem igual a zero. Exemplos:

a) Não existe log₂(−8), pois não existe x real para que se tenha 2x = −8

b) Não existe log₅0, pois não existe x real para que se tenha 5x =0

Exemplos

Calcule os seguintes logaritmos: a) log_a1

b) log_aa c) log_aaβ

d) log₅5√5

Temos que:

log_ab = log_ac ⇐⇒ b = c

Sistema de logaritmos decimais

É um sistema de logaritmos no qual se adota a base 10

Exemplos:

Sistema de logaritmos neperianos

É um sistema de logaritmos de base e (e=2,718... denominado número de Euler) e é apresentado escrevendo-se uma das formas log_eou ln

Exemplos:

Propriedades operatórias

Logaritmo do produto

log_a(m.n) = log_am + log_an sendo 1 6= a > 0 , m > 0 e n > 0

Propriedades operatórias

Logaritmo de um quociente

log_am

n =logam − logan sendo 1 6= a > 0 , m > 0 e n > 0

Exemplo. Se log₂b − log₂a = 5, então determinar o quociente b

Propriedades operatórias

Logaritmo de uma potência

log_ank =k . log_an sendo 1 6= a > 0 e n > 0

Exemplos:

a) Resolva a equação 3. log x = 2 log 8.

b) Considerando log_a2 = 0, 69 e log_a3 = 1, 10, calcular log_a√412.

Mudança de base

log_ab = logcb log_ca sendo b > 0, 0 < a 6= 1, 0 < c 6= 1

Exemplo. Mudar para a base 2 os logaritmos a) log₄5

b) log 1 8

Equações logarítmicas

São aquelas que apresentam a incógnita no logaritmando ou na base do logaritmo.

Vejamos alguns exemplos. Determinar o conjunto solução das equações logarítmicas a seguir

a) log₅(log₂x ) = 0 b) log_x(x + 6) = 2

d) log₄x + log₂x = 6

e) Resolver o sistema2. log2x + log1/2y = 4 x√y = 26

 .

Função Logaritmica

Seja a função exponencial y = ax, com a > 0 e a 6= 1. A sua inversa chama-se função logaritmica e indica-se y = log_ax .

Gráfico da função logarítmo

Construir o gráfico cartesiano das funções a) y = log₂x

Se a > 1 a função será crescente e neste caso teremos log_ax1>logax2⇒ x1>x2

Se 0 < a < 1 a função será decrescente e neste caso teremos log_ax1>logax2⇒ 0 < x1<x2

Características

- Domínio da função: R∗+

Inequações logarítmicas

As inequações logaritmicas caracterizam-se por envolverem a função logaritmica.

Exemplos: log₅(2x − 5) > 1 log(x2+4) ≤ log x − 2

Exemplos

Resolva as seguintes inequações logarítmicas a) log₂(x + 2) < 3

b) log_0,3(2x − 3) ≤ log_0,34