Universidade Estadual de Campinas
Faculdade de Engenharia El´etrica e de Computa¸c˜
ao
Departamento de Microondas e ´
Optica
Ondas Localizadas Aplicadas aos Meios
Difrativos/Dispersivos
Michel Zamboni Rached
Autor
Prof. Dr. Hugo Enrique Hern´
andez Figueroa
Orientador
Tese apresentada `a Faculdade de Engenharia El´etrica e de Computa¸c˜ao da Universidade Estadual de Campinas como parte dos requisitos exigidos para a obten¸c˜ao do t´ıtulo de
Doutor em Engenharia El´etrica.
Banca Examinadora
Hugo Enrique Hern´andez Figueroa FEEC/Unicamp
Erasmo Recami Universidade de B´ergamo/It´alia
Luis Costa da Silva Pontif´ıcia Universidade Cat´olica do Rio de Janeiro
Jos´e Joaquin Lunazzi F´ısica/Unicamp
Rui Fragassi Souza FEEC/Unicamp
Evandro Conforti FEEC/Unicamp
FICHA CATALOGRÁFICA ELABORADA PELA
BIBLIOTECA DA ÁREA DE ENGENHARIA - BAE - UNICAMP
R114o
Rached, Michel Zamboni
Ondas localizadas aplicadas aos meios difrativos/dipersivos / Michel Zamboni Rached.--Campinas, SP: [s.n.], 2004.
Orientador: Hugo Enrique Hernández Figueroa. Tese (Doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação.
1. Ondas (Física). 2. Difração. 3. Dispersão. 4. Física ótica. 5. Ótica de feixes. 6. Eletromagnetismo. I. Hernández Figueroa, Hugo Enrique. II. Universidade Estadual de Campinas. Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação. III. Título.
iii
“Ao Rei consagro o que compus..”
Salmos, 45.1
Conte´
udo
Agradecimentos 1
Apresenta¸c˜ao 3
Resumo 7
Abstract 9
1 Breve introdu¸c˜ao `a teoria das ondas localizadas 11
1.1 Introdu¸c˜ao . . . 11
1.1.1 Feixes ´opticos n˜ao difrativos . . . 12
1.1.2 Pulsos ´opticos n˜ao difrativos . . . 15
1.2 A equa¸c˜ao de onda e algumas solu¸c˜oes usuais . . . 17
1.2.1 O feixe gaussiano . . . 19
1.2.2 O pulso Gaussiano . . . 20
1.3 Obten¸c˜ao de algumas solu¸c˜oes localizadas . . . 21
1.3.1 O feixe de Bessel . . . 21
1.3.2 O pulso X ordin´ario . . . 24
1.4 Algumas observa¸c˜oes importantes . . . 26
1.5 Referˆencias do Cap´ıtulo 1 . . . 27
2 A decomposi¸c˜ao bidirecional generalizada: Novas solu¸c˜oes localizadas superluminais da equa¸c˜ao de onda com energia finita e freq¨uˆencias ar-bitr´arias 35 2.1 Introdu¸c˜ao . . . 35
vi
2.2 Resumo do artigo A.1: “New localized superluminal solutions to the wave
equations with finite total energies and arbitrary frequencies”. . . 36
3 Focaliza¸c˜ao espa¸co-temporal com o uso de pulsos tipo X 39
3.1 Introdu¸c˜ao . . . 39
3.2 Resumo do artigo A.2: “Focused X-shaped Pulses”. . . 39
4 Ondas localizadas em meios com fronteiras 43
4.1 Introdu¸c˜ao . . . 43
4.2 Resumo do artigo A.3: “Superluminal localized solutions to Maxwell
equa-tions propagating along a normal-sized waveguide”. . . 44
4.3 Resumo do artigo A.4: “Superluminal localized solutions to Maxwell
equa-tions propagating along a waveguide: The finite-energy case”. . . 45
4.4 Resumo do artigo A.5: “Superluminal X-shaped beams propagating
without distortion along a coaxial guide”. . . 48 4.5 Generaliza¸c˜ao do teorema de Lu. . . 49
4.6 Sobre a profundidade de campo dos pulsos com energia finita. . . 53
5 Ondas localizadas em meios dispersivos 55
5.1 Introdu¸c˜ao . . . 55
5.2 Resumo do artigo A.6: “Localized superluminal solutions to the wave
equa-tion in (vacuum or) dispersive media, for arbitrary frequencies and with adjustable bandwidth”. . . 57
5.3 Resumo do artigo A.7: “On the localized superluminal solutions to the
Maxwell equations”. . . 58
5.4 Resumo do artigo A.8: “Chirped optical X-shaped pulses in material media”. 58
6 Campos ´opticos estacion´arios, com padr˜ao longitudinal de intensidade
arbitr´ario, feitos atrav´es de superposi¸c˜oes de feixes Bessel de mesma
freq¨uˆencia: Frozen Waves 61
6.1 Introdu¸c˜ao . . . 61
6.2 Resumo do artigo A.9: “Stationary optical wave fields with arbitrary
vii
7 Conclus˜oes e trabalhos futuros 65
7.1 Conclus˜oes . . . 65
7.2 Trabalhos futuros . . . 66
Publica¸c˜oes feitas durante o doutorado 67 A Artigos Anexados 69 A.1 Artigo 1 . . . 71 A.2 Artigo 2 . . . 85 A.3 Artigo 3 . . . 99 A.4 Artigo 4 . . . 107 A.5 Artigo 5 . . . 117 A.6 Artigo 6 . . . 129 A.7 Artigo 7 . . . 141 A.8 Artigo 8 . . . 159 A.9 Artigo 9 . . . 185
Agradecimentos
Ao meu Deus, por tudo.
Ao meu pai, pelo amor, amizade e por ter me mostrado, durante todos esses anos, o real significado da palavra trabalho.
`
A minha querida m˜ae, pelo amor e pelas palavras de est´ımulo nos momentos dif´ıceis. `
A minha amada esposa, pelo carinho, amor e paciˆencia.
`
As minhas irm˜as, pelo carinho e agrad´avel convivˆencia.
Ao professor Hugo Hernandez, pela orienta¸c˜ao, amizade e pela confian¸ca que sempre
depositou em mim.
Ao meu grande amigo professor Erasmo Recami, pelos muitos ensinamentos, apoio e incans´avel encorajamento.
Aos meus outros poucos verdadeiros amigos: Henrique, Marcelo, Marcos, Rodrigo e Eber-val.
Ao Departamento de Microondas e ´Optica, pelas ´otimas condi¸c˜oes de trabalho. `
A FAPESP pela bolsa concedida e pelo respeito com que sempre me tratou.
Apresenta¸
c˜
ao
Na escrita desta tese, optamos por um formato pouco comum, onde os artigos j´a
publicados (feitos durante o doutorado) s˜ao anexados no Apˆendice final, sendo que os
cap´ıtulos da tese fazem apenas um resumo de cada artigo.
No decorrer do doutorado, escrevemos quatorze (14) artigos, sendo treze (13) publi-cados e um (1) em fase de publica¸c˜ao. Desses, onze (11) s˜ao relacionados com o assunto desta tese, dos quais, nove (9) encontram-se aqui expostos.
Dessa forma, os resultados colocados nesta tese s˜ao apresentados nos nove (9) artigos anexados.
Referenciamos os artigos aqui apresentados da seguinte forma: por exemplo, [A.1] significa o artigo de n´umero 1; [A.2] significa o artigo de n´umero 2, e assim por diante. Todos esses artigos est˜ao anexados no Apˆendice, no final desta tese.
Os nove (9) artigos aqui anexados s˜ao listados abaixo, seguindo a forma de indexa¸c˜ao acima :
[A.1] M. Zamboni-Rached, E. Recami, and H. E. Hern´andez F., “New localized
superlu-minal solutions to the wave equations with finite total energies and arbitrary frequencies”, European Physical Journal D, Vol. 21, pp. 217-228 (2002).
[A.2] M. Zamboni-Rached, A. Shaarawi, E. Recami, “Focused X-Shaped Pulses”, Journal Optical Society of America A, Vol.21, pp. 1564-1574 (2004).
[A.3] M. Zamboni-Rached, E. Recami, and F. Fontana, “Localized superluminal solutions to Maxwell equations propagating along a normal-sized waveguide”, Physical Review E, Vol. 64, 066603 (2001).
[A.4] M. Zamboni-Rached, E. Recami, and F. Fontana, “Superluminal localized solutions 3
4
to Maxwell equations propagating along a waveguide: The finite-energy case”, Physical Review E, Vol. 67, 036620 (2003).
[A.5] M. Zamboni-Rached, K. Z. Nobrega, E. Recami, and H. E. Hern´andez F.,
“Super-luminal X-shaped beams propagating without distortion along a coaxial guide”, Physical Review E, Vol. 66, 036620 (2002).
[A.6] M. Zamboni-Rached, K. Z. N´obrega, H. E. Hern´andez-Figueroa, E. Recami,
“Lo-calized superluminal solutions to the wave equation in (vacuum or) dispersive media, for arbitrary frequencies and with adjustable bandwidth”, Optics Communications, Vol.226, pp. 15-23 (2003).
[A.7] E. Recami, M. Zamboni-Rached, K. Z. N´obrega, C.A. Dartora, H.E. Hern´
andez-Figueroa, “On the Localized Superluminal Solutions to the Maxwell Equations”, IEEE Journal of Selected Topics in Quantum Electronics, Vol.9, No.1, pp.59 -73 (2003).
[A.8] M. Zamboni-Rached, H. E. Hern´andez-Figueroa, E. Recami, “Chirped optical
X-shaped pulses in material media”, artigo em fase de publica¸c˜ao no Journal Optical Society of America A.
[A.9] M. Zamboni-Rached, “Stationary fields with arbitrary longitudinal shape by super-posing equal frequency Bessel beams: Frozen Waves”, Optics Express, Vol. 12, pp.4001-4006 (2004).
A estrutura do trabalho ´e descrita a seguir:
Com exce¸c˜ao do primeiro, no in´ıcio de cada cap´ıtulo fazemos uma introdu¸c˜ao, colo-cando o assunto que ser´a apresentado. Depois, nas se¸c˜oes seguintes, passamos a resumir o conte´udo dos artigos correspondentes ao cap´ıtulo em quest˜ao. Quando necess´ario, logo
ap´os os resumos, complementamos a discuss˜ao de algum artigo, expondo, algumas vezes,
resultados que n˜ao se encontram nas publica¸c˜oes.
O primeiro cap´ıtulo faz um breve resumo da hist´oria e desenvolvimento da teoria das ondas localizadas, e dedica tamb´em algumas p´aginas `a obten¸c˜ao de algumas solu¸c˜oes n˜ao difrativas∗ cl´assicas da literatura. Esses exemplos s˜ao colocados para chamar a aten¸c˜ao, de forma bem intuitiva, para a estrutura espectral dessas ondas, assunto que ser´a tratado
5
mais profundamente no cap´ıtulo seguinte. Dessa forma, o primeiro cap´ıtulo n˜ao ´e dedicado
aos resultados originais da tese e serve mais como uma prepara¸c˜ao para os cap´ıtulos
posteriores.
O segundo cap´ıtulo ´e dedicado artigo [A.1]; o terceiro cap´ıtulo trata do artigo [A.2]; o quarto cap´ıtulo trata dos artigos [A.3], [A.4] e [A.5]; o quinto cap´ıtulo dedica-se aos artigos [A.6], [A.7] e [A.8]; o sexto cap´ıtulo ´e dedicado ao artigo [A.9].
Quando fazemos referˆencia a alguma equa¸c˜ao de algum artigo, usamos a seguinte
nota¸c˜ao: por exemplo, Eq.(A.3.1) significa a equa¸c˜ao de n´umero 1 do artigo de n´umero 3. O n´umero de referˆencias ´e vasto, sendo apresentadas ao final de cada artigo anexado, com exce¸c˜ao do primeiro cap´ıtulo, o qual possui referˆencias pr´oprias.
A numera¸c˜ao das p´aginas ´e feita no lado direito superior, sendo que os artigos ane-xados possuem duas pagina¸c˜oes, uma pagina¸c˜ao pr´opria e outra que segue a ordem da tese e que tamb´em ´e colocada no lado direito superior. Quando a pagina¸c˜ao pr´opria do artigo (que ´e a do peri´odico em que este foi publicado) tamb´em ´e colocada no lado direito superior, a pagina¸c˜ao desse artigo na tese ´e colocada acima daquela da revista.
Resumo
Neste trabalho de tese, realizamos um estudo te´orico sistem´atico das chamadas Ondas Localizadas (ou Ondas N˜ao Difrativas), bem como suas poss´ıveis aplica¸c˜oes em ´optica,
abrangendo feixes e pulsos. Os resultados s˜ao enumerados a seguir: (I) Um m´etodo
matem´atico simples foi desenvolvido, unificando os diferentes tipos de ondas - subluminais, luminais e superluminais - possibilitando a obten¸c˜ao de novas solu¸c˜oes localizadas para a equa¸c˜ao de onda, em particular para as equa¸c˜oes de Maxwell, incluindo aquelas com energia finita; (II) Um m´etodo de focaliza¸c˜ao espa¸co-temporal foi desenvolvido com o uso de superposi¸c˜oes cont´ınuas de pulsos tipo X de diferentes velocidades; (III) Foram obtidas as primeiras solu¸c˜oes localizadas em meios guiados - guias met´alicos ocos e coaxiais; (IV) Foram obtidas as primeiras solu¸c˜oes anal´ıticas descrevendo pulsos n˜ao difrativos e n˜ao dispersivos em meios materiais, usando-se superposi¸c˜oes de feixes de Bessel com diferentes ˆ
angulos de ´axicon; (V) Ainda em meios materiais, foi mostrado que pulsos tipo X com
chirp, com ˆangulo de ´axicon fixo, podem ser eficientes no controle conjunto da difra¸c˜ao
e dispers˜ao; (VI) Um m´etodo, para o modelamento longitudinal de intensidade de um
campo ´optico, foi desenvolvido a partir de superposi¸c˜oes apropriadas de feixes de Bessel de mesma freq¨uˆencia, por´em com diferentes n´umeros de onda longitudinais.
Abstract
In this thesis work we perform a thorough theoretical study of the so-called Localized Waves (or Non-diffracting Waves), as well as of their possible applications in Optics, con-sidering both Localized beams and Localized pulses. Our main results are the following: (I) We have developed a simple mathematical method, unifying the different classes of lo-calized waves – subluminal, luminal and superluminal –, which allowed obtaining a host of new Soliton-like Solutions to the wave equations and in particular to Maxwell equations, including those with finite energy; all our solutions being expressed in closed form;(II) We have found out a method for the space-time focusing of our Localized Waves, by con-tinuous superpositions of X-shaped pulses with different velocities, that is, with different “axicon angles”; let us recall that the X-shaped waves resulted to represent the most typi-cal, and useful, superluminal waves; (III) We have constructed for the first time Localized Solutions propagating rigidly along guides: namely, along empty waveguides or coaxial cables; (IV) We have discovered the first analytical solutions describing non-diffractive and non-dispersive pulses travelling in material (dispersive) media, by exploiting suitable superpositions of Bessel beams with different axicon angles. (V) Still for material me-dia, we have shown that chirped X-shaped pulses (even with fixed axicon angle) can be constructed, which simultaneously resist both diffraction and dispersion; (VI) Finally, a method has been carried out for the longitudinal design of the Localized Wave intensity, by having recourse to appropriate superposition of Bessel beams with the same frequency, but, this time, with different longitudinal wavenumbers.
Cap´ıtulo 1
Breve introdu¸
c˜
ao `
a teoria das ondas
localizadas
1.1
Introdu¸
c˜
ao
Os fenˆomenos da difra¸c˜ao e da dispers˜ao s˜ao desde h´a muito tempo conhecidos, sendo muitas vezes fatores limitantes nas aplica¸c˜oes que usem pulsos ou feixes ´opticos .
A difra¸c˜ao ´e um efeito sempre presente, afetando ondas que viajam em meios
ho-mogˆeneos com duas ou trˆes dimens˜oes espaciais. Pulsos e feixes s˜ao formados por ondas
que se propagam em diferentes dire¸c˜oes, o que lhes causa um alargamento espacial
gra-dativo durante a propaga¸c˜ao [1]. A magnitude dessa deforma¸c˜ao no formato inicial de
uma onda ´e proporcional ao grau de varia¸c˜ao espacial dessa quando comparado ao seu
comprimento de onda . Esse fenˆomeno pode ser um limitante para qualquer aplica¸c˜ao
onde se requer que um feixe ou um pulso mantenha a sua localiza¸c˜ao transversal, como
por exemplo, em comunica¸c˜oes ´opticas do espa¸co livre [2], imagens ´opticas [3], litografia ´
optica [4,5], pin¸cas eletromagn´eticas [6,7], etc..
A dispers˜ao atua em pulsos ´opticos que se propagam em meios materiais,
causando-lhes, como principal efeito, um alargamento temporal∗. Esse fenˆomeno ocorre devido `a dependˆencia do ´ındice de refra¸c˜ao do meio com a freq¨uˆencia, ou seja, cada componente espectral do pulso possui uma diferente velocidade de fase; isso faz com que no decorrer da
∗Pode ocorrer tamb´em (por determinadas distˆancias), uma compress˜ao temporal.
12
propaga¸c˜ao o pulso se alargue temporalmente de forma gradativa. Com isso a dispers˜ao
pode ser um limitante em qualquer aplica¸c˜ao onde se requer que o pulso mantenha a sua
abertura temporal, como por exemplo, em sistemas ´opticos de comunica¸c˜ao [8].
Devido `as limita¸c˜oes impostas por esses fenˆomenos, ´e de grande importˆancia o desen-volvimento de t´ecnicas que possibilitem ameniz´a-los.
As chamadas ondas localizadas, tamb´em conhecidas como ondas n˜ao difrativas, surgi-ram nesse sentido, na verdade como uma tentativa de se obter feixes e pulsos capazes de resistirem `a difra¸c˜ao por longas distˆancias no espa¸co livre. Tais solu¸c˜oes da equa¸c˜ao de onda (e tamb´em das equa¸c˜oes de Maxwell) foram obtidas primeiramente na teoria e pouco tempo depois j´a estavam sendo produzidas em laborat´orios. Hoje as ondas localizadas s˜ao uma realidade te´orica e experimental, e n˜ao mais aplicadas apenas ao v´acuo, mas tamb´em aos meios materiais (lineares ou n˜ao), onde se mostraram capazes de resistir tamb´em ao fenˆomeno da dispers˜ao.
Com isso, as aplica¸c˜oes ´opticas em potencial dessas ondas, como em pin¸cas eletro-magn´eticas [9-12], guiamento ´optico de ´atomos [13-15], litografia ´optica [16], imagens ´
opticas [17], comunica¸c˜oes ´opticas no espa¸co livre [18-20], alinhamento ´optico a longa distˆancia [21], etc., vem sendo cada vez mais exploradas e fornecendo a cada dia resulta-dos surpreendentes.
Nas duas se¸c˜oes a seguir daremos uma breve introdu¸c˜ao `a teoria e aplica¸c˜oes dos feixes e pulsos localizados e mostraremos tamb´em as contribui¸c˜oes dadas por esse bolsista nessas ´areas ao longo do doutorado.
1.1.1
Feixes ´
opticos n˜
ao difrativos
Quando dizemos feixe, estamos nos referindo a uma solu¸c˜ao monocrom´atica da
equa¸c˜ao de onda que possui concentra¸c˜ao transversal de campo. O tipo mais comum
de feixe ´optico ´e o gaussiano, cujo padr˜ao transversal ´e dado por uma fun¸c˜ao gaussiana. Todo e qualquer feixe est´a sujeito aos efeitos difrativos, que corrompem o padr˜ao transversal do campo, alargando-o de forma gradativa. Como exemplo, temos novamente
o feixe gaussiano, cuja largura transversal ´e dobrada quando o feixe se propaga uma
distˆancia zdif =
√ 3π∆ρ2
0/λ0, onde ∆ρ0 ´e a largura inicial do feixe e λ0 ´e o comprimento
de onda. Vemos que um feixe gaussiano com uma abertura transversal inicial da ordem de seu comprimento de onda sofrer´a fortemente o efeito da difra¸c˜ao tendo a sua largura
13
dobrada em uma distˆancia de poucos comprimentos de onda.
Pensava-se que a ´unica forma de onda totalmente desprovida dos efeitos difrativos
fosse a onda plana, j´a que essa n˜ao possui varia¸c˜oes transversais. Foi ent˜ao que em 1941 Straton [22] obteve para a equa¸c˜ao de onda uma solu¸c˜ao monocrom´atica cujo padr˜ao transversal tinha concentra¸c˜ao de campo ao redor do eixo de propaga¸c˜ao e era dado por uma fun¸c˜ao de Bessel. Curiosamente tal solu¸c˜ao, hoje conhecida como feixe de Bessel, parecia n˜ao sofrer difra¸c˜ao, pois seu padr˜ao transversal n˜ao se alterava no decorrer da propaga¸c˜ao. Esse fato in´edito, por´em, n˜ao recebeu a devida aten¸c˜ao, pois o feixe em
quest˜ao possu´ıa energia infinita. Restou dessa forma a pergunta: o que aconteceria em
um caso real onde a solu¸c˜ao ideal do feixe de Bessel fosse truncada por uma abertura
transversal finita?
A resposta veio muitos anos depois, em 1987 e impressionou a comunidade cient´ıfica da ´area. Nesse ano Durnin et al.[23] publicaram a medida experimental da difra¸c˜ao sofrida por um feixe de Bessel a partir de uma abertura finita. O experimento mostrou que um
feixe de Bessel com comprimento de onda λ0 = 0, 6328 µm, com “spot”† ∆ρ0 = 59µm,
passando por uma abertura de raio R = 3, 5 mm, ´e capaz de se propagar por uma distˆancia
de 85 cm mantendo o padr˜ao transversal de intensidade aproximadamente inalterado na
regi˜ao pr´oxima ao pico central, ou seja, em ρ << R. Explicando melhor, o pico de intensidade transversal (central) permanece inalterado (n˜ao sofre abertura) e o campo na regi˜ao vizinha ao pico tamb´em n˜ao sofre altera¸c˜oes no formato.
Por sua vez, um feixe Gaussiano com o mesmo comprimento de onda, mesmo “spot”‡
central ∆ρ0 = 59µm, passando pela mesma abertura de raio R = 3, 5 mm, dobra a sua
largura transversal em uma distˆancia de 3 cm e ap´os 6 cm sua intensidade cai uma ordem de magnitude.
Dessa forma, Durnin et al. mostraram que, nesse caso, o feixe de Bessel ´e capaz de
se propagar, aproximadamente sem deforma¸c˜oes, uma distˆancia cerca de 28 vezes maior
do que a propagada pelo feixe gaussiano.
O segredo dessa not´avel propriedade est´a no pr´oprio padr˜ao do feixe Bessel. Os an´eis laterais de intensidade (a qual ´e decrescente), ao se difratarem, acabam por reconstruir o
†Definimos o “spot” central de um feixe de Bessel como sendo a distˆancia de ρ = 0 na qual ocorre o primeiro zero da fun¸c˜ao de Bessel que define o padr˜ao transversal desse feixe.
‡Definimos o “spot” central de um feixe Gaussiano como sendo a distˆancia de ρ = 0 na qual o pico de intensidade transversal decai de 1/e.
14
pr´oprio feixe por uma longa distˆancia. Essa caracter´ıstica se deve `a estrutura espectral§ (n´umeros de onda e freq¨uˆencia) que esse feixe possui [17, 26, 27].
Devemos ressaltar aqui que, considerando um feixe de Bessel e um feixe Gaussiano,
ambos com o mesmo “spot” ∆ρ0, passando pela mesma abertura de raio R no plano
z = 0, com uma mesma energia E, a porcentagem da energia total E contida na regi˜ao do
pico central (0 ≤ ρ ≤ ∆ρ0) no feixe de Bessel, ´e menor do que aquela contida na regi˜ao do
pico central (0 ≤ ρ ≤ ∆ρ0) do feixe Gaussiano. Essa distribui¸c˜ao diferenciada da energia
no plano transversal do feixe de Bessel ´e a repons´avel pela reconstru¸c˜ao do pico central, mesmo a grandes distˆancias da fonte.
Uma das coisas mais interessantes no trabalho de Durnin foi a simplicidade do aparato usado na gera¸c˜ao de um feixe de Bessel. Usa-se apenas uma fonte de laser, uma abertura anular e uma lente convergente, como mostra a Figura 1.1 Esse feixe n˜ao difrativo pode, tamb´em, ser gerado por um axicon (lente cˆonica) iluminado por um feixe gaussiano [17], sendo que ainda outras t´ecnicas podem ser usadas, como a holografia [27,28].
Figura 1.1: Esquema experimental usado por Durnin para a gera¸c˜ao de um feixe de Bessel. Depois da demonstra¸c˜ao experimental de Durnin da existˆencia de feixes n˜ao difrati-vos, muitos f´ısicos e engenheiros se engajaram no estudo das propriedades e das aplica¸c˜oes potenciais dessa descoberta, sendo que o n´umero de trabalhos desde ent˜ao tem sido muito grande, com as aplica¸c˜oes atingindo as mais diversas ´areas, como pin¸cas ´opticas [9-12], guiamento ´optico de ´atomos [13-15], litografia ´optica [16], imagens ´opticas [17], alinha-mento ´optico a longa distˆancia [21], acelera¸c˜ao ´optica de part´ıculas carregadas, etc..
15
Dentre essas muitas aplica¸c˜oes, uma que vem causando grande impacto ´e o uso dos
feixes de Bessel como pin¸cas ´opticas [9-12] capazes de aprisionar ou mover pequenas
part´ıculas. O uso de feixes gaussianos para essa finalidade ´e limitado pela difra¸c˜ao gra-dativa que esse sofre.
Uma das contribui¸c˜oes que demos `a teoria dos feixes localizados se deu com o trabalho [29], onde desenvolvemos um m´etodo onde feixes de Bessel ´opticos de mesma freq¨uˆencia, por´em com diferentes n´umeros de onda longitudinais, s˜ao apropriadamente superpostos para fornecer campos estacion´arios de grande localiza¸c˜ao transversal e, o mais importante,
com um padr˜ao longitudinal de intensidade cujo formato pode ser previamente escolhido
em um intervalo espacial 0 ≤ z ≤ L.
1.1.2
Pulsos ´
opticos n˜
ao difrativos
O advento da teoria dos pulsos ´opticos n˜ao difrativos (ou pulsos localizados) se deu de forma independente daquela dos feixes, apesar de ambas serem intimamente relacio-nadas e fazendo parte de uma teoria mais geral, a qual d´a-se o nome de teoria das ondas localizadas.
Em 1983, Brittingham [30] encontrou como solu¸c˜ao para as equa¸c˜oes de Maxwell no v´acuo, um pulso (de velocidade V = c, sendo por isso tamb´em chamado de pulso luminal) que se propagava de forma invariante, ou seja, imune aos efeitos da difra¸c˜ao. Apesar de muito interessante, a solu¸c˜ao proposta por Brittingham possu´ıa energia infinita e havia, portanto, a necessidade de se contornar esse problema.
A solu¸c˜ao foi obtida por Sezginer [31], que mostrou como obter solu¸c˜oes do tipo
pulsos n˜ao difrativos luminais com energia finita, que, nesse caso, n˜ao possuem mais
uma profundidade de campo infinita, por´em podem ainda se propagar sem deforma¸c˜oes
por longas distˆancias, sendo essas muito maiores dos que aquelas conseguidas por pulsos ordin´arios como, por exemplo, os Gaussianos.
Numa s´erie de artigos posteriores Ziolkolwsky, Shaarawi, Besieris e Donnelly [18, 19, 32-35] desenvolveram um m´etodo te´orico simples chamado de decomposi¸c˜ao bidirecional, a partir do qual uma nova gama de pulsos luminais (ou seja, com velocidade igual a c) n˜ao difrativos foi obtida.
16
onda no espa¸co livre que, apesar de serem ondas localizadas, pareciam ser de uma natureza diferente daquelas encontradas na literatura at´e ent˜ao. Tais solu¸c˜oes s˜ao constru´ıdas por superposi¸c˜oes cont´ınuas de feixes de Bessel com a mesma velocidade de fase (mesmo ˆangulo de ´axicon) [38] e, portanto, podem se manter sem deforma¸c˜oes por longas distˆancias. Essas ondas, chamadas de pulsos tipo X, devido ao formato peculiar que possuem, propagam-se
com uma velocidade maior que a de uma onda plana no meio em quest˜ao. No entanto, logo
foi entendido e demonstrado [39-41] que a energia (ou informa¸c˜ao) carregada por um pulso tipo X n˜ao ´e, de fato, carregada pelo pulso central, mas ´e, ao inv´es disso, proveniente de regi˜oes laterais ao pulso (laterais ao eixo de propaga¸c˜ao) propagando-se com velocidade c (onde c representa a velocidade de uma onda plana no meio em quest˜ao, sendo a velocidade da luz no caso eletromagn´etico, a do som no caso ac´ustico, etc..). A Figura 1.2 ilustra
esse fato; nela vemos uma onda X com velocidade v, em um determinado tempo t0, com o
pulso central localizado em P1; em um tempo posterior t0+ τ (onde τ = |P 2 − P 1|/v), o
centro do pulso estar´a no ponto P2, por´em mostra-se facilmente que a energia se propagou
com velocidade c, vinda das regi˜oes indicadas por R.
Figura 1.2: A figura mostra um pulso tipo X, tamb´em conhecido como onda localizada
superluminal. Vemos que a energia n˜ao se propaga do centro do pulso P1 para o ponto
P2, mas sim das regi˜oes denominadas por R e com velocidade c (velocidade da luz no caso
17
Devido a essa aparente velocidade maior que c, tais pulsos tipo X tamb´em s˜ao
co-nhecidas como ondas localizadas superluminais, sendo que obviamente nenhum efeito superluminal ocorre. Dessa forma, ´e importante frisar que os estudos sobre as ondas tipo X e suas aplica¸c˜oes s˜ao feitas devido `a grande capacidade que essas possuem de resistir `a difra¸c˜ao e, tamb´em, devido `a localiza¸c˜ao espacial que apresentam.
Pouco tempo depois J-y. Lu [42,43] estava aplicando as ondas X em ultra-sonografia, obtendo imagens de alt´ıssima qualidade .
Em [44], E. Recami obteve solu¸c˜oes do tipo ondas X para as equa¸c˜oes de Maxwell,
usando, para isso, solu¸c˜oes localizadas escalares tipo X para uma das componentes do
potencial de Hertz. Isso mostrou que as solu¸c˜oes localizadas da equa¸c˜ao de onda escalar podem ser usadas na obten¸c˜ao de solu¸c˜oes localizadas para as equa¸c˜oes de Maxwell.
Em 1997, Saari e Reivelt [45] anunciaram, em um importante trabalho, a produ¸c˜ao
em laborat´orio da onda X no caso ´optico. Estava demonstrada, experimentalmente, a
existˆencia das ondas localizadas superluminais (tipo pulso) para o caso eletromagn´etico.
Trˆes anos depois, em 2000, Mugnai et al. obtiveram[46] experimentalmente as ondas
tipo X na regi˜ao de microondas.
Nossas contribu¸c˜oes no campo dos pulsos localizados se deram com oito artigos [47-54], onde: (I) Um m´etodo matem´atico simples foi desenvolvido, unificando os diferentes tipos
de ondas - subluminais, luminais e superluminais - possibilitando a obten¸c˜ao de novas
solu¸c˜oes localizadas para a equa¸c˜ao de onda, em particular para as equa¸c˜oes de Maxwell, incluindo aquelas com energia finita; (II) Um m´etodo de focaliza¸c˜ao espa¸co-temporal
foi desenvolvido com o uso de superposi¸c˜oes cont´ınuas de pulsos tipo X de diferentes
velocidades; (III) Foram obtidas as primeiras solu¸c˜oes localizadas em meios guiados - guias met´alicos ocos e coaxiais; (IV) Foram obtidas as primeiras solu¸c˜oes anal´ıticas descrevendo pulsos n˜ao difrativos e n˜ao dispersivos em meios materiais, usando-se superposi¸c˜oes de
feixes de Bessel com diferentes ˆangulos de ´axicon; (V) Ainda em meios materiais, foi
mostrado que pulsos tipo X “chirpados” de ˆangulo de ´axicon fixo, podem ser eficientes no controle conjunto da difra¸c˜ao e dispers˜ao.
Esses resultados, bem como o artigo [29] ser˜ao apresentados a partir do Cap´ıtulo 2, sendo os artigos anexados no Apˆendice desta tese.
18
1.2
A equa¸
c˜
ao de onda e algumas solu¸
c˜
oes usuais
A equa¸c˜ao diferencial, centro das aten¸c˜oes desta tese, ´e a conhecida equa¸c˜ao de onda homogˆenea. ∂2 ∂x2 + ∂2 ∂y2 + ∂2 ∂z2 − 1 c2 ∂2 ∂t2 ! ψ(x, y, z; t) = 0 (1.1)
Desnecess´ario ´e ressaltar o papel fundamental dessa equa¸c˜ao na descri¸c˜ao de impor-tantes fenˆomenos f´ısicos, como ac´ustica, eletromagnetismo (microondas, ´optica, etc..), f´ısica das part´ıculas, etc..
Antes de prosseguirmos, vamos escrever a equa¸c˜ao de onda em coordenadas cil´ındricas (ρ, φ, z), e vamos supor, por simplicidade, que a solu¸c˜ao ψ(ρ, φ, z; t) possui simetria axial (simetria cil´ındrica). Com isso, a Eq.(1.1) pode ser escrita como
∂2 ∂ρ2 + 1 ρ ∂ ∂ρ + ∂2 ∂z2 − 1 c2 ∂2 ∂t2 ! ψ(ρ, z; t) = 0 (1.2)
Feito isso, e considerando o espa¸co livre, vamos agora escrever a solu¸c˜ao ψ(ρ, z; t)
em termos de uma transformada de Fourier-Bessel na vari´avel ρ e duas transformadas de
Fourier nas vari´aveis z e t:
ψ(ρ, z, t) = Z ∞ −∞ Z ∞ −∞ Z ∞ 0 kρJ0(kρρ) eikzze−iωtψ(k¯ ρ, kz, ω) dkρdkzdω (1.3)
onde J0(.) ´e a fun¸c˜ao de Bessel ordin´aria de ordem zero e ¯ψ(kρ, kz, ω) ´e a transformada
de ψ(ρ, z, t).
Substituindo (1.3) em (1.2), obtemos que a seguinte rela¸c˜ao entre ω, kρ e kz deve ser
satisfeita ω2 c2 = k 2 ρ+ k 2 z (1.4)
19
Dessa forma, usando a condi¸c˜ao (1.4) na Eq.(1.3), podemos escrever qualquer solu¸c˜ao da equa¸c˜ao de onda (1.2) como
ψ(ρ, z, t) = Z ω/c 0 Z ∞ −∞ kρJ0(kρρ) e i√ω2/c2− k2 ρze−iωtS(k ρ, ω) dkρdω , (1.5)
onde a fun¸c˜ao S(kρ, ω) ´e o espectro de ψ(ρ, z, t).
Com a solu¸c˜ao geral integral (1.5) vamos obter e relembrar duas solu¸c˜oes muito co-muns (n˜ao localizadas), o feixe e o pulso gaussianos. Essas ser˜ao importantes na com-preens˜ao da id´eia b´asica por detr´as das ondas localizadas.
1.2.1
O feixe gaussiano
Um feixe muito comum (n˜ao localizado) e usado ´e o feixe gaussiano. Este pode ser
obtido usando-se como espectro
S(kρ, ω) = 2a2e−a
2k2
ρδ(ω − ω
0) (1.6)
na solu¸c˜ao integral (1.5). Em (1.6), a ´e uma constante positiva, que, como veremos, est´a relacionada com a abertura transversal inicial do pulso.
A interpreta¸c˜ao da solu¸c˜ao integral (1.5), com o espectro (1.6), em termos de uma superposi¸c˜ao de ondas planas, pode ser visualizada na Fig. 1.3.
Vemos que, nesse caso, estamos considerando ondas planas que se propagam em todas
as dire¸c˜oes (sempre com kz ≥ 0), sendo que as mais intensas possuem a componente
longitudinal ~kz, do vetor de onda ~k = ~kρ+ ~kz, como predominante.
Substituindo (1.6) em (1.5) e usando a aproxima¸c˜ao paraxial, obtemos o feixe gaus-siano,
20
Figura 1.3: Interpreta¸c˜ao da solu¸c˜ao integral (1.5) com o espectro (1.6) em termos de uma superposi¸c˜ao de ondas planas.
ψGauss(ρ, z, t) = 2a2exp −ρ 2 4(a2 + i z/2k 0) ! 2(a2+ i z/2k0) eik0(z−ct) , (1.7)
onde k0 = ω0/c. Vemos que esse feixe sofre um alargamento transversal progressivo
(difra¸c˜ao), dobrando a largura inicial ∆ρ0 = 2a a uma distˆancia zdif =
√
3 k0∆ρ20/2,
conhecida como “comprimento de difra¸c˜ao”. Portanto, quanto mais concentrado for um
feixe gaussiano, mais rapidamente ele vai se degradar.
1.2.2
O pulso Gaussiano
O pulso (n˜ao localizado) mais comum e conhecido ´e o gaussiano. Podemos obtˆe-lo
usando, em (1.5), o espectro S(kρ, ω) = 2ba2 √ π e −a2k2 ρe−b2(ω−ω0)2 (1.8)
21
onde a e b s˜ao constantes positivas. Vemos que tal pulso ´e uma superposi¸c˜ao, em
freq¨uˆencia, de feixes gaussianos.
Substituindo (1.8) em (1.5), e usando a aproxima¸c˜ao paraxial, obtemos o pulso gaus-siano, ψ(ρ, z, t) = a2exp −ρ 2 4(a2+ iz/2k 0) ! exp −(z − ct) 2 4c2b2) ! a2+ iz/2k 0 , (1.9)
o qual possui velocidade c, largura temporal ∆t = 2b, e tamb´em sofre uma abertura
transversal progressiva, dobrando o seu valor inicial em zdif =
√
3 k0∆ρ20/2, onde ∆ρ0 =
2a.
1.3
Obten¸
c˜
ao de algumas solu¸
c˜
oes localizadas
Passamos agora `a tarefa de obter duas das mais conhecidas ondas localizadas, o feixe de Bessel e o pulso X ordin´ario.
Primeiramente, ´e interessante notar que na composi¸c˜ao das solu¸c˜oes (eixo sim´etricas) da equa¸c˜ao de onda (no v´acuo), s˜ao usados trˆes parˆametros espectrais (ω, kρ, kz),
liga-dos pelo v´ınculo (1.4), conseq¨uˆencia da equa¸c˜ao de onda. Isso faz com que dois desses parˆametros sejam independentes, sendo que os escolhidos¶ por n´os foram ω e kρ.
Essa liberdade na escolha de ω e kρ fica bem evidente nos espectros geradores dos
feixes e pulsos gaussianos, os quais s˜ao constitu´ıdos pelo produto de duas fun¸c˜oes, uma
dependendo apenas de ω e outra dependendo apenas de kρ.
Aqui surge uma quest˜ao: Poderia um determinado acoplamento entrek ω e kρfornecer
resultados interessantes?
Veremos que a resposta a essa pergunta ´e positiva, sendo o ponto de partida para a
obten¸c˜ao das ondas localizadas.
¶Poder´ıamos tamb´em ter escolhido ω e k
z, como ser´a feito nos cap´ıtulos seguintes. kOu entre ω e k
22
1.3.1
O feixe de Bessel
Motivados pela pergunta anterior, deixe-nos propor um acoplamento linear entre ω e kρ. Obviamente poder´ıamos sugerir qualquer outro, por´em, como veremos de forma
rigo-rosa no cap´ıtulo 2, o acoplamento linear ´e o ´unico capaz de fornecer solu¸c˜oes localizadas. Dessa forma, consideremos o espectro
S(kρ, ω) = δ(kρ− ω c senθ) kρ δ(ω − ω0) , (1.10)
o qual implica∗∗ em kρ = (ω senθ)/c, onde 0 ≤ θ ≤ π/2. Podemos encarar essa rela¸c˜ao
como um acoplamento espa¸co-temporal do espectro.
A interpreta¸c˜ao da solu¸c˜ao integral (1.5), com o espectro (1.10), em termos de uma
superposi¸c˜ao de ondas planas, pode ser visualizada na Figura 1.4. Vemos que o feixe
de Bessel eixo-sim´etrico ´e gerado por uma superposi¸c˜ao de ondas planas cujos vetores de onda se localizam na superf´ıcie de um cone de ˆangulo de v´ertice igual a θ, o qual ´e conhecido como ˆangulo de ´axicon.
Figura 1.4: O feixe de Bessel eixo-sim´etrico ´e gerado por uma superposi¸c˜ao de ondas planas cujos vetores de onda se localizam na superf´ıcie de um cone de ˆangulo de v´ertice igual a θ.
∗∗Esse acoplamento, juntamente com a condi¸c˜ao (1.4), implica em k
z= (ω cos θ)/c. Como demonstra-remos no Cap´ıtulo 2, uma onda localizada ideal deve possuir um acoplamento do tipo ω = V kz+ b, onde V e b s˜ao constantes arbitr´arias.
23
Usando (1.10) em (1.5), obtemos o chamado feixe de Bessel:
ψ(ρ, z, t) = J0 ω 0 c senθ ρ exp i ω0 c cos θ z − c cos θt (1.11)
Tal feixe possui velocidade de fase vfase = c/ cos θ, com um padr˜ao transversal de
campo dado por uma fun¸c˜ao de Bessel J0(.) e, por isso, possui concentra¸c˜ao de campo
ao redor do eixo de propaga¸c˜ao z. No entanto, como vemos de (1.11), o feixe de Bessel
n˜ao sofre abertura transversal enquanto se propaga, ou seja, possui padr˜ao transversal de intensidade invariante, com um “spot” central ∆ρ = 2, 405c/(ω senθ).
No entanto, o feixe de Bessel n˜ao ´e quadraticamente integr´avel e por isso possui energia infinita, o que impossibilita a sua gera¸c˜ao.
Podemos, no entanto, considerar feixes de Bessel truncados, gerados por aberturas finitas. Nestes casos, ´e poss´ıvel mostrar [23-25] que os feixes de Bessel (truncados) possuem
ainda uma grande profundidade de campo, ou seja, s˜ao capazes de se propagar por longas
distˆancias mantendo o padr˜ao transversal aproximadamente inalterado. A profundidade
de campo Zmax de um feixe de Bessel, gerado por uma abertura circular finita de raio R,
´e dada [23-25] por
Zmax =
R
tan θ , (1.12)
onde θ ´e o ˆangulo de ´axicon do feixe.
Obviamente, no caso de gera¸c˜ao por aberturas finitas, o feixe de Bessel n˜ao pode mais ser escrito como em (1.11), mas deve, sim, ser calculado via teoria da difra¸c˜ao escalar, com o uso, por exemplo, das integrais de difra¸c˜ao de Kirchhoff ou Rayleigh-Sommerfeld. Por´em, at´e a distˆancia Zmax, podemos ainda usar (1.11) para descrever aproximadamente
o feixe de Bessel truncado, ao menos nas vizinhan¸cas de ρ = 0; mais especificamente quando ρ << R.
Para podermos visualizar a capacidade que um feixe de Bessel (truncado) tem de resistir aos efeitos da difra¸c˜ao por longas distˆancias, vamos comparar esse feixe com um gaussiano de mesma freq¨uˆencia e mesmo “spot” central.
24
Consideremos ambos os feixes com λ = 0, 63 µm e com um “spot” central
ini-cial ∆ρ0 = 60 µm. Isso implica que o feixe de Bessel ter´a um ˆangulo de ´axicon
θ = arcsen(2, 405c/(ω∆ρ0)) = 0, 004 rad. Vamos tamb´em usar uma abertura circular
de raio 3, 5 mm na gera¸c˜ao do feixe de Bessel.
A Figura 1.5 mostra os dois feixes nas condi¸c˜oes acima.
Figura 1.5: Compara¸c˜ao entre o feixe gaussiano (a), e o feixe de Bessel truncado(b). O feixe gaussiano dobra a sua largura transversal inicial ap´os 3 cm e, ap´os 6 cm, sua
intensi-dade j´a caiu uma ordem de magnitude. J´a o feixe de Bessel mant´em, aproximadamente,
seu padr˜ao transversal at´e uma distˆancia de 85 cm.
Vemos que feixe Gaussiano dobra a sua largura transversal inicial ap´os uma distˆancia
de apenas 3 cm e que, ap´os 6 cm, sua intensidade cai uma ordem de magnitude.
O feixe de Bessel truncado, por sua vez, mant´em o seu formato transversal at´e uma distˆancia Zmax = R/ tan θ = 85 cm. Ap´os essa distˆancia, o feixe de Bessel sofre um
forte decaimento devido ao abrupto truncamento feito na abertura, o qual tamb´em ´e
respons´avel pelas oscila¸c˜oes de intensidade que ocorrem no feixe.
Com esse exemplo fica claro a capacidade que um feixe de Bessel possui de manter o padr˜ao transversal de campo por longas distˆancias.
Obviamente, o feixe de Bessel de ordem zero (eixo sim´etrico) ´e apenas um exemplo
de feixe localizado. Existem, por exemplo, os feixes de Bessel de ordem mais alta (sem simetria cil´ındrica),
25 ψ(ρ, φ, z; t) = Jν ω 0 c senθ ρ exp(iνφ) exp i ω0 c cos θ z − c cos θt , (1.13)
al´em de outros, como os feixes de Mathieu [55], etc..
1.3.2
O pulso X ordin´
ario
Seguindo a mesma linha da subse¸c˜ao anterior, vamos construir pulsos usando espectros do tipo S(kρ, ω) = δ(kρ− ω c senθ) kρ F (ω) , (1.14)
onde a fun¸c˜ao delta de Dirac ´e a respons´avel pelo acoplamento espa¸co-temporal do es-pectro, kρ = (ω senθ)/c. A fun¸c˜ao F (ω) fornece o espectro de freq¨uˆencias, o qual, por
enquanto, deixamos em aberto. Usando (1.14) em (1.5), obtemos: ψ(ρ, z, t) = Z ∞ −∞ F (ω) J0 ω c senθ ρ exp ω c cos θ z − c cos θt dω (1.15)
Imediatamente vemos que ψ ser´a um pulso do tipo
ψ = ψ(ρ, z − V t) (1.16)
com V = c/ cos θ, independente do espectro de freq¨uˆencias F (ω). Tais solu¸c˜oes s˜ao conhecidas como pulsos tipo X e s˜ao ondas localizadas (ondas n˜ao difrativas) pois mantˆem
o formato espacial durante a propaga¸c˜ao. Notamos tamb´em que tais pulsos possuem uma
velocidade de grupo V = c/ cos θ > c, pois s˜ao formados de superposi¸c˜oes de feixes de Bessel com a mesma velocidade de fase (mesmo ˆangulo de ´axicon) vfase = c/ cos θ. Por
26
como j´a dissemos na introdu¸c˜ao, n˜ao existe aqui propaga¸c˜ao de energia com velocidade maior que c (velocidade da luz no caso eletromagn´etico, do som no caso ac´ustico, etc..).
Como exemplo, consideremos o espectro de freq¨uˆencias F (ω), em (1.15), dado por
F (ω) = H(ω) a V exp −a V ω , (1.17)
onde H(ω) ´e a fun¸c˜ao degrau de Heaviside e a uma constante positiva. Com isso, obtemos de (1.15) que ψ(ρ, z − V t) ≡ X = r a (a − iζ)2+V2 c2 − 1 ρ2 , (1.18)
onde ζ = z − V t. A solu¸c˜ao (1.18) ´e conhecida como pulso X ordin´ario††. Vemos que o espectro deste pulso ´e constitu´ıdo de baixas freq¨uˆencias.
A Figura 1.6 mostra a intensidade de um pulso X ordin´ario com V = 1, 1 c e a = 3 m.
Figura 1.6: Intensidade de uma onda X ordin´aria, com V = 1, 1 c e a = 3 m.
††N˜ao confundir o nome “pulso X ordin´ario” com o nome “pulso tipo X”. O pulso X ordin´ario ´e uma das formas mais simples de pulso tipo X.
27
Todos as solu¸c˜oes do tipo (1.15), e como caso particular a solu¸c˜ao (1.18), possuem uma profundidade de campo infinita, por´em, possuem tamb´em energia infinita. No entanto, de forma semelhante ao que ocorre com os feixes de Bessel, tais pulsos podem ser truncados, ou seja, gerados por aberturas finitas [34,36,37]. Mesmo truncados, tais pulsos s˜ao capazes
de manter o formato espacial at´e uma distˆancia (profundidade de campo) dada por
Z = R
tan θ , (1.19)
onde R ´e o raio da abertura geradora e θ o ˆangulo de ´axicon.
1.4
Algumas observa¸
c˜
oes importantes
Para finalizarmos esse cap´ıtulo, queremos fazer algumas importantes observa¸c˜oes. Primeiramente, queremos deixar claro: n˜ao ´e correto dizer que as ondas localizadas n˜ao sofrem difra¸c˜ao. Esse ´e um fenˆomeno que afeta toda onda regida pela Eq.(1.1).
Ocorre, por´em, que as ondas localizadas (feixes e pulsos) possuem uma caracter´ıstica singular, a de autoreconstru¸c˜ao; ou seja, tais ondas, ao se propagarem, difratam, e ao se difratarem se autoreconstroem [56]. Isso se deve `a estrutura espectral que tais solu¸c˜oes possuem, como veremos no Cap´ıtulo 2.
Ondas localizadas, como o feixe de Bessel e os pulsos tipo X, que mantˆem o formato
espacial eternamente (profundidade de campo infinita), possuem energia infinita. E ´e por
esse motivo que s˜ao capazes de se autoreconstruirem eternamente. Podemos chamar essas
solu¸c˜oes de “ondas localizadas ideais”.
A partir do momento que truncamos uma onda localizada ideal, essa passa a ter energia finita e, portanto, pode se autoreconstruir at´e uma determinada distˆancia finita (profundidade de campo finita).
Dessa forma, o nome “ondas n˜ao difrativas”, freq¨uentemente usado na literatura (e as vezes neste trabalho), n˜ao ´e rigorosamente correto. O mais apropriado seria dizer que as ondas localizadas podem resistir aos efeitos da difra¸c˜ao por longas distˆancias.
O segundo ponto importante que desejamos, novamente, ressaltar ´e a n˜ao existˆencia
de propaga¸c˜ao de energia (ou informa¸c˜ao) com velocidades acima da luz nos chamados
pulsos localizados tipo X ou pulsos localizados superluminais. Apesar da velocidade da envolt´oria ser superluminal, a energia que reconstr´oi o pulso central prov´em das laterais
28
– ver Figura (1.2) – e se propaga com velocidade c. O interesse nessas ondas se deve `a
capacidade que elas possuem de resistir aos efeitos da difra¸c˜ao por longas distˆancias. Finalizando, queremos deixar claro que os pulsos localizados poss´ıveis para a equa¸c˜ao de onda n˜ao s˜ao restritos aos pulsos tipo X (ou localizados superluminais) poss´ıveis de serem obtidos da solu¸c˜ao integral (1.15). Na verdade existem trˆes classes de pulsos loca-lizados, os subluminais (com velocidade V < c), os luminais (V = c) e os superluminais
(V > c), todos com ou sem simetria axial. Como vamos mostrar no pr´oximo cap´ıtulo,
todos eles podem ser vistos como fazendo parte de uma estrutura unificada.
1.5
Referˆ
encias do Cap´ıtulo 1
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29
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[52] E. Recami, M. Zamboni-Rached, K. Z. N´obrega, C.A. Dartora e H.E. Hern´
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[54] M. Zamboni-Rached, H. E. Hern´andez-Figueroa e E. Recami, “Chirped optical
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33
[55] C. A. Dartora, M. Zamboni-Rached, K. Z. N´obrega, E. Recami e H. E.
Hernandez-Figueroa, “General formulation for the analysis of scalar diffraction-free beams using angular modulation: Mathieu and Bessel Beams”, Optics Communications, Vol. 222, pp. 75-80 (2003).
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Cap´ıtulo 2
A decomposi¸
c˜
ao bidirecional
generalizada: Novas solu¸
c˜
oes
localizadas superluminais da equa¸
c˜
ao
de onda com energia finita e
freq¨
uˆ
encias arbitr´
arias
2.1
Introdu¸
c˜
ao
Nesse cap´ıtulo desenvolvemos a chamada “Decomposi¸c˜ao bidirecional generalizada”,
um m´etodo que engloba, em uma ´unica estrutura l´ogica, as ondas∗ luminais e superlu-minais, possibilitando a obten¸c˜ao de in´umeras novas fam´ılias de pulsos localizados em freq¨uˆencias arbitr´arias, sendo que importantes solu¸c˜oes com energia finita tamb´em s˜ao obtidas.
Tamb´em analisamos a estrutura espectral das ondas localizadas em geral, e os resul-tados obtidos s˜ao v´alidos para todas as trˆes classes de solu¸c˜oes – subluminais, luminais e superluminais – possibilitando, assim, uma vis˜ao unificada da teoria.
∗As ondas subluminais tamb´em podem ser englobadas aqui, por´em o tratamento dessas ´e matemati-camente mais complicado e, por isso, n˜ao as consideramos aqui.
36
O trabalho feito encontra-se no artigo: “New localized superluminal solutions to the wave equations with finite total energies and arbitrary frequencies”, publicado no European Physical Journal D e que se encontra anexado na Se¸c˜ao A.1 do Apˆendice desta tese.
Acreditamos que os resultados obtidos s˜ao d importˆancia, pois n˜ao apenas unificam o conceito de ondas localizadas, mas tamb´em fornecem in´umeras outras solu¸c˜oes anal´ıticas que podem servir de orienta¸c˜ao no processo de gera¸c˜ao experimental.
A seguir, o resumo do artigo.
2.2
Resumo do artigo A.1: “New localized
superlu-minal solutions to the wave equations with finite
total energies and arbitrary frequencies”.
Come¸camos o artigo ressaltando a existˆencia, te´orica e experimental, das ondas loca-lizadas.
Lembramos que as solu¸c˜oes anal´ıticas (representando pulsos localizados superlumi-nais) conhecidas at´e ent˜ao possuiam o espectro situados em baixas freq¨uˆencias.
Anunciamos que no artigo s˜ao obtidas novas solu¸c˜oes anal´ıticas representando pulsos localizados superluminais (V ≥ c) em freq¨uˆencias arbitr´arias.
Na Se¸c˜ao 2 desenvolvemos o m´etodo da decomposi¸c˜ao bidirecional generalizada,
atrav´es de uma mudan¸ca de parˆametros (ω, kz) → (α, β), Eq(A.1.4), a qual induz uma
mudan¸ca de coordenadas (z, t) → (ζ, η), Eq.(A.1.5).
Escrevemos a solu¸c˜ao integral para a equa¸c˜ao de onda em termos dos novos parˆametros e das novas coordenadas, Eq.(A.1.3’).
Na Se¸c˜ao 3 passamos a obter fam´ılias inteiras de novos pulsos localizados com V ≥ c, em freq¨uˆencias arbitr´arias. Generalizamos os bem conhecidos pulsos localizados luminais e obtivemos importantes solu¸c˜oes com energia finita.
Na Se¸c˜ao 4 damos uma defini¸c˜ao matem´atica formal e apropriada para uma onda
localizada ideal, e demonstramos, a partir dessa nossa defini¸c˜ao, qual deve ser a estrutura espectral dessas ondas (das ideais e daquelas com energia finita). Concluimos que em toda
37
onda localizada deve existir um acoplamento espa¸co-temporal do espectro, sendo que esse acoplamento deve fixar ou privilegiar uma rela¸c˜ao linear entre a freq¨uˆencia e o n´umero de onda longitudinal.
Os resultados obtidos s˜ao v´alidos para as trˆes classes do ondas n˜ao difrativas: sublu-minais, luminais e superluminais.
Mostramos tamb´em como os espectros das novas solu¸c˜oes obtidas na Se¸c˜ao 3 concor-dam com os resultados obtidos nesta se¸c˜ao.
Na Se¸c˜ao 5 analisamos com mais detalhes algumas caracter´ısticas dos novos pulsos
obtidos na Se¸c˜ao 3, principalmente a concentra¸c˜ao espacial e a profundidade de campo das solu¸c˜oes com energia finita.
Finalizamos o artigo com o Apˆendice, onde, usando novamente o m´etodo da
decom-posi¸c˜ao bidirecional, conseguimos uma s´erie de novas solu¸c˜oes localizadas de alta
com-plexidade matem´atica, as quais muito dificilmente seriam obtidas usando-se o m´etodo
tradicional de Fourier.
Cap´ıtulo 3
Focaliza¸
c˜
ao espa¸
co-temporal com o
uso de pulsos tipo X
3.1
Introdu¸
c˜
ao
Neste cap´ıtulo desenvolvemos um m´etodo de focaliza¸c˜ao espa¸co-temporal de pulsos a partir de superposi¸c˜oes cont´ınuas de ondas tipo X de diferentes velocidades.
Com focaliza¸c˜ao espa¸co-temporal queremos dizer que o pulso resultante apresenta
baixa intensidade durante a propaga¸c˜ao, e que, ao atingir um ponto previamente escolhido, adquire grande concentra¸c˜ao espacial e alta intensidade de campo.
Os resultados e os desenvolvimentos desse nosso trabalho est˜ao no artigo
[A.2],“Focused X-shaped Pulses”, publicado no Journal Optical Society of America A. Anexamos esse artigo no final desse cap´ıtulo.
A seguir faremos um resumo do referido trabalho.
3.2
Resumo do artigo A.2: “Focused X-shaped
Pul-ses”.
A Se¸c˜ao 1 do artigo faz uma breve introdu¸c˜ao `a teoria e aplica¸c˜oes das ondas localiza-das, ressaltando o trabalho de Shaarawi et al.[ver referˆencias no artigo] sobre focaliza¸c˜ao
40
temporal usando uma soma discreta de ondas X. Anunciamos que no presente artigo ire-mos generalizar o esquema de Shaarawi et al. usando uma superposi¸c˜ao cont´ınua de qual-quer pulso tipo X. Anunciamos tamb´em a obten¸c˜ao de novas fam´ılias inteiras de solu¸c˜oes exatas da equa¸c˜ao de onda e a simula¸c˜ao num´erica da gera¸c˜ao desses novos pulsos a partir de aberturas finitas.
Inciamos o trabalho na Se¸c˜ao 2 mostrando que um n´umero N de pulsos tipo X podem
ser emitidos com diferentes velocidades em diferentes tempos de tal forma que todos
cheguem simultaneamente a um determinado ponto zf escolhido por n´os. Nesse ponto,
o campo teria uma alta intensidade e uma forte concentra¸c˜ao espacial, caracterizando,
assim, uma focaliza¸c˜ao espa¸co-temporal feita por uma soma discreta de pulsos tipo X.
Mostramos explicitamente qual deve ser o tempo de emiss˜ao de cada pulso tipo X
para que ocorra a devida focaliza¸c˜ao espa¸co-temporal no ponto escolhido zf.
Logo a seguir, generalizamos o esquema anterior considerando uma superposi¸c˜ao
cont´ınua de pulsos tipo X. Essa superposi¸c˜ao cont´ınua (integral) ´e feita na velocidade, e a vari´avel temporal no integrando ´e apropriadamente ajustada para que ocorra a foca-liza¸c˜ao do pulso resultante no ponto zf.
Estimamos a velocidade do pulso resultante com base no espectro de velocidades A(V ).
Na Se¸c˜ao 3 aplicamos nosso m´etodo de focaliza¸c˜ao espa¸co-temporal usando a onda X ordin´aria. Ap´os alguns c´alculos, colocamos a superposi¸c˜ao cont´ınua (integral) de pulsos
X ordin´arios em um formato mais apropriado, Eq.(A.2.10). A partir da´ı, come¸camos
es-colhendo alguns espectros de velocidades, obtendo solu¸c˜oes anal´ıticas exatas da equa¸c˜ao de onda. Mostramos que essas novas e complexas ondas possuem a propriedade de fo-caliza¸c˜ao espa¸co-temporal, apresentando figuras que descrevem a evolu¸c˜ao desses pulsos. Devido ao fato da onda X ordin´aria ter seu espectro localizado em baixas freq¨uˆencias, os novos pulsos obtidos tamb´em possuem essa caracter´ıstica.
Na Se¸c˜ao 4 usamos um resultado obtido por n´os em outro artigo (artigo [A.6] desta
tese), onde mostramos que derivadas temporais da onda X ordin´aria podem ser usadas
na obten¸c˜ao de pulsos tipo X com freq¨uˆencias e largura de banda ajust´aveis. Com isso, e tendo em m˜aos as solu¸c˜oes anal´ıticas da Se¸c˜ao 3, fomos capazes de obter outras solu¸c˜oes anal´ıticas descrevendo pulsos com focaliza¸c˜ao espa¸co-temporal em freq¨uˆencias arbitr´arias
e largura de banda ajust´aveis. Exemplificamos isso obtendo um pulso na regi˜ao de THz
41
Na se¸c˜ao 5 desenvolvemos uma formula¸c˜ao mais geral, escrevendo a solu¸c˜ao integral que define o m´etodo da focaliza¸c˜ao em termos de uma superposi¸c˜ao cont´ınua de feixes de Bessel. Dessa forma, mostramos que os pulsos com focaliza¸c˜ao espa¸co-temporal s˜ao gerados n˜ao apenas por feixes de Bessel com diferentes velocidades de fase, mas tamb´em com diferentes fases relativas.
Finalizamos o trabalho na Se¸c˜ao 6, simulando a gera¸c˜ao desses pulsos a partir de aberturas finitas. Para tanto usamos a integral de difra¸c˜ao Sommerfeld com a excita¸c˜ao,
em uma abertura circular de raio R, dada por uma das solu¸c˜oes anal´ıticas obtidas na
Se¸c˜ao 3.
A simula¸c˜ao num´erica confirmou com grande exatid˜ao os resultados obtidos
ante-riormente. Conclu´ımos que nossas solu¸c˜oes anal´ıticas descrevem muito bem os pulsos
correspondentes gerados por uma abertura finita desde que o raio R da abertura obede¸ca ` a rela¸c˜ao R ≥ zf s V2 max c2 − 1 , (3.1)
onde Vmax ´e a velocidade do pulso mais veloz dentre todos os outros que entram na
composi¸c˜ao do pulso resultante.
Cap´ıtulo 4
Ondas localizadas em meios com
fronteiras
4.1
Introdu¸
c˜
ao
Este cap´ıtulo cont´em os trabalhos que desenvolvemos sobre ondas localizadas em
meios guiados. Os resultados foram publicados numa s´erie de trˆes artigos no Physical
Review E, os quais est˜ao anexados no final desse cap´ıtulo, indexados por [A.3], [A.4] e [A.5].
Nesses trabalhos, mostramos que guias met´alicos ocos e coaxiais podem suportar
ondas localizadas em um sentido diferente daquele conhecido para o espa¸co livre sem
fronteiras. Na verdade, de ante m˜ao j´a podemos prever alguma diferen¸ca, haja visto
que, como mostramos no artigo [A.1], o espectro de uma onda localizada ou fixa ou privilegia uma rela¸c˜ao linear entre o n´umero de onda longitudinal e a freq¨uˆencia, sendo
que, no entanto, as condi¸c˜oes de contorno em um meio com fronteiras geralmente acabam
impondo uma rela¸c˜ao n˜ao linear entre esses parˆametros.
Nossos trabalhos mostraram que esses meios guiados s˜ao capazes de suportar trens
de pulsos tipo X (superluminais), e que no caso de energia finita, ´e poss´ıvel obter uma envolt´oria que se propaga com velocidade de grupo subluminal, existindo no seu interior um ou mais pulsos tipo X.
Primeiramente, obtivemos tais solu¸c˜oes a partir da nossa generaliza¸c˜ao do teorema
de Lu, o qual ser´a descrito em breve. Depois, mostramos que essas mesmas solu¸c˜oes
44
podem ser interpretadas como uma soma multimodal, onde as freq¨uˆencias s˜ao escolhidas de forma apropriada.
Apesar do assunto ter sido suficientemente bem desenvolvido nesses trˆes artigos,
sen-timos que dois aspectos poderiam ser melhor explorados e colocados. O primeiro ´e a
generaliza¸c˜ao do teorema de Lu, a qual foi feita por n´os, sendo, por´em, muito brevemente
apresentada nos trˆes artigos. O segundo ponto que poderia ser melhor explorado, trata
da estimativa, feita no artigo [A.4], da profundidade de campo dos pulsos localizados com energia finita em um guia met´alico oco. Na deriva¸c˜ao feita naquele artigo, levamos em conta apenas a dispers˜ao geom´etrica do primeiro modo, sendo que o pulso possui estrutura multimodal.
Assim, com o intuito de complementar os trabalhos feitos nos trˆes artigos desse
cap´ıtulo, apresentamos, nas Se¸c˜oes 4.5 e 4.6, uma discuss˜ao mais detalhada dos dois assuntos indicados acima. No entanto, sugerimos que antes da leitura dessas se¸c˜oes,
pri-meiramente sejam lidos os artigos [A.3-A.5] apresentados nas Se¸c˜oes A.3, A.4 e A.5 no
Apˆendice desta tese.
A seguir o resumo dos artigos.
4.2
Resumo do artigo A.3:
“Superluminal
locali-zed solutions to Maxwell equations propagating
along a normal-sized waveguide”.
Na Se¸c˜ao 1 do artigo fazemos um breve coment´ario sobre a teoria das ondas localiza-das, chamando aten¸c˜ao para as experiˆencias que j´a reproduziram tais ondas, nos campos da ac´usitca, ´optica e microondas.
Na Se¸c˜ao 2 chamamos a aten¸c˜ao para que n˜ao se confunda as solu¸c˜oes encontradas
no artigo, com solu¸c˜oes do tipo evanescentes. Ressaltamos que as ondas encontradas no
trabalho s˜ao ondas propagantes.
Come¸camos a Se¸c˜ao 3 com uma generaliza¸c˜ao do teorema de Lu para meios com
fronteiras e condi¸c˜oes de contorno tipo Dirichlet. Com isso, justificamos que a partir de solu¸c˜oes ψ2D(ρ, φ, t) de um problema bidimensional onde a equa¸c˜ao de onda deve ser
45
resolvida dentro de um dom´ınio circular de raio a com condi¸c˜oes de contorno∗ (Dirichlet) ψ2D(ρ = a, φ, t) = 0, podemos obter solu¸c˜oes do tipo ondas eletromagn´eticas localizadas
superluminais propagando-se em um guia met´alico oco.
Feito isso, partimos de um problema bidimensional bem definido: encontrar a solu¸c˜ao Ψ2D da equa¸c˜ao de onda em um dom´ınio circular de raio a, com a condi¸c˜ao de contorno
Ψ2D(ρ = a, φ, t) = 0 e condi¸c˜oes iniciais† dadas pela Eq.(A.3.4). Ap´os alguns c´alculos,
obtemos a solu¸c˜ao do problema.
Na se¸c˜ao 4, usamos a solu¸c˜ao do problema bidimensional e, atrav´es da transforma¸c˜ao
de Lu, obtemos uma solu¸c˜ao Ψ3D da equa¸c˜ao de onda tridimensional correspondente a
uma onda eletromagn´etica localizada do tipo trem de pulsos X propagantes em um guia
met´alico oco de raio r = a/senθ. A solu¸c˜ao representa a componente Ezdo campo el´etrico
de uma onda TM.
A Figura (A.3.2) dessa se¸c˜ao mostra apenas‡um dos pulsos tipo X do trem de pulsos representado pela solu¸c˜ao Ψ3D.
Na Se¸c˜ao 5 damos uma interpreta¸c˜ao mais f´ısica da solu¸c˜ao Ψ3D por n´os obtida na
Se¸c˜ao 4. Mostramos que as solu¸c˜oes do tipo Ψ3Dpodem ser interpretadas como uma soma
de diferentes modos TM0l com freq¨uˆencias dadas pela interse¸c˜ao da reta ω = ckz/ cos θ e
as curvas modais no plano (ω, kz); ou seja, tais solu¸c˜oes possuem constitui¸c˜ao multimodal.
4.3
Resumo do artigo A.4:
“Superluminal
locali-zed solutions to Maxwell equations propagating
along a waveguide: The finite-energy case”.
Esse artigo ´e uma continua¸c˜ao do anterior. Aqui obtemos a vers˜ao com energia finita para as solu¸c˜oes do tipo Ψ3D, obtidas em [A.3] e a interpretamos.
Ainda nesse artigo, estimamos a distˆancia na qual ocorrer˜ao as primeiras deforma¸c˜oes dos novos pulsos com energia finita.
∗Uma interpreta¸c˜ao mecˆanica para um problema desse tipo seria a de uma membrana el´astica com as extremidades fixas em um anel de raio a.
†Queremos ressaltar que as condi¸c˜oes iniciais dadas pela Eq.(A.3.4) foram escolhidas pela simplicidade matem´atica que proporcionam. No entanto, poder´ıamos ter escolhido qualquer outra condi¸c˜ao inicial.
