Provadematemática2(comrespostasjustificadas)

(1)

Matemática 2

01.

Cada quadrado pequeno ilustrado na figura tem lado 2. Qual é a área do polígono ABCDE? A B E D C Resposta: 64 Justificativa:

O polígono pode ser decomposto no triângulo ABE e no quadrado BCDE que tem lado 42+62 . Logo, a área em questão é 1/2.6.4+42+62= 12+16+36=64. Alternativamente, a área em questão é igual à área do quadrado maior menos três vezes a área do triângulo ABE. Logo, a área é 10.10 – 3.1/2 . 6.4 =64.

02.

Para rebocar uma parede, será necessário preparar 420kg de uma mistura com cimento, saibro e areia na proporção de 1 : 2 : 4. Indique quantos quilos de cimento serão necessários.

Resposta: 60 Justificativa:

Seja x a quantidade de cimento. Então x+2x+4x = 420 ∴ 7x = 420 ∴ x = 60

03.

Um filtro de ar retém 0,7g de poeira para cada 100m3 de ar filtrado. Indique quantos gramas de poeira são retidos de 8000m3 de ar filtrado.

P = 0,7.10-2.8.103= 7.8 = 56

04.

Na figura a seguir, as quatro circunferências têm o mesmo centro, e seus raios são 2, 3, 4 e 5. A área do maior anel sombreado é p% maior do que a área do menor anel sombreado. Indique p.

(2)

Sejam A1, A2, as áreas dos anéis menor e maior, respectivamente. Temos

8 , 1 5 9 4 9 16 25 A A 1 2 ₌ ₌ π − π π − π = e p = 80

05.

A figura abaixo ilustra a planificação de uma pirâmide de base quadrada com lado medindo b e faces laterais formadas por triângulos isósceles com um lado medindo b e os outros dois medindo a. Analise as afirmações.

a

b

0-0) A soma dos comprimentos das arestas da pirâmide é 4(a + b) 1-1) A área da superfície da pirâmide é b2 + 2b ₄

b a 2 2₋ 2-2) a > b/2 3-3) A altura da pirâmide é 4 b ) 4 b a ( 2 2 2₋ ₋ 4-4) O volume da pirâmide é 3 1 b2a Resposta: VVVVF Justificativa:

0-0 e 2-2 são claramente verdadeiras.

1-1 e 3-3 são conseqüências do teorema de Pitágoras. 4-4 é falsa, pois a altura da pirâmide é menor do que a.

(3)

06.

A figura a seguir ilustra a região sólida R de um cone reto, compreendida entre duas seções meridianas que formam, entre si, um ângulo θ. Indique o volume de R, sabendo que a altura do cone é 5, o raio de sua base é 3 e θ = 2 radianos.

Volume de R = 1/3 (altura x área da base) = 1/3 . 5 . 1/2.2 . (32) = 15

07.

Dentre os retângulos com um vértice na origem de um sistema de coordenadas cartesianas xOy, um vértice no eixo positivo das abscissas, outro no semi-eixo positivo das ordenadas e o quarto vértice na reta 9x+5y=45, existe um que tem a maior área. Assinale o perímetro deste retângulo.

O vértice do retângulo que está sobre a reta situa-se no primeiro quadrante. Se o ponto no eixo das abscissas tem coordenada x, então, a altura do retângulo é (45-9x)/5, e sua área é x(45-9x)/5 que tem valor máximo para x=(0+45/9)/2=5/2. A altura do triângulo de área máxima é 9-9/5.5/2=9/2 e seu perímetro é 2(5/2+9/2)=14.

08.

Os pontos F1 e F2 são os focos de uma elipse cujo eixo maior mede 10 e cujo

eixo menor mede 6. Indique a soma dos perímetros dos triângulos ACF1, BCF2

e F1F2D. A B C F1 F2 D Resposta: 38 Justificativa:

A soma pedida é igual a BF2+BF1+AF2+AF1+DF2+DF1+F1F2 = 3.10 + F1F2.

Temos 2 2 1 2 F F +32 = 52 e ₂ F F₁₂

= 4. A soma pedida é, portanto, 3.10 + 8 = 38

(4)

09.

Determine a abscissa x0 do ponto da reta y = 7x – 3 que está a menor

distância do ponto (1,3). Indique 100x0. Resposta: 86

Justificativa:

Justificativa: O quadrado da distância entre um ponto (x, 7x – 3) da reta e o ponto (1,3) é (x-1)2 + (7x – 3 – 3)2 = 50x2 – 86x + 37, que tem mínimo para

x0 = 86/100 = 0,86.

10.

Na ilustração abaixo, temos um cone reto com geratriz 10cm e raio da base 6cm, assim como sua planificação. Uma formiga, inicialmente no ponto A da base do cone, poderá atingir o ponto B, caminhando sobre a superfície do cone. Se o ponto B é o ponto médio de uma geratriz VC e o arco AC da base mede 5

π

/9 radianos, determine a menor distância d que a formiga percorrerá para alcançar o ponto B. Indique d2.

A B C A C B V V Resposta: 75 Justificativa:

O arco AC na circunferência da base mede 5

π

/9.6 = 10

π

/3. Na planificação, o ângulo AVC mede (10

π

/3)/10 =

π

/3 radianos. Usando a Lei dos cosenos, temos d2 = 102 + 52 – 2.10.5cos(

π

/3) = 125 – 50 = 75.

(5)

11.

O triângulo ABC ilustrado a seguir tem os lados AB e AC medindo 6 e 5, respectivamente, e o ângulo BAC medindo 120o . Determine o volume V do sólido obtido quando o triângulo ABC gira em torno de uma reta contendo o lado AC. Indique V/π.

B

A C

O sólido é obtido retirando-se, de um cone de raio da base 6sen 60o = 3

3

e altura 5 + 6cos 60o = 8, um cone de mesmo raio da base e altura 3. O sólido tem volume V = π(3

3

)2(8-3)/3 = 45π.

12.

Seja G o baricentro do triângulo ABC e sejam I e J os pontos médios dos segmentos AG e BG. Analise as afirmações a seguir.

A B

C

L K

I J

G

0-0) O segmento IJ é paralelo ao lado AB. 1-1) O segmento KL mede metade do lado AB. 2-2) Os segmentos IJ e KL são congruentes. 3-3) Os segmentos IJ e KL são paralelos. 4-4) IJKL é um paralelogramo.

Resposta: VVVVV Justificativa:

Como I e J são os pontos médios de AG e BG, respectivamente, segue que IJ é paralelo a AB e mede metade de AB. Analogamente, LK é paralelo a AB e mede metade de AB. Portanto, 0-0, 1-1, 2-2 e 3-3 são verdadeiros. Como IJ e KL são paralelos e congruentes, temos que IJKL é um paralelogramo.

(6)

13.

Quantos ângulos triedros ficam determinados por três retas não-coplanares e concorrentes em um mesmo ponto?

Temos seis semi-retas com origem na interseção das três retas. Para a escolha da primeira semi-reta, temos seis possibilidades, da segunda, quatro possibilidades, e da terceira, duas possibilidades, resultando em 6.4.2/6 = 8 ângulos triedros (observe que, permutando-se as três semi-retas, o triedro fica inalterado).

As informações abaixo referem-se às duas questões seguintes:

Seja ABC um triângulo isósceles com AB = AC = 2BC e BC = 10 15 . Seja I o incentro do triângulo, e D o ponto onde a circunferência inscrita intercepta o lado AB.

A

B C

D I

14.

Determine o raio da circunferência inscrita no triângulo ABC.

A altura do triângulo ABC mede

(

BC/2

)

4BC BC /4 15BC/2

AB2− 2 = 2− 2 = e sua área mede

BC.( 15 .BC/2)/2 = BC2 15/4. Portanto, se r é o raio da circunferência

inscrita ao triângulo ABC, temos (BC+AB+AC).r/2 = BC2 15/4 ou 5BC.r/2 = 4 / 15 BC2 e segue que r = BC 15 /10 = 15 15 = 15.

15.

Calcule BD e indique BD2/5. Resposta: 75 Justificativa: Temos BD2 = BI2 – r2 = r2 + (BC/2)2 – r2 = (BC/2)2 = BC2/4 = (10 15 )2/4 = 5.75. Alternativamente, tem-se que BD = BE = BC/2, onde E é o ponto de tangência da circunferência ao lado BC.

(7)

16.

Na ilustração a seguir, os pontos P1, P2, P3 e P4 são pontos médios das arestas

VA1, VA2, VA3 e VA4. Se a pirâmide VA1A2A3A4 tem volume 480, qual o volume

da pirâmide VP1P2P3P4 ? V A1 A2 A3 A4 P4 P3 P2 P1 Resposta: 60 Justificativa:

As pirâmides são semelhantes com razão de semelhança 2. Logo, o volume de VP1P2P3P4 é 480/23 = 60.

17.

Considerando z = (1 + 3 i)/2, analise as afirmações a seguir: 0-0) A forma trigonométrica de z é cos(π/3) +isen(π/3).

1-1) z6 = 1

2-2) Os afixos de z, z3, z5 são vértices de um triângulo eqüilátero. 3-3) Os afixos de z, z2, z4 e z5 são vértices de um quadrado. 4-4) z3 = 1.

Resposta: VVVFF Justificativa:

z forma com o semi-eixo positivo das abscissas um ângulo θ tal que sen θ = 3/2 e cos θ = ½ logo, θ = π/3 e z = cos(π/3) +isen(π/3). Daí z3 = cos(3π/3) +isen(3π/3) = -1 e z6 = 1. Segue que 0-0 e 1-1 são verdadeiras e 4-4 é falsa. Temos também que 1, z, z2, z3, z4, z5 são vértices de um hexágono regular. A distância entre z3 e z e entre z3 e z5 é dada por 9/4+3/4= 3; a distância entre z e z5 é 2. 3 /2 = 3. Portanto, os afixos de z, z3 e z5 formam um triângulo eqüilátero; logo, 2-2 é verdadeira. A distância entre z e z2 é 1 e entre z e z5 é 3 ; logo, os afixos de z, z2, z4, z5 não são vértices de um quadrado e 3-3 é falsa.

(8)

18.

A ilustração abaixo representa parte do gráfico de um polinômio cúbico p(x) com coeficientes reais e coeficiente dominante positivo. O gráfico do polinômio passa pelos pontos (-1,0) e (2,0).

-3 -2 -1 0 1 2 3 -50 -100 -150 -200 x y

Considerando as informações acima, analise as alternativas a seguir: 0-0) p(x) admite exatamente duas raízes reais.

1-1) p(x) ≤ 100, para todo x real. 2-2) p(x) é divisível por x2 – x – 2.

3-3) p(x) admite uma raiz complexa não real. 4-4) p(x) ≥ -250, para todo x real.

Resposta: FFVFF Justificativa:

Como p(x) é ilimitado para x positivo, temos que p(x) admite três raízes reais; portanto, 0-0, 1-1 e 3-3 são falsas. Como –1 e 2 são raízes de p(x), temos que p(x) é divisível por (x + 1)(x – 2) = x2 – x – 2; logo, 2-2 é verdadeira. Para x negativo, p(x) não admite valor mínimo.

19.

Encontre a raiz racional x da equação

0 x x 2 x x x 3 x 1 x 3 x 2 2 2 ₊ = + + − − + − + e indique -30x. Resposta: 50 Justificativa:

Multiplicando a igualdade por (x – 1)x(x + 1), obtemos x(x + 3) + (x + 1)(x – 3) + (x – 1)(x + 2) = 0 que se simplifica como 3x2 + 2x – 5 =0 que tem raízes x = (-2 ± 64)/6 = -5/3 e 1. x = 1 não é raiz da equação e –30.(-5/3) = 50.

(9)

20.

Um cilindro reto de raio da base 8cm e altura 30cm está inscrito em uma superfície esférica. Calcule o volume V, em cm3, da região da esfera exterior ao cilindro e indique a soma dos dígitos do inteiro mais próximo de V. Aproxime

π

por 3,14.

O raio da esfera mede 82+152=17cm, e o volume da região considerada é 4π173/3 - π.82.30 = 14540,29.

21.

Na ilustração a seguir, a circunferência passa pelos vértices A e B do quadrado ABCD e é tangente ao lado CD. Se o quadrado tem lado 12, indique o diâmetro da circunferência.

A B

D C

Considere o triângulo com vértices no centro da circunferência, no vértice A e no ponto médio de AB. Se r é o raio da circunferência, temos (12-r)2+62 = r2 que se simplifica como 180-24r = 0 e daí r = 7,5.

(10)

22.

Na figura abaixo, ABCD é um quadrado de lado medindo 12, e ABE e CDF são triângulos equiláteros. Indique o inteiro mais próximo da área do quadrilátero EGFH. (Obs.: Use a aproximação 3 ≅ 1,73.)

A B D C E F G H Resposta: 22 Justificativa:

Solução: EGFH consiste de dois triângulos equiláteros congruentes: EGH e FGH. O ângulo BCH mede 30o e, portanto, cos30o =6/CH; logo, CH=4 3 e o lado do triângulo EGH mede 12-4 3 . A área do quadrilátero EGFH mede 2.(12-4 3 )2 3/4=8(12-6 3 ) 3 = 96 3 -144 ≅ 22,08.

23.

As expressões numéricas x-5, 2x-9, 3x-13 e 4x-3 podem ser reordenadas de modo que a soma das duas primeiras seja 30, e a soma das duas últimas seja 60. Qual o maior dos quatro números?

A soma das quatro expressões é 90. Portanto, x-5+2x-9+3x-13+4x-3=90 e daí 10x=120 e x=12. Os números são 7, 15, 23 e 45.

24.

Na ilustração abaixo, os segmentos AB e EF são paralelos. Determine a soma S, em graus, dos ângulos indicados com vértices nos pontos B, C, D e E. Indique S/10. A B C D E F Resposta: 54 Justificativa:

Seja G o pé da perpendicular a AB, passando por A . O polígono ABCDEG tem a soma dos ângulos internos dada por (6-2).180o=4.180º A soma dos ângulos indicados é 4.180o-180o=3.180o=540º.

(11)

25.

O círculo da ilustração abaixo tem raio 6, o ângulo BOC mede 60o e os ângulos AOB e COD medem 30o. Qual o inteiro mais próximo da área da região colorida? (Obs.: use a aproximação

π

≅ 3,14.)

B A D C O Resposta: 19 Justificativa:

A área do setor OABCD é 1/3.

π

.62=12

π

e a do setor OBC é 1/6.

π

.62=6

π

. O triângulo OAD tem área 62.sen120o/2=9 3 e o triângulo OBC tem área 62 3/4=9 3 . A área da região colorida é 12

π

-9 3 -(6

π

-9 3 )=6

π

≅

18,84.

26.

O poliedro convexo que inspirou a bola de futebol é formado de faces regulares pentagonais e hexagonais. O número total de vértices é 60, e o de arestas é 90. Quantas são as faces hexagonais?

Da relação de Euler obtemos 60 – 90 + F = 2 e F = 32. Se x é o número de faces hexagonais, temos que existem 32 – x faces pentagonais e, contando o número de arestas, temos 6x + 5(32 – x) = 2.90, que equivale a x = 180 – 160 = 20.

27.

Na ilustração a seguir, o triângulo ABC é eqüilátero, a circunferência maior está inscrita no triângulo a as duas menores são tangentes à maior e a dois lados do triângulo. Se o triângulo tem lado medindo 18, qual o maior inteiro menor que a área da região colorida? (Dado: use as aproximações 3≅ 1,73 e π≅ 3,14.)

A

B

C

(12)

Justificativa:

A circunferência maior tem raio 1/3.18. 3 /2 = 3 3 . As circunferências menores estão inscritas em triângulos eqüiláteros de altura 9 3 - 2(3 3 ) = 3 3 ; logo, têm raio 1/3.3 3 = 3. A soma das áreas limitadas pelas circunferências é π((3 3 )2 + 2. 32) = 33π e a área colorida é 182 3/4 – 33π ≅ 36,51.

28.

Na ilustração abaixo, o ponto P está no interior do triângulo ABC, e por P são traçadas paralelas aos lados AB, AC e BC que interceptam estes lados nos pontos D, E, F, G, H e I. Se ABC é eqüilátero de lado 100, DE = 25 e FG = 45, qual a medida de HI?

A B C D E F I H G P Resposta: 30 Justificativa:

Os triângulos ABC, DEP, FGP e HIP são todos semelhantes. Portanto, DE/AB + FG/BC + HI/AC = DE/AB + PF/AB + PI/AB = (EB + DE + AD)/AB = 1. Daí 25/100 + 45/100 + HI/100 = 1 e HI = 30.

(13)

29.

Na ilustração abaixo, ABCD é um quadrado, e EFGHIJ é um hexágono regular com os vértices E, G, H e J, nos lados AB, BC, CD e DA do quadrado, respectivamente. A diagonal FI do hexágono está contida na diagonal AC do quadrado. Se o quadrado tem lado 100, qual o inteiro mais próximo do lado do hexágono? (Dado: use a aproximação: cos 15o≅ 0,96.)

A B D C E G F H I J Resposta: 52 Justificativa:

Seja O o centro do hexágono (ou do quadrado), e seja K o pé da perpendicular por O ao lado AB. Temos que o triângulo KOE tem o ângulo EOK medindo 60o – 45o = 15o ; daí cos 15o = OK/OE e OE = 50/0,96 ≅ 52,08.

30.

Um tablete de doce de goiaba tem a forma de um paralelepípedo reto retângulo de dimensões 10cm, 8cm e 6cm. O tablete foi embrulhado em papel celofane e dividido em cubos de aresta 1cm. Analise as afirmações abaixo, a partir destes dados:

0-0) Existem 480 cubos de aresta 1cm.

1-1) Existem 245 cubos sem qualquer face coberta pelo papel. 2-2) Existem 208 cubos com exatamente uma face coberta pelo papel. 3-3) Existem 36 cubos com exatamente duas faces cobertas pelo papel. 4-4) Existem 8 cubos com exatamente três faces cobertas pelo papel.

Resposta: VFVFV Justificativa:

O número de cubos é 10.8.6 = 480, logo, 0-0 é verdadeira. O número de cubos sem qualquer face coberta de papel é (10 - 2)(8 - 2)(6 - 2) = 192; logo, 1-1 é falsa. O número de cubos com uma face coberta pelo papel é 2(8.6 + 8.4 + 6.4) = 208; logo, 3-3 é verdadeira. O número de cubos com duas faces cobertas de papel é 72; logo, 3-3 é falsa; existem oito cubos com três faces cobertas de papel, o que torna 4-4 verdadeira.

31.

Um jogador esteve em três casas de apostas durante uma noite: na primeira, ele dobrou a quantia que possuía ao chegar e, posteriormente, gastou R$ 30,00. Na segunda, ele triplicou a quantia que tinha ao chegar e, posteriormente, gastou R$ 54,00 e, na terceira, ele quadruplicou a quantia que tinha ao chegar, então gastou R$ 72,00 e observou que lhe restavam R$ 48,00. Qual a quantia, em reais, que ele tinha ao chegar à primeira casa de apostas?

(14)

chegar à segunda casa de apostas ele tinha (30 + 54)/3 = 28 reais e, ao chegar à primeira casa, ele tinha (28 + 30)/2 = 29 reais.

32.

No primeiro semestre de 2003, a indústria X teve um faturamento 20% superior ao da indústria Y. No primeiro semestre de 2004, os faturamentos das indústrias X e Y cresceram 20% e 50%, respectivamente. No primeiro semestre de 2004, o faturamento da indústria X foi inferior em p% ao faturamento da indústria Y. Indique 10p.

Se y denota o faturamento da indústria Y no primeiro semestre de 2003, então, o faturamento da indústria X, no mesmo período, foi de 1,2y. No primeiro semestre de 2004, os faturamentos das indústrias X e Y foram de 1,2.1,2y=1,44y e 1,5y, respectivamente. Portanto, o faturamento da indústria X foi inferior em (0,06./1,5).100%=4% ao faturamento da indústria Y.