Trabalho de Conclusão de Curso. Um Modelo Multiobjetivo para o Problema de Alocação Ótima de

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Trabalho de Conclusão de Curso

Um Modelo Multiobjetivo para o Problema de Alocação Ótima de

Medidores de Qualidade de Energia Elétrica visando a detecção de

Variações de Tensão de Curta Duração na presença de Simetrias

Paulo Estevão Teixeira Martins

João Monlevade, MG 2017

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Um Modelo Multiobjetivo para o Problema de Alocação Ótima de

Medidores de Qualidade de Energia Elétrica visando a detecção de

Variações de Tensão de Curta Duração na presença de Simetrias

Monografia apresentada ao Curso de Engenharia Elétrica da Universidade Federal de Ouro Preto, como requisito para graduação em Engenharia Elétrica.

Orientador: Profº Dr. Wilingthon Guerra Zvietcovich

João Monlevade, MG 2017

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Aos meus pais, pelo apoio e compreensão durante todo o tempo que estive ausente. Aos meus irmãos, os quais tenho o prazer de compartilhar os melhores trechos da minha vida.

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À toda a minha família, que tanto me incentivaram e foram pacientes comigo durante todo o curso de graduação, mas principalmente nessa reta final, onde a sua compreensão foi extremamente importante.

Agradeço à minha mãe Nazaré Messias Teixeira Martins por toda a sua preocupação, mas sobretudo pela atenção que me foi dada nos momentos que mais precisei. Ao meu pai, José Eustáquio Martins, que me apoiou desde o princípio e é uma pessoa na qual me inspiro e foi determinante para a minha formação, não só como engenheiro eletricista, mas também como pessoa. Aos meus irmãos mais novos, Marcos Vinícius Teixeira Martins e Thalita Elódia Martins, que com seus espíritos jovens me trazem força e energia para continuar a caminhada.

Aos meus orientadores, Wilingthon Guerra Zvietcovich e Thiago Augusto de Oliveira Silva, os quais foram uma fonte de conhecimento, da qual tentei aproveitar ao máximo durante esses últimos anos da graduação. Sempre estavam presentes para me ajudar, mesmo com minhas incessantes procuras em suas salas, inclusive em finais de período letivo. Agradeço também por me apresentarem ao mundo da pesquisa científica, do qual não pretendo sair tão cedo.

Agradeço a todos os meus amigos parceiros de curso, Maiara, Cássia, Gaspar, Priscila, Leandro, Karen, Sílvio, Marina Torres, Natália, Ana Flávia, Ricardo, Douglas, Alisson, Wagner, Lucas Faria, Macson, Alan, Lucas Godoi, Guilherme Baeta, dentre tantos outros guerreiros que tive o prazer de conhecer e lutar lado a lado durante esses 5 anos de graduação.

Aos meus amigos Ciniro, Adriel, Renan, Warley, Augusto, Marcus Bahia, Petterson, os quais em épocas de férias e feriados em minha cidade Medeiros ajudaram a quebrar um pouco a rotina de estudos, descansando assim a minha mente para retornar com mais ânimo. Apareciam em minha casa para conversar ou chamar para dar uma volta durante o período de escrita dessa monografia, segundo eles “a minha infindável tarefa”.

Por fim agradeço a todos amigos que, mesmo não citados aqui, estiveram presentes nos momentos alegres ou não, e que contribuíram de alguma forma para eu chegar nesse ponto da minha trajetória.

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"Eles ousaram ir aonde ninguém tentaria. Escolheram voar onde as águias ousam voar." Steve Harris

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Uma das causas de conflitos entre as concessionárias de energia elétrica e seus clientes são as Variações de Tensão de Curta Duração (VTCDs) causadas frequentemente por curtos-circuitos na rede. Essas variações podem ser sentidas a quilômetros de distância do local de falta e podem interferir em equipamentos sensíveis aos níveis de tensão de fornecimento, causando prejuízos enormes. Com o intuito de manter a competividade no mercado e atender as normas regulatórias com respeito à Qualidade da Energia Elétrica, as empresas estão investindo em sistemas de monitoramento permanente para suas redes. Dessa forma, os dados coletados podem ser utilizados para a melhoria da qualidade do produto e do serviço fornecido. Embora já existam vários métodos que determinam o número mínimo necessário de medidores de qualidade e seus locais de instalação na rede de forma a garantir a observação completa do sistema, muito pouco tem sido estudado sobre as simetrias entre condições de falta com relação a uma ou várias barras monitoradas. Este trabalho propõe um modelo de otimização multiobjetivo utilizando Programação Linear Inteira (PLI) para o problema supracitado, tratando não somente da minimização do custo do sistema de monitoramento como também da redução dessas ocorrências de simetria. O modelo proposto foi validado em redes amplamente conhecidas na literatura como sistemas teste IEEE e também em redes reais pertencentes à malha de transmissão do sistema interligado brasileiro. Desenvolveu-se um programa de análise de curto-circuito que faz a leitura dos dados dos sistemas elétricos e simula condições de falta com o objetivo de determinar o estado da rede no instante de ocorrência do curto-circuito e fornecer um banco de dados para o método de otimização. O problema foi resolvido de forma exata por meio do algoritmo ABCDO, que retornou soluções no diagrama de pareto em tempos computacionais compatíveis com o tempo da tomada de decisão, além de um custo de instalação reduzido e uma baixa ocorrência de simetrias. A implantação de sistemas de monitoramento com essas características permite que seus dados de medição sejam utilizados em programas de estimação de estado e localização de faltas com maior confiabilidade e precisão nos resultados.

Palavras-chave: VTCDs, Alocação, Medidores de Qualidade de Energia, Programação

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One of the causes of conflicts between electric utilities and their customers are the voltage sags and swells, usually caused by short circuits in the network. These voltage variations can be felt at kilometers away from the fault location and may interfere in supply voltage levels sensitive equipments, causing huge losses. In order to maintain competitiveness in the market and to attend power quality regulatory standards, companies are investing in permanent monitoring systems to their networks, so that the measured data can be used to increase the quality of the product and service provided. Although there are already several methods that can find the minimum number of power quality monitors and their locations in order to ensure full system observation, almost nothing has been seen about the symmetry between fault conditions in relation to one or more monitored buses. This paper proposes a multiobjective discrete optimization model to the monitor allocation problem, aiming not only minimize the monitoring system cost, but also reduce these symmetry occurrences. The proposed model was validated in some IEEE test systems and in real networks belonging to the Brazilian transmission system. A short-circuit analysis program was developed to read the electrical systems data and simulate fault conditions in order to determine the residual voltages in all buses, searching for voltage sags or swells, and provide a database for the optimization method. The problem was solved using the Algorithm for Bicriteria Discrete Optimization (ABCDO), which returned solutions in the efficient set with computational times compatible with the decision maker time, besides a reduced installation cost and a low symmetry occurrence. The implementation of monitoring systems with these characteristics allows its measurement data to be used in state estimation and fault location programs with greater reliability and accuracy in the results.

Keywords: Voltage Sags and Swells, Allocation, Power Quality Monitors, Integer

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Figura 1: Exemplo de uma possível condição de falta em um sistema elétrico qualquer... 27

Figura 2: Rede malhada exemplo de 5 barras mostrando afundamentos de tensão ocorrendo em algumas das barras devido à uma falta trifásica no trecho 2-4. ... 28

Figura 3: Rede exemplo de 5 barras indicando duas possíveis condições de falta, correspondendo a dois curtos-circuitos monofásicos-terra. ... 30

Figura 4: Fluxograma do programa de análise de curto-circuito desenvolvido nesse trabalho para a simulação das VTCDs. ... 32

Figura 5: Diagrama unifilar da rede teste IEEE de 14 barras. ... 41

Figura 6: Diagrama unifilar da rede teste IEEE 30 barras. ... 42

Figura 7: Diagrama unifilar para a rede teste de 63 barras. ... 44

Figura 8: Diagrama unifilar do Sistema Teste de Transmissão Brasileiro de 9 barras. ... 45

Figura 13: Modelo do Gerador Síncrono ... 73

Figura 14: Modelo Simplificado do Transformador ... 74

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Figura 17: Falta Fase-Terra ... 78

Figura 18: Falta Fase-Fase-Terra ... 80

Figura 19: Falta Fase-Fase ... 81

Figura 20: Diagrama de admitâncias de sequência positiva para a rede exemplo de 5 barras na situação de curto-circuito trifásico entre as barras 2 e 4. ... 82

Figura 21: Diagrama de admitâncias de sequência positiva para a rede exemplo de 5 barras na situação de curto-circuito monofásico-terra entre as barras 2 e 4. ... 84

Figura 22: Diagrama de admitâncias de sequência negativa para a rede exemplo de 5 barras na situação de curto-circuito monofásico-terra entre as barras 2 e 4. ... 85

Figura 23: Diagrama de admitâncias de sequência zero para a rede exemplo de 5 barras na situação de curto-circuito monofásico-terra entre as barras 2 e 4. ... 85

Figura 24: Diagrama de admitâncias de sequência positiva para a rede exemplo de 5 barras na situação de curto-circuito monofásico-terra entre as barras 2 e 5. ... 88

Figura 25: Diagrama de admitâncias de sequência negativa para a rede exemplo de 5 barras na situação de curto-circuito monofásico-terra entre as barras 2 e 5. ... 88

Figura 26: Diagrama de admitâncias de sequência zero para a rede exemplo de 5 barras na situação de curto-circuito monofásico-terra entre as barras 2 e 5. ... 88

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Gráfico 1: Diagrama de Pareto para a instância STB9b10pc. ... 56

Gráfico 6: Diagrama de Pareto para a instância IEEE14b10pc. ... 61

Gráfico 7: Diagrama de Pareto para a instância IEEE30b10pc. ... 62

Gráfico 8: Diagrama de Pareto para a instância IEEE30b5pc... 63

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Quadro 1: Comparação dos resultados obtidos para testes de simulação de condições de falta na rede teste IEEE de 30 barras para várias faixas de valores de impedância de falta, simulando os curtos-circuitos sempre a cada 10 % do comprimento de cada trecho. ... 51

Quadro 2: Comparação dos resultados obtidos dos testes de simulação de condições de falta na rede teste IEEE de 30 barras ao se variar a distância de simulação dos curtos-circuitos, fixando a faixa para a impedância de falta em 1-20 Ω. ... 51

Quadro 3: Resumo de todas as instâncias geradas pelo programa de análise de curto-circuito desenvolvido e suas respectivas características. ... 55

Quadro 4: Resumo dos resultados da execução do método ABCDO para todas as instâncias estudadas. ... 67

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Tabela 1: Valores dos módulos das tensões residuais nas fases A, B e C na barra 2 do sistema exemplo

de 5 barras para a ocorrência da condição de falta 1 e 2. ... 30

Tabela 2: Matriz de Observabilidade obtida através das simulações de curto-circuito ao longo de toda a rede exemplo de 5 barras. ... 33

Tabela 3: Matriz de Simetrias obtida através das simulações de curto-circuito ao longo de toda a rede exemplo de 5 barras. ... 34

Tabela 4: Dados de barra da rede teste IEEE de 14 barras. ... 91

Tabela 5: Dados das linhas da rede teste IEEE de 14 barras. ... 93

Tabela 6: Dados dos geradores da rede teste IEEE de 14 barras. ... 94

Tabela 7: Dados dos transformadores da rede teste IEEE de 14 barras. ... 95

Tabela 8: Dados das barras da rede teste IEEE de 30 barras. ... 96

Tabela 10: Dados dos geradores da rede teste IEEE de 30 barras... 99

Tabela 12: Dados das barras da rede teste IEEE de 57 barras. ... 102

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Tabela 20: Dados das barras do Sistema Teste de Transmissão Brasileiro de 9 barras. ... 116

Tabela 21: Dados das linhas do Sistema Teste de Transmissão Brasileiro de 9 barras. ... 117

Tabela 22: Dados dos geradores do Sistema Teste de Transmissão Brasileiro de 9 barras. ... 117

Tabela 23: Dados dos transformadores do Sistema Teste de Transmissão Brasileiro de 9 barras. ... 118

Tabela 27: Dados dos transformadores do Sistema Teste de Transmissão Brasileiro de 16 barras... 123

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Tabela 40: Dados das barras da rede exemplo de 5 barras... 164

Tabela 41: Dados das linhas da rede exemplo de 5 barras. ... 165

Tabela 42: Dados dos geradores da rede exemplo de 5 barras. ... 165

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1 INTRODUÇÃO ... 21

2 ESTADO DA ARTE ... 23

3 DESCRIÇÃO DO PROBLEMA DE ALOCAÇÃO ÓTIMA DE MQEE ... 26

3.1 Condição de Falta ... 26

3.2 Variações de Tensão de Curta Duração ... 27

3.3 Simetria ... 29

3.4 Programa de análise de curto-circuito desenvolvido ... 31

3.5 Matriz de Observabilidade e Matriz de Simetrias ... 33

3.6 Modelagem do problema de Alocação Ótima de MQEE ... 35

3.7 Método de solução utilizado ... 37

4 SISTEMAS TESTADOS ... 40

4.1 Sistemas Teste IEEE ... 40

4.2 Sistemas Teste Brasileiro ... 44

5 INSTÂNCIAS RESULTANTES DA ANÁLISE DE CURTO-CIRCUITO ... 50

5.1 Instâncias para a rede teste IEEE de 30 barras ... 50

5.2 Instância para a rede teste IEEE de 14 barras ... 52

5.3 Instância para a rede teste IEEE de 57 barras ... 52

5.4 Instância para a rede teste de 63 barras ... 53

5.5 Instância para o sistema teste brasileiro de 9 barras ... 53

5.10 Resumo de todas as instâncias produzidas para teste ... 54

6 RESULTADOS E DISCUSSÕES ... 56

6.1 Instância STB9b10pc ... 56

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6.5 Instância STB107b10pc ... 60 6.6 Instância IEEE14b10pc ... 61 6.7 Instância IEEE30b10pc ... 61 6.8 Instância IEEE30b5pc ... 62 6.9 Instância IEEE30b2pc ... 63 6.10 Instância IEEE57b10pc ... 64 6.11 Instância IEEE63b10pc ... 65

6.12 Resumo dos resultados para todas as instâncias ... 66

7 CONSIDERAÇÕES FINAIS... 68

REFERÊNCIAS ... 70

APÊNDICE A – Modelos dos componentes da rede elétrica ... 73

A-1 Modelo do Gerador Síncrono ... 73

A-2 Modelo do Transformador... 73

A-3 Modelo das Linhas ... 74

APÊNDICE B - Estudo de curto-circuito em Sistemas Elétricos... 75

B-1 Componentes Simétricos ... 75

B-2 Faltas Trifásicas Simétricas ... 76

B-3 Falta Fase-Terra... 78

B-4 Falta Fase-Fase-Terra ... 79

B-5 Falta Fase-Fase ... 80

APÊNDICE C – Exemplos de cálculo de curto-circuito ... 82

C-1 Exemplo 1 ... 82

APÊNDICE D – Dados para curto-circuito das redes testes ... 91

D–1 Dados dos Sistemas Teste IEEE ... 91

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1 INTRODUÇÃO

Com o advento da tecnologia cresceu também o número de reclamações às concessionárias de energia elétrica com relação à perda de equipamentos por causa de variações nos níveis de tensão.

Isto acontece porque esses equipamentos são sensíveis aos níveis de tensão e, quando ocorre um afundamento ou elevação de tensão na barra do alimentador, esses equipamentos são afetados.

Esses eventos são chamados Variações de Tensão de Curta Duração (VTCDs) e são causados pela ação de grandes blocos de carga, como partida de motores de alta potência, ou curtos-circuitos ocorridos em algum ponto da rede elétrica, os quais são o foco deste trabalho. Sendo esses eventos de natureza aleatória, não é possível prevê-los.

Com o objetivo de verificar a veracidade das reclamações dos clientes e também para questões de planejamento da rede, as empresas concessionárias de energia elétrica começaram a monitorar esses eventos. A princípio o ideal seria instalar medidores de qualidade de energia elétrica (QEE) em todas as barras do sistema, garantindo dessa forma o monitoramento completo da rede. Mas essa ação demandaria um alto custo, porque em um sistema real existe uma enorme quantidade de barras e linhas, e os equipamentos são onerosos quando se trata de medições em altos níveis de tensão. Além disso, à medida em que se aumentam o número de trechos com terminação em uma barra o gasto com a instalação de um ponto de medição nesse local aumenta consideravelmente. A instalação de medidores em todas as barras da rede também representaria um alto custo computacional para processar o fluxo de dados lidos por esses medidores e transmitir para uma central de monitoramento ou para os demais nós da rede. Isto constituiria um aumento no preço do sistema de monitoração, em vista da necessidade de instalação de centrais e linhas de transmissão de dados mais potentes (ELDERY et al., 2006).

Diante desse contexto, o desafio se resume a descobrir o número mínimo de medidores de QEE e em quais barras eles devem ser instalados de forma que, quando ocorrer uma falta em um ponto qualquer da rede, pelo menos um medidor consiga registrar a VTCD produzida por este evento.

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Com a otimização do sistema de monitoramento é possível utilizar outros métodos para a localização das faltas com base nos dados registrados pelos medidores, e determinar características da condição de falta: como o local de ocorrência, a impedância de defeito e o tipo de curto-circuito (ZVIETCOVICH, 2011).

Uma característica observada em redes elétricas de grande porte é a presença de simetrias de condições de falta com relação a um medidor instalado em uma barra, ou seja, este medidor irá medir aproximadamente os mesmos valores de tensão e corrente caso qualquer um desses eventos venham a ocorrer. Dessa forma a tarefa de identificar qual curto-circuito causou a VTCD na barra monitorada se torna complexa.

Este trabalho propõe um modelo de programação linear inteira para o problema de alocação de medidores contendo dois objetivos: minimizar o custo da instalação (minimizar o número de medidores) do sistema de monitoramento e minimizar esses casos de simetria.

Na próxima seção é mostrada uma revisão dos principais trabalhos desenvolvidos dentro desse tema, destacando as principais direções que a pesquisa tomou desde seu princípio até os últimos trabalhos analisados. Na seção 3 o problema de Alocação Ótima de Medidores de Qualidade é detalhado, mostrando todos os conceitos necessários para a compreensão do trabalho desenvolvido. Ao fim da seção 3 é apresentado o modelo multiobjetivo proposto para o problema e o método exato utilizado para a sua solução. Na seção 4 são apresentadas as redes elétricas que foram usadas para testar toda a metodologia. Na seção 5 são descritos os testes de simulação de curtos-circuitos nas redes teste e as instâncias produzidas para o método de otimização. Os resultados obtidos após a execução dessas instâncias são discutidos na seção 6 e as considerações finais são feitas na seção 7.

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2 ESTADO DA ARTE

Foram encontrados na literatura diversos trabalhos tratando do problema de Alocação Ótima de Medidores de Qualidade de Energia. Três trabalhos merecem destaque devido ao pioneirismo destes no problema (AMMER; RENNER, 2004; ELDERY et al., 2006; OLGUIN et al., 2006).

Ammer e Renner (2004) abordam o tema utilizando técnicas de correlação e regressão para gerar matrizes com zeros e uns a partir das quais é possível identificar as posições de cada monitor. Devido ao tratamento estatístico do problema não é assegurada a observação de todas as faltas que possam vir a ocorrer pelo sistema de monitoramento encontrado.

Eldery et al. (2006) propõem um modelo de programação inteira (PI) para o problema de alocação de medidores, visando minimizar o custo de instalação do sistema de monitoração enquanto garante a observação das tensões e correntes em todas as barras do sistema, seja por medição direta (através de um monitor instalado na barra) ou por estimação de seus valores.

Olguin et al. (2006) introduzem o conceito de área de alcance do monitor (Monitor Reach Area - MRA), que fornece informação quanto à distância de observação das possíveis faltas ao monitor instalado em uma determinada barra. O método proposto determina o número mínimo de medidores necessários e suas posições através de um modelo de PI baseado na matriz MRA. O problema de otimização é resolvido usando um algoritmo do tipo Branch and Bound (B&B), por meio de pacotes computacionais de otimização, assim como em (ELDERY et al., 2006). A solução do problema de alocação não é única, ou seja, podem existir vários arranjos com número mínimo de monitores satisfazendo todas as restrições do problema de PI. Olguin et al. (2006) utilizam um algoritmo genético (AG) para explorar o espaço de soluções a fim de obter todos os sistemas de monitoramento ótimos.

Algoritmos genéticos também são utilizados em (ALMEIDA; KAGAN, 2011; HONG; CHEN, 2011; IBRAHIM et al., 2012a; KAZEMI et al., 2013). A necessidade de instalação de um monitor em uma barra específica ou a dificuldade de instalação de monitores em algumas barras podem ocorrer ao aplicar a alocação de medidores em sistemas reais. Almeida e Kagan (2011) trataram essas restrições passíveis de ocorrência em uma rede em avaliação utilizando uma abordagem por meio da teoria Fuzzy, em conjunto com o Algoritmo

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Genético. Reis et al. (2008) também consideraram essas particularidades existentes em algumas redes elétricas, incorporando-as diretamente no modelo proposto, por meio de restrições ao problema. Esses autores se basearam no modelo de Eldery et al. (2006) para solucionar o problema de alocação de medidores.

A metodologia apresentada por Eldery et al. (2006) e o trabalho fundamentado nela (Reis et al., 2008), assim como os métodos baseados no conceito de MRA (ALMEIDA; KAGAN, 2011; OLGUIN et al., 2006), foram testados apenas em sistemas elétricos a nível de transmissão. Won e Moon (2008) sugerem um algoritmo baseado na teoria de grafos para a obtenção de alocação ótima de medidores em sistemas de distribuição de energia. Devido à lógica empregada neste método, que depende da associação da teoria de grafos com a topologia em árvore da rede, esta abordagem é apropriada apenas para sistemas de distribuição radiais. Hong e Chen (2011) propõem um método para a solução do problema também aplicável a sistemas de distribuição. No entanto, dentre os eventos de qualidade de energia existentes, o foco do trabalho de Hong e Chen (2011) é na monitoração de tensões harmônicas e chaveamento de capacitores.

Ibrahim et al. (2012a) apresentam um novo tratamento ao problema de alocação de medidores de QEE, introduzindo o conceito de área de alcance do monitor topológica (Topological Monitor Reach Area – TMRA) para adequar o modelo para qualquer topologia de rede elétrica. Com o uso de um AG é determinado o número mínimo de medidores a serem instalados no sistema elétrico de potência (SEP) garantindo a observação da rede frente às VTCDs. Além disso, Ibrahim et al. (2012a) determinam qual a melhor disposição dos medidores na rede elétrica. Este objetivo é conseguido após a enumeração de todos os sistemas de monitoramento possíveis para o número mínimo encontrado visando satisfazer as restrições do problema. O índice de sobreposição de monitores (Monitor Overlapping Index – MOI) e o índice de severidade de afundamentos (Sag Severity Index – SSI) são introduzidos nesse trabalho como critérios para decisão do melhor sistema de monitoração.

Em (IBRAHIM et al., 2011, 2012b, 2014) mais um conceito foi introduzido para permitir uma modelagem binária multiobjetivo do problema de alocação de medidores, o índice de severidade de afundamentos negativo (Negative Sag Severity Index – NSSI). Nestes três trabalhos o objetivo do algoritmo continua o mesmo que em (IBRAHIM et al., 2012a), ou seja, minimizar o número de monitores e encontrar o melhor sistema de monitoramento. Ibrahim et al. (2011) propõem um algoritmo de otimização por enxame de partículas binário (Binary Particle Swarm Optimization – BPSO) para a solução do problema juntamente com

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um sistema de imunidade artificial (Artificial Immune System – AIS) que possui o intuito de aumentar a rapidez do processo de iteração. Ibrahim et al. (2012b) processam o modelo binário utilizando um algoritmo binário de busca gravitacional (Binary Gravitational Search Algorithm – BGSA) melhorado através da aplicação do comportamento quântico, que permite aumentar a eficiência do BGSA e consegue desviar de convergências prematuras. Os resultados são comparados com um BPSO convencional também alterado com o método quântico e com os métodos BPSO e BGSA simples. Ibrahim et al. (2014) desenvolve um novo algoritmo fundamentado em três aspectos: o comportamento quântico, o BGSA e o AIS. Assim é adicionada ao programa proposto por Ibrahim et al. (2012b), denominado QBGSA (Quantum-inspired Binary Gravitational Search Algorithm), a abordagem do AIS, proporcionando um ganho de velocidade computacional. O desempenho deste método é validado após comparação com outras técnicas de otimização, a saber: AG, BPSO, QBPSO e BGSA.

Um algoritmo do tipo híbrido também é sugerido em (ZVIETCOVICH et al., 2013) para a alocação ótima de monitores em redes de transmissão. Zvietcovich et al. (2013) também se baseiam no conceito de MRA introduzido por Olguin et al. (2006) e sugerem um algoritmo Greedy Randomized Adaptative Search Procedure (GRASP) juntamente com a estratégia da busca em vizinhança variável (Variable Neighborhood Search – VNS) para a solução do problema de otimização.

Recentemente Wan et al. (2014) desenvolveram um método baseado na modelagem inteira de Eldery et al. (2006), onde além do número mínimo de medidores é considerada a localização dos eventos. O nível de disparo dos medidores quanto a um afundamento de tensão é considerado neste trabalho, assim como em (OLGUIN et al., 2006), e o problema de otimização é resolvido utilizando a estratégia do particionamento do problema pela k-mediana. A simetria entre eventos é abordada nesse trabalho como uma restrição o problema de otimização e é considerada a monitoração apenas das barras do sistema, não tratando de eventos que possam ocorrer nas linhas.

Diante do exposto é possível perceber que apesar do tema já ter sido tratado em diversos artigos desde os trabalhos de Eldery et al. (2006) e Olguin et al. (2006), muito pouco tem sido explorado no que diz respeito à possibilidade de ocorrência de simetrias com relação a um medidor instalado. O presente trabalho trata com mais detalhes esse problema das simetrias e propõe um modelo de PI onde a simetria é incorporada diretamente em um dos objetivos, visando a sua minimização.

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3 DESCRIÇÃO DO PROBLEMA DE ALOCAÇÃO ÓTIMA DE MQEE

O problema de Alocação de Medidores consiste em determinar as posições na rede elétrica estudada (as barras), nas quais devem ser instalados os medidores de QEE para a monitoração de um tipo de evento de interesse. Nesse trabalho o foco é a identificação das Variações de Tensão de Curta Duração (VTCDs), as quais serão explicadas com maior detalhe mais à frente no texto.

Tendo em vista que a maior parte das VTCDs são causadas por curtos-circuitos ocorridos na rede elétrica foi dado um enfoque apenas nesses eventos. Eles possuem uma natureza aleatória e, portanto, são impossíveis de se prever. Então nesse trabalho foi construído um ambiente de simulação de curtos-circuitos com o objetivo de analisar o comportamento da rede elétrica frente a um determinado curto-circuito. A metodologia está baseada na simulação de curtos-circuitos em todas as barras e em vários pontos de cada trecho do sistema elétrico analisado. A ideia é tentar simular o máximo de eventos possível na rede, de tal forma que praticamente qualquer curto-circuito que tenha a possibilidade de ocorrer no sistema esteja contido nesse conjunto de simulações. Dessa maneira se conseguirmos um conjunto de medidores que monitorem todos os eventos simulados estaremos garantindo o monitoramento da rede por completo.

3.1 Condição de Falta

Ao simular uma anomalia ocorrendo na rede elétrica precisamos primeiro explicar alguns parâmetros que descrevem o que chamamos de condição de falta: o tipo de circuito, o local onde ocorreu a falta e o valor da impedância de defeito. O tipo do curto-circuito pode ser monofásico-terra, bifásico, bifásico-terra e trifásico. O local diz respeito ao ponto na rede onde ocorreu o curto e a impedância de defeito (ou de falta) é um valor de impedância associado às condições do local onde ocorreu a anomalia. Na Figura 1 está ilustrada uma condição de falta possível. Observa-se que se trata de um curto-circuito do tipo bifásico, localizado na posição de 405,39 km e com uma impedância de falta de 6,83 Ω.

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Figura 1: Exemplo de uma possível condição de falta em um sistema elétrico qualquer.

11 12 13

Bifásica

6,83 Ω Comprimento das linhas

anteriores = 370 km

35,39 km Ponto de Falta = 405,39 km

Fonte: Do autor.

A metodologia utilizada nesse trabalho aplica-se às redes elétricas de qualquer topologia, sejam elas redes malhadas, radiais ou em anel. As redes do tipo em malha são características do nível de transmissão de energia elétrica, enquanto as radiais e em anel são encontradas em sistemas de distribuição de energia. Para ilustrar os conceitos que serão apresentados nesse trabalho foi utilizado um exemplo disponível em (Glover et al., 2012, p. 499). O diagrama unifilar dessa rede é reproduzido na Figura 2. Esta é uma rede malhada contendo 5 barras, simples, porém sem perda de generalidade.

Essa rede possui dois geradores ligados aos barramentos 1 e 3, ambos de 15 kV. Dois transformadores elevam o nível de tensão para 345 kV e 3 linhas transmitem a energia ao longo de toda a extensão do sistema.1

3.2 Variações de Tensão de Curta Duração

Suponha uma falta trifásica com 63,25 Ω de impedância de defeito ocorrendo nesta rede a 90 % do comprimento do trecho entre as barras 2 e 4, assim como é mostrado na Figura 2. O sistema é considerado operando sem carga, ou seja, a tensão pré-falta em todas as barras é igual a 1 p.u. (por unidade). Esta consideração é razoável, tendo em vista que um sistema elétrico de potência opera sempre próximo dos valores nominais. Em razão da

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ocorrência dessa falta as tensões nas barras variam e estão indicadas na Figura 2, todas em valores por unidade (p.u.).2

Figura 2: Rede malhada exemplo de 5 barras mostrando afundamentos de tensão ocorrendo em algumas das

barras devido à uma falta trifásica no trecho 2-4.

5 4 3 G G 1 2 15 kV 345 kV 345 kV 15 kV 0,91 0,87 0,89 0,87 0,88 Trifásica 63,25 Ω Fonte: Do autor.

De acordo com as normas internacionais de Qualidade de Energia Elétrica (IEEE Std. 1346, 1998), valores de tensão residuais abaixo de 0,9 p.u. são considerados afundamentos (do inglês: sag) de tensão, que são um dos tipos de VTCDs passíveis de ocorrência. Valores acima de 1,1 p.u. correspondem ao outro tipo de VTCD, chamado elevação (do inglês: swell) de tensão. Essas variações de tensão podem afetar diretamente equipamentos dependentes do nível de tensão ligados diretamente ao barramento que houve um afundamento. Esses equipamentos geralmente movimentam processos de toda uma indústria, e parar esses processos podem trazer enormes prejuízos econômicos. Portanto, existe uma cobrança por parte dos consumidores no fornecimento de um nível de tensão adequado pelas concessionárias de energia, e isso movimentou a preocupação em monitorar esses tipos de eventos causadores de VTCDs.

2_{Mais detalhes sobre a análise desse curto-circuito, incluindo os cálculos das tensões residuais, podem ser}

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Suponha que um medidor seja instalado na barra 2 do sistema de potência que vem sendo analisado, e registre os valores de tensão a uma taxa suficiente para perceber as VTCDs. Após a ocorrência do curto-circuito indicado na Figura 2 ele irá registrar o valor 0,87 p.u.. Dizemos que esse medidor foi sensibilizado pela VTCD e “observou” essa condição de falta. Agora suponha que esse mesmo medidor estivesse instalado na barra 1. Dessa vez ele registraria um valor de 0,91 p.u. e, do seu ponto de vista, não saberia dizer se houve ou não ocorrência de VTCD no sistema de potência em decorrência do curto-circuito.

A essa capacidade de “observar” (registrar) uma condição de falta ocorrendo no sistema de potência chamamos de Observabilidade, e esse conceito ajuda a quantificar a região que esse medidor consegue monitorar possíveis condições de falta no sistema.

Para permitir a quantificação da qualidade do sistema de monitoração instalado na rede usa-se o conceito de Grau de Observabilidade, que determina a capacidade do sistema de monitoramento detectar as possíveis condições de falta com pelo menos um 1 medidor (ALMEIDA; KAGAN, 2010). Portanto, para se obter uma alocação ótima de medidores em uma dada rede deve-se distribuir estrategicamente os medidores nas barras do sistema de forma a obter um grau de observabilidade máximo, buscando utilizar um número mínimo de medidores que garanta essa condição, reduzindo assim o custo de instalação do sistema de monitoramento.

3.3 Simetria

Suponha agora uma condição de falta ocorrendo a 10 % do trecho entre as barras 2 e 4, e outra condição a 10 % do trecho entre as barras 2 e 5, sendo ambas curtos-circuitos monofásicos-terra com uma impedância de falta de 63,25 Ω (Figura 3). Neste caso são dois curtos-circuitos desequilibrados e assimétricos, diferentemente do curto-trifásico, onde as tensões das 3 fases se mantinham iguais. Na Tabela 1 são mostradas as tensões residuais nas fases A, B e C da barra 2 para as duas condições de falta.3

(30)

Tabela 1: Valores dos módulos das tensões residuais nas fases A, B e C na barra 2 do sistema exemplo de 5

barras para a ocorrência da condição de falta 1 e 2.

Condição de Falta Tensão Fase A (p.u.) Tensão Fase B (p.u.) Tensão Fase C (p.u.)

1 0,57 1,15 1,00

2 0,59 1,15 0,99

Fonte: Do autor.

Da Tabela 1 observa-se que caso fosse instalado um medidor na barra 2, este registraria valores de tensão iguais ou muito próximos para essas duas possíveis condições de falta. Apenas olhando para os valores medidos não seria possível descobrir qual das condições de falta foi a que realmente aconteceu no sistema de potência. Esta é uma grande dificuldade enfrentada no problema de Localização de Faltas, o qual deseja a partir dos dados coletados de um sistema de monitoramento determinar a condição de falta que causou uma determinada VTCD, ou seja, determinar qual foi o tipo de curto, o valor da impedância de falta e a posição exata onde ocorreu o curto-circuito.

Figura 3: Rede exemplo de 5 barras indicando duas possíveis condições de falta, correspondendo a dois

curtos-circuitos monofásicos-terra. 5 4 3 G G 1 2 15 kV 345 kV 345 kV 15 kV Fonte: Do autor.

(31)

Este fenômeno ilustrado pelas condições de falta 1 e 2 da Tabela 1 é chamado de

simetria, e os eventos 1 e 2 são ditos simétricos com relação à barra 2. Se instalarmos um

outro medidor em uma barra onde essas duas condições de falta não sejam simétricas conseguiremos então diferenciar esses dois eventos a partir dos dados do sistema de monitoramento. Dizemos então que “quebramos” essa simetria.

Nesse trabalho o problema de alocação de medidores é tratado de forma a distribuir os medidores pela rede de forma a sempre garantir o grau de observabilidade máximo e a satisfazer dois objetivos ao mesmo tempo: minimizar o número de medidores utilizado e minimizar a ocorrência de simetrias no sistema.

3.4 Programa de análise de curto-circuito desenvolvido

Como foi dito anteriormente, para avaliar o sistema teste frente às diversas condições de falta passíveis de ocorrência foi escrito um programa de análise de curto-circuito em Matlab ®. Este programa considera a rede operando sem carga e utiliza as equações da teoria de curto-circuito para o cálculo das tensões residuais.4 Um fluxograma que ilustra o funcionamento desse programa é mostrado na Figura 4.

Inicialmente são lidos os dados do sistema que está sendo analisado. Esses dados correspondem aos dados de barra, com seus valores de tensão base e susceptâncias shunt conectadas para controle de reativos. Os dados das linhas também são lidos, correspondendo aos valores de impedâncias de sequência positiva, negativa e zero. As impedâncias das três sequências também são lidas para os geradores e transformadores da rede, assim como as impedâncias entre o neutro e a terra para o caso de geradores e transformadores com fechamento do tipo estrela-aterrado.5

Em seguida o programa percorre as linhas da rede em busca de linhas paralelas, ou seja, linhas com seus terminais em barramentos comuns. Esse passo é importante do ponto de vista da redução da ocorrência de simetrias, visto que ela é alta em trechos paralelos.

4_{Para detalhes sobre a análise de curto-circuito ver o Apêndice B.}

(32)

Figura 4: Fluxograma do programa de análise de curto-circuito desenvolvido nesse trabalho para a simulação das VTCDs. Início Lê os dados da rede elétrica Simula condições de falta em todas as barras e linhas do sistema FIM Elimina todas as linhas paralelas Salva os dados resultados das simulações Fonte: Do autor.

Então são simuladas condições de falta em todas as barras e linhas do sistema, sendo que nas linhas são simuladas condições a cada porcentagem do comprimento total do trecho, sendo essa distância definida pelo usuário. Em cada ponto são simulados 4 tipos de curtos-circuitos diferentes6_{e, para cada um deles, é utilizado 5 valores distribuídos}

linearmente em um intervalo de impedâncias de falta, sendo esse intervalo também definido pelo usuário.

Para cada condição de falta simulada são salvos os valores de tensão residuais para as 3 fases em cada barra do sistema em teste. Ao final da execução do programa são geradas 3 matrizes (uma para cada fase) contendo os valores de tensão de cada barra. Para o exemplo de 5 barras, que contém 3 linhas, serão simuladas 𝟔𝟎𝟎 = 𝟑 × 𝟏𝟎 × 𝟒 × 𝟓 condições

(33)

de falta caso os curtos sejam simulados a cada 10% das linhas. Então cada matriz terá 600 linhas (condições de falta) e 5 colunas (barras).

3.5 Matriz de Observabilidade e Matriz de Simetrias

A partir dessas 3 matrizes é construída uma nova matriz para armazenar a informação de observabilidade de um dado medidor, caso seja instalado em cada barra do sistema. Em Almeida e Kagan (2010) essa matriz é denominada Matriz de Observabilidade (MO), sendo esta binária, onde “1” indica que houve uma VTCD em uma determinada barra devido à uma dada condição de falta. A Tabela 2 mostra a MO resultante das simulações de curto-circuito para o exemplo de 5 barras.

Tabela 2: Matriz de Observabilidade obtida através das simulações de curto-circuito ao longo de toda a rede

exemplo de 5 barras. Evento \ barra 1 2 3 4 5 1 1 1 1 1 1 6 0 1 0 1 1 9 0 1 0 0 0 165 0 1 1 1 1 166 0 1 0 1 0 206 1 1 0 1 1 366 1 1 0 0 1 386 1 0 0 0 0 486 0 0 0 0 1 506 0 1 0 0 1 566 1 0 0 0 1 Fonte: Do autor.

Para o tratamento das condições de simetria do problema é construída também uma matriz, denominada Matriz de Simetrias (MS). Nessa matriz são armazenados o grupo de eventos simétricos com relação a cada barra do sistema. Foi considerado um intervalo de tolerância de + ou – 0,05 p.u. para se assumir que dois valores de tensão são iguais. Duas condições de falta diferentes são consideradas simétricas com relação a uma barra, somente se os valores das tensões das 3 fases obedecerem a tolerância estipulada.

(34)

A MS possui a mesma dimensão da Matriz de Observabilidade, ou seja, um número de linhas igual ao total de defeitos simulados e colunas igual ao total de barras da rede teste. Na Tabela 3 é mostrada a Matriz de Simetrias para a rede de 5 barras.

Tabela 3: Matriz de Simetrias obtida através das simulações de curto-circuito ao longo de toda a rede exemplo

de 5 barras. Evento \ barra 1 2 3 4 5 1 3 5 1 3 4 6 0 1 0 1 1 9 0 2 0 0 0 165 0 2 2 4 5 166 0 3 0 1 1 206 1 1 0 2 2 366 1 3 0 2 2 386 2 0 0 0 0 486 2 0 0 0 3 506 0 4 0 0 3 566 4 4 0 0 6 Fonte: Do autor.

Em cada coluna da MS o grupo de eventos simétricos é identificado por um número igual. Por exemplo, considerando a barra 1 (Tabela 3) pode ser visto que os eventos 206 e 366 possuem simetria com relação a esta barra. Da mesma forma os eventos 486 e 506 são simétricos com relação à barra 5. Os locais na MS marcados com “0” significam que o evento correspondente não possui simetria com nenhum outro evento com relação à barra em questão e, além disso, não produz VTCD nessa barra. Os eventos que não possuem simetria mas produzem VTCD são marcados seguindo a numeração do último par simétrico da coluna, que é o caso dos eventos 1 e 566 com relação à barra 1.

Um detalhe que carece de atenção diz respeito às dimensões das matrizes apresentadas (MO e MS). Embora tenham sido simuladas 600 condições de falta na rede de 5 barras as matrizes resultantes possuem uma dimensão 11x5. Isso ocorre porque no processo de construção dessas matrizes são gerados dados redundantes (linhas e colunas iguais ou zeradas), que são eliminados pelo programa de análise de curto-circuito. Para o caso em questão as 589 condições de falta retiradas estão contidas nas 11 restantes. Portanto, uma alocação ótima de medidores que garanta o grau de observabilidade máximo para essas 11 condições também irá garantir para todas as 600 condições de falta.

(35)

Para redes maiores (acima de 100 linhas), esse processo de redução das matrizes se torna indispensável. No caso de uma quantidade muito grande de condições de falta simuladas a quantidade de dados a ser carregada na memória do computador pode ser tão grande que ultrapasse a capacidade instalada de memória RAM da máquina utilizada para os testes.

3.6 Modelagem do problema de Alocação Ótima de MQEE

O problema é modelado através de uma programação inteira multiobjetivo, onde é desejado ao mesmo tempo reduzir o número de medidores requeridos para monitoração do SEP em avaliação e maximizar a identificação única de faltas no sistema elétrico, que é o mesmo que minimizar as simetrias.

Se houver um conjunto de medidores instalados de tal forma que eles consigam diferenciar uma condição de defeito de todas as demais, essa falha é dita unicamente identificável. Esse conceito é chamado Identificação Única de Evento.

A variável de decisão sobre a identificação única de um evento é 𝑦_𝑒, que é uma variável binária, onde para um evento 𝑒 qualquer essa variável assume “1” caso ele for unicamente identificável, ou “0” caso contrário. A Equação (1) ilustra esse conceito:

𝑦_𝑒 = {1, 0,

𝑠𝑒 𝑜 𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑒 𝑓𝑜𝑟 𝑢𝑛𝑖𝑐𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑓𝑖𝑐á𝑣𝑒𝑙

𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜 (1)

O sistema de monitoramento é construído com base na variável binária 𝑥_𝑖, que representa a decisão de instalação de um monitor em uma determinada barra 𝑖, de acordo com a Eq. (2):

𝑥_𝑖= {1, 0,

𝑠𝑒 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑢𝑚 𝑚𝑜𝑛𝑖𝑡𝑜𝑟 𝑖𝑛𝑠𝑡𝑎𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑛𝑎 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 𝑖

Um parâmetro importante a ser definido é o 𝜎_𝑖𝑒,𝑒̅, que contém informação sobre a simetria de dois eventos diferentes com relação a uma barra da rede. Dados dois eventos 𝑒 e

(36)

𝑒̅ e uma barra 𝑖, esta variável assume o valor “1” caso esses dois eventos não sejam simétricos em relação a essa barra, como mostra a Eq. (3):

𝜎_𝑖𝑒,𝑒̅ = {1, 0,

𝑠𝑒 𝑜𝑠 𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑒, 𝑒̅ 𝑛ã𝑜 𝑠ã𝑜 𝑠𝑖𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑜𝑠 𝑒𝑚 𝑟𝑒𝑙𝑎çã𝑜 à 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 𝑖

Para descrever a informação sobre as VTCDs produzidas nas barras do SEP se faz uso do parâmetro 𝜆𝑖𝑒, que especifica se um evento 𝑒 gera uma VTCD em uma barra 𝑖

considerada. Esta definição pode ser expressa através da Eq. (4):

𝜆_𝑖𝑒 = {1, 0,

𝑠𝑒 𝑜 𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑧 𝑉𝑇𝐶𝐷 𝑛𝑎 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 𝑖

A descrição completa do problema em forma de programação linear inteira (PLI) é dada pelas Equações (5-10), onde as Equações (5) e (6) representam as duas funções objetivo do problema de otimização e as Equações (7-10) apresentam as restrições para a alocação dos monitores.

Obj1: max ∑ 𝑦_𝑒 𝑒∈𝐸 (5) Obj2: 𝑚𝑖𝑛 ∑ 𝑥𝑖 𝑖∈𝐼 (6) sujeito a: ∑ 𝜎𝑖𝑒,𝑒̅𝑥𝑖≥ 𝑦𝑒 ∀𝑒, 𝑒̅ ∈ 𝐸, 𝑒 ≠ 𝑒̅ 𝑖∈𝐼 (7) ∑ 𝜆_𝑖𝑒𝑥𝑖 ≥ 1 𝑖∈𝐼 ∀𝑒 ∈ 𝐸 ₍₈₎ 𝑦_𝑒 ∈ {0,1} ∀𝑒 ∈ 𝐸 (9) 𝑥𝑖 ∈ {0,1} ∀𝑖 ∈ 𝐼 (10)

A Equação (5) apresenta o primeiro objetivo do método proposto, que é maximizar o número de eventos identificados unicamente. Este número é obtido ao se efetuar a soma dos conteúdos das variáveis de decisão 𝑦𝑒 considerando todos os eventos passíveis de

ocorrência no sistema.

Para que uma condição de defeito seja identificada unicamente é necessário que haja a “quebra de simetria” com todos os demais eventos. Isto é conseguido através da instalação de um medidor em uma barra onde não exista simetria no par de condições de falha considerado. Essa restrição é descrita matematicamente através da Eq. (7), que deve ser

(37)

verdade para todos os eventos 𝑒 e 𝑒̅ do conjunto E, contendo todas as faltas simuladas. De acordo com as definições de 𝜎_𝑖𝑒,𝑒̅ e 𝑥_𝑖 o produto 𝜎_𝑖𝑒,𝑒̅𝑥_𝑖 terá valor unitário somente se os eventos 𝑒 e 𝑒̅ não forem simétricos com relação à barra 𝑖 e se houver um medidor instalado nesta barra. Este fato é suficiente para quebrar a simetria (caso exista) entre esses dois eventos. Então, essa restrição determina que para a variável 𝑦𝑒 assumir o valor “1” é preciso

que pelo menos um destes produtos seja unitário considerando todas as barras 𝑖 do conjunto 𝐼 de barras do SEP.

Essa modelagem também propõe a redução do número de medidores requeridos para a monitoração completa da rede. Essa função objetivo está representa na Eq. (6), que visa minimizar a soma dos conteúdos das variáveis de decisão 𝑥_𝑖 associados a cada barra do sistema.

A restrição de Observabilidade está contida na Eq. (8), que diz que o sistema de monitoramento deve garantir a Observabilidade de todos os eventos considerados. O produto 𝜆_𝑖𝑒𝑥_𝑖 nesta equação indica que um monitor instalado na barra 𝑖 é sensibilizado pela VTCD produzida pelo evento 𝑒 quando 𝜆𝑖𝑒𝑥𝑖 vale “1”. Dessa forma, a soma desses produtos

considerando todas as barras ser maior que “1” é o mesmo que garantir que essa condição de falta seja “vista” por pelo menos um medidor.

Para completar o conjunto de restrições do modelo as Equações (9) e (10) definem os domínios das variáveis de decisão binárias 𝑦𝑒 e 𝑥𝑖.

3.7 Método de solução utilizado

O modelo proposto foi resolvido de forma exata através do Algorithm for Bicriteria Discrete Optimization (ABCDO). Esse algoritmo é aplicável a problemas de otimização discreta com dois objetivos e consegue obter todas as soluções do conjunto fronteira eficiente (SAYIN; KOUVELIS, 2005).

O método ABCDO realiza uma busca guiada pela atualização dos pesos associados às funções objetivo do problema. Esses pesos definem intervalos de busca no espaço solução que vão sendo inspecionados até que todas as soluções sejam obtidas. O algoritmo é descrito nos passos a seguir.

(38)

Algoritmo: ABCDO (SAYIN; KOUVELIS, 2005) entrada: 𝜃

saída: 𝐿𝑒

1 início 2 inicialize 𝜃

3 resolva os problemas 𝑃𝑤 e 𝑄𝑤 para 𝑤 = 𝜃 e 𝑤 = 1 − 𝜃

4 inicialize a lista de intervalos 𝐿 = {[𝜃, 1 − 𝜃]}

5 inicialize a lista de soluções 𝐿𝑒= {𝑥𝜃, 𝑥1−𝜃}, obtidas em 3

6 enquanto 𝐿 ≠ {} faça

7 escolha 𝐼 ∈ 𝐿 e 𝐼𝑒∈ 𝐿𝑒 e retire-os de suas listas

8 atualize o valor de 𝑤 e resolva os problemas 𝑃𝑤 e 𝑄𝑤

9 se uma nova solução for encontrada então 10 divida 𝐼 em dois intervalos e adicione-os à 𝐿 11 adicione a nova solução à 𝐿𝑒

12 senão

13 reduza o intervalo 𝐼 e adicione-o à 𝐿 se sua amplitude for maior que 𝜃 14 fim

15 fim 16 fim 17 retorna 𝐿𝑒

Os pesos para as duas funções objetivo são definidos a partir da variável 𝑤, definida no intervalo (0, 1). Ela é inicializada com uma constante 𝜃 de valor muito pequeno (Passo 2), definindo assim o intervalo inicial de busca 𝑊₀ = [𝜃, 1 − 𝜃], que é adicionado a uma lista de intervalos a serem sondados pelo algoritmo (Passo 4).

Em seguida os dois subproblemas 𝑃_𝑤 e 𝑄_𝑤 são resolvidos para os valores de 𝑤 correspondentes aos extremos do intervalo inicial (Passo 3). A Eq. (11) define o subproblema 𝑃𝑤, enquanto as Equações (12-14) definem o subproblema 𝑄𝑤.

O conjunto 𝑋 presente nas Equações (11-12) representa todas as soluções factíveis para o problema original. As funções 𝑓₁(𝑥) e 𝑓₂(𝑥) são as duas funções objetivo do modelo proposto. A resolução desses dois subproblemas fornece uma solução que pertence ao conjunto pareto ótimo, sendo adicionada à lista de soluções eficientes 𝐿𝑒 (Passo 5).

(39)

𝑃_𝑤:

𝑧𝑃𝑤 = min_𝑥∈𝑋max (𝑤𝑓₁(𝑥), (1 − 𝑤)𝑓₂(𝑥)) ₍₁₁₎

𝑄_𝑤: 𝑧𝑄𝑤 = min_𝑥∈𝑋(𝑓₁(𝑥) + 𝑓₂(𝑥)) ₍₁₂₎

sujeito a: 𝑤𝑓₁(𝑥) ≤ 𝑧𝑃𝑤 ₍₁₃₎

(1 − 𝑤)𝑓₂(𝑥) ≤ 𝑧𝑃𝑤 ₍₁₄₎

O algoritmo então retira um intervalo 𝐼 da lista (Passo 7) e resolve novamente os subproblemas 𝑃_𝑤 e 𝑄𝑤 com o valor atualizado de 𝑤 (Passo 8), que é dado por uma

combinação convexa dos limites do intervalo que está sendo analisado, ponderado pelos valores das soluções referentes à esses limites (SAYIN; KOUVELIS, 2005).

Caso a solução desses subproblemas seja nova o intervalo 𝐼 é particionado e dois novos intervalos são gerados e adicionados à lista 𝐿 (Passo 10). A solução obtida é adicionada ao conjunto atual das soluções eficientes (Passo 11). Caso contrário, o intervalo inspecionado é reduzido e o novo intervalo é adicionado à lista de intervalos a serem analisados caso a sua dimensão seja maior que o valor de 𝜃 (Passo 13). O algoritmo continua o loop até que toda a lista de inspeção seja percorrida.

(40)

4 SISTEMAS TESTADOS

A metodologia proposta nesse trabalho, assim como o modelo de PI, foram aplicados em diversas redes testes, as quais foram divididas em dois grupos. O primeiro deles corresponde a redes usuais largamente utilizadas na literatura, os sistemas teste IEEE. Os dados foram retirados de (BARAN; WU, 1989; CHRISTIE, 1993). O segundo grupo compreende redes extraídas do sistema de transmissão brasileiro, propostas por Alves (2007).7

4.1 Sistemas Teste IEEE

Esses sistemas teste são os sistemas de 14 barras, 30 barras, 57 barras e um de 63 barras construído a partir do sistema de 30 barras adicionando uma rede de distribuição de 13,8 kV em uma das barras de carga.

4.1.1 Sistema Teste IEEE de 14 barras

Esta rede contém duas unidades geradoras instaladas nas barras 1 e 2 (Figura 5), e três condensadores síncronos nas barras 3, 6 e 8. Esse sistema contém 15 linhas e 3 transformadores, sendo 1 deles de 3 enrolamentos.8

7_{Os dados dessas redes podem ser encontrados no endereço <http://www.sistemas-teste.com.br>.} 8_{Os dados utilizados no programa de análise de curto-circuito estão no Apêndice D-1.1.}

(41)

Figura 5: Diagrama unifilar da rede teste IEEE de 14 barras. C C G C G 1 2 5 3 4 7 9 8 6 12 13 11 ₁₀ 14 132 kV 33 kV 11 kV 132 kV 33 kV Fonte: Do autor.

Esse sistema contém 2 geradores síncronos nas barras 1 e 2, e 4 condensadores síncronos (barras 5, 8, 11 e 13). Possui 4 transformadores de 2 enrolamentos e 1 transformador de 3 enrolamentos.9 Um total de 34 linhas interligam o sistema de 30 barras, assim como mostra a Figura 6.

(42)

Figura 6: Diagrama unifilar da rede teste IEEE 30 barras. C C G C G 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 132 kV 33 kV 11 kV 11 kV 132 kV 33 kV 132 kV 33 kV C Fonte: Do autor.

(43)

Esse sistema possui um total de 17 transformadores e 63 linhas interligando todas as 57 barras, das quais 7 delas são barras de geração.10

4.1.4 Sistema Teste de 63 barras

Esse sistema foi construído a partir da união do sistema de 30 barras IEEE com o sistema radial de 32 barras proposto por Baran e Wu (1989). Essa parte de distribuição foi adicionada na barra 8 do sistema de 30 barras, assim como ilustra a Figura 7. Um transformador de 2 enrolamentos abaixa a tensão de 132 kV para 13,8 kV. Ao todo existem 6 transformadores e 66 linhas nessa rede.11

10_{Os dados para o cálculo de curto-circuito podem ser encontrados no Apêndice D-1.3 dessa monografia.} 11_{Os dados para a análise de curto-circuito dessa rede estão no Apêndice D-1.4.}

(44)

Figura 7: Diagrama unifilar para a rede teste de 63 barras. C C G C G 1 2 3 4 5 6 7 8 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 132 kV 33 kV 11 kV 11 kV 132 kV 33 kV 132 kV 33 kV 33 32 34 36 35 38 37 39 41 40 43 44 42 46 45 48 47 49 51 52 50 57 59 60 58 61 63 62 54 55 53 56 31 132 kV 13.8 kV C 9 Fonte: Do autor.

4.2 Sistemas Teste Brasileiro

Esse conjunto de sistemas teste utilizado compreende um sistema de 9 barras, 16 barras, 33 barras, 65 barras e 107 barras. Todos eles serão descritos nessa subseção.

(45)

Esse sistema contém duas usinas geradoras ligadas às barras 1 e 2, como mostra a Figura 8. Dois transformadores elevam a tensão de 13,8 kV para 230 kV, e um total de 8 linhas transmitem a energia gerada para as barras de carga. Os dados para o estudo de curto-circuito foram retirados de (ALVES, 2007) e são apresentados no Apêndice D-2.1.

Figura 8: Diagrama unifilar do Sistema Teste de Transmissão Brasileiro de 9 barras.

G G 1 2 5 3 4 7 9 8 6 230 kV 13,8 kV 230 kV 13,8 kV Fonte: Do autor.

(46)

Essa rede teste possui dois geradores síncronos instalados nas barras 1 e 16, e um condensador síncrono na barra 9 para controle de tensão, assim como 3 reatores e 1 capacitor (Figura 9). Transformadores elevam o nível de tensão das usinas de 13,8 kV para a malha de transmissão, que opera em dois níveis: 230 kV e 345 kV. Dois transformadores fazem o intercâmbio entre as duas áreas e um terceiro reduz o nível de tensão para uma barra de carga. No total 6 transformadores e 14 linhas interligam o sistema, das quais 4 são linhas paralelas.12

Fonte: ALVES, 2007.

(47)

Esse sistema tem 7 usinas geradoras conectadas à malha de transmissão por meio de 7 transformadores elevadores, como pode ser visto na Figura 10. Dois transformadores fazem a conexão das áreas de 500 kV e 230 kV, e outros 7 interligam barras de carga, totalizando 16 transformadores na rede. Um total de 26 linhas complementam a interligação do sistema de 33 barras, sendo 3 dessas linhas paralelas.13

(48)

Esse sistema teste compreende o sistema de 33 barras (chamado de área Sul) com mais algumas linhas, e uma porção da malha de 500 kV, chamada área Sudeste (Figura 11). São 14 usinas gerando energia para os dois subsistemas e um condensador síncrono ligado na subestação de Ibiúna, que funciona como um ponto de controle entre as duas áreas. Esse sistema teste contém 53 linhas, das quais 8 delas correspondem à trechos paralelos.14

Esse sistema teste compreende o sistema de 65 barras acrescido da malha de transmissão em 345 kV na região Sudeste e da área Mato Grosso, a qual possui alguns pontos

(49)

com topologia radial, como mostra a Figura 12. No total 104 linhas interligam todo o sistema de 107 barras, contendo dentre elas 23 linhas paralelas.15

(50)

5 INSTÂNCIAS RESULTANTES DA ANÁLISE DE CURTO-CIRCUITO

Nesta seção são descritas todas as instâncias geradas para o programa de otimização. Essas instâncias correspondem às matrizes de Observabilidade e de Simetrias produzidas como saída das simulações de VTCDs ao longo das redes testadas.

De acordo com as características das condições de falta consideradas durante as simulações podem ser geradas várias instâncias diferentes para uma mesma rede estudada, ou seja, várias matrizes de observabilidade e simetria diferentes.

Nesse trabalho, quanto ao tipo de falta foram considerados todos eles (trifásico, bifásico-terra, bifásico e monofásico-terra), de forma a se aproximar mais da realidade. Quanto ao valor da impedância do local de falta foram considerados 5 valores distribuídos de forma linear em uma faixa. A distância de simulação dos curtos (local de falta) foi variada a fim de se avaliar a influência desse parâmetro no tamanho da instância e na quantidade de simetrias da MS resultante. A sensibilidade quanto a esses dois últimos parâmetros da condição de falta foi estudada para a rede de 30 barras do IEEE.

5.1 Instâncias para a rede teste IEEE de 30 barras

Inicialmente foi alterada a faixa dos valores da impedância de falta, começando em valores entre 1 e 5 Ω indo até 50 Ω. Para esses testes a distância de simulação dos curtos foi fixada em 10 % do comprimento dos trechos. Os resultados obtidos estão resumidos no Quadro 1.

A quantidade total de condições de falta simuladas não varia, visto que a quantidade dos parâmetros que influenciam esse número também não varia: 4 tipos de curtos, 5 valores de impedância de defeito, 10 pontos de falta por trecho e 34 linhas presentes na rede de 30 barras. Porém, a Matriz de Observabilidade e consequentemente a Matriz de Simetrias possuem uma dimensão reduzida, devido ao processo de se retirar as linhas e colunas redundantes. Para o caso da impedância de falta variando entre 1 a 5 Ω das 6.800 condições de falta simuladas ficam restando apenas 179, e das 30 barras restam 26. Para essa rede teste a barra 9 foi eliminada manualmente da matriz por se tratar de uma barra fictícia que representa

(51)

o ponto do meio do transformador de 3 enrolamentos no modelo Y equivalente. Essa barra não foi mostrada nas colunas apagadas da Quadro 1.

Quadro 1: Comparação dos resultados obtidos para testes de simulação de condições de falta na rede teste IEEE

de 30 barras para várias faixas de valores de impedância de falta, simulando os curtos-circuitos sempre a cada 10 % do comprimento de cada trecho.

Condições de Falta Simuladas Dimensão da MS Colunas Apagadas Número de Pares Simétricos 1 a 5 Ω 6.800 179x26 26, 29 e 30 967 1 a 10 Ω 6.800 173x26 26, 29 e 30 879 1 a 20 Ω 6.800 185x29 nenhuma 1229 1 a 30 Ω 6.800 174x29 nenhuma 1133 1 a 40 Ω 6.800 148x29 nenhuma 1000 1 a 50 Ω 6.800 135x29 nenhuma 912 Fonte: Do autor.

A quantidade de grupos de condições de falta simétricas está contabilizada na última coluna do Quadro 1. Naturalmente esse número está diretamente ligado à dimensão da MS e é maior na faixa de 1 a 20 Ω. Essa faixa foi fixada e resolveu-se variar o parâmetro que determina os locais de falta simulados. Foram simuladas condições de falta a 10, 5 e 2 % do comprimento de cada trecho, como mostra o Quadro 2.

Quadro 2: Comparação dos resultados obtidos dos testes de simulação de condições de falta na rede teste IEEE

de 30 barras ao se variar a distância de simulação dos curtos-circuitos, fixando a faixa para a impedância de falta em 1-20 Ω.

Condições de

Falta Simuladas Dimensão da MS

Número de Pares Simétricos 10 % 6.800 185x29 1229 5 % 13.600 209x29 1470 2 % 34.000 229x29 1572 Fonte: Do autor.

Dessa vez a quantidade de condições de falta variou, pois, à medida que se reduz a distância dos curtos o número final de condições simuladas aumenta. É importante observar que todas as 6.800 condições de falta para o caso de 10 % estão contidas no conjunto de condições para 5 e 2 %, pelo fato do número 10 ser múltiplo dos demais.