UNIVERSIDADE ANHANGUERA DE SÃO PAULO CRISLAINE APARECIDA RIBEIRO SALOMÃO

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UNIVERSIDADE ANHANGUERA DE SÃO PAULO

CRISLAINE APARECIDA RIBEIRO SALOMÃO

A PASSAGEM DE TEXTOS EM LÍNGUA MATERNA PARA

EXPRESSÕES ARITMÉTICAS, MEDIADA PELO USO DE UMA

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MESTRADO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA

A PASSAGEM DE TEXTOS EM LÍNGUA MATERNA PARA

EXPRESSÕES ARITMÉTICAS, MEDIADA PELO USO DE UMA

CALCULADORA

Dissertação apresentada à banca examinadora da Universidade Anhanguera, de São Paulo, como exigência parcial para a obtenção do título de Mestre em Educação Matemática, sob a orientação da Professora Doutora Vera Helena Giusti de Souza.

São Paulo

2013

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Autorizo, para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total ou parcial desta dissertação por processos de fotocopiadoras ou eletrônicos.

Assinatura: __________________________________________________________

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"Mestre não é quem sempre ensina, mas quem de repente aprende.”

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Dedico meu trabalho a Deus, ao

meu esposo Caio, minha filha Ana

Julia e meus familiares, que

estiveram sempre ao meu lado.

Obrigada a todos pelo apoio, por

confiarem em mim e me ajudarem

para que eu concretizasse mais

um sonho.

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para poder vencer mais uma etapa da minha vida.

À Professora Doutora Vera Helena Giusti de Souza, agradeço pela orientação dedicada e pelo constante estímulo em todas as fases de realização deste trabalho.

Às Professoras Doutoras Verônica Gitirana, Maria Helena Palma de Oliveira e Angélica da Fontoura Garcia Silva, pelas valiosas contribuições dadas no Exame de Qualificação e na Defesa, e que muito enriqueceram esta pesquisa.

Às Professoras Doutoras Rosana N. de Lima, Verônica Y. Kataoka e Maria Elisa E. L. Galvão, pelas sugestões dadas durante as aulas de Atividade de Pesquisa e a todos os outros professores do Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática da Universidade Anhanguera de São Paulo, por repartirem suas experiências.

À CAPES, pela Bolsa de Estudos fornecida.

Aos meus amigos de Mestrado: Patrícia, Renata, Maria Helena, Caroline e Edmar, pelos momentos de alegria, tristeza, incentivo e sugestões, que possibilitaram o aprimoramento deste trabalho.

Em especial, agradeço ao meu esposo Caio, que me entendeu e ajudou na elaboração das tabelas e com a leitura dos textos, estando sempre ao meu lado, dando-me apoio e incentivo, para que eu alcançasse os objetivos por mim almejados.

À minha filha Ana Julia, que apesar de ter apenas três anos de idade, compreendeu os muitos momentos que ficou sem minha presença, para eu pudesse me dedicar aos estudos.

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Ao meu pai Roberto (in memorian), à minha mãe Marlene e à minha avó Josefa, que me ajudaram nos momentos mais difíceis que passei, incentivando sempre meus estudos.

À minha irmã Dayane, que ajudou a elaborar os quadros e fez a leitura do texto, sempre me incentivando a concluir esta dissertação, muito obrigada pela amizade e pelo amor.

Aos meus tios (as), primos (as), aos meus sogros, cunhados (as) por tudo que fizeram por mim, pela dedicação, carinho e amizade.

A todos os colegas de trabalho, que de alguma maneira, sempre me incentivaram, passando confiança para que fosse possível terminar este trabalho, em especial Denise Gomes, Elaine Moral, Silvana Cortada, Simone Santoro e Thatiana Pineda.

À Universidade, pela oportunidade de desenvolver meu trabalho junto aos alunos do curso de Pedagogia, pela disponibilidade e seriedade na realização das atividades.

É com grande honra que agradeço a participação da professora Myriam Tay, que colaborou com as correções e sugestões para a finalização deste texto.

E a todos que direta, ou indiretamente, contribuíram para a realização deste estudo. A todos vocês, muito obrigada!

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aritméticas, mediada pelo uso de uma calculadora. 2013. 171f. Dissertação de Mestrado – Pós Graduação Stricto Senso Educação Matemática, Universidade Anhanguera de São Paulo, São Paulo, 2013.

Colocou-se como objetivos desta pesquisa trazer à tona a discussão das regras de resolução de expressões aritméticas, por sua importância na passagem entre um problema aritmético proposto em língua materna, a respectiva expressão aritmética e vice-versa; e, mostrar uma abordagem possível para o uso de uma calculadora, como instrumento de aprendizagem e não somente, como verificador de resultados numéricos. Para alcançar esses objetivos, fez-se uma intervenção junto a 32 alunos do último semestre de um Curso de Pedagogia de uma universidade particular de São Paulo, para responder às seguintes questões de pesquisa: “Que concepções trazem os alunos de Pedagogia sobre essas regras?”, “Eles percebem a importância dessas regras na passagem de um problema proposto em língua materna para a respectiva expressão aritmética e vice-versa?”, “A utilização de uma calculadora simples pode auxiliar na passagem de problemas aritméticos propostos em textos verbais para as respectivas expressões aritméticas, e vice–versa?”. Buscou-se o embasamento teórico nas ideias de Lev S. Vygotsky sobre a Zona de Desenvolvimento Proximal (ZDP), na Teoria dos Registros Semióticos de Representação de Raymond Duval e nos estudos de Pierre Rabardel, sobre a importância da mediação na transformação de um artefato em instrumento. A pesquisa foi desenvolvida em três etapas: um questionário de perfil dos sujeitos da pesquisa, individual; uma atividade escrita, desenvolvida em duplas, acompanhadas por observadores neutros, em que se permitiu e estimulou o uso de uma calculadora; um debate coletivo, áudio gravado, com a discussão de algumas questões e respectivas resoluções, surgidas nos protocolos obtidos com a atividade. Com as análises do questionário, das observações escritas, da áudio-gravação e dos protocolos, pode-se concluir que, no grupo pesquisado, os processos de mediação próprios da ZDP não ocorreu de modo satisfatório e todos os sujeitos mostraram dificuldades para fazer a conversão de uma expressão aritmética para um problema em língua materna. Durante a atividade, usaram a calculadora apenas, como artefato, para conferir ou obter alguns resultados numéricos e não perceberam o potencial uso dela como instrumento de ensino na passagem de um problema proposto em língua materna para uma expressão aritmética e vice-versa, embora, no questionário de perfil, alguns tenham dado a entender que a calculadora poderia e deveria ser usada em sala de aula, como instrumento. Deixa-se como sugestão, para futuras pesquisas em Educação Matemática e para cursos de formação inicial de professores do Ensino Fundamental I, a elaboração de abordagens de ensino que propiciem a aprendizagem da conversão entre problemas aritméticos propostos em língua materna e respectivas expressões numéricas e do uso de uma calculadora como instrumento de ensino em sala de aula de Matemática, bem como estimulem a mediação entre os sujeitos, como forma de vivenciar a ZDP.

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aritméticas, mediada pelo uso de uma calculadora. 2013. 171f. Dissertação de Mestrado – Pós Graduação Stricto Senso Educação Matemática, Universidade Anhanguera de São Paulo, São Paulo, 2013.

It was developed a research study aiming to bring into light a discussion about the rules to solve arithmetic expressions, taking into account its importance to transform an arithmetic problem, given in natural language, in an arithmetic expression, and the other way around; also give an example of a possible approach for using a calculator, as an instrument for apprenticeship, beyond its use to verify numerical results. In order to achieve such aims, it was done an intervention with thirty two last year students from a Pedagogy Preservice Training Course, in São Paulo, Brasil, to answer the following research questions: “Which conceptions they have in relationship with those rules?”; “They have perceived the role of those rules in the conversion between natural language arithmetic problems and respective arithmetic expressions and vice-versa?”; “May the use of a simple calculator help the conversion between natural language arithmetic problems and respective arithmetic expressions and vice-versa?”. The chosen theoretical framework was Lev S. Vigotsky´s ideas of Zone of Proximal Development, Raymond Duval´s Semiotic Representation Registers Theory and Pierre Rabardel´s Instrumental Theory, about the importance of mediation when one want to transform an artifact in instrument. The research was developed in three steps: an individual subjects profile´s questionnaire; a written activity, developed in couples, accompanied by neutral observers, in which we permit and stimulate using a calculator; a general discussion, with some questions and responses given in the couples activity´s protocols. This discussion was audio recorded and the tapes translated. Questionnaires, activity´s protocols, written observations and translated records were analyzed and it was possible to conclude that, with this group, Zone of Proximal Development mediation processes did not evolve in all couples satisfactorily and all the subjects have shown difficulty in order to convert an arithmetic expression into a written problem. During the activity, they have used the calculator just as an artifact, to check or to obtain numerical results, and they did not perceive its potential use as a teaching instrument in helping the conversion between an arithmetic verbal problem and the respective arithmetic expression and vice-versa, although their positive opinion, given in the questionnaire, about its use in classrooms. Based on these results, it is wise to suggest, for further researches in Mathematics Education and for Pedagogy Preservice Training Courses, to explore teaching approaches that may propitiate the apprenticeship of the conversion between arithmetic problems, proposed in natural language, and respective arithmetic expressions and the use of a calculator as a teaching instrument in Mathematics classrooms. Also, in those Courses, to stimulate mediation among the subjects, as a way to develop the processes known as Zone of Proximal Development.

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Lista de Quadros

Quadro 1: Representações e Registros de Duval ... 45

Quadro 2: Faixa etária... 60

Quadro 3: Formação escolar ... 61

Quadro 4: Ano de conclusão do Ensino Médio ... 61

Quadro 5: Expressões aritméticas e suas regras ... 63

Quadro 6: Importância de ensinar expressões aritméticas ... 64

Quadro 7: Utilização da calculadora ... 66

Quadro 8: Uso da calculadora no cotidiano ... 67

Quadro 9: Leciona ... 68

Quadro 10: Qual sua profissão e se nela, utiliza calculadora ... 70

Quadro 11: Contribuição do uso da calculadora ... 71

Quadro 12: Resposta da questão 11 ... 74

Quadro 13: Duplas formadas para a atividade. ... 76

Quadro 14: Respostas das questões 1, 2 e 3 da (12N,18N) ... 78

Quadro 15: Respostas das questões 4 e 5 da (12N,18N) ... 78

Quadro 16: Análise do enunciado da (12N,18N) pela (11N,14N) ... 80

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Quadro 28: Análise do enunciado de (1N,22N) por (3N,15N) ... 91

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INTRODUÇÃO ... 16

CAPÍTULO 1: JUSTIFICATIVA ... 20

1.2 Objetivos e Questões de Pesquisa ... 24

CAPÍTULO 2: REVISÃO DE LITERATURA ... 25

CAPÍTULO 3: CONSIDERAÇÕES TEÓRICAS ... 39

3.1 Ideias de Lev S. Vygotsky – Zona de Desenvolvimento Proximal ... 39

3.2 Estudos de Pierre Rabardel ... 42

3.3 Teoria dos Registros de Representação Semiótica de Raymond Duval .... 44

3.4 As Regras de Prevalência Operatória ... 47

CAPÍTULO 4: CONSIDERAÇÕES METODOLÓGICAS ... 49

4.2 O questionário ... 51

4. 3 Análise preliminar da atividade ... 55

CAPÍTULO 5: ANÁLISE DE DADOS ... 60

5.1 Análise das respostas dadas ao questionário de perfil ... 60

5.2 Análise dos protocolos e das observações ... 77

5.2.1 Análise por dupla ... 77

5.3 Análise do debate coletivo ... 114

5.4 Conclusões ... 120

CAPÍTULO 6: CONSIDERAÇÕES FINAIS ... 125

6.1 Respostas às questões de pesquisa ... 125

6.2 Considerações finais ... 129

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Apêndice B - ATIVIDADE EM DUPLA ... 139

Apêndice C – RELATÓRIO DE OBSERVAÇÃO ... 143

Apêndice D - TRANSCRIÇÃO DO DEBATE COLETIVO ... 145

ANEXOS ... 168

Anexo A - TERMO DE CONSENTIMENTO LIVRE E ESCLARECIDO ... 168

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INTRODUÇÃO

Considerei importante, nesta introdução, escrever um pouco sobre minha trajetória acadêmica. Em 2001, entrei no curso de Bacharelado e Licenciatura em Matemática, aprendi a gostar desta disciplina - da qual tantos têm medo - e a dedicar meu tempo para estudá-la. Em 2005, ao retirar meu histórico escolar de graduação, encontrei o professor de Estatística que falou sobre a Especialização em Educação Matemática e comecei a ver uma oportunidade para estudar o assunto. Para receber o título de Especialista em Educação Matemática, desenvolvi a monografia “As dificuldades relacionadas às equações de 1º e 2º grau”, na qual, em um capítulo, discuti uma proposta para utilizar jogos em sala de aula. Naquela época ainda não lecionava e somente em 2007, tive oportunidade de fazê-lo como eventual1 na escola pública estadual, mas era difícil entrar em aulas de Matemática ou de Física. Em outubro de 2007, o professor de Física tirou licença-prêmio e fiquei com as aulas até o final do ano. Fazia o que gostava e me empenhava em trazer problemas do cotidiano, o que fez com que esses alunos começassem a gostar e a participar. No ano seguinte, continuei como eventual e tive algumas salas de apoio de Matemática, nas quais utilizava novos recursos, como jogos e a calculadora, para deixar as aulas mais motivadoras.

Desde 2009, leciono em um Curso Superior de Pedagogia a disciplina “Metodologia do Ensino de Matemática”, que tem por objetivo abordar:

conteúdos de Matemática dos anos iniciais do Ensino Fundamental e da Educação Infantil, para atender as necessidades de formação do professor, possibilitando-lhes o acesso às diversas concepções sobre a Matemática, a sua aprendizagem e principais métodos2_. Em cada semestre letivo, tenho encontrado muitas dificuldades dos alunos ao trabalhar com “Expressões aritméticas com números naturais e a conversão do texto em língua materna para expressões aritméticas e vice-versa” que, da convivência com eles em sala de aula, parecem estar relacionadas ao desconhecimento ou ao

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descumprimento das regras de resolução de tais expressões, chamadas por Arrais (2006) de “prevalência operatória”3. São elas: 1. Em relação aos sinais separadores que aparecem numa expressão, resolver parênteses, colchetes e chaves, nesta ordem; 2. Em relação às operações envolvidas, resolver “multiplicações” e “adições”, nesta ordem. Nossa hipótese é que estas dificuldades podem estar ligadas a pelo menos três fatores: eles não tiveram este conteúdo na própria Educação Básica; não as apreenderam corretamente; não as consideraram importantes (e por isso, as esqueceram ou não as cumprem).

Considero que o professor do Ensino Fundamental deve conhecer as regras e valorizá-las, pois são conteúdos que irão ensinar e que terão aplicações futuras para grande parte dos estudantes, na passagem de textos em palavras para expressões aritméticas, como parte integrante da “arte de resolver problemas”. No ensino de Matemática, segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais (1997), “Um problema matemático é uma situação que demanda a realização de uma sequência de ações ou operações para obter um resultado. Ou seja, a solução não está disponível de início, no entanto é possível construí-la”. (1997, p. 44).

Em 2011, prestei o processo seletivo para o Mestrado em Educação Matemática da Universidade Anhanguera de São Paulo, (na época, Universidade Bandeirante de São Paulo – UNIBAN), pois decidi que devo estudar e pesquisar uma forma de discutir com alunos de Pedagogia a passagem do texto em palavras para expressões aritméticas, porque fazem parte importante da aprendizagem em Matemática; as regras de prevalência operatória, porque depende delas o sucesso nessa passagem; e o uso de uma calculadora, em sala de aula, como uma ferramenta que pode ser útil na verificação de resultados e, consequentemente, na correção de caminhos e resultados e não só como facilitadora de operações básicas.

3_{Usamos a expressão “prevalência operatória” para designar as regras que regem a resolução de} expressões matemáticas numéricas, tais como: primeiro multiplicações e divisões, depois adições e subtrações e similares, baseando-nos nas ideias de Arrais (2006).

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Escolhi realizar uma intervenção junto a um grupo de alunos formandos de um Curso de Pedagogia, em três etapas. Na primeira, pedi que preenchessem um questionário de perfil, aplicado individualmente, com questões que me dessem uma ideia da faixa etária e, principalmente, das concepções que têm sobre as regras de resolução de expressões aritméticas e sobre o uso de uma calculadora em sala de aula de Matemática, do Ensino Fundamental I. Na segunda etapa, apliquei uma atividade para duplas de alunos, que foram acompanhadas por observadores neutros, com questões que podem ser resolvidas com a ajuda de uma calculadora e que envolvem a resolução de expressões aritméticas, a passagem de um problema aritmético para a respectiva expressão e a passagem de uma expressão aritmética para um problema que pode ser resolvido por esta expressão. Na terceira e última etapa, realizei um debate coletivo, que foi áudio-gravado, com uma discussão sobre questões e resoluções apresentadas pelas duplas na atividade.

Este texto é o resultado desse estudo e dessa pesquisa, e o estruturei em seis capítulos. No Capítulo 1, apresento uma justificativa para este trabalho, baseada em outras pesquisas da área, nos Parâmetros Curriculares Nacionais e na Proposta Curricular do Estado de São Paulo. Ao final do Capítulo 1, coloco os objetivos que pretendi alcançar e as questões de pesquisa, as quais respondi no final deste trabalho.

No Capítulo 2, descrevo as leituras que realizei para formar a revisão de literatura, com o objetivo de situar minha pesquisa no contexto da Educação Matemática.

No Capítulo 3, apresento as considerações teóricas utilizadas, baseadas nas ideias de Vygotsky (1988) sobre a Zona de Desenvolvimento Proximal (ZDP), para a atividade em duplas e para o debate coletivo; na Teoria dos Registros de Representação Semiótica (DUVAL, 2009), para evidenciar e colocar em discussão a passagem entre um texto verbal e a respectiva expressão aritmética e vice-versa (que Duval chama de conversão) e as regras de prevalência operatória (que estão associadas ao que Duval chama de tratamento); e na teoria da instrumentação de Rabardel (1995), sobre a transformação de um artefato em instrumento que foi

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usada, neste caso, para evidenciar e colocar em discussão um trabalho não trivial que pode ser feito com a calculadora, em sala de aula.

No Capítulo 4, descrevo os procedimentos metodológicos usados no desenvolvimento da pesquisa, que pode ser caracterizada como uma intervenção, com análise qualitativa dos dados. Dele, constam o que chamei de análise didática dos dois instrumentos de pesquisa - o questionário de perfil e a atividade – que fiz antes de aplicá-los, para deixar claros os objetivos de cada pergunta do questionário e de cada questão da atividade.

No Capítulo 5, apresento a análise dos protocolos obtidos com o questionário e com a atividade para a qual também, considerei as observações escritas feitas pelos observadores das duplas e análise das discussões do debate coletivo.

O Capítulo 6 é dedicado às conclusões - nas quais constam as respostas às questões de pesquisa - e às considerações finais, com uma análise do percurso da pesquisa como um todo – inclusive, pontos que considerei positivos e aqueles que considerei negativos - e questões que surgiram ao longo do percurso e que podem ser respondidas com futuras pesquisas na área de Educação Matemática.

Encerro o texto com as referências utilizadas durante a pesquisa, os apêndices A, B, C e D, nos quais coloquei, respectivamente, as questões do questionário de perfil, as questões da atividade, o relatório de observação e a transcrição da áudio-gravação do debate coletivo e os anexos A e B, nos quais coloquei o Termo de Consentimento Livre e Esclarecido (TCLE) e o parecer da Comissão de Ética da Universidade Anhanguera de São Paulo (na época Universidade Bandeirante de São Paulo – UNIBAN).

Espero que esta pesquisa contribua para o avanço de estudos na área de Educação Matemática, no que se refere à aprendizagem das expressões aritméticas, sua relação com a resolução de problemas aritméticos e ao uso de uma calculadora em sala de aula, não só como um artefato motivador ou conferidor de resultados numéricos.

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CAPÍTULO 1: JUSTIFICATIVA

1.1 Introdução

Como mestranda do Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática da Universidade Anhanguera de São Paulo, iniciamos nossa pesquisa procurando documentos e pesquisas que tenham preocupações similares às nossas. Entre eles, encontramos a dissertação de Arrais (2006), os Parâmetros Curriculares Nacionais4 (1997) e as Orientações Curriculares de São Paulo (2008).

Arrais (2006) desenvolveu um trabalho diagnóstico para identificar e analisar crenças, concepções e competências que professores polivalentes têm ao ensinar expressões aritméticas com números naturais. Ao final do trabalho, Arrais (2006) deixou uma sugestão para futuras pesquisas.

Uma vez que estudamos, nesse trabalho as crenças, concepções e competências dos futuros professores polivalentes com relação às expressões aritméticas, torna-se imperioso agora, estudar intervenções de ensino que as tornem carregadas de significado. (ARRAIS, 2006, p. 156)

A ideia de trabalhar com expressões aritméticas interessou-nos e motivou-nos, numa abordagem que pudesse dar-lhes um significado que consideramos muito importante, que é a aplicação na resolução de problemas dados em língua materna. Esta aplicação depende fortemente, do uso correto das regras que Arrais (2006) chama de “prevalência operatória”, porque são elas que regem a resolução das expressões e também, a passagem do texto verbal para a respectiva expressão aritmética.

Para colocar em prática tal abordagem, com uma turma de alunos de Pedagogia, optamos por fazer uma intervenção, em duas etapas: na primeira, para resolver um conjunto de questões, nas quais sugerimos, mas não impomos o uso de uma calculadora; e na segunda, um debate geral, com todos os sujeitos.

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Optamos pelo uso da calculadora, porque consideramos importante como possível mediadora de ensino em geral e, particularmente, no caso da verificação da coerência entre as expressões aritméticas e os enunciados de problemas aritméticos em língua materna. Por exemplo, com uma calculadora que – permita a colocação de expressões inteiras - e que já existem, inclusive, em aparelhos celulares - com parênteses, colchetes e chaves, para depois, dar o valor da expressão. O sujeito, neste caso, pode usá-la para comprovar resultados obtidos com papel e lápis e, assim, comprovar o uso, correto ou não, das regras de prevalência operatória. Como mediadora de ensino, encontramos reforço para esta ideia em Rego (1995, p. 51): “Vygotsky que procura analisar a função mediadora presente nos instrumentos elaborados para a realização da atividade humana. O instrumento é provocador de mudanças externas, pois amplia a possibilidade de intervenção na natureza” e nos PCN (1997, p. 46)

[...] é fato que o acesso a calculadoras, computadores e outros elementos tecnológicos já é uma realidade para parte significativa da população. A calculadora pode ser usada como um instrumento motivador na realização de tarefas exploratórias e de investigação é também um recurso para a verificação de resultados, correção de erros, podendo ser um valioso instrumento de autoavaliação.

Como observamos anteriormente, vemos abordagens interessantes que podem ser feitas com a mediação de uma calculadora, no caso da resolução de problemas aritméticos, em sala de aula de Matemática do Ensino Fundamental I. Por exemplo, por meio de tarefas exploratórias que permitam que os alunos investiguem e verifiquem resultados obtidos com papel e lápis.

O debate em sala de aula, como uma forma de explorar a aprendizagem, pela mediação entre as partes, num processo que Vygotsky (1988) chamou de Zona de Desenvolvimento Proximal (ZDP), com um grupo de alunos de Pedagogia e para provocar a discussão sobre a importância das regras na passagem de problemas aritméticos, propostos em textos verbais para expressões aritméticas, pois como futuros professores, espera-se que trabalhem essa passagem, com alunos dos anos iniciais Ensino Fundamental e, segundo Vygotsky (1988), uma criança deve ter o primeiro contato com novas atividades, com a participação de um adulto e o ensino

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deve se antecipar ao que o sujeito não sabe e nem é capaz de aprender sozinho, uma vez que “o que a criança pode fazer hoje com o auxilio dos adultos poderá fazê-lo amanhã por si só”. (VYGOSTKY, 1988, p.113, apud PALANGANA, 2001, p. 129). Encontramos respaldo para nossas ideias nos PCN (1997) e nas Orientações Curriculares do Estado de São Paulo (2008), que apontam pontos importantes para o uso da calculadora e das expressões em sala de aula, bem como nas ideias de Duval, expressas na Teoria dos Registros de Representação Semiótica (DUVAL, 2009), que defende o trabalho em sala de aula, provocado pelo professor, da passagem entre um problema proposto em língua materna e a respectiva expressão aritmética. Sobre esta teoria, colocamos mais detalhes no nosso capítulo de considerações teóricas (ver p. 44).

Segundo a Orientação Curricular do Estado de São Paulo (2008), “ao final da 3ª série do ciclo I, (atual 4º ano) os alunos deverão ser capazes de: interpretar e resolver situações-problema, compreendendo diferentes significados das operações envolvendo números naturais”. (SÃO PAULO, 2008, p. 26), atendendo assim um dos objetivos gerais que são colocados nesse documento para o ensino do ciclo I (atuais 2o ao 5o ano).

resolver situações-problema a partir da interpretação de enunciados, desenvolvendo procedimentos para planejar, executar e checar soluções para comunicar resultados e compará-los com outros, validando ou não os procedimentos e as soluções encontradas. (SÃO PAULO, 2008, p. 24)

Nos Parâmetros Curriculares Nacionais (1997) consta que a resolução de problemas é um caminho que a Matemática vem discutindo nos últimos anos: “Um problema matemático é uma situação que demanda a realização de uma sequência de ações ou operações para obter um resultado. Ou seja, a solução não está disponível de início, no entanto é possível construí-la”. (1997, p. 44).

Com relação à calculadora, os PCN (1997) a colocam como um recurso para auxiliar nas aulas de Matemática:

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[...] um instrumento que pode contribuir para a melhoria do ensino da Matemática. A justificativa para essa visão é o fato de que ela pode ser usada como um instrumento motivador na realização de tarefas exploratórias e de investigação. (PCN, 1997, p. 46)

Nesse âmbito, sugerimos utilizar os problemas aritméticos para que o aluno interprete, planeje e construa sua solução e a calculadora como mediadora desse trabalho da passagem do texto em língua materna para a expressão aritmética, não só para verificar resultados numéricos, mas também, e principalmente, para discutir com os colegas acertos e erros, pois “[...] a calculadora pode ser utilizada como um recurso didático, tanto para que o aluno analise resultados que lhe são apresentados, como para controlar e corrigir sua própria produção” (PCN, 1997, p. 83) ou ainda para “análise de situações de cálculo para identificar a operação realizada e testar hipóteses usando a calculadora” (Orientações Curriculares do Estado de São Paulo, 2008, p. 29).

Nosso objetivo maior, portanto, é que o professor do Ensino Fundamental I – egresso de um Curso de Pedagogia – tenha competência para incentivar seus alunos a desenvolverem a capacidade de ler um problema matemático em texto verbal, passá-lo para a expressão aritmética correspondente e resolvê-lo, tanto com como sem o uso de uma calculadora.

Como podemos observar, as expressões aritméticas estão ligadas à resolução de problemas, pois o aluno precisa interpretar um texto em língua materna para depois, realizar a passagem para uma expressão aritmética e, daí, resolver o problema inicialmente proposto. Isso demanda um conhecimento que “pressupõe que o aluno elabore um ou vários procedimentos de resolução”. (PCN, 1997, p. 44). Para desenvolver este conhecimento, encontramos respaldo nas ideias da Teoria dos Registros de Representação Semiótica (DUVAL, 2009), mais precisamente, no que Duval chama de conversão e que, segundo ele, não é espontânea nem natural, e precisa ser trabalhada pelo professor, em sala de aula, pois envolve a mudança de sistemas de representação.

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Em nosso capítulo de considerações teóricas (ver p.44), discorremos com mais detalhes as ideias dessa teoria, que usamos para justificar nosso trabalho com a passagem entre um texto em língua materna e uma expressão aritmética que traduza matematicamente esse texto, ou vice-versa.

1.2 Objetivos e Questões de Pesquisa

Colocamos como objetivos de nossa pesquisa: trazer à tona a discussão das regras de resolução de expressões aritméticas, por sua importância na passagem entre um problema aritmético proposto em língua materna e a respectiva expressão aritmética e vice-versa; e mostrar uma abordagem possível para o uso de uma calculadora, como instrumento de aprendizagem e não somente, como verificador de resultados numéricos.

Atingidos estes objetivos, esperamos que alunos de Pedagogia adquiram competências necessárias para incentivar seus alunos a desenvolverem a capacidade de resolver uma expressão aritmética, quando se passa de um problema em língua materna para a respectiva expressão aritmética e vice-versa, utilizando ou não, uma calculadora.

E propusemo-nos a responder as seguintes questões de pesquisa: “Que concepções trazem os alunos de Pedagogia sobre essas regras?”, “Eles percebem a importância dessas regras na passagem de um problema proposto em língua materna para a respectiva expressão aritmética e vice-versa?”, “A utilização de uma calculadora simples pode auxiliar na passagem de problemas aritméticos propostos em textos verbais, para as respectivas expressões aritméticas e vice-versa?”.

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CAPÍTULO 2: REVISÃO DE LITERATURA

No capítulo anterior, colocamos nossa justificativa e o encerramos com nossos objetivos e questões de pesquisa.

Nele, apresentamos as leituras que fizemos de trabalhos de pesquisadores que se preocuparam com qualquer um dos temas que nos motivaram, como expressões aritméticas, a passagem do texto verbal para a respectiva expressão aritmética e o uso da calculadora no curso de Pedagogia. Procuramos documentos e trabalhos de pesquisa que têm (ou tiveram) preocupações similares às nossas e buscamos, nestas leituras, comparar o trabalho a que nos propusemos com o realizado por esses pesquisadores da área Educação Matemática.

Para cada uma das leituras feitas, apresentamos um resumo do texto lido, acompanhado de comentários que o relacionam com nossa pesquisa.

Como já mencionado na introdução (ver p.16), nosso interesse em pesquisar sobre as expressões aritméticas veio da necessidade que sentimos de verificar como poderíamos trabalhar esse assunto num curso de Pedagogia. Com isso, chamou-nos a atenção o trabalho de Arrais (2006), que desenvolveu um estudo diagnóstico para identificar e analisar crenças, concepções e competências de professores polivalentes ao ensinar expressões aritméticas com números naturais. O autor se propôs a responder às seguintes questões:

1a_{- Quais são as crenças e concepções no entendimento dos} professores que ensinam Matemática acerca das expressões aritméticas? E do seu ensino? 2a_{- Que competências possuem os} professores que ensinam Matemática nos 1° e 2° ciclos do ensino fundamental ao lidarem com as expressões aritméticas? (2006, p. 7).

A teoria utilizada foi a dos Campos Conceituais de Vergnaud (1987) e as ideias de Nóvoa (2001) e Ponte (1992), ligadas, respectivamente, à formação de professores em geral e de Matemática, em particular. A pesquisa diagnóstica foi desenvolvida em duas etapas, um estudo piloto e o estudo principal. O estudo piloto

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foi realizado durante um HTPC, com 16 professores, com o objetivo de ajustar o instrumento para o estudo principal, que foi dividido em três partes: perfil, crenças e concepções; e competências, por meio de um questionário que foi aplicado a 70 professores de quatro escolas do Ensino Fundamental da rede Municipal de São Bernardo do Campo. A análise dos dados foi feita de forma qualitativa e quantitativa, com base em três dimensões: 1. A do ensino, com uma pesquisa histórica sobre as expressões aritméticas, olhando o passado, com registros de diários de classe, provas institucionais e a reforma curricular de 1986; e o futuro, com os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) e quatro livros didáticos, utilizados pelos professores; 2. A da pesquisa, em que o autor procurou saber em que pesquisas realizadas na época, colaboraram para o estudo das expressões aritméticas; 3. A dos campos conceituais de VERGNAUD (1987), em que Arrais se baseia para olhar as expressões aritméticas sob a ótica dos campos conceituais.

Os resultados da pesquisa foram: em relação à 1a questão a ser respondida, os professores “acreditam” que a resolução das expressões aritméticas depende de um conjunto de regras que devem ser aplicadas e “concebem” que são cálculos simplesmente, e não modelos matemáticos para representar um problema; em relação à 2a, Arrais (2006) conclui que professores apresentam dificuldades para lidar com expressões que envolvem simultaneamente, estruturas aditivas e multiplicativas e estas são maiores quando se tem uma sentença matemática e se quer criar um problema que seja resolvido por ela.

Ao final do trabalho, Arrais (2006) deixa sugestões para futuras pesquisas e interessamo-nos por uma delas.

Uma vez que estudamos, nesse trabalho as crenças, concepções e competências dos futuros professores polivalentes com relação às expressões aritméticas, torna-se imperioso agora, estudar intervenções de ensino que as tornem carregadas de significado. (ARRAIS, 2006, p. 156)

Desta sugestão de Arrais, veio o interesse em utilizar uma calculadora com alunos do último semestre de um Curso de Pedagogia e preparar uma intervenção.

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Procuramos outras pesquisas em que foi utilizada uma calculadora no curso de Pedagogia e encontramos a de Santos (2010), que explora o possível uso da calculadora nas séries iniciais do Ensino Fundamental, por meio de um trabalho com um grupo de 20 estudantes do último ano de um Curso de Pedagogia de uma universidade particular de São Paulo, com o objetivo de:

investigar quais aspectos estão envolvidos nessa apropriação por professores em formação inicial, e quais conhecimentos entram em jogo nesse complexo processo, buscou-se identificar elementos presentes nos processos de gênese instrumental e em que medida as atividades propostas suscitaram e/ou facilitaram tais processos. (SANTOS, 2010, p.6)

E se propôs a responder às seguintes questões

Qual o potencial de situações de análise, adaptação e experimentação de atividades integrando calculadora na construção de conhecimentos por parte de professores em formação inicial (licenciados em Pedagogia)? Em particular, quais relações podem ser estabelecidas por esses sujeitos entre os diferentes tipos de saberes em jogo? Quais características ou elementos das atividades favorecem a apropriação, pelos sujeitos, das especificidades da ferramenta no plano matemático e didático? (SANTOS, 2010, p. 43).

O estudo, de caráter diagnóstico, foi realizado com um questionário, seguido por um debate sobre a utilização da calculadora, de acordo com os pressupostos de uma engenharia didática que, por envolver adultos em formação num nível universitário, o pesquisador chamou de “engenharia de formação” (SANTOS, 2010, p. 34). O referencial teórico escolhido foi inspirado na abordagem instrumental de Rabardel e Verillon (1995), que se fundamentam no conceito psicológico de instrumento, colocando em evidência o processo mental elaborado pelo sujeito para transformar um artefato em um instrumento de trabalho, tanto para práticas matemáticas quanto para práticas didáticas. Colocamos mais detalhes sobre a teoria de Rabardel (1995) em nosso capítulo de considerações teóricas (ver p.42).

Assim, ao findarmos nosso estudo, acreditamos ter atingido nosso objetivo inicial: enfocar a elaboração de uma engenharia de formação, usando a abordagem instrumental de Rabardel (1995), de tal forma que os envolvidos, professores em formação inicial,

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pudessem vivenciar processos de gênese instrumental nas suas duas dimensões: instrumentação e instrumentalização. A progressiva gênese instrumental promoveu novas relações entre as dimensões do saber segundo Tapan (2006), a medida que as relações entre as licenciadas e a calculadora foram se ampliando. (SANTOS, 2010, p. 104)

Em nossa intervenção, optamos por sugerir, sem obrigar, o uso de uma calculadora, para comparar e verificar a resolução de expressões aritméticas e as regras de prevalência operatória, com o intuito de dar exemplo de um artefato que pode ser usado na prática pedagógica para ser transformado em instrumento auxiliar de trabalho (RABARDEL, 1995), tanto para si mesmo, como para os alunos desses futuros professores do Ensino Fundamental I.

Como prevemos e defendemos o uso de uma calculadora pelos alunos do Ensino Fundamental I, desde os anos iniciais e como os alunos de Pedagogia serão futuros professores desse nível de ensino, interessamo-nos pelo estudo desse instrumento em nossa pesquisa e, por esta razão, pela desenvolvida por Selva e Borba (2010), que trazem como objetivo “subsidiar a discussão sobre o uso de novas tecnologias em particular a calculadora, a partir da análise sobre como a calculadora pode ser um recurso de desenvolvimento dos alunos de anos iniciais [...]” (SELVA e BORBA, 2010, p. 13) e se propõem a responder às seguintes questões: “O uso da calculadora por alunos de anos iniciais inibe o raciocínio das mesmas? Este uso pode impedir avanços matemático futuros? A calculadora pode ser utilizada como um recurso que auxilie o desenvolvimento do raciocínio matemático?” (SELVA e BORBA, 2010, p. 11).

No livro que escreveram “O uso da calculadora nos anos iniciais do ensino fundamental”, as autoras colocam que o propósito, é refletir a respeito das questões acima com “os atores envolvidos, direta e indiretamente, nesse debate – professores, alunos, pais e autores de livros didáticos, responsáveis pela elaboração de propostas curriculares e pesquisadores, entre outros [...]” (SELVA e BORBA, 2010, p. 9) e, assim, contribuir para que a calculadora seja um instrumento útil na sala de aula, pois acreditam que a decisão de propor e elaborar atividades com recursos variados, é do professor, que sempre é o mediador na sala de aula.

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Para saber como os professores se sentem em relação ao uso da calculadora, entrevistaram 40 professores de 4º e 5º anos do Ensino Fundamental das redes particular e pública, e concluíram que eles reconhecem que a vantagem do uso da calculadora aparece: na realização de cálculos; na verificação de resultados; no desenvolvimento do raciocínio lógico; como uma forma viável de resolver problemas; e, ainda, por ser um recurso utilizado no dia a dia das pessoas, não pode deixar de fazer parte das aulas.

Em relação às respostas dadas pelos entrevistados às perguntas: Quais as vantagens do uso da calculadora em sala de aula segundo os professores? E a principal desvantagem? As autoras destacam: “[...] os docentes apontam que esse uso pode levar o aluno a depender da máquina e não se esforçar em realizar corretamente cálculos necessários à resolução de problemas” (SELVA e BORBA, 2010, p. 38) e que “[...] pode enfatizar apenas a resposta de problemas e não o processo de resolução dos mesmos [...]” (SELVA e BORBA, 2010, p. 38) e concluem que é importante ressaltar que a calculadora não “resolve” o problema; não determina a operação nem como ela deve ser digitada no teclado; e nem mesmo, interpreta o resultado obtido. Todas essas tarefas devem ser realizadas pelo aluno, que é o ser pensante na aprendizagem; e que, portanto, atribuir o papel de pensar à calculadora, nos parece um grande equívoco.

No capítulo “usando a calculadora em sala de aula”, as autoras propõem diferentes tipos de atividades com o uso deste recurso: jogos; conferência de resultados; comparação de diferentes formas de procedimentos e estratégias na resolução de problemas; utilização da ideia da tecla quebrada para que as crianças achem novas possibilidades para resolver um problema; uso com expressões matemáticas; exploração e discussão do cálculo mental.

Podemos analisar como o trabalho com expressões matemáticas envolvendo as quatro operações pode ser estimulado usando-se a calculadora. Neste caso, além de se explorar o teclado da calculadora, o aluno é solicitado a resolver cálculos e conferir a

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importância da existência dos parênteses, dos colchetes e das chaves5

. (SELVA e BORBA, 2010, p. 60)

Em nossa pesquisa, quisemos trabalhar exatamente esta importância, que é colocada em prática pelas regras de prevalência operatória, para elaborar ou resolver uma expressão aritmética, seja na calculadora ou no papel e lápis e, principalmente, na passagem de problemas propostos em língua materna para a respectiva expressão matemática ou vive-versa, “[...], pois outra convenção matemática estabelece que primeiro sejam resolvidas as multiplicações e as divisões, e depois as adições e as subtrações [...]” (SELVA e BORBA, 2010, p. 61).

Com o exemplo a seguir, Selva e Borba (2010) colocam em discussão as regras necessárias para resolver as expressões: “a professora vai ao quadro e coloca: 16 + 4 x 4 : 16 = ?. Alguns alunos encontram 5 e outros 17 como resultado”. (2010, p. 62). Neste caso, a professora explora como acharam o 17 e o 5 e os alunos podem aprender a utilização e a importância das regras. “[...] As crianças ao trabalharem com a calculadora, também vão rediscutindo as regras das expressões numéricas, percebendo que se infringirem algumas dessas regras, o resultado não será correto [...]” (2010, p. 63).

O fato de uma calculadora enriquecer os processos de ensino e de aprendizagem não deixa de lado a importância do uso do papel e do lápis, que permitem que o aluno acompanhe os passos de uma resolução: “[...] a calculadora apenas opera o que foi digitado, mas quem resolve o que vai ser operado, quem define os passos a serem seguidos, a estratégia de resolução, é o seu utilizador [...]” (SELVA E BORBA, 2010, p. 110)

As autoras encerram o trabalho sugerindo:

[...] a elaboração de uma proposta pedagógica da escola em relação ao uso das tecnologias que perpasse todos os níveis e modalidades de ensino, para que o uso das ferramentas tecnológicas não fique à mercê da decisão de um ou de outro professor e que não tenha uma continuidade ao longo do percurso escolar do estudante [...] (SELVA e BORBA, 2010, p. 113)

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Esse trabalho justifica o nosso, em relação à utilização da calculadora na resolução de expressões aritméticas, como um instrumento para enriquecer a discussão de seu uso; e o fato que os sujeitos têm de analisar a expressão antes de digitá-la, a estratégia de quais são as regras e sua utilização, é do aluno.

Ainda na direção de utilizar uma calculadora com nossos sujeitos, encontramos a dissertação de Rubio (2003), “Uso didático da calculadora no ensino fundamental: possibilidades e desafios”, que teve como objetivo “discutir a possibilidade da calculadora, enquanto recurso didático, para as aulas de matemática do Ensino Fundamental” (2003, p. 108). A pesquisa foi realizada numa 4ª série (atual 5º ano) do Ensino Fundamental da cidade de Pompéia, São Paulo, para responder à seguinte questão: “Quais as possibilidades e os desafios encontrados para a introdução da calculadora, como recurso didático, nas aulas de Matemática do Ensino Fundamental?”. (2003, p. 7)

Rubio (2003) aplicou um conjunto de atividades, que iniciam com a história da calculadora e passam por questões de reconhecimento das funções dadas pelas teclas da máquina - com o objetivo de familiarizar os alunos – e de exploração da tecla de memória. Realizou também, uma atividade do tipo “adicionando e subtraindo” e outras com a calculadora “quebrada” e a resolução de problemas. O autor encerra afirmando que:

o uso da calculadora nas aulas de matemática não se encerra em “fazer contas”, é necessário discutir e formular situações que favoreçam o uso da calculadora enquanto recurso didático para atividades que proporcionem ao aluno o debate, o pensar, a resolução de problemas, o raciocínio e o desafio [...]. (RUBIO, 2003, p. 108 – 109)

Esta pesquisa contribuiu com a nossa por ter concluído que o uso da calculadora em sala de aula não resolve tudo, o aluno tem de saber como usar esse recurso. Os professores desses alunos, então, devem estar preparados, não só para utilizar o instrumento como tê-lo instrumentalizado. Além disso, consideramos importante que alunos de Pedagogia conheçam as regras de “prevalência

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operatória” e a calculadora é um artefato que pode ser usado para comparar resultados e trazer à tona a importância do uso das regras, em Matemática.

Como nosso tema envolve as regras de resolução de expressões aritméticas, que Duval (1995) chama de tratamento, e pretendemos trabalhar a passagem de problemas propostos em língua materna para expressões aritméticas e vice-versa, que Duval (1995) chama de conversão, foi importante a leitura da dissertação de Silva (2009), que coloca o assunto das expressões com a utilização do jogo Contig 60®, para “[...] investigar a apropriação da expressão numérica por alunos de 5ª série (atual 6º ano) do Ensino Fundamental, a partir de conversões de Registros de Representação Semiótica” (2009, p. 9). Silva usou alguns pressupostos da Engenharia Didática (ARTIGUE, 1996) com o jogo Contig 60® como ferramenta, “pois ele tem como característica desenvolver o raciocínio e estimular questionamento” (2009, p. 9). A análise dos dados obtidos por ela foi qualitativa, para responder à seguinte questão de pesquisa: “Alunos da 5ª série do Ensino Fundamental articulam diferentes Registros de Representação Semiótica para as expressões numéricas após intervenção com o jogo Contig 60®?” (SILVA, 2009, p. 37).

Segundo esta pesquisadora (2009, p. 15), “consideramos tão importante o ensino das expressões numéricas na 5ª série do Ensino Fundamental, como a busca por um instrumento que auxilie no processo de ensino e aprendizagem desse conteúdo [...]”. Na busca por um instrumento, a pesquisadora opta por trabalhar com um jogo para despertar o interesse e a aprendizagem dos alunos ao ensinar as expressões aritméticas.

O estudo de Silva (2009) foi realizado primeiro com 12 professores do Ciclo I, em três sessões realizadas durante o Horário de Trabalho Coletivo Pedagógico (HTPC), nas quais a autora procurou observar se conseguiam “resolver atividades que envolvam as expressões numéricas com a realização de tratamentos e conversões, sem a necessidade de recorrer a um conjunto de regras para resolver as situações-problema, tendo como um dos instrumentos o jogo”. (SILVA, 2009, p. 79). O foco não eram os professores e a pesquisa propriamente dita foi realizada

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com 24 alunos da 5ª série (atual 6º ano) de uma escola estadual da cidade de São Paulo, com os quais aplicou o jogo. Com as análises a priori (das questões propostas) e a posteriori (dos protocolos obtidos durante as atividades realizadas), a autora conclui que, após a intervenção com o jogo, os sujeitos começaram a aprimorar o conhecimento em relação às expressões e passaram a utilizá-las como uma ferramenta para modelar um problema.

Dentre todas as leituras que realizamos, o trabalho de Silva (2009) foi o que consideramos mais próximo do nosso, pois a pesquisadora trabalhou com expressões aritméticas e usou a Teoria dos Registros de Representação Semiótica (DUVAL, 2005), embora nosso instrumento seja uma calculadora e não tenhamos tornado seu uso obrigatório. Silva (2009), assim como nós, preocupou-se em colocar em discussão a importância das regras que permitem passar de problemas aritméticos propostos em textos verbais para as respectivas expressões e vice-versa e coloca o jogo Contig 60® como um recurso para tal, trabalhando diretamente, com um grupo de alunos. Acreditamos que nossos sujeitos, futuros professores, podem perceber a calculadora como um recurso de verificação ou um auxiliar na autoavaliação, no caso da resolução de problemas.

Outra pesquisa que consideramos neste estudo foi a de Guinther (2009), que desenvolveu um trabalho com o objetivo de analisar o desempenho de alunos do 7º ano do Ensino Fundamental de uma escola estadual de Osasco, São Paulo, em jogos matemáticos, envolvendo o uso da calculadora, com a seguinte questão de pesquisa:

quais estratégias pedagógicas, considerando o uso da calculadora simples em sala de aula, podem tornar mais eficiente a percepção dos erros cometidos na manipulação de estruturas aditivas e multiplicativas entre alunos do Ensino Fundamental? (2009, p. 18)

Como fundamentação teórica, Guinther (2009) baseou-se nas pesquisas de Penteado (2001), Rubio (2003), Borba (2005), Schiffl (2006), Borba et al (2008) e Sampaio e Leite (2008), que defendem o uso da calculadora como mediadora. Para o recurso aos jogos, baseou-se na pesquisa de Grando (1995, 2000); e os autores

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Bianchini (2001), Cunha (2002), Fonseca (2005), Bonanno (2007) e Rasi (2009) para estratégias utilizadas com números decimais e as estruturas aditivas e multiplicativas.

Este estudo constituiu-se como uma pesquisa interventiva, com análise qualitativa dos dados e teve como instrumentos dois jogos matemáticos: maze e hex da multiplicação. Participaram 32 alunos, divididos em 16 grupos de dois que, em ambos os jogos, trabalharam sem a calculadora e registraram os resultados da dupla em uma folha de atividades. A calculadora foi utilizada posteriormente, para que os alunos verificassem os erros encontrados nestas folhas, o que deu início a um novo jogo. Assim, os alunos tiveram a chance de verificar os cálculos e os erros cometidos durante ambos os jogos.

Com os dados das entrevistas realizadas, Guinther (2009) percebeu “que alguns alunos verbalizam mais do que escrevem, e que o recurso à calculadora facilitou verificar os resultados errados que sem sua utilização acreditavam estar corretos”. (GUINTHER, 2009, p. 157)

A análise dos dados coletados nos aponta que, a prática docente da matemática ganha novos horizontes com o auxílio dos jogos e da calculadora, podendo facilitar aos professores nas suas tarefas de promover um ensino mais significativo da matemática e dos alunos uma visão diferente do uso da calculadora em sala de aula. (GUINTHER, 2009, p. 9)

O autor encerra seu estudo afirmando que acredita:

[...] que a prática docente da matemática ganhou novos horizontes com o auxilio da calculadora, facilitando ao professor na sua tarefa de promover um ensino mais significativo da matemática e para os alunos uma visão diferente do uso da calculadora em sala de aula. (GUINTHER, 2009, p. 159)

Como este autor coloca, acreditamos também que a calculadora pode ser usada como uma “verificadora do uso, correto ou não” de regras matemáticas de resolução de expressões aritméticas, o que irá permitir uma análise qualitativa das resoluções e respostas obtidas. Esperamos que este instrumento seja motivador

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para nossos sujeitos trabalharem em sala de aula, de forma que os alunos tenham uma visão diferente do que seja resolver uma expressão aritmética ou obtê-la a partir de um texto em língua materna ou vice–versa.

Para a continuação das ideias do nosso trabalho, fizemos a leitura da pesquisa desenvolvida por Melo (2008), “A prática do professor de Matemática permeada pelo uso de uma calculadora”, em que foram realizadas entrevistas com professores de Matemática do Ensino Fundamental e Médio das redes pública e particular do estado de São Paulo, com o objetivo de “entender como acontece a utilização ou não da calculadora, em sala de aula, e compreender a visão dos pesquisadores que aprofundaram seus estudos sobre o assunto” (2008, p. 7).

O autor coloca as seguintes questões de pesquisa:

a calculadora tem-se apresentado como um instrumento facilitador do processo de aprendizagem dos alunos? A calculadora pode ou não fazer com que o aluno desperte para outras propriedades, que sem ela não seriam observadas? Problemas ou atividades contextualizadas no dia-a-dia do aluno, com o uso da calculadora, poderiam mesmo ser mais interessantes, fazendo com que, ao livrar-se de cálculos enfadonhos, o aluno deslivrar-se mais atenção aos processos de sua resolução? (MELO, 2008, p. 18)

E conclui que a calculadora “[...] é usada como motivação para a realização de tarefas exploratórias e de investigação, a correção de erros, a verificação de resultados, a autoavaliação e como recurso na resolução de situações desafiadoras pelo aluno [...]” (MELO, 2008, p. 7).

Acreditamos que a calculadora pode auxiliar nos procedimentos dos cálculos e que o professor deve buscar problemas desafiadores para que o aluno utilize seu raciocínio, pois concordamos com Melo (2008, p. 109) que: “[...] o uso da calculadora não se resume a fazer contas, o professor deve preparar atividades que proporcionem o debate, o raciocínio, a resolução e o desafio.” Muitos acreditam que a calculadora não pode ser utilizada em sala de aula, mas a discussão que iniciamos pode abrir um debate sobre o assunto e mostrar que, com a devida preparação, é um desafio que pode ser superado e que os professores podem usá-la de forma a proporcionar, por meio dela, uma boa interação entre o aluno e a Matemática.

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Após todas essas leituras, sentimos necessidade de realizar uma que colaborasse com a nossa pesquisa no que se refere à passagem dos textos em língua materna para as expressões aritméticas. Feio (2009), em sua Dissertação de Mestrado em Ciências e Matemática com o título Matemática e Linguagem: um enfoque na conversão da língua natural para a linguagem matemática”, coloca como objetivo “identificar e analisar quais as possíveis dificuldades advindas da linguagem que alunos enfrentam na conversão da língua natural para a linguagem matemática” (2009, p. 10), com a seguinte questão: “Quais as dificuldades que os alunos enfrentam na conversão da língua natural para a linguagem matemática?.” (FEIO, 2009, p. 22)

Feio (2009) utilizou como embasamento teórico o tratamento e a conversão de registros (DUVAL, 1995), o conceito de significado ligado à filosofia da linguagem (WITTGENSTEIN, 1991) e significações do aspecto formal da linguagem matemática (GRANGER, 1975). A pesquisa, de caráter diagnóstico, foi realizada com alunos de 1ª e 3ª séries do Ensino Médio de duas escolas públicas da cidade de Belém e os dados analisados foram os protocolos dos alunos de quatro turmas - duas com atividades não padrão (outro professor) e duas com provas bimestrais (ele mesmo) – e anotações de entrevistas com esses alunos.

O autor conclui que é importante que o professor trabalhe em sala de aula a Matemática e a linguagem, o que reforça nossa ideia de explorar a passagem de textos em língua materna para expressões aritméticas e analisar a importância das regras de prevalência operatória na interpretação dos sujeitos de uma expressão aritmética.

A leitura da dissertação de Watabe (2012), que desenvolveu seu trabalho com o objetivo de analisar as características da resolução de problemas matemáticos no 4º ano do Ensino Fundamental de uma escola municipal da cidade de São Paulo, com a seguinte questão de pesquisa: “Quais são as possibilidades e dificuldades de um grupo de estudantes do 4º ano do Ensino Fundamental, ao resolver problemas?” (WATABE, 2012, p. 18), foi importante para reforçar nossa ideia de explorar a conversão entre um problema aritmético proposto em língua materna para a

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respectiva expressão, com o possível uso de uma calculadora, para mostrar uma alternativa de trabalho em sala de aula, para a resolução de problemas em Matemática.

Watabe (2012) usou como fundamentação teórica a Teoria dos Campos Conceituais (VERGNAUD, 1996) e os estudos de Vigotski (2010) com a Zona de Desenvolvimento Proximal: “tomamos como referência autores que defendem a visão de leitura como interação entre o leitor e o texto, como Keneth Goodman, Angela Kleiman e Isabel Solé” (WATABE, 2012, p. 19).

Esse estudo seguiu os parâmetros da pesquisa qualitativa, pois os dados foram coletados diretamente, no ambiente da sala de aula, com 26 sujeitos do 4º ano do Ensino Fundamental.

Foram analisados a partir de entrevistas, questionários, observação das interações que ocorreram na sala de aula, que terão registros – dos alunos e das observações realizadas pela pesquisadora, e em vídeos. Essas formas de registro permitiram traduzir com maior qualidade a trajetória da produção dos alunos. A análise do processo de interação aluno/aluno e aluno/professor foi relevante para se entender o desempenho dos alunos. (WATABE, 2012, p. 62)

A pesquisadora aplicou um questionário com o objetivo de levantar as seguintes informações: a participação nas aulas, a relação com a Matemática e o hábito de leitura. Fez uma entrevista com o professor, com o objetivo de obter dados em relação à sua formação, como planeja as aulas de Matemática e quais as dificuldades apresentadas pelos alunos; e aplicou atividades aos sujeitos com questões baseadas em provas do Saresp, Brasil e da Cidade, como também, questões elaboradas pela autora da pesquisa.

A pesquisa foi realizada em três etapas: na primeira, foi feita a entrevista com a professora e aplicado o questionário aos sujeitos; na segunda, foi aplicada a atividade a todos os sujeitos individualmente; e na terceira, participaram apenas três duplas, com os sujeitos agrupados de acordo com os diferentes conhecimentos, para verificar o efeito da ZDP.

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quanto ao processo de leitura que influenciou na resolução de problemas, foi observado que poucos alunos apoiaram-se nas palavras-chave para selecionar a operação pertinente à resolução do problema. Os resultados apontam que as estratégias de leitura também parecem ter implicação no entendimento do enunciado de problemas. A análise cujo foco foi o uso da linguagem na interação confirma a importância deste aspecto para a criação da Zona de Desenvolvimento Proximal e para a aprendizagem decorrente da interação nesse espaço de ação na prática de ensino. (WATABE, 2012, p. 08)

Como colocado pela autora, acreditamos na importância do trabalho que considera aspectos da ZDP (Zona de Desenvolvimento Proximal) de Vigotski (2010) para a discussão dos sujeitos e a interação entre eles, em relação a um tema estudado que, no nosso caso, envolve a tomada de consciência sobre a importância das regras de resolução de expressões aritméticas, tanto na resolução como para a passagem de textos verbais às respectivas expressões aritméticas. Se um dos sujeitos da dupla conhece as regras, pode ajudar o outro a entendê-las e utilizá-las, convencendo-o dessa importância para fazer uma Matemática mais interessante e dinâmica.

De acordo com nossos objetivos, nossas questões de pesquisa e as leituras acima realizadas, esperamos que alunos de Pedagogia adquiram competências necessárias para incentivar seus alunos a desenvolverem a capacidade de resolver uma expressão aritmética, quando se passa de um problema em língua materna para a respectiva expressão aritmética e vice-versa, utilizando ou não, uma calculadora.

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CAPÍTULO 3: CONSIDERAÇÕES TEÓRICAS

No capítulo anterior, apresentamos leituras que contribuíram para direcionar e justificar nossa pesquisa. Neste, vamos discorrer sobre as considerações teóricas que orientaram a elaboração das atividades e a análise, tanto dos protocolos como da áudio-gravação e da discussão geral que desenvolvemos com o grupo. Como são teorias conhecidas e bem elaboradas, não pretendemos explicá-las nem reescrevê-las, mas sim, relatar as ideias que nos interessaram.

Para o trabalho com uma turma de Pedagogia e para as discussões, tanto nas duplas como com o grupo todo, apoiamo-nos nas ideias de Vygotsky (1988) sobre a Zona de Desenvolvimento Proximal (ZDP), nos estudos de Rabardel (1995) e na Teoria dos Registros de Representação Semiótica de Duval (2009).

Procuramos, por meio de alguns exemplos, extraídos destes textos e de outras leituras, esclarecer os pressupostos teóricos que auxiliaram a concepção das atividades envolvidas em nossa pesquisa e que irão nos auxiliar no processo de análise.

3.1 Ideias de Lev S. Vygotsky – Zona de Desenvolvimento Proximal

Muitos aspectos envolvem o desenvolvimento integral da criança e as concepções de ensino e de aprendizagem sócio-construtivistas que valorizam o trabalho com objetivos definidos e com embasamento teórico, pois a criança aprende por meio da interação. Vygotsky (1988), por meio dos seus estudos, afirma que se a criança estiver em um ambiente que proporcione condições de aprendizado, vai se desenvolver muito bem e que esse aprendizado só vai ocorrer, se houver uma intermediação, por parte do professor, dos pais, de outra criança ou de qualquer outra pessoa mais experiente na tarefa. A criança, como ser social que é, tem um aprendizado que acontece de fora para dentro, ou seja, a partir de ambientes de aprendizagem, nos quais os conflitos são enfrentados pelo grupo. Alunos de Pedagogia devem estar preparados para proporcionar essas condições de ensino, para que os alunos deles possam desenvolver uma aprendizagem com a

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construção de novos conhecimentos, pois, segundo Vygotsky, “o nível de desenvolvimento real amanhã - ou seja, aquilo que uma criança pode fazer com assistência hoje, ela será capaz de fazer sozinha amanhã”. (VYGOTSKY, 1991, p. 58).

Para definir e explicar como ocorre essa mediação, um dos conceitos apresentados por Vygotsky - e que consideramos importante para nossa pesquisa - é o de Zona de Desenvolvimento Proximal (ZDP) que, segundo ele, é a distância entre o nível de desenvolvimento real, determinado pela capacidade de resolver um problema sem ajuda, e o nível de desenvolvimento potencial, determinado pela resolução de um problema, sob a orientação de uma pessoa mais experiente. (VYGOTSKY, 1991, p. 57)

Nessa perspectiva, é de extrema importância conhecer e valorizar os saberes, os conhecimentos, a cultura e as habilidades de cada aluno para obter êxito no ensino. Dessa forma, tanto professor como alunos irão ampliar o campo de conhecimentos, uma vez que o aluno traz para a escola seus saberes, que o professor poderá e deverá aprimorar e enriquecer. “[...] considerar sempre a relação entre o desenvolvimento real já alcançado pela criança e o nível de seu desenvolvimento próximo; só assim a intervenção do educador provoca o aprendizado [...]” (CARRARA, 2004, p. 145).

Nessa direção, usamos a calculadora, com os alunos de Pedagogia, como uma forma de trabalhar conceitos e abordagens, com esses futuros professores, que proporcionem condições para que possam utilizá-los em suas salas de aula e porque acreditamos que ela pode mediar a passagem da língua materna para a resolução de expressões aritméticas, assunto que consideramos importante para ser trabalhado no Ensino Fundamental I. Nossa visão é corroborada pelas ideias de Vygotsky que:

acredita que as possibilidades de ensino não podem ser definidas a partir de condições de aprendizagens manifestadas pelas crianças, ou seja, com base naquilo que estas podem resolver sozinhas. Para equacionar essa problemática, ele propõe um segundo nível de desenvolvimento que se refere às aprendizagens realizáveis