existˆ
encia implicada de ´
orbitas peri´
odicas e
uma caracteriza¸
c˜
ao dinˆ
amica do toro s´
olido.
Andr´e Vanderlinde da Silva
Tese apresentada
ao
Instituto de Matem´
atica e Estat´ıstica
da
Universidade de S˜
ao Paulo
para
obtenc
¸˜
ao do t´ıtulo
de
Doutor em Ciˆ
encias
Programa: Matem´atica
Orientador: Prof. Dr. Pedro Antonio Santoro Salom˜ao
Coorientador: Prof. Dr. Umberto Leone Hryniewicz
Durante o desenvolvimento deste trabalho o autor recebeu aux´ılio financeiro da FAPESP - N´umero do processo: 2010/08364-3.
existˆ
encia implicada de ´
orbitas peri´
odicas e
uma caracteriza¸
c˜
ao dinˆ
amica do toro s´
olido.
Esta ´e a vers˜ao original da tese elaborada pelo candidato Andr´e Vanderlinde da Silva, tal como submetida `a Comiss˜ao Julgadora.
Agradecimentos
`
A minha namorada Ariana, pelo apoio, incentivo, compreens˜ao e, sobretudo, paciˆencia durante estes quatro anos. As nossas conversas e a sua companhia foram fundamentais.
Aos meus pais, Antonio e Ede, pelo encoragamento e palavras de apoio desde o in´ıcio dos meus estudos. Sem esta base, eu n˜ao teria chegado aqui.
Ao Professor Pedro Antonio Santoro Salom˜ao, meu orientador, pela paciˆencia com que sempre respondeu minhas d´uvidas, mesmo as mais banais, pela disponibilidade e prestatividade, por apresentar uma ´area t˜ao interessante e motivadora e sugerir futuros problemas de pesquisa. Ao Professor Umberto Leone Hryniewicz, meu co-orientador, pela hospitalidade durante a minha estada na UFRJ e sugest˜oes de problemas para o doutorado e pesquisas posteriores.
Aos meus professores, em especial, Celso Melchiades Doria, Edson de Faria, Eliezer Martins, Geraldo Moretto, Ivan Pontual Costa e Silva, Marcelo Marcus Veiga, Nelson Hein, Tˆania Baier, Vera Pessoa e Walker Teles Walter, por serem exemplos de trabalho e decisivos na escolha e permanˆencia na vida acadˆemica.
Aos meus amigos, Adriana Koch, Bruno Leonardo Macedo Ferreira, Bruno Ropelato, Bruno Tadeu da Costa, Calisto Jos´e Sevegnani, Cl´ovis Reis J´unior, Daiane Koling, Diego Koling, Fabiano Carlos Cidral, Fernanda Rocha, Gustavo de Lima Prado, Heloisa Patr´ıcio, Leandro Augusto Lichtenfelz, Leonardo Garcia dos Santos, Marcio Ropelato, Naiara Vergian de Paulo, Thiago Krieger.
`
A FAPESP pelo apoio financeiro atrav´es do processo n´umero: 2010/08364-3. Este aux´ılio foi fundamental para o desenvolvimento e conclus˜ao deste trabalho.
Resumo
SILVA, A. V. Sobre fluxos de Reeb tri-dimensionais: existˆencia implicada de ´orbitas peri´odicas e uma caracteriza¸c˜ao dinˆamica do toro s´olido. 2014. 204 f. Tese (Doutorado) - Instituto de Matem´atica e Estat´ıstica, Universidade de S˜ao Paulo, S˜ao Paulo, 2014.
Neste trabalho, estudamos a dinˆamica de Reeb associada a uma forma de contato tight λ definida numa 3-variedade compacta e conexa M satisfazendo c1
π2(M )(ξ = ker λ) ≡ 0.
Su-pondo que M seja fechada e exista uma ´orbita fechada L do fluxo de Reeb que ´e p-n´o trivial, p ∈ Z∗
+, cujos n´umeros de auto-enla¸camento e de rota¸c˜ao transversal satisfazem,
respectiva-mente, sl(L) = −1 p e ρ(L
p) < 1, verificamos que existe uma ´orbita fechada de Reeb ¯P
geome-tricamente distinta de L e n˜ao-enla¸cada em L satisfazendo ρ( ¯P ) = 1. Provamos tamb´em que se M ´e uma 3-variedade cujo bordo ´e difeomorfo ao toro T2 e invariante pelo fluxo de Reeb, que
n˜ao existem ´orbitas fechadas contidas em ∂M e o fluxo de Reeb possui uma ´orbita fechada L que ´e um p-n´o trivial, p ∈ Z∗+, satisfazendo ρ(Lp) < 1 e sl(L) =−1
p, ent˜ao existe uma ´orbita
fechada ¯P geometricamente distinta de L e n˜ao-enla¸cada em L satisfazendo ρ( ¯P ) = 1. No caso em que λ ´e n˜ao-degenerada, M admite uma forma normal local pr´oximo ao bordo, o fluxo de Reeb ´e tangente ao bordo ∂M e verticalmente n˜ao-nulo sobre ∂M , ou existe uma ´orbita fechada
¯
P = (¯x, ¯T )∈ Pc(λ) satisfazendo µ
CZ( ¯P ) = 2 ou M ´e folheada por discos transversais ao campo
de Reeb. Em particular, M difeo' S1× D. Neste caso, existe uma ´orbita fechada n˜ao-contr´atil em
M que ´e ponto fixo da aplica¸c˜ao de retorno induzida pela folhea¸c˜ao.
Palavras-chave: Variedades de contato, dinˆamica de Reeb, curvas pseudo-holomorfas em sim-plectiza¸c˜oes, ´orbitas peri´odicas, folhea¸c˜oes transversais.
Abstract
SILVA, A. V. On three-dimensional Reeb flows: implied existence of periodic orbits and a dynamical characterization of solid torus. 2014. 204 f. Tese (Doutorado) - Instituto de Matem´atica e Estat´ıstica, Universidade de S˜ao Paulo, S˜ao Paulo, 2014.
In this work, we study the Reeb dynamics associate to a tight contact form λ defined on a compact, connected 3-manifold M which satisfies c1
π2(M )(ξ = ker λ) ≡ 0. If we assume
that M is closed and there exists a Reeb closed orbit L which is a p-unknotted, p∈ Z∗
+, whose
self-linking number and transverse rotation number satisfy, respectively, sl(L) =−1
p e ρ(Lp) < 1,
then we prove that there exists a Reeb closed orbit ¯P geometrically distinct to L and not linked to L satisfying ρ( ¯P ) = 1. We also prove that if M is a compact 3-manifold M whose boundary is diffeomorphic to T2 = S1× S1 and invariant by the flow, there does not exist a closed orbit
belonging to ∂M and the Reeb flow has a Reeb closed orbit L which is a p-unknotted, p∈ Z∗ +,
sa-tisfying ρ(Lp) < 1 and sl(L) =−1
p, then there exists a Reeb closed orbit ¯P distinct geometrically
to L and not linked to L satisfying ρ( ¯P ) = 1. Under the hypothesis of λ being non-degenerate, ∂M is invariant by the flow, has a local normal form over ∂M and is vertically non-zero on ∂M , then either there exists a contractible Reeb closed orbit ¯P satisfying µCZ( ¯P ) = 2 or M is
foliated by Reeb transverse discs. In particular, we see that M diffeo' S1× D. In this case, there
exists a non-contractible Reeb closed orbit M which is a fixed point of the return map induced by the foliation.
Keywords: Contact manifolds, Reeb dynamics, pseudo-holomorphic curves in simplectizations, closed orbits, transverse foliations.
Sum´
ario
Introdu¸c˜ao 15
1 Introdu¸c˜ao `a Dinˆamica Simpl´etica 19
1.1 No¸c˜oes Preliminares . . . 19
1.2 ´Indices Dinˆamicos . . . 32
1.2.1 ´Indices de curvas de matrizes simpl´eticas . . . 33
1.2.2 ´Indices dinˆamicos: ´Orbitas fechadas de Reeb . . . 38
1.3 Curvas pseudo-holomorfas . . . 42
1.3.1 Comportamento Assint´otico . . . 50
1.3.2 Planos R´apidos . . . 56
1.3.3 Estimativas do ´ındice de Conley-Zehnder . . . 58
1.3.4 Estrutura Complexa Gen´erica . . . 59
2 Existˆencia de ´orbita fechada n˜ao-enla¸cada a uma ´orbita dada. 63 2.1 Resultado Principal . . . 63
2.2 Exemplos . . . 69
2.3 Caso N˜ao-Degenerado . . . 75
2.3.1 Fam´ılia de Bishop . . . 77
2.3.2 Constru¸c˜ao do disco furado de energia finita . . . 83
2.3.3 Final da Demonstra¸c˜ao da Proposi¸c˜ao 2.6 . . . 98
2.4 Caso Degenerado . . . 104
2.4.1 Existˆencia de ´orbitas fechadas n˜ao-enla¸cadas . . . 106
3 Dinˆamica de Reeb em 3-variedades com bordo difeomorfo a T2. 115 3.1 Resultados Principais . . . 115
3.3 Demonstra¸c˜ao do Teorema 3.8 . . . 129
3.3.1 Preenchimento de Dehn . . . 133
3.3.2 An´alise de bubbling-off para um preenchimento de Dehn . . . 144
3.3.3 Final da Demonstra¸c˜ao do Teorema 3.8 . . . 151
A ´Orbitas fechadas contr´ateis e primeira classe de Chern 165 A.1 Primeira classe de Chern . . . 165
A.2 ´Indice dinˆamicos de ´orbitas fechadas contr´ateis . . . 166
B Constru¸c˜ao de p-discos especiais 169 B.1 Defini¸c˜ao de p-discos especiais . . . 170
B.2 Constru¸c˜ao Cap´ıtulo 2: p-disco especial . . . 172
B.3 Constru¸c˜ao Cap´ıtulo 3: Disco especial . . . 175
C ´Arvore de Bubbling-off 177 C.1 Sequˆencias Germinantes . . . 177
C.2 ´Arvore de bubbling-off . . . 180
C.2.1 Estimativas do ´ındice de µCZ . . . 185
D Fluxos Geod´esicos 189 D.1 C´alculo de ρ de ´orbitas fechadas em SS2 . . . 193
Introdu¸
c˜
ao
Um conceito que ser´a central nesta tese ´e a no¸c˜ao de curvas pseudo-holomorfas. Estas curvas s˜ao aplica¸c˜oes suaves, definidas em superf´ıcies de Riemann e com valores em variedades quase-complexas, cuja diferencial ´e complexo-linear. Em [14], Gromov estuda propriedades destas curvas na presen¸ca de uma estrutura simpl´etica e generaliza propriedades bem conhecidas de fun¸c˜oes holomorfas para este contexto. A partir deste trabalho, as curvas pseudo-holomorfas tornaram-se fundamentais em topologia simpl´etica. Em particular, estas curvas mostraram-se ´uteis no estudo da dinˆamica de Reeb atrav´es da no¸c˜ao de simpletiza¸c˜oes de variedades de contato. Hofer introduz em [19] a no¸c˜ao de curvas (pseudo-holomorfas) de energia finita em simplectiza¸c˜oes de variedades de contato com o objetivo de provar a conjectura de Weinstein, no caso overtwisted, na 3-esfera. A existˆencia de tais curvas est´a relacionada `a existˆencia de orbitas fechadas de Reeb (veja [19]). A prova da conjectura de Weinstein apresentada por Hofer motivou o surgimento de uma nova e ativa ´area de pesquisa denominada dinˆamica simpl´etica. Uma vasta literatura estuda as propriedades das curvas introduzidas por Hofer e revela importantes propriedades tanto fluxo de Reeb em dimens˜ao 3 quanto da topologia das 3-variedades.
Um tema de particular interesse para a dinˆamica simpl´etica ´e a existˆencia implicada de ´orbitas fechadas. Este tipo de problema deduz a existˆencia de ´orbitas fechadas a partir de propriedades (topol´ogicas, dinˆamicas, etc) de um conjunto de ´orbitas fechadas L que sabemos existir. Por exemplo, se em S3 existe um link de Hopf L = L
0∪ L1, onde L0, L1 s˜ao ´orbitas
fe-chadas de Reeb, tal que os n´umeros de rota¸c˜ao transversal L0, L1 satisfazem uma certa condi¸c˜ao
de n˜ao-ressonˆancia, Hryniewicz, Momin e Salom˜ao provam em [36], usando a homologia de con-tato cil´ındrica no complementar de L, que existem infinitas ´orbitas fechadas de Reeb enla¸cadas em L. Usando t´ecnicas semelhantes, Momin prova em [44] que, para certos links L de ´orbitas fechadas, existem determinadas classes de homotopia de curvas fechadas no complementar de L que sempre possuem uma ´orbita fechada de Reeb. Nesta tese, apresentamos dois resultados de existˆencia implicada de ´orbitas fechadas. Adiante explicaremos com detalhes.
Outra classe de resultados que aparecem na dinˆamica simpl´etica e que mostram a re-levˆancia e o potencial dos m´etodos aplicados s˜ao as caracteriza¸c˜oes dinˆamicas de 3-variedades de contato. Por exemplo, em [21], Hofer, Wyzocki e Zehnder usam os m´etodos de preenchimento de Dehn e an´alise de bubbling-off para mostrar que uma 3-variedade de contato, compacta e conexa (M, ξ) ´e contactomorfa `a S3 munida da estrutura de contato tight se e somente se existe uma
forma de contato λ definida em M tal que ξ = ker λ e que admite uma ´orbita fechada P com per´ıodo m´ınimo, n˜ao-degenerada, bordo de um disco F cujo interior ´e transversal ao campo de Reeb e o ´ındice de Conley-Zehnder satisfaz µCZ(P, F ) = 3. Em [23], Hofer, Wyzocki e Zehnder
provam, adaptando os m´etodos citados acima, uma caracteriza¸c˜ao de S3 an´aloga para o caso
em que forma de contato λ ´e dinamicamente convexa1. Em [35], Hryniewicz, Licata e Salom˜ao
mostram, aplicando adapta¸c˜oes dos m´etodos acima e a teoria de planos r´apidos, esta ´ultima introduzida por Hryniewicz em [33], que se uma 3-variedade fechada e conexa M admite um p-n´o trivial K com certas propriedades topol´ogicas e dinˆamicas e n˜ao existem ´orbitas fechadas P com ´ındice de Conley-Zehnder satisfazendo µCZ(P ) = 2 contr´ateis em M\ K, ent˜ao M ´e um
espa¸co de lente. No Cap´ıtulo 3, apresentamos uma caracteriza¸c˜ao dinˆamica de uma 3-variedade. Aqui trabalharemos com o caso do toro s´olido.
Nesta tese, estudamos a dinˆamica de Reeb das 3-variedades de contato tight. Apre-sentamos resultados de existˆencia implicada de ´orbitas fechadas de Reeb e uma caracteriza¸c˜ao dinˆamica do toro s´olido. A organiza¸c˜ao do trabalho ´e feita em trˆes cap´ıtulos e cinco apˆendices. No primeiro cap´ıtulo, faremos uma breve exposi¸c˜ao de alguns conceitos e resultados centrais para a dinˆamica simpl´etica. A apresenta¸c˜ao ´e dividida em trˆes se¸c˜oes. Na Se¸c˜ao 1.1, expomos alguns conceitos relacionados `a topologia de contato e `a dinˆamica de Reeb. Na Se¸c˜ao 1.2, estudamos ´ındices dinˆamicos (cl´assicos) associados `as ´orbitas fechadas de Reeb. Na ´
ultima se¸c˜ao, definimos a no¸c˜ao de superf´ıcies de energia finita e enunciamos alguns resultados fundamentais da teoria de curvas pseudo-holomorfas em simpletiza¸c˜ao de variedades de contato. Nosso primeiro resultado principal, apresentado no segundo cap´ıtulo, ´e motivado pelo Teorema 1.3 em [39]. Neste artigo, Hryniewicz e Salom˜ao apresentam condi¸c˜oes necess´arias e suficientes para que uma ´orbita fechada de Reeb seja bordo de uma se¸c˜ao global tipo disco. ´E natural questionar se existem condi¸c˜oes que eliminam a possibilidade de uma ´orbita fechada ser bordo de uma se¸c˜ao global tipo disco. Como resposta a esta pergunta, verificamos que se a primeira classe de Chern se anula sobre π2(M ) e existe uma ´orbita fechada do fluxo de
Reeb L que ´e p-n´o trivial, p∈ Z∗
+, com n´umeros de auto-enla¸camento e de rota¸c˜ao transversal
satisfazendo, respectivamente, sl(L) =−1 p e ρ(L
p) < 1, ent˜ao existe uma ´orbita fechada de Reeb
¯
P = (¯x, ¯T ) geometricamente distinta de L e n˜ao-enla¸cada em L. Repare que este ´e um resultado de existˆencia implicada de ´orbita fechada (n˜ao-enla¸cada). Dividimos a demonstra¸c˜ao em dois casos: n˜ao-degenerado e degenerado. No primeiro, os m´etodos de preenchimento por discos e an´alise de bubbling-off similares `aqueles encontrados em [19, 21, 23, 35, 39] produzem um disco furado (mergulhado) de energia finita com um ´unico furo negativo cujo limite assint´otico ´e uma ´
orbita fechada de Reeb P0 satisfazendo µCZ(P0) = 2. A Teoria de Interse¸c˜ao de curvas ˜
J-holomorfas de McDuff [48] implicar´a que P0 ´e n˜ao-enla¸cada em L. As ´orbitas fechadas L e P0
s˜ao geometricamente distintas pois L ´e um p-n´o trivial. O caso degenerado ser´a um corol´ario do caso n˜ao-degenerado. ´E conhecido que podemos aproximar a forma de contato λ por formas de
1Isto ´e, a primeira classe de Chern se anula sobre π
2(M ) (veja Apˆendice A) e os ´ındices de
contato n˜ao-degeneradas. Esta aproxima¸c˜ao pode ser feita de maneira que L seja tamb´em ´orbita fechada do campo de Reeb associado `as formas de contato perturbadas. Estas perturba¸c˜oes, pelo caso n˜ao-degenerado, produzem uma sequˆencia de ´orbitas fechadas geometricamente distintas de L, n˜ao-enla¸cadas em L e com per´ıodos limitados. Uma aplica¸c˜ao do Teorema de Ascoli-Arzel`a mostra que existe uma ´orbita fechada ¯P n˜ao-enla¸cada em L. Como ρ(Lp) < 1, conclu´ıremos que
¯
P ´e geometricamente distinta de L.
No terceiro cap´ıtulo, estudamos a dinˆamica de Reeb de uma forma de contato λ que ´e tighte est´a definida numa 3-variedade compacta M cujo bordo ´e difeomorfo ao toro T2 = S1×S1.
Nosso primeiro resultado ´e uma existˆencia implicada de ´orbita fechada. Como Etnyre e Ghrist provam em [10] a Conjectura de Weinstein para toros s´olidos cujo bordo ´e invariante pelo fluxo de Reeb, podemos perguntar se a existˆencia de ´orbitas fechadas com propriedades topol´ogicas e dinˆamicas adequadas for¸ca a presen¸ca de outras ´orbitas fechadas. Como resposta a esta pergunta, conseguimos verificar que se a primeira classe de Chern se anula sobre π2(M ), ∂M
´e invariante pelo fluxo de Reeb, n˜ao existem ´orbitas fechadas contidas sobre ∂M e o fluxo de Reeb possui uma ´orbita fechada L que ´e um p-n´o trivial, p ∈ Z∗
+, satisfazendo ρ(Lp) < 1 e
sl(L) =−1
p, ent˜ao existe uma ´orbita fechada ¯P geometricamente distinta de L e n˜ao-enla¸cada em
L satisfazendo µCZ( ¯P ) = 2. Note que n˜ao estamos fazendo hip´oteses sobre a n˜ao-degenerescˆencia
de λ. Dividimos a demonstra¸c˜ao em dois casos: n˜ao-degenerado e degenerado. Em ambos, o primeiro passo ´e contruir um preenchimento de Dehn para M (veja Defini¸c˜ao 3.2). No primeiro caso, a demonstra¸c˜ao ´e semelhante `a prova do teorema principal do cap´ıtulo 2. Constru´ımos um disco furado (mergulhado) de energia finita com um ´unico furo negativo cujo limite assint´otico ´e uma ´orbita fechada de Reeb P0 satisfazendo µCZ(P0) = 2. A hip´otese de que o bordo ∂M
´e invariante pelo fluxo de Reeb garante que este disco furado n˜ao pode intersectar ∂M . Isto ´e uma consequˆencia da Teoria de Interse¸c˜ao de curvas ˜J-holomorfas introduzida por McDuff em [48]. Desta forma, a an´alise de bubbling-off realizada no Cap´ıtulo 2 est´a contida no interior da 3-variedade M e disto seguir´a que a ´orbita fechada fornecida pelo Cap´ıtulo 2 tamb´em est´a contida em M\ ∂M. O caso degenerado novamente ´e uma consequˆencia do caso n˜ao-degenerado e do Teorema de Ascoli-Arzel`a.
O segundo resultado do terceiro cap´ıtulo ´e uma caracteriza¸c˜ao (dinˆamica) do toro s´olido. Assumimos que λ ´e ´e uma forma de contato tight e n˜ao-degenerada definida numa 3-variedade M cujo bordo ´e difeomorfo ao toro R2 e a primeira classe de Chern se anula sobre π
2(M ). Se
o bordo o fluxo de Reeb ´e tangente a ∂M , ´e verticalmente n˜ao-nulo (isto ´e, ou verticalmente negativo ou verticalmente positivo (veja Defini¸c˜ao 3.7)) e admite uma forma normal local, que explicaremos no Cap´ıtulo 3, verificamos que ou existe uma ´orbita fechada ¯P = (¯x, ¯T ) ∈ Pc(λ)
satisfazendo µCZ( ¯P ) = 2 ou M ´e folheada por discos transversais ao campo de Reeb. Neste
caso, em particular, temos que M dif eo' S1 × D e existe uma ´orbita fechada n˜ao-contr´atil em
M que ´e ponto fixo da aplica¸c˜ao de retorno induzida pela folhea¸c˜ao. Repare que este resultado mostra que a dinˆamica de Reeb sobre o bordo ∂M imp˜oe restri¸c˜oes sobre a dinˆamica no interior e, em alguns casos, determina inclusive a topologia da 3-variedade M . Este teorema ´e motivado
por resultados em [9]. Neste artigo, Eliashberg e Hofer provam que se λ ´e uma forma de contato definida no cilindro s´olido [0, 1]× D que ´e trivial perto do bordo, ent˜ao a complexidade da dinˆamica de Reeb em [0, 1]× D est´a atrelada `a presen¸ca de ´orbitas fechadas de Reeb. Mais precisamente, ou [0, 1]× D ´e folheado por discos transversais ao campo de Reeb ou existe uma ´
orbita fechada de Reeb contida em [0, 1]× D. O nosso resultado ´e uma vers˜ao deste fato para a classe das 3-variedades (de contato) cujo bordo ´e difeomorfo ao toro s´olido. Na prova da nossa caracteriza¸c˜ao do toro s´olido, usamos t´ecnicas introduzidas por Hofer, Wysocki e Zehnder em [19, 21, 23, 24], a saber os m´etodos de preenchimento de Dehn e an´alse de bubbling-off, e a teoria de planos r´apidos ([33]). Nosso primeiro passo na demonstra¸c˜ao deste resultado ´e construir um preenchimento de Dehn Mν = M ∪ν Vν para 3-variedade M e estender a forma
de contato sobre o complementar ˚Vν de M em Mν de maneira que possamos supor que exista
uma ´orbita fechada de Reeb P contida na espinha de Vν e as ´orbitas fechadas contidas em Vν
est˜ao enla¸cadas em P . Veremos que a hip´otese verticalmente negativa implica que ´orbita fechada P satisfaz µCZ(P ) ≤ 1. A an´alise de bubbling-off an´aloga `aquela feita no Cap´ıtulo 2 produz
uma ´orbita fechada ¯P satisfazendo µCZ(P ) = 2. A hip´otese verticalmente positiva implica que
a ´orbita fechada P satisfaz µCZ(P ) = 3. Uma an´alise de bubbling-off ou produz uma ´orbita
fechada satisfazendo ¯P satisfazendo µCZ(P ) = 2 ou produz um plano r´apido de energia finita
mergulhado assint´otico no (´unico) furo positivo em∞ `a ´orbita fechada P . Seguindo [33] e [39], verificamos que o espa¸co destes planos ´e compacto. Este fato fornece uma decomposi¸c˜ao em livro aberto cuja amarra¸c˜ao´e a ´orbita fechada P e as folhas s˜ao transversais ao campo de Reeb. A interse¸c˜ao das folhas desta decomposi¸c˜ao com M produz uma folhea¸c˜ao de M que induz um difeomorfismo com o toro s´olido e uma aplica¸c˜ao de retorno. Sabemos que esta aplica¸c˜ao possui um ponto fixo e, portanto, existe uma ´orbita fechada n˜ao-contr´atil em M .
Cap´ıtulo 1
Introdu¸
c˜
ao `
a Dinˆ
amica Simpl´
etica
Neste cap´ıtulo, introduzimos algumas no¸c˜oes b´asicas relacionadas `a Dinˆamica Simpl´etica. Organizamos a exposi¸c˜ao da seguinte forma. Na Se¸c˜ao 1.1, definimos variedades de contato e discutimos alguns conceitos relacionados `a topologia de contato e `a dinˆamica de Reeb. Na Se¸c˜ao 1.2, veremos alguns ´ındices dinˆamicos associados `as ´orbitas fechadas de Reeb. Estes ´ındices fornecem informa¸c˜oes sobre o comportamento do fluxo de Reeb numa vizinhan¸ca de uma ´orbita fechada. Na ´ultima se¸c˜ao, introduzimos a no¸c˜ao de superf´ıcies de energia finita e apresentamos algumas ferramentas fundamentais da teoria de curvas pseudo-holomorfas em simpletiza¸c˜ao de variedades de contato. As referˆencias para o que expomos a seguir s˜ao [12], [25], [26], [27], [28], [33], [35], [40] e [46].
1.1
No¸
c˜
oes Preliminares
Seja M uma 3-variedade1 possivelmente com bordo ∂M n˜ao-vazio. Seja λ uma 1-forma
diferencial definida em M , dizemos que λ ´e uma forma de contato em M se λ∧ dλ ´e uma forma de volume em M , isto ´e, λ∧ dλ ´e uma 3-forma diferencial nula. A express˜ao n˜ao-nula significa que, para todo p ∈ M, existe uma tripla de vetores {v1, v2, v3} ⊂ TpM tal que
λp ∧ dλp(v1, v2, v3) 6= 0. Uma 3-variedade M munida de uma forma de contato λ ´e dita uma
variedade de contato (co-orientada). A forma de contato λ induz uma distribui¸c˜ao (suave) de 2-planos dada por ξ = ker λ. Esta distribui¸c˜ao ´e denominada estrutura de contato (co-orientada)2.
Se f : M → R∗ = R\ {0} ´e uma fun¸c˜ao suave, ent˜ao fλ ´e tamb´em uma forma de contato em 1Todas as variedades ser˜ao assumidas de classe C∞-diferenci´avel.
2Em geral, a defini¸c˜ao de estrutura de contato independe da existˆencia de uma forma de contato
globalmente definida em M (veja [12], [40]). Mais precisamente, se T M ´e o fibrado tangente de uma 3-variedade M , uma estrutura de contato ξ ´e uma distribui¸c˜ao suave de 2-planos tal que ξ → M ´e subfibrado suave de T M e, para todo p∈ M, existe um aberto U ⊂ M, p ∈ U, e uma 1-forma diferencial αU definida em U satisfazendo ξ
U = ker αU e αU∧ dαU 6= 0. Isto distingue entre estruturas de contato e
estruturas de contato co-orientadas. Para as nossas aplica¸c˜oes, precisamos considerar apenas variedades (e estruturas) de contato co-orientadas. Por simplicidade, denominamos variedades (e estruturas) de contato, subentendendo o fato de serem co-orientadas.
M . Note que as estruturas de contato induzidas coincidem, isto ´e, ker f λ = ξ = ker λ, e o sinal da forma de volume (f λ)∧ d (fλ) = f2λ∧ dλ independe de f.
Exemplo 1.1.Sejam (x, y, z) coordenadas em R3. Note que a 1-forma diferencial α = dz + xdy
satisfaz α∧ dα = dz ∧ dx ∧ dy 6= 0. Portanto, R3 munido de α ´e uma 3-variedade de contato.
Exemplo 1.2.A 1-forma diferencial λ0 = dz +12(xdy− ydx) tamb´em ´e uma forma de contato
em R3. Al´em disso, se (r, θ, z) s˜ao coordenadas cil´ındricas em R3
∗ := {(r, θ, z) ∈ R3 : r 6= 0}, a
mudan¸ca de coordenadas x = r cos θ, y = r sin θ, z = z implica que λ0 = dz + r2dθ.
Exemplo 1.3.Sejam (x0, y0, x1, y1) coordenadas em R4 e considere R4 munido da 1-forma
α0= 1 2 X k=0,1 xkdyk− ykdxk (1.1)
denominada forma de Liouville. Seja S3 a 3-esfera trivialmente mergulhada em R4, isto ´e,
S3 :={(x 0, y0, x1, y1)∈ R4 : X k=0,1 x2 k+ y2k= 1}.
Observe que TpS3 = ker βp, para todo p = (x0, y0, x1, y1)∈ S3, onde
βp =
X
k=0,1
xkdxk+ ykdyk.
Portanto, TpS3= span{v1, v2, v3}, onde v1, v2, v3 s˜ao vetores dados por
v1 = x0∂y0− y0∂x0+ x1∂y1 − y1∂x1 v2 = x1∂y0+ y1∂x0− x0∂y1 − y0∂x1, v3 = y1∂y0 − x1∂x0− y0∂y1+ x0∂x1. (1.2) ´ E imediato que β∧ α0 S3 ∧ dα0 S3 (v0, v1, v2, v3)6= 0, onde v0 = X k=0,1 yk∂yk+ xk∂xk.
Isto mostra que α0
S3 ´e uma forma de contato em S3. Denotamos a estrutura de contato
induzida por α S3 como ξ0 = ker α0 S3. Em geral, se S i
,−→ R4 ´e uma hipersuperf´ıcie estrelada
em rela¸c˜ao `a origem3, a restri¸c˜ao α 0
S ´e uma forma de contato em S (veja [40]).
Considere as 3-variedades de contato (M1, λ1) e (M2, λ2). Se existe um difeomorfismo
Φ : M1 → M2 e uma fun¸c˜ao suave f : M1 → R∗ tal que Φ∗λ2 = f λ1, dizemos que (M1, λ1) ´e
contactomorfa `a (M2, λ2). Esta no¸c˜ao estabelece uma equivalˆencia entre variedades de contato. 3Uma semi-reta pela origem em R4 ´e uma aplica¸c˜ao r : R∗
+ → R4 dada por t 7→ (a1t, a2t, a3t, a4t),
para algum a = (a1, a2, a3, a4)∈ R4n˜ao-nulo. Dizemos que uma hipersuperf´ıcie S ,→ R4´e estrelada em
Exemplo 1.4 ([12], Exemplo 2.1.3). A aplica¸c˜ao Φ : R3→ R3 definida por (x, y, z)7→ Φ(x, y, z) = x + y 2 , y− x 2 , z + xy 2
´e um contactomorfismo entre as variedades de contato R3, ξ = ker(dz + xdy) e R3, ξ0 = ker dz + 1 2(xdy− ydx) .
Note que Φ ´e um contactomorfismo estrito, isto ´e, Φ∗ dz + 12(xdy− ydx) = dz + xdy. Embora duas variedades de contato possam ser n˜ao-contactomorfas do ponto de vista global sempre existe um contactomorfismo local de modo que na vizinhan¸ca de um ponto as variedades de contato s˜ao indistingu´ıveis. Este fato ´e o conte´udo do famoso Teorema de Darboux. Teorema 1.5(Teorema de Darboux). Seja λ uma forma de contato definida numa 3-variedade sem bordo M . Para todo p∈ M, existem abertos U ⊂ R3, V ⊂ M tais que 0 ∈ U e p ∈ V , e
uma carta localΦ : U → V satisfazendo Φ(0, 0, 0) = p e Φ∗λ = dz + xdy.
A demonstra¸c˜ao deste resultado por ser encontrada em [12, Teorema 2.5.1]. O Teorema de Darboux mostra que as quest˜oes realmente interessantes para a geometria de contato s˜ao sempre de natureza global.
Campos de Reeb
Seja V um espa¸co vetorial de dimens˜ao finita (dim V = 2n, n∈ Z∗
+). Dizemos que V ´e
um espa¸co vetorial simpl´etico se V admite uma 2-forma Ω : V × V → R bilinear, anti-sim´etrica (isto ´e, Ω(u, v) =−Ω(v, u), para todo u, v ∈ V ) e n˜ao-degenerada (isto ´e, se Ω(u, ·) = 0, ent˜ao u = 0). O exemplo canˆonico ´e o espa¸co vetorial R2n, n∈ Z∗
+, munido da 2-forma
ω0=
X
k∈{1,··· ,n}
dxk∧ dyk, (1.3)
onde (x1, y1,· · · , xn, yn) s˜ao coordenadas em R2n. Em geral, se (V, Ω) ´e um espa¸co vetorial
simpl´etico, ´e poss´ıvel provar que (V, Ω) ´e isomorfo a (R2n, ω
0), onde n = 12dim V (veja [40,
Proposi¸c˜ao 3.2] e [46, Teorema 2.3]). Um fibrado simpl´etico (M, E, π, ω) de posto 2n, n ∈ Z∗ +,
sobre uma variedade M ´e um fibrado real (M, E, π), onde E ´e o espa¸co total e π : E→ M ´e a proje¸c˜ao, tal que dim Ep = 2n, ωp ´e uma forma simpl´etica em Ep, para todo p∈ M, e ω ´e uma
se¸c˜ao suave do fibrado E∗∧ E∗ → M. A fibra de E∗∧ E∗ → M ´e o produto exterior E∗
p ∧ Ep∗ e
Ep∗ = HomR(Ep) :={η : E → R : η ´e R-linear},
para todo p ∈ M. Um fibrado simpl´etico (M, E, π, ω) ´e localmente simpleticamente trivial no sentido de que, para todo p ∈ M, existe um vizinhan¸ca aberta U ⊂ M, p ∈ U, tal que (U, π−1(U ), π
π−1(U ), ω
U) ´e isomorfo a (U, U× R 2n, ¯π, ω
no primeiro fator (veja [46, Se¸c˜ao 2.6]).
Seja λ uma forma de contato definida numa 3-variedade M . Sempre existe um fibrado simpl´etico induzido pela λ. De fato, como λ∧ dλ 6= 0, a restri¸c˜ao dλp
ξp ´e n˜ao-degenerada e, portanto, dλp
ξp ´e uma forma simpl´etica na fibra ξp, para todo p ∈ M. Deste modo, (M, ξ =
ker λ, π, dλ
ξ), onde π : ξ → M ´e a proje¸c˜ao, ´e um fibrado simpl´etico sobre M. Observe
que o fato de dλp
ξp ser simpl´etica implica que dim ker dλp
ξp = 1, para todo p ∈ M. Isto
permite escolher um campo de vetores Xλ sobre M , denominado Campo de Reeb, satisfazendo
as seguintes condi¸c˜oes:
iXλdλ = 0 e iXλλ = 1. (1.4)
Este campo ´e unicamente determinado pela forma de contato λ e ´e transversal `a estrutura de contato ξ. Note que Xλ induz a seguinte decomposi¸c˜ao do fibrado tangente T M = RXλ⊕ ξ.
Exemplo 1.6.O campo de Reeb para a forma de contato α = dz + xdy em R3 ´e X
λ = ∂z.
Exemplo 1.7. Seja S3 trivialmente mergulhada em R4 conforme Exemplo 1.3. Considere X o
campo de vetores em R4 definido por
X = 2 X
k=0,1
xk∂yk− yk∂xk.
Note que X(p) ´e ortogonal ao vetor radial R(p) = (x0, y0, x1, y1), para todo p = (x0, y0, x1, y1)∈
S3. Isto significa que X
0 = X
S3 ´e tangente `a S3. Como dα0
S3(X0,·) = 0 e α0 S3(X0) = 1,
vemos que X0 ´e o campo de Reeb para α0
S3.
Sejam λ uma forma de contato definida numa 3-variedade M e Xλ o campo de Reeb
associado `a λ. Dizemos que x : R → M ´e uma ´orbita de Reeb (ou linha de fluxo de Reeb) se x0(t) = Xλ◦ x(t), para todo t ∈ R. Estas linhas definem o chamado fluxo de Reeb. Denote este
fluxo por {φt}t∈R. Dizemos que o par P = (x, T ) ´e uma ´orbita fechada de Reeb se x : R→ M
´e uma ´orbita de Reeb T -peri´odica, T > 0. Vamos identificar o conjunto das ´orbitas fechadas de Reeb da forma de contato λ com um subconjunto do quociente de
C∞(S1, M ) :={η : S1→ M : η ´e de classe C∞}
por S1. Aqui estamos usando a identifica¸c˜ao R/Z ' S1. Vejamos com um pouco mais de
detalhes. Observe que S1 age por transla¸c˜oes em C∞(S1, M ), isto ´e, existe uma a¸c˜ao ψ :
S1× C∞(S1, M )→ C∞(S1, M ) dada por ψ(c, η(·)) := η(· + c). Seja C∞(S1, M )/S1 o quociente
induzido por ψ. Note que, se η, ˜η ∈ [η], para alguma [η] ∈ C∞(S1, M )/S1, ent˜ao existe c ∈
R/Z' S1 tal que η(t + c) = ˜η(t), para todo t ∈ R/Z ' S1. Se P = (x, T ) uma ´orbita fechada de Reeb, a aplica¸c˜ao
t∈ R/Z ' S1 7→ xT(t) := x(T t)∈ M, (1.5)
fixa uma classe em C∞(S1, M )/S1. Identificamos P = (x, T ) com o elemento em C∞(S1, M )/S1
associadas `as aplica¸c˜oes xT : R/Z ' S1 → M definidas conforme (1.5). Por simplicidade,
escrevemos apenas P = (x, T ) ∈ P(λ). A identifica¸c˜ao explicada acima implica que, se P = (x, T ), ¯P = (¯x, ¯T )∈ P(λ) s˜ao duas ´orbitas fechadas de Reeb, ent˜ao [xT] = [¯xT¯]∈ C∞(S1, M )/S1
se e somente se xT(R) = ¯xT¯(R) e T = ¯T .
Para as nossas aplica¸c˜oes, ´e conveniente distinguir algumas classes de ´orbitas fechadas de Reeb. Dizemos que P = (x, T ) ∈ P(λ) ´e prima (ou simplesmente recoberta), se o per´ıodo T > 0 ´e o per´ıodo m´ınimo. Uma ´orbita fechada P = (x, T )∈ P(λ) ´e dita contr´atil, se existe um disco cont´ınuo v : D⊂ C → M, onde D := {z ∈ C : |z| ≤ 1}, tal que
v(e2πit) = x(T t), para todo t∈ R/Z ' S1. (1.6)
Denotamos porPc(λ) o conjunto das ´orbitas fechadas contr´ateis associadas `a λ.
A seguir, vamos introduzir a no¸c˜ao de ´orbita fechada n˜ao-degenerada. Observe primeiro que o fluxo de Reeb{φt}t∈Rpreserva a estrutura de contato. De fato, como
LXλλ = iXλdλ + d(iXλλ) = 0
(veja F´ormula de Cartan [42, Proposi¸c˜ao 13.14]), o campo de Reeb Xλ satisfazLXλλ = 0 e isto
´e equivalente `a afirma¸c˜ao de que o fluxo de Reeb {φt}t∈R preserva λ. Em particular, {φt}t∈R
preserva a decomposi¸c˜ao T M = RXλ⊕ ξ e, portanto,
φt
∗(ξp) = ξφ(p) e φt
∗(Xλ(p)) = Xλ(φt(p)),
para todo p∈ M. Disto segue que, se P = (x, T ) ∈ P(λ) e dφT ´e a lineariza¸c˜ao da aplica¸c˜ao
φT, ent˜ao dφT
ξx(0) : ξx(0) → ξx(T ) ´e uma transforma¸c˜ao R-linear simpl´etica em ξx(0) (pois
ξx(0)= ξx(T )). Dizemos que P = (x, T )∈ P(λ) ´e uma ´orbita fechada de Reeb n˜ao-degenerada se 1 n˜ao ´e auto-valor de dφT
ξx(0) : ξx(0) → ξx(T ). Uma forma de contato λ ´e dita n˜ao-degenerada
se todas as ´orbitas fechadas em P(λ) forem n˜ao-degeneradas.
No Cap´ıtulo 2, precisaremos de formas normais para a vizinhan¸ca de ´orbitas fechadas de Reeb. Seguindo [25] e [36], apresentamos o conceito de tubo de Martinet. Seja Br(0) ⊂ R2
uma bola aberta de raio r > 0 centrada na origem e considere R/Z× Br(0) munido da forma
de contato dz + xdy, onde z∈ R/Z e (x, y) ∈ B.
Defini¸c˜ao 1.8 ([25], Lema 3.2; [36], Defini¸c˜ao 2.12). Seja P0 = (x0, T0) ∈ P(λ) uma ´orbita
fechada de Reeb eT > 0 o per´ıodo m´ınimo de x0. Dizemos que(U, Φ) ´e um tubo de Martinet
paraP0 seU ⊂ M ´e uma vizinhan¸ca aberta de x0(R) e Φ : U → R/Z×Br(0) ´e um difeomorfismo
tal que Φ(x0(T t)) = (t, 0, 0) e Φ∗(h(dz + xdy)) = λ, para algumah : R/Z× Br(0) C∞ −−→ R∗ + satisfazendo h|R/Z×{0}≡ T e dh|R/Z×{0}≡ 0.
e n˜ao-nula do fibrado (x0
T)
∗ξ → R/Z, onde P
0 = (x0, T0) ∈ P(λ) ´e uma ´orbita fechada tal
como na defini¸c˜ao acima e x0
T(t) := x0(T t), ´e poss´ıvel provar que existe um tubo de Martinet
(U, Φ) para P0 tal que Φx0(T t)
∗η(t) = ∂x, para todo t∈ R/Z (veja [25, Lema 2.3]).
No¸c˜oes topol´ogicas e n´umero de auto-enla¸camento
Nossos resultados de existˆencia implicada de ´orbita fechada de Reeb assumem a existˆencia de uma ´orbita fechada que ´e um p-n´o trivial. Nesta se¸c˜ao, introduzimos esta no¸c˜ao e definimos, seguindo [2, 35], uma vers˜ao do n´umero de auto-enla¸camento para p-n´os triviais transversais (`a estrutura de contato). Inicialmente, nossa exposi¸c˜ao ser´a apenas topol´ogica. Veremos adiante que h´a uma maneira natural de inserir estes conceitos no contexto de ´orbitas fechadas de Reeb. Defini¸c˜ao 1.9. SejamK : S1 ,→ M um n´o (mergulhado) e p ∈ Z∗
+. Um p-disco paraK ´e uma
imers˜aov : D→ M tal que v D\∂D´e um mergulho emM\ K e v ∂D : ∂D p:1
−−→ K ´e uma aplica¸c˜ao de p-recobrimento. Se K admite um p-disco, dizemos que K ´e um p-n´o trivial.
No lema a seguir, relacionamos algumas importantes propriedades dos p-n´os triviais. Lema 1.10 ([35], Lema 3.4, Lema 3.7). Sejam K : S1 ,→ M um p-n´o trivial e p ∈ Z∗
+. Ent˜ao
K satisfaz as seguintes propriedades:
(i) se p0 6= p, ent˜ao K n˜ao admite um p0-disco;
(ii) se 1≤ p0 < p, ent˜ao ap0-iterada do n´o (mergulhado) K n˜ao ´e contr´atil.
Suponha que M est´a munida de uma forma de contato λ. Fixe um p-n´o trivial K : S1,→
M transversal `a estrutura de contato ξ = ker λ. Seja v : D → M um p-disco para K. Escolha uma orienta¸c˜ao para v(D) tal que a orienta¸c˜ao induzida no bordo v(∂D) = K(S1) coincida
com a orienta¸c˜ao positiva de K, isto ´e, a orienta¸c˜ao de K tal que R
S1K∗λ > 0. Considere o
fibrado v∗ξ→ D. Como D ´e contr´atil, v∗ξ→ S1 admite uma trivializa¸c˜ao e, portanto, podemos
escolher uma se¸c˜ao n˜ao-nula Z : S1 → v∗ξ. Fixe uma m´etrica Riemanniana g em M e seja exp
a aplica¸c˜ao exponencial correspondente. Seja K um n´o definido por
t∈ R/Z ' S17→ exp
e2πit(Z(e2πit))∈ M. (1.7)
Para ∈ R∗
+ pequeno, K ´e transversal `a estrutura de contato ξ e positivamente orientado.
Defini¸c˜ao 1.11([2], [35]). Seja K : S1,→ M um p-n´o trivial, p ∈ Z∗
+, transversal `a estrutura de
contato ξ. Seja v : D→ M um p-disco para K. O n´umero de auto-enla¸camento racional do p-n´o trivialK ´e definido como
sl(K, v) = 1
p2K• v(˚D)∈ Z,
onde K : S1 → M ´e uma perturba¸c˜ao4 de K na dire¸c˜ao de uma se¸c˜ao n˜ao-nula Z : v(D) →
4Note que podemos supor que K
ξ
v(D) tal como em (1.7) eK• v(˚D) ´e o n´umero de interse¸c˜ao orientado 5.
Observe que se K ´e um n´o trivial, isto ´e, p = 1, o n´umero de auto-enla¸camento racional coincide com o n´umero de auto-enla¸camento cl´assico (veja [2, 12]). Repare tamb´em que se K : S1 ,→ M ´e um p-n´o trivial e v : D → M ´e um p-disco para K, o fato de que v
D\∂D ´e um
mergulho, implica que v(re2πit), quando r > 0 ´e suficientemente pr´oximo de r = 1, ´e um n´o
trivial transversal `a estrutura de contato ξ. Note que as curvas t7→ v(re2πit) s˜ao pertuba¸c˜oes
de Kp, onde Kp(t) := K(pt). Deste ponto de vista, a defini¸c˜ao acima diz, essencialmente,
que o “n´umero de auto-enla¸camento da p-iterada de um p-n´o trivial coincide com o n´umero de auto-enla¸camento de n´os triviais arbitrariamente pr´oximos”.
Lema 1.12 ([2], Se¸c˜ao 1.1; [12], Observa¸c˜ao 3.5.29, Corol´ario 3.5.31; [35], Se¸c˜ao 2.1). Seja K : S1 ,→ M um p-n´o trivial transversal `a estrutura de contato ξ. Seja v : D → M um p-disco
para K. S˜ao verdadeiras as seguintes afirma¸c˜oes:
(i) sl(K, v) ´e independente da se¸c˜ao n˜ao-nula Z : D→ v∗ξ;
(ii) se c1
π2(M )(ξ) = 0, ent˜ao sl(K, v) independe do p-disco v : D→ M.
Na defini¸c˜ao acima, c1
π2(M )(ξ) ´e a primeira classe de Chern c1(ξ) restrita ao segundo
grupo de homotopia π2(M ) (veja Apˆendice A para os detalhes). ´E importante salientar que
o n´umero de auto-enla¸camento n˜ao ´e, em geral, independente do p-disco (veja [12, Proposi¸c˜ao 3.5.30]). O lema a seguir ´e uma ferramenta ´util no c´alculo de sl(K, v).
Lema 1.13([35], Lema 3.10). Seja K : S1,→ M um p-n´o trivial, p ∈ Z∗
+, transversal `a estrutura
de contato ξ. Sejam v : D → M um p-disco para K e Z : D → v∗ξ uma se¸c˜ao n˜ao-nula. Fixe
tamb´em N : ∂D→ v∗ξ uma se¸c˜ao n˜ao-nula tal que N (z)∈ dv
z(TzD), para todo z∈ ∂D. Ent˜ao, sl(K, v) = 1pwind(Z
∂D, N ).
Podemos estender a no¸c˜ao de p-n´o trivial, p ∈ Z∗
+, para as ´orbitas fechadas de Reeb.
Lembre que λ ´e uma forma de contato definida numa 3-variedade M . Diremos que uma ´orbita fechada prima P = (x, T )∈ P(λ) ´e um p-n´o trivial, p ∈ Z∗+, se o mergulho xT definido por
t∈ R/Z ' S17→ x(T t) ∈ M
´e um p-n´o trivial. Se v : D→ M ´e um p-disco para o mergulho xT, dizemos que v ´e um p-disco
para a ´orbita fechada P . Observe que, se P = (x, T )∈ Pc(λ) ´e um p-n´o trivial, ent˜ao as iteradas
Pp0 = (x, p0T ), para 1≤ p0 < p, s˜ao ´orbitas fechadas n˜ao-contr´ateis. Isto segue do Lema 1.10.
Tamb´em ´e poss´ıvel estender a no¸c˜ao de n´umero de auto-enla¸camento racional para ´
orbitas fechadas de Reeb. Seja P = (x, T ) ∈ Pc(λ) uma ´orbita fechada que ´e um p-n´o
tri-vial, p ∈ Z∗
+. Se v : D → M ´e um p-disco para o mergulho xT, definimos o n´umero de
auto-enla¸camento racional da ´orbita fechada P em rela¸c˜ao a v como sl(P, v) = sl(xT, v). 5Isto ´e, seja p
∈ K∩v(˚D) e{v1, v2} ⊂ Tpv(˚D) ´e uma base orientada positivamente. Ent˜ao o n´umero de interse¸c˜ao orientado em p ´e +1 (ou−1) se {K0
, v1, v2} ´e base positiva (ou negativa) do espa¸co tangente
TpM orientado pela 3-forma λp∧ dλp. Para os detalhes da constru¸c˜ao do n´umero de interse¸c˜ao orientado,
Exemplo 1.14 ([38]). Sejam α0 a forma de Liouville em R4 e S3 a 3-esfera trivialmente
mer-gulhada em R4 (veja Exemplo 1.3). Lembre que o campo de Reeb para α 0 ´e
X = 2 X
k=0,1
xk∂yk− yk∂xk.
Segue que H0 = (h0, π), onde h0(t) := (0, ei2t), t∈ R/πZ ' S1, ´e uma ´orbita fechada de Reeb6
Vamos provar que sl(H0) =−1. Sejam (r, θ) coordenadas polares em C, θ ∈ R/2πZ e r ≥ 0, e
considere a aplica¸c˜ao
v : D→ S3⊂ C2
(r, θ)7→p1− r2, reiθ.
Observe que v satisfaz v(∂D) = h0(R) e, al´em disso,
N0 = (−1, 0) = lim r→1−
∂rv(r, θ)
k∂rv(r, θ)k
.
Isto significa, em particular, que {∂x0, ∂y0} ´e um referencial normal sobre H0. Repare que N0 ´e
uma se¸c˜ao n˜ao-nula do fibrado (h0)∗πξ0 → S1, onde (h0)π(t) := h0(πt) e R/Z' S1. Considere
Z : S3 → ξ
0 a se¸c˜ao n˜ao-nula da estrutura de contato dada por
Z(x0, y0, x1, y1) = y1∂y0− x1∂x0 − y0∂y1 + x0∂x1, para todo (x0, y0, x1, y1)∈ S
3.
Seja t ∈ R/πZ 7→ (0, cos(2t), sin(2t)) ∈ S3 uma parametriza¸c˜ao para h
0. Note que o campo
Z, restrito `a fibra de Hopf H0, ´e dado por Z
H0 = sin(2t)∂y0 − cos(2t)∂x0. Disto segue que
wind(Z H0, N0) =−1 e, portanto, sl(H0) = wind(Z H0, N0) =−1.
Estruturas de contato tight e overtwisted
Seja λ uma forma de contato definida em uma 3-variedade M . Diremos que a estrutura de contato ξ = ker λ ´e overtwisted se existe um disco mergulhado i : D ,→ M, denominado disco overtwisted, tal que
Tp∂D ⊂ ξp e TpD6= ξp, para todo p∈ ∂D.
Se n˜ao existe um disco overtwisted, dizemos que ξ ´e tight. Frequentemente, diremos que a forma de contato ´e overtwisted (ou tight) caso a estrutura de contato induzida seja overtwisted (ou tight). Observe que se λ ´e uma forma de contato overtwisted definida numa 3-variedade M e f : M → R∗ ´e uma fun¸c˜ao suave, ent˜ao a forma de contato f λ tamb´em ´e overtwisted. Isto ´e
consequˆencia de ξ = ker λ = ker f λ. Afirma¸c˜ao an´aloga vale para o caso tight.
Teorema de Bennequin([40], Teorema 5.1): As seguintes estruturas de contato s˜ao tight: (i) ξ = ker(dz + xdy) em R3, onde (x, y, z)∈ R3 s˜ao coordenadas retangulares;
6Dizemos que H
0 ´e uma fibra de Hopf. Esta denomina¸c˜ao se estende a todas as ´orbitas fechadas de
Reeb contidas emP α0
(ii) ξ0 = ker(dz + r2dθ) em R3∗, onde (r, θ, z)∈ R3∗ s˜ao coordenadas cil´ındricas; (iii) ¯ξ0 = ker 1 2 P k=0,1xkdyk− ykdxk S
em uma hipersuperf´ıcie estrelada7 S mergulhada em R4, onde (x0, y0, x1, y1)∈ R4 s˜ao coordenadas retangulares.
O Teorema de Bennequin mostra que, at´e o momento, dispomos apenas de exemplos de estruturas de contato tight (veja Exemplos 1.1, 1.2, 1.3). Isto motiva o exemplo a seguir. Nele constru´ımos uma estrutura de contato overtwisted para uma 3-variedade M .
Exemplo 1.15 (Twist de Lutz : [12], Se¸c˜ao 4.5; [40], Se¸c˜ao 2.5). Seja λ uma forma de contato numa 3-variedade M . Usaremos a estrat´egia chamada twist de Lutz para construir uma estrutura de contato overtwisted em M . Seja γ : R/Z→ M um n´o transversal `a estrutura de contato8.
Sejam (r, θ) coordenadas polares em R2 e seja B
δ ={(r, θ) ∈ R2 : r < δ} a bola aberta de raio
δ > 0. Pelo Teorema da Vizinhan¸ca de N´os Transversais9 ([40, Teorema 2.36]), existe δ > 0,
uma vizinhan¸ca aberta U ⊂ M contendo γ e um difeomorfismo Ψ : U → R/Z × Bδ tal que
Ψ(γ) = R/Z× {0} e Ψ∗(h(dz + r2dθ)) = λ,
para alguma fun¸c˜ao suave h : R/Z×Bδ→ R∗. Aqui (z, r, θ) s˜ao coordenadas em R/Z×Bδ. Para
simplificar a nota¸c˜ao, seguindo [12, 40], assumiremos, sem perda de generalidade, que δ = 1 e denotaremos B1= ˚D, onde D ={(r, θ) ∈ R2 : r≤ 1}. Defina 1-formas diferenciais
λm,n = m(r)dz + n(r)dθ em R/Z× ˚D, onde m, n : [0, 1]→ R s˜ao fun¸c˜oes suaves satisfazendo
(i) m(r) = 1 e n(r) = r2, para todo r ∈ [0, ] ∪ [1 − , 1], onde ∈ R∗
+ tal que 1;
(ii) os vetores (m(r), n(r))6= 0 e (m0(r), n0(r))6= 0 satisfazem
m(r)n0(r)− n(r)m0(r)6= 0.
A condi¸c˜ao (ii) acima implica que λm,n ´e forma de contato em R/Z× ˚D, pois
λm,n∧ dλm,n= (m(r)dz + n(r)dθ)∧ m0(r)dr∧ dz + n0(r)dr∧ dθ
= m(r)n0(r)− n(r)m0(r) dr ∧ dθ ∧ dz 6= 0.
Seja ξm,n a estrutura de contato induzida por λm,n em R/Z× ˚D. Note que ξm,n coincide com
ξ = ker dz + r2dθ pr´oximo de r = 1. Vamos exibir um disco overtwisted para a estrutura de
contato ξm,n. Observe que a condi¸c˜ao (ii) for¸ca n(r) < 0, para algum r∈ [, 1 − ]. Fixe a > 0 7Esta subentendido que S ´e hipersuperf´ıcie estrelada em rela¸c˜ao `a origem.
8Pelo Teoreoma 3.3.1 em [12], dado um n´o (mergulhado) ˜γ : R/Z
→ M, a curva ˜γ pode ser C0
-aproximada por um n´o γ : R/Z→ M transversal `a estrutura de contato.
9Teorema ([40], Teorema 2.36): Seja λ uma forma de contato definida numa 3-variedade M .
Seja γ1 : R/Z → M um n´o (mergulhado) transversal `a estrutura de contato ξ = ker λ. Considere
M0:= R/Z× R2 munido da estrutura de contato ξ0= ker(dz + r2dθ), onde (z, r, θ) s˜ao coordenadas em
M0 com z ∈ R/Z, (r, θ) ∈ R2. Seja γ0 : R/Z→ M0 dado por t 7→ (t, 0, 0). Ent˜ao existem vizinhan¸cas
tal que n(a) = 0 e n(r) > 0, para todo r∈ (0, a). Seja Da={(r, θ) ∈ R2: r ≤ a} e defina
u : Da→ R/Z × R2
(r, θ)7→ (z(r), r, θ),
onde z(r) : [0, a]→ R ´e uma fun¸c˜ao suave satisfazendo z(a) = 0, z(r) > 0, para todo r ∈ [0, a), e z(r) = z(0)− r2 para r pr´oximo de r = 0, z(0) ∈ R/Z. Vamos supor que z0(r) = 0 somente
quando r = 0. ´E poss´ıvel verificar que
u∗(m(r)dz + n(r)dθ) = m(r)z0(r)dr + n(r)dθ.
Note que o bordo u(∂Da) ´e uma curva Legendriana, isto ´e, se η : R/Z → S1 × R2 ´e dada
por t 7→ η(t) = u(ae2πit), ent˜ao η0(t) ∈ ξ
m,n(η(t)), para todo t ∈ R/Z. Como z0(a) 6= 0,
ξm,n(p)6= Tpu(Da), para todo p∈ u(∂Da), e a folhea¸c˜ao caracter´ıstica10 sobre Da ´e gerada por
V (r, θ) = m(r)z0(r)∂θ− n(r)∂r, conclu´ımos que u(Da) ´e um disco overtwisted para ξm,n.
Variedades simpl´eticas e simpletiza¸c˜ao de variedades de contato
Seja M uma variedade diferenci´avel 2n-dimensional (n ∈ Z∗
+). Uma forma simpl´etica
em M ´e uma 2-forma diferencial ω fechada (isto ´e, a derivada exterior satisfaz dω = 0) e n˜ ao-degenerada (isto ´e, para todo p ∈ M, se ωp(u,·) = 0, onde u ∈ TpM , ent˜ao u = 0). Note que
a n˜ao-degenerescˆencia de ω significa que (TpM, ωp) ´e um espa¸co vetorial simpl´etico, para todo
p∈ M e, consequentemente, (M, T M, π, ω) ´e um fibrado simpl´etico sobre M, onde π : T M → M ´e a proje¸c˜ao. O exemplo trivial de uma variedade simpl´etica ´e R2n, n∈ Z∗
+, munido da 2-forma simpl´etica ω0 = X k∈{1,··· ,n} dxk∧ dyk, (1.8)
onde (x1, y1,· · · , xn, yn) s˜ao coordenadas retangulares em R2n.
Outro exemplo de variedade simpl´etica, fundamental para as nossas aplica¸c˜oes, s˜ao as chamadas simpletiza¸c˜oes de variedades de contato. Seja λ uma forma de contato definida numa 3-variedade M e considere R×M munida da estrutura de 3-variedade produto. Seja φ : R → (0, +∞) uma fun¸c˜ao suave satisfazendo φ0(a) > 0, para todo a ∈ R. Podemos definir uma 1-forma
diferencial em R× M dada por
λφ(a, p) h, k := φ(a)λ(p)(k), (1.9)
para todo (a, p)∈ R×M e (h, k) ∈ T(a,p) R×M. ´E imediato verificar que dλφ´e n˜ao-degenerada
e fechada, isto ´e, dλφ ´e uma forma simpl´etica em R× M. Dizemos que (R × M, dλφ) ´e uma
simpletiza¸c˜ao da variedade de contato M .
Observa¸c˜ao 1.16 ([19], [39]). Toda m´etrica Riemanniana em M induz, de maneira natural,
uma m´etrica Riemanniana na simpletiza¸c˜ao R× M. Mais precisamente, seja g uma m´etrica Riemanniana em M e πM : R× M → M a proje¸c˜ao no segundo fator, definimos uma m´etrica
Riemannianag0 na simpletiza¸c˜ao R× M satisfazendo g0 = da⊗ da + π∗Mg, onde a : R× M → R
´e a proje¸c˜ao no primeiro fator e ⊗ denota o produto tensorial11.
Estruturas quase-complexas
Come¸camos definindo a no¸c˜ao de estrutura complexa em um espa¸co vetorial V de di-mens˜ao finita (dim V = 2n, n ∈ Z∗
+). Seja J : V → V um isomorfismo de V , dizemos que J
´e uma estrutura complexa em V se J2 = −1. Denotamos por J (V ) o espa¸co das estruturas
complexas em V . Em R2n, n∈ Z∗
+, o exemplo canˆonico ´e a estrutura complexa dada por
J0 =
0 −1
1 0
!
(1.10)
onde1 denota a matriz identidade em Rn. Em geral, se Φ : V → R2n ´e um isomorfismo, ent˜ao
J := Φ−1◦ J
0◦ Φ ∈ J (V ) (veja [46, Lema 2.45]). Para as nossas aplica¸c˜oes ´e interessante
definir uma topologia emJ (V ). Pela Proposi¸c˜ao 2.46 em [46], existe uma aplica¸c˜ao sobrejetora GL(2n, R)→ J (V ), onde GL(2n, R) ´e o grupo das matrizes reais 2n×2n invers´ıveis, cujo n´ucleo ´e GL(n, C), isto ´e, o grupo das matrizes complexas n× n invers´ıveis. Vamos considerar J (V ) munido da topologia tal que GL(2n, R)/GL(n, C)→ J (V ) ´e um homeomorfismo.
Seja (V, Ω) um espa¸co vetorial simpl´etico. Um estrutura complexa J ∈ J (V ) ´e dita com-pat´ıvel com Ω (ou Ω-compat´ıvel ) se Ω(J(u), J(v)) = Ω(u, v), para todo u, v∈ V , e Ω(u, J(u)) > 0, para todo u ∈ V n˜ao-nulo. Note que se J ´e estrutura complexa Ω-compat´ıvel, ent˜ao gJ(u, v) = Ω(u, J(v)), para u, v ∈ V , ´e um produto interno positivo-definido em V .
Deno-tamos o espa¸co das estruturas complexas Ω-compat´ıveis em (V, Ω) por J (V, Ω). Note que a estrutura complexa J0 definida em (1.10) ´e ω0-compat´ıvel em R2n, n∈ Z∗+, onde ω0 ´e a 2-forma
simpl´etica canˆonica em R2n. Vamos considerar em J (V, Ω) a topologia induzida por J (V ).
Proposi¸c˜ao 1.17([40], Proposi¸c˜ao 3.18). Seja (V, Ω) um espa¸co vetorial simpl´etico. Para cada produto internog em V , existe uma estrutura complexa Ω-compat´ıvel J ∈ J (V ) induzida por g. Esbo¸co da Demonstra¸c˜ao: A estrutura complexa J ∈ J (V ) pode ser definida explicitamente. Seja g um produto interno em V . Considere ˜g : V → V∗, ˜Ω : V → V∗ os isomorfismos definidos,
respectivamente, por
u7→ ˜g(u) = g(u, ·) e u 7→ ˜Ω(u) = Ω(u,·).
Definindo J = (√AA∗)−1A, onde A = ˜g◦ ˜Ω e A∗ ´e a adjunta de A, ´e poss´ıvel verificar que
J ∈ J (V ) e ´e Ω-compat´ıvel.
Seja Met(V ) o espa¸co dos produtos internos positivos-definidos em V . Como Met(V ) ´e convexo, vemos que Met(V ) ´e contr´atil. Este fato juntamente com a proposi¸c˜ao anterior
11Para todo (h
implicam o seguinte resultado:
Proposi¸c˜ao 1.18 ([12], Proposi¸c˜ao 2.48; [40], Proposi¸c˜ao 3.20). Seja (V, Ω) um espa¸co vetorial simpl´etico. O espa¸co das estruturas complexasΩ-compat´ıveis J (V, Ω) ´e contr´atil.
Podemos estender a no¸c˜ao de estrutura complexa para fibrados vetoriais. Seja (M, E, π) um fibrado vetorial de posto 2n, n∈ Z∗
+, e denote por End(E) o fibrado dos endomorfismos de
E. A fibra de End(E) em p ∈ M ´e Endp, isto ´e, os endomorfimos R-lineares φp : Ep → Ep.
Uma estrutura complexa J em (M, E, π) ´e uma aplica¸c˜ao J : M → End(E) dada por p 7→ Jp tal
que Jp ´e estrutura complexa na fibra Ep, para todo p ∈ M, e J ´e uma se¸c˜ao suave do fibrado
End(E)→ M. Denotamos por J(E) o espa¸co das estruturas complexas em (M, E, π). Defini¸c˜ao 1.19. Seja M uma 2n-variedade, n ∈ Z∗
+, e T M o fibrado tangente de M . Uma
estrutura complexa J ∈ J (T M) ´e denominada uma estrutura quase-complexa. Neste caso, diremos que (M, J) ´e uma variedade quase-complexa.
Seja (M, E, π, ω) um fibrado simpl´etico. Dizemos que uma estrutura complexa J ∈ J (E) ´e uma estrutura complexa ω-compat´ıvel em (M, E, ω) se Jp ´e estrutura complexa ωp-compat´ıvel
na fibra Ep, para todo p ∈ M. Denotamos por J (E, ω) o espa¸co das estruturas complexas
ω-compat´ıveis para o fibrado simpl´etico (M, E, π, ω). Note que a fibra deJ (E, ω) em p ∈ M ´e Jp(E, ω) = J(Ep, ωp). Seja Met(E) o conjunto das m´etricas em E, isto ´e, se g∈ Met(E), ent˜ao
gp ∈ Met(Ep), para todo p ∈ M. Pela Proposi¸c˜ao 1.17, dada uma m´etrica g ∈ Met(E), para
todo p ∈ M, existe uma estrutura complexa ωp-compat´ıvel induzida por gp. Pela Proposi¸c˜ao
1.18, sabemos que Jp(E, ω) ´e contr´atil para todo p∈ M. Isto prova a proposi¸c˜ao a seguir:
Proposi¸c˜ao 1.20 ([12], Proposi¸c˜ao 2.61). Seja (M, E, π, ω) um fibrado simpl´etico. Ent˜ao, para toda g∈ Met(E), existe uma estrutura complexa ω-compat´ıvel J induzida pela m´etrica g. Al´em disso, o espa¸co J (E, ω) ´e contr´atil.
Um fibrado Hermitiano ´e um fibrado vetorial (M, E, π) de posto 2n, n∈ Z∗
+, munido de
uma estrutura Hermitiana, isto ´e, de uma tripla (ω, J, g), onde ω ´e uma forma simpl´etica, J ´e estrutura complexa ω-compat´ıvel e g(·, ·) = ω(·, J·) ´e um produto interno positiva-definida. Em [46] ´e provado o seguinte resultado:
Proposi¸c˜ao 1.21 ([46], Proposi¸c˜ao 2.64). Sejam Σ uma superf´ıcie de Riemann compacta com ∂Σ 6= ∅ e (E, Σ, π) um fibrado hermitiano de posto 2n, n ∈ Z∗+, cuja estrutura hermitiana ´e (ω, J, g). Ent˜ao existe uma trivializa¸c˜ao Φ : E→ Σ × R2n tal que
Φ∗J0 = J, Φ∗ω0= ω, Φ∗g0 = g (1.11)
onde J0 ´e a estrutura complexa canˆonica de R2n, ω0 ´e a forma simpl´etica canˆonica de R2n eg0
´
e o produto interno Euclidiano em R2n.
Denominamos uma trivializa¸c˜ao satisfazendo (1.11) de uma trivializa¸c˜ao unit´aria. Em [46], McDuff e Salamon provam que todo fibrado hermitiano sobre S1 admite uma trivializa¸c˜ao
Observa¸c˜ao 1.22. Seja (Σ, E, π, ω) um fibrado simpl´etico sobre uma superf´ıcie de Riemann compactaΣ com ∂Σ 6= ∅. Uma trivializa¸c˜ao Φ : E → Σ × R2n preservando a forma simpl´etica
(isto ´e,Φ∗ω0 = ω) ´e chamada uma trivializa¸c˜aoω-simpl´etica. A Proposi¸c˜ao 2.61 em [46] mostra
que todo fibrado simpl´etico admite uma estrutura Hermitiana (ω, J, g). Pela Proposi¸c˜ao 1.21 existe uma trivializa¸c˜ao unit´aria de (Σ, E, π) com estrutura Hermitiana (ω, J, g). Isto mostra que sempre existe uma trivializa¸c˜aoω-simpl´etica para (Σ, E, π, ω). Note que afirma¸c˜ao an´aloga ´e v´alida para fibrados simpl´eticos sobreS1, isto ´e,(S1, E, π, ω).
Seja λ uma forma de contato definida numa 3-variedade M . J´a observamos que (M, ξ = ker λ, π, dλ
ξ) ´e um fibrado simpl´etico sobre M . Pela Proposi¸c˜ao 1.20, o espa¸co J (λ) das
es-truturas complexas em ξ = ker λ que s˜ao dλ-compat´ıveis ´e n˜ao-vazio e contr´atil. A nota¸c˜ao J (λ) subentende o fibrado simpl´etico (M, ξ = ker λ, π, dλ
ξ) induzido pela λ. Para as nossas
aplica¸c˜oes, ´e conveniente notar que, se v : D→ M ´e um disco suave, a Observa¸c˜ao 1.22 implica que (D, v∗ξ, π◦v, v∗dλ) admite uma trivializa¸c˜ao dλ-simpl´etica. Analogamente, se x : S1 → M ´e
uma aplica¸c˜ao suave, ent˜ao (S1, x∗ξ, π◦x, x∗dλ) tamb´em admite uma trivializa¸c˜ao dλ-simpl´etica.
Exemplo 1.23.Seja R3, ξ = ker (dz + xdy), onde (x, y, z) ∈ R3 s˜ao coordenadas retangulares.
Note que os campos v1 = ∂x, v2 = ∂y− x∂z satisfazem ξ = span{v1, v2}. Defina Jξ satisfazendo
Jξ(v1) = v2 e Jξ(v2) =−v1. (1.12)
Segue que Jξ ´e uma estrutura complexa em J (dz + xdy).
Exemplo 1.24.Seja (S3, ˜ξ = ker α
0), onde α0´e a forma de Liouville. Sejam v1(p), v2(p), v3(p),
p∈ S3, os campos definidos em (1.2). Lembre que T
pS3 = span{v1(p), v2(p), v3(p)}, para todo
p∈ S3, e ˜ξ
p = span{v2(p), v3(p)}, para todo p ∈ S3. Defina J : ξ→ ξ tal que, para todo p ∈ S3,
Jp: ξp→ ξp ´e dada por
Jp(v2(p)) = v3(p) e Jp(v3(p)) =−v2(p). (1.13)
Ent˜ao dα0(v2, J(v2)) = 1 e, portanto, J ∈ J (α0).
Observa¸c˜ao 1.25. Sejam λ uma forma de contato definida em uma 3-variedade M e (M, ξ = ker λ, π, dλ
ξ) o fibrado simpl´etico induzido por λ. Suponha que U ⊂ M ´e um aberto, dλ U ´e a restri¸c˜ao de dλ e J ´e uma estrutura complexa dλ
U-compat´ıvel (definida no aberto U ). Como
J (λ) ´e contr´atil, existe J0 ∈ J (λ) tal que J0
U = J (veja [1, 40] para os detalhes). Esta
observa¸c˜ao ser´a ´util na Se¸c˜ao 2.3.1.
Uma estrutura complexa dλ-compat´ıvel em ξ induz de maneira natural uma estrutura quase-complexa no fibrado tangente da simpletiza¸c˜ao R× M. Fixe J ∈ J (λ) e considere
˜
J : T (R× M) → T (R × M) satisfazendo as seguintes equa¸c˜oes:
( ˜ J(a,p) ∂a = Xλ(p) ˜ J(a,p)|ξp = Jp, (1.14)
para todo (a, p)∈ R × M, onde ∂a´e a dire¸c˜ao real em R× M. De modo equivalente, poder´ıamos
definir ˜J como
˜
J(a,p)(h, k) = (−λp(k), Jp(πp(k)) + hXλ(p)) ,
para todo (a, p) ∈ R × M e (h, k) ∈ T (R × M), onde π : T M → ξ ´e a proje¸c˜ao na dire¸c˜ao do campo de Reeb Xλ, isto ´e,
πp(k) = k− λp(k)Xλ(p) (1.15)
Portanto, (R× M, ˜J) ´e uma variedade quase-complexa. As equa¸c˜oes (1.14) implicam que ˜J ´e R-invariante. Al´em disso, ´e poss´ıvel verificar que ˜J ´e dλφ-compat´ıvel, onde λφ ´e definida em
(1.9) e φ : R→ (0, +∞) ´e uma fun¸c˜ao suave satisfazendo φ0(a) > 0, para todo a∈ R.
1.2
´
Indices Dinˆ
amicos
Nesta se¸c˜ao, vamos introduzir alguns ´ındices dinˆamicos associados `as ´orbitas fechadas de Reeb em P(λ). Estes ´ındices medem o quanto que o fluxo de Reeb pr´oximo de uma ´orbita fechada P gira em torno de P . As referˆencias para esta se¸c˜ao s˜ao [3], [26], [30], [32], [40], [46].
Matrizes simpl´eticas e ´Indice de Maslov
J´a mencionamos que os espa¸cos vetoriais simpl´eticos de mesma dimens˜ao s˜ao isomorfos. Por esta raz˜ao, fixamos R2n, n∈ Z∗
+, munido da forma simpl´etica canˆonica
ω0 =
X
k∈{1,··· ,n}
dxk∧ dyk, (1.16)
onde (x1, y1,· · · , xn, yn) s˜ao coordenadas em R2n, e da estrutura complexa ω0-compat´ıvel
J0 =
0 −1
1 0
!
. (1.17)
Fixe a base canˆonica de R2n e considere o conjunto Sp(n) das matrizes reais A de ordem 2n
satisfazendo
ATJ0A = J0, (1.18)
onde AT denota a transposta de A. Dizemos que A∈ Sp(n) ´e uma matriz simpl´etica. Note que
(1.18) ´e equivalente a A∗ω
0 = ω0, onde ω0 ´e definida em (1.16). Como
∧nω0 = ω0∧ n vezes
· · · ∧ ω0
´e uma forma de volume em R2n (veja [46, Corol´ario 2.5]), a condi¸c˜ao A∗ω
0 = ω0 implica que
det A = 1, para todo A∈ Sp(n) (veja [46, pg. 19]). Este fato conduz `a seguinte caracteriza¸c˜ao do espectro Spec(A) :={α ∈ C : ∃v ∈ R2n tal que Av = αv} das matrizes A ∈ Sp(n).
Lema 1.26 ([46], Lema 2.18). Seja A∈ Sp(n). Se α ∈ Spec(A), ent˜ao α ∈ C∗, α−1 ∈ Spec(A)
e as multiplicidades de α e de α−1 coincidem.
´
E poss´ıvel provar que o grupo fundamental de Sp(n) satisfaz π1(Sp(n)) ' Z, n ∈ Z∗+
(veja [46, Proposi¸c˜oes 2.20 e 2.21]). Este isomorfismo permite definir um ´ındice para as curvas cont´ınuas e fechadas de matrizes simpl´eticas Ψ : S1 → Sp(n), S1 ' R/Z. Denote por L(Sp(n))
o espa¸co destas curvas.
Teorema 1.27((´Indice de Maslov) [46], Teorema 2.27). Existe um ´unico ´ındiceµ :L(Sp(n)) → Z, chamado ´Indice de Maslov, satisfazendo as seguintes condi¸c˜oes:
(i) (Homotopia) As curvas fechadas Ψ0, Ψ1 : S1→ Sp(n) s˜ao homot´opicas se e somente se
µ(Ψ0) = µ(Ψ1);
(ii) (Produto) Para todo par Ψ0, Ψ1 : S1 → Sp(n), temos µ(Ψ0· Ψ1) = µ(Ψ0) + µ(Ψ1);
(iii) (Soma Direta) Sejam n0, n00 ∈ Z∗+. Considere Sp(n0)⊕ Sp(n00) canonicamente identifi-cado12 com um subgrupo de Sp(n), onde n = n0+ n00. Ent˜ao
µ(Ψ0⊕ Ψ1) = µ(Ψ0) + µ(Ψ1).
(iv) (Normaliza¸c˜ao) Seja Ψ : S1 → U(1) ⊂ Sp(n) dada por Ψ(t) = e2πit. Ent˜aoµ(Ψ) = 1.
Esbo¸co da Demonstra¸c˜ao: O ´ındice de Maslov µ pode ser constru´ıdo explicitamente. Seja A∈ Sp(n) e note que (A · AT)−1/2A∈ Sp(n) ∩ O(2n). Isto implica que existem X, Y ∈ M
n×n(R) tais que X −Y Y X ! = (A· AT)−1/2A ∈ Sp(n) ∩ O(2n). (1.19)
Em particular, temos que XTY = YTX, XTX +YTY =1, onde 1 ´e a identidade em M
n×n(R).
Estas condi¸c˜oes garantem que X +iY ´e unit´aria. Defina ζ : Sp(n)→ S1 por ζ(A) = det(X +iY ).
Se Ψ∈ L(Sp(n)), considere a composi¸c˜ao ζ ◦ Ψ e note que existe um levantamento η : R → R de ζ◦ Ψ tal que det(X(t) + iY (t)) = e2πiη(t). ´E poss´ıvel verificar que µ(Ψ) = η(1)− η(0) satisfaz
as condi¸c˜oes do Teorema 1.27 (veja [46, Teorema 2.27]).
1.2.1
´
Indices de curvas de matrizes simpl´
eticas
A seguir, vamos introduzir as no¸c˜oes de ´ındice de Conley-Zehnder (usual, geom´etrico e generalizado) e de n´umero de rota¸c˜ao no contexto de curvas de matrizes simpl´eticas. Posterior-mente, na Subse¸c˜ao 1.2.2, veremos como aplic´a-los ao estudo do fluxo de Reeb.
12Explicitamente, se M
1, M2 s˜ao matrizes simpl´eticas tais que M1 = AC1 B1 1 D1 ∈ Sp(n0) e M 2 = A2 B2 C2 D2
∈ Sp(n00), ent˜ao a identifica¸c˜ao ´e dada por M
1⊕M2= A1 0 B1 0 0 A2 0 B2 C1 0 D1 0 0 C2 0 D2 ∈ Sp(n 0) ⊕Sp(n00).
´Indice de Conley-Zehnder
Nesta subse¸c˜ao, seguimos a exposi¸c˜ao em [3]. Come¸camos introduzindo algumas nota¸c˜oes. Considere Sp∗(n) = {A ∈ Sp(n) : det(1 − A) 6= 0}. ´E conhecido que o conjunto Sp∗(n) se de-comp˜oe em duas componentes conexas:
Sp+(n) = {A ∈ Sp(n) : det(1 − A) > 0},
Sp−(n) = {A ∈ Sp(n) : det(1 − A) < 0}. (1.20)
(veja [57, Lema 3.2]). Fixe duas matrizes simpl´eticas W±∈ Sp±(n) dadas por W+=−1 e
W−= diag(2,−1, . . . , −1, 1/2, −1, . . . , −1).
Seja Σ∗(n) = {ϕ : [0, 1] → Sp(n) : ϕ(0) = 1 e ϕ(1) ∈ Sp∗(n)} o conjunto dos caminhos
cont´ınuos de matrizes simpl´eticas que come¸cam na identidade e terminam em Sp∗(n). Alguns autores chamam os elementos de Σ∗(n) de caminhos admiss´ıveis. Qualquer caminho ϕ∈ Σ∗(n)
admite uma extens˜ao cont´ınua ˜ϕ : [0, 2]→ Sp(n) tal que ˜ϕ(t)∈ Sp∗(n), para todo t≥ 1, e (i) ϕ(2) = W˜ +, se ϕ(1)∈ Sp+(n),
(ii) ϕ(2) = W˜ −, se ϕ(1)∈ Sp−(n).
Observamos acima que se A∈ Sp(n), ent˜ao existem X, Y ∈ Mn×n(R) tais que
X −Y
Y X
!
= (A· AT)−1/2
A∈ Sp(n) ∩ O(2n).
Defina a aplica¸c˜ao ζ : Sp(n) → S1 por A 7→ ζ(A) = det(X + iY ). Note que ζ2(W±) = 1,
onde ζ2(W±) := ζ(W±)· ζ(W±). Sejam ϕ ∈ Σ∗(n) e ˜ϕ : [0, 2] → Sp(n) a respectiva extens˜ao
cont´ınua. A composi¸c˜ao ζ2◦ ˜ϕ : [0, 2]→ S1 ´e uma curva fechada pois
ζ2( ˜ϕ(0)) = ζ2(1) = 1 = ζ2(W±) = ζ2( ˜ϕ(2)).
Como ζ2◦ ˜ϕ(t) = e2πiη(t), para algum levantamento η : R → R de ζ2◦ ϕ, definimos o ´Indice de
Conley-Zehnder µCZ(ϕ) do caminho de matrizes simpl´eticas ϕ∈ Σ∗(n) como
µCZ(ϕ) = η(2)− η(0). (1.21)
Note que µCZ(ϕ) independe da extens˜ao ˜ϕ e do levantamento η.
Para as nossas aplica¸c˜oes, precisamos considerar somente o caso n = 1. O teorema a seguir lista algumas propriedades de µCZ. Alguns autores apresentam este resultado como a
defini¸c˜ao axiom´atica do ´ındice de Conley-Zehnder para n = 1.
Teorema 1.28 ([26], Teorema 3.1, [39], Teorema 1.4). O ´ındice de Conley-Zehnder µCZ :